三年高考2016_2018高考数学试题分项版解析专题18双曲线理含解析75-新整理

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ)理科数学注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0 B ．12C ．1D ．2 2．已知集合2{|20}A x x x =-->,则A =RA ．{|12}x x -<<B ．{|12}x x -≤≤C {|1}{|2}x x x x <->D ．{|1}{|2}x x x x -≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番。

为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图:则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后,种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和. 若3243S S S =+，12a ，则5aA ．12-B ．10-C ．10D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+。

若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点,则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC +7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x ：的焦点为F ，过点(2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点，则FM FNA ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e ,0,()ln ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤ ()()g x f x x a =++. 若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形. 此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ。

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设z=+2i，则|z|=（）A．0B．C．1D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A=（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}3．（5分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=（）A．﹣12B．﹣10C．10D．125．（5分）设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x6．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则=（）A．﹣B．﹣C．+D．+7．（5分）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2B．2C．3D．28．（5分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（﹣2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则•=（）A．5B．6C．7D．89．（5分）已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）10．（5分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p3 11．（5分）已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）A．B．3C．2D．412．（5分）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题01 集合考纲解读明方向分析解读1.掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系.2.深刻理解、掌握集合的元素,子、交、并、补集的概念.熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质.能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算.3.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言表示为表现形式,考查数学思想方法.4.本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题.命题探究练扩展2018年高考全景展示1．【2018年理北京卷】已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A B=A. {0，1}B. {–1，0，1}C. {–2，0，1，2}D. {–1，0，1，2}【答案】A【解析】因此A B=，选A.点睛：认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.2．【2018年理新课标I卷】已知集合，则A. B.C. D.【答案】B程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.3．【2018年全国卷Ⅲ理】已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】由集合A得,所以，故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题。

4．【2018年理数全国卷II】已知集合，则中元素的个数为A. 9B. 8C. 5D. 4【答案】A【解析】.，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 5．【2018年理数天津卷】设全集为R，集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.本题选择B 选项.点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．【2018年江苏卷】已知集合，，那么________．【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：.点睛：本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.2017年高考全景展示1.【2017课标1，理1】已知集合A={x|x<1}，B={x|}，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由可得，则，即，所以，，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.【2017课标II，理】设集合，.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】交集运算，元素与集合的关系【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.两个防范：一是不要忽视元素的互异性；二是保证运算的准确性.3．【2017课标3，理1】已知集合A=，B=，则A B 中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【考点】交集运算；集合中的表示方法.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.4.【2017北京，理1】若集合A={x|–2<x<1}，B={x|x<–1或x>3}，则A B=（）（A）{x|–2<x<–1} （B）{x|–2<x<3}（C）{x|–1<x<1} （D）{x|1<x<3}【答案】A【解析】利用数轴可知，故选A.【考点】集合的运算【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.5.【2017浙江，1】已知，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用数轴，取所有元素，得．【考点】集合运算【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．6.【2017天津，理1】设集合，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】 ,选B【考点】集合的运算【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.7.【2017江苏，1】已知集合，，若则实数的值为 .【答案】1【解析】由题意，显然，所以，此时，满足题意，故答案为1．【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.2016年高考全景展示1.【2016课标1,理1】设集合 ,,则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.2.【2016新课标3理数】设集合，则（）(A) [2，3] (B)（-，2] [3,+） (C) [3,+） (D)（0，2] [3,+）【答案】D【技巧点拨】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．3.【2016新课标2理数】已知集合，，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：集合，而，所以，故选C.考点：集合的运算.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简在计算，常常借助数轴或韦恩图处理.4. 【2016山东理数】设集合则=（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】试题分析：，，则，选C.考点：1.指数函数的性质；2.解不等式；3.及集合的运算.【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年题目看，集合的基本运算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.本题与求函数值域、解不等式等相结合，增大了考查的覆盖面.5.【2016浙江理数】已知集合则（）A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．【答案】B【解析】试题分析：根据补集的运算得．故选B．考点：1、一元二次不等式；2、集合的并集、补集．【易错点睛】解一元二次不等式时，的系数一定要保证为正数，若的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出错．6.【2016年北京理数】已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，故选C.考点：集合交集.【名师点睛】1．首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．7.【2016年四川理数】设集合，Z为整数集，则中元素的个数是（）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6【答案】C【解析】由题意，，故其中的元素个数为5，选C.考点：集合中交集的运算.【名师点睛】集合的概念及运算一直是的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般是结合不等式，函数的定义域值域考查，解题的关键是结合韦恩图或数轴解答.8．【2016天津理数】已知集合则=（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】试题分析：选D.考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，误求并集，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确集合交集的考查立足于元素互异性，做到不重不漏.9.【2016江苏卷】已知集合则____________. 【答案】【解析】试题分析：考点：集合运算【名师点睛】本题重点考查集合的运算，容易出错的地方是审错题意，属于基本题，难点系数较小.一要注意培养良好的答题习惯，避免出现粗心错误，二是明确江苏对于集合题的考查立足于列举法，强调对集合运算有关概念及法则的理解。

2018年高考理数真题试卷（全国Ⅱ卷）一、选择题1.1+2i1−2i=( )A. −45−35i B. −45+35i C. −35−45i D. −35+45i2.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}.则A中元素的个数为（）A. 9B. 8C. 5D. 43.函数f(x)=e x−e−xx2的图像大致为( )A. B.C. D.4.已知向量a→，b→满足|a→|=1, a→⋅b→=−1 ，则a→·(2a→-b→)=（）A. 4B. 3C. 2D. 05.双曲线x2a2−y2b2=1（a>0,b>0）的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A. y=±√2xB. y=±√3xC. y=±√22x D. y=±√32x6.在ΔABC中，cos C2=√55,BC=1,AC=5则AB=（）A. 4√2B. √30C. √29D. 2√57.为计算S=1−12+13−14+⋅⋅⋅+199−1100,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（）A. i=i+1B. i=i+2C. i=i+3D. i=i+48.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A. 112 B. 114 C. 115 D. 1189.在长方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=1，AA 1= √3 ,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A. 15 B. √56C. √55D. √2210.若 f(x)=cosx −sinx 在 [−a,a] 是减函数，则a 的最大值是( ) A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π11.已知 f(x) 是定义为 (−∞,+∞) 的奇函数，满足 f(1−x)=f(1+x) 。

双曲线年份题号考点考查内容2011理7双曲线直线与双曲线的位置关系，双曲线的几何性质2012理8文10双曲线抛物线与双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系2013卷1文理4双曲线双曲线的离心率和渐近线2014卷1理4双曲线双曲线的标准方程及其几何性质文4双曲线双曲线的离心率卷2理5双曲线双曲线的标准方程及其几何性质2015卷1文16双曲线双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系卷2理11双曲线双曲线的标准方程及其几何性质文15双曲线双曲线的标准方程的求法，双曲线的渐近线2016卷2理11双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算2017卷1理15双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法文5双曲线双曲线标准方程及其几何性质卷2理9圆、双曲线圆的几何性质，双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算文5双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的计算卷3理5双曲线双曲线与椭圆的几何性质，待定系数法求双曲线的方程文14双曲线双曲线的渐近线2018卷1理11双曲线双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系卷2理5文6双曲线双曲线的几何性质卷3理11双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法文10双曲线双曲线的离心率、渐近线，点到直线距离公式2019卷1理16双曲线双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法文10双曲线双曲线的离心率、渐近线卷2理11文12圆、双曲线直线与圆的位置关系，双曲线的几何性质，双曲线离心率的求法卷3理10双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质文10双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质2020卷1理15双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质，双曲线离心率的求法文11双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质卷2理8文9双曲线双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系卷3理11双曲线双曲线的定义、标准方程及其几何性质文14双曲线双曲线的渐近线、离心率考点出现频率2021年预测考点92双曲线的定义及标准方程23次考2次命题角度：(1)双曲线的定义及应用；(2)双曲线的标准方程；(3)双曲线的几何性质．核心素养：直观想象、数学运算考点93双曲线的几何性质23次考21次考点94直线与双曲线的位置关系23次考5次考点92双曲线的定义及标准方程1．(2017新课标Ⅲ理)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 【解析】由题意可得：52b a =，3c =，又222a b c +=，解得24a =，25b =，则C 的方程为2145x y 2-=，故选B ．2．(2017天津理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】B 【解析】设(,0)F c -，双曲线的渐近线方程为b y x a =±，由44PF k c c -==-，由题意有4b c a=，又ca=222c a b =+，得b =，a =B ．3．【2017天津文】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为()A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2213x y -=D ．2213y x -=【答案】D【解析】由题意可得2222tan 603c c a b ba ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=︒=⎩，解得221,3ab ==，故双曲线方程为2213y x -=，故选D ．4．(2016天津理)已知双曲线222=1(0)4x y b b->，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为()A ．22443=1y x -B ．22344=1y x -C ．2224=1x y b-D ．2224=11x y -【答案】D 【解析】不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，所以2242x y by x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得224424x b y b ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，故四边形ABCD 的面积为22232442444bxy b b b b =⨯==+++，解得212b =．故所求的双曲线方程为2224=11x y -，故选D ．5．【2016天津文】已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的焦距为52，且双曲线的一条渐近线与直线02=+y x 垂直，则双曲线的方程为()A ．1422=-y x B ．1422=-y x C ．15320322=-y x D ．12035322=-y x 【答案】A【解析】由题意得2215,2,11241b x yc a b a ==⇒==⇒-=，故选A ．6．(2015安徽理)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C 【解析】由题意，选项,A B 的焦点在x 轴，故排除,A B ，C 项的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C ．7．(2014天津理)已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=【答案】A 【解析】依题意得22225b a c c a b ìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=．8．(2012湖南文理)已知双曲线C ：22x a -22y b =1的焦距为10，点P(2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1B ．25x -220y =1C ．280x -220y =1D ．220x -280y =1【答案】A 【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==．又 C 的渐近线为b y x a =±，点P(2，1)在C 的渐近线上，12ba∴=，即2a b =．又222c a b =+，a ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1．9．(2011山东文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆C ：22x y +-650x +=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -=【答案】A 【解析】圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc=，则22,5b a ==，故选A ．10．(2016北京文)已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为，则a =_______；b =_____________．【答案】1,2a b ==．【解析】依题意有2c b a⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，结合222c a b =+，解得1,2a b ==．11．(2016北京理)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为正方形OABC 的边,OA OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a =______．2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线图象如图，∵OABC 为正方形，2=OA∴==c OB π4∠=AOB ，∵直线OA 是渐近线，方程为=b y x a ，∴tan 1=∠=bAOB a，又∵2228+==a b c ，∴2=a．12．(2015新课标1文)已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为．【答案】2214x y -=【解析】∵双曲线的渐近线方程为x y 21±=，故可设双曲线的方程为22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点)3,4(，∴2244λ-=，∴1λ=，故双曲线的方程为2214x y -=．13．(2015北京理)已知双曲线()22210x y a a-=>0y +=，则a =．33【解析】因为双曲线()22210x y a a -=>的一条渐近线为y =，所以1a =，故33a =．14．(2011山东文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为．【答案】22143x y -=【解析】由题意可知双曲线的焦点(，，即c =心率为274c a =，∴2a =，故23b =，∴双曲线的方程为22143x y -=．考点93双曲线的几何性质15．(2020·新课标Ⅰ文)设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为()A ．72B ．3C ．52D ．2【答案】B【解析】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，∵121||1||2OP F F ==，∴点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，∴12F F P S =△121||||32PF PF =，故选B ．16．【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点12,F F ，离心率为5．P 是C 上的一点，且P F P F 21⊥．若21F PF ∆的面积为4，则=a ()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【思路导引】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案．【解析】解法一：ca=c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=，12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=，12F P F P ⊥ ，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选A ．解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =．∴︒45tan 2b =4，则2=b ，又∵5==ace ，∴1=a ．解法三：设n PF m PF ==21,，则421==mn S F PF ，a n m 2=-，5,4222===+ace c n m ，求的1=a ．17．【2020年高考浙江卷8】已知点()()()0,0,2,0,2,0O A B -．设点P 满足–2PA PB =，且P 为函数y =图像上的点，则OP =()A．2B．5CD．【答案】D【解析】由条件可知点P 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上，并且2,1c a ==，∴23b =，方程为()22103yx x -=>且点P为函数y =上的点，联立方程()22103y x x y ⎧-=>⎪⎨⎪=⎩，解得：2134x =，2274y =，OP ∴==D ．18．【2019·全国Ⅰ文】双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为()A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50 cea∴======︒，故选D．19．【2019年高考全国Ⅱ理】设F为双曲线C：22221(0,0)x y a ba b-=>>的右焦点，O为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a+=交于P，Q两点．若PQ OF=，则C的离心率为A BC．2D【答案】A【解析】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ x⊥轴，又||PQ OF c==，||,2cPA PA∴=∴为以OF为直径的圆的半径，∴||2cOA=，,22c cP⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P点在圆222x y a+=上，22244c c a∴+=，即22222,22c ca ea=∴==．e∴=，故选A．20．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：2242x y-=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若=PO PF，则△PFO的面积为A ．324B ．322C ．22D ．32【答案】A【解析】由222,2,6,a b c a b ===+=6,2P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则263222P P b y x a =⋅=⨯=，1133262224PFO P S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选A ．【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．21．【2019·全国Ⅲ文】已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52C ．72D ．92【答案】B【解析】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又453OP OF ==+=，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =，0115532232OPF S OF y ∴=⋅=⨯⨯=△，故选B ．22．【2019·北京文】已知双曲线2221x y a-=(a>0)的离心率是5，则a=()A 6B ．4C ．2D ．12【答案】D【解析】∵双曲线的离心率c e a ==c =，∴1a=12a =，故选D ．23．【2019·浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是()A ．22B ．1C ．D ．2【答案】C【解析】∵双曲线的渐近线方程为0x y ±=，∴a b =，则c ==，∴双曲线的离心率ce a==C ．24．(2018全国Ⅱ文理)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a b的离心率为()A ．=yB ．=yC ．2=±y x D ．2=±y x 【答案】A【解析】∵c e a ==，∴2222221312b c a e a a-==-=-=，∴b a =b y x a =±，∴渐近线方程为y =，故选A ．25．【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2C ．322D ．【答案】D【解析】c e a === 1b a ∴=，∴双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=，∴点(4,0)到渐近线的距离d ==，故选D ．26．【2018高考浙江2】双曲线2213x y -=的焦点坐标是()A ．()),0,B ．()()20,0,2,-C ．((0,,0D ．()()0,22,0,-【答案】B【解析】试题分析：根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标．试题解析： 双曲线方程为2213x y -=，∴焦点坐标可设为()0,c ±．222,3142c a b c =+=+== ，∴焦点坐标为()20,±，故选B ．【名师点睛】由双曲线方程()222210,0x y a b a b-=>>可得焦点坐标为()(,0c c ±=，顶点坐标为()0,a ±，渐近线方程为by x a=±．27．【2018高考全国1理11】已知双曲线13:22=-y x C ，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN △为直角三角形，则=MN ()A ．23B ．3C ．32D ．4【答案】B【解析】【基本解法1】(直接法)∵双曲线221,(2,0)3x y F -=，∴渐近线方程为33y x =±，倾斜角分别为30,150 ，∴60MON ∠= ，不妨设90MNO ∠= ，∴30,30OMN FON ∠=∠= ，∵2OF =，∴在Rt FON ∆中，3cos3022ON OF =⋅=⨯=，∴在Rt MON ∆中，tan 603MN ON =⋅==．【基本解法2】(直接法)根据题意，可知其渐近线的斜率为()2,0F ，从而得到30FON ∠=︒，∴直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN的方程为)2y x =-，分别与两条渐近线y =和y x =联立，求得(33,,,32M N MN ⎛∴= ⎝⎭，故选B ．28．【2018高考天津文理7】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为()A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．22139x y -=D ．22193x y -=【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为()()00,F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bc d d b c +===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ===，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选C ．29．【2017·全国Ⅰ文】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为A ．13B ．12C ．23D ．32【答案】D【解析】由2224c a b =+=得2c =，∴(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，∴3||=PF ，又点A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，故选D ．30．【2017·全国Ⅱ文】若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是()A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)【答案】C【解析】由题意得222222111c a e a a a+===+，∵1a >，∴21112a <+<，则1e <<C ．31．(2017新课标Ⅱ理)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线被圆22(2)4x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为()A ．2B C D ．233【答案】A 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心(2,0)到渐近线的距离为2b d c==，圆心(2,0)到弦的距离也为d ==，所以2b c =，又222c a b =+，所以得2c a =，所以离心率2ce a==，选A ．32．(2016全国I 理)已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A ．(–1，3)B ．(–1，3)C ．(0，3)D ．(0，3)【答案】A 【解析】由题意得22()(3)0m n m n +->，解得223m n m -<<，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得M 2234m n m n ++-=，即21m =，所以13n -<<．33．(2016全国II 理)已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为()A B ．32C D ．2【答案】A 【解析】设1(,0)F c -，将x c =-代入双曲线方程，得22221c y a b -=，化简得2by a=±，因为211sin 3MF F ∠=，所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac-∠=====122224c a e a c e -=-=，所以22102e e --=，所以e =A ．34．(2016浙江理)已知椭圆1C ：2221x y m +=(1m >)与双曲线2C ：2221x y n -=(0n >)的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <【答案】A 【解析】由题意知2211m n -=+，即222m n =+，222221222221111()2m n n n e e m n n n -+++=⋅=⋅+4242422111122n n n n n n ++==+>++，∴121e e >．故选A ．35．(2015湖南文)若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点(3,4)-，则此双曲线的离心率为A．3B ．54C ．43D ．53【答案】D 【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，点(3,4)-在渐近线上，∴43b a =，又222a b c +=，∴2222162599c a a a =+=，∴53c e a ==．36．(2015四川文理)过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于,A B 两点，则||AB ＝A．3B ．C ．6D ．【答案】D 【解析】双曲线2213y x -=的右焦点为(2,0)，渐近线方程为y =，将2x =代入y =得y =±，∴||AB =．37．(2015福建理)若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于()A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．38．(2015湖北理)将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D【解析】由题意1e a ==，2e ==∵()()b b m m b a a a m a a m +--=++，由于0m >，0a >，0b >，所以当a b >时，01b a <<，01b m a m +<<+，b b m a a m +<+，22(()b b m a a m+<+，所以12e e <；当a b <时，1b a >，1b m a m +>+，而b b m a a m +>+，22((b b m a a m+>+，所以12e e >．所以当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >．39．(2015重庆文)设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12,A A ，过F 做12A A 的垂线与双曲线交于,BC 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的渐近线的斜率为A ．12±B ．22C ．1±D．【答案】C 【解析】由题意，得12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，将x c =代入双曲线方程，解得2b y a =±．不妨设2(,)b B c a ，2(,)b C c a -，则1222,A BA C b b a a k k c a c a-==+-，根据题意，有221b b a a c a c a -⋅=-+-，整理得1b a=，∴双曲线的渐近线的斜率为1±．40．(2015重庆理)设双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于,B C 两点，过,B C 分别作,AC AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC的距离小于a ，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是A ．(1,0)(0,1)-∪B ．(,1)(1,)-∞-+∞∪C．∪D．(,1))-∞-+∞∪【答案】A 【解析】由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a -，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC ⊥得221b b a a c x a c -⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a ⇒<<，而双曲线的渐近性斜率为b a±，所以双曲线的渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)- ，故选A ．41．(2014新课标1文理)已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为AB ．3CD ．3m【答案】A 【解析】双曲线方程为22133x y m -=，焦点F到一条渐近线的距离为b =，故选A ．42．(2014广东文理)若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等【答案】A 【解析】∵09k <<，∴90,250k k ->->，本题两条曲线都是双曲线，又25(9)(25)9k k +-=-+，∴两双曲线的焦距相等，故选A ．43．(2014重庆文理)设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得,49||||,3||||2121ab PF PF b PF PF =⋅=+则该双曲线的离心率为A ．34B ．35C ．49D ．3【答案】B 【解析】由双曲线的定义得12||||||2PF PF a -=，又12||||3PF PF b +=，∴22221212(||||)(||||)94PF PF PF PF b a +--=-，即124||||9PF PF ab =，因此22949b a ab -=，即299()40b b a a --=，则(31b a +)(34ba-)=0，解得41(33b b a a ==-舍去)，则双曲线的离心率251()3b e a =+=．44．(2013新课标1文理)已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0a b >>)的离心率为52，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±【答案】C 【解析】由题知，52c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22b a=14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x =±，故选C ．45．(2013湖北文理)已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【答案】D 【解析】双曲线1C 的离心率是11cos e θ=，双曲线2C 的离心率是()222sin 1tan 1sin cos e θθθθ+==，故选D ．46．(2012新课标文理)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为()A ．2B ．22C ．4D ．8【答案】C 【解析】设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B --得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=47．(2012福建文理)已知双曲线22215x y a -=的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于A ．31414B ．324C ．32D ．43【答案】C 【解析】∵双曲线22215x y a -=的右焦点为(3，0)，∴2a +5=9，∴2a =4，∴a =2，∵c =3，∴32c e a ==，故选C ．48．(2011安徽文理)双曲线x y 222-=8的实轴长是()A ．2B ．22C ．4D ．42【答案】C 【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =．故选C ．49．(2011湖南文理)设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为3y x a=±，故可知2a =．50．(2011天津文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2，-1)，则双曲线的焦距为()A ．23B ．25C ．43D ．45【答案】B 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为by x a =±，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)得22p -=-，即4p =，又∵42pa +=，∴2a =，将(－2，－1)代入by x a=得1b =，∴225c a b =+=，即225c =．51．【2020年高考全国Ⅰ理15】已知F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为．【答案】2【思路导引】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【解析】依题可得，3BFAF =，而2b BF a=，AF c a =-，即23b a c a=-，变形得22233c a ac a -=-，化简可得，2320e e -+=，解得2e =或1e =(舍去)．故答案为：2．52．【2020年高考江苏6】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)5x y a a -=>的一条渐近线方程为52y x =，则该双曲线的离心率是．【答案】32【解析】由22205x y a -=得渐近线方程为5y x a =±，又0a >，则2a =，2259c a =+=，3c =，得离心率32c e a ==．53．【2020年高考北京卷12】已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为________；C 的焦点到其渐近线的距离是__________．【答案】(3,0)【解析】∵双曲线22163x y -=，∴26a =，23b =，222639c a b =+=+=，∴3c =，∴右焦点坐标为(3,0)，∵双曲线中焦点到渐近线距离为b，∴b =．54．【2019·江苏】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲．【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =，∵0b >，∴b =．∵1a =，∴双曲线的渐近线方程为y =．55．【2018·北京文】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为52，则a =________________．【答案】4【解析】在双曲线中c ==，且2c e a ==，∴2a a =，即216a =，∵0a >，∴4a =．56．(2018北京理14)已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．12-；【解析】设椭圆的右焦点为(,0)F c ，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ，由题意可知(,22c A ，由点A 在椭圆M 上得，22223144c c a b +=，∴22222234b c a c a b +=，222b a c =-，∴22222222()34()a c c a c a a c -+=-，∴4224480a a c c -+=，∴428+40e e -=椭椭，∴24e =±椭，∴1e =椭(舍去)或1e =椭，∴椭圆M 1，∵双曲线的渐近线过点3(,22c A ，渐近线方程为y =，故双曲线的离心率2e ==双．57．【2018高考江苏8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点(),0F c 到一条渐近线的距离为32，则其离心率的值是▲．【答案】2【解析】试题分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率．试题解析：∵双曲线的焦点(),0F c 到渐近线by x a=±即0bx ay ±=的距离为bcb c==，2b c ∴=，因此222222311244,,2a c b c c c a c e =-=-===．【名师点睛】双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a ．58．【2018高考上海2】双曲线2214x y -=的渐近线方程为．【答案】2x y =±【解析】由已知得24,1a b ==，渐近线方程为2x y =±．【考点分析】双曲线简单的几何性质，考查运算求解能力59．(2017新课标Ⅰ理)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若MAN ∠=60°，则C 的离心率为________．【答案】233【解析】如图所示，AH MN ⊥，AM AN b ==，MAN ∠=60°，所以30HAN ∠= ，又MN 所在直线的方程为by x a=，(,0)A a 到MN的距离AH =在Rt HAN ∆中，有cos HA HAN NA =，所以32=，即2=，因为222c a b =+，得2a c =，所以3c e a ==．60．(2017新课标Ⅲ文)双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a =．【答案】5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为3y x a=±，结合题意可得5a =．61．(2017山东文理)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ，B 两点，若||||4||AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为．【答案】22y x =±【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=，∵22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩，∴222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为22y x =±．62．(2017北京文理)若双曲线221y x m-=的离心率为m =_________．【答案】2【解析】∵221,a b m ==，∴11c a ==2m =．63．【2016浙江文】设双曲线x 2–23y=1的左、右焦点分别为F 1，F 2．若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______．【答案】(27,8)．【解析】由已知得1,3,2a b c ===，则2ce a==，设(,)P x y 是双曲线上任一点，由对称性不妨设P 在双曲线的右支上，则12x <<，121PF x =+，221PF x =-，12F PF ∠为锐角，则2221212PF PF F F +>，即222(21)(21)4x x ++->，解得72x >，∴722x <<，则1247,8)PF PF x +=∈．64．(2016山东文理)已知双曲线E ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2||3||AB BC =，则E 的离心率是．【答案】2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==，作出图象如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a ==65．(2015新课标1文)已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，(0,66)A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为．【答案】C ：2218y x -=的右焦点为(3,0)F ，实半轴长1a =，左焦点为(3,0)M -，∵P 在C 的左支上，∴ΔAPF 的周长|||||l AP PF AF =++||||||||PF AF AM PM ++-≥=||||21515232AF AM a ++=++=，当且仅当,,A P M 三点共线且P 在,A M 中间时取等号，此时直线AM的方程为13x =-，与双曲线的方程联立得P的坐标为(2,-，此时，ΔAPF的面积为116622⨯⨯-⨯⨯=．66．(2015山东文)过双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P ，若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为．【答案】2【解析】设直线方程为()b y x c a =-，由22221()x y a b b y x c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222a c x c +=，由2222a c a c+=，ce a =，解得2e =+(2e =-舍去)．67．(2015山东理)平面直角坐标系xOy 中，双曲线1C ：22221x y a b -=(0,0)a b >>的渐近线与抛物线2C ：22x py =(0p >)交于,,O A B ，若△OAB 的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为_______．32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线为by x a =±，则2222(,)pb pb A a a ，2222(,)pb pb B a a -，22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p F ，则22222AFpb pa a k pb b a-==，即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==．68．(2014山东文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且||FA c =，则双曲线的渐近线方程为．【答案】y x =±【解析】抛物线的准线2p y =-，与双曲线的方程联立得2222(1)4p x a b =+，根据已知得2222(1)4p a c b +=①，由||AF c =得2224p a c +=②，由①②得22a b =，即a b =，∴所求双曲线的渐近线方程为y x =±．69．(2014浙江文理)设直线30(0)x y m m -+=≠与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A ，B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB =，则该双曲线的离心率是．【答案】2【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程b y x a =±可解得交点为(,)33am bmA b a b a--，(,33am bmB b a b a-++，而13ABk =，由||||PA PB =，可得AB 的中点3333(,)22am am bm bmb a b a b a b a -+-+-+与点)0,(m P 连线的斜率为-3，可得224b a =，∴52e =．70．(2014北京文理)设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．【答案】221312x y -=2y x =±【解析】设与2214y x -=具有相同渐近线的双曲线C 的方程为224y x k -=，将点()2,2代入C 的方程中，得3k =-．∴双曲线的方程为221312x y -=，渐近线方程为2y x =±．71．(2014湖南文理)设F 1，F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为_________．1+【解析】由已知可得，12cos30PF c ==，22sin 30PF c c == ，由双曲线的定义，2c a -=，则1c e a ===．72．(2013辽宁文理)已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，,P Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点(5,0)A 在线段PQ ，则PQF ∆的周长为．【答案】44【解析】由题意得，||||6FP PA -=，||||6FQ QA -=，两式相加，利用双曲线的定义得||||28FP FQ +=，∴PQF ∆的周长为||||||44FP FQ PQ ++=．73．(2013陕西理)双曲线221169x y -=的离心率为．45【解析】所以离心率为45,45162516922222=⇒==⇒=e ac e a b 74．(2012辽宁文理)已知双曲线122=-y x ，点21,F F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若21PF PF ⊥，则21PF PF +的值为．【答案】121,22,a c PF PF a ==∴-==22112224PF PF PF PF ∴-+=22212121221212,(2)8,24,()8412,PF PF PF PF c PF PF PF PF PF PF ⊥∴+==∴=∴+=+=∴+= 75．(2012天津文理)已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 与双曲线1164:222=-y x C 有相同的渐近线，且1C的右焦点为F ，则a =b =．【答案】1，2【解析】双曲线的116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-b y a x 的渐近线为x a by ±=，∴有2=a b，a b 2=，又双曲线12222=-by a x 的右焦点为)0,5(，∴5=c ，又222b a c +=，即222545a a a =+=，∴2,1,12===b a a ．76．(2012江苏文理)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为．【答案】2【解析】由题意得m ＞0，∴a =m ，b =,4,422++=∴+m m c m 由e =5=a c得542=++mm m ，解得m =2．77．(2011北京文理)已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线的方程为2y x =，则b =．【答案】2【解析】由2221(0)y x b b -=>得渐近线的方程为2220y x b-=，即y bx =±，由一条渐近线的方程为2y x =得2b =．考点94直线与双曲线的位置关系78．(2020·新课标Ⅱ文理8)设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D EODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32【答案】B【思路导引】∵()2222:10,0x y C a b a b-=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a =±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE ∆的面积为8，可得ab值，根据2c =结合均值不等式，即可求得答案．【解析】∵2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩，故(,)D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩，故(,)E a b -，∴||2ED b =，∴ODE ∆面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，∴其焦距为28c =≥==，当且仅当a b ==取等号，∴C 的焦距的最小值：8，故选B ．79．(2020·浙江卷)已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P 满足|PA|–|PB|=2，且P 为函数y=图像上的点，则|OP|=()A ．222B ．4105CD．【答案】D【解析】∵||||24PA PB -=<，∴点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数y =由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得132332x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==80．(2019天津文理)已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =(O 为原点)，则双曲线的离心率为()ABC ．2D【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±，则有(1,(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24b a =，2b a =，∴c e aa===D ．【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度．解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．81．【2018高考全国2理5】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其渐近线方程为()A．y =B．y =C ．22y x =±D ．32y x =±【答案】A【解析】试题分析：根据离心率得,a c 关系，进而得,a b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果．试题解析：222222,12,c b c a b e e a a a a-==∴==-=∴= ．∵渐近线方程为,by x a=±∴渐近线方程为y =，故选A ．【名师点睛】已知双曲线方程222210,0x y a b a b -=>>求渐近线方程：22220x y by x a b a-=⇒=±．【考点】双曲线的简单几何性质(离心率、渐近线方程)82．【2018高考全国3理11】设12F F ，是双曲线()2222100x y C a b a b-=>>：,的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为()AB ．2CD【答案】C【解析】试题分析：由双曲线性质得到2PF b =，PO a =，然后在2Rt POF △和在12Rt PF F △中利用余弦定理可得．试题解析：由题可知22,PF b OF c ==，PO a ∴=．在2Rt POF △中，222cos P O PF bF OF c ∠==，22221212212||||||cos P O 2||||PF F F PF b F PF F F c ∠+-=∴=，222224(6),322b c bc a b c c+-∴=∴=⋅，e ∴=，故选C ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．83．(2018天津文理)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为()A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A【解析】设双曲线的右焦点坐标为(,0)(0)F c c >，则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得2by a=±，不妨设2(,)b A c a ，2(),b B c a -，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得21d ==2bc b c -，222bc b d c +==，则12226bc d d b c +===，则3b =，29b =，双曲线的离心率2c e a ====，据此可得23a =，则双曲线的方程为22139x y -=，故选A ．84．(2014天津文)已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -=【答案】A 【解析】依题意得22225b a c c a b ìï=ïïï=íïïï=+ïî，∴25a =，220b =，双曲线的方程为221520x y -=．85．(2013重庆文理)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为060的直线11A B 和22A B ，使1122A B A B =，其中1A 、1B 和2A 、2B 分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是A．(,2]3B．[,2)3C．(,)3+∞D．[,)3+∞【答案】A 【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率ba必须满足33b a <，∴21(33b a <≤，241()43ba <+≤，既有23<，又双曲线的离心率为。

专题双曲线文
考纲解读明方向
分析解读.能根据所给几何条件求双曲线方程,能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素.理解参数、、、的关系,渐近线及其几何意义.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题,判断位置关系及解决相关问题.能灵活运用数形结合的思想方法.本节在高考中以双曲线的方程和性质为主,分值约为分,属中档题.
年高考全景展示
．【年浙江卷】双曲线的焦点坐标是
. (−，)，(，) . (−，)，(，). (，−)，(，) . (，−)，(，)
【答案】
【解析】分析:根据双曲线方程确定焦点位置，再根据求焦点坐标.
点睛：由双曲线方程可得焦点坐标为，顶点坐标为，渐近线方程为.
．【年天津卷文】已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点.设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且则双曲线的方程为
. . . .
【答案】
【解析】分析：由题意首先求得的坐标，然后利用点到直线距离公式求得的值，之后求解的值即可确定双曲线方程.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据，，，及渐近线之间的关系，求出，的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲
线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可.
．【年文北京卷】若双曲线的离心率为，则.
【答案】
【解析】分析：根据离心率公式，及双曲线中的关系可联立方程组，进而求解参数的值.。

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A．B．C．D．4．（5分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣D．﹣5．（5分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10B．20C．40D．806．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．＜P（X=6），则p=（）9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）设a=log2A．a+b＜ab＜0B．ab＜a+b＜0C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。