《结构力学习题集》6-位移法

第六章 位移法一、是非题1、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。

2、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。

3、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。

4、结 构 按 位 移 法 计 算 时 ， 其 典 型 方 程的 数 目 与 结 点 位 移 数 目 相 等 。

5、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。

6、超 静 定 结 构 中 杆 端 弯 矩 只 取 决 于杆 端 位 移 。

7、位 移 法 可 解 超 静 定 结 构 ，也 可 解 静定 结 构 。

8、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。

/2/22l l θθC9、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是 -θ/2 。

10、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql EI 324/。

q l 11、图 示 超 静 定 结 构 ， ϕD 为 D 点 转 角 （顺 时 针 为 正）， 杆 长 均 为 l , i 为 常 数 。

此 结 构 可 写 出 位 移 法 方 程 111202i ql D ϕ+=/。

二、选择题1、位 移 法 中 ，将 铰 接 端 的 角 位 移 、滑 动支 承 端 的 线 位 移 作 为 基 本 未 知 量 ：A. 绝 对 不 可 ；B. 必 须 ；C. 可 以 ，但 不 必 ；D. 一 定 条 件 下 可 以 。

2、AB 杆 变 形 如 图 中 虚 线 所 示 ， 则 A 端的 杆 端 弯 矩 为 ：A.M i i i l AB A B AB =--426ϕϕ∆/ ;B.M i i i l AB A B AB =++426ϕϕ∆/ ;C.M i i i l AB A B AB =-+-426ϕϕ∆/ ;D.M i i i l AB A B AB =--+426ϕϕ∆/。

位移法习题答案位移法的基本步骤包括：1. 选择位移函数：根据结构的边界条件和对称性，选择合适的位移函数。

2. 建立位移矩阵：将位移函数表示为位移矩阵的形式。

3. 应用位移边界条件：根据结构的固定边界条件，确定位移矩阵中的未知数。

4. 计算内力：利用位移矩阵和结构的几何关系，计算出结构的内力。

5. 验证位移法结果：通过比较位移法的结果与其他方法（如力法）的结果，验证位移法的准确性。

例题：考虑一个简支梁，长度为L，受集中力P作用于中点。

使用位移法求解梁的弯矩和剪力分布。

解答：首先，我们假设梁的位移函数为：\[ w(x) = \frac{Px(L-x)}{2EI} \]其中，\( w(x) \) 是梁在x位置的位移，\( E \) 是材料的弹性模量，\( I \) 是截面惯性矩。

接下来，根据位移函数，我们可以计算梁的弯矩和剪力：\[ M(x) = -EI \frac{d^2w}{dx^2} \]\[ V(x) = -EI \frac{dw}{dx} \]应用位移边界条件，我们可以确定位移函数中的未知数。

对于简支梁，位移在支点处为零，即：\[ w(0) = w(L) = 0 \]将位移函数代入上述条件，我们可以验证假设的位移函数满足边界条件。

最后，代入位移函数到弯矩和剪力的表达式中，我们可以得到：\[ M(x) = -\frac{P}{2} \left( \frac{L^2}{4} - x^2 \right) \]\[ V(x) = -\frac{P}{2} \left( L - 2x \right) \]通过上述计算，我们得到了梁在任意位置的弯矩和剪力分布。

结论：位移法是一种有效的结构分析方法，它通过位移函数来求解结构的内力和位移。

通过本题的解答，我们可以看到位移法在求解简支梁问题中的应用。

请注意，上述内容是一个示例答案，具体的习题答案会根据具体的题目而有所不同。

在实际应用中，需要根据具体的结构和受力情况来选择合适的位移函数和计算方法。

位移法结构力学知识点概念讲解1.结构位移：结构在受力作用下会发生形变，而位移描述了结构各点之间的距离变化。

位移可以分为水平位移和竖向位移，用于表示结构在水平和竖直方向的变形情况。

2.自由度：结构的自由度是指结构中可以自由变动的独立变量的个数。

自由度越多，结构描述和计算的精度越高。

常见的自由度有平动自由度和转动自由度，平动自由度用于描述结构的水平位移，而转动自由度用于描述结构的转动变形。

3.约束条件：结构中存在的各种约束条件限制了结构的自由度。

约束条件是指结构中一些部分的位移受到限制，不能随意变动。

常见的约束条件有支座和铰链等，它们可以限制结构的平动和转动自由度。

4.单元：位移法将结构划分为若干个单元，每个单元由一组节点和单元内部的位移函数组成。

节点是指结构中的一些特定点，单元内部的位移函数用于描述该单元内部各处的位移情况。

6.节点位移：节点位移是指结构中各个节点的位移，它通过节点的约束条件和单元的位移函数之间的关系得到。

节点位移是位移法计算的核心内容，通过计算节点位移可以得到结构的变形和位移分布。

7.应变：结构在荷载作用下会发生应变，应变描述了结构内部各点的变形情况。

应变是位移的导数，可以通过位移的一阶导数来表示。

应变的计算是位移法中重要的步骤之一8.应力：结构在荷载作用下会发生应力，应力描述了结构各点的受力情况。

应力是力和单位面积的比值，可以通过应变和材料的本构关系得到。

应力的计算是位移法中重要的步骤之一通过以上的概念和知识点，位移法可以对不同类型的结构进行分析和计算。

它是结构力学中常用的方法之一，通过假设结构的位移函数和节点之间的位移关系，得到了结构的变形和位移的近似解。

在实际工程中，位移法广泛应用于桥梁、建筑物和各种结构的设计和分析中，具有重要的理论和实践意义。

结构力学——位移法结构力学，位移法结构力学是研究物体受到外力作用时的变形和应力分布规律的学科。

在结构力学中，位移法是一种常用的分析方法，用于解决结构受力变形问题。

位移法是建立在位移场的基础上，通过求解物体的位移场，再根据位移场得到应力场、应变场以及应力分布等信息，从而获得结构的受力变形情况。

位移法的基本原理是微分方程的解析方法。

在位移法中，首先需要确定结构的几何形状、边界条件和外力情况，然后通过应变能原理或变分原理等方法建立物体的弯曲方程或应变能方程。

接下来，在确定了适当的位移函数形式后，将其代入方程中，通过求解微分方程来得到物体的位移场。

在位移法中，常用的位移函数形式包括简单弯曲、直角坐标、梯形分段等。

根据结构问题的具体条件，选择合适的位移函数形式，是位移法分析的一个重要步骤。

在求解位移函数时，通常要满足边界条件和界面连续条件。

边界条件是指结构边界上位移和应力的已知条件，界面连续条件是指相邻物体的位移和应力在界面上连续的条件。

求解位移场后，可以根据位移场求出应变场。

应变场是位移场的导数，反映了物体各点的拉伸和压缩程度。

通过求解应变场，可以进一步求解应力场。

应力场是应变场的导数，反映了物体各点的强度和应力分布情况。

由于应力是物体受力的重要指标，因此通过求解应力场，可以分析出物体受力分布情况，评估结构的强度和稳定性。

位移法在结构力学中具有重要的应用价值。

通过求解位移场，可以全面了解结构受力变形情况，为结构的设计和施工提供依据。

位移法不仅能够分析简单的结构问题，还可以扩展应用到更复杂的结构问题中，如悬索桥、拱桥和空间柱等。

位移法不仅适用于线性问题，还可以应用于非线性问题，如大变形、大位移和材料非线性等。

总之，位移法是结构力学中一种常用的分析方法，通过求解物体的位移场，可以获得结构的应力和变形情况。

位移法不仅能够分析简单的结构问题，还可以应用于复杂的结构问题。

通过位移法的研究，可以更全面地了解结构的受力变形情况，为结构的设计和施工提供依据。

结构力学位移法的计算一、结构力学位移法的基本原理结构力学位移法基于结构静力学原理，通过分析结构的受力平衡、变形和刚度等特性，计算结构的位移。

其基本原理是建立结构的数学模型，利用力学等效原理将外力转化为内力，进而计算出结构的位移。

其求解过程通常通过数学公式和计算软件来实现。

二、结构力学位移法的计算步骤1.确定结构的边界条件和约束条件。

边界条件指结构在边界上受到的力或位移约束。

约束条件指固定点、支座的位置以及其他限制。

边界条件和约束条件对结构的位移计算具有重要影响。

2.建立结构的数学模型。

数学模型是结构力学位移法的核心，可以通过数学方程或矩阵形式来表示。

常用的模型有刚度矩阵法和有限元法。

刚度矩阵法适用于简单结构，而有限元法适用于复杂结构。

3.计算结构的刚度矩阵。

刚度矩阵描述了结构的刚度特性，可以通过结构的几何和材料性质来计算。

刚度矩阵的计算通常包括杆件的刚度以及节点刚度的组装。

4.应用边界条件和约束条件。

根据结构的边界条件和约束条件，将其转化为数学方程或矩阵形式，然后应用到结构的刚度矩阵上。

一般通过修正刚度矩阵或施加位移限制来实现。

5.求解结构的位移。

通过求解修正后的刚度矩阵和边界条件所构成的方程组，可以得到结构的位移。

通常使用数值方法，如高斯消元法、LU 分解法或迭代法。

6.分析与验证结果。

计算得到的结构位移可用于分析结构的变形、挠度、应力等参数。

还可以与设计要求进行对比和验证，以评估结构的可靠性和稳定性。

三、结构力学位移法的应用1.建筑结构设计。

在建筑结构设计中，利用结构力学位移法可以分析和优化建筑物的静力学特性，确保其稳定性和可靠性。

2.桥梁工程。

结构力学位移法可用于桥梁的设计和分析，帮助工程师评估桥梁的变形、位移和受力状况。

3.航天器设计。

在航天器设计中，结构力学位移法可用于分析航天器的振动、变形和稳定性，确保其在太空中的安全运行。

4.机械工程。

结构力学位移法也可以应用于机械结构的设计和分析，例如汽车、飞机和机器人等。

结构力学位移法结构力学是研究结构物的力学性能和变形规律的科学，位移法是结构力学中常用的一种分析方法。

它通过计算结构物各个节点的位移，进而求解出结构物的应力、应变等力学参数。

下面将详细介绍位移法的原理和应用。

一、位移法的原理位移法是一种基于力的平衡方程和位移的相关性质来计算结构物响应的方法。

它的基本原理是通过建立结构物的整体刚度方程，解这个方程得到各节点的位移，再根据位移计算出相应节点上的应力和应变。

在应用位移法时，首先需要确定结构物的受力状态，即施加在结构物上的外力和边界条件。

然后，根据结构物的几何约束条件和材料特性，建立结构物的整体刚度方程。

这个方程是一个描述结构物节点位移与受力关系的方程，通常表示为[K]{D}={F}，其中[K]是结构物的刚度矩阵，{D}是节点位移矩阵，{F}是节点受力矩阵。

解刚度方程可以得到节点位移矩阵{D}，再通过位移与应力或应变的关系，计算出各个节点上的应力和应变。

常用的位移与应力或应变的关系包括伯努利梁理论、平面假设等。

最后，根据应力或应变条件，判断结构物的安全性和稳定性。

二、位移法的应用位移法广泛应用于各种结构物的力学分析和设计中，特别是对于复杂结构和非线性问题的分析更具优势。

1.梁和框架的分析对于梁和框架结构，可以根据位移法计算出节点上的位移、弯矩、剪力和轴力等力学参数。

通过对结构物的力学性能的准确分析，可以进行合理的结构设计和优化。

2.刚架和刚构的计算在刚架和刚构的计算中，位移法可以用来求解节点刚度，从而得到结构物的受力分布和变形情况。

这对于评估结构物的稳定性和刚度有重要意义。

3.非线性问题的分析位移法还可以应用于非线性结构的分析，如软土地基的承载力计算、非线性材料的应力分析等。

在这些情况下，结构物的刚度和应力等参数会随着受力状态的变化而发生变化，需要通过迭代的方法来求解。

4.动力分析位移法也可以用于结构物的动力分析。

动力分析主要研究结构物在动态载荷下的响应和振动特性。

第6章位移法习题解答习题6.1确定用位移法计算习题6.1图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。

（除注明者外，其余杆的EI为常数。

）(a) (b) (c) (d)习题6.1图【解】各题基本未知量（取独立未知结点位移为基本未知量）如下：（a）n=4 （b）n=2 （c）n=6 （d）n=8习题6.2是非判断(1)位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关。

（）(2)位移法可用于求解静定结构的内力。

（）(3)用位移法计算结构由于支座移动引起的内力时，采用与荷载作用时相同的基本结构。

（）(4)位移法只能用于求解连续梁和刚架，不能用于求解桁架。

（）【解】（1）正确。

位移法求解时基本未知量是结构的未知结点位移，与结构是否超静定无关。

（2）正确。

无任何结点位移发生的静定结构内力图可利用载常数直接确定；有结点位移发生的静定结构则可利用位移法的一般步骤计算。

（3）正确。

用位移法计算支座位移引起的内力时，可采用与荷载作用相同的基本结构，自由项可根据形常数和支移值确定。

（4）错误。

只要能够取得杆端力与杆端位移之间的函数关系，位移法就可用于求解任何杆系结构。

习题6.3已知习题6.3图所示刚架的结点B产生转角θB =π/180，试用位移法概念求解所作用外力偶M。

习题 6.3图【解】30i π 。

发生转角θB 时，可直接求得结点B 所连的各杆端弯矩，再由结点B 的平衡条件即可得M 。

习题6.4 若习题6.4图所示结构结点B 向右产生单位位移，试用位移法中剪力分配法的概念求解应施加的力F P 。

习题 6.4图【解】315lEI。

结点B 向右产生单位位移时，横梁所连各柱端剪力之和即为F P 。

习题6.5 已知刚架的弯矩图如习题6.5图所示，各杆EI =常数，杆长l =4m ，试用位移法概念直接计算结点B 的转角θB 。

m习题 6.5图【解】由M 图可知，BC 杆上无外荷载，其杆端弯矩为330BC BC B M i θ==-，由此求得40B EIθ=-。

结构力学位移法详解结构力学是一门研究物体受力和变形关系的科学，它对于工程结构的设计和分析具有重要的意义。

结构力学包括静力学和动力学两个方面，其中位移法是解决结构静力学问题的一种重要方法。

位移法是一种基于结构位移的方法，通过建立结构的位移方程来求解结构中的受力和变形情况。

相比于应力法，位移法在简化问题过程中能够更好地处理约束条件和边界条件，使得解题更加简化和精确。

在位移法中，首先需要确定结构的边界条件，即结构的约束条件和边界条件。

然后根据结构的受力平衡和力的平衡条件，建立结构的位移方程。

位移方程是一个描述结构变形情况的方程，通过解这个方程可以得到结构的位移分布。

位移方程的建立通常需要以结构单元为基础，将整个结构分解为不同的单元进行分析。

每个单元之间通过节点连接，将力和位移传递给下一个单元。

而每个单元的位移方程则可以通过应力-应变关系、平衡方程和简化条件得到。

在求解位移方程时，常常使用有限差分法、有限元法或弹性力学公式等数值方法来近似求解。

这些数值方法将结构离散化，并通过数值计算得到结构的位移分布。

在得到结构的位移分布后，可以进一步计算结构的应力和应变分布，以及其它受力和变形相关的参数。

这样，就可以对结构的安全性和机械性能进行评估和优化。

总结起来，位移法是通过建立结构的位移方程来求解结构静力学问题的一种方法。

通过分析结构的位移分布，可以得到结构的应力和应变情况，进而评估结构的安全性和机械性能。

在实际工程问题中，位移法经常用于分析和设计各类结构，具有重要的实际应用价值。

第6章 位移法6.2等截面直杆的转角位移方程一、为什么要研究等截面直杆的转角位移方程1、位移法是以等截面直杆（单跨超静定梁）作为其计算基础的。

2、等截面直杆的杆端力与荷载、杆端位移之间恒具有一定的关系——“转角位移方程 ” 。

3、渐近法中也要用到转角位移方程。

二、杆端力的表示方法和正负号的规定1、弯矩：M AB 表示AB 杆A 端的弯矩。

对杆端而言，顺时针为正，逆时针为负；对结点而言，顺时针为负，逆时针为正。

2、剪力：Q AB 表示AB 杆A 端的剪力。

正负号规定同“材力”。

3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端剪力。

用M AB 、M BA 、Q AB 、Q BA 表示。

三、两端固定梁的转角位移方程1、线刚度2、弦转角四、一端为固定、另一端铰支的单跨超静定梁五、一端固定、另一端为滑动支座（定向支承）的单跨超静定梁B AM A B <0M B A >0Q A B >06.1 位移法的基本概念一、解题思路以图（b’）、（c’）（d’）分别代替图（b ）、（c ）、（d ）：二、解题示例φBz 1(a )(b )(c ) (d ) (b’) (c’)(d’)3ql/76.3 基本未知量数目的确定一、基本未知量1、结点角位移2、结点线位移二、基本假设1、小变形假设。

2、不考虑轴力和弯曲内力、弯曲变形之间相互影响。

（采用上述假设后，图示刚架有3个基本未知量。

）三、如何确定基本未知量1、在刚结点处加上刚臂。

2、在结点会发生线位移的方向上加上链杆。

3、附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目。

四、确定线位移的方法（1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也是不动点。

2M 1图MP 图M 图A（2）把刚架所有的刚结点（包括固定支座）都改为铰结点，如此体系是一个几何可变体系，则使它变为几何不变体系所需添加的链杆数目即等于原结构的独立线位移数目。

结构力学位移法题目及详细解答位移法中含无穷刚度杆的结构是考研结构力学的一大难点，很多热门院校都喜欢出这类型的题目，下面以两道有复杂牵连位移的含无穷刚度杆位移法题目为例，对三种解法进行讲解，题目取自东南大学真题和烟台大学真题。

1.用位移法绘制图示结构的弯矩图，BC杆 EI=∞，其余各杆 EI 为常数（东南大学2017年真题）。

解：根据局部变形图找出位移牵连关系，B点角位移，B点竖向线位移，C点角位移三者牵连，只有1个独立，有三种方法。

法一：基本体系一：以 B点竖向线位移为基本未知量，难点是无穷刚结点处会引起线位移和角位移，过程如图：M2¯图绘制是一个难点，需要通过无穷刚度杆的局部变形图判断弹性杆的变形，从而指导画出形常数图。

计算过程略，最后弯矩图如图：法二：基本体系二：以 C 点角位移为基本未知量，难点是剪力平衡，过程如下：M2¯图绘制是一个难点，需要通过无穷刚度杆的局部变形图判断弹性杆的变形，从而指导画出形常数图。

法二的典型错误：无穷刚度杆弯矩图不会画。

正确思路：从弹性杆画到无穷刚度杆，通过刚结点平衡条件确定杆端弯矩，杆上没有集中力作用，剪力不变，弯矩图斜率相同。

这里注意，超静定结构在荷载作用下内力值只与刚度相对值有关，与绝对值无关，所以从弹性杆到无穷刚度杆弯矩是不会倍增的。

另外，若有集中力作用于无穷刚度杆上，则按照简支梁叠加即可。

法三：基本体系三：以B点角位移为基本为质量，难点是剪力平衡，过程如下：点评：法三位移一定可以发生，因为线位移和两个角位移有两个独立，一个牵连，刚结点任取一个角位移都可以是独立的，无穷刚度杆上增加刚臂后相当于大地固定端，不能动，刚臂发生相当于固定端发生单位角位移的支座移动。

第六章位移法和力矩分配法一、基本内容及学习要求本章内容包括：位移法的基本概念，位移法基本未知量的确定，位移法的计算步骤和示例，位移法的典型方程，力矩分配法的基本概念，力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架，超静定结构的受力分析和变形特点等。

重点是位移法的基本原理及用位移法计算刚架，力矩分配法的基本原理和计算方法。

位移法是解算超静定结构的基本方法之一，力矩分配法是由位移法演变出来的常用渐进解法。

通过本章学习应达到：(1)掌握位移法的基本原理，准确判定位移法的基本未知量。

(2)灵活应用等截面单跨超静定梁的转角位移方程[教材式(5—3)～(5—6)]或表5—1，确定各种外因影响下的杆端弯矩和杆端剪力。

(3)熟练掌握位移法计算超静定梁和刚架的方法及步骤。

对照力法典型方程，加深对位移法典型方程的理解。

(4)掌握力矩分配法的计算原理和步骤，会计算连续梁和无结点线位移刚架。

(5)初步了解超静定结构的受力特点和变形性能。

根据不同结构选择合理的计算方法。

二、学习指导(一)位移法的解题思路§6—l以两跨连续梁为例说明了位移法的解题思路：(1)把超静定结构转化为由单跨超静定梁构成的组合体，用后者代替前者计算。

(2)利用单跨梁已知的转角位移方程，应用变形协调条件，建立结点位移与单跨梁杆端内力问的关系。

(3)根据组合体与原结构受力一致应满足的平衡条件，建立以结点位移为基本未知量的位移法方程。

(4)解方程求出结点位移，进而计算单跨梁的杆端内力。

教材§6—3以示例阐明了位移法的计算步骤和实际应用。

此外，教材§6—4介绍了建立位移法方程的另一途径，即首先选取基本结构，然后根据基本结构受力和变形应与原结构一致的条件建立位移法典型方程，求出其系数和自由项，同样解方程求得结点位移并绘出最后弯矩图。

其实，两种方式本质完全相同，只是建立方程的途径不同而已。

针对图6．1 a所示刚架的计算过程，可做如下扼要对比(表6．1)。

位移法习题与答案位移法是结构力学中常用的一种分析方法，通过计算结构在外力作用下的位移，来求解结构的应力、应变和变形等问题。

在学习位移法时，习题与答案的练习是非常重要的，可以帮助我们加深对位移法的理解和掌握。

下面将给大家介绍一些位移法习题及其答案。

习题一：求解简支梁的弯矩分布已知一根长度为L的简支梁，受到均布载荷q作用，求解弯矩分布。

解答：首先，我们需要根据受力分析确定梁的反力。

对于简支梁，两个支座处的反力相等，且为qL/2。

接下来，我们可以利用位移法求解弯矩分布。

假设梁的弯矩分布为M(x)，则根据位移法的基本原理，可以得到以下方程：d2M(x)/dx2 = -q对该方程进行两次积分，得到：M(x) = -q*x^2/2 + C1*x + C2由于梁两端是简支条件，即位移和转角为零，可以得到边界条件：M(0) = 0M(L) = 0代入上述方程，解得C1 = qL/2，C2 = -qL^2/2。

因此，弯矩分布为：M(x) = -q*x^2/2 + qL/2*x - qL^2/2习题二：求解悬臂梁的挠度已知一根长度为L的悬臂梁，受到集中力F作用在悬臂端点，求解梁的挠度。

解答：首先，我们需要根据受力分析确定梁的反力。

对于悬臂梁，端点处的反力只有一个，即为F。

接下来，我们可以利用位移法求解梁的挠度。

假设梁的挠度为δ(x)，则根据位移法的基本原理，可以得到以下方程：d2δ(x)/dx2 = -F/(EI)对该方程进行两次积分，得到：δ(x) = -F*x^2/(2EI) + C1*x + C2由于梁端点处的位移为零，可以得到边界条件：δ(0) = 0dδ(x)/dx|_(x=L) = 0代入上述方程，解得C1 = 0，C2 = 0。

因此，梁的挠度为：δ(x) = -F*x^2/(2EI)习题三：求解悬臂梁的最大挠度已知一根长度为L的悬臂梁，受到均布载荷q作用，求解梁的最大挠度。

解答：首先，我们需要根据受力分析确定梁的反力。