人教A版数学必修一3.1.1《方程的根与函数的零点》(一)》教案

3.1.1 方程的根与函数的零点（教案）第一课时教学目标1、知识与技能（1）了解函数零点的概念；（2）理解函数的零点与方程的根的联系；（3）掌握函数零点存在的判断方法。

2、过程与方法（1）通过自主探究，合作交流，经历“特殊→一般”、 “类比→归纳→应用”的过程，领会函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；（2）感悟由具体到抽象的研究方法；（3）培养学生的归纳概括能力。

3、情感态度与价值观（1）体验探究的乐趣；（2）认识到万物的联系与转化，培养学生用联系的观点看问题；（3）养成严密思考的良好学习习惯。

教学重点与难点1、教学重点理解函数的零点与方程的根的联系，掌握函数零点存在性的判定依据。

2、教学难点准确理解概念，探究发现函数零点存在的条件。

教学过程（一）课前热身，新课导入求解下列方程的根：1022=+x 20322=--x x 3022=-x 4()01lg =-x思考：如何求解方程06-2ln =+x x 的解？ 设计意图：让学生经历由熟悉到陌生的过程，利用复杂无法求解的方程，造成学生的认知冲突，引发学生的好奇心和求知欲。

此时开门见山地提出用函数的思想解决方程根的问题，点明本节课的课题。

（二）启发引导，形成概念探究：方程与函数的联系设计意图：以实例说明方程、函数、函数图象三者的关系，渗透数形结合的思想，为一般的方程与其对应函数的关系作准备。

思考：上述结论对于一般的方程与其对应的函数是否也成立？1022=+x 与22+=x y 2022=-x 与22-=x y 3()01lg =-x 与()1lg -=x y推广：方程()0=x f 有实数根⇔对应函数()x f y =的图象与x 轴方程()0=x f 不相等实数根的个数⇔对应函数()x f y =的图象与x 轴0x 是方程()0=x f 的实数根⇔对应函数()x f y =的图象与x 轴设计意图：结合课前热身已解决的方程的根的问题，通过观察相应函数的图象，将由一元二次方程与相应二次函数得出的结论推广到一般的方程与其对应函数，再一次体会方程与函数的联系，为引入“函数零点”的概念打下基础，体现了由特殊到一般的思想，培养学生的思维能力和归纳能力。

3．1.1 方程的根与函数的零点[学习目标] 1.理解函数零点的定义，会求函数的零点.2.掌握函数零点的判定方法.3.了解函数的零点与方程的根的联系．[知识链接]考察下列一元二次方程与对应的二次函数：(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.你能列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标吗？答案[1．函数的零点对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系；方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．3．函数零点存在的判定方法如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，则f (a )·f (b )＜0不一定成立．要点一 求函数的零点例1 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝x 2＋7x ＋6； (2)f (x )＝1－log 2(x ＋3)； (3)f (x )＝2x －1－3；(4)f (x )＝x 2＋4x －12x －2.解 (1)解方程f (x )＝x 2＋7x ＋6＝0， 得x ＝－1或x ＝－6， 所以函数的零点是－1，－6.(2)解方程f (x )＝1－log 2(x ＋3)＝0，得x ＝－1， 所以函数的零点是－1. (3)解方程f (x )＝2x －1－3＝0，得x ＝log 26，所以函数的零点是log 26.(4)解方程f (x )＝x 2＋4x －12x －2＝0，得x ＝－6，所以函数的零点为－6.规律方法 求函数零点的两种方法：(1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．跟踪演练1 判断下列说法是否正确： (1)函数f (x )＝x 2－2x 的零点为(0,0)，(2,0)； (2)函数f (x )＝x －1(2≤x ≤5)的零点为x ＝1.解 (1)函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数f (x )＝x 2－2x 的零点为0和2，故(1)错．(2)虽然f (1)＝0，但1∉[2,5]，即1不在函数f (x )＝x －1的定义域内，所以函数在定义域[2,5]内无零点，故(2)错． 要点二 判断函数零点所在区间例2 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 答案 C解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝4e －2＜0，f (12)＝e －1＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，∴零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12上． 规律方法 1.判断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图象． 2．要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的判断中的应用 ，若f (x )图象在[a ，b ]上连续，且f (a )·f (b )＜0，则f (x )在(a ，b )上必有零点，若f (a )·f (b )＞0，则f (x )在(a ，b )上不一定没有零点．跟踪演练2 函数f (x )＝e x＋x －2所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2) 答案 C解析 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)·f (1)＜0，∴f (x )在(0,1)内有零点． 要点三 判断函数零点的个数例3 判断函数f (x )＝ln x ＋x 2－3的零点的个数．解 方法一 函数对应的方程为ln x ＋x 2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y ＝ln x 与y ＝3－x 2的图象交点个数．在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．由图象知，函数y ＝3－x 2与y ＝ln x 的图象只有一个交点．从而ln x ＋x 2－3＝0有一个根， 即函数y ＝ln x ＋x 2－3有一个零点． 方法二 由于f (1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，f (2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，∴f (1)·f (2)＜0，又f (x )＝ln x ＋x 2－3的图象在(1,2)上是不间断的，所以f (x )在(1,2)上必有零点，又f (x )在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个．规律方法 判断函数零点个数的方法主要有：(1)对于一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数；(2)由f (x )＝g (x )－h (x )＝0，得g (x )＝h (x )，在同一坐标系下作出y 1＝g (x )和y 2＝h (x )的图象，利用图象判定方程根的个数；(3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数． 跟踪演练3 函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．1．函数y ＝4x －2的零点是( ) A ．2 B ．(－2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12 答案 D解析 令y ＝4x －2＝0，得x ＝12.∴函数y ＝4x －2的零点为12.2．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)＜0，则( ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解 C ．方程f (x )＝0一定有两实根 D ．方程f (x )＝0可能无实数解 答案 D解析 ∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)＜0，但未必函数y ＝f (x )在(－1,3)上有实数解．3．函数y ＝lg x －9x的零点所在的大致区间是( )A ．(6,7)B ．(7,8)C ．(8,9)D ．(9,10) 答案 D解析 因为f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＝1－910＞0，所以f (9)·f (10)＜0，所以y ＝lg x －9x在区间(9,10)上有零点，故选D.4．方程2x －x 2＝0的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 在同一坐标系画出函数y ＝2x，及y ＝x 2的图象，可看出两图象有三个交点，故2x－x 2＝0的解的个数为3.5．函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个不同零点，则实数a 的范围是________． 答案 (－∞，1)解析 由题意可知，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同解， 故Δ＝4－4a ＞0，即a ＜1.1.在函数零点存在定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．2．方程f (x )＝g (x )的根是函数f (x )与g (x )的图象交点的横坐标，也是函数y ＝f (x )－g (x )的图象与x 轴交点的横坐标．3．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．一、基础达标1．下列图象表示的函数中没有零点的是( )答案 A解析B，C，D的图象均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图象与x轴没有交点，故函数没有零点．2．函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析∵f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，∴由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.3．根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝e x－x－2的一个零点所在的区间是( )A.(－1,0) B．C．(1,2) D．(2,3)答案 C解析由上表可知f(1)＝2.72－3＜0，f(2)＝7.39－4＞0，∴f(1)·f(2)＜0，∴f(x)在区间(1,2)上存在零点．4．函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间为( )A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)答案 B解析f(1)＝ln 1＋2－6＝－4＜0，f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3＞0，所以f(2)·f(3)＜0，则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．5．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为( )A．(0,2) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案 C解析 令f (x )＝log 3x ＋x －3，则f (2)＝log 32＋2－3＝log 323＜0，f (3)＝log 33＋3－3＝1＞0，那么方程log 3x ＋x ＝3的解所在的区间为(2,3)．6．已知函数f (x )为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________． 答案 0解析 ∵奇函数的图象关于原点对称，∴若f (x )有三个零点，则其和必为0. 7．判断函数f (x )＝log 2x －x ＋2的零点的个数． 解 令f (x )＝0，即log 2x －x ＋2＝0， 即log 2x ＝x －2. 令y 1＝log 2x ，y 2＝x －2.画出两个函数的大致图象，如图所示，有两个不同的交点．所以函数f (x )＝log 2x －x ＋2有两个零点． 二、能力提升8．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( ) A ．(a ，b )和(b ，c )内 B ．(－∞，a )和(a ，b )内 C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内 D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内 答案 A解析 ∵f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋ (x －c )(x －a )，∴f (a )＝(a －b )(a －c )，f (b )＝(b －c )(b －a )，f (c )＝(c －a )(c －b )，∵a ＜b ＜c ，∴f (a )＞0，f (b )＜0，f (c )＞0， ∴f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．9．若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则a ＝__________. 答案 0或－14解析 a ＝0时，f (x )只有一个零点－1，a ≠0时，由Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.10．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________. 答案 2解析 令f (x )＝ln x ＋x －4， 且f (x )在(0，＋∞)上递增， ∵f (2)＝ln 2＋2－4＜0，f (3)＝ln 3－1＞0.∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.11．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1,4]． (1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点？ 解 (1)依题意：f (x )＝(x －1)2－4，x ∈[－1,4]，其图象如图所示．由图可知，函数f (x )的值域为[－4,5]．(2)∵函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点．∴方程f (x )＝－m 在x ∈[－1,4]上有两相异的实数根，即函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点．由(1)所作图象可知，－4＜－m ≤0，∴0≤m ＜4.∴当0≤m ＜4时，函数y ＝f (x )与y ＝－m 的图象有两个交点， 故当0≤m ＜4时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点． 三、探究与创新12．已知二次函数f (x )满足：f (0)＝3；f (x ＋1)＝f (x )＋2x . (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝f (|x |)＋m (m ∈R )，若函数g (x )有4个零点，求实数m 的范围． 解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝3， ∴c ＝3，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3.f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋3＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋3)， f (x )＋2x ＝ax 2＋(b ＋2)x ＋3，∵f (x ＋1)＝f (x )＋2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋2，a ＋b ＋3＝3，解得a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋3.(2)由(1)，得g (x )＝x 2－|x |＋3＋m ，在平面直角坐标系中，画出函数g (x )的图象，如图所示，由于函数g (x )有4个零点，则函数g (x )的图象与x 轴有4个交点． 由图象得⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ＞0，114＋m ＜0，解得－3＜m ＜－114，即实数m 的范围是⎝⎛⎭⎪⎫－3，－114. 13．已知二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋4 ，求下列条件下，实数a 的取值范围． (1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内． 解 (1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1， 结合二次函数的单调性与零点存在定理，得 ⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2－16≥0，f＝5－2a ＞0，a ＞1.解得2≤a ＜52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在定理，得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.(3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内， 结合二次函数的单调性与零点存在定理，得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝4＞0，f ＝5－2a ＜0，f ＝40－12a ＜0，f＝68－16a ＞0，解得103＜a ＜174.。

3.1.1方程的根与函数的零点一、教材分析《方程的根与函数的零点》是人教版A 版必修1第三章第一节第一课时的内容，本节课是属于基本初等函数第一部分的知识，在此之前，学生已经学习了指数函数，对数函数，幂函数及其基本性质，这为过渡到本节课的学习奠定了基础。

本节内容是对学生已经学习过的函数知识的延伸和拓展，又是后续学习运用二分法求解方程的近似解的基础。

它是整个高中数学教材体系中起着承上启下作用的核心知识之一，地位至关重要。

二、 教学目标知识与技能目标：理解函数零点的概念以及方程的根与函数的零点之间的关系，掌握函数零点存在的判定方法，能够利用函数单调性判断函数零点的个数。

过程与方法目标：通过对具体实例的探究，归纳概括所发现的结论，体验从特殊到一般的认知的过程和数形结合的思想方法。

情感态度与价值观目标：通过师生，生生之间的讨论互动，学生提高合作交流的能力，在探索解决问题的过程中，体验学习的成就感。

4 教学重难点重点 函数零点的概念；函数零点的判别定理以及函数与方程的关系。

难点 函数零点概念的理解 。

三、教学过程 （一）新课导入1、判断下列方程根的个数，并求出方程的解（1）2230x x --= （2）2210x x -+= （3）2230x x -+= 2、分别作出（1）中方程相对应的函数图象，并完成下列表格：通过对以上两个问题观察与解答，请学生进一步思考：一元二次方程的根与对应的二次函数的图象与x 轴的交点有什么关系呢？根据学生的回答，引导学生得到以下结论：以上三个方程的根就是其对应的函数图象与x 轴交点的横坐标。

设计意图：从学生所熟知的二次函数入手，使学生发现问题，这样既训练了学生的观察和识图能力，更重要的是使学生体会知识之间的相互联系，也为后面继续学习一元二次不等式奠定基础。

二、一般探索，得出结论这样的结论对于特殊的一元二次方程及其相对应的函数是成立的，那么对于一般的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 及其相应的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点关系，上述结论是否成立？带着这样的问题，我将引导学生填写下列表格。

模块必修一第三单元第3.1.1节方程的根与函数零点教学案 课时：第一课时 课型：新授 编者： 日期： 年 月 日 三维目标1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2. 掌握零点存在的判定定理.自主性学习1、旧知识铺垫 复习1：一元二次方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的解法.判别式∆= .当∆ 0，方程有两根，为1,2x = ；当∆ 0，方程有一根，为0x = ；当∆ 0，方程无实根.复习2：方程2ax +bx +c =0 (a ≠0)的根与二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象之间有什么关2、新知识学习探究任务一：函数零点与方程的根的关系问题：① 方程2230x x --=的解为 ，函数223y x x =--的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .② 方程2210x x -+=的解为 ，函数221y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .③ 方程2230x x -+=的解为 ，函数223y x x =-+的图象与x 轴有 个交点，坐标为 .根据以上结论，可以得到：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根就是相应二次函数20(0)y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴交点的 .你能将结论进一步推广到()y f x =吗？总结：零点的定义反思：函数()y f x =的零点、方程()0f x =的实数根、函数()y f x = 的图象与x 轴交点的横坐标，三者有什么关系？探究任务二：零点存在性定理问题：① 画出二次函数()223f x x x =--的图像,观察函数在区间[-2,1]上有无零点,计算f(-2)与f(1)的乘积，你能发现他们的乘积有什么特点？在区间[2,4]上是否也有这种特点呢？通过函数的图象和计算发现：()()21f f -⋅__0，()223f x x x =--在（－2，1）有零点_______，它是2230x x --=的根。

3.1.1方程的根与函数的零点(教学设计)教学目标：知识与技能：理解函数(结合二次函数)零点的概念，领会函数零点与相应方程要的关系，掌握零点存在的判定条件.过程与方法：零点存在性的判定.情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值.教学重点：重点：零点的概念及存在性的判定.难点：零点的确定.一、复习回顾，新课导入讨论：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根与二次函数y ax2 bx c(a 0)数的图象有什么关系?先观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数，分别选取方程有两个不同的根、重根和无实数根三种类型.方程x22x30与函数y 2 x2x3;方程 2x2x10与函数y 2 x2x1；方程 2x2x30与函数y 2 x2x3;交点的横坐标.二、师生互动，新课讲解：1、函数的零点对于函数y f (x)，我们把使f(x) 0的实数x叫做函数y f (x)的零点(zero point ).显然，函数y f(x)的零点就是方程f(x) 0的实数根，也就是函数y f (x)的图象与x轴的交点的横坐标.一兀二次方程ax bx c0(a0)有两不同根就是相应的—次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴有两个不同交点，且其横坐标就是根；一兀二次方程ax bx c0(a0)有两个重根就是相应的二次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴一个交点，且其横坐标就是根；一兀二次方程ax bx c0(a0)无实数根就是相应的二次函数y 2 ax bx c0的图象与x轴没有交点；总之，一元二次方程ax2bx c0(a 0)的根就是相应的二次函数y 2 ax bx c 0的图象与x轴的再请同学们解方程, 并分别画出三个函数的草图.方程f(x) 0有实数根函数y f(x)的图象与x 轴有交点 函数y f(x)有零点.2、函数零点的判定:第I 组能说明他的行程中一定曾渡过河 ，而第n 组中他的行程就不一定曾渡过河。

课题：§3.1.1方程的根与函数的零点（教案）【课 型】新授课 【教学目标】（一）知识与技能：1．了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系,掌握函数零点存在性判定定理。

2．培养学生自主发现、探究实践的能力。

（二）过程与方法：通过研究具体二次函数，探究函数存在零点条件和存在零点的判定方法。

从具体到一般的认知过程中培养学生自主发现、探究实践的能力，并渗透相关的数学思想。

（三）情感态度与价值观：在函数与方程的联系中体验数学转化思想的意义和价值，树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，并初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。

鼓励学生通过观察类比提高发现、分析、解决问题的能力，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度。

【教学重点】体会函数的零点与方程的根之间的关系，掌握函数零点存在定理, 能结合图象求解零点问题。

【教学难点】 1、引导学生探究发现函数零点的概念及零点定理。

2、函数零点个数的确定。

【教学过程】设置情景 提出问题【动手】求解下列一元二次方程①2230x x --= ②2210x x -+= ③2230x x -+= 【动手】画出下列函数的图象，①223y x x =-- ②221y x x =-+ ③223y x x =-+【设问】1.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠形式和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的解析式有什么关系？2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根和二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象有什么关系？3.方程()0f x = 与函数()y f x = 之间存在哪些关系？分析问题 寻找规律【观察】1。

当①223y x x =--、②221y x x =-+、③223y x x =-+中的y 值等于零时，分别得的什么？【结论】当二次函数①223y x x =--、②221y x x =-+、③223y x x =-+中的y 等于0 时，即可得到一元二次方程①2230x x --=、②2210x x -+=、 ③2230x x -+=。

3.1.1 方程的根与函数的零点一、教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程根的存在性及根的个数2.让学生了解函数的零点与方程根的联系3.让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的作用4．培养学生动手操作的能力二、教学重点、难点重点 零点的概念及存在性的判定． 难点 零点的确定．三、学法与教学用具学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标。

教学用具：投影仪。

教学过程：(一)创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程 a x 2+bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=a x 2+bx+c(a ≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：（用投影仪给出）①方程0322=--x x 与函数322--=x x y②方程0122=+-x x 与函数122+-=x x y③方程0322=+-x x 与函数322+-=x x y1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系． 要求学生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流． 师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？(二) 互动交流 研讨新知通过上述问题引出函数零点的概念：定义：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点（zero point ）.指出函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．想一想，怎样求函数的零点呢？师：引导学生认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：①代数法；求方程0)(=x f 的实数根；②几何法．将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

第三章函数的应用§3.1.1方程的根与函数的零点(一)创设情景，揭示课题1、提出问题：一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的根与二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象有什么关系？2．先来观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：（用投影仪给出）①方程0322x x与函数322x x y ②方程0122x x与函数122x x y ③方程0322x x 与函数322x x y 1．师：引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和x 轴交点坐标的关系，引出零点的概念．生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流．师：上述结论推广到一般的一元二次方程和二次函数又怎样？（二）互动交流研讨新知函数零点的概念：对于函数))((D x x f y，把使0)(x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y 的零点．函数零点的意义：函数)(x f y的零点就是方程0)(x f 实数根，亦即函数)(x f y 的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(x f 有实数根函数)(x f y 的图象与x 轴有交点函数)(x f y 有零点．函数零点的求法：求函数)(x f y 的零点：①（代数法）求方程0)(x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．1．师：引导学生仔细体会左边的这段文字，感悟其中的思想方法．生：认真理解函数零点的意义，并根据函数零点的意义探索其求法：①代数法；②几何法．2．根据函数零点的意义探索研究二次函数的零点情况，并进行交流，总结概括形成结论．二次函数的零点：二次函数)0(2a c bxax y ．（１）△＞０，方程02c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．（２）△＝０，方程02c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（３）△＜０，方程02c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．3．零点存在性的探索：（Ⅰ）观察二次函数32)(2x x x f 的图象：①在区间]1,2[上有零点______；)2(f _______，)1(f _______,)2(f ·)1(f _____0（＜或＞＝）．②在区间]4,2[上有零点______；)2(f ·)4(f ____0（＜或＞＝）．（Ⅱ）观察下面函数)(x f y 的图象①在区间],[b a 上______(有/无)零点；)(a f ·)(b f _____0（＜或＞＝）．②在区间],[c b 上______(有/无)零点；)(b f ·)(c f _____0（＜或＞＝）．③在区间],[d c 上______(有/无)零点；)(c f ·)(d f _____0（＜或＞＝）．由以上两步探索，你可以得出什么样的结论？怎样利用函数零点存在性定理，断定函数在某给定区间上是否存在零点？4．生：分析函数，按提示探索，完成解答，并认真思考．师：引导学生结合函数图象，分析函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在之间的关系．生：结合函数图象，思考、讨论、总结归纳得出函数零点存在的条件，并进行交流、评析．师：引导学生理解函数零点存在定理，分析其中各条件的作用．（三）、巩固深化，发展思维1．学生在教师指导下完成下列例题例1、求函数f(x)=㏑x ＋2x －6的零点个数。

3.1.1方程的根与函数的零点课题：方程的根与函数的零点教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学1）》一、教学目标知识与技能：结合具体的函数图象和方程根的问题，了解函数的零点与方程根的联系，形成函数零点的概念及零点存有的判定方法。

过程与方法：在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方程思想，数形结合思想以及化归思想；把从特殊函数零点存有的判定方法上升到一般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。

情感态度与价值观：让学生亲自经历数学知识产生的过程，提升学生的学习水平，养成积极主动，勇于探索，持续创新的学习习惯和品质，感受探究的乐趣。

二、教学重点与难点：教学重点：方程的根与函数零点的关系及零点存有性定理的深入理解与应用教学难点：零点存有定理的发现与准确理解三、教学过程探究一：方程的根与相对应函数的联系由一次函数做引导，启发学生完成表格方程x+1=0x2－2x－3=0函数y=x+1y= x2－2x－3 函数图象函数图象与x轴交点方程的实数根函数的零点（生先独立做，后可结组讨论）思考：观察方程根与相对应函数图象有什么联系?学生叙述两者联系.)31(=x0log2=xxy)31(=xy2log=教师： 方程如果有实数根，那么方程的实数根就是相对应函数的图象与x 轴交点的横坐标。

我们把这个横坐标叫做函数的零点。

我们给出零点的概念 1.函数零点的概念对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点。

（zero point ） 注：零点是图像与x轴交点的横坐标，不是点设计意图：以学生熟悉的函数图象和方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系，自然的得到零点的概念，理解零点是连接函数与方程的结点。

探究二：结合零点的定义和探究的过程，你认为方程的根与函数的图像与函数的零点三者之间有何联系？方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。