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第六章 实数主要知识点6.1 平方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根(除0外，x 的值一正一负互为相反数)a 的平方根是x(除0外，x 的值一正一负互为相反数)2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根(x 的取值为非负数) a 的算术平方根是x(x 的取值为非负数)（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
第六章实数知识网络：考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等（这类在初三会出现）判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如0,16π是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果，那么x叫做a的立方根。
2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“a”。
（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式4、开方规律小结（1）若a≥0，则a的平方根是a a a它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
沪科版七年级数学第一章学问点复习以及例题讲解1、平方根（1）定义：一般地,假如一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
来表示，（读做“根号a”）对于正数a负的平方根用”表示（读做“负根号a” ）假如x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。
（2）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；②0只有一个平方根，它就是0本身；③负数没有平方根.（3）开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a”。
（50有意义的条件是a≥0。
（6）公式：⑴)2=a（a≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，假如一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。
即X3=a,把X叫做a的立方根。
数a的立方根用符号”表示，读作“三次根号a”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、规律总结（1）平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
（2）每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数一样。
二、平方根、立方根例题。
例1、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由①（-3）2②0 2③-0.01 2（2）下列说法对不对？为什么？①4有一个平方根②只有正数有平方根③ 任何数都有平方根④ 若 a ＞0，a 有两个平方根，它们互为相反数解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。
- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。
（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
七年级数学下册知识点第六章 实 数（一）平方根与立方根 1、平方根（1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根。
如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.记作“a ±”，且a ≥0即X=a ±（2）表示：非负数a 的平方根记作±a ，读作“正负根号a ”，（a 叫做被开方数）（3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根。
（4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。
Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、 开平方与平方互为逆运算。
2、算术平方根（1）定义：正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根，0的算术平方根是0。
例如：a 的算术平方根.记作“a ”，且a ≥0 即X=a （2）性质：（1）一个数a 的算术平方根具有非负性； 即：a ≥0恒成立。
（2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根3.开平方公式有哪些？ ①2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩②2()(0)a a a = 且 a ≥04.求1120的平方值: 112=121,122=144,132=169,142=196,152=225,162=256,172=289,182=324,192=361,202=4001、 1.414212≈ 1.7323≈ 2.2365≈5、立方根：（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根。
如果3x a =，那么x 叫做a 3a .即X=3a（2）表示：a 的立方根记作3a ，读作“三次根号a ”（a 叫做被开方数，3叫根指数）（3）性质：正数的立方根是1个正数；负数的立方根是1个负数；0的立方根是0。
6.33a a = ②33()a a = 33a a -=（二）实数1、无理数：无限不循环的小数。
实数专题—考点、重难点复习【直击考点】【考点1 实数相关概念】【例1】下列说法：①一个无理数的相反数一定是无理数；②一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；③一个有理数与一个无理数的和或差一定是无理数；④实数m的倒数是1m．其中，正确的说法有()A．①②B．①②④C．①②③D．①②③④【答案】解：①一个无理数的相反数一定是无理数，正确；②一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算，正确；③一个有理数与一个无理数的和或差一定是无理数，正确；④0没有倒数，此结论错误；故选：C【变式1】下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没有立方根；④16的平方根是4±4±；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0. 其中错误的是( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确； ②无理数不一定是开方开不尽的数，例如π，错误； ③负数有立方根，错误；④16的平方根是±4，用式子表示是±＝±4，错误；⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0，正确， 则其中错误的是3个，故选：D 【考点2 无理数的概念】【方法点拨】 无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环. 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数：如32,7等； （2）圆周率π，或化简后含有π的数：如3π+8等； （3）特定结构的无限不循环小数：有规律但不循环，如0.1010010001…等.【例2】有下列实数：227， 3.14159-00.31，2π，其中无理数的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】解：，﹣3.14159，0，，0.是有理数，，是无理数.故选：B【变式2】在实数 1.414-π，3.14，2，3.212212221⋯，3.14中，无理数的个数是( )个． A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】解：﹣1.414是有限小数，是有理数，是无理数，π是无理数，3.无限循环小数是有理数，2+是无理数，3.212212221…是无限不循环小数是无理数，3.14有限小数是有理数．故选：D 【考点3 无理数的估算】【方法点拨】在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方，一般情况下从1到达20整数的平方都应牢记.【例32的值()A．在4和5之间B．在3和4之间C．在2和3之间D．在1和2之间【答案】解：∵36＜41＜49，∴，∴6＜＜7，∴4＜﹣2＜5，故选：A.【变式3】若3+a，3-b，则a b+的值为() A．0 B．1 C．1-D．2【答案】解：∵2＜＜3，∴5＜＜6，0＜＜1∴a＝3+﹣5＝﹣2．b＝3﹣，∴a+b＝﹣2+3﹣＝1，故选：B．【考点4 实数与数轴上点的对应关系】【方法点拨】数轴上的点与实数一一对应.-，，点B关于点A的对称点为【例4】如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1点C，则点C所表示的数是()A．1B1C．2D2【答案】解：∵点A是B，C的中点．∴设点C的坐标是x，则＝﹣1，则x＝﹣2+，∴点C表示的数是﹣2+．故选：D．【变式4】如图，数轴上A，B两点表示的数分别为1-点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为()A ．2-B ．1-C ．2-+D ．1【答案】解：∵对称的两点到对称中心的距离相等， ∴CA ＝AB ，|﹣1|+||＝1+，∴OC ＝2+，而C 点在原点左侧，∴C 表示的数为：﹣2﹣．故选：A ．【考点5 实数比较大小】【方法点拨】实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
.沪科版七年级下册数学知识点复习总结.七年级数学下册知识点第六章实数（一）平方根与立方根、平方根1的平方根，也叫做二1（）定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 次方根。
2ax aa??”，且的平方根.如果记作“，那么a叫做ax?X=即≥0a a）表示：非负数a的平方根记作±叫做被开方数），读作“正负根号a”，（（2 0；负数没有平方根。
（3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0的平方根为（4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、2、算术平方根a。
的算术平方根是1）定义：正数a的正的平方根0叫做a的算术平方根，（0aa”例如：a，且的算术平方根.a记作“X=0 即≥a≥0恒成立。
）性质：（1）一个数a的算术平方根具有非负性；即：（2 0的算术平方根是0；（2）正数的算术平方根只有1个，且为正数；负数没有算术平方根 3.开平方公式有哪些？0)(a?a??22aa(…0))(a?0)aa??a?0(且 a①②0≥??0)a??a(?22222=225,=169,14=144,134.求1120的平方值: 11=196,15=121,1222222=400=289,1816=361,20=256,17=324,191.41421?22.236?3?1.7325、1、立方根：5的立方根，也叫做三一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a（1）定义：33ax3a a.的立方根，记作“，那么叫做”如果ax? X=即次方根。
3a 3叫根指数），读作“三次根号a”（a（2）表示：的立方根记作a叫做被开方数，。
1个负数；0的立方根是01（3）性质：正数的立方根是个正数；负数的立方根是333333aa?a??a? 6.开立方公式有哪些？①②③a()a?（二）实数8 / - 1 -- 1 -.沪科版七年级下册数学知识点复习总结.1、无理数：无限不循环的小数。
初一数学知识点第六章 实数 知识点归纳一、实数的概念及分类 （3分）1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（3）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； 3. 实数与数轴上点的关系：实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。
与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。
零的绝对值时它本身，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、 无限小数是有理数（×） 无限小数是无理数（×）有理数是无限小数（×） 无理数是无限小数（√）数轴上的点都可以用有理数表示（×） 有理数都可以由数轴上的点表示（√）数轴上的点都可以用无理数表示（×） 无理数都可以由数轴上的点表示（√）数轴上的点都可以用实数表示（√） 实数都可以由数轴上的点表示（√）三、平方根、算数平方根和立方根1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。
