人教版高一数学必修一教案

一元二次方程根的分布教学设计一、教学分析（一）教学内容分析本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。

这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。

它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。

从而提升学生对数学知识的应用能力。

通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。

（二）教学对象分析高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。

学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识，已经具有用数学知识解决实际问题的能力。

学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。

通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。

（三）教学环境分析由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。

采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。

多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术，使传统的教学方式得到补充。

在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。

（四）教学手段采用多媒体网络教学。

《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。

”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。

高一数学必修一教案（精选10篇）第一篇：数学初识教学目标：•了解数学的起源和发展历程；•掌握数学基本概念和术语；•培养对数学的兴趣和好奇心。

教学内容：•数学的定义和分类；•数学的起源和发展；•数学的基本概念和术语。

教学重点和难点：•掌握数学的基本概念和术语；•了解数学的起源和发展历程。

教学方法：•课堂讲解结合小组讨论；•配合多媒体教学工具展示数学的发展历程；•指导学生进行实际例子分析。

教学过程：1.导入：通过提问引起学生的兴趣，如“你们对数学有什么认识吗？”2.课堂讲解：介绍数学的定义和分类，并与学生进行互动讨论。

3.小组活动：分成小组，让学生在小组内讨论并展示自己对数学起源和发展的了解。

4.多媒体展示：使用多媒体教学工具展示数学的发展历程，以图表和视频的形式呈现。

5.实例分析：指导学生通过实际例子来理解数学的基本概念和术语。

6.总结：通过课堂总结，巩固学生对数学的认识和理解。

第二篇：函数与方程教学目标：•掌握函数和方程的基本概念；•理解函数与方程之间的关系；•学会用函数解决实际问题。

教学内容：•函数的定义和性质；•方程的定义和性质；•函数与方程之间的关系；•使用函数解决实际问题。

教学重点和难点：•函数与方程之间的关系；•使用函数解决实际问题。

教学方法：•课堂讲解结合实例演练；•小组合作学习；•独立解决实际问题。

教学过程：1.导入：回顾上节课的内容，引出本节课的主题。

2.课堂讲解：介绍函数和方程的基本概念，并与学生进行互动讨论。

3.实例演练：通过具体的函数和方程实例，让学生理解函数与方程之间的关系。

4.小组合作学习：分成小组，让学生在小组内解决一系列与函数和方程相关的问题。

5.独立解决实际问题：指导学生通过函数解决实际问题，提高实际应用能力。

6.总结：通过课堂总结，巩固学生对函数和方程的理解。

第三篇：三角函数初步教学目标：•掌握三角函数的基本概念和性质；•学会计算三角函数的值；•熟练应用三角函数解决实际问题。

指数函数及其性质教案一、教学目的1、使学生掌握指数函数的概念、图象和性质；能初步简单应用。

2、使学生理解数形结合的基本数学思想方法，培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳的能力。

3、使学生体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题。

4、通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力。

二、教学重点、难点教学重点：指数函数的定义、图象、性质.教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数性质的归纳、概括。

三、教具、学具准备：多媒体课件：使用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率与质量。

四、教学方法遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。

依据本节为概念学习的特点，探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。

五、学法指导1.再现原有认知结构。

在引入两个实例后，请学生回忆有关指数的概念，帮助学生再现原有认知结构，为理解指数函数的概念做好准备。

2.领会常见数学思想方法。

在借助图象研究指数函数的性质时会遇到分类讨论、数形结合等基本数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习。

3.在互相交流和自主探究中获得发展。

在实例的课堂导入、指数函数的性质研究、例题与训练、课内小结等教学环节中都安排了学生的讨论、分组、交流等活动，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的内化过程。

4.注意学习过程的循序渐进。

在概念、图象、性质、应用的过程中按照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着，不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的个体差异。

新人教版高一数学必修一教案（实用13篇）高一数学必修二教案(1)理解函数的概念;。

(2)了解区间的概念;。

2、目标解析。

(2)了解区间的概念就是指能够体会用区间表示数集的意义和作用;。

【问题诊断分析】在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是函数的概念及符号的理解，产生这一问题的原因是：函数本身就是一个抽象的概念，对学生来说一个难点。

要解决这一问题，就要在通过从实际问题中抽象概况函数的概念，培养学生的抽象概况能力，其中关键是理论联系实际，把抽象转化为具体。

【教学过程】。

问题1：一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845m，且炮弹距离地面的高度h(单位：m)随时间t(单位：s)变化的规律是：h=130t-5t2.1.1这里的变量t的变化范围是什么?变量h的变化范围是什么?试用集合表示?1.2高度变量h与时间变量t之间的对应关系是否为函数?若是，其自变量是什么?设计意图：通过以上问题，让学生正确理解让学生体会用解析式或图象刻画两个变量之间的依赖关系，从问题的实际意义可知，在t的变化范围内任给一个t，按照给定的对应关系，都有的一个高度h与之对应。

问题2：分析教科书中的实例(2)，引导学生看图并启发：在t的变化t 按照给定的图象，都有的一个臭氧层空洞面积s与之相对应。

问题3：要求学生仿照实例(1)、(2)，描述实例(3)中恩格尔系数和时间的关系。

设计意图：通过这些问题，让学生理解得到函数的定义，培养学生的归纳、概况的能力。

高一数学必修一第三章教案细胞膜、细胞壁、细胞核、细胞质均不是细胞器。

一、细胞器之间分工。

1.线粒体：细胞进行有氧呼吸的主要场所。

双层膜(内膜向内折叠形成脊)，分布在动植物细胞体内。

2.叶绿体：进行光合作用，“能量转换站”，双层膜，分布在植物的叶肉细胞。

3.内质网：蛋白质合成和加工，以及脂质合成的“车间”，单层膜，动植物都有。

分为光面内质网和粗面内质网(上有核糖体附着)。

第一章 集合与函数§1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标：l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；(2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；(4)会用集合语言表示有关数学对象；(5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.(2)让学生归纳整理本节所学知识.3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法.难点：表示法的恰当选择.三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪.四. 教学思路(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容.（二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例：(1)1—20以内的所有质数；(2)我国古代的四大发明；(3)所有的安理会常任理事国；(4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点；(7)方程2560x x -+=的所有实数根；(8)不等式30x ->的所有解；(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素.4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示.(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：(1)大于3小于11的偶数；(2)我国的小河流.让学生充分发表自己的建解.3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题，让学生思考(1)如果用A 表示高—(3)班全体学生组成的集合，用a 表示高一(3)班的一位同学，b 是高一(4)班的一位同学，那么,a b 与集合A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈.如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.(2)如果用A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A 的关系分别是什么?请用数学符号分别表示．(3)让学生完成教材第6页练习第1题.5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A 组第1题.6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题：(1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么?(3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。

人教版高中数学必修一教案全套第一单元函数与方程
课时1 了解函数
教学目标：通过本节课的研究，学生将了解到函数的定义，掌
握函数的分类和表示方法。

教学内容：
1. 函数的定义和特点
2. 函数的分类：一次函数、二次函数、三次函数等
3. 函数的表示方法：函数图像、函数表达式
教学步骤：
1. 引入函数的概念，让学生了解函数的定义和特点。

2. 介绍不同类型的函数，如一次函数、二次函数等，并让学生
掌握其特点和表示方法。

3. 通过实例演示函数的表示方法，包括函数图像和函数表达式。

4. 练题，巩固学生对函数的理解。

课时2 解一次方程
教学目标：通过本节课的研究，学生将学会解一次方程的方法，并应用于实际问题中。

教学内容：
1. 一次方程的定义和特点
2. 解一次方程的基本方法
3. 实际问题中的一次方程应用
教学步骤：
1. 引入一次方程的概念和例子，让学生理解一次方程的定义和
特点。

2. 介绍解一次方程的基本方法，包括化简、移项等步骤。

3. 通过实例演示解一次方程的步骤和思路。

4. 练题，巩固学生对解一次方程的掌握。

...... （按照教案的顺序继续添加后续课时的内容）
总结
通过本套教案的研究，学生将全面了解函数与方程的相关知识，并能够应用这些知识解决实际问题。

教师可以根据教案的内容和步
骤进行教学，逐步引导学生掌握数学知识。

以上为人教版高中数学必修一教案全套的简要内容，详细内容
请参考教材或教案原文。

1．1．1集合的含义通过本节学习应到达如下目标:(1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.,初步了解“∈〞关系的意义.。

.(2)通过实例,初步体会元素与集合的〞属于〞关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合.(3)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义.(4)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素确实定性、互异性).(5)在学习运用集合语言的过程中,增强认识事物的能力,初步培养实事求是、扎实严谨的科学态度.学习重点：集合概念的形成。

学习难点：理解集合的元素确实定性和互异性.学习过程〔一〕自主学习阅读课本，完成以下问题：1、例〔3〕到例〔8〕和例〔1〕〔2〕是否具有相同的特点，它们能否构成集合，如果能，他们的元素是什么？结合现实生活，请你举出一些有关集合的例子。

2、一般地，我们把研究对象称为.，把一些元素组成的总体叫做。

3、集合的元素必须是不能确定的对象不能构成集合。

4、集合的元素一定是的，相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素。

5、集合通常用大写的拉丁字母表示，如。

元素通常用小写的拉丁字母表示，如。

6、如果a是集合A 的元素,就说a属于A ,记作,读作〞〞。

如果a不是集合A的元素,就说a不属于A ,记作，读作〞〞。

7、非负整数集〔或自然数集〕，正整数集，整数集，有理数集，有理数集，实数集。

〔二〕合作探讨1、以下元素全体是否构成集合，并说明理由〔1〕世界上最高的山〔2〕世界上的高山。

(3) 2的近似值(4)爱好唱歌的人〔5〕本届奥运会我国取得优秀成绩的运发动。

〔6〕本届奥运会我国参加的所有运动工程。

2、结合具体例子，请你说明你对集合中元素具有的互异性和确定性的理解。

3、如果用A表示高一〔3〕班全体学生组成的集合，用a表示高一〔3〕班的一位同学，b是高一〔4〕班的一位同学，那么a, b与集合A有什么关系？由此可见元素与集合间有什么关系？4、请你指出以下集合中的元素。

人教版高中数学必修1教学设计教案课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A（或a A）（举例）∈6.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

高中数学必修一教案全套优秀6篇高一上册数学教案篇一一、教材《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。

从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。

从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。

二、学情学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定；且在上节的学习过程中掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式；掌握利用方程组的方法来求直线的交点；具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础；具有一定的数形结合解题思想的基础。

三、教学目标(一)知识与技能目标能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系；可以利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法简单判断出直线与圆的关系。

(二)过程与方法目标经历操作、观察、探索、总结直线与圆的位置关系的判断方法，从而锻炼观察、比较、概括的逻辑思维能力。

(三)情感态度价值观目标激发求知欲和学习兴趣，锻炼积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。

四、教学重难点(一)重点用解析法研究直线与圆的位置关系。

(二)难点体会用解析法解决问题的数学思想。

五、教学方法根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持。

在教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。

高中数学必修1教案篇二一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》(人教A版)《1.2.1函数的概念》共3课时，本节课是第1课时。

高一年级人教版必修一3.2.2函数的奇偶性教案年级：高一年级版本：人教版模块：必修一【教材分析】在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系。

它既是函数概念的拓展和深化，是继函数单调性后的又一个重要性质，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等函数的必备知识。

因此本节课起着承上启下的重要作用。

奇偶性的教学无论在知识上还是在能力上对学生的教育起着非常重要的作用。

【核心素质培养目标】1.结合具体函数的图像和解析式，深刻理解奇函数、偶函数的定义。

2.通过画图，分析图像了解奇函数、偶函数图象的特征，培养直观想象核心素养。

3.通过例题学习，归纳并掌握判断（证明）函数奇偶性的方法，培养逻辑推理核心素养。

【教学重难点】教学重点：函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判定教学难点：判断函数奇偶性的方法与格式【教学方法】师生共同探究，从代数的角度来严格推证。

【教学过程】一、情景引入，提出问题对称美是大自然的一种美，对称美在数学中随处可见，今天我们学习数学中的对称美。

师：复习函数的三要素和三种表示法。

生：三要素是：定义域、值域、对应关系；三种表示方法是：解析法、图象法、列表法。

师：结合的三要素和三种表示方法想一想（1）这个函数图象有什么特征？生：答定义域关于原点对称且图像关于y轴对称。

（2）当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值什么关系？生：从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。

（3）你能尝试用函数解析式描述图象的对称特征吗？生：对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)。

师：这时我们称f(x)=x2为偶函数，设计意图：启发学生由图象获取函数性质的直观认识，从而引入新课。

二、获取新知，生成概念（板书）偶函数:一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。

师：研究函数优先考虑定义域，把f(x)=x2定义域改成（0，+∞），仍然是偶函数吗？生：不是师：判断函数是偶函数的前提什么？生：函数的定义域关于原点对称。

人教版高一年级数学必修一教案【导语】人生要敢于知道挑战，经受得起挑战的人才能够领会人生特殊的真谛，才能够实现自我无穷的超出，才能够创造魅力永恒的价值。

以下是作者高一频道为你整理的《人教版高一年级数学必修一教案》，期望你不负时光，努力向前，加油！【一】一、教材分析1．教学内容本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，根据函数图象判定函数的单调性和运用定义证明函数的单调性。

2．教材的地位和作用函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。

掌控本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

3．教材的重点﹑难点﹑关键教学重点：函数单调性的概念和判定某些函数单调性的方法。

明确单调性是一个局部概念.教学难点：领会函数单调性的实质与运用，明确单调性是一个局部的概念。

教学关键：从学生的学习心理和认知结构动身，讲清楚概念的形成进程．4．学情分析高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐渐地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不周密、意志力薄弱，故而全部教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极摸索，培养他们的逻辑思维能力。

从学生的认知结构来看，他们只能根据函数的图象视察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性，发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌控上缺少系统性、严谨性，在教学中注意加强.二、目标分析（一）知识目标：1．知识目标：知道函数单调性的概念，掌控判定一些简单函数的单调性的方法；了解函数单调区间的概念，并能根据函数图象说出函数的单调区间。

2．能力目标：通过证明函数的单调性的学习，使学生体验和知道从特别到一样的数学归纳推理思维方式，培养学生的视察能力，分析归纳能力，领会数学的归纳转化的思想方法，增加学生的知识联系，增强学生对知识的主动构建的能力。

高一数学必修一教案(5篇)高一数学必修一优秀教案1一、教学目标1.学问与技能：把握画三视图的根本技能，丰富学生的空间想象力。

2.过程与方法：通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。

3.情感态度与价值观：提高学生空间想象力，体会三视图的作用。

二、教学重点：画出简洁几何体、简洁组合体的三视图;难点：识别三视图所表示的.空间几何体。

三、学法指导：观看、动手实践、争论、类比。

四、教学过程(一)创设情景，揭开课题展现庐山的风景图——“横看成岭侧看成峰，远近凹凸各不同”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比拟真实反映出物体，我们可从多角度观看物体。

(二)讲授新课1、中心投影与平行投影：中心投影：光由一点向外散射形成的投影;平行投影：在一束平行光线照耀下形成的投影。

正投影：在平行投影中，投影线正对着投影面。

2、三视图：正视图：光线从几何体的前面对后面正投影，得到的投影图;侧视图：光线从几何体的左面对右面正投影，得到的投影图;俯视图：光线从几何体的上面对下面正投影，得到的投影图。

三视图：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

三视图的画法规章：长对正，高平齐，宽相等。

长对正：正视图与俯视图的长相等，且相互对正;高平齐：正视图与侧视图的高度相等，且相互对齐;宽相等：俯视图与侧视图的宽度相等。

3、画长方体的三视图：正视图、侧视图和俯视图分别是从几何体的正前方、正左方和正上方观看到有几何体的正投影图，它们都是平面图形。

长方体的三视图都是长方形，正视图和侧视图、侧视图和俯视图、俯视图和正视图都各有一条边长相等。

4、画圆柱、圆锥的三视图：5、探究：画出底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥的三视图。

高一数学必修一优秀教案2【考点阐述】两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.【考试要求】(3)把握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;把握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式，进展简洁三角函数式的`化简、求值和恒等式证明.【考题分类】(一)选择题(共5题)1.(海南宁夏卷理7) =( )A. B. C. 2 D.解：，选C。

课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。

另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。

课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。

阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

3.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A（或a A）（举例）∈6.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

人教版高一数学必修一教案优秀4篇人教版高一数学必修一教案篇一教学目标1.使学生掌握的概念，图象和性质。

(1)能根据定义判断形如什么样的函数是，了解对底数的限制条件的合理性，明确的定义域。

(2)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出的图象，能从数形两方面认识的性质。

(3)能利用的性质比较某些幂形数的大小，会利用的图象画出形如的图象。

2.通过对的概念图象性质的学习，培养学生观察，分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法。

3.通过对的研究，让学生认识到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。

使学生善于从现实生活中数学的发现问题，解决问题。

教学建议教材分析(1)是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，它是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它既是函数概念及性质的第一次应用，也是今后学习对数函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以应重点研究。

(2)本节的教学重点是在理解定义的基础上掌握的图象和性质。

难点是对底数在和时，函数值变化情况的区分。

(3)是学生完全陌生的一类函数，对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论研究是学生面临的重要问题，所以从的研究过程中得到相应的结论固然重要，但更为重要的是要了解系统研究一类函数的方法，所以在教学中要特别让学生去体会研究的方法，以便能将其迁移到其他函数的研究。

教法建议(1)关于的定义按照课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是的样子，不能有一点差异，诸如，等都不是。

(2)对底数的限制条件的理解与认识也是认识的重要内容。

如果有可能尽量让学生自己去研究对底数，指数都有什么限制要求，教师再给予补充或用具体例子加以说明，因为对这个条件的认识不仅关系到对的认识及性质的分类讨论，还关系到后面学习对数函数中底数的认识，所以一定要真正了解它的由来。

关于图象的绘制，虽然是用列表描点法，但在具体教学中应避免描点前的盲目列表计算，也应避免盲目的连点成线，要把表列在关键之处，要把点连在恰当之处，所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简单的讨论，取得对要画图象的存在范围，大致特征，变化趋势的大概认识后，以此为指导再列表计算，描点得图象。

第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件本课是高中数学第一章第4节，充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.课程目标学科素养1.教学重点：理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；2.教学难点：命题条件充要性的判断及其证明。

多媒体一、情景引入，温故知新情景1：如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常), 记p:闭合开关A, q:灯泡亮。

请把这个电路图改写为“若p ，则q ”形式的命题并判断真假。

【答案】真命题情景2：记p:x >2, q:x >0 。

判断命题“若x >2 ，则 x >0”的真假。

【答案】真命题 二、探索新知探究一 充分条件与必要条件的含义 1.思考:下列“若P ，则q ”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若2430,1;x x x -+==则（4）若平面内两条直线a 和b 均垂直于直线l ,则a//b 。

【答案】（1）真 (2)假 (3) 假 （4）真2、归纳新知 （1）充分条件、必要条件的含义一般地,用p 、q 分别表示两个命题,如果命题p 成立,可以推出命题q 也成立,即p q ⇒,那么p 叫做q 的充分条件, p 叫做q 的必要条件.P 足以导致q,也就是说条件p 充分了；的一个充分条件。

第一章集合与函数概念一. 课标要求：本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力.6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二. 编写意图与教学建议1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。

第一章单元复习从容说课通过对本章集合知识与函数知识结构的整合，使学生所学的知识系统化、网络化.本课从知识结构的整体出发，通过对集合知识与函数知识的综合运用，培养学生的理性思维能力，优化学生的数学认知结构.通过解决抽象函数、复合函数的有关问题，培养学生的抽象思维能力；利用分析、讨论的课堂教学手段，培养学生的合作、交流意识；结合函数知识解决实际问题，激发学生学习数学的兴趣，培养他们分析问题、解决问题的能力.三维目标一、知识与技能掌握集合、函数的有关概念，能综合运用集合与函数的基本知识解决问题.对复合函数与抽象函数有新的认识.二、过程与方程培养学生分析、探究、思考的能力，进一步培养学生综合运用基本知识解决问题的能力.三、情感态度与价值观激发学生学习数学的兴趣，培养他们合作、交流、创新意识以及分类讨论、抽象理解能力.教学重点集合与函数的基本知识，含字母问题的研究，抽象函数的理解.教学难点分类讨论的标准、抽象函数的理解.教具准备多媒体课件、投影仪.课时安排2课时教学过程一、知识回顾（一）第一章知识点1.集合：①集合的含义；②表示法；③元素与集合的关系.2.集合间的基本关系：①子集；②真子集；③集合相等.3.集合的运算：①并集；②交集；③补集.4.函数：①函数的概念；②三要素：定义域，值域，对应法则；③映射概念.5.函数的表示：①表示法：解析法，列表法，图象法；②求函数的解析式；③求函数的定义域；④求一些简单函数的值域和最值.6.函数的单调性：①函数单调性定义；②单调函数的概念；③单调区间；④判断或证明函数单调性的方法；⑤单调性的应用；⑥利用函数的单调性求最值.7.函数的奇偶性：①奇偶性的概念；②奇偶性的定义域特征；③判断函数奇偶性的步骤；④奇偶性图象特征.8.函数的应用问题：①解函数应用题的基本方法步骤；②与几何图形有关的应用题的解法；③与物理现象有关的应用题的解法；④与社会生活有关的实际问题的解法.9.（1）解函数应用题的主要步骤是：①“设”即分析题意设出变量；②“列”即列出关系式，建设函数模型；③“解”即运用函数的性质解出要求的量；④“答”即回到原实际问题作答.（2）解实际问题的步骤用框图可表示为（3）当实际问题中的变量较多时，首先寻找所求量（y ）与这些变量间的关系式，然后根据实际要求确定一个自变量（x ），而其他变量通过题中条件再用x 表示出来，用代入法即可得到函数模型y =f （x ）.（二）方法总结1.证明集合相等的方法：A ＝B ⇔①A ⊂B ；②A ⊃B （两点必须同时具备）.2.相同函数的判定方法：①定义域相同；②对应法则相同（两点必须同时具备）.3.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.4.函数的定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③实际问题要考虑实际意义等.5.函数值域的求法：①配方法（二次或四次）；②判别式法；③反表示法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法.6.函数单调性的判定法：①设x 1、x 2是所研究区间内的任两个自变量，且x 1＜x 2；②判定f （x 1）与f （x 2）的大小；③作差比较或作商比较.（注：做有关选择、填空题时，可采用复合函数单调性判定法，做解答题时必须用单调性定义和基本函数的单调性）7.函数奇偶性的判断：首先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f （－x ）与f （x ）的关系.（1）图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用函数图象的对称性描绘函数图象.（2）函数的应用举例（实际问题的解法）. a.解决应用问题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型. ③求模：求解数学模型，得到数学结论.④还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义.b.建模类型：①可化为一、二次函数的应用题的解法；②可化为分段函数的应用题解法. 8.常用函数的研究、总结与推广：（1）以二次函数为背景的函数问题（包括通过换元可转化为二次函数的问题）.（2）研究函数y =b ax d cx ++（ac ≠b d）的图象性质. （3）研究函数y =x +x1的图象性质并推广.9.抽象函数（即不给出f （x ）解析式，只知道f （x ）具备的条件）的研究. （1）若f （a +x ）=f （a －x ），则f （x ）关于直线x =a 对称. （2）若对任意的x 、y ∈R ，都有f （x +y ）=f （x ）+f （y ），可利用赋值法研究抽象函数的性质.二、讲解新课 典型例题 【例1】 集合A ={x |x 2－mx －8≥0}，B ={x |x 2－2mx －n ＜0}，问能否找到两个实数m 、n ，使A ∩B ={x |4≤x ＜5}？若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.解：假设存在实数m 、n 满足条件.由题意可知，4是方程x 2－mx －8=0的一根，由韦达定理知方程的另一根为－2. ∴m =4+（－2）=2.∴B ={x |x 2－4x －n ＜0}，A ={x |x ≥4或x ≤2}. 由题意可知，5是方程x 2－4x －n ＝0的一根，方程x 2－4x －n ＝0的另一根为x 0，则⎩⎨⎧-=⋅=+,5,4500n x x ∴⎩⎨⎧=-=.5,10n x综上，存在实数m =2，n =5满足题意.方法引导：本题通过集合与一元二次方程结合，给出一类开放性的问题，要求学生自己找出是否存在实数m 、n 能够满足题意.解题的关键就是能发现一元二次不等式解的特点.【例2】 设A ={x |－2≤x ≤a }≠∅，B ={y |y =2x +3，x ∈A }，C ={z |z =x 2，x ∈A }，且C ⊆B ，求实数a 的取值范围.解：∵A ={x |－2≤x ≤a }，∴B ={y |y =2x +3，x ∈A }={y |－1≤y ≤2a +3}. 又C ={z |z =x 2，x ∈A }，且C ⊆B ，①当－2≤a ≤0时，C ={z |z =x 2，x ∈A }={z |a 2≤z ≤4}，∴⎩⎨⎧≥+-≥,432,12a a 得a ≥21，无解.②当0＜a ≤2时，C ={z |0≤z ≤4}，∴⎩⎨⎧+≤-≥,324,10a 得a ≥21.∴21≤a ≤2.③当a ＞2时，C ={z |0≤z ≤a 2}， ∴⎩⎨⎧+≤-≥,32,102a a 得－1≤a ≤3.∴2＜a ≤3.综上21≤a ≤3. 方法引导：本题是集合与二次函数相结合的问题，通过对a 进行分类讨论，利用数轴分析集合间的包含关系来解决.【例3】 已知函数f （x ）=xax x ++22，x ∈［1，+∞）.（1）当a =21时，求函数f （x ）的最小值；（2）若对任意x ∈［1，+∞），f （x ）＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.（1）解：当a =21时，f （x ）=x +x21+2.设1≤x 1＜x 2，则f （x 2）－f （x 1）=（x 2－x 1）（1－2121x x ）. ∵2x 1x 2＞2，0＜2121x x ＜21， ∴1－2121x x ＞0.又x 2－x 1＞0， ∴f （x 2）－f （x 1）＞0，即f （x 1）＜f （x 2）.∴f （x ）在区间［1，+∞）上为增函数，则f （x ）在区间［1，+∞）上的最小值为f （1）=27. （2）解法一：在区间［1，+∞］上，f （x ）=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2+2x +a ＞0恒成立.设y =x 2+2x +a ，x ∈［1，+∞)，y =x 2+2x +a =（x +1）2+a －1在区间［1，+∞)上递增， ∴当x =1时，y min =3+a .于是当且仅当y min =3+a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，故a ＞－3.解法二：f （x ）=x +xa+2，x ∈［1，+∞），当a ≥0时，函数f （x ）的值恒为正；当a ＜0时，y =x +2与y =xa在［1，+∞)上都是增函数.所以f （x ）=x +xa+2在［1，+∞）上是增函数.故当x =1时，y min =3+a ，于是当且仅当y min =3+a ＞0时，函数f （x ）＞0恒成立，故a ＞－3.方法引导：本题体现了函数思想在解题中的运用，第（1）题用函数单调性求函数的最小值，第（2）题用函数的单调性解决恒成立的问题.在第（2）题的解法一中，还可以这样解：要使x 2+2x +a ＞0恒成立，只要a ＞－x 2－2x =－（x +1）2+1恒成立，在［1，+∞）上，由函数单调性得－（x +1）2+1≤－3，所以只要a ＞－3.【例4】 已知f （x ）=－x 2+ax －4a +21，x ∈［0，1］，求f （x ）的最大值g （a ），且求g （a ）的最小值.解：∵f （x ）=－x 2+ax －4a +21=－（x －2a ）2+42a －4a +21，对称轴x =2a，∵x ∈［0，1］，①当2a≤0，即a ≤0时，f （x ）max =f （0）=－4a +21.②当0＜2a＜1，即0＜a ＜2时，f （x ）max =f （2a ）=42a －4a +21.③当2a≥1，即a ≥2时，f （x ）max =f （1）=43a－21.∴g （a ）=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<+-≤+-.2,2143,20,2144,0,2142a a a a aa a ①当a ≤0时，－4a +21≥21. ②当0＜a ＜2时，42a －4a +21＝41（a －21）2+167≥167.③当a ≥2时，43a－21≥1.∴g （a ）min =167.方法引导：本题是含参数的二次函数最值问题，通过对称轴x =2a的移动，对a 进行分类讨论，得到的最大值g （a ）是关于a 的一个分段函数的形式，注意分段函数的最小值，是每一段最小值的最小值.【例5】 对于任意非零实数x 、y ，已知函数y =f （x ）（x ≠0）满足f （xy ）=f （x ）+f （y ）. （1）求f （1），f （－1）；（2）判断y =f （x ）的奇偶性；（3）若y =f （x ）在（0，+∞）上是增函数，且满足f （x ）+f （x －21）≤0，求x 的取值范围.解：（1）∵对于任意非零实数x 、y ，有f （xy ）=f （x ）+f （y ）， 取x =y =1，得f （1）=f （1）+f （1）， ∴f （1）=0.取x =y =－1，得f （1）=f （－1）+f （－1），∴f （－1）=0.（2）对任意x ≠0，取y =－1，则f （－x ）=f （x ）+f （－1）=f （x ）+0，即f （－x ）=f （x ），∴f （x ）是偶函数.（3）∵f （x ）+f （x －21）≤0，∴f ［x （x －21）］≤0.由f （x ）是偶函数，得f （|x 2－21x |）≤f （1）.又y =f （x ）（x ≠0）在（0，+∞）上是增函数，∴0＜|x 2－21x |≤1. ∴－1≤x 2－21x ＜0或0＜x 2－21x ≤1. 解得0＜x ＜21或4171-≤x ＜0或21＜x ≤4171+.方法引导：本题求抽象函数的单调性与奇偶性，一般常用赋值法，给x 、y 取一些特殊的值，从而得到一些特殊的函数值，再结合函数的单调性与奇偶性的性质解题.【例6】 已知f （x ）∈［83，21］，求y =f （x ）+)(21x f -的值域.解：∵f （x ）∈［83，21］，∴2f （x ）∈［43，1］.∴1－2f （x ）∈［0，41］.∴)(21x f -∈［0，21］.令t =)(21x f -，t ∈［0，21］，则f （x ）=21（1－t 2）.∴y =21（1－t 2）+t =－21（t －1）2+1.由于t ∈［0，21］，所以21≤y ≤87.故函数y 的值域为［21，87］.方法引导：本题利用换元法求函数的值域，设出新元以后必须给出新元的范围，对于)(21x f -的范围的研究通常由里向外，最后再根据二次函数的性质求值域.【例7】 如下图，灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为a ，边坡的倾斜角为60°.（1）求横断面积y 与底宽x 的函数关系式；（2）已知底宽x ∈［4a ，2a ］，求横断面面积y 的最大值和最小值. 解：（1）分别过A 、B 作AE 、BF 垂直于CD ，交CD 于点E 、F ， ∵∠ADC =∠BCD =60°，且AB =x ，∴AD =BC =2xa -.∴D E=CF =2x a -·cos60°=4xa -，AE =2xa -·sin60°=4)(3x a -.∴y =21（AB +CD ）·AE =21（x +x +2xa -）·4)(3x a -=163（a +3x ）（a －x ）（0＜x＜a ).（2）∵y =－1633（x －3a ）2+123a 2，x ∈［4a ，2a］，∴当x =3a时，y max =123a 2；当x =2a时，y min =6435 a 2.故横断面面积y 的最大值为123a 2，最小值为6435a 2.方法引导：本题是函数在几何图形方面的应用，运用几何图形的性质求出与面积有关的量（用x 表示），根据面积公式列出关系式，这个过程就是建立数学模型，得到的函数是二次函数，但定义域不是R ，而是实际的底宽［4a ，2a］.【例8】 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图乙的抛物线表示：（1）写出如图甲表示的市场售价与时间的函数关系式P =f （t ）；写出如图乙表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g （t ）.（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg ，时间单位：天）解：（1）由图甲可得市场售价与时间的函数关系为f （t ）=⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t t由图乙可得种植成本与时间的函数关系为g （t ）=2001（t －150）2+100，0≤t ≤300. （2）设t 时刻的纯收益为h （t ），则由题意得h （t ）=f （t ）－g （t ），即h （t ）=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,2125272001,2000,217521200122t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得h （t ）=－2001（t －50）2+100，所以，当t =50时，h （t ）取得区间［0，200］上的最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理得h （t ）=－2001·（t －350）2+100，所以，当t =300时，h （t ）取得区间（200，300）上的最大值87.5.综上，由100＞87.5可知，h （t ）在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t =50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.方法引导：本题是现实生活中的实际问题，题中两图本来是通过实验分析得到相关数据抽象出来的数学模型，这里让我们通过识图找到相应的函数关系式，然后建立纯收益关于时间的分段函数，利用二次函数和分段函数的知识解决问题.【例9】 已知f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，且f （1）=1，若a 、b ∈［－1，1］，a +b ≠0，有ba b f a f ++)()(＞0.（1）判断函数f （x ）在［－1，1］上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）若满足f （x +21）＜f （11-x ），求x 的取值范围；（3）若f （x ）≤m 2－2am +1，对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求实数m 的取值范围.解：（1）任取－1≤x 1＜x 2≤1，则x 1－x 2＜0.∵ba b f a f ++)()(＞0，∴2121)()(x x x f x f --+＞0.∴f （x 1）+f （－x 2）＜0.又∵f （x ）是定义在［－1，1］上的奇函数，∴f （x 1）－f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）. ∴函数f （x ）在［－1，1］上是增函数.（2）∵函数f （x ）在［－1，1］上是增函数，由f （x +21）＜f （11-x ）， 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤--≥+,1121,111,121x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<≥-≥.2311,12,23x x x x x 或或 ∴－23≤x ＜－1. （3）∵f （x ）≤m 2－2am +1，且对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立， ∴m 2－2am +1≥f （x ）max =f （1），得m 2－2am ≥0，当a ∈［－1，1］时恒成立. 令f （a ）=m 2－2am ，a ∈［－1，1］，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+=-≥+-=,02)1(,02)1(22m m f m m f得⎩⎨⎧-≤≥≤≥.20,02m m m m 或或∴m ≥2或m ≤－2或m =0.方法引导：本题是函数的一个综合题，注意对于函数单调性的证明应该用定义法，利用函数的单调性求出自变量之间的关系以及利用最值解决恒成立问题，这是对函数性质的一个综合把握.三、课堂练习 （2课时的练习）课本P 51复习参考题A 组1，2，3，4，5，6，7，8，9. 答案：1.（1）A ={－3，3}；（2）B ={1，2}；（3）C ={1，2}. 2.（1）集合的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）集合的点组成以O 为圆心，3 cm 为半径的圆. 3.三角形的外心.4.a 的值为0，－1，1.5.A ∩B ={（0，0）}，A ∩C =∅，（A ∩B ）∪（B ∩C ）={（0，0），（53，－59}. 6.（1）{x |x ≤－2或x ≥2}. （2）{x |x ≥2}.（3）{x |x ≥4且x ≠5}.7.（1）f （a ）+1=a +12； （2）f （a +1）=－aa+2.8.证明：（1）f （－x ）=22)(1)(1x x ---+=2211x x -+=f （x ）；（2）f （x 1）=22)1(1)1(1xx -+=1122-+x x =－2211x x -+=－f （x ）. 9.（1）图象略.（2）最大高度为1.08 m. 四、课堂小结1.集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的内容.2.运用集合与对应的语言进一步描述了函数概念.与初中的函数概念相比较，突出了函数概念的本质：两个数集间的一种确定的对应关系；明确了函数的三要素.3.函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型.函数的表示方法主要有解析法、图象法、列表法三种.4.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求.例如：事物的变化趋势、对称性、用料最省、利润最大、效率最高等，就要研究函数的基本性质，如单调性、最大（小）值和奇偶性等.五、布置作业 （2课时的作业）课本P52复习参考题A组10，11，12，13，14；B组2，3，4，5，6，7，8.板书设计第一章单元复习方法归类要点例题及分析过程课堂小结与布置作业。