1.4.1有理数的乘法(1)

§1.4.1有理数乘法（一）课堂实录【教材教学分析】：“有理数的乘法”是新课标人教版7年级上册§1.4.1的内容，是继相反数、绝对值和有理数的加法之后学习的，与小学学习的乘法相比，区别就在于负数参与了运算.因此，探讨并理解积的符号规则是学习的重点，同时也是难点所在. 本节教材设计了一个蜗牛爬行的情境，意在引导学生进行有自身体验感悟的探究，以落实课程标准提出的“让学生经历由实际问题抽象出数与代数问题的过程”的目标要求.但通过实践证明，学生对此不好理解，让“前”、“后”、“左”、“右”搞得晕头转向，不利于学生的心理认同.本来，乘法法则就需要学生做到认同即可，它本身不是什么严格的逻辑关系，因此，能让学生心悦诚服地接受就是成功.基于此，笔者选定前一节的加法为教学的契合点，借助小学学过的乘法的意义以及生活常识，从合情推理的角度，引发学生的猜想，以突破负数与负数相乘规则的难点，顺乎其理，学生学得蛮有情趣.把本节教材的引入背景变成验证所发现的规则的小问题，相互依托，收到良效.【教学目标】1、知识与技能：能说出有理数的乘法法则；会进行有理数的乘法运算.2、数学思考：经历探索有理数的乘法法则的过程，发展学生观察、归纳、猜想、验证等能力.3、解决问题：通过师生交流、合作，让学生体会从特殊到一般的归纳方法，提高学生认识世界的水平.4、情感与态度：激发学生的求知欲望和学习兴趣，使其养成良好的数学思维品质.【教学重点和难点】教学重点：有理数的乘法法则的探索、概括及应用教学难点：有理数乘法法则中符号变化的理解和积的符号的确定【学情分析】：我教学的班是走读班，学生来自滨州市区，整体素质较高，思维较活跃，学生对小学里学习的乘法的意义掌握得较好，也有了相反数、绝对值和有理数加法的知识基础，加之初一学生生性活泼、求知欲强，这些都是学习本课内容的有利条件. 另外，通过进入初中学段近两周的研讨性学习，在班级中已初步形成合作交流的学习方式，在我的鼓动下，学生敢于提出问题、敢于探索与实践，班级里互相探讨、互相评价、相互欣赏的气氛较浓.但由于这一年龄段学生的抽象思维的发展尚处于初级阶段，对如和的理解须借助具体的实际背景来加深认知体验，这也成为本课探究讨论的重点和难点.【教学过程】1、温故引新.（设计意图：用学生熟悉的、上一节已经处理过的问题引入课题，给学生轻松快意之感，便于激发学生的状态，状态是效率的保证.同时，通过老师的适时发难，引发学生的认知冲突，激发学生学习新知识的兴趣）师（屏幕展示）：这个问题，同学们一定熟悉：（-3）+（-3）=？（-3）+（-3）+（-3）=？（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=？（-3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=？……生（情绪高涨）：分别是-6，-9，-12，-15，师：能否换一种形式表达？生1：能，可以用乘法，（-3）+（-3）=（-3）×2；（-3）+（-3）+（-3）=（-3）×3；（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=（-3）×4；（-3）+（-3）+（-3）+（-3）+（-3）=（-3）×5师（追问）：说说你的想法？生1：小学学过，昨天也做过，当加数相同时，可以用乘法来代替加法，师：同学们怎么认为？生：就是这样想的师：那看来今天的学习会很轻松生（惊讶）：为什么？师：因为同学们都很聪明呀！生：噢，老师忽悠我们2009个师：不是忽悠，老师相信同学们会做得很好，再来看一个问题：（-3）+（-3）+……（-3）=？生（全体脱口而出）：（-3）×2009= -6027师：我说聪明吧，连这种负数参与的乘法都会算了，那这个结果对吗？有负数参与的乘法运算到底怎么计算？今天我们就来研究这个问题——有理数的乘法.2、拾级而上师：刚才的（-3）×2= -6，谁能借助生活常识解释一下？生2：一个人做错了两道选择题，每题3分，这个人就被扣掉4分，记作-4，生3：一个人做买卖，第一次赔了3万元，第二次又赔了3万元，他一共赔了6万元，记作-6生4：足球联赛活动中，输一场球记-3分，若甲队连续输了两场，就记作-6分.……师：同学们都说得非常好，若是（-3）×4= -12？生5（争先恐后）：生2的做错2道题改成做错4道题就行；生3改成连续4次赔3万元就行；生4的甲队连续输4场就行……师（趁势而入，夸张一下）：看来（-3）×2009= -6027也能解释了，就是一个人做错了2009个选择题、一个球队连续输了2009场、一个人做买卖连续2009次配了3万元，……生（全体）：哈哈大笑，那这个同学、这个队、这个生意人命运也太惨了！师：一个人、一个球队如果缺少努力的话，如果不在失败中找到原因，一错再错、一败再败、一赔再陪是完全有可能的，这并不是命运不济啊！我们同学们可不做这样的人、这样的球队，是吧？生（全体）：是！3、乘胜追击师：根据刚才的认识，（－3）×1，（－3）×0各是多少？你是怎样想的？生6：（－3）×1就是1个－3，结果当然是-3了，（－3）×0就是一个-3也没有，应该等于0.师：同学们说呢？生：对，应该是这样师（大屏幕展示）：我们通过前面的认识，一起看一看因数与积的变化有没有什么特点？（先让学生仔细观察，而后小组讨论，达成共识后，展示屏幕上的红色箭头部分）共识：因数－3没有变，另一个因数在变，分别为4、3、2、1、0，它们依次减少1；积分别为－12、－9、－6、－3、0，它们由小到大依次增加3.师：请看下面的式子，你能猜想出计算结果吗？你是怎样想的？（－3）×（－1），（－3）×（－2），（－3）×（－3），（－3）×（－4）各是多少？生（若有所思，迟疑不决）：师（等待）：……生（若有所悟，纷纷举手）：生7：我是这样想的：由前一组算式的规律发现：第二个因数减少1，积就增加3。

1.4.1 有理数的乘法（一）◆课堂测控知识点 有理数的乘法1．计算：（1）（-112）×（-23）=_____；（2）（-2）×（____）=1； （3）（-3）×（-2）×____=-6； （4）-13×16=-（│-13│×│16│）=_____； （5）（ ）×（-5）=0．2．下列说法不正确的是（ ）A ．同号两数相乘，符号得正B ．异号两数相加，和取绝对值较大加数符号C ．两数相乘，积为负数，则两数异号D ．两数相乘，积为正数，则两数都是正数3．（易错题）法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了，如图1-4-1•所示为使用法国“小九九”计算7×8和8×9的两个示例，若用法国的“小九九”计算7×9，左，右手依次伸出手指的个数是（ ）A ．2，3B ．3，3C ．2，4D ．3，44．（阅读理解题）计算（-23）×（-214）． 解：（-23）×（-214） =-23×214① =-23×94② =-32③ 以上解题有无错误，为什么？◆课后测控5．两个数的积为______，两个数互为相反数，0没有______数，倒数等于本身的数是_____．6．（1）若ab>0，且a+b>0，则a______0，b______0．（2）若ab>0，且a+b<0，则a____0，b____0．7．计算下列各题:（1）-14×（-89）（2）0.2×（-103）（3）-320×56（4）4.6×（-2.25）（5）-6-（-2）×11 28．海拔上升1000米，气温变化量为-6℃，当地面温度0℃，若山高为4000米，•求山顶的气温是多少度？◆拓展测控9．（1）若定义运算“*”为a*b=a+b+ab，求3*（-2）值．（2）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是5求cd+a+b-│x│的值．答案: 课堂测控1．（1）1 （2）-12（3）-1 （4）-118（5）02．D 3．C4．解：错，积的符号应为正，第①步错了，结果为32．课后测控5．1，倒，±16．（1）>，> （2）<，<7．解：（1）原式=14×89=29（2）原式=-15×103=-23（3）原式=-320×56=-18（4）原式=-4.6×2.25=-10.35（5）原式=-6+2×32=-6+3=-3[解题思路]先确定积的符号，再将绝对值相乘．8．解：40001000×（-6）°=4×（-6）°=-24℃答：山顶气温为-24℃[解题技巧]用4000除以1000约4再乘以-6℃拓展测控9．解：（1）3*（-2）=3+（-2）+（-2）×3=1+（-6）=-5（2）a+b=0，cd=1，│x│=5所以cd+a+b-│x│=1+0-5=-4[解题思路]（1）按定义计算（2）运用相反数，倒数，绝对值定义求解．。

人教版数学七年级上册1.4.1 -1.5.3 课时训练1.4.1 有理数的乘法（1）1.一个有理数和它的相反数相乘，积为（ ）A.正数B.负数C.正数或0D.负数或02.如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧，那么这两个有理数的积（ ）A.一定为正数B.一定为负数C.为零D.无法判断3.若有2019个有理数相乘所得的积为零，那么这2019个数中（ ）A.最多有一个数为零B.至少有一个数为零C.恰有一个数为零D.均为零4.绝对值不大于4的整数的积是＿＿＿.5.在－2，3，4，－5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是＿＿＿.6.若c ，d 互为倒数，则－3cd ＝＿＿＿. 7.计算：（1）(－7.5)×(+25)×(－0.04).（2）45×(－253)×(－710). 8.计算：（1）(712－56+1)×(－24). （2）[(+15)+(－12)+(－512)]×(+60). （3）－99178×9. 9.小林和小华二人骑自行车的速度分别为每小时12千米和每小时11千米，若两人都行驶2小时，小林和小华谁走的路程长？长多少千米？10.登山队员攀登珠穆朗玛峰，在海拔3000m 时，气温为－20℃，已知每登高1000m ，•气温降低6℃，当海拔为5000m 和8000m 时，气温分别是多少？参考答案：1.D.提示：如1×(－1)＝－1，一个正数和一个负数相乘，积为负数，但不要漏掉0的情况；2.A ；3.B.4.0.提示：绝对值不大于4的整数为0，±1，±2，±3，±4，所以它们的积为0；5.12.提示：3×4＝12，其余积为负数和小于12；6.－13.提示：互为倒数的两个数乘积为1．所以cd ＝1.代入式子即得.7.（1）(－7.5)×(+25)×(－0.04)＝7.5×(25×0.04)＝7.5×1＝7.5；2.45×(－253)×(－710)＝+ (45×253×710)＝+143. 8. (712－56+1)×(－24)＝712×(－24)－56×(－24) +1×(－24)＝－14+20－24＝－18.（2）[(+15)+(－12)+(－512)]×(+60)＝＝15×60+(－12)×60+(－512)×60＝12－30－25＝－43.（3）－99178×9＝(－100+118)×9＝－900+12＝－89912. 9.小林走的路程为12×2＝24（千米），小华走的路程为11×2＝22（千米），•因为24＞22，所以小林走的路程比小华长，小林比小华多走24－22＝2（千米）.答：小林走的路程比小华长2千米.10.当海拔为5000m时，－20－500030001000-×6＝－32（℃）；当海拔为8000m时，－20－800030001000-×6＝－50℃，因此当海拔为5000m时，气温为－32℃，当海拔为8000m时，气温为－50℃.1.4.1 有理数的乘法（2）1.如果ab＝0，那么一定有（）A.a＝b＝0B.a＝0C.b＝0D.a，b至少有一个为02.已知abc＞0，a＞c，ac＜0，下列结论正确的是（）A.a＜0，b＜0，c＞0B.a＞0，b＞0，c＜0C.a＞0，b＜0，c＜0D.a＜0，b＞0，c＞03.已知a、b、c三个数在数轴是对应的点如图所示，则在下列式子中正确的是（）A.ac＞abB.ab＜bcC.cb＜abD.c+b＞a+b4.三个数的积是正数，那么三个数中负数的个数是＿＿＿.5.若干个有理数相乘，其积是负数，则负因数的个数是＿＿＿.6.若ab＞0，b＜0，则a＿＿＿0；若－abc＞0，b、c异号，则a＿＿＿0.7.当a＝－12，b＝13，c＝－3时，试计算代数式(a－b)(a－c)的值.8.|a|＝6，|b|＝3，求ab的值.9.讲完“有理数的乘法”后，老师在课堂上出了下面一道计算题：711516×(－8).不一会儿，不少同学算出了答案，老师把班上同学的解题归类写到黑板上：解法一：原式＝－115116×8＝－920816＝－575.解法二：原式＝(71+1516)×(－8)＝71×(－8)+1516×(－8)＝－57512.解法三：原式＝(72－116)×(－8)＝72×(－8)+116×(－8)＝－57512.对这三种解法，大家议论纷纷，你认为哪种方法最好？说说你的理由，通过对本题的求解，你有何启发？10.计算：(1+111+113+117)×(111+113+117+119)－(1+111+113+117+119)×(111+113+117).参考答案：1.D.提示：0同任何数相乘都得0；2.C.提示：由ac＜0，得a与c异号，由a＞c，得a ＞0，c＜0.由abc＞0，得b＜0，故选C；3.B.点拨：由数轴可知a＞0，c＜b＜0.4.0个或2个.提示：几个不为零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，因为三个数的积是正数，所以负因数为偶数个或0个；5.奇数.提示：由几个不为零的有理数相乘的法则可知；6，＜、＞.7.－21112. 8.由|a |＝6，得a ＝6或－6，由|b |＝3，得b ＝3或－3.所以①当a ＝6，b ＝3时，ab ＝6×3＝18；②当a ＝6，b ＝－3时，ab ＝6×(－3)＝－18；③当a ＝－6，b ＝3时，ab ＝(－6)×3＝－18；④当a ＝－6，b ＝－3时，ab ＝－6×(－3)＝18.所以ab ＝18或－18两种结果.9.解法二与解法三；解法二与解法三巧妙地利用了拆分思想，把带分数拆成一个整数与一个真分数的和，再应用分配律，简化了计算过程；我们在解题时要善于发现问题的特点. 10.119.提示：设a ＝1+111+113+117，b ＝111+113+117+119.则a －b ＝1－119＝1819.原式＝a ×b －(a +119)(b －119)＝a ×b －a (b －119)－119(b －119)＝a ×b －a ×b +19a －19b +2119＝19a b -+2119＝181919+2119＝21819+2119＝21919＝119.1.5.2 科学记数法1.用科学记数法表示的数正确的是（ ）A.23.1×103B.2.31×103C.0.231×103D.231×1052.在下列各大数的表示方法中，不是科学记数法的是（ ）A.8591000＝8.591×106B.380800000＝3.808×108C.98760000＝9.876×107D.100000000＝10.0×1073.－5.040×106表示的原数为（ ）A.－5040000B.－0.0000504C.－504.000 0D.－5040004. 据统计，2018年安徽省属企业实现营业收入总额8339.4亿元，同比增长12.4%．这里“8339.4亿”用科学记数法表示为（ ）A ．8339.4×108B ．8.3394×1011C ．8.3394×1010D ．8.3394×1095.地球上的海洋面积为36100000千米2，用科学记数法表示为________.6.光速约3×108米/秒，用科学记数法表示的数的原数是________.7.地球上平均每年发生的雷电为1千6百万次，平均每次能持续0.03秒钟，地球上没有雷电时间(平均值)合起来每年有多少天？(一年按365天计算)8.地球的质量约为6×1013亿吨，太阳的质量是地球质量的3.3×105倍，用科学记数法表示太阳的质量.9.地球公转时每小时约110000千米，声音在空气中传播的速度每小时约1200000米，请你比较谁的速度快一些.10.在－2.2，－2.02，－2.002，－2.0 202，－2.00 202中最大的数除以最小的数的商为x ，求5)]109(1[-÷x 的值，并用科学记数法表示出它的结果.参考答案：1.B.提示：科学记数法中的a 要求是只有一位整数，故选B ；2.D.提示：D 中的a 不是只有一位整数，故选D ；3.A.提示：数字前的符号不变，原数整数位比n 大1.故选A.4.B ；5.3.61×107千米2；6.300000000米/秒.7.16000000×0.03＝4.8×105秒,4.8×105÷60÷60÷24＝5.56天，所以没有雷电的时间大约359天.8.3.3×105×6×1013＝1.98×1019亿吨.9.地球公转的速度约为1.1×105km/h ，声音在空气中的传播速度约为1.2×106m/h ，即1.2×103km/h ，因为1.1×105＞1.2×103，所以地球公转的速度大.10.在－2.2，－2.02，－2.002，－2.0 202，－2.00 202中最大的数是－2.002，最小的数是－2.2，它们的商是10091=x ，所以69[1()]10x ÷-＝6919[1()]10010÷-＝1×1010.1.5.3 近似数1.下列数中，不是近似数的是（ ）A.七年（1）班共有学生48人，其中男生5人，女生23人B.中华人民共和国土地面积约960万平方千米C.某工厂共有职工约2000人D.某中学共有师生约3000人2. 按要求对0.05019分别取近似值，下面结果错误的是（ ）A.0.1（精确到0.1）B.0.05（精确到0.001）C.0.050（精确到0.001）D.0.0502（精确到0.0001）3. 台湾是我国最大的岛屿，总面积为35 989.76平方千米.用科学记数法应表示为（保留到小数点后两位）（ ）A.3.59×106平方千米B.3.60×106平方千米C.3.59×104平方千米D.3.60×104平方千米4. 已知13.5亿是由四舍五入取得的近似数，它精确到＿＿＿位.5.若将数2.598精确到十分位是＿＿＿.6.在数据50名学生和40kg 大米中，＿＿＿是精确数，＿＿＿是近似数.7.现在有13人要去登山观光，每辆车一次最多能拉4人，求共需要多少辆车？8. 用四舍五入法，求出下列各数的近似数.（1）0.632 8（精确到0.01）. （2）7.912 2（精确到个位）.（3）47 155（精确到百位）. （4）1.200 0（精确到百分位）.9.张大爷有50000元钱，想存3年，甲建议他存3个1年期，每年到期连本带息取出转存1年，乙建议他存一个3年期，请按表中给出的利率帮助张大爷算一算，按谁的建议存款获利较多？（借助计算器计算）10.在长为1000米的圆形自行车赛道上，有三人进行自行车比赛，这三人同时出发，已知甲比乙快3%，乙比丙慢3%，乙骑行6000米的成绩恰好为10分钟，求此时甲、丙相距多少米？谁在前？（精确到0.01米）参考答案：1.A；2.B；3.D.4. 千万；5.2.6；6.50、40.7.根据题意13÷4＝3.25．答：需要4辆车.8. （1）0.632 8≈0.63.（2）7.912 2≈8.（3）47 155≈4.72×104.（4）1.200 0≈1.20.9.按甲的建议：50000(1+2.25%)3＝53451.51.按乙的建议：50000(1+2.70%×3)＝54050.所以按乙的建议存款获利较多.10.乙速度为1000×6÷10＝600（米/分），甲速度为600(1+3%)＝618（米/分），丙速度为600÷(1－3%)＝618.557（米/分），出发10分钟后，甲骑行618×10＝6180（米）.乙骑行6000米，丙骑行618.557×10＝6185.57（米）.所以6185.57－6180＝5.57（米），即丙在前，甲、丙相距5.57米.。

1.4有理数的乘除法1．4.1有理数的乘法第1课时有理数的乘法法则课题第1课时有理数的乘法法则教学目标知识与技能1.理解并熟练掌握有理数的乘法法则.2.会利用法则进行有理数的乘法运算并解决实际问题．过程与方法1.经历探索、归纳有理数乘法法则的过程，发展学生观察、归纳、猜测、验证等能力．2.通过有理数的乘法法则的推导，通过把加法运算转化为乘法运算，渗透分类讨论的思想、转化思想，感悟中小学乘法运算的区别．通过体验有理数的乘法运算，感悟和归纳出乘法运算的一般步骤．教学目标情感态度在探索过程中尊重学生的学习态度，树立学生学习数学的自信心，培养学生严谨的数学思维能力．教学重点有理数乘法法则的理解和运用.教学难点有理数乘法运算中积的符号的确定．教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境导入新课问题：小学已经学过正数与正数的乘法、正数与零的乘法，那么引入负数之后，怎样进行有理数的乘法运算？有理数的乘法运算有几种情况？处理方法：让学生充分思考后回答，同时教师引导学生从有理数分为正有理数、零、负有理数的角度去考虑，点拨学生的展示情况，最后得出结论．学生：正数×负数，负数×正数，负数×负数；例如：3×（-3），（-3）×3，（-3）×（-3）将有理数按正有理数、零、负有理数进行分类，体现分类的合理性，并向学生渗透分类讨论思想，有利于学生探究有理数的乘法法则活动二：实践探究交流新知【探究1】异号两数相乘a．观察下面的乘法算式，你能发现什么规律吗？3×3＝9，3×2＝6，3×1＝3，3×0＝0.规律：随着后一乘数逐次递减1，________.b．要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：3×(－1)＝－3，3×(－2)＝________，3×(－3)＝________.c．观察下面的算式，你又能发现什么规律？本活动的设计意在引导学生通过加法的计算和数字的规律变化，观察一个因数增加或减少1，乘积的变化规律，递推得出两个负数相乘的结果，进而推出有理数乘法的法则．通过乘法法3×3＝9， 2×3＝6， 1×3＝3，0×3＝0. 规律：________________. d ．要使c 中的规律在引入负数后仍成立，那么应有： (－1)×3＝________， (－2)×3＝________， (－3)×3＝________. (2)以小组为单位对以上问题从符号和绝对值两个角度进行观察总结归纳，得出正数乘正数，正数乘负数，负数乘正数的规律． (3)利用(2)中的结论计算下面的算式，你又发现了什么规律？ (－3)×3＝________， (－3)×2＝________， (－3)×1＝________， (－3)×0＝________.规律：________________(4)按照(3)中的规律，填充下格，并总结归纳． (－3)×(－1)＝________， (－3)×(－2)＝________， (－3)×(－3)＝________.结论：负数乘负数________________处理方式：探索规律得到结果．教师要鼓励学生用自己的语言表达，学生可能表达的不够准确，教师要适时引导鼓励学生主动发现有理数相乘的符号和绝对值的两个规律．师生在此基础上归纳． 有理数的乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 任何数与0相乘，都得0. 活动内容：你能用字母表示这一法则吗？ 处理方式：先让学生尝试着用字母表示这一法则，教师板书： a>0，b>0，积ab 的符号________； a>0，b<0，积ab 的符号________； a<0，b<0，积ab 的符号________； a<0，b>0，积ab 的符号________； a 与b 中至少有一个0，积ab________． 教师强调法则：在计算时，先看是否零因数，若有零因数，则结果为0；若没有零因数，然后先判断符号后判断其绝对值． 【探究2】倒数 计算：(1)3×13；(2)－3×(－13)；(3)45×54. 观察以上各式，你能发现结果有什么特殊性？归纳总结：乘积为1的两个数互为倒数．则的推导，揭示了有理数运算中加法与乘法的关系，体会转化的数学思想．通过用字母表示法则，体现了字母代替数的优越性．活动三：应用迁移，巩固提高。