成才之路·人教A版数学选修2-2 1.7 备选

第三章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2014·浙江理，2)已知i 是虚数单位，a 、b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算，当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i ，则a 2－b 2＝0,2ab ＝1，解a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝－1，故a ＝1，b ＝1是(a ＋b i)2＝2i 的充分不必要条件，选A.2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z －2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B ．43C ．－43D ．－34[答案] A[解析] z 1·z －2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z －2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.因此选A.3．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20131＋i，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] A[解析] ∵i n＝⎩⎪⎨⎪⎧i n ＝4k ＋1，－1 n ＝4k ＋2，－i n ＝4k ＋3，1 n ＝4k ，k ∈Z ，∴i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2013＝503×(i ＋i 2＋i 3＋i 4)＋i 2013＝503×0＋i ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2，在复平面内的对应点(12，12)在第一象限．4．(2014·东北三省三校联考)已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D ．12－32i[答案] D[解析] 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋(－12)2＋(32)2＝12－32i. 5．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] B[解析] θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4时， sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故对应点(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)在第二象限．[点评] 由于θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4时，据选项知，此复数对应点只能在某一象限，∴取θ＝π检验知，对应点在第二象限．6．已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2为实数，则实数m 的值为( )A.83 B ．32C ．－83D ．－32[答案] D [解析]z 1z 2＝m ＋2i 3－4i ＝(m ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3m －8＋(6＋4m )i25为实数，所以6＋4m ＝0⇒m ＝－32，故选D.7．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6 B ．π4C.π3 D ．π2[答案] D [解析]∵z 2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos2θ＝－1，sin2θ＝0. ∴2θ＝2k π＋π (k ∈Z )， ∴θ＝k π＋π2.令k ＝0知，D 正确．8．若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，则实数m 等于( ) A.112 B ．112iC ．－112D ．－112i[答案] A[解析] 设方程的实数根为x ＝a (a 为实数)， 则a 2＋(1＋2i)·a ＋3m ＋i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，∴⎩⎨⎧a ＝－12，m ＝112.故选A.9．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B ．33C.12 D ． 3[答案] D[解析] 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤yx≤ 3.10．(2014·河北衡水中学模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 当a ＝1时，1＋i 1－i ＝(1＋i )22＝i 为纯虚数．当a ＋i a －i ＝(a ＋i )2a 2＋1＝a 2－1＋2a ia 2＋1为纯虚数时， a 2＝1即a ＝±1，故选A.11．已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋x i(其中i 为虚数单位，x ∈R )，若复数ab ∈R ，则实数x的值为( )A ．－6B ．6 C.83 D ．－83[答案] C[解析] a b ＝3＋2i 4＋x i ＝(3＋2i )(4－x i )16＋x 2＝12＋2x 16＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3x 16＋x 2·i ∈R ，∴8－3x 16＋x 2＝0，∴x ＝83. 12．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数[答案] C[解析] ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0， ∴z 对应的点在实轴的上方． 又∵z 与z 对应的点关于实轴对称． ∴C 项正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知x ＋1x ＝－1，则x 2014＋1x 2014的值为________．[答案] －1[解析] ∵x ＋1x ＝－1，∴x 2＋x ＋1＝0.∴x ＝－12±32i ，∴x 3＝1.∵2014＝3×671＋1，∴x 2014＝x ， ∴x 2014＋1x 2014＝x ＋1x＝－1.14．已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，则复数z 1·z 2的实部是________ [答案] cos(α＋β)[解析] z 1·z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β) cos αcos β－sin αsin β＋(cos αsin β＋sin αcos β)i ＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i 故z 1·z 2的实部为cos(α＋β)．15．若(3－10i)y ＋(－2＋i)x ＝1－9i ，则实数x 、y 的值分别为________． [答案] x ＝1，y ＝1 [解析] 原式可以化为 (3y －2x )＋(x －10y )i ＝1－9i ， 根据复数相等的充要条件，有⎩⎪⎨⎪⎧ 3y －2x ＝1，x －10y ＝－9.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.16．设θ∈[0,2π]，当θ＝________时，z ＝1＋sin θ＋i(cos θ－sin θ)是实数． [答案] π4或54π[解析] 本题主要考查复数的概念．z 为实数，则cos θ＝sin θ，即tan θ＝1.因为θ∈[0,2π]， 所以θ＝π4或54π.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2014·郑州网校期中联考)已知复数z ＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i.(1)当实数m 取什么值时，复数z 是：①实数；②纯虚数； (2)当m ＝0时，化简z 2z ＋5＋2i.[解析] (1)①当m 2－3m ＋2＝0时，即m ＝1或m ＝2时，复数z 为实数．②若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0，m 2－3m ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12或m ＝2，m ≠1且m ≠2，∴m ＝－12.即m ＝－12时，复数z 为纯虚数．(2)当m ＝0时，z ＝－2＋2i ，z 2z ＋5＋2i ＝－8i 3＋4i＝－8i (3－4i )25＝－3225－2425i.18．(本题满分12分)已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R )是复数4－20i 的共轭复数，求实数x 的值．[解析] 因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2＝4， ①x 2－3x ＋2＝20. ② 方程①的解为x ＝－3或x ＝2. 方程②的解为x ＝－3或x ＝6. 所以实数x 的值为－3.19．(本题满分12分)(2014·洛阳市高二期中)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z －＝1，求z ；(2)已知复数z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值．[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1.解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b ＝－32. ∴z ＝12－32i.(2)z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意，m 2－m －6＝0，解得m ＝3或－2.∵2m 2－5m －3≠0.∴m ≠3. ∴m ＝－2.20．(本题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z ＜0，求z .[解析] 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③由①②③得 ⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.21．(本题满分12分)满足z ＋5z 是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ，若不存在，请说明理由．[解析] 存在．设虚数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R ，且y ≠0)． z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i.由已知得⎩⎨⎧y －5yx 2＋y2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件．22．(本题满分14分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率； (2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a ≤4，b ≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3.依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.1．设z 的共轭复数为z －，若z ＋z －＝4，z ·z －＝8，则z －z 等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i[答案] D[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧ z ＝2＋2i ，z －＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z －＝2＋2i.所以z －z ＝2－2i 2＋2i ＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＝－2i 2＝－i ，或z －z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ， 所以z－z＝±i.2．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] z ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]，其实部为15(m －4)，虚部为－25(m ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ m －4>0，－2(m ＋1)>0.得⎩⎪⎨⎪⎧m >4，m <－1.此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．3．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] z ＝(1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a )i ，所以复数z 在复平面内对应的点M 的坐标为(a ＋2,1－2a )，所以点M 在第四象限的充要条件是a ＋2>0且1－2a <0，解得a >12，故选C.4．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )．(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值． [解析] (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1＋m )<0， ①log 12(3－m )<0， ②解①得－1<m <0. 解②得m <2.故不等式组的解集为{x |－1<m <0}， 因此m 的取值范围是{x |－1<m <0}．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，百度文库 - 让每个人平等地提升自我！11 整理得log 2(1＋m )(3－m )＝1.从而(1＋m )(3－m )＝2，即m 2－2m －1＝0，解得m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0. 故m ＝1±2.5．设z 1、z 2∈C ，A ＝z 1·z －2＋z －1·z 2，B ＝z 1·z －1＋z 2·z －2，问A 与B 是否可以比较大小？为什么？[解析] 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a 、b 、c 、d ∈R )，则z －1＝a －b i ，z －2＝c －d i ， ∴A ＝z 1·z 2＋z 2·z －1＝(a ＋b i)(c －d i)＋(c ＋d i)(a －b i)＝ac －ad i ＋bc i －bd i 2＋ac －bc i ＋ad i －bd i 2＝2ac ＋2bd ∈R ，B ＝z 1·z －1＋z 2·z －2＝(a ＋bi )(a －bi )＋(c ＋di )(c －di )＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2∈R ， ∴A 与B 可以比较大小．。

第一、二章综合素质检测时间 120 分钟，满分 150 分。

一、选择题 (本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中只有一个是切合题目要求的)1．命题“△ ABC 是等腰直角三角形”的形式是导学号 33780653 ()A． p∨ q B ． p∧ qC． ?p D．以上都不对[答案 ]B[分析 ]△ABC 是等腰直角三角形是由△ABC 是等腰三角形与△ABC 是直角三角形用“且”联络而成，是 p∧ q 命题．2．设命题甲为： 0<x<5 ，命题乙为： |x－ 2|<3，那么甲是乙的导学号 33780654 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件[答案 ]A[分析 ]解不等式 |x－2|<3 得－ 1<x<5 ，∵0<x<5 ? － 1<x<5 但－ 1<x<5 ?/ 0<x<5 ，∴甲是乙的充足不用要条件，应选A.3．若抛物线 y2＝ 8x 上的点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离为 3，则 |y0|等于导学号 33780655 ()A. 2B．2 2C． 2D． 4[答案 ]B[分析 ]过点 P 作抛物线的准线 l 的垂线， P1为垂足，则 |PF|＝ |PP1|＝ x0＋p＝ x0＋ 2＝ 3，2所以 x0＝ 1，于是 |y0|＝ 22x0＝ 2 2.4．命题 p：若 a·b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角；命题q：若函数 f(x) 在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则 f(x) 在 (－∞，＋∞)上是减函数．以下说法中正确的选项是导学号 33780656 ()A．“p或 q”是真命题 B ．“p或 q”是假命题C． ?p 为假命题D． ?q 为假命题[答案]B[分析 ]当 a ·b>0 时， a 与 b 的夹角为锐角或零度角，－ x ＋ 1，x ≤0∴命题 p 是假命题；命题q 是假命题，比如 f(x) ＝，所以 “p 或 q ”是假命－ x ＋ 2， x>0题，选 B.5．命题 “若 a>－3，则 a>－6”以及它的抗命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为导学号 33780657 ()A ． 1B ．2C ． 3D ． 4[答案 ] B[分析 ]原命题和它的逆否命题为真．6．已知椭圆 x 2＋ my 2＝ 1 的离心率 e ∈ ( 1，1)，则实数 m 的取值范围是 导学号 337806582()34A ． (0， )B ．( ，＋ ∞)43 3 43 4C ． (0， )∪ (，＋ ∞)D ． ( ， 1)∪ (1， )4343[答案 ] C[分析 ]222y 2 ＝1. 1b 2 3.当椭圆的焦点在 x椭圆 x ＋ my ＝ 1 的标准方程为 x ＋<e<1 ，即 0< 2<1 2 a 4m轴上时， a 2 ＝ 1，b 2＝ 1 ， m>4；当椭圆的焦点在 y 轴上时， a 2＝ 1，b 2＝ 1，则 0<m< 3.所以实m 3m4数 m 的取值范围是 0<m<34或 m>43.7．已知命题 p ： ? x ∈ R ， x 2＋ 1<2x ；命题 q ：若 mx 2－ mx － 1<0 恒建立，则－ 4<m<0 ，那么 导学号 33780659 ( )A ． “ ?p 是”假命题B ．q 是真命题C ． “p 或 q ”为假命题D ． “p 且 q ”为真命题 [答案 ] C[分析 ]由于 x 2＋ 1<2x ，即 x 2－ 2x ＋ 1<0，也即 (x －1) 2<0，所以命题 p 为假；若 mx 2－mx － 1<0 恒建立，则一定m<0，则－ 4<m ≤0，所以命题 q 为假，应选m ＝ 0 或＝ m 2＋ 4m<0C.8．设椭圆 C 1 的离心率为 5，焦点在 x 轴上且长轴长为26.若曲线 C 2 上的点到椭圆C 113的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 C 2 的标准方程为 导学号 33780660 ()x 2 y 2x 2y 2 A.42－ 32＝ 1B ．132－ 52＝ 1x 2 y 2x 2y 2C.32－ 42＝ 1 D ． 132－ 122＝ 1[答案 ] A[分析 ]对于椭圆 C 1 ，∵长轴长 2a 1＝26，∴ a 1＝ 13，又离心率 e 1＝c 1＝ 5，∴ c 1＝5.由a 1 13题意知曲线 C 2 为双曲线，且与椭圆 C 1 同焦点，∴ c 2＝ 5，又 2a 2＝ 8，∴ a 2＝ 4，b 2 ＝ c 22－ a 22＝ 3，又焦点在 x 轴上，22∴曲线 C2的标准方程为x2 y2＝ 1.4 －329．如图， F 1 、 F 2 是椭圆 C 1： x＋ y 2＝ 1 与双曲线C 2 的公共焦点， A 、 B 分别是 C 1、 C 24在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1 BF 2 为矩形，则 C 2 的离心率是 导学号 33780661( )A. 2B ． 33 6C.2 D ． 2[答案 ]Dx 2y 2[分析 ]不如设双曲线方程为a 2－b 2＝ 1.22－ 2|BF 1| |BF · 2，①由题意知 |BF 1|－ |BF 2|＝ 2a? |BF 1| ＋ |BF 2| 2|＝ 4a 并由勾股定理得 |BF 1 |2＋ |BF 2|2＝ 4c 2＝ 12，②由①②知 12－4a 2＝2|BF 1| |BF · 2 |，∴ |BF 1| ·|BF 2|＝ 6－ 2a 2.下边求 |BF 1| ·|BF 2|的值．在椭圆中 |BF 1 |＋ |BF 2|＝ 4，故 |BF 1|2＋ |BF 2|2＋2|BF 1| |BF · 2|＝ 16，22＝4c 2＝12，又由②知 |BF 1| ＋ |BF 2| ∴ |BF 1| ·|BF 2|＝ 2，所以有 c 2－ a 2＝ 1，22＝ 2，∴ C 2 的离心率 c ＝6 ∵ c＝ 3，∴ a e ＝ 2.a10．以下说法不正确的选项是导学号 33780662 ()A ． “? x 0∈ R ， x 20－ x 0－ 1<0”的否认是 “? x ∈ R ， x 2－ x － 1≥0”B ．命题 “若 x>0 且 y>0，则 x ＋ y>0 ”的否命题是假命题C ． “? a ∈R ，使方程 2x 2＋ x ＋ a ＝ 0 的两根 x 1、x 2 知足 x 1<1<x 2”和 “函数 f(x) ＝ log 2(ax －1)在 [1,2] 上单一递加 ”都为真D ．△ ABC 中， A 是最大角， 则 sin 2B ＋ sin 2C<sin 2A 是△ ABC 为钝角三角形的充要条件 [答案 ] C[分析 ]由于 2x 2＋ x ＋ a ＝ 0 的两根 x 1、 x 2，∴函数 f(x) ＝ log 2(ax －1)在 [1,2] 上单一增为假，知足 x 1<1<x 2 的充要条件是 2＋ 1＋ a<0，∴ a<－ 3，当 a<－ 3 时，函数 f(x) ＝log 2(ax －1) 在 [1,2] 上无心义．∴ “? a ∈ R 使方程 2x 2＋ x ＋ a ＝ 0 的两根 x 1 ，x 2 知足 x 1<1<x 2”为真，应选 C.11．已知点 F 为抛物线 y 2＝－ 8x 的焦点， O 为坐标原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且 |AF|＝ 4，则 |PA|＋ |PO|的最小值为 导学号 33780663 ()A ． 6B ．2＋4 2C ． 2 13D ．4＋2 5[答案 ]C[分析 ]设点 A 的坐标为 (x 1， y 1)，由已知得－ x 1＋ 2＝ |AF|＝ 4，则 x 1＝－ 2， y 12 ＝－ 8x 1＝ 16，取 y 1＝4，得 A( － 2， 4) ．设点 O 对于准线 x ＝ 2 的对称点为 B ，则 B(4,0) ，连结 AB交准线于一点， 则该点就是知足要求的使 |PA|＋ |PO|获得最小值的点 P ，此时 |AB| ＝ 2 13，即|PA|＋ |PO|的最小值为 2 13.12．已知双曲线 E 的中心为原点， F(3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 订交于 A 、B两点，且 AB 的中点为 N( － 12，－ 15)，则 E 的方程为 导学号 33780664 ()x 2 y 2x 2 y 2A. 3－ 6 ＝ 1B ． 4－ 5 ＝ 1C.x2222－y＝ 1D ． x－ y＝ 16 3 5 4[答案 ] Bx 2y 222[分析 ]22c ＝3， a ＋ b ＝ 9，设 A(x ，设双曲线的方程为 a － b ＝ 1(a>0， b>0) ，由题意知122x 1y 12 － 2＝121＋x 22y 1) ，B(x 2 ，y 2 )则有： a by 1 － y 2 b4bx 22y 22 ，两式作差得： x 1－ x 2＝ a 21＋ y2＝5a 2，又 AB 的斜2－ 2＝1ab－ 15－0x 2率是＝ 1，所以 b 2＝5a 2，代入 a 2＋b 2＝ 9 得，a 2＝ 4，b 2 ＝5，所以双曲线标准方程是－ 12－3442－ y5 ＝ 1，应选 B.二、填空题 (本大题共 4 个小题，每题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上 )13．写出命题 “若方程 ax 2－ bx ＋ c ＝ 0 的两根均大于0，则 ac>0”的一个等价命题是____________________________________. 导学号 33780665[答案 ]若 ac ≤0，则方程 ax 2－ bx ＋ c ＝ 0 的两根不全大于 0.14 ． 过 点 P(0,4)与 抛 物 线 y 2 ＝ 2x只有一个公共点的直线有________条 . 导学号 33780666[答案 ] 3[分析 ]作出抛物线 y 2＝ 2x 的图形如图，能够看出点P 在 y 轴上，由图中看出过点 P有 3 条直线与抛物线只有一个公共点．此中包含y 轴 (斜率不存在的切线 )，过点 P 与 x 轴平行的直线以及过点 P 与抛物线相切的斜率存在一条直线．15．设 p ：方程 x 2＋2mx ＋ 1＝ 0 有两个不相等的正根； q ：方程 x 2＋ 2(m － 2)x －3m ＋ 10＝ 0 无实根，则使 p ∨ q 为真，p ∧ q 为假的实数 m 的取值范围是 ________. 导学号 33780667 [答案 ](－ ∞，－ 2]∪ [－1,3)[分析 ]对于方程x 2＋ 2mx ＋1＝ 0 有两个不等正根，＝4m 2－4>0∴，∴ m< － 1，－ 2m>0方程 x 2＋ 2(m － 2)x － 3m ＋ 10＝ 0 无实根，＝ 4(m － 2)2－ 4(－ 3m ＋ 10)<0，∴－ 2<m<3，若 p 真 q 假，则 m ≤－ 2；若 p 假 q 真，则－ 1≤m<3.x 2 y 216． (2016 北·京理， 13)双曲线 a 2－ b 2 ＝ 1(a>0， b>0) 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA ，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2 ，则 a ＝________. 导学号 33780668[答案 ]22 2[分析 ]双曲线 x 2 － y 2 ba b ＝ 1 的渐近线方程为＝± x ，由已知可得两条渐近线方程相互垂a直，由双曲线的对称性可得b＝ 1.又正方形 OABC 的边长为 2，所以 c ＝ 2 2，所以 a 2＋ b 2 ＝ac 2＝(2 2)2，解得 a ＝ 2.三、解答题 (本大题共 6 个大题， 共 74 分，解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤 )17． (本小题满分 12 分 )判断以下命题的真假： 导学号 33780669(1) 若“自然数 a 能被 6 整除，则 a 能被 2 整除 ”的抗命题；(2) 若“ 0<x<5 ，则 |x － 2|<3 ”的否命题及逆否命题；(3)命题 “若不等式 (a － 2)x 2＋ 2(a － 2) ·x － 4<0 对全部 x ∈R 恒建立，则a ∈ (－ 2,2) ”及其逆命题．[分析 ] (1)抗命题：若自然数 a 能被 2 整除，则 a 能被 6 整除．抗命题为假． 反例：2,4,14,22等都不可以被 6 整除．1 1 5(2)否命题：若 x ≤0或 x ≥5，则 |x － 2| ≥ 否3.命题为假．反例： x ＝－ 2≤0，但 |－ 2－ 2|＝ 2<3.逆否命题：若 |x － 2| ≥3，则 x ≤0或 x ≥5逆.否命题为真， |x － 2| ≥3?x ≥5或 x ≤－ 1.(3)原命题为假． 由于 (a － 2)x 2＋2(a －2)x － 4<0 ，当 a ＝ 2 时，变成－ 4<0 ，也知足条件． 逆命题：若 a ∈ (－ 2，2)，则不等式 (a － 2)x 2＋ 2(a － 2)x － 4<0 对全部 x ∈ R 恒建立．抗命题为真，由于当 a ∈ (－2,2)时，<0，且 a － 2<0.18． (本小题满分 12 分 )已知三点 P(5,2)、 F 1(－ 6,0)、 F 2(6， 0). 导学号 33780670 (1)求以 F 1 、 F 2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；、 F 对于直线 y ＝ x 的对称点分别为 P ′、 F ′、 F ′，求以 F ′、 F ′为焦点过(2)设点 P 、F 1 21212点 P ′的双曲线的标准方程．[分析 ] (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为x 2 y 22 ＋ 2＝ 1(a>b>0) ，则 c ＝ 6,2a ＝ |PF 1|＋ab|PF 2|＝ 112＋ 22＋－2＋ 22＝ 6 5，所以 a ＝ 3 5， b 2＝ a 2－ c 2＝ 45－ 36＝ 9.x 2＋ y2故所求椭圆的标准方程为＝ 1.45 9(2)点 P(5,2)、F 1(－ 6,0)、F 2(6,0)对于直线 y ＝ x 的对称点分别为 P ′ (2,5)、F ′1(0，－6) 、F ′2(0,6)．2 2设所求双曲线的标准方程为y 2－ x2＝ 1(a ＝ 6,2a ＝||P ′F ′a 1 1>0，b 1>0)，由题意知， c11－|P ′2||F ′b 1＝ | 22＋ 112－ 22＋－2 |＝ 45，所以 a 1＝ 2 5， b 12＝ c 12－ a 12＝ 36－20＝ 16.22yx故所求双曲线的标准方程为－＝1.19． (本小题满分 12 分 )已知 a>0 设命题 p ：函数 y ＝ ( 1 )x为增函数．命题 q ：当 x ∈ [ 1，a2 2] 时函数 f(x) ＝ x ＋ 1 >1恒建立．假如p ∨ q 为真命题， p ∧ q 为假命题，求a 的范x a围 . 导学号 33780671[分析 ]当 y ＝ ( 1)x为增函数，得 0<a<1.a当 x ∈[1， 2]时，由于 f(x) 在 [1， 1]上为减函数，在 [1,2] 上为增函数．2 2∴ f(x) 在 x ∈ [1，2] 上最小值为 f(1) ＝ 2.2当 x ∈[12， 2]时，由函数 f(x) ＝x ＋ 1x >1a 恒建立．1 1 得 2> 解得 a> .a 2假如 p 真且 q 假，则1 0<a ≤ ；2假如 p 假且 q 真，则 a ≥1.所以 a 的取值范围为 (0， 1]∪ [1，＋ ∞)．220．(本小题满分 12 分 )已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ＝ p n＋ q(p ≠0且 p ≠1)，求证：数列 {a n }为等比数列的充要条件为q ＝－ 1. 导学号 33780672[证明 ]充足性：当 q ＝－ 1 时， a 1＝ p － 1，当 n ≥2时， a n ＝S n － S n －1 ＝p n －1(p － 1)，当 n ＝ 1 时也建立．于是a n ＋1 p n－ ＝ p ，即数列 {a n } 为等比数列．a n＝ n －1－p必需性：当 n ＝1 时， a 1＝ S 1 ＝p ＋ q.当 n ≥2时， a n ＝S n － S n －1 ＝p n －1(p － 1)，∵ p ≠0且 p ≠1，∴a n ＋1p n－ ＝p ，a n ＝ p n － 1－∵ {a n } 为等比数列，∴ a 2 ＝ a n ＋1 ＝ p ，即－＝ p ，a 1 a n p ＋ q∴ p －1＝ p ＋ q ，∴ q ＝－ 1.综上所述， q ＝－ 1 是数列 {a n } 为等比数列的充要条件．21． (本小题满分12 分 )若点 O 和点 F(－ 2,0)分别是双曲线x 2 22 － y ＝ 1(a>0) 的中心和左焦a点，点 P 为双曲线右支上的随意一点，求→ →OP ·FP 的取值范围 . 导学号 33780673[分析 ]由于 F(－ 2,0)是双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝ 4，即 a 2 ＝3，所以双曲线方程为22 2→ ＝ (x x－ y 2＝ 1.设点 P(x，y0)(x 0≥ 3)，则x 0－ y 2＝1(x0≥2＝x 0－ 1(x 0≥30 33)，解得 y 033)．由于 FP22＋ 2，y→ ＝ (x ，y→ → ＝ x0(x 0 ＋2)＋ y 2＝ x＋ 2)＋ x 0－ 1＝ 4x 0＋2x 0 －1，此二0)，OP0)，所以 OP ·FP0(x 03 3次函数对应的抛物线的对称轴为3 3，所以当 x 0＝→ →x 0＝－ .由于 x 0≥3时， OP ·FP 获得最小值44→ →的取值范围是 [3＋ 23，＋ ∞)．3×3＋ 2 3－ 1＝3＋ 2 3，故 OP ·FP22． (本小题满分 14 分 )已知椭圆 C ： x 2＋ 2y 2＝ 4. 导学号 33780674(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y ＝ 2 上，且 OA ⊥ OB ，试判断直线AB 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 的地点关系，并证明你的结论．x2＋y 2＝1.[分析 ] (1)由题意，椭圆 C 的标准方程为 42所以 a 2＝4， b 2＝ 2，进而 c 2＝ a 2－ b 2＝ 2，所以 a ＝ 2， c ＝ 2，故椭圆 C 的离心率 e ＝c ＝2a 2.(2)直线 AB 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 相切．证明以下：设点 A ，B 的坐标分别为 (x 0， y 0) ，(t,2) ，此中 x 0≠ 0.→ →0＋2y 0＝ 0，解得 t ＝－2y 0 由于 OA ⊥ OB ，所以 OA ·OB ＝ 0，即 tx.x 0t2当 x 0＝ t 时， y 0＝－ 2，代入椭圆 C 的方程，得 t ＝± 2， 故直线 AB 的方程为 x ＝ ± 2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d ＝ 2，此时直线 AB 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 相切．y 0－2当 x 0≠t 时，直线 AB 的方程为 y － 2＝－ t (x － t) ，x 0即 (y 0－ 2)x － (x 0－ t)y ＋ 2x 0－ ty 0＝ 0.|2x 0－ ty 0|2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d ＝2 ＋ －－又 x 20＋2y 20＝ 4， t ＝－ 2y 0 ，x 02y 022|2x 0＋4＋ x 0|||故 d ＝x 0＝x 0＝ 2.4y 02＋ 8x 02＋ 16 22 x 04x 0＋y 0＋2 ＋ 42x 02x 0此时直线 AB 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 相切．。

选修2-2 1.7 定积分的简单应用一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛a b f (x )d xB.⎠⎛a b g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x[答案] C[解析] 由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )，所以阴影部分的面积为⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .2．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353[答案] C[解析] S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x )d x即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x[答案] C[解析] y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C. 4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( ) A.⎠⎛a b f (x )d xB ．|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD ．以上都不对[答案] C[解析] 当f (x )在[a ，b ]上满足f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x <0，排除A ；当阴影有在x 轴上方也有在x 轴下方时，⎠⎛ab f (x )d x 是两面积之差，排除B ；无论什么情况C 对，故应选C.5．曲线y ＝1－1681x 2与x 轴所围图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D.52[答案] B[解析] 曲线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，0故应选B.6．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m[答案] B[解析] S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 30＝33＋32＝36(m)，故应选B.7．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14 C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112.8．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J[答案] D[解析] 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2[答案] D [解析] ⎠⎛3636tdt ＝66t | 63＝6－32，故应选D.10．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax[答案] B[解析] 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x 2－2ax 得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2) 图形面积S ＝∫2a ＋k[kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k 0 ＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )36＝92a 3∴k ＝a ，∴l 的方程为y ＝ax ，故应选B. 二、填空题11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________． [答案] 18[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2xy ＝x －4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S ＝⎠⎛4－2(y ＋4－y 22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则F ′(y )＝y ＋4－y22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．13．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．[答案] 43[解析] 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.14．一变速运动物体的运动速度v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)a t(1≤t ≤2)b t (2≤t ≤e )则该物体在0≤t ≤e 时间段内运动的路程为(速度单位：m/s ，时间单位：s)______________________．[答案] 9－8ln2＋2ln2[解析] ∵0≤t ≤1时，v (t )＝2t ，∴v (1)＝2； 又1≤t ≤2时，v (t )＝a t， ∴v (1)＝a ＝2，v (2)＝a 2＝22＝4； 又2≤t ≤e 时，v (t )＝bt， ∴v (2)＝b2＝4，∴b ＝8.∴路程为S ＝⎠⎛012t d t ＋⎠⎛122td t ＋⎠⎛2e 8td t ＝9－8ln2＋2ln2 .三、解答题15．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积． [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝x 2－2x ＋3解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92.16．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根． ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | －t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | 0－t 即－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t .∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，∴t ＝1－132.17．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度达24m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间． [解析] (1)设A 到C 经过t 1s ， 由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，所以AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2| 200＝240(m)．(2)设从D →B 经过t 2s ， 由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)， 所以DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)． (3)CD ＝7200－2×240＝6720(m)． 从C 到D 的时间为t 3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：(1)切点A 的坐标； (2)过切点A 的切线方程．[解析] 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S ＝S曲边△AOB －S △ABC . S 曲边△AOB ＝∫x 00x 2d x ＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30，即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.。