3 剪切和扭转

称为横截面的 极惯性矩 Mt
令
Ip 2 d A
A
得
dj M t d x GI p
dA O
dA
39
3.4 等直圆杆扭转时的应力
dj M t d x GI p dj G dx
Mt G GI p
Mt Ip
等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式 Mt O
同样适用于空心圆截面杆受扭的情形

Mt O
max
d
Mt Ip
max

D
max
Mt Wp
42
3.4 等直圆杆扭转时的应力
（4）圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp 实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(

4
7
3.1 剪切
(2) 挤压强度计算 在假定计算中，连接件与被连接件之间的挤压应力是按 某些假定进行计算的。
对于螺栓连接和铆钉连接，挤压面是半个圆柱形面（图
b），挤压面上挤压应力沿半圆周的变化如图c所示，而最大 挤压应力Jy的值大致等于把挤压力Pjy除以实际挤压面（接触 面）在直径面上的投影。
8
3.1 剪切
所有纵向线发生倾斜且倾斜程度相同。
——横截面上有与圆周相切的切应力且沿圆筒周向均匀分 布
18
3.2 薄壁圆筒的扭转
剪切虎克定律
薄壁圆筒横截面上应力的分布规律分析：
T

A B D C
T
j
A1 A B
D1 D D1' D' B1 C C' n C1 C1'
1.横截面上无正应力； 2.只有与圆周相切的切应力，且沿圆 筒周向均匀分布；
24
3.3
外力偶矩、扭矩图
{ }rad {M e }Nm 10 3 {t}s {M e }Nm {M e }Nm 2 π {n}r
因此，外力偶Me每秒钟所作功，即该轮所传递的功率
{P}kw
rad s 103
min
60
10 3
因此，在已知传动轴的转速n(亦即传动轴上每个轮的转速)和主动轮或从 动轮所传递的功率P之后，即可由下式计算作用于每一轮上的外力偶矩：
r j l
即
jr / l
16
3.2 薄壁圆筒的扭转
剪切虎克定律
薄壁圆筒受扭时变形情况：
17
3.2 薄壁圆筒的扭转
剪切虎克定律
表面变形特点及分析：
T

A B D C
T
j
圆周线只是绕圆筒轴线转动，其形状、大小、间距不变； ——横截面在变形前后都保持为形状、大小未改变的平 面，没有正应力产生
注意这个扭矩是假定为负的
CA段内：
T2 M 2 M 3 9.56 kN m
(负)
AD段内： T3 M 4 6.37 kN m
31
3.3
外力偶矩、扭矩图
例题 3-1
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其 值为9.56 kN· m。
32
3.3
外力偶矩、扭矩图
故取名义挤压应力为
jy
Pjy A jy
式中，Ajy=td，t为挤压面高度，d 为螺栓或铆钉的直径。
9
3.1 剪中的许用挤压应力[jy]也是通过直接试验，由挤压破坏时
的挤压力按名义挤压应力的公式算得的极限挤压应力除以安
全因数确定的。 应该注意，挤压应力是连接件与被连接件之间的相互作 用，因而当两者的材料不同时，应校核许用挤压应力较低的 连接件或被连接件。工程上为便于维修，常采用挤压强度较 低的材料制作连接件。
5
3.1 剪切
2. 连接件中的剪切和挤压强度计算
图a所示螺栓连接主要有三种 可能的破坏： Ⅰ. 螺栓被剪断（参见图b和图c）； Ⅱ. 螺栓和钢板因在接触面上受压
而发生挤压破坏（螺栓被压扁，钢
板在螺栓孔处被压皱）（图d）； Ⅲ. 钢板在螺栓孔削弱的截面处全
面发生塑性变形。 假定计算法中便是针对这些可能的破坏作近似计算的。

O1

dx
G
D

a

dj
O2
D'
G'
( d / 2) d j dx
GG d j tan dx EG
37
3.4 等直圆杆扭转时的应力
a Mt
b Mt G D D' G' b dj d O2 E A O1 dx G D D' G'
E
A
O1



a
t
11
3.1 剪切
当连接中有多个铆钉或螺栓时，最大拉应力max可能出现 在轴力最大即FN= FN,max所在的横截面上，也可能出现在净面
积最小的横截面上。
12
3.1 剪切
作业：习题 8 -22，8-23
13
3.2 薄壁圆筒的扭转
剪切虎克定律
扭转受力特点： 圆截面直杆在与杆的轴线垂直平面内的 外力偶作用下发生扭转。
T
T
扭转变形特点： Ⅰ. 相邻横截面绕杆的轴线相对转动；
Ⅱ. 杆表面的纵向线变成螺旋线；
横截面绕轴线相对转动的角位移称为扭转角； 横截面上的内力是作用在该截面内的力偶，称为扭矩；
14
3.2 薄壁圆筒的扭转
剪切虎克定律
薄壁圆筒
R0 ——通常指 t 的圆筒，可假定其 10
应力沿壁厚方向均匀分布
T
n
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动 轴的扭矩图。这样的布置是否合理？
33
3.3
外力偶矩、扭矩图
作业：习题3-1(P92)
34
3.4 等直圆杆扭转时的应力 1.横截面上的应力
（1）几何方面
(a)
T (b)
相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但圆周的大小、形状、间 距都未变； 纵向线倾斜了同一个角度 ，表面上所有矩形均变成平行四 35 边形。

dj
O2
dx
即
dj dx

dj dx
相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横 截面为常量
38
3.4 等直圆杆扭转时的应力
（2）物理方面 剪切胡克定律
（3）静力学方面
G dj dx
dj G dx


A
d A Mt
dj 2 G d A Mt dx A
3
剪切和扭转
1
3
3.1 剪切
剪切和扭转
剪切虎克定律
3.2 薄壁圆筒的扭转
3.3 外力偶矩、扭矩图 3.4 等直圆杆扭转时的应力 3.5 等直圆杆扭转时的变形 3.6 等直圆杆扭转时的应变能 3.7 非圆截面等直杆的自由扭转
2
3.1 剪切 1.剪力和切应力
连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接处 实际变形情况复杂。 螺栓连接[图(a）]中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压
T
3.4 等直圆杆扭转时的应力
(a)
T
(b)
平面假设
T
等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的 轴线转动。 推论： 杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没有正应力 产生。
36
3.4 等直圆杆扭转时的应力
横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律 T T a b
Mt
E A O1
Mt d G D D' dx G' b O2 dj A E
10
3.1 剪切
(3) 连接板拉伸强度计算 螺栓连接和铆钉连接中，被连接件由于钉孔的削弱，其 拉伸强度应以钉孔中心所在横截面为依据；在实用计算中并 且不考虑钉孔引起的应力集中。被连接件的拉伸强度条件为
N [ ] A 式中：N为检验强度的钉孔中心处横截面上的轴力；A为同

一横截面的净面积，图示情况下A=(b – d )t。
Ⅱ. 扭矩及扭矩图 传动轴横截面上的扭矩T可利用截面法来计算。
27
3.3
外力偶矩、扭矩图
扭矩的正负规定可按右手螺旋法则表示：扭矩矢量离开截 面为正，指向截面为负。
28
3.3
外力偶矩、扭矩图
例题 3-1
一传动轴如图，转速n=300 r/min，转向如图所示。主动 轮A输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮B、C、D输出的功 率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴 的扭矩图。
29
3.3
外力偶矩、扭矩图
例题 3-1
1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
500 M1 (9.55 10 )N m 15.9 103 N m 15.9 kN m 300
3
150 M 2 M 3 (9.55 10 ) N m 4.78 103 N m 4.78 kN m 300
max
max
Mt Ip
40
d
3.4 等直圆杆扭转时的应力
max
Mt
O
max
最大切应力
r
max
Mt Mt Mtr Ip I p / r Wp
令
d
Wp
Ip r
称为扭转截 面系数
即
max
Mt Wp
发生在横截面周边上各点处。
41
3.4 等直圆杆扭转时的应力
T

R0 n
3.对于薄壁圆筒，可认为切应力沿 壁厚也均匀分布。