12.3.1等腰三角形的判定(二)

课题：§12．3．1．2 等腰三角形的判定教学目标（一）知识与技能掌握等腰三角形的判定定理，会用等腰三角形的判定进行简单的推理、判断及应用。

（二）过程与方法探索等腰三角形的判定定理，培养学生观察、证明、建模、创新等的能力。

（三）情感、态度与价值观通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解。

从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力。

教学重难点教学重点探索并证明等腰三角形的判定定理。

教学难点等腰三角形的判定与性质的区别。

教学过程一、提出问题，创设情境师：上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢？生：等腰三角形的两底角相等。

生：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

师：同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题。

二、导入新课师：同学们看下面的问题并讨论：思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。

如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，•能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？A B在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？生：应该能同时赶到出事地点。

因为两艘救生船的速度相同，同时出发，•在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB，所以两船能同时赶到出事地点。

生：我认为能同时赶到O点的位置很重要，也就是∠A如果不等于∠B，•那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点。

师：现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，•那么它们所对的边有什么关系？D CA B生：我想它们所对的边应该相等。

师：为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明。

生：我是运用三角形全等来证明的。

“12.3等腰三角形”重难点剖析丁浩勇（安徽省无为县刘渡中心学校 238341）等腰三角形有着广泛的应用，一定要熟练掌握它的相关知识． 知识点一：等腰三角形的性质【例1】如图1，已知AB AC AD AE ==，．求证：BD CE =． 分析：由于△ABC 和△ADC 是等腰三角形，且它们底边上的高重合，添加辅助线根据“三线合一”容易得出BD CE =．证明：过点A 作BC AM ⊥，垂足为M ．∵AB AC AD AE ==，，BC AM ⊥，∴EM DM CM BM ==,（三线合一）．∴BD CE =． 点拨：等腰三角形的“三线合一”性质是证明线段（或角）相等的一种容易被忽视的方法．本题也可以根据全等三角形来证，但用“三线合一”要简便．知识点二：等腰三角形的判定【例2】如图2，在△ABC 中，AC AB =，BC AD ⊥于点D ，DE ∥AB ． 求证：△EAD 是等腰三角形．分析：由等腰三角形的性质可知21∠=∠，又由DE ∥AB 得32∠=∠，所以31∠=∠，由“等角对等边”得△EAD 是等腰三角形．证明：∵AC AB =，BC AD ⊥，∴21∠=∠（三线合一）． ∵DE ∥AB ，∴32∠=∠．∴31∠=∠． ∴ED EA =，即△EAD 是等腰三角形． 点拨：判定一个三角形是等腰三角形的方法有 （1）等腰三角形的定义； （2）等腰三角形的判定定理；（3）在一个三角形中，如果①一边上的高、②一边上的中线、③一边所对的角平分线，这三个条件中的任意两条线段重合，就可以推出此三角形是等腰三角形．知识点三：等边三角形的性质【例3】已知：如图3，△ABC 是等边三角形，过顶点B 作边AC 的垂线，垂足为D ，E 是BC 延长线上一点，且CDE E ∠=∠．求证：DE DB =．分析：要证DE DB =，只要E DBC ∠=∠即可． 证明：∵△ABC 是等边三角形，且BD ⊥AC ， ∴︒=∠︒=∠30,60DBC ACB ．又∵CDE E ∠=∠，∴︒=∠=∠=∠3021ACB CDE E ．∴E DBC ∠=∠．∴DE DB =．MBDCEA图1图2BCA DE2 3 1ABC D图3E点拨：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形的“三线合一”性质同样适用于等边三角形，且它的顶角平分线分得的两个角都等于︒30．知识点四：等边三角形的判定【例4】已知：如图4，在等边△ABC 中，D 是AC 边上的一点，且21∠=∠，CE BD =． 求证：△ADE 是等边三角形．分析：由ACE ABD ∆≅∆，得︒=∠=∠60BAD CAE ，AE AD =．从而△ADE 是等边三角形．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴︒=∠=60,BAC AC AB ．在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE BD AC AB 21∴ACE ABD ∆≅∆．∴AE AD =，︒=∠=∠60BAD CAE ．∴△ADE 是等边三角形． 点拨：判定三角形是等边三角形时，一般采用 1.一般三角形，找三条边相等或三个角相等； 2.等腰三角形，找一个角为︒60即可．2 1 AECBD图4。

12.3.1等腰三角形（二）一、教学目标知识技能：1、理解掌握等腰三角形的判定定理。

2、运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算。

数学思考：通过实践、观察，证明从直观问题归纳等腰三角形的判定定理，发展学生的推理能力和空间观念。

解决问题：1、通过归纳等腰三角形的判定定理，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。

2、通过运用等腰三角形的判定定理解决有关问题，提高运用知识和技能解决问题的能力。

二、教学重点与难点教学重点等腰三角形的判定定理及其运用。

教学难点等腰三角形的判定定理的证明。

三、教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图提出问题，创设情境提出问题：上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家一起回忆一下，等腰三角形有哪些性质？我们已经学习了等腰三角形的性质，那么满足什么条件我们就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题。

问题：如图，位于海上A、B两处的两艘救生艇接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。

如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？OA B由学生的讨论结果，提出问题，将问题一般化，在一般的三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？给学生作出猜想，用数学语言怎么表达？(并板书)同学们回忆并回答：1、等腰三角形的两底角相等；2、等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

认真听讲并思考小组讨论，有学生认为若OA与OB的长相等，两艘救生船会同时赶到。

学生听到提到边的问题，易猜想到：在三角形中，如果两个角相等，那么它们所对的边相等。

通过回忆上节课已学习的内容，复习与巩固旧知识，为引出课题作铺垫。

引出这节课要学习的方向具体实例引出问题，激起学生的兴趣由学生猜想，并用数学语言表达，有利于培养学生的数学思想与逻辑推理能力。

应用举例，解决问题练练写要求学生小组讨论五分钟，并给出证明过程。

抽取两位同学，展示两种不同的证明方法（1、作平分线AD；2、作BC边上的高）。

第 1第 2页共 4 页课题：12.3.1等腰三角形 （二） 学习目标：1．探索并掌握等腰三角形的判定2．探索并掌握等腰三角形的判定，进一步体验等腰三角形轴对称的特征，发展空间观念. 3．通过对等腰三角形的判定定理的探索让学生体会探究学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的应用，加深对定理的理解. 学习重点：等腰三角形的判定及应用. 学习难点：探索等腰三角形的判定 学法建议：1．一定要熟练掌握等腰三角形的性质，才能很好的去探究等腰三角形的判定. 2．一定要熟练掌握几何符号和中文语言的转化.才能正确的书写证明过程.学习过程：通过推理证明等腰三角形的判定定理，发展学生的推理能力，培养学生分析能力，归纳问题的能力. 【活动一】探究新知1．我们知道等腰三角形的两个底角相等，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边能相等吗？猜想：2.问题1中的题设和结论分别是什么？题设： 结论 3．用数学符号怎样表示2中的题设和结论？题设： 结论 4.5.由此可以归纳总结： （ 简称等角对等边），请用符号语言书写这一结论 【活动二】应用举例，解决问题1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.已知: ∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，A D ∥BC （如右图）,求证：AB=AC2.如图,AC 和BD 相交于点O ，且A B ∥DC,OA=OB 求证：OC=OD . AB CD1 2EBOCAD第 1页共 4 页 第 2页共 4 页3.如图，∠A=36°, ∠DBC=36°, ∠C=72°,分别计算∠1和∠2的度数，并说明图中有那些等腰三角形【活动三】变式训练：1.如图原来是一个等腰三角形△ABC ，其中AB=AC ，现在破损只剩下一条完整的边BC 和一个∠B ，你能帮助回复原样吗？【活动四】综合提高在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 平分∠BAC.求证AC=21AB.【活动五】小结反思本节所学知识：等腰三角形的判定方法.判定一个三角形是等腰三角形的方法： （1） 用等腰三角形的定义判定 （2） 用等腰三角形的判定定理去判定 （3） 用三线合一判定方法归纳：判定一个三角形是等腰三角形，常要进行角的计算，而三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线性质都是角计算和转化的依据，这类问题又常常与等腰三角形的性质紧密联系起来，进行角和线段的计算和证明。

等腰三角形的性质及判定方法等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

在几何学中，等腰三角形有着独特的性质和判定方法。

本文将介绍等腰三角形的性质以及判定方法。

1. 等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边的长度相等的三角形。

根据定义，等腰三角形的两边是等长的，它们被称为等腰三角形的腰，而剩下的边则被称为底边。

2. 等腰三角形的性质（1）等腰三角形的底边上的两个底角相等。

这是等腰三角形最基本的性质之一。

由于底边两边等长，所以两个底角的两边也相等，根据三角形内角和定理，两个底角相等。

（2）等腰三角形的顶角等于180度减去底角的一半。

这个性质可以通过角度和边的关系来推导。

设等腰三角形的两个底角为x度，则顶角为180度减去两个底角的和2x度。

（3）等腰三角形的高线线对称于底边中点的垂直平分线。

等腰三角形的高是从顶点到底边的垂直距离，而底边的中点是由两点确定的垂直平分线。

这两条线通过等腰三角形的顶点，并且垂直于底边。

3. 等腰三角形的判定方法（1）边长判定：如果一个三角形的两边长度相等，则它是一个等腰三角形。

通过测量三角形的两边长度，如果相等，则可以判定为等腰三角形。

（2）角度判定：如果一个三角形的两个底角相等，则它是一个等腰三角形。

通过测量三角形的两个底角，如果相等，则可以判定为等腰三角形。

（3）边角关系判定：如果一个三角形的一边与另外两边的边长比相等，并且底角相等，则它是一个等腰三角形。

通过测量三角形的边长和角度，如果满足该条件，则可判定为等腰三角形。

4. 实际应用等腰三角形在几何学中有着广泛的应用。

例如，在建筑物的设计中，等腰三角形常用于门窗的设计，通过运用等腰三角形的性质，可以确保门窗的开合顺畅和美观。

此外，在数学问题解答中，等腰三角形的性质和判定方法也经常被使用。

例如，在解决几何证明问题时，可以通过利用等腰三角形的性质进行推理和证明。

综上所述，等腰三角形具有底边两个底角相等和顶角等于底角的一半等独特性质。

等腰三角形的性质及判断等腰三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它有着独特的性质和判断方法。

在本文中，我将为大家详细介绍等腰三角形的性质，并提供一些实用的判断方法，帮助同学们更好地理解和应用等腰三角形的知识。

一、等腰三角形的定义和性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下性质：1. 等腰三角形的底边上的两个底角相等。

这是等腰三角形最基本的性质之一。

当两边相等时，两个底角也必然相等。

这一性质可以通过实际测量和角度计算来验证。

2. 等腰三角形的顶角是底角的夹角平分线。

夹角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的线段。

在等腰三角形中，顶角恰好是底角的夹角平分线。

这一性质可以通过角度计算和几何推理来证明。

3. 等腰三角形的两条腰相等。

等腰三角形的两条腰是指两边相等的边，根据定义，等腰三角形的两条腰必然相等。

这一性质可以通过实际测量和边长计算来验证。

二、等腰三角形的判断方法在实际问题中，我们常常需要判断一个三角形是否为等腰三角形。

下面我将介绍一些判断方法，帮助大家快速准确地判断等腰三角形。

1. 通过边长判断如果一个三角形的两边相等，那么它就是等腰三角形。

这是等腰三角形最直观的判断方法。

我们可以通过测量三角形的边长来判断是否为等腰三角形。

2. 通过角度判断如果一个三角形的两个底角相等，那么它就是等腰三角形。

我们可以通过角度计算或者角度关系来判断一个三角形是否为等腰三角形。

3. 通过对称性判断等腰三角形具有对称性，即两条腰关于顶角的夹角平分线对称。

如果一个三角形具有这种对称性，那么它就是等腰三角形。

三、等腰三角形的应用等腰三角形在实际问题中有着广泛的应用。

下面我将举几个例子，来说明等腰三角形的应用。

1. 三角形的面积计算对于一个已知的等腰三角形，我们可以利用等腰三角形的性质来计算其面积。

由于等腰三角形的底边和高相等，我们可以使用面积公式：面积 = 底边 ×高 ÷ 2 来计算等腰三角形的面积。

B CD A 12.3.1等腰三角形（第二课时）学习目标：1、理解等腰三角形的判定方法及应用。

2、通过对等腰三角形的判定方法的探索，体会探索学习的乐趣。

学习重点：等腰三角形的判定方法及其应用学习难点：探索等腰三角形的方法定理学习过程：（一）知识回顾1、等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长为2、等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边分别为3、等腰三角形的一个角为70°，则另外两个角的度数是4、等腰三角形的一个角为120°则另外两个角的度数是5、如图，在△ABC 中，AB=AC ，（1）若AD 平分∠BAC ，那么 、（2）若BD ＝CD ，那么 、（3）若AD ⊥BC,那么 、（二）创设情境，感受新知1、实验猜想如图，将一个长方形纸条进行折叠，叠和部分所成的 三角形有什么特征？它是等腰三角形吗？2、思考：ΔABC 中，当添加一个什么条件时，可以成为等腰三角形？3、提出猜测：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？如图，在△ABC 中，已知∠B=∠C ，说明△ABC 是等腰三角形的理由.归纳：等腰三角形的判定方法： （简称为“ ”） 。

几何语言：因为在△ABC 中， （已知）所以 （ ）即（三）拓展延伸，运用新知1.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD2、如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．3、如图，∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E，求证△CEB是等腰三角形（四）小测1．一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的二倍。

这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图形中共有等腰三角形（）A．2个B．3个C．4个D．5个（第2题）第3题第４题3．如图，△ABC中，AB＝AC，B＝36°，D、E是BC上两点，使∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，则图中等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC与∠ACB的平分线交于D点，∠ADC＝130°，那么∠CAB的大小是（）A．80°B．50°C．40°D．20°（五）作业DCABD CA B。

等腰三角形的性质与判定等腰三角形是初中数学中经常遇到的一个重要概念，它具有一些独特的性质和判定方法。

在本文中，我将为大家详细介绍等腰三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等腰三角形。

一、等腰三角形的性质等腰三角形是指两条边相等的三角形。

它具有以下几个重要的性质：1. 顶角平分线：等腰三角形的顶角平分线也是底边的中线。

这意味着等腰三角形的顶角平分线与底边相等，并且平分线的中点与底边的中点重合。

2. 底角相等：等腰三角形的两个底角是相等的。

这是等腰三角形最基本的性质之一，也是判定一个三角形是否为等腰三角形的重要依据。

3. 高线重合：等腰三角形的两条高线重合于底边中点。

这意味着等腰三角形的两条高线相等，并且它们的交点与底边的中点重合。

二、判定等腰三角形的方法判定一个三角形是否为等腰三角形，我们可以运用以下几种方法：1. 两边相等：如果一个三角形的两边相等，那么它就是一个等腰三角形。

这是最简单的判定方法，只需要比较两条边的长度即可。

2. 底角相等：如果一个三角形的两个底角相等，那么它就是一个等腰三角形。

这个方法也比较简单，只需要用量角器或直尺测量两个角的度数即可。

3. 顶角平分线：如果一个三角形的顶角平分线与底边的中线重合，那么它就是一个等腰三角形。

这个方法需要用到直尺和量角器，先画出顶角平分线，再测量底边中线的长度，如果两者重合，就可以判定为等腰三角形。

三、实际应用等腰三角形在现实生活中有许多实际应用。

例如，在建筑设计中，我们经常会遇到等腰三角形的形状，比如屋顶的斜面。

通过了解等腰三角形的性质和判定方法，我们可以更好地理解和应用这些形状。

此外，等腰三角形还与数学中的其他概念有着密切的联系。

例如，等腰三角形的顶角平分线与底边的中线重合这一性质，与中位线的性质有着相似之处。

通过比较和分析这些概念之间的关系，我们可以更深入地理解数学知识。

总结：等腰三角形是初中数学中的重要概念，它具有独特的性质和判定方法。