二次函数y=ax2的图象和性质教学设计——第十四届初中优质课大赛获奖作品

1.2 二次函数y=ax2的图象和性质一等奖创新教案22.1 二次函数的图象和性质22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质一、教学目标【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式.【过程与方法】通过画出简单的二次函数探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.【情感态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；2.能确定二次函数y=ax2的解析式.【教学难点】1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.五、课前准备课件、三角尺、铅笔等.六、教学过程（一）导入新课1.你们喜欢打篮球吗？（出示课件2）2.你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？学生自主思考.（二）探索新知探究一：二次函数y=ax2的图象的画法出示课件4：画出二次函数y=x2的图象.学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.⑴列表：在y=x2中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=x2 ……⑵描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）（出示课件5）⑶连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象．当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：（出示课件6）教师归纳：二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.这条抛物线关于y轴对称,y轴就是它的对称轴.对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.出示课件7：画出二次函数y=-x2的图象.学生分组画y=-x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导.⑴列表：x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …y=-x2 ……⑵描点：⑶连线：探究二：二次函数y=ax2的图象性质出示课件8：教师问：根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.学生交流后，师生共同总结如下：1.y＝x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向上;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0 ，0 ）;5.图象有最低点．出示课件9：教师问：说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.学生交流后，师生共同总结如下：1.y＝-x2的图象是一条抛物线;2.图象开口向下;3.图象关于y轴对称;4.顶点（0，0）;5.图象有最高点．教师归纳：（出示课件10）二次函数y=ax2的图象性质：1.顶点都在原点（0,0）;2.图像关于y轴对称;3.当a>0时，开口向上；当a0时，a越大，开口越小.出示课件18：在同一直角坐标系中，画出函数的图象．将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.解：分别填表，再画出它们的图象，如图：x ·－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···x ·－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···出示课件19：师生共同探究：二次函数的图象开口大小与a的大小有什么关系？教师归纳：当a－1.因此m=1.此时,二次函数为y=2x2.出示课件23：已知是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k= .学生独立思考后，自主解答如下：解：是二次函数，即二次项的系数不为0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说明二次项的系数大于0. 因此，，解得k=2.探究四：二次函数y =ax2的实际应用出示课件24：师生共同认知：二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.出示课件25：例已知正方形的周长为Ccm，面积为Scm2，（1）求S与C之间的二次函数关系式；（2）画出它的图象；（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；（4）根据图象，求出C取何值时，S≥4cm2.学生独立思考后，师生共同解答.（出示课件26）解：（1）∵正方形的周长为Ccm，∴正方形的边长为cm，∴S与C之间的关系式为S=；作图如图：（3）当S=1cm2时，C2=16，即C=4cm；（4）若S≥4cm2，即≥4，解得C≥8，或c≤-8(舍去），因此C ≥8cm.出示课件27：已知二次函数y＝2x2.(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“15.开口方向对称轴顶点坐标向上y轴（0,0）向下y轴（0,0）向上y轴（0,0）向下y轴（0,0）6.解：在二次函数y=x2中，a=1＞0因此当x=0时，y有最小值.∵当x≥m时，y最小值=0，∴m≤0．7.解：由题意得解得因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐标值的绝对值4.因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝×4×1+×4×4＝10.（四）课堂小结1.画二次函数y=ax2的图象时，有哪些地方是你需关注的？2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的？3.本节课你还存在哪些疑问？.（五）课前预习预习下节课（22.1.3第1课时）的相关内容.七、课后作业1.教材41页习题22.1第3,4题2.配套练习册内容八、板书设计：九、教学反思：本课时的设计比较注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行对比.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.1 / 15。

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式. 【过程与方法】通过画出简单的二次函数y=x2，y=-12x2等探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.【情感态度】使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；2.能确定二次函数y=ax2的解析式.【教学难点】1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.一、情境导入，初步认识问题1在八年级下册，我们学习的一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？【教学说明】通过对问题1的思考，可激发学生的求知欲望，想尝试运用列表法画出一个二次函数的图象.问题2 你能画出二次函数y=x2的图象吗？【教学说明】学生分组画y=x2的图象，教师巡视，对于不正确的给予指导，尤其应关注学生的列表和连线，然后给予讲评，提醒注意的问题，并让学生发表不同的意见，达成共识.二、思考探究，获取新知问题1你能说说二次函数y=x2的图象有哪些特征吗？不妨试试看，并与同伴交流.【教学说明】教师应在学生的交流过程中，听取他们各自的看法，对于通过观察而归纳出的结论表达较好的给予肯定，对不够完整的或表达欠佳的学生给予鼓励，并予以诱导.在这一活动过程中，让学生们逐步积累对二次函数y=ax2的图象及其简单性质的感性认识.问题2请在同一坐标系中，画出以下函数的图象，并通过图象谈谈它们的特征及其差异.y=12x2与y=2x2.【教学说明】在这一活动过程中，教师可将全班同学进行适当分组，分别完成两个图象的画图，并结合图象给予恰当的描述.教师巡视，适时点拨，最后在黑板上与全班同学一起进行归纳总结.问题3〔1〕在同一直面坐标系中，画出函数y=-x2,y=-12x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？〔2〕当a<0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？【教学说明】教师在处理问题时可让学生画图后答复，可让学生从开口方向、最值、增减性三个方面作答，最后教师以课件方式展示结论.【归纳结论】1.二次函数y=ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线.一般地，二次函数y=ax2+bx+c 的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.2.二次函数y=ax2的图象及其性质，如下表所示：3.二次函数y=ax2的开口大小与a的关系：|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大.|a|值相同，开口形状相同.【教学说明】针对师生共同完成的归纳总结，教师应着重强调两点：〔1〕a的符号决定着抛物线的开口方向，|a|的大小，影响抛物线的开口大小；〔2〕对于函数的增减性及最大〔小〕值，教师应引导学生通过图象进行分析，利用图象的直观性获得结论，切忌死记硬背，让同学感受到数形结合思想方法是函数问题中最重要的思想方法之一，增强他们的学习兴趣.三、运用新知，深化理解1.假设抛物线y=ax2与y=4x2的形状及开口方向均相同，那么a= .2.以下关于二次函数y=ax2(a≠0)的说法中，错误的选项是〔〕B.当a<0，在x=0时，y取得最大值C.a越大，图象开口越小;a越小，图象开口越大D.当a>0，在x>0时，y随x的增大而增大3.请在同一坐标系中画出函数y1=x和y2=-x2的图象，结合图象，指出当x取何值时，y1>y2；当x取何值时，y1<y2.4.一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点〔-1，14〕.〔1〕求这个二次函数的解析式；〔2〕画出这个二次函数的图象；〔3〕根据图象指出，当x>0时，假设x增大，y怎样变化？当x<0时，假设x增大，y 怎样变化？〔4〕当x取何值时，y有最大〔或最小〕值，其值为多少？【教学说明】本环节易采用先让学生独立思考，再以小组交流的方式展开.其中题2、3、4均是集图象与性质于一体，鼓励学生用自己的语言表达，逐步渗透用数学语言进行说理的能力，同时进一步表达数形结合的思想.2.C【解析】当a>0时，a值越大，开口越小，a值越小，开口越大；当a<0时，a值越大，开口越大，a值越小，开口越小.所以C项说法不对.3.列表如下：如以下图：根据图象可知，当x>0或x<-1时，y1>y2,当-1<x<0时，y2>y1.4.解：〔1〕设这个二次函数解析式为y=ax2,将〔-1，14〕代入得a=14,所以y=14x2.(2)略(3)当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小.(4)当x=0时，y有最小值，y最小值=0.四、师生互动，课堂小结1.画二次函数y=ax2的图象时，有哪些地方是你需关注的？2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的？3.本节课你还存在哪些疑问？【教学说明】问题1旨在提醒学生画图过程中列表时应以原点为中心，左右对称选取点，连线时应用光滑曲线连接；问题2是为了进一步突出数形结合思想在函数问题的解决过程中的重要性；而问题3是想了解学生哪局部没学好，难学，以便教师可以进行针对性辅导.1.布置作业：教材习题22.1第3、4、11题.“课时作业〞局部.本课时的设计比拟注重让学生动手操作，让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质，画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行比照.本课的目的是要让学生通过动手操作，经历探索归纳的思维过程，逐步获得图象传达的信息，熟悉图象语言，进而形成函数思想.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。

《二次函数y=ax2的图像和性质》教学设计《二次函数的性质》导学设计(鲁教版九年级上册第二章二次函数第三节)2二次函数y=ax的图课题课型新授课备课人像性质二次函数y=ax2的图像和性质，是本章二次函数概念之后首次接触二次函数的性质，前面有一次函数、正(反)比内容分例函数性质的基础，学生有了储备知识，它是一类最特殊的析二次函数，为后续学习奠定基础，从某种意义上说起着承上启下的作用。

教材中性质的推导与获得利用了“从特殊到一般”的认识方法。

同学们应注意学习和运用。

本节学习中最难理解的是增减性，这一点同学们学习时要特别注意。

1、能够利用描点法作出二次函数的图象，并能根据图象认识2和理解二次函数y=ax 的性质，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。

22、经历探索二次函数y=ax图象和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

进一步培养数形结合方法研究函数学习目的性质，了解从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。

标3、在数学学习过程中，体验与领悟数学发现的成功感，感受第 1 页共 11 页数学发现学习的乐趣。

学习重2二次函数y=ax图象的描绘和图像特征的归纳点学习难选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像 . 点学习方合作——探究、讨论——交流(法学具准投影片、单页网格纸备学习内容及过程备注第(1---4)一、学习准备题让学生回问题:1. 正比例函数y=kx(k ? 0)其图象是什么, 想一次函数、正反比2. 一次函数y=kx+b(k ? 0)其图象又是什么,例函数图像3. 反比例函数 (k ? 0)其图象又是什么, 及性质，为二次函数性4，二次函数的一般形式是什么,x的取值范围质的引入做二、导入新课铺垫。

通过第 2 页共 11 页学生观察回2当a=1时，二次函数y=x有那些性质,忆图像性质有什么方法能更直接，更形象的来描述它的性质呢, 及画法得出二次函数2这节课我们就来研究二次函数y=ax图象。

2图像通y=x三、阅读探究过类比的方法，获得利探究一:画图像，找规律用图象研究(完成教材P45) 观察计算结果，你发现了什么规律, 二次函数性2, 2, 质的经验，画函数y=xy= -x图象。

二次函数y=ax2的图像和性质教案篇一：22.1.2二次函数y=ax2图像与性质教案2123篇二：《二次函数y=ax 的图象和性质》参考教案22.1.2二次函数y?ax2的图象和性质教学目标1．知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象，并根据图象认识和理解其性质2．过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程，体会数形结合的思想和方法.3．情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中，体会数形结合与转化，体会数学内在的美感．教学重点难点1．重点函数y=ax2的图象的画法，了解抛物线的含义，理解函数y=ax2的图象与性质．2．难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象，掌握其性质特征．教与学互动设计（一）创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义，图象特征，思考二次函数的图象又有何特征呢？导语二展示（用课件或幻灯片）具有抛物线的实例让大家欣赏，议一议这与二次函数有何联系呢？导语三用红色的乒乓球作投篮动作，观察乒乓球的运动路线，思考运动路线有何规律？怎样用数学规律来描述呢？（二）合作交流解读探究1．函数y=ax2的图象画法及相关名称【探究l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析，画图像的一般步骤：列表→描点→连线教师在学生完成图象后，在黑板上示范性画出y=x2的图象，如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征？特征如下：①形状是开口向上的抛物线②图象关于y轴对称③由最低点，没有最高点.结合图象介绍下列名称：①顶点；②对称轴；③开口及开口方向.图22-1-1图22-1-22．函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中，画出y=12x，y=2x2的图象.2学生自己完成此题.教师做个别指导，在学生（大部分）完成后，教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点：①顶点相同，其坐标都为（0，0）.②对称轴相同，都为y 轴③开口方向相同，它们的开口方向都向上.不同点：开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2，y=-施过程）比较函数y=-x2，y=-12x，y=-2x2的图象.找出它们的异同点.212x，y=-2x2的图象.（分析：仿照探究1的实2相同点：①形状都是抛物线.②顶点相同，其坐标都为（0，0）.③对称轴相同，都为y轴④开口方向相同，它们的开口方向都向下.不同点：开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征：(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时，抛物线开口向上，顶点时抛物形的最低点.a(3)|a|越大，抛物线y==ax2的开口越小（三）应用迁移巩固提高类型之一如何画好二次函数的图象【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值；②描点；③连线但初学者对三个步骤，易犯下列错误，注意避免. 【易错点1】表格中，取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时，一般5组或7组有代表性的对应值即可.．．．【易错点2】连线不是光滑曲线，有的用折线，有的画的过渡不自然，不象抛物线.例1下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.解：图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段，图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸，不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.图乙中有一个错误，其中有一个点（1，-2）的位置画错.（或表格中对应值算错）修改见图乙中虚线.图丙种错误是x的值都是非负数，没有负数，导致出现其图象只是抛物线的一半，没有对称性.修改见图丙中虚线.【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面，以后的练习中，应提醒大家注意.类型之二函数y=ax2的图象特征的应用例2（1）填空：函数y?()2的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是. 1（2）函数y=x2，y=x2，y=-2x2图象如图所示，请指出三条抛物线的名称.2解：（1）y?()2可化为y=2x2.它的图象是抛物线，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴，开口方向向上.【点评】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.(2)根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，最上面的抛物线为y=x2，中间的为y=12x，x轴下方的为y=-2x22【点评】抛物线y=ax2中a>0时，开口向上.a（四）总结反思拓展升华【总结】1.本节所学知识：①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.2.本节所用的方法：实践比较法【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系？（它们关于x 轴对称）【拓展】已知函数y=ax2经过(1,2).（1）求a的值.（2）当x(2)根据函数y=2x2知x【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x，y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知：x（五）当堂检测反馈1.抛物线y=4x2中的开口方向是向上，顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴.抛物线y=-对称轴是y轴.2.二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a=2.【分析】a与-2互为相反数13.在同一坐标系中：①y=x2，②y=-x2，③y=2x2这三个函数图象开口最大212x的开口方向是向下，顶点坐标是（0，0），4的是①y?12x2，开口向下的是②y=-x21解：∵||2∵函数y=-x2中，二次项系数为-114.二次函数y=2x2，y=-2x2，y=x22点（0，0）；②对称轴相同，都是y轴.5．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过(-3,2).求此抛物线的解析式，并指出x>0时，y随x的变化情况.解：设此抛物线的解析式为y=ax2,∵此抛物线过点（-3，2），∴2=a·(-3)2,。

二次函数y=ax2的图象与性质一、教学目标(一)知识与能力1.会用描点法画出二次函数y=ax2函数的图象。

2.结合y=ax2图象初步理解抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，及y随x的变化情况。

(二)过程与方法学生尝试去发现二次函数的图象特点，学会由具体到抽象，由特殊到一般地探索事物规律的方法。

(三)情感、态度与价值观培养学生探索、观察、发现的良好品质以及克服困难的毅力，并学会归纳总结自己的结论，体会成功的喜悦，加强继续学习的兴趣。

二、教学重点、难点教学重点：1.通过列表、描点、连线画函数y=ax2图象.2.通过图象初步理解二次函数性质。

教学难点：结合图象理解抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标及根本性质，并归纳总结出来。

三、教学过程1、创设情景引入新课〔多媒体展示〕(1)、一次函数的图象是什么形状?〔一条直线〕(2)、画函数图象的根本方法与步骤是什么?(3)、前面我们已经学习了二次函数，那二次函数的一般式怎么表示？函数的图象是研究函数的主要方法之一，因此，我们这节课就先研究最简单的二次函数y=ax2的图象与性质。

2、活动1 做一做〔多媒体展示〕例1、在同一直角坐标系中，画出以下函数的图象。

1、y=x22、 y=-x2〔每个同学观察所画函数的图象，并与同桌所画函数的图像比照，发现有什么共同点？又有什么区别?〔让同学们展开讨论〕在学生画函数图象的同时，教师可巡视指导，点出学生之缺乏。

讲评时，可以通过学生讨论、交流。

让学生发表不同的意见，达成共识。

〔用幻灯片显示在同一坐标系下的两个函数图象〕这两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。

3、活动二归纳、概括分组画函数y ＝ x 2、y=- x 2、y=2x 2、y=-2x 2的图象，由函数y ＝x 2、y=-x 2、y ＝2x 2、y=-2x 2的图象的共同特点，总结函数y=ax 2的一般性质：函数y=ax 2(a≠0)的图象是一条抛物线。

《6.1.2二次函数2y ax =的图象》教案授课教师：王志枢 教材：人教版九年级数学下册工作单位：高要市河台镇河台初级中学一、教学目标1、进一步熟悉描点法画函数图像的过程；2、把函数解析式和图象结合起来，让学生学会观察、归纳、概括函数的性质；3、掌握y ax =2 型二次函数图像的特征； 二、教学重点与难点教学重点：y ax =2型二次函数图像和图像特征的归纳。

教学难点：画函数图像，并总结性质。

三、教学方法与手段自主探究式 引导发现法 实践比较法 运用多媒体 四、教学过程 （一） 回顾知识1、正比例函数y=2x 的图象是 ;一次函数y=x+3的图象是 ;反比例函数3y x=的图象是 . 2、画函数图象的步骤是 、 、 ；动手画一画一次函数y=x+3的图象。

（二）预习思考1、二次函数的图象是什么？2、二次函数y ax =2的对称轴是什么？顶点是什么？它的开口方向？ （三）探索图像性质1、动手画一画二次函数2y x =的图象 x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2y x =…941149…（2） 描点（3） 连线（注：连线时要用圆滑的曲线顺次连接各点） (二次函数2y x =的图象如图1所示） 2、看图填空（1）从图象可以看出,二次函数2y x =的图象是一（ 图1 ）条 ，这条曲线叫做 。

（2）从图象可以看出，这抛物线的开口向 ，关于 对称，抛物线与对称轴的交点为 ，我们把这个交点叫做 ，这交点是抛物线的最 （高或低）点。

实际上，所有二次函数的图像都是抛物线，它们都是轴对称图形，它们的开口或者向上或者向下.顶点是抛物线的最高点或最低点。

3、预习并思考（1）填表，把课本例1的二个表填完。

（2）二次函数图象的开口大小是否都一样？开口大小与什么有关？ （3）二次函数图象的开口方向是否都一样？开口方向与什么有关？ 4、例题讲解先填表，再在同一直角坐标系中，画出函数212y x =和22y x =的图象； 解：（1）列表x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 (212)y x =… 4．5 2 0．5 0 0．5 2 4．5 … 22y x =…18822818…（2）描点（3）连线（如图2所示） 看图并回答问题：函数212y x =，22y x =的图象与函 数2y x =的图象相比，回答下面问题：这三个函数的a 0，它们的图象开口向 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点，对称轴是 ，除顶点外,图像都在x 轴 （上或下）方，开口大小 ，a 越大，抛物线的开口 ，反之，a 越小，抛物线的开口 。

《二次函数y=ax2的图象和性质》教学设计一、教学目标1．了解二次函数的图象是一条抛物线；会画二次函数y =ax 2的图象． 2．掌握二次函数y =ax 2的性质，并会灵活应用．二、教学重点及难点重点：1．探索二次函数2ax y =的性质；2．能运用二次函数2ax y =的图象和性质解决简单的实际问题． 难点：1．用描点法画出二次函数y =ax 2的图象； 2．探索二次函数y =ax 2的性质．三、教学用具多媒体课件，三角板或直尺。

四、相关资源《一次函数图象与性质研究过程》动画，《函数y =x 2的图象画法》动画，《函数y =0.5x 2，y =2x 2的图象》图片，《函数222122y x y x y x =-=-=-，，的图象》图片。

五、教学过程【温故知新】1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？师生活动：教师用多媒体出示问题，学生集体回答．小结：先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质． 2．我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？师生活动：学生独立思考，回答问题．教师重点关注：学生能否联想到研究一次函数性质的方法——从特殊到一般的，分类的思想．小结：可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象．3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？师生活动：教师先出示第一个问题，学生一起回答，然后抛出第二个问题，引出本节课的课题．设计意图：通过设置疑问：二次函数的图象是什么？激发学生的探究欲望，为下面的探究开个好头．【合作探究】1．画二次函数2y x =的图象．师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，先由学生说出x 对应的y 值，再描点、连线．教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接．解：（1）列表：在x 的取值范围内列出函数的对应值表：（2）描点：在直角坐标系中描点，用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数2y x =的图象，如图所示．2．思考：观察这个函数的图象，它有什么特征？请把你的发现说出来．师生活动：让学生观察师生所画的图象，小组交流，思考、讨论．小组代表汇报讨论结果，教师聆听，给出抛物线、顶点的概念．并说明：二次函数2x y =的图象是一条抛物线，实际上，二次函数的图象都是抛物线．结论：图象有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．抛物线：像2y x =这样的曲线通常叫做抛物线．顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．设计意图：通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中，注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习2y ax =的图象奠定基础．【例题分析】例 在同一直角坐标系中，画出函数22122y x y x ==，的图象． 师生活动：学生尝试自己动手画图，教师巡查，关注学生列表所取的值是否正确，连线是否用平滑曲线．解：列两个表：分别描点画图：设计意图：在合作探究画图的基础上，学生独立完成作图，通过列表、描点、连线再一次印证这节课的知识目标．【探讨性质】 1．思考：（1）函数22122y x y x ==，的图象与2y x =的图象相比，有什么共同点和不同点？在同一个坐标系中画出三个函数的图象． 师生活动：学生讨论后回答，教师点拨． 小结：相同点：开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点． 不同点：a 越大，抛物线的开口越小．（2）当a ＞0时，二次函数2y ax =的图象有什么特点？师生活动：一名学生回答，其他学生订正，学生不知道的地方教师补充．归纳：一般地，当a ＞0时，抛物线2y ax =的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小．2．探究：（1）在同一直角坐标系中，画出函数222122y x y x y x =-=-=-，，的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．师生活动：教师利用多媒体出示函数222122y x y x y x =-=-=-，，的图象，学生观察图象，交流、讨论并回答问题．结论：（1）相同点：开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点． 不同点：a 越小，抛物线的开口越小．（2）当a ＜0时，二次函数2y ax =的图象有什么特点？师生活动：一名学生回答，其他学生订正，学生不知道的地方教师补充．结论：一般地，当a ＜0时，抛物线2y ax =的开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小．3．通过思考和探讨，你能总结出二次函数2y ax =的性质吗？ 师生活动：师生一起总结二次函数2y ax =的性质．归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线2y ax =，|a |越大，抛物线的开口越小．从二次函数2y ax =的图象可以看出：如果a ＞0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．设计意图：让学生从“形”直观地了解性质，从“式”来加以分析、解释性质，最终归纳出2y ax =的图象和性质．【练习巩固】 1．抛物线213y x =不具有的性质是（ ）． A ．对称轴是y 轴B ．开口向上C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．有最高点2．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的关系式是：①y =ax 2；②y =bx 2；③y =cx 2；④y =dx 2，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）．A ．a ＞b ＞c ＞dB ．a ＞b ＞d ＞cC ．b ＞a ＞c ＞dD ．b ＞a ＞d ＞c 3．（1）抛物线y =－5x 2，当x = 时，y 有最 值，是 ． （2）当m = 时，函数y =mm x m --2)1(是二次函数，且图象开口向上．4．已知抛物线212y x =-上的两点1122()()x y x y ，，，，其中120x x ＜＜，则1y 与2y 的大小关系是 ．5．求下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1）213y x =；（2）214y x =-；（3）23y x =；（4）24y x =-． 设计意图：考查了二次函数2y ax =的图象和性质的理解和掌握． 参考答案1．D 2．A 3．（1）0 大 0 （2）2 4．12y y ＜ 5．解：（1）在函数213y x =中，因为13＞0， 所以抛物线213y x =的开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）． （2）在函数214y x =-中，因为14-＜0，所以抛物线214y x =-的开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）．（3）在函数23y x =中，因为3＞0，所以抛物线23y x =的开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）．（4）在函数24y x =-中，因为－4＜0，所以抛物线24y x =-的开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）． 设计意图：考查对二次函数2y ax =的性质的理解和掌握．六、课堂小结1．二次函数作图的三个步骤 ①列表；②描点；③连线． 2．二次函数2y ax =的性质一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线2y ax =，|a |越大，抛物线的开口越小．从二次函数2y ax =的图象可以看出：如果a ＞0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．设计意图：梳理本节课的主要知识点，让学生明确重点、难点．七、板书设计22.1 二次函数的图象和性质——22.1.2 二次函数y =ax 2的图象和性质1．画二次函数y =ax 2图象步骤 2．二次函数y =ax 2的图象 3．二次函数y =ax 2的性质。

《6.1.2二次函数2y ax =的图象》教案授课教师：王志枢 教材：人教版九年级数学下册工作单位：高要市河台镇河台初级中学一、教学目标1、进一步熟悉描点法画函数图像的过程；2、把函数解析式和图象结合起来，让学生学会观察、归纳、概括函数的性质；3、掌握y ax =2 型二次函数图像的特征； 二、教学重点与难点教学重点：y ax =2型二次函数图像和图像特征的归纳。

教学难点：画函数图像，并总结性质。

三、教学方法与手段自主探究式 引导发现法 实践比较法 运用多媒体 四、教学过程 （一） 回顾知识1、正比例函数y=2x 的图象是 ;一次函数y=x+3的图象是 ;反比例函数3y x=的图象是 .2、画函数图象的步骤是 、 、 ；动手画一画一次函数y=x+3的图象。

（二）预习思考1、二次函数的图象是什么？2、二次函数y ax =2的对称轴是什么？顶点是什么？它的开口方向？ （三）探索图像性质1、动手画一画二次函数2y x =的图象 x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2y x =…941149…（2） 描点（3） 连线（注：连线时要用圆滑的曲线顺次连接各点） (二次函数2y x =的图象如图1所示） 2、看图填空（1）从图象可以看出,二次函数2y x =的图象是一 条 ，这条曲线叫做 。

（ 图1 ）（2）从图象可以看出，这抛物线的开口向 ，关于 对称，抛物线与对称轴的交点为 ，我们把这个交点叫做 ，这交点是抛物线的最 （高或低）点。

实际上，所有二次函数的图像都是抛物线，它们都是轴对称图形，它们的开口或者向上或者向下.顶点是抛物线的最高点或最低点。

3、预习并思考（1）填表，把课本例1的二个表填完。

（2）二次函数图象的开口大小是否都一样？开口大小与什么有关？ （3）二次函数图象的开口方向是否都一样？开口方向与什么有关？ 4、例题讲解先填表，再在同一直角坐标系中，画出函数212y x =和22y x =的图象； 解：（1）列表x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 (212)y x =… 4．5 2 0．5 0 0．5 2 4．5 … 22y x =…18822818…（2）描点（3）连线（如图2所示） 看图并回答问题：函数212y x =，22y x =的图象与函 数2y x =的图象相比，回答下面问题：这三个函数的a 0，它们的图象开口向 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点，对称轴是 ，除顶点外,图像都在x 轴 （上或下）方，开口大小 ，a 越大，抛物线的开口 ，反之，a 越小，抛物线的开口 。