减治法

平均情况:设待查找的元素在数组中的概率为P，不在数组中的概率为1-P,若出现在数组中每个位置的概率是均等的为p/nT(n)=P1D1+P2D2+...+PiDi+(1-P)Dn+1=p/2+n(1-p/2)1.叙述分治算法和动态规划算法的基本思想，并比较两种算法的异同。

答:分治法将待求解的问题划分成K个较小规模的子问题,对这K个子问题分别求解,再将子问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原问题的解. 动态规划将待求解的问题分解成若干的子问题，自底向上地通过求解子问题的解得到原问题的解。

动态规划将每个子问题只求解一次并将其解保存在一个表格中,当需要再次求解此子问题时,只是简单的通过查表过的该子问题的解,避免了大量的重复计算.异同：分治法求解的问题分解后的子问题都是独立的，而使用动态规划求解的问题分解后得到的子问题往往不是相互独立的。

分治法是自顶向下用递归的方法解决问题，而动态规划则是自底向上非递归解决问题。

1.简述分治算法求解过程的三个阶段。

答:（1）划分：既然是分治，当然需要把规模为n的原问题划分为k个规模较小的子问题，并尽量使这k个子问题的规模大致相同。

（2）求解子问题：各子问题的解法与原问题的解法通常是相同的，可以用递归的方法求解各个子问题，有时递归处理也可以用循环来实现。

（3）合并：把各个子问题的解合并起来，合并的代价因情况不同有很大差异，分治算法的有效性很大程度上依赖于合并的实现。

2.叙述分治法的基本思想，并分析分治法与减治法二者的区别。

答：分治法将待求解的问题划分成K个较小规模的子问题,对这K个子问题分别求解,再将子问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原问题的解.区别：分治法是把一个大问题划分成若干个子问题，分别求解各个子问题，然后把子问题的解进行合并并得到原问题的解。

减治法同样是把一个大问题划分成若干个子问题，但是这些子问题不需要分别求解，只需求解其中的一个子问题，因而也无需对子问题的解进行合并。

算法笔记_004：8枚硬币问题【减治法】⽬录1 问题描述（1）实验题⽬在8枚外观相同的硬币中，有⼀枚是假币，并且已知假币与真币的重量不同，但不知道假币与真币相⽐较轻还是较重。

可以通过⼀架天平来任意⽐较两组硬币，设计⼀个⾼效的算法来检测这枚假币。

（2）实验⽬的1）深刻理解并掌握减治法的设计思想并理解它与分治法的区别；2）提⾼应⽤减治法设计算法的技能。

3）理解这样⼀个观点：建⽴正确的模型对于问题的求解是⾮常重要的。

（3）实验要求1）设计减治算法实现8枚硬币问题；2）设计实验程序，考察⽤减治技术设计的算法是否⾼效；3）扩展算法，使之能处理n枚硬币中有⼀枚假币的问题。

（4）实现提⽰假设⽤⼀个数组B[n]表⽰硬币，元素B[i]中存放第i枚硬币的重量，其中n-1个元素的值都是相同的，只有⼀个元素与其他元素值不同，则当n=8时即代表8枚硬币问题。

由于8枚硬币问题限制只允许使⽤天平⽐较轻重，所以，算法中只能出现元素相加和⽐较的语句。

2 解决⽅案2.1 减治法原理叙述在说减法法原理之前，我们先来简单看看分治法原理：分治法是把⼀个⼤问题划分为若⼲⼦问题，分别求解⼦问题，然后再把⼦问题的解进⾏合并得到原问题的解。

⽽减治法同样是把⼤问题分解成为若⼲个⼦问题，但是这些⼦问题不需要分别求解，只需求解其中的⼀个⼦问题，也⽆需对⼦问题进⾏合并。

换种说法，可以说减治法是退化的分治法。

减治法原理正式描述：减治法（reduce and conquer method）将原问题的解分解为若⼲个⼦问题，并且原问题的解与⼦问题的解之间存在某种确定关系，如果原问题的规模为n，则⼦问题的规模通常是n/2 或n-1。

2.2 8枚硬币规模解法求解思路：（1）⾸先输⼊8枚硬币重量，存放在⼀个长度为8的⼀维数组中。

（2）定义a,b,c,d,e,f,g,h⼋个变量，分别对应⼀枚硬币的重量。

然后把这8枚硬币分成三组，分别为abc(abc = a+b+c)、def(def =d+e+f)、gh。

蛮力法、分治法、减治法三种方法的理解和处理问题的类型的归纳一、蛮力法蛮力法是一种基础且直接的问题解决策略，通常用于寻找问题的答案或解决方案。

其核心理念在于，通过逐一检查所有可能的解决方案，从而找到问题的答案或找到最佳的解决方案。

在蛮力法中，我们通常需要投入较多的时间和计算资源，尤其是在面对大规模或复杂的问题时。

蛮力法的应用范围广泛，包括但不限于以下几种类型的问题：1. 排序问题：例如，对一个数组进行排序，我们可以使用蛮力法，通过比较每对元素并交换它们的位置，使得整个数组有序。

2. 查找问题：例如，在排序数组中查找一个特定的元素，我们可以使用蛮力法，逐一检查数组中的每个元素直到找到目标元素。

3. 组合与排列问题：例如，计算给定集合的所有可能排列或组合，我们可以使用蛮力法，通过逐一排列或组合所有可能的元素组合得到答案。

二、分治法分治法是一种将复杂问题分解为更小、更易于处理的子问题的方法。

通过将问题分解为独立的子问题，我们可以分别解决每个子问题，然后将这些解决方案组合起来，形成原始问题的解决方案。

这种方法在处理复杂问题时非常有效，因为它可以降低问题的复杂性，使我们可以更有效地解决问题。

分治法的应用范围广泛，包括但不限于以下几种类型的问题：1. 排序问题：例如，归并排序就是一种使用分治法的排序算法，它将一个大列表分解为两个小列表，对这两个小列表分别进行排序，然后合并它们以得到有序列表。

2. 搜索问题：例如，二分搜索是一种使用分治法的搜索算法，它将搜索空间一分为二，每次迭代都排除一半的元素，直到找到目标元素或确定元素不存在。

3. 图问题：例如，Dijkstra的算法就是一种使用分治法的图搜索算法，它将图分解为最短路径树，然后通过搜索每个子图的最短路径来解决整个图的最短路径问题。

三、减治法减治法是一种通过减少问题的规模或复杂性来解决问题的方法。

其核心理念在于，通过消除或减少问题的某些部分或特性，从而降低问题的复杂性或规模，使得问题更容易解决。

实验三减治法的验证与思考实验
实验一：验证课本上的折半查找算法
实验二：验证课本上的堆排序算法
实验三：小组思考题
拿子游戏。

考虑下面这个游戏：桌子上有一堆火柴，游戏开始时共有n根火柴，两个玩家轮流拿走1根、2根、3根、4根，拿走最后一根火柴的玩家获胜，请为先拿的玩家设计一个必胜策略（如果策略存在）。

实验四：小组思考题
在120枚外观完全相同的硬币中有一个假币，假币重量与真币不同，可以通过一个天平来比较两组硬币的重量，试问最少用几次称重可以找到这枚假币。

第3章 算法思维3.3 算法思想简介20世纪中期以后，随着计算机的出现、发展，算法广泛地运用于种类问题的求解，成为计算机科学的灵魂，涌现出精彩纷呈的算法。

3.3.1 蛮力法蛮力法也称穷举法，其基本思想是采用一定的策略，将待解决问题的所有可能列出来，找出问题的解。

《算经》中的“百钱百鸡问题”：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，翁、母、雏各几何？该问题的解决方案是：设公鸡为x 只，母鸡为y 只，小鸡为z 只；则x 的取值范围为0到20，y 的取值范围为0到33，z 的取值范围为0到100，当然z 应该为3的倍数；这样总共有21×34×34，即24276种组合方案，其中满足条件x +y +z =100，并且5x +3y +z /3=100的组合就是问题的解。

[百钱百鸡VB 伪代码] p 1tep 3d (5x+3y+z/3=100)Then 采用的关键技术是描述，算法设计时应避免重复试探，时间复杂度较高，效率较低，分而治之N }，其 中某段的和定义为1 设序列A 中有素，其最大段和为maxsum ；序列A 的开始位置为left ，结束位置为right 序列A left 和A rigth ，序列A left 的最大子段和为leftsu 相同，即用递归进一步分解子序列A left 和A left 中，其值为leftsum ；也有可能处在子序For x=0 To 20 Step 1 For y=0 To 33 Ste For z=0 To 100 S If (x+y+z=100)An Print x;y;z End If Next x Next y Next x蛮力法但现在的计算机有超强的计算能力，仍是直接解决问题的一种常用思路。

3.3.2 分治法分治法的基本思想是将一个难以直接解决的大问题划分成一些规模较小的子问题，，其求解过程通常由划分、求解子问题和合并3个阶段组成，如图3-8所示。

第5章减治法（Decrease and Conquer）减治法的基本思想规模为n的原问题的解与较小规模（通常是n/2）的子问题的解之间具有关系：（1）原问题的解只存在于其中一个较小规模的子问题中；（2）原问题的解与其中一个较小规模的解之间存在某种对应关系。

由于原问题的解与较小规模的子问题的解之间存在这种关系，所以，只需求解其中一个较小规模的子问题就可以得到原问题的解。

2减治法的基本思想一旦建立了这种关系，就可以从顶至下（递归），也可以从底至上（非递归）的来运用Example, n!A top down (recursive) solutionA bottom up (iterative) solution3减治法的类型减治法有三种变种：1)减去一个常量2)减去一个常数因子3)减去的规模是可变的gcd（m, n）4减（一）治技术a problem of size nsubproblemof size n-1a solution to thesubprobleme.g., n!a solution tothe original problem5减(半) 治技术a problem of size nsubproblemof size n/2a solution to thesubprobleme.g., Binary searcha solution tothe original problem67典型的分治法subproblem 2 of size n /2subproblem 1 of size n /2a solution to subproblem 1 a solution to the original problema solution to subproblem 2a problem of size ne.g., mergesort减治与分治的区别考虑以下指数问题: 计算a n减一法Bottom-up: iterative (brute Force) Top-down:recursive分治法:减常因子法:a n= a*a*a*a*...*aa n= a n-1* a if n > 1= a if n = 1a n= a ⎣n/2 ⎦* a ⎡n/2⎤if n > 1= a if n = 1a n = (a n/2 ) 2if n is even and positive= (a(n-1)/2 ) 2 * a if n is odd and > 1 = a if n = 1O (log2n) O (n log2n)89111)2/(0)(>=⎩⎨⎧+=n n n T n T 所以，通常来说，应用减治法处理问题的效率是很高的，一般是O (log 2n)数量级。

减治法核⼼数学式：1. f(n) = f(n-1) + F; 应⽤：插⼊排序；⽣成排序/⼦集2. f(n) = f(n/2) + F; 应⽤：假币问题；俄式乘法3. f(n) = f(n-k) + F; 应⽤：查找第k⼤/⼩的元素实现思路：考虑对于元素数量为n的集合的执⾏结果，如何⽤数量为n-1、n/2或者n-k的集合的执⾏结果来表⽰实现⽅法：迭代和递归都可以/** 减治法* 主要思路：* 基于减治法f(n) = f(n-1)...的思路，可以想象，* 对于长度为n的序列，它的所有⼦集，是它前⾯n-1元素所构成⼦集* 都加最后⼀个元素* 例⼦:* "abcd"全部⼦集是"abc"全部⼦集中的元素都加⼀个'd'*/list<string> jianzhi(const string &str, int cursor) {if (0 == cursor) {list<string> subs;subs.add(""):return subs;}list<string> all_subs = jianzhi(str, cursor - 1);for(list<string>::iterator iter = all_subs.begin();iter != all_subs.end();iter++) {*iter += str[cursor];}return all_subs;}/** 第k⼤/⼩的问题*/// 减治法，每次迭代缩⼩需要查找的范围int findKmost(array[0, n], k) {pivot = getPivot(array[0,n]);index = surePivotPos(array[0, n], pivot);if (index == k-1)return pivotelse if (index > k-1)return findKmost(array[0, index], k)elsereturn findKmost(array[index, n], k-index)}。

1、减治法的定义？答：The decrease-and-conquer technique is based on exploring the relationship between a solution to a given instance of a problem and a solution to a smaller instance or of the same problem.2、减法法的三种类型是什么，分别举例说明？答：there are three major variations of decrease-and-conquer:（1）Decrease by a constant:the size of the problem is reduced by the same constant on each iteration/recursion of the algorithm.For example :Insertion sort (插入排序)、DFS（有向图的深度优先遍历）、BFS（有向图的广度优先遍历）（2）Decrease by a constant factor:the size of the problem is reduced by the same constant factor on each iteration/recursion of the algorithm.For example :Binary search （折半查找算法）、Fake-coin problems（假币问题）（3）Variable-size decrease:the size reduction pattern varies from one iteration of an algorithm to another.For example :Euclid’s algorithm（欧几里得求最大公约数算法）3、减治法和分治法的区别是什么，可举例说明？答：The divide-and-conquer has three steps: divide,conquer and combine.It must deal with each problems,and combine them finally.But the decrease-and-conquer technique is based on exploring the relationship between a solution to a given instance of a problem and a solution to a smaller instance or of the same problem. It do not combine them and do not solve each of them.For example: compute a nThe divide-and-conquer ：compute a n=a n/2 * a n/2 if a>1;=a if a=1.The decrease-and-conquer ：compute a n=(a n/2 )*2 if n is even and positive;= (a(n-1)/2 ) 2 * a if n is odd and > 1;=a if a=1.。

算法分析与设计基础（清华版）Taken from "Introduction to The Design and Analysis of Algorithms" by Anany Levitin节选自《算法设计与分析基础》潘彦译蛮力法就像宝剑不是撬棍一样，科学也很少使用蛮力。

——Edward Lytton (1830 - 1873)，leila，第二卷，第一章认真做事常常是浪费时间。

——Robert Byrne，撞球大师，台球选手和作家人们是这样描述它的：蛮力法是一种简单直接地解决问题的方法，常常直接基于问题的描述和所涉及的概念定义。

这里的“力”是指计算机的能“力”，而不是人的智“力”。

我们也可以用“直接做吧！”来描述蛮力法的策略。

而且一般来说，蛮力策略也常常是最容易应用的方法。

虽然巧妙和高效的算法很少来自于蛮力法，但我们不应该忽略它作为一种重要的算法设计策略的地位。

第一，和其他某些策略不同，我们可以应用蛮力法来解决广阔领域的各种问题（实际上，它可能是惟一一种几乎什么问题都能解决的一般性方法）。

具体来说，蛮力法常常用于一些非常基本、但又十分重要的算法，比如计算n个数字的和，求一个列表的最大元素，等等。

第二，对于一些重要的问题来说（比如：排序、查找、矩阵乘法和字符串匹配），蛮力法可以产生一些合理的算法，它们多少具备一些实用价值，而且并不限制实例的规模。

第三，如果要解决的问题实例不多，而且蛮力法可以用一直能够接受的速度对实例求解，那么，设计一个更高效算法所花费的代价很可能是不值得的。

第四，即使效率通常很低，仍然可以用蛮力算法解决一些小规模的问题实例。

最后，一个蛮力算法可以为研究或教学目的服务，例如，它可以作为准绳，来衡量同样问题的更高效算法。

下列这些著名的算法可以看作是蛮力法的例子：基于定义的矩阵乘法算法；选择排序；顺序查找；简单的字符串匹配算法。

穷举查找是解组合问题的一种蛮力方法。

生成组合对象的算法（减治法）下面将详细介绍生成组合对象的减治法算法：1.定义问题：首先需要明确所要生成的组合对象的特征和属性。

例如，如果生成组合对象是包含固定数量的不同颜色的气球，那么问题的定义就是生成所有可能的气球颜色组合。

2.划分子问题：接下来，需要将问题划分为更小的子问题。

对于生成组合对象的问题，可以将其分解为生成单个组合对象的子问题。

在上述例子中，可以将其划分为生成单个气球颜色的子问题。

3.设计基本情况：在减治法中，需要定义一个基本情况，当问题的规模达到基本情况时，可以直接解决问题。

在上述例子中，当只有一个气球需要生成时，就可以直接生成所有可能的颜色。

4.减小问题规模：使用递归方法将问题规模逐渐减小。

在上述例子中，可以通过迭代每种颜色的气球来生成组合对象。

每次迭代，都解决一个气球颜色的子问题，并将其与其他已生成的气球组合。

5.合并子问题：将解决子问题的结果合并为整体解决方案。

在上述例子中，可以将每个气球颜色子问题的解合并为组合对象的解。

通过将每种颜色的气球与已生成的组合对象组合，可以生成所有可能的组合对象。

6.返回解决方案：最后，返回所有生成的组合对象作为最终的解决方案。

减治法的关键是确定如何划分子问题，并设计适当的方法来减小问题规模和合并子问题的解。

对于生成组合对象的问题，子问题的划分可以根据组合对象的特征和属性进行确定。

递归方法的使用可以确保问题规模不断减小，直到达到基本情况。

需要注意的是，生成组合对象可能会涉及到大量的计算和存储。

为了提高算法的效率，可以考虑使用剪枝等技术来减少不必要的计算和存储。

总结：生成组合对象的减治法算法通过将问题划分为较小的子问题，并逐步减小问题规模和合并子问题的解决方案来解决复杂问题。

这种算法的关键是确定子问题的划分和适当的规模减小和合并方法。

减治法是解决生成组合对象问题的一种有效方法，可以根据具体问题的特征和属性进行具体的实现。

减法工程疗法---彭印高下面进入我们治疗耳聋的具体方法。

1、抗饥饿前面已经介绍了。

在实施辟谷的前要扎针，做抗饥饿的准备。

在真正进入辟谷时期，还要扎针配合气功来抗饥饿。

2、排病气的方法前面已经介绍了。

在扎针以后运用气功在针尾抓出病气，然后有的人会沿着经络逐渐向远端排病气。

3、针刺治疗 1}针刺治疗耳聋所要追求的目的是恢复耳内组织细胞和它们的功能，指向性地消除耳听动脉内的脂斑，和排病气配合辟谷清理内环境。

我们有三种取穴方法a、传统的治疗耳聋取穴，在耳朵周围取穴如听宫、听会、耳门。

扎针时要让病人口中咬一根筷子或者其他东西，让病人始终保持嘴张开，这样这几个穴位就容易扎进去，扎这几个穴位关键的手法是要扎到一定的深度，扎得浅往往就没有作用，许多针灸医生不明白这个道理，所以效果就不好。

b、循经取穴和传统方法取穴。

本来传统针灸方法来治疗老年性耳聋的效果不是太好的。

有一本书说耳聋最难治，扎针半年之内不要问有没有效果。

可是在运用减法工程疗法时传统针灸也会有比较好的效果。

传统针灸治疗耳聋，除了在耳朵周围取穴，循经取穴一般取中渚、合谷、太冲、太溪、复溜等穴位。

对肾经的穴位一般采用补法，如果是肝经的穴位一般用泻法。

中医理论认为这种耳聋一般是肾亏和肝火上亢，要补肾泻肝。

c、全息共振经络系统。

在手上脚上有耳朵的对应点穴位，另外取穴还应该考虑耳听动脉的对应穴位，和肾脏的对应穴。

针刺时可以不考虑气至病所手法，但是如果用了手法达到了气至病所，效果应该会好得多。

2} 神龟八卦经络系统也可以用来治疗老年性耳聋，其效果和全系共振经络系统差不多。

但是我们发现针刺神龟八卦经络系统的排病气现象不明显，所以从这个角度来看可能长期的效果要差一点。

以上这些治疗运用以后，如果病人的听力没有彻底丧失，一般一个疗程以后都会有明显效果，经过三四个疗程大多数病人都会基本恢复。

不少病人会告诉我们与别人打电话，别人会反映沟通容易了。

基底动脉缺血性头晕基底动脉缺血一般有两种原因。