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平均占有数——费米分布函数电子的总数

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费米狄拉克分布函数解析图像和应用

费米狄拉克分布函数解析图像和应用

费米狄拉克分布函数解析图像和应用文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。

一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。

占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。

统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： f(E)称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、TE fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。

只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。

费米分布函数的一些特性:【根据f(E)公式来理解】第一，费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．，E f 越大，表示处于高能级的电子越多；E f 越小，则表示高能级的电子越少。

(E f 反映了整体平均水平)第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)f(E)式可画出f(E)的曲线如图所示，但要注意因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。

的能级都空着。

因而费米能级E f 是在绝对零度时电子所具有的最大能量，是能级在绝对零度时能否被占据的一个界限，因而它是一个很重要的参数。

费米分布函数变化曲线T 3>T 2>T 1>T 0第五，在T≠0K时即不处于绝对零度的前提下，若E-E f＞5kT，则f(E)＜0.007；在T≠0K 前提下，若E-E f＜-5kT，则f(E)＞0.993。

(k、T分别为波耳兹曼常数和绝对温度)可见，温度T高于绝对零度的前提下，能量比E f高5kT的能态被电子占据的几率只有0.7%，几率很小，能级几乎是空的；而能级比E f低5kT的能态被电子占据的几率是99.3%，几率很大，该能级范围几乎总有电子。

一般可以认为，在T不为绝对零度但也不很高时，能量小于E f的能态基本上为电子所占据，能量大于E f的能态基本上没有被电子占据；而电子占据费米能级E f这个能级的概率是(不论任何温度下)都是1/2。

理想气体

理想气体

二、玻色分布
一个单粒子态可以容纳任意个玻色子 n 个玻色子占据能量为ε的单粒子态时 可能状态 ( N , E n )：
(0， 0 ) (1, ε ) (2, 2ε )LL
巨和： ξ = ∑ e −αN n − βE n
n
N 0 1 2 状态 3 … n … 系统的巨和：
ε
0 ε 2ε 3ε … nε …
对照B (ε ) 可看作是单粒子系统的正则分布
1 −ε / kT 乘以 e Z1
系统的粒子数 N。 一个 N 粒子系统看作由 N 个单粒子系统构成， 系统的配分函数为 各子系统配分函数之积： 定域粒子(第八章)： Z = ( Z 1 ) N 1 非定域粒子(理想气体系统)： Z = (Z1 ) N N! 3、状态的准经典描述 Z 1 ~ Ω(ε )dε ： Ω(ε )dε → Z 1 在ε~ε+dε区间内，单个自由粒子的状态数为： V 2m 3 / 2 1 / 2 Ω (ε ) d ε = ( ) ε dε ←粒子微观性质得到； 4π 2 h 2 对经典粒子来说， 采用其坐标和动量(x, y, z, Px, Py, Pz)描述粒子的 状态。 相空间（状态空间） ：采用坐标和动量为轴构成的空间 在单粒子状态空间中，每个状态平均占有相空间体积为： h r [ h —普朗克常数， r —为粒子自由度] 因而状态数与相空间大小成正比。
N = ∫ e (μ −ε ) / kT ⋅ cε
0
∞
1
2
dε = ce μ / kT ∫ e −ε / kT ⋅ ε
0
/ kT
∞
1
2
dε ← x = ε
1
2
N = 2ce =V(
μ / kT
∞

物理电子发射理论(2)

物理电子发射理论(2)

E (p x , p y , p z )− E F exp +1 KT
[
dp x dp y dp
z
]
如果考虑单位体积，L=1cm，其中电子数：
dN
Px , P y , Pz
2 = 3 h
dp x dp y dp z E (p x , p y , p z )− E F exp +1 KT
h2 3N E EF0 = 2π 8π
2/3
2/3
3
h3
]E
3/2 F0
= 3.64 ×10−15 N E 2 / 3
N E = 1.23 ×1023 / cm3
EF0 = 8.95eV
• （2）当T≠0K，这时EF以上也有电子，求NE应 由零积分到无穷大
NE
[4π (2m) ] =
• 2、电子的能量分布
• 问在单位体积中能量在E—E+dE范围内 自由电子数是多少? • 在动量空间 2mE− 2m(E + dE) • 该壳层的自由电子数为：
dN 2 2 /3 f (E )2 π (2 m ) E 1 / 2 dE E h3 2 /3 4 π (2 m ) E 1/2 = dE 3 h (E − E F ) exp + 1 KT =
0 x0
（1.24）
x0
在x0的力是
2 F0 = e 2 / 4 x0 ,
2 所以 W2 = ∫ e 2 /(4 x0 )dx = e 2 / 4 x0 0
因此，由0—无穷大逸出电子所做的功：
Eτ = W1 + W2 = e 2 / 2 x0
（1.25） Eτ 称为势垒高度。

半导体物理学-第三章-半导体中载流子统计分布

半导体物理学-第三章-半导体中载流子统计分布

当 E-EF>>k0T时,
fB E e x E p k E F T e x E kF p T e x k E p T
费米和玻耳兹曼分布函数
三、空穴的分布函数
空穴的费米分布函数和波尔兹曼分布函数
当 EF-E>>k0T时,
1 fE e x E F p E e x E F p e x E
整个价带的空穴浓度为
p0 NVexpEFk 0TEV NV称为价带的有效状态密度.
价带空穴浓度可理解为:全部空穴集中在价带 顶EV上，其上空穴占据的状态数为NV个.
对于三种主要的半导体材料,在室温(300K)状 况下,它们的有效状态密度的数值列于下表中.
导带和价带有效状态密度(300K)〔见课本P77〕
一、费米〔Fermi〕分布函数与费米能级
1.费米分布函数
电子遵循费米-狄拉克〔Fermi-Dirac〕 统计分布规律。能量为E的一个独立的电 子态被一个电子占据的几率为
K0玻尔兹曼常数，T确定温度，EF费米能级
费米能级的物理意义：化学势
EF (N F)T
当系统处于热平衡状态，也不对外界做功的状 况下，系统中增加一个电子所引起的系统的自 由能的变化等于系统的化学势也即为系统的费 米能级
在导带中，E-EF>>k0T，则导带中的电 子听从波尔兹曼分布，且随着E的增大， 概率快速削减，所以导带中绝大多数电子 分布在导带底四周
在价带中，EF-E>>k0T，则空穴听从波 尔兹曼分布，且随着E的增大，概率快速 增加，所以价带中绝大多数空穴分布在价 带顶四周。
听从Boltzmann分布的电子系统 非简并系统
§3.1 状 态 密 度
假设在能带中能量E与E+dE之间的能量间 隔dE内有量子态dZ个，则定义状态密度g 〔E〕为：

黄昆 固体物理 讲义 第六章

黄昆 固体物理 讲义 第六章

在 k 空间， E = E F 的等能面称为费米面。 1.
E F 的确定
-2CREATED BY XCH
REVISED TIME: 05-5-12
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
V 电子按能量的统计分布 ： dZ = N ( E )dE —— N ( E ) 状态密度 在 E − E + dE 之间状态数（量子态数） 在 E − E + dE 之间的电子数： dN = f ( E ) N ( E )dE
1 e
E − EF k BT
+1
0 0
当温度 T = T K ， E > E F 的状态中， 电子填充的几率增大，E < E F 如果 E F = E F 不随时间变化，
0
的状态中，电子填充的几率减小。费密分布函数在 E F = E F 左右的增加和减小是对称的。如图
0
XCH006_005 所示。 —— 对于近自由电子， N ( E ) ∝ E
3 0 dE = E F 5
结果：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量。这是因为电子必须满足泡利不相容原理，每
REVISED TIME: 05-5-12 -3CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。 绝对温度 T ≠ 0 时金属中电子费密能量
—— EF是费米能量或化学势：体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。
电子的总数： N =
∑ f (E )
i i
—— 对所有的本征态求和
在温度 T ≠ 0 的情况时：在 E = E F ， f ( E F ) =

《固体物理·黄昆》第七章(1)(1)

《固体物理·黄昆》第七章(1)(1)
F0 正) 比。
(2) 从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的信 息。
一般温度下，晶格振动的热容量比电子的热容量大得多。 在温度较高下，晶格振动的热容量是主要的，热容量基 本是一个常数。
低温范围下不能忽略电子的 热容量。
C Metal V
CVPhonon bT 3
CVElectron T
EF0 kB
物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高
温度下的振动能。
金属：TF： 104 ~ 105 K
对于金属而言，由于T << TF总是成立的，因此，只有 费米面附近的一小部分电子可以被激发到高能态，而 离费米面较远的电子则仍保持原来（T＝0）的状态， 我们称这部分电子被“冷冻”下来。因此，虽然金属 中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质的并 不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的那一 小部分。
EF
E
0 F
[1
2
12
(
kBT EF0
)2
]
温度升高，费米能 级下降
EF
EF0
[1
2
12
(
kBT
E
0 F
)
2
]
T 300 K
kBT 2.6 102 eV
kBT
E
0 F
1
EF0 ~ several eV
EF EF0
三、 电子热容量
根据电子的能量分布得电 U f (E)EN (E)dE
子总能量：
由于（-f/E）具有类似函数特征，改变积分下限并
不会改变积分值
N
Q(EF ) (
f )dE E
Q '(EF ) (E
EF )(

半导体中电子的费米统计分布 ppt课件


一般地：
1 f(E)e(EEF)/kBT 1
对导带中的电子，有： E -EF >Ec -EF >> kBT
则 f(E)e(EEF)/kBT
——导带中的电子接近经典玻耳兹曼分布 ——导带中每个能级上电子的平均占据数很小
一、 载流子的统计分布
(2)价带中空穴占据的几率——能级不被电子占据的几率
1f(E)1e(EEF)1/kBT1
(1) N型半导体导带中电子的数目
如果N型半导体主要含有一种施主，施主的能级: ED 施主的浓度: ND
足够低的温度下，载流子主要是从施主能级激发到导 带的电子, 导带中电子的数目是空的施主能级数目
nND[1f(E)]
1 f(E)e(EEF)/kBT 1
nND[1e(EF1ED)/kBT]
因为
nNe(EcEF)/kBT c
de允许的量子态按能量如何分布de2导带中电子的浓度2导带中电子的浓度二载流子浓度载流子浓度有效能级密度2导带中电子的浓度2导带中电子的浓度二载流子浓度载流子浓度2导带中电子的浓度2导带中电子的浓度二载流子浓度载流子浓度3价带中空穴的浓度3价带中空穴的浓度二载流子浓度载流子浓度得得单位体积中价带空穴数就是如同价带顶e个能级所应含有的空穴数价带顶附近有效能级密度的位置和载流子浓度很简单地把费米能级的位置和载流子浓度很简单地联系了起来4费米能级4费米能级二载流子浓度载流子浓度温度不变导带中电子越多空穴越少温度不变导带中电子越多空穴越少反之亦然二载流子浓度载流子浓度至此我们获得了载流子浓度随温度变化的一般规律
三、 杂质激发－掺杂半导体的载流子浓度
(1) N型半导体导带中电子浓度
1[14(ND)eEi ] /kBT 1/2
n

第三章 半导体中载流子的统计分布

*
1/ 2
球所占的k空间的体积为：
4 3 V k 3
设这个球内所包含的电子态数为Z(E)：
2V Z E 3 V 8
能量由E增加到E+dE，k空间体积增加：
dV = 4p k dk
电子态变化dZ(E )：
2
dZ ( E ) = Z ( E )? dV
2V 2 ? 4 p k dk 3 8p
Ec
Ec

E EF kT
* 3 2 3 2 2 3
mdp 为空穴态密度有效质量
由此可知：
状态密度gc(E)和gv(E)与能量 E 成正比，还 与有效质量有关，有效质量大的能带中的状态 密度大。
1 2
§3.2 费米能级和载流子统计分布
一、载流子浓度的求解思路： 1、假设已知导带（价带）中单位能量间隔含有 的状态数为gc(E)—导带（价带）的状态密度。 2、还有对于多粒子系统应考虑粒子的统计分布： 能量为E的每个状态被电子占有的几率为f(E)， 即要考虑电子在不同能量的量子态的统计分布。 在热平衡时，统计分布的概率是一定的。
空穴的玻氏分布ktkt服从boltzmann分布的电子系统为非简并系统相应的半导体是非简并半导体服从fermi分布的电子系统是简并系统相应的半导体为简并半导体半导体中一般情况费米能级在禁带之中并且与导带底或价带顶底距离远大于kt所以导带的电子可用玻耳兹曼分布函数
第三章
半导体中载流子的统计分布
Statistic distribution of carrier in semiconductor
对于本征Si:
( EF )本征 Ei ( Ei为禁带中心能级）
Eg
Ec EF=Ei
Eg 1.12ev

固体物理第一章第二节自由电子气体的热性质


3.费米分布函数的特点
f
(i
)

1 e(i ) kBT
1
1) 由费米分布函数表达式和它的物理意义可 知:
0 f (i ) 1
特别是当T=0 K时
f
(
)

1 0

亦即,≤μ时的所有状态都被占据,而 >态上电
子占据率为零.所以,在基态T=0K时,化学势相当 于占据态和非占据态的分界线,这和前面费米能 量的定义相当,所以基态时的化学势和基态费米 能量相等.
当费米分布函数取1时，恰好对应的就是基态 的情形.
费米分布函数表达式中的是体系的化学势,
它的意义是在体积和温度不变的条件下,系统增 加或减少一个电子时所增加或减少的能量.
化学势可由下式确定：

N /V n ０ f ( )g( )d
有时称上式为归一化条件
上面的积分不容易得到,为此下面首先给出费 米分布函数的特点,然后再讨论化学势的计算.
所以： I

Q( )(
f
)d
0

考虑到 (f / ) 函数的特点具有类似于函数的 性质,仅在附近kBT的范围内才有显著的值. 所
以,上式的积分下限即使扩展到-∞也不会影响
积分结果. 同时, 可将Q()在附近展开为泰勒
级数. Q( ) Q() （ ）Q() 1（ ）2Q()
3) (f / ) 是关于（ -）的偶函数，而且具 有类似于函数的性质,仅在附近kBT的范围内
才有显著的值. 即
f ( )
该特点可由下式得出：
f 1
1
1



kBT
e( ) kBT

费米狄拉克统计

费米狄拉克统计费米–狄拉克统计[编辑]维基百科，自由的百科全书（重定向自费米-狄拉克统计）费米–狄拉克统计（英语：Fermi–Dirac statistics），有时也简称费米统计、FD统计，在统计力学中用来描述由大量满足泡利不相容原理的费米子组成的系统中，粒子处在不同量子态上的统计规律。

这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。

不过费米在数据定义比狄拉克稍早。

[1][2]费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。

除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。

这样，就可以用粒子在不同定态的分布状况来描述大量微观粒子组成的宏观系统。

不同的粒子分处于不同的能态上，这一特点对系统许多性质会产生影响。

费米–狄拉克统计适用于自旋量子数为半奇数的粒子，这些粒子也被称为费米子。

由于电子的自旋量子数为1/2，因此它是费米–狄拉克统计最普遍的应用对象。

费米–狄拉克统计是统计力学的重要组成部分，它利用了量子力学的一些原理。

目录[隐藏]∙ 1 概述∙ 2 历史∙ 3 费米–狄拉克分布o 3.1 粒子的能量分布∙ 4 量子范畴和经典范畴∙ 5 参考文献∙ 6 相关条目概述[编辑]函数反对称，在费米子的某一个能级上，最多只能容纳一个粒子。

因而符合费米–狄拉克统计分布的粒子，当他们处于某一分布（“某一分布”指这样一种状态：即在能量为的能级上同时有个粒子存在着，不难想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称为最可几分布）时，体系总状态数为：费米–狄拉克统计的最可几分布的数学表达式为：由于费米-狄拉克统计在数学处理上非常困难，因此在处理实际问题时经常引入一些近似条件，使费米-狄拉克统计退化成为经典的麦克斯韦-玻尔兹曼统计。

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kBT CV N 0 ( 0 )kB 2 EF

细节
。。。
§费密统计和电子热容量
—— 能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动近似看 作是独立的，具有一系列确定的本征态 —— 一般金属只涉及导带中的电子，所有电子占据的状态都 在一个能带内
1. 费密分布函数
电子气体服从泡利不相容原理和费米 — 狄拉克统计 —— 热平衡下时，能量为E 的本征态被电子占据的几率
2 h 0 EF (3n 2 )2/3 2m
电子的平均能量 —— 5
结论：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量 —— 电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两 个自旋相反的电子
—— 所有的电子不可能都填充在最低能量状态
电子的费密能量
总的电子数
f (E ) e 1
E EF k BT
1
—— 费米分布函数
物理意义：能量为E的本征态上电子的数目 —— 平均占有数 （费米能量？或）化学势 μ —— 体积不变时，系统增加一个电子所需的自由能 电子的总数
N f (Ei )
i
—— 对所有的本征态求和
两本书的差别
黄昆：
f (E ) e
1
E EF k BT
1
—— 温度升高 费密能(=化学势)下降
2 k BT 2 E F E [1 ( 0 ) ] 12 E F
0 F
胡安：
f (E ) e
1
E k BT
1
—— 化学势 费密能 = 0温化学势
2 k BT 2 T E F [1 ( ) ] 12 E F 0 EF
经典电子论的成就 解释金属的特征 —— 电导、热导、温差电、电磁输运等 经典电子论的困难 按照经典能量均分定理，N个电子的能量 对热容量的贡献 大多数金属
3 N k BT / 2 3NkB / 2
C
E x p e r im e n ta l V
/C
C la s s ic a l V
0 .0 1
金属电子论
自由电子模型 —— 不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作用 特鲁特(Drude) — 洛伦兹金属电子论 （在2电子输运中介绍） —— 平衡态下电子具有确定平均速度和平均自由程
—— 电子气体服从麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计分布规律， 对电子进行统计计算, 得到金属的直流电导、金属电子的 弛豫时间、平均自由程和热容
结论有多可靠？


晶格周期性的影响：能带纳入考虑 紧束缚模型观点的能带：s, p, d, f 电子
这是一个什么问题？
这是一个统计物理问题（3d，1d，2d？）
这是一个量子力学问题
1 V
e
r r ik r

1 V
e
i r r p r h
这是一个量子统计（量子多体）问题
凝练的理论问题
出发点（自由） 什么系综？
费米分布函数
f (E ) e 1
E EF k BT
1
电子填充能量
几率
f (EF ) 1 / 2
f (E ) 0
f (E ) 1
费米分布函数
f (E ) e 1
E EF k BT
1
f (E ) 1 f (E ) 0
3) 在较低温度时，分布函数在 处发生很大变化
k空间的费米面
的费米面内所有状态均被电子占有
一部分电子被激发到费密面外附近
以下推导，我们在做一件什么事情？
f (E ) e

1
E EF k BT
1
约束：
N f ( E ) N ( E ) dE
0
积分方程！
求解积分方程： E F E F T ? 分两步走: (1) T=0; (2) T>0
固体物理
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
So lid S ta te Phy si cs
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 金属电子论 电子的能带论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 电子的费米统计 2 电子输运
电子是量子的么？
常温常压下是的，确切来说，~106K以下 都是 像声子那样，有经典模型对应么？
2.
的确定 之间状态数 之间的电子数
回忆态密度
金属中总的电子数
N f ( E ) N ( E ) dE
0
—— 取决于费密统计分 布函数和电子的能 态密度函数
N (E )
2V
2
2
(
2 m 3/ 2 1/ 2 ) E 2
费米能级
金属中总的电子数
自由电子的能态密度
自由电子的费密能级
2 2 h k ˆ ˆ ˆk H ck c 2m k
主要讨论方法和技巧（分 T = 0 和 T > 0 ）
Tr (e ( H N ) ),

0 F
主要结论
f (E) e
1 k BT
1
E EF k BT
1
2
2 k BT 2 E F E [1 ( 0 ) ] 12 E F
引入函数 —— 能量E以下的量子态总数 能态密度 应用分部积分
因为
f N Q ( E )( ) dE E 0
量子力学对金属中电子的处理 —— 索末菲在自由电子模型基础上，提出电子在离子产生 的平均势场中运动，电子气体服从费密 — 狄拉克分布 —— 计算了电子的热容，解决了经典理论的困难
原子中的电子能级 → Pauli不相容原理 → Fermi-Dirac分布 那么，金属中的自由电子气呢？ → 费米面！
教材page 61，（2. 2. 1）中19/125怎么来的？
把《统计物理》放旁边
量子统计物理学好没有？

费米子。。。
1 电子的费米统计和比热容
出发点是什么？


经典理想电子气体Drude模型的问题：比热容不符合实验 泡利不相容原理：从原子级别到固体级别 量子理想电子气体Sommerfeld模型：费米-狄拉克分布
中间推导过程 … …

态密度复习 粒子数密度条件 计算费米能： EF 是温度的函数？ （化学势） 能量，比热的低温行为

有！ 就是经典自由电子气体，不幸的是我们是在常 温常压下检验它，所以它表现得很糟
交代一下内容逻辑顺序
金属中的电子是怎样存在着的？

矩形盒子：金属电子论
经典理想电子气体：Drude model 量子理想电子气体：Pauli exclusion principle
原子呢？晶格结构呢？

下一章。。。电子的能带论