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姓名：学号：班级：费米系统与费米气体的性质一、费米系统：1.费米子与费米系统相关的简单介绍自然界中微观粒子可分为两类：玻色子和费米子。
在“基本”粒子中，自旋量子数为半整数的是费米子；自旋量子数是整数的是玻色子。
在原子核、原子和分子等复合粒子中，由玻色子构成的复合粒子和由偶数个费米子构成的复合粒子都是玻色子；由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。
由费米子组成的系统称为费米系统，遵从泡利（PauLi ）不相容原理：即在含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。
由玻色子组成的系统称为玻色系统，不受泡利不相容原理的约束，即由多个全同近独立的玻色子组成的玻色系统中，处在同一个体量子态的玻色子数目是不受限制的。
由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻尔兹曼系统。
2. 从微观上看费米系统设一系统由大量全同近独立粒子组成，具有确定粒子数N 、能量E 和体积V 。
以l ε（l=1,2,…）表示粒子的能级， l ω表示能级l ε的简并度。
N 个粒子在各能级的分布可以描述如下：能 级 1ε，2ε，…， l ε，… 简并度 1ω，2ω，…，l ω，… 粒子数 1a ，2a ，…，l a ,…即能级1ε上有1a 个粒子，能级2ε上有2a 个粒子，……，能级l ε上有l a 个粒子，……。
为书写方便起见，以符号｛l a ｝表示数列1a ，2a ，…，l a ,…，称为一个分布。
显然，对于具有确定的N ，E ，V 的系统，分布｛l a ｝必须满足条件：N all=∑， E a ll l =∑ε才有可能实现。
对于玻尔兹曼系统，与分布｛l a ｝相应的系统的微观状态数 B..M Ω： （1）则可推导出费米系统的微观状态数为 ： （2）ωlB M allllN a ∏∏=!!..Ω∏-=ll l l a )!1(!!F.D.ωωΩ3.费米系统的最概然分布：对（2）式取对数，得（其中∑l对粒子的所有量子状态求和）（3）假设l a >>1，l ω>>1，1>>-l l a ω，上式可近似为（4）根据上式的Ωln ，用类似于推导玻色分布的方法，可得费米系统中粒子的最概然分布为（5） （5）式称为费米-狄拉克分布，简称费米分布，拉氏乘子α和β由式（6） 在许多问题中，也往往将β当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的第二式确定系统的内能；或将α和β都当作由实验条件确定的已知参量，而由（6）式的两式确定系统的平均总粒子数和内能。
金属费米能级随温度的变化金属可以看作是由大量金属原子组成的晶体，其中的电子充分利用晶格的周期性位势而形成能带结构。
在近零温度下，金属内部的电子分布受费米能级的限制，只有能量低于费米能级的电子可以填充到空位中。
但是，随着温度的升高，金属内部的电子分布会发生变化，费米能级也会相应地发生变化。
费米能级是指在零温度下，库仑排斥力和泡利不相容原理共同作用下，电子互相排斥并填充能量较低的能级，最后达到一个最高的能级，这个能级就是费米能级。
费米能级的特征是，它将电子分成两个部分，一部分位于费米能级以下，另一部分位于费米能级以上。
费米能级以下的电子称为“价电子”，能参与导电和化学反应，而费米能级以上的电子称为“导电电子”，几乎不参与化学反应。
随着温度升高，金属内部的电子会获得更多的热能，同时，库仑排斥力和泡利不相容原理的作用也会逐渐减弱。
这就导致费米能级发生了一定程度的移动，而且移动的方向取决于温度和金属的电子性质。
对于一些低温超导体，随着温度升高，费米能级会从价带中逐渐移向导带中，因此导电性会随着温度的升高而变弱。
而对于大多数金属，费米能级则会从导带中向下移动，这就导致导电性和热传导性随着温度的升高而变强。
这种现象可以用来解释为什么金属在高温下容易发生熔化和形变，因为Costello效应减弱了金属的塑性和硬度。
相反，当电子能级随温度升高而下降时，金属的硬度增加，使其更加耐磨和耐热。
对于一些很少见的金属，如一些稀-earth元素和转变金属，费米能级的变化比较独特。
由于这些金属的内部结构比较特殊，它们的费米能级会发生小幅度的变化，而且其他电子属性也可能随之发生变化，这包括电阻、热容量和霍尔系数等等。
为了更好地理解费米能级随温度的变化，我们需要深入研究金属电子的结构和运动规律，以及金属的热物理性质。
这将帮助我们在高温下更有效地利用金属，从而促进工业和科技的发展。
总结本文讨论了在金属中发生的费米能级随温度的变化。
随着温度的升高，费米能级会向上或向下移动，这取决于金属的电子性质。
半导体物理简并半导体费米分布
半导体物理中的简并半导体费米分布是指，在某些情况下，费米能级可以接近导带底或价带顶，甚至会进入导带或价带中。
此时，导带中量子态被电子占据或价带中量子态被空穴占据的概率非常小，必须考虑泡利不相容原理的限制，因此玻耳兹曼分布函数不再适用，而必须应用费米分布函数来分析能带中的载流子统计分布问题。
在含施主杂质的n型半导体中，当掺杂浓度较高时，在低温弱电离区，费米能级随温度的增加而上升，并在某个温度下达到最大值，这个最大值可能会超过导带底并进入导带中。
在含受主杂质浓度较高的P型半导体中，同理，费米能级也有可能在某个温度下达到最小值，并进入价带中。
发生载流子简并化的半导体称为简并半导体，简并半导体表现得更接近金属，常见于杂质浓度较高的情况。
在实际应用中，需要根据具体情况选择适当的半导体材料和掺杂浓度，以满足不同的应用需求。
第讲第二讲金属电子论教材教材，p2751主要内容•能带理论复习•电子的费米分布•金属电子的输运过程•逸出功与接触电势2布洛赫电子的能量E与n和波矢k都有关系，记为E k。
布都n()能带结构3紧束缚近似原子间相互作用原子能级晶体能带4近自由电子近似周期势场的起伏很小一般的k，类似自由电子，抛物线。
k=n5k nπ/a（布里渊区边界），驻波，能量突变。
能带结构金属绝缘体半导体7能带电子在绝对零度时的分布（基态）•晶体中的电子将将由低到高的填充能带中的能级。
•每个能级上两个电子（自旋向上，向下）。
向下）每个状态只有个电子泡利不•每个状态只有一个电子，泡利不相容原理。
9主要内容•能带理论复习•电子的费米分布•金属电子的输运过程•逸出功与接触电势10电子的费米分布•费米分布函数•基态（T=0K）下费米分布函数和费米能级•热激发态（T≠0K）下的费米能级•费米面费•电子热容教材，p276-286，p220-222262622022211费米能级满足条件 系统总的导带电子数为N，则有：∑=量子态NEf)(即费米分布函数对所有量子态求和等于系统总的电子数。
能带论---导带能级准连续，能态密度函数N(E)来刻画，则：NdEENEf=∫∞0)()(费米能级E F取决于温度T和系统导带电子总数N（严格来说是电子浓度）由上述积分式确定13说是电子浓度），由上述积分式确定。
电子的费米分布•费米分布函数•基态（T=0K）下费米分布函数和费米能级•热激发态（T≠0K）下的费米能级•费米面•电子热容14E 是一个明显界限。
的能态是空的，F 是个明显界限•泡利不相容原理：电子从能量最低状态开始按能量增大的顺序依次占据能级每个能始按能量增大的顺序依次占据能级，每个能级包含两个能态（电子，自旋相反），直到电子填完为止。
E 0表示电子电子填充的最15F 高能级。
电子的费米分布•费米分布函数•基态（T=0K）下费米分布函数和费米能级•热激发态（T≠0K）下的费米能级•费米面•电子热容19⎪⎩>>≈Tk E f B F E -E 0)(1•热激发下，相对0K ，费米能级E 上下几个k T 的区域0.5能F 下个B 的域电子填充状态发生变化----部20电子部分占据电子“热激发”•=E =1.5∼∼定义费米温度T F E F /k B ，E F 1.511eV ，T F 50000K ，室温T=300K ，k B T=0.026eV 。
热力学费米分布的推导过程热力学费米分布的推导过程如下：假设系统中有一组粒子，满足费米-狄拉克统计。
统计物理中的费米子遵循泡利不相容原理，即同一量子态最多只能有一个粒子。
根据泡利不相容原理，每个量子态的粒子数要么为0（无粒子），要么为1（有一个粒子）。
考虑一个费米气体系统，由N个粒子组成，各占据不同的量子态。
假设每个粒子各自的能级为ϵi，共有ω个不同的量子态。
根据费米子的性质，每个粒子的能级都要与其他粒子的能级不同。
我们希望计算出费米分布函数，即粒子占据每个量子态的概率。
设粒子占据第i个量子态的概率为f(i)，则占据其余量子态的概率为1-f(i)。
根据统计物理的定义，粒子占据第i个量子态的概率应满足以下两个条件：1. 粒子在所有量子态上的分布概率之和为1：∑[f(i) + (1-f(i))] = ∑1 = ω2. 粒子在每个量子态上的概率与粒子的占据数之间有关：f(i) + (1-f(i)) = 1，当粒子数大于等于1时；f(i) + (1-f(i)) = 0，当粒子数等于0时。
考虑到不同的量子态是互相独立的，我们可以根据各个量子态的占据概率的独立性，将整个系统的概率分布表示为各个量子态的概率的乘积。
因此，我们定义费米分布函数f(i)为粒子占据第i个量子态的概率。
考虑到泡利不相容原理，每个量子态上最多只能有一个粒子，因此我们可以写出费米分布函数的形式：f(i) = 1 / [exp[(ϵi - μ) / kT] + 1]其中，ϵi为第i个量子态的能量，μ为化学势，k为玻尔兹曼常数，T为系统的温度。
费米分布函数的形式给出了粒子占据各个量子态的概率。
当温度趋近于绝对零度时，由于费米分布函数中的指数项非常大，可以将其近似为无穷大，费米分布函数则为0。
这就对应了费米子自由度下的全满能级，即费米能级以下的能级被占满，费米能级以上的能级为空。
以上即为热力学费米分布的推导过程。
费米系统的最概然分布
费米系统的最概然分布
费米系统是一种量子力学模型，它被广泛应用于物理和化学的理论研究中。
费米系统的最概然分布是指在一组费米系统中，所有可能的状态的分布情况。
最概然分布可以用两种方法来描述：一种是概率性质上的，另一种是比大小的。
概率性质上的最概然分布指的是，当费米系统的能量状态是定的情况下，各能量态的数量之间的相对比例。
这种比例一般取决于费米系统的总能量，当能量状态是固定的时候，它就可以通过热力学的考虑来得到。
这样，当费米系统的总能量是定的时候，它的最概然分布就可以用“能量分歧”的方法来描述：指的是，每一个系统对应的能量状态，其分歧比例等于它的能量在总体中所占比例的平方（它们的乘积）。
比大小的最概然分布指的是，当系统的总能量是定的时候，能量状态之间的比大小的分布情况。
实际上，这种分布也可以由能量分歧的考虑来得出，但是，当费米系统的总能量不是一个定值的时候，比较大小的最概然分布就不能用能量分歧的方法来描述。
热力学考虑提出了熵在热力学中的一种重要概念，这个概念可以用来描述大小的最概然分布。
在这种情况下，各能量状态的概率就是每个能量状态熵的函数，它们的和的最大值就是费米系统的熵。
以上就是费米系统的最概然分布情况，它们可以用概率性质上的最概然分布和比大小的最概然分布两种方法来描述。
无论是哪种
情况，它们都可以由热力学的考虑来获得，它们都可以用来描述费米系统的总能量分布情况。
讨论固体中原子、电子对热容量的贡献固体是由原子或者分子组成的物质，其热容量是指在加热过程中吸收热量的能力。
热容量的大小反映了固体内部粒子的运动自由度，包括原子和电子的运动。
在固体中，原子和电子对热容量的贡献有着不同的特点和机制。
首先，我们来讨论原子对固体热容量的贡献。
固体中的原子由于受到晶格的限制，其运动仅限于振动，即原子在平衡位置附近做小幅度的振动。
这种振动称为晶格振动或者声子振动。
由于原子振动的自由度有限，因此原子对固体热容量的贡献很小。
然而，随着温度的升高，原子的振动会增强，其能量和热容量也会增大。
根据经典统计物理学的理论，固体的热容量与温度的关系可以由爱因斯坦模型或者德拜模型来描述。
爱因斯坦模型假设固体中的每个原子都具有相同的振动频率，且原子之间没有相互作用。
这个模型对于描述固体的低温热容量是比较准确的，但是在高温下的热容量预测就不太准确了。
爱因斯坦模型预测的固体热容量与温度的关系可以用以下公式表示：Cv = 3Nk [(θE / T)^2 exp(θE / T)] / [(exp(θE / T) - 1)^2]其中，Cv表示固体的摩尔热容量，N表示固体中的原子数目，k是玻尔兹曼常数，θE是爱因斯坦温度，T是绝对温度。
德拜模型更为复杂，它考虑了固体中的原子之间的相互作用。
德拜模型假设固体中的原子之间可以发生相互作用，且每个原子的振动频率不一样。
德拜模型可以更好地解释高温下固体热容量的行为。
德拜模型预测的固体热容量与温度的关系可以用以下公式表示：Cv = 3R [(T / θD)^3 ∫0θD/(T / θD) (x^4 exp(x) / (exp(x) - 1)^2) dx]其中，Cv表示固体的摩尔热容量，R是气体常数，θD是德拜温度，T是绝对温度。
除了原子振动对热容量的贡献外，固体中的电子也对热容量有贡献。
电子是固体中带有负电荷的粒子，其能量受到晶格势场的制约。
在固体中，电子可以在能带中自由运动，其能量由费米能级决定。
