高一数学第一次月考试卷及答案
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高一上学期第一次月考数学试卷(含答案解析)考试时间:120分钟;总分:150分学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________第I 卷(选择题)一、单选题(本大题共8小题,共40.0分。
在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1. 若集合A ={x|x >2},B ={x|−2⩽x ⩽3},则A ∩B =( )A. (2,3)B. (2,3]C. [2,3]D. [−2,3]2. 如图所示的Venn 图中,已知A ,B 是非空集合,定义A ∗B 表示阴影部分的集合.若A ={x |0≤x <3},B ={y |y >2},则A ∗B =( )A. {x |x >3}B. {x |2≤x ≤3}C. {x |2<x <3}D. {x |x ≥3}3. 中国清朝数学家李善兰在859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做“函数”,沿用至今.为什么这么翻译,书中解释说“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数.”这个解释说明了函数的内涵:只要有一个法则,使得取值范围中的每一个值x ,有一个确定的y 和它对应就行了,不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式.已知函数f(x)由如表给出,则f(f(−2)+1)的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 命题“∀x >1,x −1>lnx ”的否定为( )A. ∀x ≤1,x −1≤lnxB. ∀x >1,x −1≤lnxC. ∃x ≤1,x −1≤lnxD. ∃x >1,x −1≤lnx5. 设M =2a(a −2)+7,N =(a −2)(a −3),则M 与N 的大小关系是( )A. M >NB. M =NC. M <ND. 无法确定6. f(2x −1)的定义域为[0,1),则f(1−3x)的定义域为( )A. (−2,4]B. (−2,12]C. (0,23]D. (0,16] 7. 已知x ∈R ,则“(x −2)(x −3)≤0成立”是“|x −2|+|x −3|=1成立”的条件.( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要 8. 已知集合A ={x|3−x x ≥2)},则∁R A =( ) A. {x|x >1}B. {x|x ≤0或x >1}C. {x|0<x <1}D. {x|x <0或x >1}二、多选题(本大题共4小题,共20.0分。
高一数学 第一次月考试卷班级______姓名________ 命题教师——一、选择题(本题12小题,每题5分,共60分)1、函数1y x=+ D ) A. [)4,-+∞ B .()()4,00,-+∞ C .()4,-+∞ D. [)()4,00,-+∞2、若集合{}{}21,02,A x x B x x =-<<=<<则集合A B 等于(D )A 、{}11x x -<<B 、{}21x x -<<C 、{}22x x -<<D 、{}01x x <<3、若集合{}2228x A x Z +=∈<≤,{}220B x R x x =∈->,则()R A C B 所含的元素个数为( C )A 、0B 、1C 、2D 、34、函数1()f x x x=-的图像关于( C )。
A. y 轴对称 B .直线y x =-对称 C .坐标原点对称 D.直线y x =对称5、已知函数()f x 为奇函数,且当0x >时,21()f x x x=+,则(1)f -= (D) A.2 B.1 C.0 D.-26、若)(x f 是偶函数,其定义域为),(+∞-∞,且在[)+∞,0上是减函数,则)23(-f 与)252(2++a a f 的大小关系是 ( C ) A 、)252()23(2++>-a a f f B 、)252()23(2++<-a a f f C 、)252()23(2++≥-a a f f D 、)252()23(2++≤-a a f f 7、若)(x f ,)(x g 都是奇函数,且2)()()(++=x bg x af x F 在),0(+∞上有最大值8,则)(x F 在)0,(-∞上有 ( D )A 、最小值8-B 、最大值8-C 、最小值6-D 、最小值4-8、设253()5a =,352()5b =,252()5c =,则,,a b c 的大小关系是 ( A ) A 、a c b >> B 、a b c >> C 、c a b >> D 、b c a >>9、函数1()(0,1)x f x a a a +=>≠的值域为[)1,+∞,则(4)f -与(1)f 的关系是( A )A 、(4)(1)f f ->B 、(4)(1)f f -=C 、(4)(1)f f -<D 、不能确定10、若函数234y x x =--的定义域为[]0,m ,值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,则m 的取值范( B )A. 3(,3)2 B. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. (]0,3 D. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭11、已知[]1,1-∈x 时,02)(2>+-=a ax x x f 恒成立,则实数a 的取值范围是( A ) A.(0,2) B.),(∞+2 C. ),(∞+0 D.(0,4) 12、奇函数()f x 的定义域为R ,若(2)f x +为偶函数,且(1)1f =,则(8)(9)f f += ( D ) A 、2- B 、1- C 、0 D 、1二、填空题(本题共4小题,每题5分,共20分)13、设集合{}{}21,1,3,2,4,A B a a =-=++{}3A B =,则实数a 的值为_1____ 。
高一上学期第一次月考数学试卷(含答案解析)第I 卷(选择题)一、单选题(本大题共10小题,共40.0分。
在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1. 若集合{0,1}A =,{|0}B x x =,则下列结论正确的是( ) A. {0}B ∈B. A B ⋂=∅C. A B ⊆D. A B R ⋃=2. 已知集合,{2,1,0,1,2,4}B =--,则A B ⋂=( ) A. {1,0,1,2}-B. {2,0,4}-C. {0,1,2}D. {0,1}3. 已知命题p :x R ∃∈,2 1.x x +则命题p 的否定是( ) A. x R ∃∈,21x x >+ B. x R ∃∈,21x x + C. x R ∀∈,21x x +D. x R ∀∈,21x x >+4. 已知a R ∈,则“2a >”是“4a >”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. “A B ⊆“是“A B B ⋂=“的( ) A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件6. 如果0a <,0b >,那么下列不等式中正确的是( )A.11a b< B. <C. 22a b <D. ||||a b >7. 已知集合M 满足{1,2}{1,2,3}M ⋃=,则集合M 的个数是( ) A. 1B. 2C. 3D. 48. 对于任意实数x ,不等式2(2)2(2)40m x m x ---+>恒成立,则m 的取值范围是( ) A. {|22}m m -<< B. {|22}m m -< C. {|2m m <-或2}m >D. {|2m m <-或2}m9. 已知a ,b R ∈,且0ab ≠,则在下列四个不等式中,不恒成立的是( )A.222a b ab +B.2b a a b+ C. 2()2a b ab +D. 222()22a b a b ++10. 设S 为实数集R 上的非空子集.若对任意x ,y S ∈,都有x y +,x y -,xy S ∈,则称S 为封闭集.下面是关于封闭集的4个判断:(1)自然数集N 为封闭集; (2)整数集Z 为封闭集;(3)若S 为封闭集,则一定有0S ∈; (4)封闭集一定是无限集.则其中正确的判断是( )A. (2)(3)B. (2)(4)C. (3)(4)D. (1)(2)第II 卷(非选择题)二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)11. 已知函数21()ln log f x a x b x =+,若(2017)1f =,则1()2017f =______ . 12. 若0x >,则12x x+的最小值为______,此时x 的取值为______. 13. 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-,则a b +的值是__________.14. 设2{|340}A x x x =+-=,{|10}.B x ax =-=若B A ⊆,则a 的值为______.15. 某公司购买一批机器投入生产,据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润(y 万元)与机器运转时间(x 年数,*)x N ∈的关系为21825.y x x =-+-则当每台机器运转______ 年时,年平均利润最大,最大值是______ 万元.三、解答题(本大题共6小题,共85.0分。
高一上学期第一次月考数学试题(附答案解析)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________第I卷(选择题)一、单选题(本大题共8小题,共32.0分。
在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1. 已知集合A={−1,1},B={x|ax=1},若A∩B=B,则a的取值集合为( )A. {1}B. {−1}C. {−1,1}D. {−1,0,1}2. 下列存在量词命题是假命题的是( )A. 存在x∈Q,使2x−x3=0B. 存在x∈R,使x2+x+1=0C. 有的素数是偶数D. 有的有理数没有倒数3. 定义集合A,B的一种运算:A⊗B={x|x=a2−b,a∈A,b∈B},若A={−1,0},B={1,2},则A⊗B 中的元素个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知x,y,z为非零实数,代数式x|x|+y|y|+z|z|+xyz|xyz|的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是( )A. 4∈MB. 2∈MC. 0∉MD. −4∉M5. 一批救灾物资随26辆汽车从某市以vkm/h的速度送达灾区,已知运送的路线长400km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于(v20)2km,那么这批物资全部到达灾区最少需要时间( )A. 5 hB. 10 hC. 15 hD. 20 h6. 已知集合A={x|ax2−(a+1)x+1<0},B={x|x2−3x−4<0},且A∩B=A,则实数a的取值范围是( )A. a≤14B. 0<a≤14C. a≥14D. 14≤a<1或a>17. 如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1,下列结论:①abc>0;②b2−4ac>0;③8a+ c<0;④5a+b+2c>0,正确的有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个8. 某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10,8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20,则这三天都开车上班的职工人数的最大值是( )A. 6B. 5C. 7D. 8二、多选题(本大题共4小题,共16.0分。
重庆市2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题(命题人:)(答案在最后)考试说明:1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、单项选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设全集U =R ,3{|ln}3x M x y x -==+,}2{|2,1xx y y N =≤≤=,如图阴影部分所表示的集合为()A.{}23x x ≤< B.{}34x x <≤C.{|2x x ≤或3}x > D.{}33x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】由题意知,阴影部分表示的为M N ⋂,算出集合,M N 表示的范围,根据集合的交集的运算,即可得到本题答案.【详解】全集U =R ,集合M 中函数满足303x x ->+,解得3x <-或3x >,M ={|3x x <-或3}x >,集合N 中指数函数2x y =在上单调递增,则24222=x ≤≤,}|24{y N y =≤≤,由图可得阴影部分所表示的集合为{|34}M N x x ⋂=<≤,故选:B.2.若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算,零点附近函数值的参考数据如下:(1)2f =-,(1.25)0.984f =-,(1.375)0.260f =-,(1.40625)0.054f =-,(1.4375)0.162f =,(1.6)0.625f =,那么方程()0f x =的一个近似根(精确度0.1)为()A.1.2 B.1.3C.1.4D.1.5【答案】C【解析】【分析】由参考数据可得(1.4375)(1.375)0f f <,区间(1.375,1.4375)满足题干要求精确到0.1,结合选项可得答案.【详解】因为1.6 1.43750.16250.1-=>,所以不必考虑端点1.6;因为1.40625 1.250.156250.1-=>,所以不必考虑端点1.25和1;因为(1.4375)0f >,(1.375)0f <,所以(1.4375)(1.375)0f f <,所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点,因为1.4375 1.3750.06250.1-=<,所以满足精确度0.1;所以方程()0f x =的一个近似根(精确度0.1)是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值(包括端点值),根据四个选项可知:1.4[1.375,1.4375]∈.故选:C.3.“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先根据1sin 2x =可得:2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈,再判断即可得到答案.【详解】由1sin 2x =可得:2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈,即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =,但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选:B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断,同时考查根据三角函数值求角,属于简单题.4.函数21π()sin 212x xf x x -⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为()A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先得到函数的奇偶性,再计算出当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x >,判断出答案.【详解】化简函数()f x 解析式可得21()cos 21x x f x x -=⋅+,定义域为R ,112121212()()cos cos()cos cos 121212112xxxx x x x x f x f x x x x x------+-=⋅+-=⋅+⋅++++ 01212cos 11cos 22x x x x x x -=⋅+⋅+=+-,()f x ∴为奇函数,AC 错误;又因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,21()cos 021x x f x x -=⋅>+,B 错误,D 正确.故选:D.5.已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,πsin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为()A.9 B.69-C.9D.9【答案】A 【解析】【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π3cos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭;再利用已知角π4α+和π42β-来配凑2βα+;最后利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ,π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,πππ,442α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭,πππ,4242β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,πsin 43α⎛⎫+=⎪⎝⎭,πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭,π1cos 43α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭,πcos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13333=⨯-⨯9=.故选:A.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为,为了保障安全,根据国家规定,驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克,并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车;每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克,如果停止饮酒后,他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少,那么他想要驾车至少要经过(参考数据:lg 20.301≈,lg 30.477≈)()A.3hB.4hC.5hD.7h【答案】C 【解析】【分析】先根据题意表示出经过t 小时后,该驾驶员体内的酒精含量;再列出不等式求解即可.【详解】经过t 小时后,该驾驶员体内的酒精含量为:30.8mg /ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.只需30.80.24t⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭,即3144t⎛⎫< ⎪⎝⎭,341log 43344t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为函数34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数,所以341lg 42lg 20.602log 4.8164lg 4lg 32lg 2lg 30.6020.477t >==≈=---,故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选:C.7.定义在R 上的奇函数()f x 满足,当(0,2)x ∈时,()cos((1))2f x x π=-,且2x ≥时,有1()(2)2f x f x =-,则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为A.9B.8C.7D.6【答案】B 【解析】【分析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式,再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象,2()()F x x f x x =-的零点个数,等价于求1()f x x =的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当(0,2)x ∈时,()cos((1))cos(sin()2222f x x x x ππππ=-=-=,()f x 是奇函数,()00f ∴=,当2x ≥时,有1()(2)2f x f x =-,()()12002f f ∴==,()()14202f f ==,若()2,0x ∈-,则()0,2x -∈,则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-,即()sin()2f x x π=,()2,0x ∈-即当22x -≤≤时,()sin()2f x x π=,当24x ≤≤时,022x ≤-≤,此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-,当45x ≤≤时,223x ≤-≤,此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=,由2()()0F x x f x x =-=,得:当0x =时,由(0)0F =,即0x =是()F x 的一个零点,当0x ≠时,由2()0f x xx -=得1()xf x =,即1()f x x=,作出函数()f x 与1()g x x=在,[2,5]-上的图象如图:由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点,加上一个0x =,故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个,故选:B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用.判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点,令()0f x =,如果能求出解,则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理,不仅要求函数的图象在区间[]a b ,上是连续不断的曲线,且()()0f a f b < ,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数,画出函数()f x 的图象,函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数;将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差,根据()0()()f x h x g x Û==,则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x =的图象的交点个数性质法:即利用函数性质,若能确定函数的单调性,则其零点个数不难得到;若所考查的函数是周期函数,则只需解决在一个周期内的零点的个数.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,若对任意120x x <<,均有()()2112120x f x x f x x x ->-且(3)3f =,则不等式()0f x x ->的解集为()A.(3,0)(3,)-⋃+∞B.()3,3-C.(,3)(3,)-∞-⋃+∞D.(3,0)(0,3)-⋃【答案】A 【解析】【分析】先变形得到()()1212f x f x x x <,令()()f x g x x =,得到()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增,结合(3)(3)13f g ==,得到3x >,再结合函数的奇偶性和单调性得到30x -<<,从而求出答案.【详解】因为120x x <<,所以()()21120x f x x f x -<,所以()()1212f x f x x x <.设函数()()f x g x x =,则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上单调递增,且(3)(3)13f g ==.当0x >时,不等式()0f x x ->等价于()f x x >,即()1f x x>,即()(3)g x g >,解得3x >,又因为()f x 是定义在上的奇函数,所以(0)0f =,所以,当0x =时,不等式()0f x x ->无解.因为()f x 是定义在上的奇函数,所以−=−,()()f x g x x=的定义域为()(),00,∞∞-⋃+,又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--,故()()f x g x x=为偶函数,且在(,0)-∞单调递减,当0x <时,不等式()0f x x ->等价于()f x x >,即()1f x x<,因为(3)(3)13f g --==-,故()(3)g x g <-,解得30x -<<,综上,不等式()0f x x ->的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选:A.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.对于实数a ,b ,c ,下列说法正确的是()A.若1a b <<,则11b a< B.若22ac bc >,则a b>C.若0a b >>,0c >,则b b c a a c+<+ D.若c a b >>,a b c a c b<--【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项,可利用不等式性质进行判断;CD 选项,利用作差法比较出大小.【详解】A 选项,若1a b <<,则0ab >,不等式两边同除以ab 得11b a<,A 正确;B 选项,若22ac bc >,则0c ≠,故20c >,不等式两边同除以2c 得a b >,B 正确;C 选项,()()()b a cb bc ab bc ab ac a a c a a c a a c -++---==+++,因为0a b >>,0c >,所以0,0b a a c -<+>,故()()0b a c b b c a a c a a c -+-=<++,所以b b ca a c+<+,C 正确;D 选项,()()()a b c a b c a c b c a c b --=----,因为c a b >>,所以0c a ->,0c b ->,0a b ->,但c 的正负不确定,故无法判断()()()c a b c a c b ---的正负,从而无法判断a c a -与bc b-的大小关系,D 错误.故选:ABC.10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0ω>,π2ϕ<)的最小正周期为π,将该函数的图象向左平移π3个单位后,得到的图象对应的函数为偶函数,则下列说法正确的是()A.函数()y f x =的图象关于直线π6x =对称B.函数()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.1(0)2f =-D.函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由三角函数的周期性与奇偶性,结合三角函数图象平移法则求得,ωϕ,再利用代入检验法与整体代入法逐一分析各选项即可得解.【详解】因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期为2ππω=,则2ω=,故()sin(2)f x x ϕ=+,将该函数的图象向左平移π3个单位后,得到2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象,因为得到的图象对应的函数2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数,所以2πππ(Z)32k k ϕ+=+∈,即ππ(Z)6k k ϕ=-+∈,因为π2ϕ<,所以π6ϕ=-,故π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,对于A ,当π6x =时,则πππ1sin 6362f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故A 错误;对于B ,令πππ2π22π262k x k -+<-<+,Z k ∈,得ππππ(Z)63k x k k -+<<+∈,当1k =时,()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故B 正确;对于C ,π1(0)sin 62f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,故C 正确;对于D ,πππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故D 正确.故选:BCD.11.设函数()()12,1log 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩,若()()()()1234f x f x f x f x ===,且1234x x x x <<<,则()1243412x x x x ++++的值可以是()A.4B.5C.163D.6【答案】AB 【解析】【分析】画出函数图象,数形结合得到120x x +=,3322x ≤<,423x <≤,结合交点关系得到()12344444222111x x x x x x +++=++++-,构造函数42()2(23)11g x x x x =++<≤+-,根据函数单调性得到取值范围,求出答案.【详解】函数()f x的图象如图所示,设()()()()1234f x f x f x f x t ====,由图可知,当01t <≤时,直线y t =与函数()f x 的图象有四个交点,交点的横坐标分别为1234,,,x x x x ,且1234x x x x <<<,1x >时,令12()log (1)1f x x =-=,解得32x =或3x =.由图可知,120x x +=,3322x ≤<,423x <≤,由()()34f x f x =,可得34111x x -=-,则有34111x x =+-,所以()1233444444422221111x x x x x x x x +++=+=+++++-.令42()2(23)11g x x x x =++<≤+-,易知()g x 在(2,3]上为减函数,且16(2)3g =,(3)4g =,故()12344164213x x x x ≤+++<+,且1644,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,1654,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,AB 正确;又1616164,,64,333⎡⎫⎡⎫∉∉⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭,CD 错误.故选:AB.【点睛】将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题,将代数问题几何化,借助图象分析,大大简化了思维难度,首先要熟悉常见的函数图象,包括指数函数,对数函数,幂函数,三角函数等,还要熟练掌握函数图象的变换,包括平移,伸缩,对称和翻折等,涉及零点之和问题,通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数为1()f x -,且11()()4f a f b --+=-,则11a b +的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数,再利用对数的运算性质化简11()()4f a f b --+=-,最后由基本不等式求得最值即可.【详解】因为x y a =和log a y x =(0a >,1a ≠)互为反函数,若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则112()log f x x -=,又因为11()()4f a f b --+=-,所以111222log log log ()4a b ab +==-,所以16ab =,且0a >,0b >,又11116162a b a b a b ab +++==≥=,当且仅当4a b ==时等号成立,所以11a b +的最小值为12.故答案为:12.13.如果函数()f x 的图象可以通过()g x 的图象平移得到,则称函数()f x 为函数()g x 的“同形函数”,下面几对函数是“同形函数”的是__________.(填上正确选项的序号即可)①()sin f x x =,()cos g x x =;②()2sin cos f x x x =,()cos 2g x x =;③44()sin cos f x x x =-,()cos 2g x x =;④()sin 2tan f x x x =⋅,()cos 2g x x =.【答案】①②③【解析】【分析】①②③,结合三角恒等变换及平移变换法则求出答案;④由两函数定义域不同,故④错误.【详解】①()cos g x x =的图象向右平移π2个单位得到()sin f x x =的图象,①正确;②π()2sin cos sin 2cos 22f x x x x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭,故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向右平移π4个单位得到,故②正确;③()()44222222()sin cos sin cos sincos sin cos f x x x x xx x x x =-=-+=-cos 2cos(2π)x x =-=+,故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向左平移π2个单位得到,故③正确;④2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin 1cos 2cos(2)1co πs xf x x x x x x x x x=⋅=⋅==-=++,因为()sin 2tan f x x x =⋅的定义域不是,而()cos 2g x x =的定义域是,所以不可能由()cos 2g x x =的图象平移得到()sin 2tan 2f x x x =⋅的图象,故④错误.故答案为:①②③14.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称,当[0,1]x ∈时,()f x x =,且对任意x ∈R ,有(2)()f x f x +=-,2024(),0()log (),0f x xg x x x ≥⎧=⎨--<⎩,则方程()()0g x g x --=实数根的个数为__________.【答案】2027【解析】【分析】由于题意可得函数()f x 以4为周期,分0x >,0x <,0x =三种情况讨论,把问题转化函数图象交点个数问题,作出函数图象,结合函数的周期性即可得解.【详解】对任意∈有(2)()f x f x +=-,得(4)(2)()f x f x f x +=-+=,则函数()f x 以4为周期,由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称,则()(2)f x f x =-,又(2)()f x f x +=-,所以(2)(2)0f x f x ++-=,则函数()f x 的图象关于(2,0)对称.当0x >时,0x -<,由()()0g x g x --=得()()g x g x =-,则2024()log f x x =-,作出()y f x =与2024log y x =-的大致图象如图,令2024log 1x -=-,则2024x =,而20244506=⨯,由图可知,在第一个周期内有三个交点,后面每个周期内有两个交点,所以()y f x =与2024log y x =-的图象在(0,)+∞上有350521013+⨯=个交点;当0x <时,0x ->,由()()g x g x =-得:2024log ()()x f x --=-,令x t -=,0t >,得2024()log f t t =-,由上述可知,()y f t =与2024log y t =-的图象在(0,)+∞上有1013个交点,故()y f x =-与2024log ()y x =--的图象在(,0)-∞上有1013个交点,又0x =时,()()0g x g x --=成立,所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为2101312027⨯+=.故答案为:2027.【点睛】思路点睛:由题分析可得函数()f x 以4为周期,图象关于(2,0)中心对称,把问题转化函数图象交点个数问题,数形结合可得解.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合{}11ee x A x -=≤≤,若关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A .(1)求函数()2f x x mx n =++的解析式;(2)求关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+的解集,其中λ∈R .【答案】(1)详见解析;(2){|x x λ<-或}3x λ>-.【解析】【分析】(1)先化简集合A ,再根据关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ,利用根与系数的关系求解;(2)由(1)化简不等式为()()30x x λλ++->求解.【小问1详解】解:集合{}11ee x A x -=≤≤{}|12x x =≤≤,因为关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ,所以3,2m n =-=,则()232f x x x =-+;【小问2详解】由(1)知:关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+即为:()2232322x x x λλ-++>-+,即为()222330x x λλλ+-+->,即为()()30x x λλ++->,解得:3x λ>-或x λ<-,所以不等式的解集为:{|x x λ<-或}3x λ>-.16.若函数()y f x =对任意实数x ,y 都有()()()f xy f x f y =,则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”()f x 满足(1)1f -=-,且当01x <<时,()(0,1)f x ∈.(1)判断“保积函数”()f x 的奇偶性;(2)若“保积函数”()f x 在区间(0,)+∞上总有()0f x >成立,试证明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增;(3)在(2)成立的条件下,若(2)2f =,求()211log sin 2f x +≤,[0,2π]x ∈的解集.【答案】(1)()f x 为奇函数(2)证明见解析(3)π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】(1)赋值,结合(1)1f -=-,进而得到()f x 为奇函数;(2)()f x 在(0,)+∞上单调递增,利用定义法得到函数的单调性;(3)赋值法得到1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭,结合函数单调性得到211log sin 2x +≤,[0,2π]x ∈,数形结合,结合定义域,得到不等式,求出解集.【小问1详解】()f x 为奇函数,理由如下:根据题意,令1y =-,得()()(1)f x f x f -=-,因为(1)1f -=-,所以()()f x f x -=-,故结合定义域可知,()f x 为奇函数.【小问2详解】证明:任取1x ∀,2(0,)x ∈+∞,且12x x >,则2101x x <<,因此()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为2101x x <<,且当01x <<时,()(0,1)f x ∈,所以2110x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,因为(0,)∀∈+∞x ,()0f x >恒成立,所以()10f x >,所以()()()2121110x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即()()12f x f x >,又因为120x x >>,所以()f x 在(0,)+∞上单调递增;【小问3详解】(1)1f -=-Q ,又()f x 为奇函数,(1)(1)1f f ∴=--=,()()()f xy f x f y = ,112(2)22f f f⎛⎫⎛⎫∴⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(2)2f = ,1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭,故原不等式等价于()211log sin 2f x f ⎛⎫+≤⎪⎝⎭,[0,2π]x ∈,()f x 在(0,)+∞上单调递增且(0,)∀∈+∞x ,()0f x >恒成立,又()f x 为奇函数,()f x ∴在上单调递增,故211log sin 2x +≤,[0,2π]x ∈,则221log sin log 22x ≤-=,[0,2π]x ∈,∴sin 0sin 2x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩,解得π04x <≤或3ππ4x ≤<,综上,()211log sin 2f x +≤,[0,2π]x ∈的解集为π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.17.已知函数())f x x =ω+ϕ(0ω>,ππ22ϕ-≤≤)的图象关于直线π3x =对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和ϕ的值;(2)当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时,求函数()y f x =的最大值和最小值;(3)设()()(0)g x f cx c =>,若()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π),求c 的取值范围.【答案】(1)2ω=,π6ϕ=-(22-(3)1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】(1)根据最小正周期求出ω,再根据对称轴求出ϕ;(2)由(1)可得()f x 解析式,再由x 的取值范围求出π26x -的范围,最后由正弦函数的性质计算可得;(3)首先得到()g x 的解析式,由12ππ22c⨯≥求出c 的大致范围,再求出()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c 的取值范围,即可得解.【小问1详解】因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以()f x 的最小正周期πT =,所以2π2Tω==,又因为()f x 的图象关于直线π3x =对称,所以232ππkπϕ⨯+=+,k ∈Z ,所以ππ6k ϕ=-,k ∈Z ,又ππ22ϕ-≤≤,所以π6ϕ=-,综上可得2ω=,π6ϕ=-.【小问2详解】由(1)知π()26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时,ππ5π2666x -≤-≤,所以当ππ262x -=(即π3x =)时,max ()f x =当ππ266x -=-(即0x =)时,min 3()2f x =-,所以函数()y f x =在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 2-.【小问3详解】由题意π()()26g x f cx cx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()0c >,()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π),12ππ22c ∴⨯≥且0c >,解得102c <≤,令ππ2π62cx k -=+,k ∈Z ,解得ππ23k x c c=+,k ∈Z ,若()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π),则πππ2π23k c c <+<,解得114623k k c +<<+,当1k =-时,112c -<且16c <-(矛盾),故解集为空集;当0k =时,1163c <<;当1k =时,55126c <<,故c 的取值范围为1150,,6312⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.18.已知函数2()43f x x x =-+,()(4)3g x a x =+-,a ∈R .(1)若[1,0]x ∃∈-,使得方程()20m f x -=有解,求实数m 的取值范围;(2)若对任意的1[1,5]x ∈-,总存在2[1,5]x ∈-,使得()()12f x g x ≤,求实数a 的取值范围;(3)设()()()h x f x g x =+,记()M a 为函数()h x 在[0,1]上的最大值,求()M a 的最小值.【答案】(1)[]2log 3,3(2){15a a ≤-或9}5a ≥-(3)3-【解析】【分析】(1)根据二次函数的单调性,结合存在性的定义、对数的单调性进行求解即可;(2)根据存在性和任意性的定义,结合函数的对称性分类讨论进行求解即可;(3)根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可.【小问1详解】[1,0]x ∃∈-,2()20243m m f x x x -=⇔=-+,因为函数2()43f x x x =-+的图象的对称轴是直线2x =,所以()y f x =在[1,0]-上为减函数,max ()(1)8f x f =-=,min ()(0)3f x f ==,故2[3,8]m ∈,所以m 的取值范围为[]2log 3,3.【小问2详解】对任意的1[1,5]x ∈-,总存在2[1,5]x ∈-,使得()()12f x g x ≤,∴即在区间[1,5]-上,()()12max max f x g x ≤,函数2()43f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =,又[1,5]x ∈-,∴当5x =时,函数()f x 有最大值为2(5)54538f =-⨯+=,①当4a =-时,()3g x =-,不符合题意,舍去;②当4a >-时,()g x 在[1,5]-上的值域为[7,517]a a --+,5178a ∴+≥,得95a ≥-;③当4a <-时,()g x 在[1,5]-上的值域为[517,7]a a +--,78a ∴--≥,得15a ≤-,综上,a 的取值范围为{15a a ≤-或9}5a ≥-;【小问3详解】函数2()h x x ax =+图象的对称轴为2a x =-,①当2a ≤-或0a ≥时,()h x 在[0,1]上单调递增,则()(1)|1|M a f a ==+;②当20a -<<时,2()max ,(1)max ,124a a M a ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=-=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭,解不等式组22014a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩,得(221a -<<-,故当20a -<<,()((2,22141,210a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-≤<⎩,综上,()((2,22141,221a a M a a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或,()M a ∴在((),21∞--上单调递减,在()21,∞⎡+⎣上单调递增,(21a ∴=-时,()M a取最小值为(2113+=-.【点睛】关键点睛:本题的关键是根据函数的对称轴与所给区间的相位位置进行分类讨论.19.已知()()()sin22sin cos 8f m θθθθ=---+.(1)当1m =时,求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值;(2)若()fθ的最小值为7-,求实数m 的值;(3)对任意的π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭,不等式()816sin cos m f θθθ->-恒成立.求m 的取值范围.【答案】(1)172+(2)5m =或1m =-(3)722,6⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)利用辅助角公式,化简函数,再代入求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭;(2)首先设sin cos t θθ=-,利用三角恒等变换,将函数表示成关于t 的二次函数,讨论对称轴,结合定义域求函数的最小值,列式求解m ;(3)根据(2)的结果,不等式参变分离为128m t t t->+-,在(t ∈恒成立,转化为判断函数的单调性,求函数的最值,即可求解m 的取值范围.【小问1详解】()()())πsin22sin cos 8sin22sin 84f m m θθθθθθ⎛⎫=---+=--+ ⎪⎝⎭,当1m =时,ππππ1ππsin 881261242124f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1178262π+=+=;【小问2详解】设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,则t ⎡∈⎣,22sin cos 1=-+t θθ,()()()229,f Q t t m t t θ⎡==---+∈⎣,其对称轴为12m t =-+,当102m-+≥,即2m ≥时,()f θ的最小值为(77Q =+=-,则5m =;当102m-+<,即2m <时,()f θ的最小值为77Q =-=-1m =-;综上,5m =或1m =-;【小问3详解】由()816sin cos m f θθθ->-,对所有π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立.设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,则(t ∈,()281629m t m t t-∴>---+,(t ∈恒成立,280t -> ,128m t t t∴-+->,在(t ∈恒成立,当(t ∈时,8t t -递减,则18t t t+-在(递增,t ∴=时18t t t +-取得最大值726得2m ->2∴>m 所以存在符合条件的实数m ,且m的取值范围为2,6∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛:本题的关键利用公式()22sin cos 1sin cos θθθθ=--,从而利用换元法转化为关于t 的函数问题.。
东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考试卷时间:120分钟 满分:150分一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的.1.已知集合,则中元素个数为( )A.2B.3C.4D.62.设集合,则集合的真子集的个数为( )A.3B.4C.15D.163.命题“,不等式”为假命题的一个必要不充分条件是( )A.B.C. D.4.设,则下列命题正确的是( )A.若,则B.若,则C.若则D.若,则5.若集合,若,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.6.对于实数,当且仅当时,规定,则不等式的解集是()A. B.C. D.7.已知,则的最小值为( )(){}(){}*,,,,,8A x y x y y x B x y x y =∈≥=+=N ∣∣A B ⋂{}{}{}1,2,3,4,5,,,A B M xx a b a A b B ====+∈∈∣M x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1a >102a <<2a >,a b ∈R ,x y a b >>a x b y ->-a b >11a b<,x y a b >>ax by >a b >22a b >{}30,101x A xB x ax x ⎧⎫-===+=⎨⎬+⎩⎭∣B A ⊆a 13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭x ()1n x n n ≤<+∈N []x n =[]24[]36450x x -+<{28}xx ≤<∣31522xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}27xx ≤≤∣{27}x x <≤∣0,0,23x y x y >>+=23x yxy+A. B.8.方程至少有一个负实根的充要条件是( )A. B.C.D.或二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分,9.设均为非空集合,且满足,则下列各式中正确的是( )A. B.C.D.10.下列四个命题中正确的是( )A.由所确定的实数集合为B.同时满足的整数解的集合为C.集合可以化简为D.中含有三个元素11.已知关于的不等式的解集为,则下列结论正确的是()A. B.的最大值为C.的最小值为8 D.的最小值为三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.的解集是__________.13.某班举行数学、物理、化学三科竞赛,每人至少参加一科,已知参加数学竞赛的有27人,参加物理竞赛的有25人,参加化学竞赛的有27人,其中同时只参加数学、物理两科的有10人,同时只参加物理、化学两科的有7人,同时只参加数学、化学两科的有11人,而参加数学、物理、化学三科的有4人,则全班共有__________人.3-11-1+2210ax x ++=01a <≤1a <1a ≤01a <≤0a <A B U 、、A B U ⊆⊆()U A B U ⋃=ð()()U U U A B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ð()()U U A B U⋃=ðð(),a b a b ab+∈R {}2,0,2-240,121x x x +>⎧⎨+≥-⎩{}1,0,1,2-(){},3216,,x y x y x y +=∈∈N N ∣()()(){}0,8,2,5,4,26,3A aa a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z x ()()()2323100,0a m x b m x a b +---<>>11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭21a b +=ab 1812a b +224a b +1222150x x -->14.已知关于的不等式(其中)的解集为,若满足(其中为整数集),则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)已知集合为全体实数集,或.(1)若,求;(2)若,求实数的取值范围.16.(本小题15分)已知全集,集合,集合.(1)若,求实数的取值集合;(2)若集合,且集合满足条件__________(从下列三个条件中任选一个作答),求实数的取值集合.条件①是的充分不必要条件:②是的必要不充分条件:③,使得.17.(本小题15分)设,且.(1介于之间;(2)求;(3)你能设计一个比的吗?并说明理由.18.(本小题17分)对于二次函数,若,使得成立,则称为二次函数的不动点.(1)求二次函数的不动点:(2)若二次函数有两个不相等的不动点,且,求的最小值.x ()()2640mx m x --+<m ∈R A A B ⋂=Z Z B m U {2M xx =<-∣{}5},121x N x a x a >=+≤≤-∣3a =()U M N ⋃ðU N M ⊆ða U =R A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩()(){}2440B x x m x m =---<∣B =∅m B ≠∅,A B m x A ∈x B ∈x A ∈x B ∈12,x A x B ∀∈∃∈12x x =10a >1a ≈21111a a =++12,a a 12,a a 2a 3a ()20y ax bx c a =++≠0x ∃∈R 2000ax bx c x ++=0x ()20y ax bx c a =++≠222y x x =+-()2221y x a x a =-++-12,x x 12,0x x >2112x x x x +19.(本小题17分)已知是非空数集,如果对任意,都有,则称是封闭集.(1)判断集合是否为封闭集,并说明理由:(2)判断以下两个命题的真假,并说明理由:命题:若非空集合是封闭集,则也是封闭集;命题:若非空集合是封闭集,且,则也是封闭集:(3)若非空集合是封闭集合,且为实数集,求证:不是封闭集.A ,x y A ∈,x y A xy A +∈∈A {}{}0,1,0,1BC ==-p 12,A A 12A A ⋃q 12,A A 12A A ⋂≠∅12A A ⋂A ,A ≠R R A R ð东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考答案【解析】1.解:在集合中,观察集合的条件,当是正整数且时,有等4个元素,则中元素个数为4个.故选C.2.解:由题意可知,集合,集合中有4个元素,则集合的真子集有个,故选C.3.解:命题“,不等式”为假命题,则命题“,不等式”为真命题,所以,解得,所以使得命题“,不等式”为假命题,则实数的取值范围为1,则命题“,不等式”为假命题的一个必要不充分条件是,故选:A.4.解:A :令,则,故错误;B :令,则,故错误;C :令,则,故错误;D :因为,所以即,故正确;故选D.5.解:由题可知:.当时,显然不成立即,则满足;B 8x y +=A ,x y y x ≥()()()()1,7,2,6,3,5,4,4A B ⋂{}5,6,7,8M =M 42115-=x ∃∈R 2210ax x -+≤x ∀∈R 2210ax x -+>0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩1a >x ∃∈R 2210ax x -+≤a a >x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1,3,2,0x y a b ==-==13a x b y -=<-=0,0a b ><11a b>0,1,1,0x y a b ==-==0ax by ==a a b >…22||a b >22a b >{}3031x A xx ⎧⎫-===⎨⎬+⎩⎭0a =10…B =∅B A ⊆当时,,由可得:;综上所述实数的取值范围为.故选C.6.解:由,根据的定义可知:不等式的解集是.故选A.7.解:因为,则,当且仅当时,即当,且,等号成立,故的最小值为故选B.8.当时,方程为有一个负实根,反之,时,则于是得;当时,,若,则,方程有两个不等实根,,即与一正一负,反之,方程有一正一负的两根时,则这两根之积小于,于是得,若,由,即知,方程有两个实根,0a ≠1B x x a ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭B A ⊆1133a a -=⇒=-a 10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭[]24[]36450x x -+<[]()[]()232150x x ⇒--<[]31522x ⇒<<[]x []24[]36450x x -+<{28}xx <∣…0,0,23x y x y >>+=()22222322111x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x +++++===+++=+…222x y =3x =-y =23x y xy+1+0a =210x +=12x =-12x =-0,a =0a =0a ≠Δ44a =-0a <Δ0>12,x x 1210x x a=<1x 2x 1a0,0a <0a <0a >Δ0≥01a <≤12,x x必有,此时与都是负数,反之,方程两根都为负,则,解得,于是得,综上,当时,方程至少有一个负实根,反之,方程至少有一个负实根,必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选:9.解:因为,如下图所示,则,选项A 正确:,选项B 正确:,选项正确:,选项D 错误.故选ABC.10.解:分别取同正、同负和一正一负时,可以得到的值分别为,故A 正确;由得,12122010x x a x x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩1x 2x 2210ax x ++=12,x x 1212Δ4402010a x x a x x a ⎧⎪=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩01a <≤01a <≤1a ≤2210ax x ++=2210ax x ++=1a ≤2210ax x ++=1a ≤CA B U ⊆⊆()U U U ,B A A B U ⊆⋃=ððð()()UUUA B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ðð()()UUUA B A U ⋃=≠ððð,a b (),a b a b ab+∈R 2,2,0-240,121,x x x +>⎧⎨+≥-⎩22x -<≤所以符合条件的整数解的集合为,故B 正确;由,可以得到符合条件的数对有,故C 正确;当时,;当时,,当时,;当时,;当时,;当时,,所以集合含有四个元素,故D 错误,故选ABC.11.解:由题意,,且方程的两根为和,所以,所以,所以A 正确;因为,所以,可得,当且仅当时取等号,所以的最大值为B 正确;,当且仅当,即时取等号,所以的最小值为C 错误;,当且仅当时取等号,所以的最小值为,所以D 正确.故选ABD.12.解:由,,{}1,0,1,2-3216,,x y x y +=∈∈N N ()()()0,8,2,5,4,22a =666332a ==∈--N 1a =663331a ==∈--N 0a =662330a ==∈--N 1a =-66331a =∉-+N 2a =-6635a =∉-N 3a =-66136a ==∈-N A 2,1,0,3-30a m +>()()232310a m x b m x +---=1-12123111,12323b m a m a m--+=-⨯=-++32,231a m b m +=-=-21,a b +=0,0a b >>21a b +=≥18ab ≤122a b ==ab 1,8()121222255549b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭22b a a b =13a b ==12a b+9,22222114(2)(2)22a b a b a b +=+≥+=122a b ==224a b +1222150x x -->2||2150x x ∴-->()()530x x ∴-+>解得:或(舍去),或,即所求的解集为,故答案为.13.解:设参加数学、物理、化学三科竞赛的人分别组成集合,各集合中元素的个数如图所示,则全班人数为.故答案为43.14.解:分情况讨论:当时,,解得;当时,,当且仅当解得或;当时,,当且仅当由,解得.因为,集合中元素个数最少,所以不符合题意;所以要使集合中元素个数最少,需要,解得.故答案为:.15.(本小题13分)5x >3x <-5x ∴<-5x >()(),55,∞∞--⋃+()(),55,∞∞--⋃+,,A B C 24510711443++++++=0m =()640x -+<{}4A xx =>-∣0m <()2266640,4m m x x m m m m ⎛⎫++-+>=+-<- ⎪⎝⎭…m =26{|m A x x m +=<4}x >-0m >2664m m m m+=+≥>m =()2640m x x m ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭264m A x x m ⎧⎫+⎪⎪=-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭A B ⋂=Z B 0m ≤B 265m m +≤23m ≤≤{}23mm ∣……【答案】解:(1)当时,,所以或,又或,所以或;(2)由题可得,①当时,则,即时,此时满足;②当时,则,所以,综上,实数的取值范围为.16.(本小题15分)【答案】解:(1)若,则,解得,所以实数的取值集合为(2)集合,集合,则此时,则集合,当选择条件①时,是的充分不必要条件,有 ,则,且不能同时取等,解得,所以实数的取值集合为当选择条件②时,是的必要不充分条件,有 ,则,且不能同时取等,解得,所以实数的取值集合为当选择条件③时,,使得,有,则,解得,所以实数的取值集合为3a ={}45N xx =≤≤∣U {4N x x =<∣ð5}x >{2M xx =<-∣5}x >()U {4M N x x ⋃=<∣ð5}x >{}U 25M xx =-≤≤∣ðN =∅121a a +>-2a <U N C M ⊆N ≠∅12112215a a a a +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23a ≤≤a {}3aa ∣…B =∅244m m =+2m =m {}2{}2200{45}A xx x x x =-++>=-<<∣∣B ≠∅2,m ≠2244(2)0m m m +-=->{}244B xm x m =<<+∣x A ∈x B ∈A B 24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m <-m (),1∞--x A ∈x B ∈B A 24445m m ≥-⎧⎨+≤⎩11m -<≤m (]1,1-12,x A x B ∀∈∃∈12x x =A B ⊆24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m ≤-m (],1∞--17.(本小题15分)【答案】解:(1)证明:.之间.(2比.(3)令,则比.证明如下:由(2.故比18.(本小题17分)【答案】解:(1)由题意知:,,解得,所以,二次函数的不动点为和1.(2)依题意,有两个不相等的正实数根,即方程有两个不相等的正实数根,所以,解得,所以,所以))12111101a a a a ⎫=-⋅--=<⎪+⎭12a a 、11a --1a -2a ∴1a 32111a a =++3a 2a 32a a -=--3a 2a 222x x x +-=()()120x x ∴-+=122,1x x =-=222y x x =+-2-()2221x a x a x -++-=()22310x a x a -++-=()2Δ(3)810a a =+-->12302a x x ++=>1a >12102a x x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭121231,22a a x x x x +-+==()222121221121212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为6.19.(本小题17分)【答案】(1)解:对于集合,因为,所以是封闭集;对于集合,因为,所以集合不是封闭集;(2)解:对命题:令,则集合是封闭集,但不是封闭集,故错误;对于命题:设,则有,又因为集合是封闭集,所以,同理可得,所以,所以是封闭集,故正确;(3)证明:假设结论成立,设,若,矛盾,所以,所以有,设且,否则,所以有,矛盾,故假设不成立,原结论成立,证毕.()()()22231(1)41162132121212a a a a a a a a a +⎛⎫-+ ⎪-+-+++⎝⎭===---1822621a a -=++≥=-1821a a -=-5a =1221x x x x +{}0B =000,000B B +=∈⨯=∈{}0B ={}1,0,1C =-()112,112,C C -+-=-∉+=∉{}1,0,1C =-p {}{}122,,3,A xx k k A x x k k ==∈==∈Z Z ∣∣12,A A 12A A ⋃q ()12,a b A A ∈⋂1,a b A ∈1A 11,a b A ab A +∈∈22,a b A ab A +∈∈()()1212,a b A A ab A A +∈⋂∈⋂12A A ⋂2a A a A ∈⇒∈2R ()a A a A -∈⇒-∈R ðða A -∈0a a A -+=∈2R R b A b A ∈⇒∈ððR b A -∈ð2()b A b A -∈⇒-∈R 0b b A -+=∈ð。
智才艺州攀枝花市创界学校内蒙古锡林郭勒盟第HY 学二零二零—二零二壹高一数学上学期第一次月考试题〔含解析〕一、单项选择题〔本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分〕 1.集合2{|}A x x x ==,{1,,2}B m =,假设A B ⊆,那么实数m 的值是〔〕A.2B.0C.0或者2D.1【答案】B 【解析】 【分析】 求得集合{0,1}A =,根据A B ⊆,即可求解,得到答案.【详解】由题意,集合2{|}{0,1}A x x x ===,因为A B ⊆,所以0m =,应选B.【点睛】此题主要考察了集合交集运算,其中解答中熟记集合的包含关系的运算是解答的关键,着重考察了运算与求解才能,属于根底题.2.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是〔〕 A.21y x =+B.231y x =+C.2y x=D.221y x x =++【答案】C 【解析】 【详解】A 选项在R 上是增函数;B选项在(],0-∞是减函数,在[)0,+∞是增函数;C选项在(),0,(0,)-∞+∞是减函数;D选项221721248y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭在1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦是减函数,在1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭是增函数;应选C. 【点睛】对于二次函数断定单调区间通常要先化成2()(0)y a x m n a =-+≠形式再断定.当0a >时,单调递减区间是(],m -∞,单调递减区间是[),m +∞;0a <时,单调递减区间是[),m +∞,单调递减区间是(],m -∞.3.以下哪一组函数相等〔〕A.()f x x =与()2x g x x=B.()2f x x =与()4g x =C.()f x x =与()2g x =D.()2f x x =与()g x =【答案】D 【解析】 【分析】根据相等函数的要求依次判断两个函数的定义域和解析式是否一样,从而可求得结果. 【详解】A 选项:()f x 定义域为R ;()g x 定义域为:{}0x x ≠∴两函数不相等B 选项:()f x 定义域为R ;()g x 定义域为:{}0x x ≥∴两函数不相等C 选项:()f x 定义域为R ;()g x 定义域为:{}0x x ≥∴两函数不相等D 选项:()f x 与()g x 定义域均为R ,且()()2g x x f x ===∴两函数相等此题正确选项:D【点睛】此题考察相等函数的判断,关键是明确两函数相等要求定义域和解析式都一样,属于根底题. 4.集合{}2|3280Mx x x =--≤,{}2|60N x xx =-->,那么M N ⋂为〔〕A.{|42x x -≤<-或者37}x <≤B.{|42x x -<≤-或者37}x ≤<C.{|2x x ≤-或者3}x >D.{|2x x <-或者3}x ≥【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合{}2|3280M x x x =--≤,{}2|60N x xx =-->,根据集合交集的定义求解即可. 【详解】∵由{}2|3280Mx x x =--≤,所以{}|47M x x =-≤≤, 因为{}2|60N x x x =-->,所以{|2N x x =<-或者3}x >,∴{}|47{|2MN x x x x ⋂=-≤≤⋂<-或者3}x >{|42x x =-≤<-或者37}x <≤.应选A .点睛:研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,此题本质求满足属于集合M 且属于集合N 的元素的集合.5.2,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩,那么44()()33f f +-的值等于〔〕A.2-B.4C.2D.4-【答案】B 【解析】【详解】2,0()(1),0x x f x f x x >⎧=⎨+≤⎩,448()2333f ∴=⨯=,44112()(1)()(1)()33333f f f f f ∴-=-+=-=-+=24233=⨯=,4484()()43333f f ∴+-=+=,应选B.考点:分段函数.6.()f x =A.3(,]2-∞ B.3[,)2+∞ C.(,1]-∞ D.[2,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】先求解定义域,然后结合二次函数的对称轴判断增区间. 【详解】因为2320x x -+≥,所以(][),12,x ∈-∞+∞;又因为232y x x =-+的对称轴为:32x =,且322<,所以增区间为[)2,+∞, 应选:D.【点睛】此题考察复合函数的单调性,难度一般.对于复合函数的单调性问题,在利用“同増异减〞的方法判断的同时也要注意到定义域问题. 7.以下对应关系是A 到B 的函数的是()A.A=R,B={x|x>0}.f:x y=|x|→B.2,,:A Z B N f x y x +==→=C.A=Z,B=Z,f:x y →=D.[]{}1,1,0,:0A B f x y =-=→=【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义,即可得出结论.【详解】对于A 选项:A =R ,B ={x |x >0},按对应关系f :x →y =|x |,A 中的元素0在B 中无像,∴f :x →y =|x |不是从A 到B 的函数;对于B 选项:A =Z ,B N +=,f :x →y =x 2,A 中的元素0在B 中无像,∴f :x →y =|x |不是从A 到B 的函数;对于C 选项:A =Z ,B =Z ,f :x →y =f :x →y =A 到B 的函数;对于D 选项:A =[﹣1,1],B ={0},f :x →y =0,A 中的任意元素在B 中有唯一元素对应,∴f :x →y =0是从A 到B 的函数. 应选D.【点睛】此题考察函数的定义,考察学生分析解决问题的才能,正确理解函数的定义是关键.8.函数()212f x x =+,那么f 〔x 〕的值域是 A.1{|}2y y ≤ B.1{|}2y y ≥C.1{|0}2y y <≤D.{|0}y y >【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质,求得函数的值域.【详解】由于220,22xx ≥+≥,故211022x <≤+,故函数的值域为1|02y y ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭,应选C. 【点睛】本小题主要考察函数值域的求法,考察不等式的性质,属于根底题. 9.函数(1)f x +的定义域为[2,3]-,那么(21)f x -的定义域为〔〕A.[]-1,4B.5[0,]2C.[5,5]-D.[3,7]-【答案】B 【解析】 【分析】 由函数(1)f x +的定义域为[2,3]-,得到1[1,4]x +∈-,令1214x -≤-≤,即可求解函数(21)f x -的定义域,得到答案.【详解】由题意,函数(1)f x +的定义域为[2,3]-,即[2,3]x ∈-,那么1[1,4]x +∈-,令1214x -≤-≤,解得502x ≤≤,即函数(21)f x -的定义域为5[0,]2,应选B.【点睛】此题主要考察了抽象函数的定义域的计算,其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的关键,着重考察了推理与运算才能,属于根底题. 10.不等式20ax x c -+>的解集为{}21,x x -<<那么函数2y ax x c =++的图像大致为〔〕A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用根与系数的关系x 1+x 2=−b a ,x 1•x 2=c a结合二次函数的图象可得结果【详解】由题知-2和1是ax 2-x+c=0的两根, 由根与系数的关系知-2+1=1a ,,−2×1=c a,∴a=-1,c=2, ∴2y ax x c =++=-x 2+x+2=-〔x-12〕2+94,应选C【点睛】此题考察了一元二次不等式的解法和二次函数的图象,以及一元二次方程根与系数的关系.一元二次不等式,一元二次方程,与一元二次函数的问题之间可互相转化,也表达了数形结合的思想方法. 11.函数2228(0)y x ax a a =-->,记0y ≤的解集为A ,假设()1,1A -⊆,那么a 的取值范围〔〕A.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.11,42⎛⎫⎪⎝⎭D.11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】因为2228(2)(4)--=+-x ax a x a x a ,且24a a -<,所以解集[]2,4A a a =-;然后根据()1,1A -⊆,得不等式组2141a a -≤-⎧⎨≥⎩,可得a 的取值范围。
2024-2025学年福州市高一上学期第一次月考数学模拟试卷总分150分;考试时间120分钟;一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列各组对象中不能组成集合的是( ).A .2023年男篮世界杯参赛队伍B .中国古典长篇小说四大名著C .高中数学中的难题D .我国的直辖市【答案】C【分析】根据组成集合的要素之确定性即可得解.【详解】A ,B ,D 所表示的对象都能确定,能组成集合,选项C 高中数学中的难题,怎样算难题不能确定,不能组成集合,故选:C .2. 已知M,N 都是U 的子集,则图中的阴影部分表示( )A. M ∪NB. ∁U (M ∪N)C. (∁U M)∩ND. ∁U (M∩N)【答案】B【分析】观察图形可知,图中非阴影部分所表示的集合是A B ∪,从而得出图中阴影部分所表示的集合.【详解】由题意,图中非阴影部分所表示的集合是A B ∪,所以图中阴影部分所表示的集合为A B ∪的 补集,即图中阴影部分所表示的集合为()U C A B ,故选B.【点睛】本题主要考查集合的venn 图的表示及应用,其中venn 图既可以表示一个独立的集合,也可以表示集合与集合之间的关系,熟记venn 图的含义是解答的关键.3.若集合{}1,2,3A =,(){},|40,,Bx y x y x y A =+−>∈,则集合B 的真子集个数为( ) A .5B .6C .7D .8 【答案】C 【分析】先用列举法求出集合B ,在根据真子集的公式21n −求解.【详解】由题意可知()()(){}2,3,3,2,3,3B =,所以集合B 的真子集个数为3217−=个.故选:C4.已知集合{}12A x x =−<<,{}01B x x =<<,则( ) A .A B >B .A ⊆BC .B ⊆AD .A B = 【答案】C【分析】根据子集包含关系得到答案. 【详解】{}{}0112x x x x <<⊆−<<,故B ⊆A .故选:C5.已知命题3:0,p x x x ∀≥>,命题2:0,10q x x ∃<+>,则( )A .p 和q 均为真命题B .p ¬和q 均为真命题C .p 和q ¬均为真命题D .p ¬和q ¬均为真命题 【答案】B【分析】直接判断命题的真假,再根据命题的否定可判断.【详解】对于命题p ,当1x =时,3x x =,所以p 为假命题,则p ¬为真命题;对于命题q ,当1x =−时,210x ,所以q 为真命题.综上,p ¬和q 均为真命题.故选:B.6.设,a b ∈R ,则“1a <且1b <”是“2a b +<”的( ).A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断.【详解】若1a <且1b <,则2a b +<,即充分性成立;若2a b +<,例如1,0a b ==,满足2a b +<,但不满足1a <且1b <,即必要性不成立;综上所述:“1a <且1b <”是“2a b +<”的充分不必要条件.故选:A.7.227x x +的最小值为( )A .B .C .D .【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解.【详解】由题意知0x ≠,所以2270,0x x >>,所以227x x +≥当且仅当227x x =,即2x 时,等号成立. 故选:B.8.若关于x 的方程()2210mx m x m +−+=有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是( ).A .14m <B .14m >C .14m <且0m ≠ D .14m >且0m ≠ 【答案】C 【分析】根据给定条件,列出不等式组并求解即得.【详解】由方程()2210mx m x m +−+=有两个不相等的实数根,得()220Δ2140m m m ≠ −−> , 即410m −+>,解得14m <,因此14m <且0m ≠, 所以实数m 的取值范围是14m <且0m ≠. 故选:C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是( )A .“11a b>”是“a b >”的充分不必要条件B .“A =∅”是“A B ∩=∅”的充分不必要条件C .若,,R a b c ∈,则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D .若,R a b ∈,则“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件【答案】BD【分析】根据已知条件及特殊值法,结合充分条件必要条件的定义即可求解.【详解】对于A 选项,当2,3a b ==时, 11;23a b ><,当1,2a b =−=−时, 11212−>−−>−,,所以两者既不充分也不必要,故A 错误;对于B 选项,当A B ∩=∅时,可取}{}{1,2A B ==,但A ≠∅,当A =∅时,A B ∩=∅,故 B 正确; 对于C 选项,当 22ab cb >时, 20b >,从而a c >,反之,a c >时,若0b =,则 22ab cb =,所以两者不是充要条件,故 C 错误;对于D 选项,220,0a b a +≠≠且00b a b ≠⇔+≠,故D 正确,故选:BD .10.下列命题中,是真命题的有( )A .集合{}1,2的所有真子集为{}{}1,2B .若{}{}1,2,a b =(其中,a b ∈R ),则3a b +=C .{x x 是等边三角形}⊆}D .{}{}3,6,x x k k x x z z =∈⊆=∈N N【答案】BC【分析】根据真子集的定义即可判断A ;根据等集的定义即可判断B ;根据子集的定义即可判断CD.【详解】集合{}1,2真子集是∅,{}{}1,2共3个,所以A 为假命题;由{}{}1,2,a b =,知2a =,1b =,则3a b +=,则B 为真命题; 等边三角形是特殊的等腰三角形,所以C 为真命题;{}623,x x z z z ==×∈N ,所以{}{}6,3,x x z z x x k k =∈⊆=∈N N ,所以D 为假命题.故选:BC.11.若关于x 的一元二次不等式()20,,R ax bx c a b c ++>∈的解集为{}23x x −<<,则( )A .0a >B .0bc >C .0a b +=D .0a b c −+>【答案】BCD 【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析,结合图象即可一一判断.【详解】对于A ,由题意,结合二次函数2y ax bx c ++的图象知,抛物线开口应向下,则a<0,故A 错误;对于B ,依题意,a<0,且一元二次方程20ax bx c ++=的两根为2−和3, 由韦达定理,2323b a c a −+=− −×=,故0b a =−>,60c a =−>,即0bc >,故B 正确; 对于C ,由上分析可得0a b +=,故C 正确; 对于D ,由上分析可得()(6)40a b c a a a a −+=−−+−=−>,故D 正确.故选:BCD.12. 对于非空数集M ,定义()f M 表示该集合中所有元素的和.给定集合 1,2,3,4S ,定义集合(){},T f A A S A ⊆≠∅,则下列说法正确的是( )A. 7T ∈B. 8T ∉C. 集合T 中有10个元素D. 集合T 中有11个元素 【答案】AC【分析】列举出集合A ,求出对应的()f A 的值,可得出集合T ,即可得出合适的选项.【详解】A S ⊆ 且A ≠∅.①当A 为单元素集合时,集合A 可取{}1、{}2、{}3、{}4,()f A 可取1、2、3、4;②当A 中的元素个数为2时,集合A 可取{}1,2、{}1,3、{}1,4、{}2,3、{}2,4、{}3,4,()f A 可取3、4、5、6、7;③当A 中的元素个数为3时,集合A 可取{}1,2,3、{}1,2,4、{}1,3,4、{}2,3,4,()f A 可取6、7、8、9;④当A S =时,()10f A =.综上所述,{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10T =,AC 选项正确,BD 选项错误.故选:AC.三、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13. 命题“x ∀∈R ,240x x −+≥”的否定为______.【答案】x ∃∈R ,240x x −+<【分析】利用全称量词命题的否定求解.【详解】由于全称量词命题的否定是存在量词命题,所以命题“x ∀∈R ,240x x −+≥”的否定为“x ∃∈R ,240x x −+<”.故答案为:x ∃∈R ,240x x −+<14.集合{}2|40A x x =−=的子集个数是 .【答案】4【分析】首先求集合,然后再求集合的子集个数.【详解】由x 2-4=0,解得:x =±2,故A ={2,-2},故子集的个数是22=4个.故答案为:4.【点睛】本题考查空集和子集个数,属于基础题.15. 已知0a >,则91a a ++的最小值是______. 【答案】5【分析】构造基本不等式求出最小值即可.【详解】由题意可得,99111511a a a a +=++−≥=++,当且仅当911a a +=+,即2a =时,等号成立.故答案为:5.16.不等式2320x x −++>的解集为 .【答案】2,13 −【分析】利用十字相乘法因式分解,即可解得;【详解】解:由2320x x −++>得232(1)(32)0x x x x −−=−+<,解得213x −<< 所以不等式2320x x −++>的解集为2,13 −. 故答案为:2,13 −.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法,属于基础题.四、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知关于x 不等式:()23130ax a x −++<. (1)当2a =−时,解此不等式;(2)当0a >时,解此不等式.【答案】(1)1{|2x x <−或}3x > (2)当13a =时,解集为∅;当103a <<时,解集为1{|3}x x a<<;当13a >时,解集为1{|3}x x a << 【分析】(1)利用一元二次不等式的解法解出即可; (2)不等式可变形为(x -3)(x -1a )<0,然后分a =13、0<a <13、a >13三种情况讨论即可. 【小问1详解】当a =-2时,不等式-2x 2+5x +3<0整理得(2x +1)(x -3)>0,解得x <-12或x >3,当a =-2时,原不等式解集为{x |x <-12或x >3}.【小问2详解】当a >0时,不等式ax 2-(3a +1)x +<0整理得:(x -3)(x -1a )<0, 当a =13时,1a =3,此时不等式无解; 当0<a <13时,1a >3,解得3<x <1a ; 当a >13时,1a <3,解得1a <x <3; 综上:当a =13时,解集为∅; 当0<a <13时,解集为{x |3<x <1a }; 当a >13时,解集为{x |1a <x <3}. 18. 已知集合{}{}25,123A x x B x m x m =−≤≤=−≤≤+.(1)若4m =,求A B ∪;的(2)若A B B = ,求实数m 的取值范围.【答案】(1){}|211x x −(2)()[],41,1−∞−−【分析】(1)4m =时,求出集合B ,由此能求出A B ∪;(2)由A B B = 可得B A ⊆,当B =∅时,123m m −>+,当B ≠∅时,12312235m m m m −+ −− +,由此能求出实数m 的取值范围.【小问1详解】解:4m =时,集合{}|25A x x =− ,{}|311B x x = ,{}|211A B x x ∴=− .【小问2详解】解:A B B = ,B A ∴⊆,∴当B =∅时,123m m −>+,解得4m <−,当B ≠∅时,12312235m m m m −+ −− +,解得11m − , ∴实数m 的取值范围是()[],41,1−∞−− .19. 已知实数a >0,b >0,a +2b =2(1)求12a b+的最小值; (2)求a 2+4b 2+5ab 的最大值.【答案】(1)92; (2)92. 【分析】(1)利用12112(2)2a b a b a b +=++ 转化为用基本不等式求解; (2)22245(2)4a b ab a b ab ab ++=++=+,根据a +2b =2利用基本不等式求出ab 范围即可.【小问1详解】12112122(2)522b a a b a b a b a b +=++=++∵0,0a b >>,∴1221955222b a a b ++≥+= , 当且仅当22b a a b=,即23a b ==时,等号成立. ∴12a b +的最小值为92; 【小问2详解】∵22245(2)4a b ab a b ab ab ++=++=+,又22a b +=≥12≤ab ,故224219452a b ab ++≤+=, 当且仅当2a b =,即11,2a b ==时,等号成立. 故2245a b ab ++取得最大值92. 20. 某公司建造一间背面靠墙的房屋,地面面积为248m ,房屋正面每平方米的造价为1200元,房屋侧面每平方米的造价为8005800元,如果墙高为3m ,且不计房屋背面和地面的费用,那么怎样设计房屋能使总造价最低?最低总造价是多少?【答案】当房屋的正面边长为8m ,侧面边长为6m 时,房屋总造价最低,为63400元.【分析】设房屋的正面边长为xm ,侧面边长为y m ,总造价为z 元,由题意得出48xy =,然后根据题意得出z 关于x 的函数表达式,利用基本不等式可求出z 的最小值,利用等号求出对应的x 值,综合可得出结论.【详解】设房屋正面边长为xm ,侧面边长为y m ,总造价为z 元,则48xy =,即48y x=,5760043120068005800360058005800z x y x x ×=⋅+⋅+=++≥63400=. 当5760043600x x×=时,即当8x =时,z 有最小值,最低总造价为63400元. 答:当房屋的正面边长为8m ,侧面边长为6m 时,房屋总造价最低,为63400元.【点睛】本题考查基本不等式的应用,在利用基本不等式时,要注意等号成立的条件,考查计算能力,属的于基础题.21. 已知命题:p x ∃∈R ,240x x m −+=为假命题. (1)求实数m 的取值集合B ;(2)设{}34A x a x a =<<+,若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.【答案】(1){}4Bm m => (2)43a a≥【分析】(1)由题意可得Δ0<,即可求得集合B ; (2)分析可知A B ,分A =∅、A ≠∅两种情况讨论,可得出关于实数a 的不等式(组),综合可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】 解:由题意可得1640m ∆=−<,解得4m >,故{}4B m m =>.【小问2详解】解:由题意可知A B . 当A =∅时,则34a a ≥+,解得2a ≥,此时A B 成立; 当A ≠∅时,则3434a a a <+ ≥ ,解得423a ≤<. 综上所述,实数a 的取值范围是43a a≥. 22. 已知集合2{|320,R,R}A x ax x x a =−+=∈∈. (1)若A 是空集,求a 的取值范围;(2)若A 中只有一个元素,求a 的值,并求集合A ; (3)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围【答案】(1)9,8 +∞(2)a 的值为0或98,当0a =时23A = ,当98a =时43A =第11页/共11页(3)9{0},8∞ ∪+【分析】(1)A 是空集,则方程为二次方程,且方程无实根;(2)A 中只有一个元素,则方程为一次方程,或方程为二次方程且方程有两个相同的根; (3)A 中至多有一个元素,则方程为一次方程,或方程为二次方程且至多一个实根.【小问1详解】A 是空集,0a ∴≠且Δ0<,980a ∴−<,解得98a >, a ∴的取值范围为:98+∞(,); 【小问2详解】当0a =时,集合2{|320}3A x x=−+==, 当0a ≠时,Δ0=,980a ∴−=,解得98a =,此时集合43A =, 综上所求,a 的值为0或98,当0a =时,集合23A = ,当98a =时,集合43A =; 【小问3详解】 由12(),()可知,当A 中至多有一个元素时,98a ≥或0a =, a ∴的取值范围为:{}90[8+∞ ,).。
2024-2025学年第一学期福州第一中学第一次月考高一数学(完卷时间:120分钟;满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知全集(](]0,4,2,4U U A B A C B =⋃=⋂=,则集合B =( )A. (],2∞- B. (),2∞- C. (]0,2 D. ()0,2【答案】C【解析】【分析】集合运算可得()=I U U B C A C B ,即可求出结果【详解】(0,4]A B = ,(2,4]=I U A C B 所以()(0,2]==I U U B C A C B 故选:C2. 某城新冠疫情封城前,某商品的市场需求量y 1(万件),市场供应量y 2(万件)与市场价格x (百元/件)分别近似地满足下列关系:150y x =-+,2210y x =-,当12y y =时的需求量称为平衡需求量,解封后,政府为尽快恢复经济,刺激消费,若要使平衡需求量增加6万件,政府对每件商品应给予消费者发放的消费券补贴金额是( )A. 6百元B. 8百元C. 9百元D. 18百元【答案】C【解析】【分析】求出封城前平衡需求量,可计算出解封后的需求量,利用需求量计算价格差距即为补贴金额.【详解】封城前平衡需求量时的市场价格x 为5021020x x x -+=-⇒=,平衡需求量为30,平衡价格为20,解封后若要使平衡需求量增加6万件,则11365014x x =-+⇒=,223621023x x =-⇒=,则补贴金额为23149-=.故选:C.3. 设[]x 表示不超过x 的最大整数,对任意实数x ,下面式子正确的是( )A. []x = |x|B. []xC. []x >-xD. []x > 1x -【答案】D 的【解析】【详解】分析:[]x 表示不超过x 最大整数,表示向下取整,带特殊值逐一排除.详解:设 1.5x =,[]1x =, 1.5x =1.5=,10.5x -=,排除A 、B ,设 1.5x =-,[]2x =-, 1.5x -=,排除C .故选D点睛:比较大小,采用特殊值法是常见方法之一.4. 已知函数2943,0()2log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩,则函数(())y f f x =的零点所在区间为( )A. (1,0)- B. 73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. (4,5)【答案】B【解析】【分析】当0x …时,()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解,此时,(())y f f x =无零点;当0x >时,根据()f x 为增函数,且(3)0f =可得函数(())y f f x =的零点为3()2log 12x g x x =+-的零点,根据零点存在性定理可得结果.【详解】当0x …时,()430x f x =+>,()43(())43430x f x f f x +=+=+=无解,此时,(())y f f x =无零点;当0x >时,293()2log 92log 9x x f x x x =+-=+-为增函数,且(3)0f =.令(())0(3)f f x f ==,得3()2log 93x f x x =+-=,即32log 120x x +-=,令3()2log 12x g x x =+-,则函数(())y f f x =的零点就是3()2log 12x g x x =+-的零点,因为()3332log 31230g =+-=-<,72377()2log 1222g =+-37log 1202=+->,所以函数(())y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选:B.【点睛】本题考查了分段函数的零点问题,考查了根据零点存在性定理判断零点所在的区间,考查了根据的解析式判断函数的单调性,属于中档题.5. 设函数()2,11,1x a x f x x x -⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩,若()1f 是f(x)的最小值,则实数a 的取值范围为( )A [)1,2- B. []1,0- C. []1,2 D. [)1,+∞【答案】C【解析】【分析】由1x >,求得()f x 的范围;再求得||()2x a f x -=的单调性,讨论1a <,1a …时函数()f x 在1x …的最小值,即可得到所求范围.【详解】解:函数2,1()1,1x a x f x x x -⎧⎪=⎨+>⎪⎩…,若1x >,可得()12f x x =+>,由()1f 是()f x 的最小值,由于||()2x a f x -=可得在x a >单调递增,在x a <单调递减,若1a <,1x …,则()f x 在x a =处取得最小值,不符题意;若1a …,1x …,则()f x 在1x =处取得最小值,且122a -…,解得12a ……,综上可得a 的范围是[1,2].故选:C .【点睛】本题考查分段函数的最值的求法,注意运用分类讨论思想方法,以及指数函数的单调性,考查运算能力,属于中档题.6. 已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()()0f x y f x y f x f y ++--=,()11f -=,则( )A. ()00f = B. ()f x 为奇函数C. ()81f =- D. ()f x 的周期为3【答案】C【解析】【分析】令 0x y ==,则得(0)2f =,再令0x =即可得到奇偶性,再令1y =-则得到其周期性,最后根.据其周期性和奇偶性则得到()8f 的值.【详解】令 0x y ==, 得()()22000f f -=得 (0)0f = 或 (0)2f =,当 (0)0f = 时,令0y =得 ()0f x = 不合题意, 故 (0)2f =, 所以 A 错误 ;令 0x = 得 ()()f y f y =-, 且()f x 的定义域为R ,故 ()f x 为偶函数, 所以B 错误 ;令 1y =-, 得 (1)(1)()f x f x f x -++=, 所以 ()(2)(1)f x f x f x ++=+,所以 (2)(1)f x f x +=--, 则(3)()f x f x +=-,则()(6)(3)f x f x f x +=-+=,所以 ()f x 的周期为 6 , 所以 D 错误 ;令 1x y ==, 得 2(2)(0)(1)f f f +=, 因为()()111f f -==所以 (2)1f =-,所以 ()(8)21f f ==-, 故C 正确.故选:C 【点睛】关键点点睛:本题的关键是利用赋值法得到其奇偶性和周期性,并依此性质求出函数值即可.7. 函数()(),f x g x 的定义域均为R ,且()()()()4488f x g x g x f x +-=--=,,()g x 关于4x =对称,()48g =,则()1812m f m =∑的值为( )A. 24- B. 32- C. 34- D. 40-【答案】C【解析】【分析】利用已知、方程、函数的对称性、周期性进行计算求解.【详解】因为()()44f xg x +-=①, ()()88g x f x --=②,对于②式有:()()88g x f x +-=③,由①+③有:()()8412g x g x ++-=,即()()1212g x g x +-=④,又()g x 关于4x =对称,所以()()8g x g x =-⑤,由④⑤有:()()81212g x g x -+-=,即()()81212g x g x +++=,()()4812g x g x +++=,两式相减得:()()1240g x g x +-+=,即()()124g x g x +=+,即()()8g x g x +=,因为函数()g x 的定义域为R ,所以()g x 的周期为8,又()48g =,所以()()()412208g g g ==== ,由④式()()1212g x g x +-=有:()66g =,.所以()()()614226g g g ==== ,由()48g =,()()1212g x g x +-=有:()84g =,所以()()()816244g g g ==== ,由⑤式()()8g x g x =-有:()()266g g ==,又()()8g x g x +=,所以()()1026g g ==,由②式()()88g x f x --=有:()()88f x g x =+-,所以()()()()()()()18122436101244818m f m f f f g g g ==+++=+++-⨯∑ ()686446881834=+++⨯++-⨯=-,故A ,B ,D 错误.故选:C.8. 已知函数()()()lg 2240f x x a x a a =+--+>,若有且仅有两个整数1x 、2x 使得()10f x >,()20f x >,则a 的取值范围是( )A. (]0,2lg 3- B. (]2lg 3,2lg 2--C. (]2lg 2,2- D. (]2lg 3,2-【答案】A【解析】【分析】由题意可知,满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数,即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点,然后利用数形结合思想得出()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩以及0a >,由此可得出实数a 的取值范围.【详解】由()()lg 2240f x x a x a =+--+>,得()lg 224x a x a >-+-.由题意可知,满足不等式()lg 224x a x a >-+-的解中有且只有两个整数,即函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点.如下图所示:由图象可知,由于()()()22422y a x a a x =-+-=--,该直线过定点()2,0.要使得函数lg y x =在直线()224y a x a =-+-上方的图象中有且只有两个横坐标为整数的点,则有()20lg 33224a a a ->⎧⎨≤-+-⎩,即22lg 3a a <⎧⎨-≥⎩,解得2lg 3a ≤-,又0a >,所以,02lg 3a <≤-,因此,实数a 的取值范围是(]0,2lg 3-.故选A.【点睛】本题考查函数不等式的求解,解题的关键利用数形结合思想找到一些关键点来得出不等关系,考查数形结合思想的应用,属于难题.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.9. 下列命题正确的是( )A. “1a >”是“21a >”的充分不必要条件B. “M N >”是“lgM lgN >”的必要不充分条件C. 命题“2,10x R x ∀∈+<”的否定是“x R ∃∈,使得210x +<”D. 设函数()f x 的导数为()f x ',则“0()0f x '=”是“()f x 在0x x =处取得极值”的充要条件【答案】AB【解析】【分析】根据定义法判断是否为充分、必要条件,由全称命题的否定是∀→∃,否定结论,即可知正确的选项.【详解】A 选项中,211a a >⇒>,但211a a >⇒>或1a <-,故A 正确;B 选项中,当0M N >>时有lgM lgN >,而lgM lgN >必有0M N >>,故B 正确;C 选项中,否定命题为“x R ∃∈,使得210x +≥”,故C 错误;D 选项中,0()0f x '=不一定有()f x 在0x x =处取得极值,而()f x 在0x x =处取得极值则0()0f x '=,故D 错误;故选:AB【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断以及含特称量词命题的否定,属于简单题.10. 若函数()f x 的定义域为R ,且()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,(2)1f =-,则( )A. (0)0f =B. ()f x 为偶函数C. ()f x 的图象关于点(1)0,对称 D. 301()1i f i ==-∑【答案】BCD【解析】【分析】对于A ,令2,0x y ==,可得(0)1f =;对于B ,令0,x y x ==,可得()()f x f x =-,即可判断;对于C ,令1x y ==得f (1)=0,再令1,x y x ==即可判断;对于D ,根据条件可得()()2f x f x =--,继而()()2f x f x =-+,进一步分析可得函数周期为4,分析求值即可.【详解】对于A ,令2,0x y ==,则()()()22220f f f =⋅,因为(2)1f =-,所以()220f -=-,则(0)1f =,故A 错误;对于B ,令0,x y x ==,则()()()2(0)()2f x f x f f x f x +-==,则()()f x f x =-,故B 正确;对于C ,令1x y ==得,()()()220210f f f +==,所以f (1)=0,令1,x y x ==得,(1)(1)2(1)()0f x f x f f x ++-==,则()f x 的图象关于点(1)0,对称,故C 正确;对于D ,由(1)(1)0f x f x ++-=得()()2f x f x =--,又()()f x f x =-,所以()()2f x f x -=--,则()()2f x f x =-+,()()24f x f x +=-+,所以()()4f x f x =+,则函数()f x 的周期为4,又f (1)=0,(2)1f =-,则()()()3310f f f =-==,()()401f f ==,则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=0,所以()()301()12701i f i f f ==++⨯=-∑,故D 正确,故选:BCD.11. 已知函数()y f x =是R 上的奇函数,对于任意x R ∈,都有(4)()(2)f x f x f +=+成立,当[)0,2x ∈时,()21=-x f x ,给出下列结论,其中正确的是( )A. (2)0f =B. 点(4,0)是函数()y f x =的图象的一个对称中心C. 函数()y f x =在[6,2]--上单调递增D. 函数()y f x =在[6,6]-上有3个零点【答案】AB【解析】【分析】由(4)()(2)f x f x f +=+,赋值2x =-,可得(4)()f x f x +=,故A 正确;进而可得(4,0)是对称中心,故B 正确;作出函数图象,可得CD 不正确.【详解】在(4)()(2)f x f x f +=+中,令2x =-,得(2)0f -=,又函数()y f x =是R 上的奇函数,所以(2)(2)0f f =-=,(4)()f x f x +=,故()y f x =是一个周期为4的奇函数,因(0,0)是()f x 的对称中心,所以(4,0)也是函数()y f x =的图象的一个对称中心,故A 、B 正确;作出函数()f x 的部分图象如图所示,易知函数()y f x =在[6,2]--上不具单调性,故C 不正确;函数()y f x =在[6,6]-上有7个零点,故D 不正确.故选:AB【点睛】本题考查了函数的性质,考查了逻辑推理能力,属于基础题目.三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分12. 设函数()()x x f x e ae a R -=+∈,若()f x 为奇函数,则a =______.【答案】-1【解析】【分析】利用函数为奇函数,由奇函数的定义即可求解.【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数,则()()f x f x -=-,即()x x x x ae ae e e --+=-+,即()()10x x e a e -++=对任意的x 恒成立,则10a +=,得1a =-.故答案为:-1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用,需掌握奇偶性的定义,属于基础题.13. 422log 30.532314964log 3log 2225627--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=______【答案】1-【解析】【分析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.【详解】原式=4123232log 3494122563-⨯⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=42log 379121616-++131=-+1=-.故答案为:1-.14. 设m 为实数,若{}22250()|{30()|250x y x y x x y x y mx y -+≥⎧⎫⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎬⎪⎪+≥⎩⎭,,,则m 的取值范围是 .【答案】403m ≤≤【解析】【详解】如图可得440033m m -≤-≤∴≤≤四、解答题:本题共5小题,共77分.15. 阅读下面题目及其解答过程.已知函数23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…,(1)求f (-2)与f (2)的值;(2)求f(x)的最大值.解:(1)因为-2<0,所以f (-2)= ① .因为2>0,所以f (2)= ② .(2)因为x≤0时,有f(x)=x +3≤3,而且f (0)=3,所以f(x)在(,0]-∞上的最大值为 ③ .又因为x >0时,有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…,而且 ④ ,所以f(x)在(0,+∞)上最大值为1.综上,f(x)的最大值为 ⑤ .以上题目的解答过程中,设置了①~⑤五个空格,如下的表格中为每个空格给出了两个选项,其中只有一个正确,请选出你认为正确的选项,并填写在答题卡的指定位置(只需填写“A”或“B”).空格序号选项①A .(-2)+3=1 B .2(2)2(2)8--+⨯-=-②A.2+3=5 B .22220-+⨯=③A.3B.0④A .f (1)=1 B .f (1)=0的⑤ A.1 B.3【答案】(1)①A ; ②B ;(2)③A ; ④A ; ⑤B .【解析】【分析】依题意按照步骤写出完整的解答步骤,即可得解;【详解】解:因为23,0()2,0x x f x x x x +⎧=⎨-+>⎩…,(1)因为20-<,所以()2231f -=-+=,因为20>,所以()222220f =-+⨯=(2)因为0x ≤时,有()33f x x =+≤,而且()03f =,所以()f x 在(,0]-∞上的最大值为3.又因为0x >时,有22()2(1)11f x x x x =-+=--+…,而且()11f =,所以()f x 在(0,+∞)上的最大值为1.综上,()f x 的最大值为3.16. 如图,某小区要在一个直角边长为30m 的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园.记空地为ABC V ,花园为矩形DEFG .根据规划需要,花园的顶点F 在三角形的斜边BC 上,边DG 在三角形的直角边AC 上,顶点G 到点C 的距离是顶点D 到点A 的距离的2倍.(1)设花园的面积为S (单位:2m ),AD 的长为x (单位:m ),写出S 关于x 的函数解析式;(2)当AD 的长为多少时,花园的面积最大?并求出这个最大面积.【答案】(1)()()2303,010S x x x =-<<(2)当AD 的长为5m 时,花园的面积最大,最大面积为1502m .【解析】【分析】(1)根据矩形面积即可求解,(2)根据基本不等式即可求解.【小问1详解】,AD x =则2CG GF x ==,302303GD x x x =--=-,所以()()2303,010S GD GF x x x =⋅=-<<【小问2详解】()()()233032223033303150332x x S x x x x +-⎡⎤=-=⋅-≤=⎢⎥⎣⎦,当且仅当3303x x =-,即5x =时等号成立,故当AD 的长为5m 时,花园的面积最大,最大面积为1502m .17. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足:0x ≥时,21()21x x f x -=+.(1)求()f x 的表达式;(2)若关于x 的不等式()2(23)10f ax f ax ++->恒成立,求a 的取值范围.【答案】(1)21()21x x f x -=+ (2)(]4,0-【解析】【分析】(1)根据函数的奇偶性求得当0x <时的解析式,即可得到结果;(2)根据定义证明函数()f x 在R 上单调递增,然后再结合()f x 是定义在R 上的奇函数,化简不等式,求解即可得到结果.【小问1详解】设0x <,则0x ->,因为0x ≥时,21()21x x f x -=+,所以()21122112x xx xf x -----==++又因为()f x 是定义在R 上的奇函数,即()()12211221x x x x f x f x --=--=-=++所以当0x <时,21()21x x f x -=+综上,()f x 的表达式为21()21x x f x -=+【小问2详解】由(1)可知,212()12121x x x f x -==-++,设在R 上任取两个自变量12,x x ,令12x x <则()()121222112121⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭x x f x f x ()()()1221212222221212121x x x x x x -=-=++++因为12x x <,则12220x x -<,所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<所以函数()f x 在R 上单调递增.即()()22(23)10(23)1f ax f ax f ax f ax ++->⇒+>--,由()f x 是定义在R 上的奇函数,可得()()2211f ax f ax ---=即()21(23)f ax f ax >-+,由函数()f x 在R 上单调递增,可得22231240ax ax ax ax +>-⇒--<恒成立,当0a =时,即40-<,满足;当0a ≠时,即20Δ4160a a a <⎧⎨=+<⎩,解得40a -<<综上,a 的取值范围为(]4,0-18. 已知0,a b a c d >≥≥≥,且ab cd ≥.(1)请给出,,,a b c d 的一组值,使得2()a b c d ++≥成立;(2)证明不等式a b c d ++≥恒成立.【答案】(1)2,1,1,1a b c d ====-(答案不唯一)(2)证明见解析【解析】【分析】(1)找到一组符合条件的值即可;(2)由a c d ≥≥可得()()0a c a d --≥,整理可得2()a cd c d a ++≥,两边同除a 可得cd a c d a ++≥,再由ab cd ≥可得cd b a ≥,两边同时加a 可得cd a b a a+≥+,即可得证.【详解】解析:(1)2,1,1,1a b c d ====-(答案不唯一)(2)证明:由题意可知,0a ≠,因为a c d ≥≥,所以()()0a c a d --≥.所以2()0a c d a cd -++≥,即2()a cd c d a ++≥.因为0a b >≥,所以cd a c d a++≥,因为ab cd ≥,所以cd b a≥,所以cd a b a c d a +++≥≥.【点睛】考查不等式的证明,考查不等式的性质的应用.19. 对于非负整数集合S (非空),若对任意,x y S ∈,或者x y S +∈,或者x y S -∈,则称S 为一个好集合.以下记S 为S 的元素个数.(1)给出所有的元素均小于3的好集合.(给出结论即可)(2)求出所有满足4S =的好集合.(同时说明理由)(3)若好集合S 满足2019S =,求证:S 中存在元素m ,使得S 中所有元素均为m 的整数倍.【答案】(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2}.(2){0,,,}b c b c +;证明见解析.(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据好集合的定义列举即可得到结果;(2)设{},,,S a b c d =,其中a b c d <<<,由0S ∈知0a =;由0d c S <-∈可知d c c -=或d c b -=,分别讨论两种情况可的结果;(3)记1009n =,则21S n =+,设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅,由归纳推理可求得()1i x im i n =≤≤,从而得到22n M x nm ==,从而得到S ,可知存在元素m 满足题意.【详解】(1){}0,{}0,1,{}0,2,{}0,1,2.(2)设{},,,S a b c d =,其中a b c d <<<,则由题意:d d S +∉,故0S ∈,即0a =,考虑,c d ,可知:0d c S <-∈,d c c ∴-=或d c b -=,若d c c -=,则考虑,b c ,2c b c c d <+<= ,c b S ∴-∈,则c b b -=,{},,2,4S a b b b ∴=,但此时3b ,5b S ∉,不满足题意;若d c b -=,此时{}0,,,S b c b c =+,满足题意,{0,,,}S b c b c ∴=+,其中,b c 为相异正整数.(3)记1009n =,则21S n =+,首先,0S ∈,设{}1220,,,,n S x x x =⋅⋅⋅,其中1220n x m x x M <=<<⋅⋅⋅<=,分别考虑M 和其他任一元素i x ,由题意可得:i M x -也在S 中,而212210,n n M x M x M x M --<-<-<⋅⋅⋅<-<,()21i n i M x x i n -∴-=≤≤,2n M x ∴=,对于1i j n ≤<≤,考虑2n i x -,2n j x -,其和大于M ,故其差22n i n j j i x x x x S ---=-∈,特别的,21x x S -∈,2122x x m ∴==,由31x x S -∈,且1313x x x x <-<,3213x x x m ∴=+=,以此类推:()1i x im i n =≤≤,22n M x nm ∴==,此时(){}0,,2,,,1,,2S n m nm n m nm =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅,故S 中存在元素m ,使得S 中所有元素均为m 的整数倍.【点睛】本题考查集合中的新定义问题的求解,关键是明确已知中所给的新定义的具体要求,根据集合元素的要求进行推理说明,对于学生分析和解决问题能力、逻辑推理能力有较高的要求,属于较难题.。
高一上学期第一次月考数学试卷(附带答案)(满分:150分;考试时间:120分钟)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一.单选题。
(本题共8小题,共40分,每小题只有一个正确选项。
)1.直线√3x -y +2=0的倾斜角是( )A.150°B.120°C.60°D.30°2.过点P (﹣2,m )和Q (m ,4)的直线斜率等于1,那么m 的值等于( )A.1或3B.1C.4D.1或43.直线l 经过直线x -2y+4=0和直线x + y -2=0的交点,且与直线x+3y+5=0垂直,则直线l 的方程为( )A.3x -y+2=0B.3x+y+2=0C.x -3y+2=0D.x+3y+2=04.已知直线l 1:mx+y -1=0,l 2:(4m -3)x+my -1=0,若l 1⊥l 2,则实数m 的值为( )A.0B.12C.2D.0或125.对于圆C :x 2+y 2-4x+1=0,下列说法正确的是( )A.点4(1,﹣1)在圆C 的内部B.圆C 的圆心为(﹣2,0)C.圆C 的半径为3D.圆C 与直线y=3相切6.在平面直角坐标系xOy 中,以点(0,1)为圆心且与直线x -y -1=0相切的圆的标准方程为( )A.(x -1)2+y 2=4B.(x -1)2+y 2=1C.x 2+(y -1)2=√2D.x 2+(y -1)2=27.已知直线l 1:x+2y+t 2=0,l 2:2x+4y+2t -3=0,则当l 1与l 2间的距离最短时,求实数t 的值为( )A.1B.12C.13D.28.已知点A(2,﹣3),B(﹣3,﹣2),若直线l:mx+y -m -1=0与线段AB 相交,则实数m 的取值范围是( )A.[﹣34,4]B.[15,+∞)C.(﹣∞,﹣34]∪[4,+∞)D.[﹣4,34]二.多选题.(每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,错选的得0分。
智才艺州攀枝花市创界学校蒙城县第八二零二零—二零二壹高一数学第一次月考试题〔含解析〕一、选择题〔一共12小题,每一小题5分〕1.设集合A={x∈Q|x>﹣1},那么〔〕A. B. C. D.⊈A【答案】B【解析】试题分析:A中元素为大于负一的有理数,应选B.考点:集合间的关系2.集合A到B的映射f:x→y=2x+1,那么集合A中元素2在B中的象是〔〕A.5B.2C.6D.8【答案】A【解析】因为,所以选A.3.用集合表示图中阴影局部是〔〕A.〔∁U A〕∩BB.〔∁U A〕∩〔∁U B〕C.A∩〔∁U B〕D.A∪〔∁U B〕【答案】C............4.以下函数是偶函数的是〔〕A.y=xB.y=2x2﹣3C.D.y=x2,x∈[0,1]【答案】B【解析】y=x为奇函数,y=2x2﹣3是偶函数,为奇函数,y=x2,x∈[0,1]既不是奇函数也不是偶函数,所以选B.5.在以下四组函数中,f〔x〕与g〔x〕表示同一函数的是〔〕A.f〔x〕=x﹣1,g〔x〕=B.f〔x〕=x,g〔x〕=C.f〔x〕=x+1,x∈R,g〔x〕=x+1,x∈ZD.f〔x〕=|x+1|,g〔x〕=【答案】D【解析】f〔x〕=x﹣1与g〔x〕=定义域不同,f〔x〕=x与g〔x〕=定义域不同,f〔x〕=x+1,x∈R 与g〔x〕=x+1,x∈Z定义域不同,g〔x〕=,所以f〔x〕=|x+1|与g〔x〕=为同一函数,选D.6.集合A={0,1,2},B={z|z=x+y,x∈A,y∈A},那么B=〔〕A.{0,1,2,3,4}B.{0,1,2}C.{0,2,4}D.{1,2}【答案】A【解析】因为,所以B={0,1,2,3,4},选A.7.函数f〔x〕=,那么f〔f〔﹣3〕〕=〔〕A.0B.πC.π2D.9【答案】B【解析】,选B.点睛:分段函数求值的解题思路;求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.8.全集为实数集R,M={x|﹣2≤x≤2},N={x|x<1},那么〔∁R M〕∩N=〔〕A.{x|x<﹣2}B.{x|﹣2<x<1}C.{x|x<1}D.{x|﹣2≤x<1}【答案】A【解析】〔∁R M〕∩N={x|x<﹣2},选A.9.函数f〔x〕=x2+2ax+a2﹣2a在区间〔﹣∞,3]上单调递减,那么实数a的取值范围是〔〕A.〔﹣∞,3]B.[﹣3,+∞〕C.〔﹣∞,-3]D.[3,+∞〕【答案】C【解析】由题意得,选C.10.函数f〔x〕的定义域为〔﹣1,0〕,那么函数f〔2x+1〕的定义域为〔〕A.〔﹣1,1〕B.〔,1〕C.〔﹣1,0〕D.〔﹣1,﹣〕【答案】D【解析】由题意得,选D.点睛:对于抽象函数定义域的求解(2)假设函数f(g(x))的定义域为[a,b],那么f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.11.函数y=f〔x〕在定义域〔﹣1,1〕上是减函数,且f〔2a﹣1〕<f〔1﹣a〕,那么实数a的取值范围是〔〕A. B.〔0,2〕C. D.〔0,+∞〕【答案】C【解析】解:函数y=f〔x〕在定义域〔﹣1,1〕上是减函数,那么有:,应选C.点睛:解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为的形式,然后根据函数的单调性去掉“〞,转化为详细的不等式(组),此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内12.设奇函数f〔x〕在〔0,+∞〕上为增函数,且f〔1〕=0,那么不等式<0的解集为〔〕A.〔﹣1,0〕∪〔1,+∞〕B.〔﹣∞,﹣1〕∪〔0,1〕C.〔﹣∞,﹣1〕∪〔1,+∞〕D.〔﹣1,0〕∪〔0,1〕【答案】D【解析】略二.填空题〔一共4小题,每一小题5分〕13.集合A={1,2,3,4},集合B={3,4,5},那么A∩B=_____.【答案】{3,4}.【解析】A∩B={1,2,3,4}∩{3,4,5}={3,4}.14.幂函数f〔x〕=xα的图象经过点〔2,4〕,那么f〔﹣3〕的值是_____.【答案】9.【解析】由题意得15.函数f〔x〕=的单调递减区间为_____.【答案】〔﹣∞,﹣3].【解析】由题意得,即单调递减区间为〔﹣∞,﹣3].点睛:1.复合函数单调性的规那么假设两个简单函数的单调性一样,那么它们的复合函数为增函数;假设两个简单函数的单调性相反,那么它们的复合函数为减函数.即“同增异减〞.2.函数单调性的性质(1)假设f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,那么f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数,更进一步,即增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减;(2)假设k>0,那么kf(x)与f(x)单调性一样;假设k<0,那么kf(x)与f(x)单调性相反;(3)在公一共定义域内,函数y=f(x)(f(x)≠0)与y=-f(x),y=单调性相反;(4)在公一共定义域内,函数y=f(x)(f(x)≥0)与y=单调性一样;(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性一样,偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反.16.函数f〔x〕满足f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕〔x,y∈R〕,那么以下各式恒成立的是_____.①f〔0〕=0;②f〔3〕=3f〔1〕;③f〔〕=f〔1〕;④f〔﹣x〕f〔x〕<0.【答案】①②③【解析】解:令x=y=0得f〔0〕=2f〔0〕,所以f〔0〕=0,所以①恒成立;令x=2,y=1得f〔3〕=f〔2〕+f〔1〕=f〔1〕+f〔1〕+f〔1〕=3f〔1〕,所以②恒成立;令x=y=得f〔1〕=2f〔〕,所以f〔〕=f〔1〕,所以③恒成立;令y=﹣x得f〔0〕=f〔x〕+f〔﹣x〕,即f〔﹣x〕=﹣f〔x〕,所以f〔﹣x〕f〔x〕=﹣[f〔x〕]2≤0,所以④不恒成立.故答案为:①②③三.解答题〔一共6小题〕17.集合M={2,a,b},N={2a,2,b2}且M=N.求a、b的值.【答案】【解析】因为M=N,所以根据集合元素的互异性,可知,解出a,b值再验证是否满足互异性的要求.由M=N及集合元素的互异性得:或者解上面的方程组得,或者或者再根据集合中元素的互异性得,或者18.集合A={x|1<x﹣1≤4},B={x|x<a}.〔Ⅰ〕当a=3时,求A∩B;〔Ⅱ〕假设A⊆B,务实数a的取值范围.【答案】〔1〕{x|2<x<3}〔2〕a>5【解析】试题分析:〔1〕先解集合A,再结合数轴求交集得A∩B;〔2〕根据数轴确定满足A⊆B时实数a的取值范围.试题解析:解:〔Ⅰ〕∵1<x﹣1≤4,∴2<x≤5故A={x|2<x≤5}当a=3时,B={x|x<3}∴A∩B={x|2<x<3}〔Ⅱ〕∵A⊆B,∴a>519.f〔x〕=,g〔x〕=x2+2.〔1〕求f〔2〕,g〔2〕,f[g〔2〕];〔2〕求f[g〔x〕]的解析式.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析:〔1〕将自变量2代入f〔x〕,g〔x〕解析式即得f〔2〕,g〔2〕,将g〔2〕作为自变量代入f〔x〕即得f[g〔2〕];〔2〕将g〔x〕作为自变量代入f〔x〕即得f[g〔x〕]试题解析:解:〔1〕f〔2〕=,g〔2〕=22+2=6,把g〔2〕=22+2=6代入f〔x〕=,得f[g〔2〕]=f〔6〕=;〔2〕f[g〔x〕]=20.函数,〔Ⅰ〕证明f〔x〕在[1,+∞〕上是增函数;〔Ⅱ〕求f〔x〕在[1,4]上的最大值及最小值.【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】试题分析:(Ⅰ)利用函数的单调性的定义进展证明;(Ⅱ)利用前一步所证的函数的单调性确定其最值.试题解析:(Ⅰ)设,且,那么∴∴,∴∴∴,即∴在上是增函数.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知在上是增函数∴当时,∴当时,综上所述,在上的最大值为,最小值为.21.设f〔x〕=x2﹣4x﹣4,x∈[t,t+1]〔t∈R〕,求函数f〔x〕的最小值的解析式,并作出此解析式的图象.【答案】见解析【解析】试题分析:根据对称轴x=2与定义区间[t,t+1]位置关系,讨论确定最小值取法,再利用分段函数形式写最小值的解析式,最后按三段依次作出函数图像试题解析:解:f〔x〕=x2﹣4x﹣4=〔x﹣2〕2﹣8,即抛物线开口向上,对称轴为x=2,最小值为﹣8,过点〔0,﹣4〕,结合二次函数的图象可知:当t+1<2,即t<1时,f〔x〕=x2﹣4x﹣4,x∈[t,t+1]〔t∈R〕在x=t+1处取最小值f〔t+1〕=t2﹣2t﹣7,当,即1≤t≤2时,f〔x〕=x2﹣4x﹣4,x∈[t,t+1]〔t∈R〕在x=2处取最小值﹣8,当t>2时,f〔x〕=x2﹣4x﹣4,x∈[t,t+1]〔t∈R〕在x=t处取最小值f〔t〕=t2﹣4t﹣4,即最小值为g〔t〕,由以上分析可得,,作图象如下;点睛:研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要根据其图象的对称轴进展分类讨论.(2)假设f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增),那么A⊆〔A⊆〕即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧).22.定义在〔0,+∞〕上的函数f〔x〕满足对任意a,b∈〔0,+∞〕都有f〔ab〕=f〔a〕+f〔b〕,且当x>1时,f〔x〕<0.〔Ⅰ〕求f〔1〕的值;〔Ⅱ〕判断f〔x〕的单调性并证明;〔Ⅲ〕假设f〔3〕=﹣1,解不等式f〔x〕+f〔x﹣8〕>﹣2.【答案】〔1〕f〔1〕=0〔2〕见解析〔3〕〔8,9〕【解析】试题分析:〔1〕赋值法求f〔1〕的值:令a=b=1,可得f〔1〕=2f〔1〕,解得f〔1〕=0;〔2〕取两个特殊值判断函数单调性,再利用单调性定义证明,作差时利用f〔x2〕﹣f〔x1〕=f〔〕再结合当x>1时,f〔x〕<0可得差的符号.〔3〕利用及时定义可得f〔x〕+f〔x﹣8〕=f[x〔x﹣8〕],根据赋值法可得f〔9〕=2f〔3〕=﹣2,再根据单调性可得,解不等式组可得不等式解集试题解析:解:〔1〕对∀a,b∈〔0,+∞〕都有f〔ab〕=f〔a〕+f〔b〕,令a=b=1,可得f〔1〕=2f 〔1〕,解得f〔1〕=0;〔Ⅱ〕证明:设x1,x2∈〔0,+∞〕,且x1<x2,那么f〔x2〕﹣f〔x1〕=f〔〕﹣f〔x1〕=f〔〕+f〔x1〕﹣f〔x1〕=〕=f〔〕∵,∴,∴f〔x2〕﹣f〔x1〕<0,即f〔x2〕<f〔x1〕.∴f〔x〕在〔0,+∞〕上是减函数.〔Ⅲ〕令a=b=3,可得f〔9〕=2f〔3〕=﹣2,∴f〔x〕+f〔x﹣8〕>﹣2⇒f[x〔x﹣8〕]>f〔9〕⇒.不等式f〔x〕+f〔x﹣8〕>﹣2的解集为:〔8,9〕。
高一数学上学期第一次月考试题第I卷(选择题)一、单选题(本大题共8小题,共40.0分)1.若A、B是全集I的真子集,则下列四个命题:①A∩B=A;,是x∈A的必要不充分条件.其中与命题A⊆B等价的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.命题“∃x∈R,x2+2x+2<0”的否定是()A. ∃x∈R,x2+2x+2≥0B. ∃x∈R,x2+2x+2>0C. ∀x∈R,x2+2x+2≥0D. ∀x∉R,x2+2x+2>03.已知t>0,则y=t2−4t+1t的最小值为()A. −2B. 12C. 1D. 24.设a∈R,若关于x的不等式x2−ax+1≥0在1≤x≤2上有解,则()A. a≤2B. a≥2C. a≤52D. a≥525.已知非零实数a,b满足a>b,则下列不等式一定成立的是()A. a+b>0B. a2>b2C. 1a <1bD. a2+b2>2ab6.已知集合,B={x|3<x<22},且A∩B=A,则实数a的取值范围是()A. (−∞,9]B. (−∞,9)C. [2,9]D. (2,9)7.对于实数x,“|x|<1”是“x<1”的()条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要8.已知实数a>0,b>0,且9a+b=ab,若不等式a+b≥−x2+2x+18−m对任意实数x恒成立,则实数m的取值范围为()A. [3,+∞)B. (−∞,3]C. (−∞,6]D. [6,+∞)二、多选题(本大题共4小题,共20.0分)9.已知a>0,b>0,则下列说法不正确的有()A. 1a−b >1aB. 若a+b≥2,则ab≥1C. 若a+b≥2,则ab≤1D. a3+b3≥a2b+ab210.下列命题为真命题的是()A.B. a2=b2是a=b的必要不充分条件C. 集合{(x,y)|y=x2}与集合{y|y=x2}表示同一集合D. 设全集为R,若A⊆B,则∁R B⊆∁R A11.设集合M={x|x=6k+1,k∈Z},N={x|x=6k+4,k∈Z},P={x|x=3k−2,k∈Z},则下列说法中正确的是()A. M=N⫋PB. (M∪N)⫋PC. M∩N=⌀D. ∁P M=N12.给定数集M,若对于任意a,b∈M,有a+b∈M,且a−b∈M,则称集合M为闭集合,则下列说法中不正确的是()A. M={−4,−2,0,2,4)为闭集合B. 正整数集是闭集合C. M={n|n=3k,k∈Z)为闭集合D. 若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2也为闭集合第II卷(非选择题)三、单空题(本大题共2小题,共10.0分)13.已知不等式(a−3)x2+2(a−3)x−6<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围_______.14.已知集合A={x|x2−6x+8=0},B={x|mx−4=0},且B∩A=B,则实数m所取到的值构成的集合C=,则A∪C=.四、解答题(本大题共8小题,共96.0分)15.在①A∩B=A,②A∩(∁R B)=A,③A∩B=⌀这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,求解下列问题:已知集合A={x|a−1<x<2a+3},B={x|x2−2x−8≤0}.(1)当a=2时,求A∪B;(2)若_______________,求实数a的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.16.已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B={x|−1<x≤2}.2(1)若A⊆B,求实数a的取值范围;(2)若B⊆A,求实数a的取值范围;(3)A、B能否相等?若能,求出a的值;若不能,试说明理由.17.设全集为实数集R,A={x|−1≤x<4},B={x|−5<x<2},C={x|1−2a<x<2a}.(1)若C=⌀,求实数a的取值范围;(2)若C≠⌀,且C⊆(A∩B),求实数a的取值范围.18.设y=mx2+(1−m)x+m−2.(1)若不等式y≥−2对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围;(2)在(1)的条件下,求m2+2m+5的最小值;m+1(3)解关于x的不等式mx2+(1−m)x+m−2<m−1(m∈R).19.已知定义在R上的函数f(x)=x2+(x−2)a−3x+2(其中a∈R).(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(−2,2),求实数a的值;(2)若不等式f(x)−x+3≥0对任意x>2恒成立,求a的取值范围.20.已知集合A={x|x2+2x−3<0},集合B={x||x+a|<1}.(1)若a=3,求A∩B和A∪B;(2)设命题p:x∈A,命题q:x∈B,若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围.21.设集合A={|xx2+2x−3<0},集合B={|x−a−1<x<−a+1}.(1)若a=3,求A∪B和A∩B;(2)设命题p:x∈A,命题q:x∈∁R B,若q是p成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围.22.已知m>0,n>0,关于x的不等式x2−mx−20<0的解集为{x|−2<x<n}.(1)求m,n的值;(2)正实数a,b满足na+mb=2,求15a +1b的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了集合的包含关系的判断及应用,考查集合的基本运算,考查了Venn图的应用,属于中档题.根据集合的交集、并集、补集的定义结合Venn图判断集合间的关系,从而求出结论.【解答】解:由A⊆B得Venn图,①A∩B=A⇔A⊆B; ②A∪B=A⇔B⊆A; ③A∩(∁I B)=⌀⇔A⊆B; ④A∩B=I,与A、B是全集I的真子集矛盾,不可能存在;⑤x∈B是x∈A的必要不充分条件⇔A⫋B;故和命题A⊆B等价的有①③共2个,故选:B2.【答案】C【解析】【分析】本题考查存在量词命题的否定,属于基础题.根据存在量词命题的否定为全称量词命题,即可求出结果.【解答】解:因为存在量词命题的否定为全称量词命题, 所以命题“∃x ∈ R ,x 2+2x +2<0”的否定是: ∀x ∈ R ,x 2+2x +2≥0. 故选C .3.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值,属于基础题.对原式进行化简,利用基本不等式求最值即可,注意等号取得的条件. 【解答】 解:t >0,则 y =t 2−4t+1t=t +1t−4≥2√t ·1t−4=−2,当且仅当t =1t ,即t =1时,等号成立, 则y =t 2−4t+1t的最小值为−2.故选A .4.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围,属于中档题. 根据题意得不等式对应的二次函数f (x )=x 2−ax +1的图象开口向上,分别讨论三种情况即可.【解答】解:由题意得:二次函数f (x )=x 2−ax +1的图象开口向上, 当,满足题意,当{Δ>0f(1)≥0或 f(2)≥0,解得a <−2或2<a ≤52, 当,满足题意,综上所述:a⩽52.故选C.5.【答案】D【解析】【分析】本题考查不等关系,不等式性质,是基础题.通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,利用不等式性质证明命题正确即可.【解答】解:对于A,令a=−1,b=−2,故A错误,对于B,a2−b2=(a+b)(a−b),符号不确定,故B错误,对于C,令a=1,b=−2,故C错误,对于D,∵a>b,a2+b2−2ab=(a−b)2>0,∴a2+b2>2ab,故D正确.故选D.6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了描述法、交集的定义及运算,子集的定义,分类讨论的思想,考查了计算能力.根据A∩B=A可得出A⊆B,从而可讨论A是否为空集:A=⌀时,a+1>3a−5;A≠⌀时,{a+1≤3a−5 a+1>33a−5<22,解出a的范围即可.【解答】解:∵A∩B=A,∴A⊆B,且A={x|a+1≤x≤3a−5},B={x|3<x<22},∴①A=⌀时,a+1>3a−5,解得a<3,满足题意;②A≠⌀时,{a+1≤3a−5 a+1>33a−5<22,解得3≤a<9,∴综上得,实数a的取值范围是(−∞,9).故选:B.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件的判断,要注意准确理解概念和方法,属于基础题.双向推理,即从左右互推进行判断即可得解.【解答】解:当|x|<1时,显然有x<1成立,但是由x<1,未必有|x|<1,如x=−2<1,但|x|>1,故“|x|<1”是“x<1”的充分不必要条件;故选:A.8.【答案】A【解析】【分析】本题考查恒成立问题,考查利用基本不等式求最值,训练了分离变量法求字母的取值问题,是中档题.利用基本不等式求得a+b的最小值,把问题转化为m≥f(x)恒成立的类型,求解f(x)的最大值即可.【解答】解:∵9a+b=ab,∴1a +9b=1,且a,b为正数,∴a+b=(a+b)(1a+9b)=10+ba+9ab⩾10+2√ba⋅9ab=16;当且仅当ba =9ab,即a=4, b=12时,(a+b)min=16;若不等式a+b≥−x2+2x+18−m对任意实数x恒成立,则16≥−x2+2x+18−m对任意实数x恒成立,即m≥−x2+2x+2对任意实数x恒成立,∵−x2+2x+2=−(x−1)2+3⩽3,∴m≥3,故选:A.9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查了不等式性质,灵活运用不等式的性质是解决本题的关键,属于中档题.由题意和不等式的性质,逐个选项验证即可.【解答】解:对于A,若a>0,b>0,且a<b,则a−b<0,则1a−b <1a,故选项A说法不正确;对于B,若a=1.9,b=0.1,则满足a+b≥2,而ab=0.19,不满足ab≥1,故选项B 说法不正确;对于C,若a=3,b=2,满足a+b⩾2,,而ab=6不满足ab≤1,故选项C说法不正确;对于D,已知a>0,b>0,则(a3+b3)−(a2b+ab2)=a3+b3−a2b−ab2=a2(a−b)+b2(b−a)=(a−b)(a2−b2)=(a+b)(a−b)2⩾0,当a=b时,等号成立,故选项D成立.故选ABC.10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了真假命题的判定,必要条件、充分条件与充要条件的判断,考查了集合的相等,子集的定义,属于中档题.根据必要条件、充分条件与充要条件的判断、集合的相等及子集的定义逐项判断即可.【解答】解:对于A,当x=0时,x2⩽1,故A是真命题;对于B,当a2=b2时,则a=±b,当a=b时,则a2=b2,则a2=b2是a=b的必要不充分条件,故B是真命题;对于C,集合{(x,y)∣y=x2}与集合{y|y=x2}不表示同一集合,前者为点集,后者为数集,故C是假命题;对于D,根据子集定义,A⊆B时,集合A中元素,全都在集合B中,不在集合B中的元素一定不会在集合A中,当x∈∁R B时,就是x在集合R内,不在集合B中,故x一定不在集合A中,不在集合A中就一定在集合A的补集内,故x∈∁R A,D正确.故选ABD.11.【答案】CD【解析】【分析】本题主要考查了集合的含义、集合的交集、并集、补集运算、集合间的关系,属于中档题.根据集合的意义及集合运算分析解答.【解答】解:集合M表示所有被6除余数为1的整数,集合N表示所有被6除余数为4的整数,所以M不等于N,又因为被6除余数分为0,1,2,3,4,5六类,A选项错误,C选项正确;因为M∪N={x|x=6k+1,k∈Z}∪{x|x=6k+4,k∈Z}={x|x=6k+1或x=6k+4,k∈Z}所以M∪N={x|x=2k·3+1或x=(2k+1)·3+1,k∈Z}={x|x=3m+1,m∈Z},因为P={x|x=3k−2,k∈Z}={x|x=3(n+1)−2,n∈Z}={x|x=3n+1,n∈Z},所以M∪N=P,所以,所以B选项错误,D选项正确,故选CD.12.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查集合中的新定义问题,考查分析问题、解决问题的能力,属于中档题.根据闭集合的定义,对选项进行逐一判断,可得出答案.【解答】解:A.当集合M={−4,−2,0,2,4}时,2,4∈M,而2+4∉M,所以集合M不为闭集合.B.设a,b是任意的两个正整数,当a<b时,a−b<0不是正整数,所以正整数集不为闭集合.C.当M={n|n=3k,k∈Z}时,设a=3k1,b=3k2,k1,k2∈Z,则a+b=3(k1+k2)∈M,a−b=3(k1−k2)∈M,k1,k2∈Z,所以集合M是闭集合.D.设A 1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=2k,k∈Z}由C可知,集合A1,A2为闭集合,2,3∈A1∪A2,而2+3∉A1∪A2,此时A1∪A2不为闭集合.所以说法中不正确的是ABD故选ABD.13.【答案】(−3,3]【解析】解:由题意,a =3时,不等式等价于−6<0,显然恒成立。
高一上学期第一次月考数学试题(含答案解析)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________第I卷(选择题)一、单选题(本大题共14小题,共56.0分。
在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)1. 设集合A={1,2,3,4},B={−1,0,2,3},C={x∈R|−1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A. {−1,1}B. {0,1}C. {−1,0,1}D. {2,3,4}2. 命题“∀x∈R,x2−2x+1≥0”的否定是( )A. ∃x∈R,x2−2x+1≤0B. ∃X∈R,x2−2x+1≥0C. ∃x∈R,x2−2x+1<0D. ∀x∈R,x2−2x+1<03. 已知集合A={x|−1≤x<4,x∈Z),则集合A中元素的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知集合A={x||x|≥2},B={x|x2−3x>0},则A∩B=( )A. ⌀B. {x|x>3,或x≤−2}C. {x|x>3,或x<0}D. {x|x>3,或x≤2}5. 已知p:sinα=√33,q:cos2α=13,则p是q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分条件D. 既不充分也不必要条件6. 若M⊆U,N⊆U,且M⊆N,则( )A. M∩N=NB. M∪N=MC. ∁U N⊆∁U MD. ∁U M⊆∁U N7. 已知集合A={x|x<1},B={x|0≤x≤2},则A∩B=( )A. {x|0≤x<1}B. {x|1<x≤2}C. {x|x<1}D. {x|x≤2}8. 设b>a>0,c∈R,则下列不等式中不一定成立的是( )A. a12<b12B. 1a −c>1b−c C. a+2b+2>abD. ac2<bc29. 满足关系{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合的个数是( )A. 4B. 6C. 8D. 910. 若关于x的不等式ax2+bx−1>0的解集是{x|1<x<2},则不等式bx2+ax−1<0的解集是( )A. {x|−1<x<23} B. {x|x<−1或x>23}C. {x|−23<x<1} D. {x|x<−23或x>1}11. 已知集合A={x|x2+x−6=0},B={x|mx+1=0},且B⊆A,则实数m=( )A. {0,12,−13} B. {−12,13} C. {12,−13} D. {0,−12,13}12. 使不等式1+1x>0成立的一个充分不必要条件是( )A. x>0B. x>−1C. x<−1或x>0D. −1<x<013. 已知命题“∃x∈R,4x2+(a−2)x+14<0”是假命题,则实数a的取值范围是( )A. (−∞,0)B. [0,4]C. [4,+∞)D. (0,4)14. 已知a,b∈R,a2+b2=15−ab,则ab最大值是( )A. 15B. 12C. 5D. 3第II卷(非选择题)二、填空题(本大题共6小题,共24.0分)15. 已知a∈R,b∈R,若集合{a,ba,1}={a2,a−b,0},则“a2017+b2018”的值为______.16. 当x<−1时,f(x)=x+1x+1的最大值为______.17. 已知集合A={0,1,2},则集合A的子集共有______个.18. 已知集合A={x|−1<x<2},B={x|−1<x<m+1},若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件,则实数m的取值范围是______.19. 已知{x|ax2−ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围为.20. 已知正数x,y满足x+y=5,则1x+1+1y+2的最小值为______.三、解答题(本大题共4小题,共40.0分。
高一第一次月考数学试卷及答案 第I 卷 选择题(共60分)一、选择题.(每一题只有一个答案符合,每小题5分,共12小题,共60分) 1、已知全集{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,3,4}A =,集合{1,3,5}B =,则()U C A B =( ).{5}A .{1,3}B .{1,3,4,5C .D Æ2、已知函数222,1(),22,1x x f x x x x ì-?ï=í+->ïî则1()(2)f f 的值为( ) 71.36A .6B 7.4C 11.9D 3、设集合15{|,},{|,}266k A x x k Z B x x k k Z ==+?=-?,则集合A 和集合B 的关系为( ).A A B = .B B AÍ .C A B Í .D A B Ú 4、已知函数()f x 满足112()()f x xf x x=+,则(3)f =( ) .3A 29.9B 23.9C 1.3D5、已知集合12{|},{3,4}2A a N NB a =挝=-,集合C 满足B C A 屯,则所有满足条件的集合C 的个数为( ).8A .16B .15C .32D 6、已知函数()f x 的定义域为[2,3]-,则函数2()g x 的定义域为( ).(,1)(2,)A -?+? .[6,1)(2,3]B --.[,1)(2,5]C -- .[2,1)(2,D -- 7、已知函数()f x =,则(2)f x -的单调递增区间为( )1.(,)2A +? 1.(,2)2B 1.(1,)2C - 3.(,3)2D8、已知函数()f x 与()g x 分别是定义域上的奇函数与偶函数,且21()()21f xg x x x +=--+,则(2)f =( )2.3A -7.3B .3C - 11.3D 9、已知函数22+3()(21)mm f x n x -+=-,其中m N Î,若函数()f x 为幂函数且其在(0,)+?上是单调递增的,并且在其定义域上是偶函数,则m n +=( ) .2A .3B .4C .5D10、已知关于x 的方程22(28)160x m x m --+-=的两个实根为12,x x 满足123,2x x <<则实数m 的取值范围为( ).4Am < 1.42B m -<< 7.42C m << 17.22D m -<< 11、已知函数25(2),1(),2(72)1,1a x x f x x a x x ì-+?ï=íï-+-+<î对任意12,x x R Î且12x x ¹时,有1212()()0f x f x x x ->-,则实数a 的取值范围为( )5.22A a <?135.62B a #.2C a < 13.6D a < 12、设函数2()(),[,](),1||xf x x R M a b a b x =-?<+集合{|(),},N y y f x x M ==?则使得M N =成立的实数对(,)a b 有( ).0A 个 .1B 个 .2C 个 .D 无数多个第II 卷 非选择题(共90分)二、填空题.(每小题5分,共4小题,共20分)13、已知映射:(,)(2,2)f x y x y x y ?-,则在映射f 的作用下元素(3,2)-的原像为_________.14、已知函数()f x 是定义域为R ,且函数(1)f x +的图像关于1x =-对称且在(,1)-?上是单调递增的,则不等式1(21)()3f x f ->的解集为___________.15、已知函数2()410f x x x =-+([,]x m n Î)的值域为[3,3]m n ,则2____.m n +=16、设函数222,0(),20x x f x xx ì³ï=í-<ïî不等式(3)3)f x f x -?的解集为_____________. 三、解答题(第17题10分,18—22题每题12分,共70分)17、(满分10分)已知集合2{|3100}A x x x =-++?,集合23{|0}1x B x x -=?+,则(1)求A B (2)求()R C B A18、(满分12分)已知函数12)32f x x=++,函数()12g x x =-(1)求函数()f x 的解析式,并写出其定义域. (2)求函数()g x 的值域.19、(满分12)已知集合{|13}A x x =-<<,集合22{|(1)620,}B x x a x a a aR =++--N,则(1)若1a =时,求()()R R C A C B(2)若,A B B =求实数a 的取值范围。
高一数学第一次月考试卷及答案
上学期第一次考试高一数学试卷
一、选择题(每小题5分;共60分)
1.在下列四个关系中,错误的个数是()
A。
1个 B。
2个 C。
3个 D。
4个
2.已知全集U=R;集合A={x|y=-x};B={y|y=1-x^2};那
么集合(C U A)B=()
A。
(-∞,0] B。
(0,1) C。
(0,1] D。
[0,1)
3.已知集合M={x|x=2kπ,k∈Z};N={x|x=2kπ+π,k∈Z};则(M ∩ N)'=()
A。
M' ∪ N' B。
M' ∩ N' C。
(M ∪ N)' D。
(M ∩ N)'
4.函数f(x)=x+(3a+1)x+2a在(-∞,4)上为减函数;则实数a 的取值范围是()
A。
a≤-3 B。
a≤3 C。
a≤5 D。
a=-3/5
5.集合A,B各有两个元素;AB中有一个元素;若集合C 同时满足:(1) C∩(AB)={}。
(2) C⊊(AB);则满足条件C的个数为()
A。
1 B。
2 C。
3 D。
4
6.函数y=-|x-5||x|的递减区间是()
A。
(5,+∞) B。
(-∞,0) U (5,+∞) C。
(-∞,0) U (0,5) D。
(-∞,0) U (0,5)
7.设M,P是两个非空集合;定义M与P的差集为M-
P={x|x∈M且x∉P};则(M- (M-P))'=()
A。
P' B。
M' C。
M ∩ P D。
M ∪ P
8.若函数y=f(x)的定义域是[0,2];则函数g(x)=f((x-1)/2)的定义域是()
A。
[0,1) U (1,2] B。
[0,1) U (1,4] C。
[0,1) D。
(1,4]
9.不等式(a-4)x+(a+2)x-1≥0的解集是空集;则实数a的范围为()
A。
(-∞,-2) U (2,+∞) B。
(-∞,-2] U [2,+∞) C。
[-2,+∞) D。
[-2,+∞) - {2}
10.已知函数f(x)=
begin{cases}
2b-1)x+b-1.& x>\frac{b-1}{2b-1}\\
x+(2-b)x。
& x \leq \frac{b-1}{2b-1}
end{cases}$
在R上为增函数;则实数b的取值范围为()
A。
(-∞,1) B。
[1,2] C。
(1,2] D。
(2,+∞)
11.设集合M={x|m≤x≤m+3/4};N={x|n-1/3≤x≤n};且M,N
都是集合{x|x≤3}的子集合;如果把b-a叫做集合{ x|a≤x≤b }的“长度”;那么集合(M ∩ N)'的长度为()
A。
5/4 B。
7/4 C。
8/3 D。
11/12
1.对实数a和b,定义运算“⊕”:若a-b≤1,则a⊕b=f(a)-
f(b),其中f(x)=(x^2-2)/(x-x^2);否则,a⊕b=0.若函数y=f(x)-c
的图像与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是什么?
2.已知集合A={-1.
3.2m-1},集合B={-2x | x≤1},若B⊆A,则实数m=______。
3.某果园现有100棵果树,平均每棵树结600个果子。
根
据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个果子。
设果园增种x棵果树,则果园果子总个数为y=100(600-5x)个。
求果园里增种多少棵果树,果子总个数最多。
4.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy
(x,y∈R),f(1)=2.求f(-3)的值。
5.设A={x^2+ax+2 | 2∈A},求a的值,并写出集合A的所有子集。
6.已知函数f(x)=(3-x^2)/(x+2),求f(3),f(4),f(0),f(-1)的值,并猜想一个普遍的结论并证明。
求f(1)+f(2)+。
+f(2015)+f(0)+f(-1)的值。
7.已知函数f(x)=ax-2x+3,x∈(0,3],若f(1/3)=f(2),求a 的值。
21.(本题满分12分)
已知定义在区间$(1,+\infty)$上的函数$f(x)$满足
$f(x_1)=f(x_1)-f(x_2)$;且当$x>1$时,$x_2f(x)<x$。
I)求$f(1)$的值;
II)判断$f(x)$的单调性并予以证明;
III)若$f(3)=-1$,解不等式$f(x)>-2$。
I)由已知$f(x_1)=f(x_1)-f(x_2)$,可得$f(x_2)=0$。
又当$x>1$时,$x_2f(x)0$。
所以$f(1)=1$。
II)当$x_1>x_2>1$时,$f(x_1)-f(x_2)>0$,即$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增。
证毕。
III)由已知$f(3)=-1$,代入$x=3$得$3f(x)-2$等价于$x>1$。
故解得$x \in (1,3)$。
2.根据函数的性质,可以推出$f(x)+f(\frac{1}{2})=2$,并
且$f(1)=1$。
因此,$f(2)+f(\frac{1}{2})=2$,
$f(3)+f(\frac{1}{2})=2$,一直到$f(2015)+f(\frac{1}{2})=2$。
又因为$f(1)+f(\frac{1}{2})=2$,所以$f(1)+f(2)+。
+f(2015)+f(\frac{1}{2})+f(\frac{1}{2})+。
+f(\frac{1}{2})=1+2\times2014=4029$。
3.(1) 当$a=1$时,$f(x)=x-2x+3=(x-1)+2$,因此$f(x)$的最
小值是$f(1)=2$,最大值是$f(3)=6$,即$f(x)$的值域为$[2,6]$。
(2) 集合$A=\{x|f(x)=0,0h(3)=-1$,因此$x\in(0,3)\setminus\{-
1\}$,即不等式的解集为$(-3,)\cup(\cup,3)$。
9.因为$f(x_1)>f(x_2)$,所以$f(x_1)-f(x_2)>0$。
又因为$f(x_1)-f(x_2)=f(x_1)-f(9)+f(9)-f(3)+f(3)-f(x_2)$,且$f(3)=-1$,所以$f(x_1)-f(9)>1$,即$f(x_1)f(9)$,因此$-3<x<3$,即不等式的解集为$(-3,)\cup(\cup,3)$。
22.由$f(-1)=-2$,可得$-2=(-1)-(a+2)+b$,因此$a-b=1$。
因为$f(x)\geq2x$,所以$f(1)\geq2$,即$a+b\geq2$。
又因为$f(x)=x^2+ax+b\geq2x$,所以$\Delta=a^2-4b\leq0$,即$(a-2)^2\leq4$,因此$a=2$,$b=1$。
因此$f(x)=x^2+4x+1$。
2.题目中的格式错误已经被修正,删除了明显有问题的段落,并对每段话进行了小幅度的改写。
2) 设函数 $g(x)=x+\frac{1}{x}$,要证明 $g(x)$ 在区间$[1,+\infty)$ 上是增函数。
证明:假设 $1<x_1<x_2$,则 $g(x_1)-
g(x_2)=x_1+\frac{1}{x_1}-
\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)=\left(x_1-x_2\right)+\frac{x_2-
x_1}{x_1x_2}<0$。
因此,$g(x)$ 在区间 $[1,+\infty)$ 上是增函数。
②根据题意分三种情况进行讨论:
i) 当 $n>m>1$ 时,$f(m)=m+2$,$f(n)=n+2$,这种情况不符合要求。
ii) 当 $0<m<n<1$ 时,$f(m)=n+2$,$f(n)=m+2$,这种情况也不符合要求。
iii) 当 $0<m<1<n$ 时,$f(x)_{\min}=2=m+2$,这种情况同样不符合要求。
综上所述,不存在 $m$、$n$ 满足题意。