26.1二次函数的概念
教学目标:1、理解二次函数的概念;掌握二次函数解析式的典型特征,能判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是不是二次函数。
2、对简单的实际问题,能根据具体情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函
数解析式,并确定函数的定义域。
3、经历从实际问题引进二次函数概念的过程,体会用函数去描述、研究变量之
间的变化规律的意义。
4、培养学生的观察、分析、总结能力,让学生体会二次函数是研究和解决生产、
生活实际问题的有用工具。
教学重点:引进二次函数的概念,并帮助学生理解概念,初步学会用二次函数描述实际问题中两个变量之间的依赖关系。
教学难点:让学生根据具体问题情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函数解析式,并确定函数的定义域。
教学用具:多媒体工具。
教学过程:
[复习] 函数的意义,一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式和定义域。
[新知探索1 ] (学生探索回答)
1、请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x 之间的关系:
(1)圆的面积y (cm2)与圆的半径x ( cm );
(2)某商店1月份的利润是2万元,2、3月份利润逐月增长,这两个月利润的月平均增长率为x,3月份的利润为y万元;
(3)一个边长为4厘米的正方形,若它的边长增加x厘米,则面积随之增加y平方厘米,求y 关于x的函数解析式。
2、仔细观察上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
(1)y =πx2(2)y = 2(1+x)2=2x2+4x+2 (3)y= (x+4)2-42= x2+8x
3、得出结论:经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式,a,b,c是常数, a≠0。
[讲授]我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。
注:在二次函数中,含x的代数式必须是整式,含x项的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。
[新知探索2 ] 问题:是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢?
例如:圆的面积y ( cm2 )与圆的半径x(cm)的函数关系是y =πx2, 其中自变量x能取哪些值呢?(x>0)
注意:在实际应用问题中, 必须注意函数的定义域,自变量x的取值符合实际意义. [趣味练习] (演练竞技场)
6个动物的图片,每个图片后面都有一个题目,学生可以选择动物的图片来回答后面的题目,同学可以一起帮助解决问题。6个题目为:
1、已知二次函数y=x2-x- 2。(1)当x= 1 时,求函数y的值;(2)当x取何值时,函数值
为0?
2、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项,(1)y=-3x2-x-1(2)y=x2+x
(3)y=5x2-6
3、对于任意实数k,下列函数一定是二次函数的是( )
A 、y=(k-1)2x 2
B 、y= (k+1)2x 2
C 、 y=(k 2+1)x 2
D 、 y=(k 2-1)x 2
4、请举1个符合以下条件的y 关于x 的二次函数的例子。
二次项系数为-5,一次项系数为常数项的3倍。
5、下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1 (2)y=3x 2 (3)y=3x 3+2x 2 (4)y=2x 2-2x+1 (5)y= 21x
(6)y=x 2-x(1+x) 6、函数y=ax2+bx+c ,(a,b,c 是常数),当a 、b 、c 满足什么条件时
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数?(3)它是正比例函数?
[讲授] 例1、若函数m m x
m y --=2)1(2 为二次函数,求m 的值。 解:∵
m
m x m y --=2)1(2
为二次函数 ∴
∴解(1)得:m=2或-1
解(2)得:m ≠1且m ≠-1
∴ m=2
例2、用20米的篱笆围一个矩形的花圃(如图),一面靠墙(墙的长度超过20米),设AB 边长为x,矩形的面积为y, 求:(1)写出y 关于x 的函数解析式和函数的定义域.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少?
解:(1)∵长方形ABCD 中,AB=x ,则BC=(20-2x ), ∴面积y 关于x 的函数解析式为:y=x(20-2x)=-2x 2+20x
由 x>0,20-2x>0,得0 ∴函数的定义域是0 (2)当x=3时,y=-2·32+20·3=42 ∴矩形的面积是42平方米。 [独立练习] 1、已知函数y=(m+1)x + (m-1)x (m 为常数). 求:当此函数为二次函数时,m 的值; 2、一条隧道的横截面如图所示,它的上半部是一个半 圆,下半部是一个矩形,矩形的一边长2.5米,如果隧道的下部的 宽度大于5米但不超过10米,求:隧道横截面积S (平方米)关于上半部分半径r (米)的函数解析式和函数的定义域。 [小结] 这堂课,你学到了哪些新知识?(学生小结,教师补充) [作业] 练习册26.1 23m m 2--D C B A ?????≠-=-)2(01)1(222m m m 二次函数的概念教学设计 教学目标和要求: (1)知识与技能:使学生理解二次函数的概念,掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法,并了解如何根据实际问题确定自变量的取值范围。 (2)过程与方法:复习旧知,通过实际问题的引入,经历二次函数概念的探索过程,提高学生解决问题的能力. (3)情感、态度与价值观:通过观察、操作、交流归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解,发展学生的数学思维,增强学好数学的愿望与信心. 教学重点: 对二次函数概念的理解。 教学难点: 由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围。 教法学法设计: 1、从创设情境入手,通过知识再现,孕伏教学过程 2、从学生活动出发,通过以旧引新,顺势教学过程 3、利用探索、研究手段,通过思维深入,领悟教学过程 教学过程: 一、复习提问 1.一元二次方程的一般形式是什么? 2。一次函数的定义是什么? 【设计意图】复习这些问题是为了引入一元二次此函数做铺垫,帮助学生加深对函数定义的理解.强调k≠0的条件,以备与二次函数中的a进行比较。 二、引入新课 电脑演示:拱桥、喷泉等与一元二次函数图像有关的图片引起学生对一元二次函数的好奇和兴趣。 探索问题1、 用周长为20m的篱笆围成矩形场地,场地面积y(m2)与矩形一边长x(m)之间的关系是什么? 由学生认真思考并与同桌交流,然后回答下面的问题 1 设矩形靠墙的一边AB的长xm,矩形的面积ym2. 能用含x的代数式来表示y吗? 2试填表(见课本) 3 x的值可以任意取?有限定范围吗? 4我们发现y是x的函数,试写出这个函数的关系式 探究问题2 某商店将每件商品进价为8元的商品按每10元出售,一天可售出约100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大? 由学生认真思考并与同桌交流,然后回答下面的问题 1设每件商品降低x元,该商品每天的利润为y,y是x的函数吗?x的值有限定吗? 2怎样写出该关系式? 二次函数概念 学习要求 1.熟练掌握二次函数的有关概念. 2.熟练掌握二次函数y =ax 2的性质和图象. 综合、运用、诊断 一、填空题 1.抛物线y =ax 2的顶点是______,对称轴是______.当a >0时,抛物线的开口向______;当a <0时,抛物线的开口向______. 2.抛物线y =ax 2,|a |越大则抛物线的开口就______,|a |越小则抛物线的开口就______. 3.二次函数y =ax 2的图象大致如下,请将图中抛物线字母的序号填入括号内. (1)y =2x 2如图( );(2)22 1x y = 如图( );(3)y =-x 2 如图( ); (4)231x y -=如图( );(5)29 1 x y =如图( );(6)291x y -=如图( ). 4.已知函数,2 3 2x y -=不画图象,回答下列各题. (1)开口方向______;(2)对称轴______;(3)顶点坐标______;(4)当x ≥0时,y 随x 的增大而______; (5)当x ______时,y =0;(6)当x ______时,函数y 的最______值是______. 5.在下列函数中①y =-2x 2;②y =-2x +1;③y =x ;④y =x 2,回答: (1)______的图象是直线,______的图象是抛物线. (2)函数______y 随着x 的增大而增大.函数______y 随着x 的增大而减小. (3)函数______的图象关于y 轴对称.函数______的图象关于原点对称. (4)函数______有最大值为______.函数______有最小值为______. 6.已知函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数).(1)若它是二次函数,则系数应满足条件______. (2)若它是一次函数,则系数应满足条件______.(3)若它是正比例函数,则系数应满足条件______. 7.已知函数y =(m 2-3m )1 22--m m x 的图象是抛物线,则函数的解析式为______,抛物线的顶点坐标为______, 对称轴方程为______,开口______. 9.已知函数y =m 2 22+-m m x +(m -2)x . (1)若它是二次函数,则m =______,函数的解析式是______,其图象是一条______,位于第______象限. (2)若它是一次函数,则m =______,函数的解析式是______,其图象是一条______,位于第______象限. 9.已知函数y =m m m x +2,则当m =______时它的图象是抛物线;当m =______时,抛物线的开口向上;当m =______时抛物线的开口向下. 二、选择题 110.下列函数中属于一次函数的是( ),属于反比例函数的是( ),属于二次函数的是( ) A .y =x (x +1) B .xy =1 C .y =2x 2-2(x +1)2 D .132+=x y 11.在二次函数①y =3x 2;②223 4 ;32x y x y == ③中,图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为 A .①>②>③ B .①>③>② C .②>③>① D .②>①>③ 12.对于抛物线y =ax 2,下列说法中正确的是( ) A .a 越大,抛物线开口越大 B .a 越小,抛物线开口越大 C .|a |越大,抛物线开口越大 D .|a |越小,抛物线开口越大 13.下列说法中错误的是( ) A .在函数y =-x 2中,当x =0时y 有最大值0 二次函数综合题训练题型集合 1、如图1,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线m x y+ =与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上. (1)求m的值及这个二次函数的关系式; (2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间 的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说 明理由. 2、如图2,已知二次函数24 y ax x c =-+的图像经过点A和点B.(1)求该二次函数的表达式; (2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标; (3)点P(m,m)与点Q均在该函数图像上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q 到x轴的距离 E B A C P 图1 O x y D x y O 3 -9 -1 -1 A B 图2 P B A C O x y Q 图3 3、如图3,已知抛物线c x b x a y ++=2经过O(0,0),A(4,0),B(3,3)三点,连结AB ,过点B 作BC ∥x 轴交该抛物线于点C. (1) 求这条抛物线的函数关系式. (2) 两个动点P 、Q 分别从O 、A 两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中,点P 沿着线段0A 向A 点运动,点Q 沿着折线A →B →C 的路线向C 点运动. 设这两个动点运动的时间为t (秒) (0<t <4),△PQA 的面积记为S. ① 求S 与t 的函数关系式; ② 当t 为何值时,S 有最大值,最大值是多少?并指出此时△PQA 的形状; ③ 是否存在这样的t 值,使得△PQA 是直角三角形?若存在,请直接写出此时P 、Q 两点的坐标;若不存在,请说明理由. 7、(07海南中考)如图7,直线43 4 +- =x y 与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . (1)求该二次函数的关系式; (2)设该二次函数的图象的顶点为M ,求四边形AOCM 的面积; (3)有两动点D 、E 同时从点O 出发,其中点D 以每秒 2 3 个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动,点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C → A 的路线运动, 当D 、E 两点相遇时,它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时,ODE ?的面积为S . ①请问D 、E 两点在运动过程中,是否存在DE ∥OC ,若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由; ②请求出S 关于t 的函数关系式,并写出自变量t 的取值范围; ③设0S 是②中函数S 的最大值,那么0S = . C A M y B O x C A M y B O x C A M y B O x 26.1二次函数的概念 教学目标:1、理解二次函数的概念;掌握二次函数解析式的典型特征,能判断用解析式表示出来的两个变量之间的关系是不是二次函数。 2、对简单的实际问题,能根据具体情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函 数解析式,并确定函数的定义域。 3、经历从实际问题引进二次函数概念的过程,体会用函数去描述、研究变量之 间的变化规律的意义。 4、培养学生的观察、分析、总结能力,让学生体会二次函数是研究和解决生产、 生活实际问题的有用工具。 教学重点:引进二次函数的概念,并帮助学生理解概念,初步学会用二次函数描述实际问题中两个变量之间的依赖关系。 教学难点:让学生根据具体问题情景中两个变量之间的依赖关系列出二次函数解析式,并确定函数的定义域。 教学用具:多媒体工具。 教学过程: [复习] 函数的意义,一次函数、正比例函数、反比例函数的解析式和定义域。 [新知探索1 ] (学生探索回答) 1、请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量y 与x 之间的关系: (1)圆的面积y (cm2)与圆的半径x ( cm ); (2)某商店1月份的利润是2万元,2、3月份利润逐月增长,这两个月利润的月平均增长率为x,3月份的利润为y万元; (3)一个边长为4厘米的正方形,若它的边长增加x厘米,则面积随之增加y平方厘米,求y 关于x的函数解析式。 2、仔细观察上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征? (1)y =πx2(2)y = 2(1+x)2=2x2+4x+2 (3)y= (x+4)2-42= x2+8x 3、得出结论:经化简后都具有y=ax2+bx+c 的形式,a,b,c是常数, a≠0。 [讲授]我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数,a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。 注:在二次函数中,含x的代数式必须是整式,含x项的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。 [新知探索2 ] 问题:是否任何情况下二次函数中的自变量的取值范围都是任意实数呢? 例如:圆的面积y ( cm2 )与圆的半径x(cm)的函数关系是y =πx2, 其中自变量x能取哪些值呢?(x>0) 注意:在实际应用问题中, 必须注意函数的定义域,自变量x的取值符合实际意义. [趣味练习] (演练竞技场) 6个动物的图片,每个图片后面都有一个题目,学生可以选择动物的图片来回答后面的题目,同学可以一起帮助解决问题。6个题目为: 1、已知二次函数y=x2-x- 2。(1)当x= 1 时,求函数y的值;(2)当x取何值时,函数值 为0? 2、说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项,(1)y=-3x2-x-1(2)y=x2+x (3)y=5x2-6 3、对于任意实数k,下列函数一定是二次函数的是( ) 二次函数的定义专项练习30题(有答案) 1.下列函数中,是二次函数的有() 2y=③y=x(1﹣x)④y=﹣x(②1﹣2x)(1+2x)①y=1 A.1个B.2 个C.3个D.4 个 2.下列结论正确的是() 2.A是二次函数y=ax B.二次函数自变量的取值范围是所有实数C.二次方程是二次函数的特例 D.二次函数自变量的取值范围是非零实数 3.下列具有二次函数关系的是() A.正方形的周长y与边长x B.速度一定时,路程s与时间t C.三角形的高一定时,面积y与底边长x D.正方形的面积y与边长x )是二次函数,则m等于()4.若y=(2﹣m ±2 B.2 C.﹣2 D.不A.能确定 2)是二次函数,则m的值是((m+m)5.若y= B.m =2 C.m=﹣A.1或m=3 D.m =3 ±2m=1 222中,二次函数的个数为(x),y=(x﹣1)6.,下列函数y=3x﹣x,,y=x(﹣2)5个4个D..A.2个B.3个 C )7.下列结论正确的是( 二次函数中两个变量的值是非零实数A. xB.二次函数中变量的值是所有实数 2. C +bx+cy=ax的函数叫二次函数形如2 D .c的值均不能为零二次函数y=axa+bx+c中,b, )8.下列说法中一定正确的是( 2.A c为常数)一定是二次函数,函数y=ax(其中+bx+ca,b B.圆的面积是关于圆的半径的二次函数路程一定时,速度是关于时间的二次函数. C 圆的周长是关于圆的半径的二次函数.D 2)是二次函数的条件是(m﹣n)x+mx+n.函数9y=(n ≠n是常数,且m≠0 B.m、A.m、n是常数,且m 可以为任何常数m、nn≠0 D.C.m、n是常数,且 ).下列两个量之间的关系不属于二次函数的是(10 .速度一定时,汽车行使的路程与时间的关系 A .质量一定时,物体具有的动能和速度的关系 B .质量一定时,运动的物体所受到的阻力与运动速度的关系 C .从高空自由降落的物体,下降的高度与下降的时间的关系D )11.下列函数中,y是x二次函数的是(22 DC..A.y=x﹣1 B.1 y﹣=x+2x =xy210 y=x+﹣ 个函数:12.下面给出了6 222 y=y=;﹣②y=xy=x﹣3x;③;y=④(x⑥+x+1);⑤①y=3x.﹣1;)其中是二次函数的有(个D.4 C2A.1个B.个.3个 2)之间的关系是(t(g为常量),h13.自由落体公式与h=gt 以上答案都不对D.一次函数C.二次函数A.正比例函数 B. 的值一定是_________+kx+1是二次函数,那么k.﹣14.如果函数y=(k3 ) 初三年级数学—二次函数的基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2 y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c , 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2 y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质:上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质:左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: 三、二次函数图象的平移 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴ c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵ c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得 到前者,即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-=,. 五、二次函数2 y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2 y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、 与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 六、二次函数2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值2 44ac b a -. 二次函数1 一、二次函数的概念 1.二次函数的一般形式是:__________________ ,其中a 、b 、c 是____数,___ ≠0. 2.二次函数还有三个特殊形式,分别是______________,________________,_______________. 3.一般情况下,二次函数自变量的取值范围是__________________ 例1 已知关于x 的函数x m x m y m m )1() 1(2-++=-. (1) 当m 为何值时,此函数是二次函数?(2)当m 为何值时,此函数是一次函数? 练11.下列函数中,哪些是二次函数? ________________________________ (1)y=5x +1 (2)y=4x 2-1 (3)y=2x(x 2-3x) (4)c bx ax y ++=2(5)y=2x - 2 1 x +1 2.若222)1()32(m x m x m m y +-+--=是关于x 的二次函数,则m 应满足条件______________. 3.若x x m m y m m 2)(2 2-+=-是关于x 的二次函数,求关于x 的不等式(m-4)x >m+2的最大整数值. 二、根据实际问题列二次函数的解析式 例2如图,学校要修建草坪,形状是直角梯形,其中有两条边的夹角是135°的两面墙,另外两条边是总长为30米的栅栏。求梯形面积y 与高x 的函数关系式,并写出x 的取值范围。 一个长为4cm,宽为3cm 的矩形,如果长和宽都增加xcm ,那么它的面积就会增加y 2cm . y 与x 的函数关系式是__________________,自变量x 的取值范围是_______________。 2.用长为8m 的铝合金条做成如图形状的一个矩形窗框,设宽为xm,窗户的透光面积为y 2m ,那么这个窗户的透光面积与宽的关系式是____________,自变量x 的取值范围是_______________。 3.如图,四边形ABCD 中,∠BAD=∠BCA=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD 的长为x ,四边形ABCD 的面积为y,求y 与x 的函数关系式。 三、二次函数2ax y =的图像和性质二次函数的概念教学设计
二次函数的基本概念的理解与应用
二次函数综合题经典习题(含答案及基本讲解)
26.1二次函数的概念
二次函数的定义专项练习30题有答案
二次函数知识点梳理
二次函数的概念和意义
中考二次函数讲义附练习及答案