青岛五十八中高一数学下学期月考试题

2023-2024学年山东省青岛高一下册4月月考数学模拟试题一、单选题1．sin 40sin 50cos 40cos50︒︒-︒︒等于（）A ．1-B ．1C ．0D ．cos10-︒【正确答案】C【分析】根据两角和的余弦公式即可求解.【详解】由两角和的余弦公式得：()()sin 40sin 50cos 40cos50cos 40cos50sin 40sin 50cos 4050cos900︒︒-︒︒=-︒︒-︒︒=-+=-= 故选：C2．如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，E 为CD 的中点，设AB a= ，AC b = ，以向量a ，b 为基底，则向量AE =（）A ．1124a b+ B ．12a b+C ．12a b+r r D ．1142a b+ 【正确答案】D【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可.【详解】因为E 为CD 的中点，则()12=+ AE AD AC .因为D 为AB 的中点，则12AD AB =.所以11114242=+=+ AE AB AC a b .故选：D.3．若复数z 满足2(1i)34i z +=+，则在复平面内z 的共阨复数所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】A【分析】根据复数除法计算出z ，再根据共轭复数定义得出z ，最后确定对应点在复数平面的位置即可．【详解】由2(1i)34i z +=+，得()()234i i 34i 34i 43i 32i (1i)2i 222z +⨯-++-=====-+，所以32i 2z =+，则其在复平面内其所对应的点为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限．故选：A ．4．已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中O '为B C ''的中点，2O A ''=，则此正三棱锥的体积为（）AB ．C ．4D ．4【正确答案】A【分析】根据斜二测画法的知识，求出三棱锥的底面面积，再根据三棱锥的体积公式即可求解.【详解】由于O '为B C ''的中点且2O A ''=，所以2B C ''=，根据斜二测画法的知识可知，正三棱锥的底面等边三角形的边长为2，其面积为224⨯=，所以正三棱锥的体积为133=故选：A ．本题考查了斜二测画法的相关知识、锥体的体积公式，考查了基本运算能力，属于基础题.5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则角A 的值为（）A ．π3B ．π6C ．π4D ．π2【正确答案】D【分析】根据已知条件，结合正弦定理，求出sin A ，再结合角A 的取值范围，即可求解.【详解】在ABC 中，cos cos sin b C c B a A += ，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以()2sin sin B C A +=，即2sin sin A A =，因为sin 0A ≠，所以sin 1A =，因为()0,πA ∈，所以π2A =.故选：D.6．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝（）A ．150mB ．m C ．m D ．m【正确答案】A【分析】根据C 点的仰角∠CAB ＝45°，山高BC ＝100m ，可求出AC ，正弦定理求出AM ，在三角形MAN 中即可解出山高.【详解】由题意∠CAB ＝45°，BC ＝100m ，三角形ABC为直角三角形，可得AC =，在MCA △中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，则∠AMC ＝45°，由正弦定理有：sin sin AM AMC AC MCA ⋅∠=⋅∠，即sin 45sin 60AM AC ⋅=⋅ ，故AM =，在直角三角形MAN 中，60MAN ∠= ，可得sin 60150MN == （m ）故选：A7．在平行四边形ABCD 中，||6,||4AB AD == ．若点,M N 满足3,2BM MC DN NC == ，则AM NM ⋅的值为（）A ．6B ．9C ．20D ．36【正确答案】B【分析】先利用平面向量的线性运算求出,AM NM，再利用平面向量的数量积公式求解.【详解】由题得34AM AB BM AB =+=+，1134NM NC CM AB AD =+=- ，22311131336169434316316AM NM AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫∴=+-=-=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B8．已知非零平面向量a ，b ，c 满足2a = ，1b c -= ，若a 与b 的夹角为π3，则a c - 的最小值为（）A 31B 3C 31D ．32【正确答案】A【分析】解法一利用绝对值三角不等式得到1a c a b -≥--，然后求a b -r r 的最小值即可；解法二设OA a = ，OB b = ，OC c =，易得1BC = ，则C 的轨迹是以B 为圆心，半径为1的圆，连接AB ，然后又A ，C ，B 三点共线且C 在A ，B 中间时，a c -取得最小值求解.【详解】解法一由题可得，1a c a b b c a b b c a b -=-+-≥---=--，所以要求a c -的最小值，需求a b -r r 的最小值.因为2a = ，a 与b 的夹角为π3，所以a b -r r 的最小值为πsin 33a = 所以131a c ab -≥--≥-，即a c - 31，解法二如图，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，则c b BC -= ，a c CA -= .由1b c c b -=-=，知1BC = ，点C 的轨迹是以B 为圆心，半径为1的圆，连接AB ，结合图形可知，当A ，C ，B 三点共线且C 在A ，B 中间时，a c -取得最小值.由正弦定理得：πsin sin 3AB OAOBA =∠，所以AB =故a c -1.故选：A关键点点睛：本题关键是根据a 与b 的夹角为π3，由a b -r r 的最小值为πsin 3a 而得解.二、多选题9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（）A ．圆柱的侧面积为22πR B2R C ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆锥的表面积最小【正确答案】BCD【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式一一计算可得；【详解】解：依题意球的表面积为24πR ，圆柱的侧面积为22π24πR R R ⨯⨯=，所以A 不正确，C 选项正确．圆锥的侧面积为2πR R ⨯=，所以B选项正确．圆锥的表面积为(2222π1π4πR R R R =+<，圆柱的表面积为2224π2π6πR R R +=，所以D 选项正确．故选：BCD.10．下列命题中，正确的是（）A ．在ABC ∆中，AB >，sin sin A B∴>B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形【正确答案】ABD对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B ππ>>->，可得sin sin()cos 2A B B π>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.【详解】对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确；对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确；对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=，A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B ∴=或2A B π+=，ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选.ABD本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.11．设1z ，2z ，3z 为复数，且10z ≠，下列命题中正确的是（）A ．若1213z z z z =，则23z z =B ．若1213z z z z =，则23z z =±C ．若3323z z =，则23z z =D ．若2121z z z =，则12z z =【正确答案】AD【分析】由1213z z z z =得()1230z z z -=，即可判断A ；由1213z z z z =得23z z =，举例说明即可判断B ；由3323z z =得332223232233()()0z z z z z z z z -=-++=，举例说明即可判断C ；由2121z z z =得222121i iz a b z a b z a b +===-+，即可判断D.【详解】A ：由1213z z z z =，得()1230z z z -=，∵10z ≠，∴230z z -=，∴23z z =，故A 正确；B ：由1213z z z z =，得1213z z z z =，∴23z z =，例如12i 12i -=+=而12i 12i +≠-，12i 12i +≠-+，即23z z ≠±，故B 错误；C ：由3323z z =，得332223232233()()0z z z z z z z z -=-++=，当3211,22z z -+==时，2222330z z z z ++=，此时23z z ≠，故C 错误；D ：因为2121z z z =，令1i z a b =+(,R a b ∈),∴()()2222212221i i i a b a b z a b z a b z a b a b +-+====-++，则12z z =，故D 正确.故选：AD.12．已知函数()()cos (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）A ．4πϕ=-B ．f （x ）的最小正周期为2C ．将f （x ）的图像向右平移1个单位长度，得到函数5cos()4y x ππ=-的图像D ．若f （x ）在区间[2，t ]上的值域为[－1，2]，则t 的取值范围为[114，72]【正确答案】BD【分析】根据图像求出解析式，然后根据三角函数的知识逐一判断即可.【详解】由图像可得()0cos 2f ϕ==，因为2πϕ<，所以4πϕ=±又因为0x =属于()f x 的单调递减区间，0ω>，所以4πϕ=，故A 错误，因为()302f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以33cos 1444f πω⎛⎫⎛⎫=⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322T T<<所以可得ωπ=，即()cos 4f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以2T =，故B 正确，将f （x ）的图像向右平移1个单位长度，得到函数()3cos 1cos()44y x x ππππ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦的图像，故C 错误，当[]2,x t ∈时，9,444x t πππππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若值域为22⎡-⎢⎣⎦，则153,44t ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，解得117,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确，故选：BD 三、填空题13．复数232i i i z =++（i 为虚数单位），则|z|的值为______．【分析】先化简z ,再带入模长公式z =即可求解.【详解】因为2i 1i 1i z =--=-+,所以z =故答案为.14．在梯形ABCD 中，AB AD ⊥，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为________.【正确答案】53π画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．【详解】由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，几何体的体积为：2215121133πππ⋅⋅-⋅⋅⋅=．故53π．本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．15．若||1a = ,||2b = ,a ,b 的夹角为60，若()()35a b ma b +⊥- ，则m 的值为________．【正确答案】23##2.8758【分析】根据()()35a b ma b +⋅-0=，结合平面向量数量积的定义可求出结果.【详解】由题意知,()()35a b ma b +⋅- ()223||535||0m a m a b b =+-⋅-=，即()3532cos 60540m m +-⨯⨯-⨯=，解得238m =.故答案为.23816．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．【详解】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即oo 2sin 30sin 75BE =，解得BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB 交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC =∠∠，即o o 2sin 30sin 75BF =，解得AB正余弦定理；数形结合思想四、解答题17．已知4a =，向量(b =- ．(1)若向量a b∥，求向量a 的坐标；(2)若向量a 与向量b的夹角为120°，求a b -r r ．【正确答案】(1)(2,a =- 或(2,-(2)a b -=【分析】（1）由4a = ，设(),a x y =r ，有2216x y +=，再根据a b∥0y +=，最后解方程即可；（2）先求a b ⋅，再求()2a b - 后可求解.【详解】（1）由4a = ，设(),a x y =r，∴2216x y +=，∵a b ∥0y +=，解得2xy =⎧⎪⎨=-⎪⎩2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以(2,a =-或(2,-．（2）∵4a = ，2b = ，,120a b =︒，∴cos ,4a b a b a b ⋅==-，∴()222228a ba ab b -=-⋅+=，∴a b -= 18．在ABC中，sin A ，π3C ∠=，7c =．(1)求a 和b 的值；(2)判断ABC 是否是锐角三角形，并说明理由．【正确答案】(1)3a =，8b =(2)ABC 不是锐角三角形，是钝角三角形，理由见解析【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求解即可；（2）由边长确定最大角，由最大角判断三角形形状即可.【详解】（1）∵sin A π3C ∠=，7c =，∴由正弦定理sin sin a c A C =得，7sin 143πsin sin 32c A a C ===，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得，2π49923cos 3b b =+-⨯，即23400b b --=，解得，=5b -（舍）或8b =，∴3a =，8b =.（2）由（1），3a =，8b =，7c =，∴b c a >>，∴B C A >>，即B ∠为ABC 的最大角，由余弦定理，有222949641cos 022377a cb B ac +-+-===-<⨯⨯，∴π,π2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即B ∠为钝角，∴ABC 不是锐角三角形，是钝角三角形.19．为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从A 处出发，前往B ，C ，D 三个地点送餐.已知300m AB =，200m AD =，100m CD =，且AB CD ∥，60BAD ∠=︒.(1)求AC 的长度.(2)假设AB ，BC ，CD ，AD 均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以250m /min 的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.【正确答案】(1)1007m (2)8min【分析】（1）根据余弦定理即可求解；（2）根据余弦定理求解cos CAD ∠，进而得sin CAD ∠，由两角和与差的余弦公式可得cos BAC ∠，进而由余弦定理求解AB ，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解.【详解】（1）因为AB CD ∥，60BAD ∠=︒，所以120ADC ∠=︒，在ACD 中，由余弦定理，得222cos AC AD CD AD CD ADC=+-⋅⋅∠22120010022001007m 2⎛⎫+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.（2）在ACD 中，由余弦定理，得222222200100710057cos 21422001007AD AC CD CAD AD AC +-+-∠===⋅⨯⨯，所以221sin 1cos 14CAD CAD ∠=-∠，所以()1315732127cos cos cos sin 222142147BAC BAD CAD CAD CAD ∠=∠-∠=∠+∠=⨯+⨯=.在ABC 中，由余弦定理，得2222cos BC AC AB AC AB BAC =+-⋅⋅∠(2227730021007300400007=+-⨯⨯=，解得200m BC =.假设小夏先去B 地，走A B C D ---路线，路长600m ，假设小夏先去C 地，因为BC CD >，所以走A C D C B ----路线，路长(4007m +，假设小夏先去D 地，走A D C B ---路线，路长500m ，由于500600400<<+所以小夏走A D C B ---路线，且完成送餐任务的最短时间为500238min 250+⨯=.20．已知函数()π4sin sin 13f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(1)求5π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)设A 是ABC 中的最小角，8()5f A =，求π4f A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【正确答案】(1)-2；(2)65.【分析】（1）将5π6x =代入函数()f x 的解析式求值即可；（2）化()f x 为正弦型函数()()sin ωφf x A x B =++的形式，根据()f A 的值求π4f A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【详解】（1）5π5π5ππ17π4sin sin 14sin 1666326f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=⋅⋅- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12122⎛⎫=⋅--=- ⎪⎝⎭（2）()14sin sin 12f x x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos 1cos2x x x x x=+--π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π0,3A ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，πππ2,662A ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦()π8π42sin 2,sin 2,6565f A A A ⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ20,62A ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦则π3cos 265A ⎛⎫-=⎪⎝⎭∴π4f A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭πππ62sin 22cos 22665A A ⎛⎫⎛⎫=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.21．已知ABC 的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，若22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，a =(1)求A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求b c -的取值范围．【正确答案】(1)π3A =(2)()1,1b c -∈-【分析】（1）根据条件，利用正弦定理，角转边得到222b c bc a +-=，再结合余弦定理，即可得到1cos 2A =，从而求出结果.（2）根据条件，利用正弦定理得到22sin ,2sin π3b B c B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，从而得到π2sin 3b c B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用sin y x =的图像与性质及角B 的范围，可求出结果.【详解】（1）由22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，得到222sin sin sin sin sin B C B C A +-=，根据正弦定理可化简为：222b c bc a +-=，又由由余弦定理可知：2222cos a b c bc A =+-⋅，所以1cos 2A =，又因为(0,π)A ∈，所以π3A =.（2）由（1）知：3A π=，所以由三角形内角和定理可知：23C B π=-，由正弦定理可得：22sin sin sin π32abc ABB ====⎛⎫- ⎪⎝⎭所以22sin ,2sin π3b B c B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭21π2sin 2sin π=2sin cos sin )sin cos 2sin 323b c B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫-=---+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因为ABC 为锐角三角形，所以2π032C B π<=-<，且π02B <<，得到,62B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，根据sin y x =的图像与性质可知π2sin()(1,1)6B -∈-，所以()1,1b c -∈-.22．已知函数π()sin()0,0,||2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =图象上所有的点向右平移π4个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.当13π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根，()123123,,x x x x x x <<，求实数a 的取值范围以及1232x x x ++的值.【正确答案】(1)π()2sin 233f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)[2,3]a ∈，12314π23x x x ++=【分析】（1）由三角函数图象的最大值与最小值，求出2,3A B ==，得到最小正周期，求出2π2Tω==，再代入特殊点的坐标，求出π3ϕ=，得到函数解析式；（2）先根据平移变换和伸缩变换得到π()2sin 36g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令6π,2π6πt x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，换元后利用整体法求出函数的单调性和端点值，得到[2,3]a ∈，再根据对称性得到1322π3π2π,23π22t t t t ===⨯++⨯=，相加后得到123πππ24π666x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求出答案.【详解】（1）由图示得：51A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得：51512,322A B -+====，又71πππ212122T =-=，所以πT =，所以2π2T ω==，所以()2sin(2)3f x x ϕ=++.又因为()f x 过点π,512⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以52sin 232π1ϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，即πsin φ16骣琪+=琪桫，所以ππ2π,62k k Z ϕ+=+∈，解得π2π,3k k ϕ=+∈Z ，又||2ϕπ<，所以π3ϕ=，所以π()2sin 233f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）()y f x =图象上所有的点向右平移π4个单位长度，得到()2sin 232sin 2π4633f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到π()2sin 36g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当13π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，,ππ266πx ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令6π,2π6πt x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin 32sin 36πx t ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，令()2sin 3h t t =+，在2,ππ6t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ22,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，在π23π2,t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，且2sin 32,2sin 35π2ππ66π2h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，332sin 31,(2)2sin 2332π2πππh h ⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭,所以[2,3]a ∈时，.当13π0,6x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，方程()0g x a -=恰有三个不相等的实数根.因为()0h t a -=有三个不同的实数根()123123,,t t t t t t <<，且12,t t 关于π2t =对称，23,t t 关于3π2t =对称，则1322π3π2π,23π22t t t t ===⨯++⨯=，两式相加得：12324πt t t ++=，即123πππ24π666x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12314π23x x x ++=.。

山东省青岛市第五十八中学(九水路分校)高一数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数则= （）A． B． C． D．参考答案：B略2. c函数的图象可以由函数的图象（）而得到。

A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位参考答案：D略3. 已知函数f（x）=x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2017）=10，则f（2017）等于（）A．﹣26 B．﹣18 C．﹣10 D．10参考答案：A【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=x5+ax3+bx﹣8，且f（﹣2017）=10，∴f（﹣2017）=﹣20175﹣a20173﹣2017b﹣8=10，则f（2017）=20175+a20173+2017b﹣8，两式相加得f（2017）+10=﹣8﹣8=﹣16，则f（2017）=﹣26，故选：A【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质建立方程关系是解决本题的关键．4. 在映射，，且，则中的元素对应在中的元素为( )A. B. C. D.参考答案：A5. 在△ABC中，已知，则三角形△ABC的形状是 ( )(A)直角三角形 (B)等腰三角形(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形参考答案：B略6. 若，则= ▲.参考答案：7. 已知平面向量，且∥，则=（）A． B. C.D.参考答案：D略8. 函数图象的一条对称轴方程是．A．B．C．D．参考答案：C9. 若全集U={1，2，3，4，5，6}，M={1，4}，N={2，3}，则集合（?U M）∩N等于（）A．{2，3} B．{2，3，5，6} C．{1，4} D．{1，4，5，6}参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：由补集的定义可得?U M={2，3，5，6}，则（?U M）∩N={2，3}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．10. 对于非零向量，下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则在上的投影为C. 若，则D．若，则参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知f（x）=（a﹣1）x在R上单调递增，则a范围是．参考答案：a＞2考点：指数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由指数函数的单调性知a﹣1＞，解得即可．解答：解：因为指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上单调递增，所以a﹣1＞1，解得a＞2．故答案为：a＞2．点评：本题主要考查指数函数的单调性．12. 已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则sin2α=，cos2α=．参考答案：；﹣【考点】二倍角的正弦；二倍角的余弦．【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin2α=2sinαcosα 的值以及cosα的值，从而求得cos2α的值．【解答】解：∵sinα=+cosα，且α∈（0，），即sinα﹣cosα=①，平方可得1﹣2sinαcosα=，则sin2α=2sinαcosα=＞0，∴α为锐角，∴sinα+cosα====②，由①②求得cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=﹣，故答案为：；﹣．13. 已知Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（t，0），B（1，2），C（0，3），则实数t的值为．参考答案：﹣1或﹣3【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；直线的斜率．【专题】计算题；转化思想；向量法；直线与圆．【分析】由题意画出图形，分类利用向量数量积为0求得实数t的值．【解答】解：如图，由图可知，角B或角C为直角．当B为直角时，，，由得，﹣（t﹣1）﹣2=0，即t=﹣1；当C为直角时，，由得，t+3=0，即t=﹣3．故答案为：﹣1或﹣3．【点评】本题考查两直线垂直的关系，考查了向量数量积判断两直线的垂直，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．14. 函数的单调递减区间是参考答案：15. 已知，，那么的值为 .参考答案：略16. 已知函数的图象恒过定点，若点与点B 、C 在同一直线上，则的值为参考答案：1，∵A（1，1），法（一）由法（二）直线BC的方程为，点A的坐标代入即得。

山东省青岛市第五十八中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．若复数z 满足(2)(2)(34)z i i i -=+-，则||z =A B ．3C ．5D ．252．如图所示，ABC V 中，2BD DC =u u u r u u u r，点E 是线段AD 的中点，则AC =u u u r （ ）A ．3142AD BE +u u ur u u u rB ．34AD BE +u u ur u u u rC ．5142AD BE +u u ur u u u rD ．54AD BE +u u ur u u u r3．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶装满水的体积约为（ ）A ．0.182升B ．0.205升C ．0.218升D ．0.235升4．嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔. 如图，为测量塔的总高度AB ，选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与 D ，现测得 30BCD ∠=o ，45BDC ∠=o ，4CD =，在 C 点测得塔顶 A 的仰角为60o ，则塔的总高度为（ ）A ．12-B ．12-C ．12+D ．12+5．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若5c o s 8c o s c o s 85B C Ac b a-=-，又ABCV的面积S =2B C A +=，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（ ）A ．64B ．84C ．-69D ．-896．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30︒，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点'B 到x 轴的距离是（ ）A ．1B ．2CD ．7．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b 、c ，若c o s b a C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，AD 是ABC V的角平分线，点D 在BC 上，AD 3b c =，则=a （ ）A B ．73C ．43D ．48．ABC V 中，AB =π4ACB ∠=，O 是ABC V 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的最大值为（ ）A ．1B 1C ．3D ．5二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．棱锥是由一个底面为多边形，其余各面为具有公共顶点的三角形围成的几何体B ．球面可以看作一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180︒所形成的曲面C ．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体为棱台D ．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台 10．对于ABC V ，有如下判断，其中正确的判断是（ ）A ．若2,30a A ==︒，则224sin 2sin 2sin sin b c b cB C B C++==++B ．若8,10,60a b B ===︒，则符合条件的ABC V 有两个C ．若点P 为ABC V 所在平面内的动点，且(),0,cos cos AB AC AP AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=+∈+∞ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，则点P 的轨迹经过ABC V 的垂心D ．已知O 是ABC V 内一点，若230,,AOC ABC OA OB OC S S ++=V V u u u r u u u r u u u r r分别表示,AOC ABC V V 的面积，则1:6AOC ABC S S ⋅=△△11．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且tan tan A B +=．则下列结论正确的是（ ）A ．π6A =B ．若2a =，则该三角形周长的最大值为6C ．若ABC V 的面积为2，则a 有最小值D ．设2c BD BC b c =+u u u ru u u r ，且1AD =，则12b c+为定值三、填空题12．已知复数(1)2i(R)z a a a =--∈，且5z =，若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，则=a ．13．如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为．14．已知a r ，b r ，e r 是同一平面的向量，其中e r是单位向量，非零向量a r 与e r 的夹角为π3，向量b r 满足21b e -=r r，则a b -r r 的最小值是．四、解答题15．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O ﹣EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6cm ，AA 1＝4cm.3D 打印所用原料密度为0.9g /cm 3．说明过程，不要求严格证明，不考虑打印损耗的情况下，（1）计算制作该模型所需原料的质量； （2）计算该模型的表面积（精确到0.1）3.61≈ 3.87≈4.12≈16．在直角梯形ABCD 中，已知//,90,224AB CD DAB AB AD CD ∠=︒===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点．(1)若E 是CD 边的中点． ①试用AE u u u r 和AF u u u r 表示AB u u u r； ②若12DE DC =u u u r u u u r ，求AC EF ⋅u u u r u u u r的值；(2)求EA EF ⋅u u u r u u u r的取值范围．17．如图，已知△ABC 与△ADC 关于直线AC 对称，把△ADC 绕点A 逆时针旋转3π，得到△AFE ，若B ，C ，E ，F 四点共线，且5AC =，7AB =.(1)求BC ； (2)求△ADE 的面积.18．在①)222sin sin sin sin sin sinA B C A C B =+-；②11tan tan A B +=；③设ABC V 的面积为S ，且()22233b a c +-=.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知__________，且b =(1)若6a c +=，求ABC V 的面积；(2)若ABC V 为锐角三角形，求222a b c +的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC V 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC V 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=(1)求A ；(2)若2bc =，设点P 为ABC V 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；(3)设点P 为ABC V 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．。

2024届山东省青岛市第五十八中数学高一第二学期期末达标检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．四边形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，2AB AD CD ===ABC ∆的外接圆与ACD ∆的内切圆的公共弦长（ ）A ．1BC D ．22．在区间[3,3]-上随机选取一个数，则满足1x ≤的概率为( ) A ．16B ．13C ．12D ．233．式子22cos cos sin sin 3636ππππ-的值为( )A ．12-B ．0C ．1D ． 4．已知三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，侧棱长为2，体积为1，若此三棱柱的顶点均在同一球面上，则该球半径的最小值为（ ）A ．1B ．2CD ．25．在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．14-6．设12,0,,22α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ） A ．0，2B ．0，-2C ．12D ．27．直线20x +-=的倾斜角为（ ）A ．30B ．120︒C ．150︒D ．60︒8．将函数y sin2x =的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数解析式是( )A ．y cos2x =B ．y cos2x =-C ．πy sin 2x 4⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．y sin2x =- 9．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A ．若α∥β,m ⊂α,n ⊂β，则m ∥n B ．若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β C ．若α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,则m ⊥nD ．若α∥β，m ⊂α，则m ∥β10．在等差数列{}n a 中，372a a +=，则9S 等于() A ．2B ．18C ．4D ．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2024届山东省青岛五十八中数学高一下期末联考模拟试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在等比数列{}n a 中，227a =，13q =-，则5a =（ ） A ．3-B ．3C ．1-D ．12．已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别为圆12,C C 上的点，P 为x 轴上的动点，则||||PM PN +的最小值为( )A．B1C．6-D．43．若函数110,1 ()=lg ,1x x f x x x -⎧≤⎨>⎩，则()()10f f =（ ）A ．9B ．1C ．110D ．04．记等差数列{}n a 前n 项和n S ，如果已知521a a +的值，我们可以求得（ ） A ．23S 的值B ．24S 的值C ．25S 的值D ．26S 的值5．直线l 是圆224x y +=在(-处的切线，点P 是圆22430x x y -++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ） A ．1BCD ．26．已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．(,-∞)+∞C．33⎡-⎢⎣⎦D．,3⎛-∞- ⎝⎦3⎫+∞⎪⎪⎣⎭7．某学校从编号依次为01，02，…，72的72个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为12，21，则该样本中来自第四组的学生的编号为（ ）A ．30B ．31C ．32D ．338．已知函数，若在区间内没有零点，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．9．在平面直角坐标系xOy 中，圆1C ：224x y +=，圆2C ：226x y +=，点(1,0)M ，动点A ，B 分别在圆1C 和圆2C 上，且MA MB ⊥，N 为线段AB 的中点，则MN 的最小值为 A ．1B ．2C ．3D ．410．如图所示的程序框图，若执行的运算是，则在空白的执行框中，应该填入A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

山东高一高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.等于（）A．B．C．D．2.设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．3.在中，，，则（）A．B．C．D．4.已知向量，下列结论中正确的是（）A．B．C．D．、的夹角为5.若的三个内角满足，则（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6.在中，已知向量，则的面积等于（）A．B．C．D．7.下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．8.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在9.函数（，）的部分图像如图所示，则，的值分别是（）A．2，－B．2，－C．4，－D．4，10.已知，若，则下列正确的是（）A．B．C．D．11.将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（）A．B．C．D．12.偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图像有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、解答题1.．2.设、是不共线的两个非零向量.(1)若，求证：三点共线；(2)若与共线，求实数的值.3.已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值．4.对边的边长分别是，已知，．（1）若的面积等于，求；（2）若，求的面积．5.已知函数（）的最小正周期为．（1）求函数的单调增区间；（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像．求在区间上零点的个数．6.已知函数．（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）讨论零点的个数．7.已知其最小值为.（1）求的表达式；（2）当时，要使关于的方程有一个实根，求实数的取值范围．三、填空题1.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_______．2.有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率为__________．3.定义在实数集上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数．给出如下四个结论：①对于给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是的函数不存在承托函数；③为函数的一个承托函数；④为函数的一个承托函数．其中所有正确结论的序号是____________________．山东高一高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.【考点】诱导公式.2.设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据单位向量的定义：把模为1的向量称为单位向量，依题可知，而这两个向量的方向并没有明确，所以这两个单位向量可能共线，也可能不共线，所以A、B、C错误，D正确.【考点】平面向量的基本概念.3.在中，，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由正弦定理可得即，故选B.【考点】正弦定理.4.已知向量，下列结论中正确的是（）A．B．C．D．、的夹角为【答案】C【解析】依题意可得，而并不确定，不一定为0，从而不一定有，A错误；若，则需即，而并不确定，所以不一定成立，B错误；因为，所以，所以，C正确；对于D，因为，因为，而的取值范围并不确定，当时，，当，，D错误；综上可知，选C.【考点】1平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积；3.两角差的余弦公式；4.同角三角函数的基本关系式.5.若的三个内角满足，则（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】根据正弦定理可知，不妨设，则的最大内角为，由余弦定理可得，而，所以，所以为钝角三角形，故选C.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理.6.在中，已知向量，则的面积等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意可得，从而，，而，而，所以，所以，选A.【考点】1.平面向量的数量积；2.诱导公式；3.两角和的正弦公式；4.三角形的面积计算公式.7.下列关系式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，又在上单调递增，所以，故选C.【考点】1.诱导公式；2.正弦函数的图像与性质.8.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.9.函数（，）的部分图像如图所示，则，的值分别是（）A．2，－B．2，－C．4，－D．4，【答案】A【解析】由图可知，，，所以，所以，将代入，得，解得，又因为，则，故选A.【考点】三角函数的图像与性质.10.已知，若，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】法一：因为，所以，故选C；法二：设，则易知该函数为上的奇函数，所以即也就是，而，所以即，选C.【考点】1.正弦函数的图像与性质；2.函数的奇偶性.11.将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位，则所得函数图像对应的解析式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，则周期变为原来2倍，解析式变为，该图像再左移个单位得，故选D.【考点】三角函数的图像变换.12.偶函数满足，且在时，，若直线与函数的图像有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以函数的图像关于直线对称，又是偶函数，所以，即有，所以是周期为2的函数，由，得，即，画出函数和直线的示意图因为直线与函数的图像有且仅有三个交点，所以根据示意图易知：由直线与半圆相切，可计算得到，由直线与半圆相切可计算得到，所以，选B.【考点】1.函数的对称性、奇偶性、周期性；2.函数图像；3.直线与圆的位置关系；4.点到直线的距离公式.二、解答题1.．【答案】【解析】.【考点】指数式与对数式的运算.2.设、是不共线的两个非零向量.(1)若，求证：三点共线；(2)若与共线，求实数的值.【答案】（1）证明详见解析；（2）当与共线时，.【解析】(1)利用向量证明三点共线，先建立平面向量的基底，求出、，找到使得，从而说明，再说明两个向量有一个公共点即可；（2）根据与共线，得到，然后根据向量相等的条件，建立、的方程组，求解即可得到的值.试题解析：(1)证明：∵而∴与共线，又有公共端点，∴三点共线(2)∵与共线，∴存在实数，使得∵与不共线∴或.【考点】1.向量共线定理；2.平面向量的基本定理；3.两向量相等的条件.3.已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据的坐标条件得到，进而将的分子与分母同时除以得到，代入数据即可得到答案；（2）由的坐标条件得到，进而结合同角三角函数的基本关系式得出，结合及确定的符号，从而开方即可得到的值.试题解析：（1）（2）且.【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.平面向量的坐标运算；3.两向量平行的条件与性质；4.两向量垂直的条件与性质.4.对边的边长分别是，已知，．（1）若的面积等于，求；（2）若，求的面积．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先由余弦定理得到，再由的面积计算公式得到，进而联立方程组，从中求解即可；（2）先由正弦定理将条件转化成，从而联立方程组，求解出，再由的面积计算公式即可得到的面积.试题解析：（1）由余弦定理得又因为的面积等于所以，得联立方程组解得，（2）由正弦定理，已知条件化为联立方程组解得，所以.【考点】1.正弦定理；2.余弦定理；3.三角形的面积计算公式.5.已知函数（）的最小正周期为．（1）求函数的单调增区间；（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像．求在区间上零点的个数．【答案】（1）函数的单调增区间；（2）在上有个零点.【解析】（1）先由三角函数的周期计算公式得到，从而可确定，将当成一个整体，由正弦函数的性质得到，解出的范围，写成区间即是所求函数的单调递增区间；(2)将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图像，即，由正弦函数的图像与性质得到该函数在一个周期内函数零点的个数，而恰为个周期，从而可得在上零点的个数.试题解析：（1）由周期为，得，得由正弦函数的单调增区间得，得所以函数的单调增区间（2）将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的图像，所以令，得或所以函数在每个周期上恰有两个零点，恰为个周期，故在上有个零点.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.函数的零点.6.已知函数．（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）讨论零点的个数．【答案】(1)单调递减函数；(2)；(3)当或时，有1个零点.当或或时，有2个零点；当或时，有3个零点.【解析】(1)先根据条件化简函数式，根据常见函数的单调性及单调性运算法则，作出单调性的判定，再用定义证明；(2)将题中所给不等式具体化，转化为不等式恒成立问题，通过参变分离化为，求出的最大值，则的范围就是大于的最大值；(3)将函数零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数与交点个数，运用数形结合思想求解.试题解析：（1）当，且时，是单调递减的证明：设，则又，所以，所以所以，即故当时，在上单调递减（2）由得变形为，即而当即时所以（3）由可得，变为令作的图像及直线由图像可得：当或时，有1个零点当或或时，有2个零点当或时，有3个零点．【考点】1.函数奇偶性的判定；2.不等式恒成立问题；3.函数零点；4.数形结合思想.7.已知其最小值为.（1）求的表达式；（2）当时，要使关于的方程有一个实根，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）先由确定，进而得出，其次将转换成，然后根据二次函数的性质分、、三类讨论，进而确定；（2）当时，，方程即，令，要使在有一个实根，只须或，从中求解即可得到的取值范围.试题解析：（1）因为，所以，所以（）当时，则当时，当时，则当时，当时，则当时，故（2）当时，，令欲使有一个实根，则只需或解得或.【考点】1.三角函数的图像与性质；2.二次函数的图像与性质；3.函数的零点与方程的根；4.分类讨论的思想.三、填空题1.某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为_______．【答案】1013【解析】因为第一、二、三分厂的产量比为且第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为，所以抽取的100件产品的使用寿命的平均值为.【考点】均值的计算.2.有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开的概率为__________．【答案】【解析】因为每个人自第二层开始在每一层离开电梯都是等可能的，所以每个人自第二层开始在每一层离开电梯的概率都是，根据相互独立事件的概率乘法公式可得这2个人在不同层离开的概率为.【考点】相互独立事件的概率计算.3.定义在实数集上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数．给出如下四个结论：①对于给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；②定义域和值域都是的函数不存在承托函数；③为函数的一个承托函数；④为函数的一个承托函数．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①③【解析】由题意可知，如果存在函数(为常数)，使得对一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数，那么对于来说，不存在承托函数，当，，则此时有无数个承托函数；②定义域和值域都是的函数不存在承托函数，因为一个函数本身就是自己的承托函数.故错误；对于③因为恒成立，则可知为函数的一个承托函数；成立；对于④如果为函数的一个承托函数.则必然有并非对任意实数都成立，只有当或时成立，因此错误；综上可知正确的序号为①③.【考点】新定义.。

2024届山东省青岛第五十八中学高一数学第二学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．下列结论中错误的是（ ） A ．若0ab >，则2b a a b+≥ B ．函数1cos 0cos 2y x x x π=+<<（）的最小值为2C ．函数22x x y -=+的最小值为2D ．若01x <<，则函数1ln 2ln x x+≤- 2．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作 ( ) A ．1个或2个 B ．0个或1个 C ．1个 D ．0个3．若正实数x ，y 满足x y >，则有下列结论：①2xy y <；②22x y >；③1xy>；④11x x y<-.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．若(3,4)AB =，A 点的坐标为()2,1--，则B 点的坐标为（ ） A ．()1,3B ．()5,5C ．()1,5D ．()5,45．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是( ) A ．22a b > B ．11a b< C ．a c b c >D ．2211a bc c >++ 6．函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．等差数列{}n a 中，已知264a a +=，则4a =( ) A ．1B ．2C ．3D ．48．一个扇形的弧长与面积都是3，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．1radB ．32rad C ．2rad D ．52rad 9．已知角终边上一点，则的值为（ ） A ．B ．C ．D ．10．若不等式210ax ax -+≤的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．04a ≤≤B ．04a <≤C ．04a <<D ．04a ≤<二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

分别表示向量OA ，OB ，OC ，若AB OC ⊥，则z ．22．已知向量()1,2a =，()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） ．5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．,⎛−∞− ⎝D ．5,03⎛− ⎝．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库D ．内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（1BCD 的侧面是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，ABCD ，EF4对应的向量为1OZ ，复数对应的向量为2OZ ，则下列说法正确的是（．若11OZ =，则i ±143i z =+，则(121,Z Z =−12z z +=，则12OZ OZ ⊥ ()()1212OZ OZ OZ OZ +⊥−，则1=z z ．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A．若ABC 是边长为的正三角形，则32AB BC ⋅=6B π=，b ，则ABC 有一解O 是ABC 所在平面内的一点，且2OB OC OB OC OA −=+−，则ABC 是直角三角形．已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为1r =上，2r =下，母线AB 中点，则下列结论正确的是（ ）三、填空题：本大题共20分．已知1e ，2e 是互相垂直的单位向量，若123e e − 与1e +λ2e 的夹角为,αβ是两个不同的平面，是两条不同的直线，有下列命题：平行于同一平面，则α，//n α，则n αβ=，//n ，//α锐角ABC 中，，则22a c +．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为题中的三角形存在，求出ABC 的面积在ABC ，它的内角B ，C 的对边分别为)sin (sin sin )sin a b B a A B c C −=+−， ？．已知向量()()2cos 2,2,1,sin ,2a b m a b θθ=−=−=⋅+，在复平面坐标系中，1m ii+=−对应的点为1Z ． 1）求1z ﹔为曲线11(21z z z −=为1z 的共轭复数)上的动点，求Z 与1Z ，求a 在b 上的投影向量n ．在ABC 中，点E 在线段AB 上，将△ACE ，△BDF 分别沿CE ，，在几何体W 中作答下面的问题.．记ABC 的内角23π=，求222b c +的最小值．．如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为，1A BC 的面积为．在ABC 中，试解决是三角形的重心（三条中线的交点））记,AB a AC b ==，请用,a b 表示AG ； ）,AM mAB AN nAC ==，求4m n +的最小值．已知点O 是ABC 的________，且1143AO AB AC =+，求cos 请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答．（注意：如果选择多个条件分别解答，则①外心（三条垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）．【分析】根据复数的几何意义确定向量OA ，OB ，OC 的坐标，【详解】由题意可得，()()()1,12,1,1,OA OB OC m ==−=，，所以(1,AB OB OA =−=−又AB OC ⊥，所以()()1,21,120AB OC m m ⋅=−⋅=−=，所以12223151122z m ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭. 故选：C. ．D【分析】根据题意，由()0a a b λ⋅+>，求得，再由a 与a b λ+不共线，求得【详解】由向量()1,2a =，()1,1b =，可得()1,211213a b ⋅=⋅=⨯+⨯=，且25a =，又由2()530a a b a a b λλλ⋅+=+⋅=+>，解得53λ>−，由(1,2)a b λλλ+=++，因为a 与a b λ+不共线，可得1(2(1)λλ⨯+⨯+，解得所以要使得a 与a b λ+的夹角为锐角，则所以实数λ的取值范围是5,03⎛− ⎝故选：D.【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．1【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP在AB方向上的投影的【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是)2,6−， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，向量数量积的定义式，属于简单题目.的圆与1BCC 的交线，3的圆在1BCC 内的( 12211,1Z Z OZ OZ=−=−12OZ OZ ⊥；D 选项，同样设出. 22时，满足11OZ =，故()12213,41,1Z Z OZ OZ =−=−，B 设1i z a b =+，2R z c d =+∈，，若1212z z z z +=−，则)(2b d +=化简得：0ac bd +=，故12OZ OZ ac ⋅=+，所以12OZ OZ ⊥，C 正确；1i z a b =+，2R z c d ∈，，，则(12OZ OZ a +=+，(12,OZ OZ a c −=−()()1212OZ OZ OZ OZ +⊥−，()()()()222a c a c b d b d a b c +−++−=+−−所以2222+=+a b c d ， 12=z z ，D 正确. 由正弦定理边角关系判断；向量数量积的定义求AB BC ；C 利用正弦定理解CB AB AC =+，由其几何意义可知CB sin sin A Bsin sin A B >，即a b >，故B >，正确；：由已知1||||cos1202AB BC AB BC ⋅=︒=−，错误；22sin sin b C B ==，则sin 2C 644：由OB OC CB −=、OB OA AB −=、OC OA AC −=，故CB AB AC =+，所以在ABC 中边上的中线长等于CB 的一半，即ABC 是A 为直角的直角三角形，正确.故选：ADBF1在平面ABC 上的投影为13ABCSPA ⋅=⨯，则OQ x =，则216AB =−2PA AB A =，，故BPC ∠6，故sin ∠ABCS =ABPS =ACPS =1152BCPSBC =，设鳖臑P －ABC 内切球的半径为r ，则)ABCABPACPBCPP S SSSr V +++=即(123156=−，D 正确.解：由题意，设1e =（1，，2e =（0，123e e −=（1e +λ2e =（1，λ又夹角为60°，∴（123e e −）•（1e +λ2e ）=即3−λ21λ=+， 33=． 【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．l αβ=，在π6B =，由正弦定，结合锐角ABC 确定角，由正弦定理得a 所以π6B =， 因为在锐角ABC 中，有π2π33−<，此时2）16,1717 n⎛=−⎝）根据数量积公式，化简计算，可得，代入可得曲线可得，可得a，b坐标，代入求夹角公式，可得a，b的夹角，又可得与b方向相同的单位向量，即可得答案.【详解】（1）22cos22sin cos sina bθθθθ⋅=+=+2123a b=⋅+=+=．6所以11,2,1,24a b ⎛⎫=−=⎛⎫ − ⎪⎝⎝⎭⎭⎪此时1,a b a ⋅=与b 的夹角余弦为817a b a b⋅=与b 方向相同的单位向量为411,417b e b⎛⎫==− ⎪⎝⎭所以a 在b 上的投影向量()164cos ,1717n a e θ⎛⎫==− ⎪⎝⎭．(1)证明过程见详解5719【分析】(1)根据题意可证DFEF ，DF FG ⊂平面EFG ，所以平面EFG 由题意可知：EFG 是边长为1的正三角形，CGF S =CDFS=，设点G V −=13GCFCDFSh S GP ⋅=⋅，所以5719，即点到平面CGF 的距离为5719111ABC A B C 中，设点11112211333A A ABC A ABC A B BC C B Sh h V S A A V −−⋅===⋅=，到平面1A BC 的距离为2；111ABC A B C 中，BC ，BC ⊂平面11ABB A 且相交，所以则(1,1,1BD =，()(0,2,0,2,0,0BA BC ==设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则2m BD x y m BA y ⎧⋅=+⎨⋅==⎩可取(1,0,m =−，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =2n BD a b n BC a ⎧⋅=+⎨⋅==⎩可取(0,1,1n =−11cos ,222m n m n m n⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C −−的正弦值为(1)1133a AGb +=答案见解析 【分析】（1）（i ）设11(,),A x y B 3法则得到可得21(33AG x =，得到1133a AGb +=；）由题意得到11,AB AM AC AN m n==，求得1133AG AM AN m n =+，结合平面向量的共，化简得到1143a POb +=−，1146a QO b −=，结合得OP AB ⊥和OQ AC ⊥，列出方程组，22833a b =，结合向量的夹角公式，即可求解；选②：化简得到1243OC a b ==−+，3143OB a b =−，根据OC AB ⊥和OB AC ⊥，联立方程组，222732a b =，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）解：（i ）设112234(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，由重心的坐标公式得123(,3x x x G ++ 且21213131(,),(,)AB x x y y AC x x y y =−−=−−， 可得1231212(,33x x x y y y AG x ++++=−21312131(,)33x x x x y y y y −+−−+−31312121(,)(,3333x x y y x x y y −−−−+11113333AB AC a b +=+. ）因为,AM mAB AN nAC ==，其中，所以11,AB AM AC AN m n==， 则1111311333AM AN AM AN m n G nA m =⋅+⋅=+， 根据平面向量的共线定理，可得11313m n+=，其中1<， 所以11141414(4)()(5))(54)333333n m n m m n m n m n m n m n +++=+⋅=⋅⋅+≥=+=， 当且仅当4n m m n =时，即,112m n ==时，等号成立，是ABC 的外心时，取因为1143AO AB AC =+， 可得1111111143243243AB AC A P B a b a b A AP a O O =−=+−+−=−=+， 1111143246AB AC AC O AQ b Q a AO ==−−=+−， 由O 是ABC 的外心，可得OPAB⊥，可得21111)04343a b a a a b +⋅=−+⋅=，即234a a b =⋅，OQ AC⊥，可得21111)04646a b b a b b −⋅=⋅−=，即223b a b =⋅， 所以22833a b =，即223a b =，所以222233a b b b ⋅==，则2232cos 322,2a b bb a b a b b⋅===⋅⋅⋅，即2cos 2BAC ∠=.是ABC 的垂心因为1143AO AB AC =+， 可得112()43143OC AC AO AC a AB C b A =+−=−=−+，31(1143)43A OB AB AO AB B A a bC =−=−−+=，由O 是ABC 的垂心，则OC AB ⊥，可得21212()04343a b a a a b −+⋅=−+⋅=，即283a b a ⋅=，OB AC ⊥，可得23131()04343a b b a b b −⋅=⋅−=，即294a b b ⋅=， 联立方程组，可得222732a b =，即4233a b =，所以249a b b ⋅=⋅，所以264cos 9,64233a b bba b a b b ⋅===⋅⋅⋅，即6os 6c BAC ∠=.。

2022年山东省青岛市第五十八中学高一数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的零点为，则所在区间为（）A． B． C． D．参考答案：C2. 若直线与平行，则实数的值为（）A. 或B.C. D.参考答案：B3. 已知（）A．B．C．D．参考答案：B略4. 函数的定义域为（）A. B. C. D.参考答案：A略5. （5分）函数y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的解析式为（）A．y=sin2x﹣2 B．y=2cos3x﹣1 C．D．参考答案：D考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：本题可以使用排除法进行解答，根据函数图象分析出函数的最值，进而分析四个答案中四个函数的最值，将不符合条件的答案排除掉，即可得到正确的答案．解答：由已知中函数的解析式，我们可得函数的最大值为2，最小值为0，而A中函数y=sin2x﹣2，最大值为﹣1，最小值为﹣3，不满足要求，故A不正确；B中函数y=2cos3x﹣1，最大值为1，最小值为﹣3，不满足要求，故B不正确；C中函数，最大值为0，最小值为﹣2，不满足要求，故C不正确；故选D．点评：本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，其中排除法是解答选择题比较常用的方法，而根据函数的图象分析出函数的最值是解答本题的关键．6. =（）A. B. C.D.参考答案：C7. .若，则（）A. B. C. D.参考答案：C略8. 下列函数中，最小正周期为，且图像关于直线对称的是（）A．B．C. D．参考答案：B9. 已知数列{a n}的通项公式是关于n的一次函数，a3=7，a7=19，则a10的值为（）A．26 B．28 C．30 D．32参考答案：B【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】设a n=an+b，由a3=7，a7=19，列出方程组求出a=3，b=﹣2，由此能求出a10．【解答】解：∵数列{a n}的通项公式是关于n的一次函数，∴设a n=an+b，∵a3=7，a7=19，∴，解得a=3，b=﹣2，∴a10=3×10﹣2=28．故选：B．10. 下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是()参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （4分）4830与3289的最大公约数是．参考答案：23考点：用辗转相除计算最大公约数．专题：算法和程序框图．分析：利用辗转相除法即可得出．解答：4830=3289×1+1541，3289=1541×2+207，1541=207×7+92，207=92×2+23，92=23×4，∴4830与3289的最大公约数是23．故答案为：23．点评：本题考查了辗转相除法，属于基础题．12. 某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元，每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是产品数θ的函数，，则总利润L(θ)的最大值是________．参考答案：略13. 已知函数在上是增函数，则的取值范围是．参考答案：14. 在中，已知，，，则．参考答案：略15. 袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为______．参考答案：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种，没有得到白球的概率为，设白球个数为x,黑球个数为5-x,那么可知白球共有3个，黑球有2个，因此可知填写为16. 过点O(0,0)引圆C:的两条切线OA,OB，A,B为切点，则直线AB的方程是______________．参考答案：2x+2y-7=017. 若二次函数f（x）的图象关于x＝2对称，且f（a）≤f（0）＜f（1），则实数a的取值范围是_____．参考答案：a≤0或a≥4【分析】分析得到二次函数f（x）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．再对分类讨论得解.【详解】由题意可知二次函数f（x）的对称轴为x＝2，因为f（0）＜f（1），所以f（x）在（﹣∞，2）上单调递增，所以二次函数f（x）开口向下，在（﹣∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．①当a∈时：，解得a≤0．②当a∈（2，+∞）时：因为f（4）＝f（0），所以，解得a≥4．综上所求：a≤0或a≥4．故答案为：a≤0或a≥4．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：本大题共5小题，共72分。