二次函数基本概念_图像及性质

高考数学中的二次函数基本概念及相关性质高考数学中，二次函数是一个非常基础、重要的概念。

本文将从基本概念和相关性质两个方面，详细介绍二次函数的相关知识点。

一、基本概念二次函数，也叫做二次多项式函数，是指一个以x为自变量，x的二次多项式为函数值的函数，通常可以表示为y=ax²+bx+c。

其中，a、b、c分别是常数，a≠0。

1. 函数图像：二次函数的图像通常是一条开口朝上或开口朝下的抛物线。

如果a>0，则抛物线开口朝上；如果a<0，则抛物线开口朝下。

图像中的对称轴为x=-b/2a，抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。

2. 零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴的交点。

求二次函数的零点有两种方法：一种是利用求根公式，即x=[-b±√(b²-4ac)]/2a；另一种是将二次函数化为标准的完全平方公式，即y=a(x-h)²+k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标，直接利用完全平方公式求零点。

3. 对称性：二次函数具有轴对称性，即对于任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。

二、相关性质除了基本概念外，二次函数还有一些重要的性质，这些性质通常在高考中频繁出现，需要认真掌握：1. 二次函数的最值：由于二次函数的函数图像是一条抛物线，因此其最值一定发生在抛物线的顶点处。

当a>0时，二次函数的最小值等于c-b²/4a，发生在点(-b/2a, c-b²/4a)；当a<0时，二次函数的最大值等于c-b²/4a，发生在点(-b/2a, c-b²/4a)。

2. 二次函数的单调性：当a>0时，二次函数在其零点左右是单调递减和单调递增的；当a<0时，二次函数在其零点左右是单调递增和单调递减的。

3. 二次函数的导数：二次函数的导数f'(x)=2ax+b，是一个一次函数。

《二次函数 y=ax2的图象与性质》知识清单《二次函数 y=ax²的图象与性质》知识清单一、二次函数的基本概念在数学中，形如 y ＝ ax²（其中 a 不为 0）的函数被称为二次函数。

其中，x 是自变量，y 是因变量，a 是二次项系数。

二、二次函数 y ＝ ax²的图象1、图象形状二次函数 y ＝ ax²的图象是一条抛物线。

2、开口方向当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。

3、对称轴抛物线 y ＝ ax²的对称轴是 y 轴（即直线 x ＝ 0）。

4、顶点坐标抛物线 y ＝ ax²的顶点坐标是（0，0）。

三、二次函数 y ＝ ax²的性质1、单调性当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧（即 x ＜ 0 时），函数单调递减；在对称轴右侧（即 x ＞ 0 时），函数单调递增。

当 a ＜ 0 时，在对称轴左侧（即 x ＜ 0 时），函数单调递增；在对称轴右侧（即 x ＞ 0 时），函数单调递减。

2、最值当 a ＞ 0 时，函数有最小值，最小值为 y ＝ 0（在 x ＝ 0 处取得）。

当 a ＜ 0 时，函数有最大值，最大值为 y ＝ 0（在 x ＝ 0 处取得）。

3、函数值的变化对于给定的 a 值，｜a|越大，抛物线的开口越窄；｜a|越小，抛物线的开口越宽。

四、a 对图象的影响1、 a 的正负决定开口方向正的 a 使得抛物线开口向上，负的 a 使得抛物线开口向下。

2、 a 的大小决定开口宽窄｜a|越大，开口越窄；｜a|越小，开口越宽。

例如，当 a ＝ 2 时，抛物线 y ＝ 2x²的开口比 a ＝ 1/2 时抛物线 y ＝1/2 x²的开口窄。

五、图象的平移对于二次函数 y ＝ a(x h)²＋ k 的图象，它是由 y ＝ ax²的图象经过平移得到的。

如果 h ＞ 0，图象向右平移 h 个单位；如果 h ＜ 0，图象向左平移|h|个单位。

二次函数基本概念与图象二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学建模、物理学、经济学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍二次函数的基本概念与图象及相关性质。

一、二次函数的定义二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c 为实数且a不等于零。

其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，而b则决定了二次函数的图象在x轴方向上的位置，c为二次函数在y轴上的截距。

二、二次函数图象的性质1. 开口方向：当a大于零时，二次函数开口向上；当a小于零时，二次函数开口向下。

2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

3. 对称轴：二次函数的对称轴为x = -b/2a。

4. 零点：当二次函数存在零点时，其零点可通过求解ax^2 + bx + c = 0的解得。

三、二次函数图象的变化与平移1. a的变化：改变a的值可以使得二次函数图象的开口方向发生改变，当a的绝对值增大时，开口越窄，图象变得更陡；当a的绝对值减小时，开口越宽，图象变得更平缓。

2. b的变化：改变b的值可以使得二次函数图象在x轴方向上平移，当b为正时，图象向左平移；当b为负时，图象向右平移。

平移的距离与|b|成正比。

3. c的变化：改变c的值可以使得二次函数图象在y轴方向上平移，当c为正时，图象向上平移；当c为负时，图象向下平移。

平移的距离与|c|成正比。

四、二次函数的特殊情况1. 完全平方式：当二次函数的顶点坐标为(0, 0)时，称其为完全平方式，表示为f(x) = ax^2。

2. 平移形式：当二次函数的顶点坐标为(h, k)时，表示为f(x) = a(x-h)^2 + k。

五、二次函数的实际应用1. 物理学上，二次函数可用于描述自由落体运动、抛物线轨迹等。

2. 经济学中，二次函数可用于描述成本、收益等与产量关系的图象。

3. 数学建模中，二次函数可用于拟合实验数据、预测趋势等。

总结：二次函数作为一种重要的函数形式，具有广泛的应用和重要的数学性质。

第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。

二次函数知识点归纳二次函数是高中数学中重要的内容之一，它在数学以及其他科学领域中有着广泛的应用。

下面是针对二次函数的相关知识点的归纳，希望能够对您理解和掌握二次函数有所帮助。

一、基本概念1. 二次函数的定义: 二次函数是形如f(x) = ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。

2. 二次函数的图像: 二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数a的符号确定。

- 若a>0，则抛物线开口向上；- 若a<0，则抛物线开口向下。

二、图像的性质1. 对称轴：二次函数的图像关于直线x=-b/2a对称。

2. 最值点：二次函数的最值点即为图像的顶点，其横坐标为-x/2a，纵坐标为f(-x/2a)。

- 当a>0时，函数的最小值为f(-x/2a)；- 当a<0时，函数的最大值为f(-x/2a)。

3. 零点：二次函数的零点即为使函数取值为零的x值，可通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。

三、函数的变换1. 平移：二次函数可以通过改变h和k的值来进行平移操作。

- f(x)的图像向左平移|k|个单位，新函数为f(x+h)；- f(x)的图像向右平移|k|个单位，新函数为f(x-h)；- f(x)的图像向上平移|k|个单位，新函数为f(x)+k；- f(x)的图像向下平移|k|个单位，新函数为f(x)-k。

2. 压缩和拉伸：二次函数可通过改变a的值来改变图像的形状。

- 若|a|>1，则函数图像纵向压缩；- 若0<|a|<1，则函数图像纵向拉伸。

四、函数的性质1. 定义域：对于二次函数，其定义域为实数集R，即所有实数x都在定义域内。

2. 奇偶性：二次函数一般是偶函数，除非存在线性项b，则二次函数为奇函数。

3. 单调性：当a>0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递增的；当a<0时，二次函数在抛物线的开口范围内是单调递减的。

4. 零点和交点: 二次函数与x轴的交点即为零点，与y轴的交点为常数项c，与抛物线的交点为实数解。

二次函数百科
摘要：
1.二次函数的定义与基本概念
2.二次函数的性质与图像
3.二次函数的应用领域
正文：
二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（其中a≠0）的函数，其中a、b、c 为常数，x 为自变量，y 为因变量。

它是一种多项式函数，也是数学中最基本、最重要的函数类型之一。

二次函数在数学、物理、化学、工程等领域具有广泛的应用。

二次函数的性质与图像：
1.开口方向：当a>0 时，二次函数的图像开口向上，表示函数有最小值；当a<0 时，二次函数的图像开口向下，表示函数有最大值。

2.对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a，即直线x=-b/2a。

3.顶点：二次函数的顶点为(-b/2a, c - b^2/4a)，是函数的最值点。

二次函数的应用领域：
1.物理学：在物理学中，二次函数常常用于描述物体的位移、速度、加速度等运动规律。

2.工程学：在工程领域，二次函数被广泛应用于设计建筑物的拱形结构、机械设备的优化设计等。

3.经济学：在经济学中，二次函数可以用于描述生产成本、市场需求等经济指标的变化规律。

4.数学分析：在数学分析中，二次函数是微积分、概率论等高级数学分支的基础。

综上所述，二次函数作为一种基本的数学函数，具有重要的理论意义和广泛的应用价值。