优化方案2017高中数学第二章平面向量2.3.1平面(精)

【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．在三角形ABC 中，BA →＝a ，CA →＝b ，则CB →＝( ) A ．a －b B ．b －a C ．a ＋bD ．－a －b解析：选B ．CB →＝CA →＋AB →＝CA →＋(－BA →)＝b －a .2．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE → B ．EF →＝OF →－OE → C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →解析：选B ．EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B ． 3．下列式子不正确的是( ) A ．a －0＝a B ．a －b ＝－(b －a ) C.AB →＋BA →≠0D .AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析：选C.根据向量减法的三角形法则，A 正确；B 正确；因为AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；根据向量加法的多边形法则，D 正确．4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：选A.DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝a －b ＋c . 5．给出下列各式： ①AB →＋CA →＋BC →； ②AB →－CD →＋BD →－AC →； ③AD →－OD →－AO →；④NQ →－MP →＋QP →＋MN →.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选A.①AB →＋CA →＋BC →＝AC →＋CA →＝0；②AB →－CD →＋BD →－AC →＝AB →＋BD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0； ③AD →－OD →－AO →＝AD →＋DO →＋OA →＝AO →＋OA →＝0； ④NQ →－MP →＋QP →＋MN →＝NQ →＋QP →＋MN →－MP →＝NP →＋PN →＝0. 6．化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝________．解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ →＝PQ →.答案：PQ →7．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ，AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．解析：根据题意画出图形，如图，d －a ＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →＝c ； d ＋a ＝AD →＋BD →＝AD →＋DC →＝AC →＝B ．答案：c b 8．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →； ②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →； ③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →； ④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中正确命题的序号为________． 解析：①因为OD →＋OE →＝OM →， 所以OD →＝OM →－OE →，正确；②OM →－OD →＝OE →，所以OM →＋DO →＝OE →，正确； ③因为OE →＝－EO →，所以OD →－EO →＝OM →，正确； ④－OM →＝－OD →－OE →，所以MO →＝DO →＋EO →，正确． 答案：①②③④ 9．化简：(1)AB →－AC →＋BD →－CD →； (2)OA →＋OC →－OB →＋CO →.解：(1)原式＝CB →＋BD →－CD →＝CD →－CD →＝0.(2)原式＝(OA →－OB →)＋(OC →＋CO →)＝BA →＋0＝BA →.10.如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c . 解：(1)由已知得a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →＝c ，所以延长AC 到E ，使|CE →|＝|AC →|. 则a ＋b ＋c ＝AE →，且|AE →|＝2 2. 所以|a ＋b ＋c |＝2 2. (2)作BF →＝AC →，连接CF ， 则DB →＋BF →＝DF →， 而DB →＝AB →－AD →＝a －b ， 所以a －b ＋c ＝DB →＋BF →＝DF →且|DF →|＝2，所以|a －b ＋c |＝2.[B 能力提升]1．平面内有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若|m |＝|n |，则有( ) A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90° D ．△ABC 必为等腰直角三角形 解析：选C.如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.因为|m |＝|n |， 所以|AC →|＝|DB →|. 所以四边形ABCD 是矩形，所以△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°.2．对于非零向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |>||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向 3.如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ， 所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －B ． (2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e . 4.(选做题)已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M 是斜边AB 的中点，CM →＝a ，CA →＝B ．求证：(1)|a －b |＝|a |； (2)|a ＋(a －b )|＝|b |.证明：因为△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， 所以CA ＝CB ．又M 是斜边AB 的中点，所以CM ＝AM ＝BM . (1)因为CM →－CA →＝AM →， 又|AM →|＝|CM →|， 所以|a －b |＝|a |.(2)因为M 是斜边AB 的中点， 所以AM →＝MB →，所以a ＋(a －b )＝CM →＋(CM →－CA →)＝CM →＋AM →＝CM →＋MB →＝CB →， 因为|CA →|＝|CB →|，所以|a ＋(a －b )|＝|b |.。

【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 3.3.2 平面向量基本定理应用案巩固提升 北师大版必修4[A 基础达标]1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( ) A ．2e 1＋e 2和2e 1－e 2 B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1 C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1 D ．e 2和e 1＋e 2解析：选B.因为B 中4e 2－6e 1＝－2(3e 1－2e 2)，所以3e 1－2e 2和4e 2－6e 1共线不能作为基底．2．四边形OABC 中，CB →＝12OA →，若OA →＝a ，OC →＝b ，则AB →＝( )A ．a －12bB.a2－bC ．b ＋a2D ．b －12a解析：选D.AB →＝AO →＋OC →＋CB →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故选D.3．已知e 1，e 2不共线，a ＝λ1e 1＋e 2，b ＝4e 1＋2e 2，并且a ，b 共线，则下列各式正确的是( )A ．λ1＝1B ．λ1＝2C ．λ1＝3D ．λ1＝4解析：选B.b ＝4e 1＋2e 2＝2(2e 1＋e 2)，因为a ，b 共线，所以λ1＝2.4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋PC →＝0，若实数λ满足AB →＋AC →＝λAP →，则λ的值为( )A ．3 B.23 C ．2D ．8解析：选A.AB →＋AC →＝(AP →＋PB →)＋(AP →＋PC →)＝2AP →＋(PB →＋PC →)＝2AP →－PA →＝3AP →.所以λ＝3.5．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝3PA →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：选D.由已知BP →＝3PA →，得OP →－OB →＝3(OA →－OP →)，整理，得OP →＝34OA →＋14OB →，故x ＝34，y ＝14.6.如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC →可表示为________，在以a ，c 为基底时，AC →可表示为________．解析：以a ，c 为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c7．设a ，b 是两个不共线向量，已知AB →＝2a ＋kb ，CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ，若A 、B 、D 三点共线，则k ＝________．解析：因为CB →＝a ＋b ，CD →＝2a －b ， 所以BD →＝CD →－CB →＝(2a －b )－(a ＋b )＝a －2b . 因为A 、B 、D 三点共线， 所以AB →＝λBD →，所以2a ＋kb ＝λ(a －2b )＝λa －2λb . 又a ，b 是两个不共线向量，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ＝－2λ，所以k ＝－4. 答案：－48．已知平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，AP →＝yAD →，AQ →＝xAB →，其中x ，y ∈R ，且均不为0.若PQ →∥BE →，则x y＝________．解析：因为PQ →＝AQ →－AP →＝xAB →－yAD →，由PQ →∥BE →，可设PQ →＝λBE →，即xAB →－yAD →＝λ(CE →－CB →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12AB →＋AD →＝－λ2AB →＋λAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12λ，y ＝－λ，则x y ＝12. 答案：129.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝13CA →，AP →＝13AB →，若AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．解：NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b ，MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．10．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足AM →＝34AB →＋14AC →.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比；(2)若N 为AB 的中点，AM 与CN 交于点O ，设BO →＝xBM →＋yBN →，求x ，y 的值． 解：(1)由AM →＝34AB →＋14AC →可知M ，B ，C 三点共线，如图，令BM →＝λBC →⇒AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋λBC →＝AB →＋λ(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λAC →⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4. (2)由BO →＝xBM →＋yBN →⇒BO →＝xBM →＋y 2BA →，BO →＝x 4BC →＋yBN →，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y 2＝1，x 4＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝47，y ＝67.[B 能力提升]1．设O ，A ，B ，M 为平面上四点，OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈(0，1)，则( ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，B ，M 四点共线解析：选A.因为OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈(0，1)， 所以OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，所以BM →＝λBA →， 故点M 在线段AB 上．2．设点O 是面积为4的△ABC 内部一点，且有OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△AOC 的面积为________．解析：如图，以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ， 则OD →＝OA →＋OB →，结合条件OA →＋OB →＋2OC →＝0知， OD →＝－2OC →，设OD 交AB 于M ，则OD →＝2OM →， 所以OM →＝－OC →， 故O 为CM 的中点，所以S △AOC ＝12S △CAM ＝14S △ABC ＝14×4＝1.答案：13．已知梯形ABCD 中，AB ∥DC ，且AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试以a ，b 为基底表示DC →，BC →，EF →.解：如图所示，连接FD ，因为DC ∥AB ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，所以DC 綊FB ，所以四边形DCBF 为平行四边形．所以DC →＝FB →＝12AB →＝12b ，BC →＝FD →＝AD →－AF →＝AD →－12AB →＝a－12b ，EF →＝DF →－DE →＝－FD →－DE →＝－BC →－12DC →＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b －12×12b ＝14b －a . 4．(选做题)如图所示，已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示AG →.解：易知CF →＝12CD →，CE →＝12CB →，设CG →＝λCA →，则由平行四边形法则， 得CG →＝λ(CB →＋CD →) ＝2λCE →＋2λCF →， 由于E ，G ，F 三点共线， 则2λ＋2λ＝1，故λ＝14.从而CG →＝14CA →，AG →＝34AC →＝34(a ＋b )．。

【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．关于零向量，下列说法中错误的是( ) A ．零向量是没有方向的 B ．零向量的长度为0 C ．零向量的模都相等 D ．零向量的方向是任意的解析：选A.零向量是指长度为0的向量，也有方向，只不过方向是任意的． 2．下列命题中，正确的是( ) A ．|a |＝1⇒a ＝±1 B ．|a |＝|b |且a ∥b ⇒a ＝b C ．a ＝b ⇒a ∥b D ．a ∥0⇒|a |＝0解析：选C.两向量共线且模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行． 3．已知向量AB →与向量BC →共线，下列关于向量AC →的说法中，正确的为( ) A ．向量AC →与向量AB →一定同向 B ．向量AC →，向量AB →，向量BC →一定共线 C ．向量AC →与向量BC →一定相等 D ．以上说法都不正确解析：选B ．根据共线向量定义，可知AB →，BC →，AC →这三个向量一定为共线向量，故选B ． 4．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为1解析：选D.A 中，因为零向量与任意向量平行，若b ＝0，则a 与c 不一定平行．B 中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．5．把平面内所有长度不小于1且不大于2的向量的起点平移到同一点O ，则这些向量的终点所构成的图形的面积为( )A ．4πB ．πC ．2πD ．3π解析：选D.图形是半径为1和2的同心圆对应的圆环，故S 圆环＝π(22－12)＝3π. 6.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是AD 与BC 的中点，则在以A 、B 、C 、D 四点中的任意两点为始点和终点的所有向量中，与向量EF →方向相反的向量为________．解析：因为AB ∥EF ，CD ∥EF ，所以与EF →平行的向量为DC →，CD →，AB →，BA →，其中方向相反的向量为BA →，CD →.答案：BA →，CD →7．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22， 所以|OA →|＝ 2. 答案： 28．给出下列三个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 方向相反；③|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即①不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即②能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是②③.答案：②③9．飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行1 400 km 到达B 地，再从B 地按东偏南15°的方向飞行1 400 km 到达C 地，那么C 地在A 地什么方向？C 地距A 地多远？解：如图所示，AB →表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移，则|AB →|＝1 400(km)．BC →表示飞机从B 地按东偏南15°方向飞行到C 地的位移，则|BC →|＝1 400(km) .所以AC →为从A 地到C 地的位移．在△ABC 中，AB ＝BC ＝1 400(km)，且∠ABC ＝(90°－15°)－15°＝60°，故△ABC 为等边三角形，所以AC ＝1 400(km)．所以C 地在A 地北偏东60°－15°＝45°，距离A 地1 400 km 处．10．已知ABCD 是任意四边形，边AD ，BC 的中点分别为E ，F ，延长AF 到G ，使F 恰为AG 的中点，连接BG ，CG ，DG ，AC .(1)试找出与AB →相等的向量； (2)试找出与AC →相等的向量； (3)试找出与EF →共线的向量． 解：(1)F 是AG 和BC 的中点， 所以四边形ABGC 是平行四边形． 故AB →＝CG →.(2)由(1)知四边形ABGC 是平行四边形， 所以AC →＝BG →.(3)因为E 为AD 的中点，F 是AG 的中点， 所以EF 为△ADG 的中位线，EF ∥DG ， 所以与EF →共线的向量有DG →，GD →和FE →.[B 能力提升]1．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是( ) A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →) C.BD →的模恰为DA →模的3倍D.CB →与DA →不共线解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D 中CB →，DA →所在直线平行，向量方向相同，故共线．2．若A 地位于B 地正西方向5 km 处，C 地位于A 地正北方向5 km 处，则C 地相对于B 地的位移是________．解析：据题意画出图形如图所示，由图可知|BC →|＝5 2 km ，且∠ABC ＝45°， 故C 地相对于B 地的位移是西北方向5 2 km. 答案：西北方向5 2 km 3.如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示向量中，(1)分别写出与AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →模相等的向量．解：(1)与AO →相等的向量为BF →，与BO →相等的向量为AE →. (2)与AO →共线的向量有CO →，BF →，DE →.(3)与AO →模相等的向量为AE →，DE →，DO →，CO →，BF →，BO →，CF →.4．(选做题)一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD →，DC →，CB →，AB →； (2)求B 地相对于A 地的位移．解：(1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →. 所以AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形．所以AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位移为“北偏东60°，6千米”．。

【优化方案】2017高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示应用案巩固提升 新人教A 版必修4[A 基础达标]1．已知A (2，－1)，B (3，1)，则与AB →平行且方向相反的向量a 是( ) A ．(2，1) B ．(－6，－3) C ．(－1，2)D ．(－4，－8)解析：选D.AB →＝(1，2)，向量(2，1)、(－6，－3)、(－1，2)与(1，2)不平行；(－4，－8)与(1，2)平行且方向相反．2．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选A.因为b ∥a ，所以2sin α＝cos α，所以sin αcos α＝12，所以tan α＝12.3．已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4D ．－6解析：选D.因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3，1)，a －2b ＝(x －6，4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.4．已知A ，B ，C 三点共线，且A (－3，6)，B (－5，2)，若C 点的纵坐标为6，则C 点的横坐标为( )A ．－3B ．9C ．－9D ．3解析：选A.设C (x ，6)， 因为AB →∥AC →，又AB →＝(－2，－4)，AC →＝(x ＋3，0)， 所以－2×0＋4(x ＋3)＝0. 所以x ＝－3.5．已知平面向量a ＝(x ，1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C.因为a ＝(x ，1)，b ＝(－x ，x 2)， 所以a ＋b ＝(0，1＋x 2)．因为a ＋b 的横坐标为0，纵坐标为1＋x 2>0， 所以a ＋b 平行于y 轴．6．已知向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，则实数x 的值为________．解析：因为向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知点A (1，－2)，若线段AB 的中点坐标为(3，1)，且AB →与向量a ＝(1，λ)共线，则λ＝________．解析：由题意得，点B 的坐标为(3×2－1，1×2＋2)＝(5，4)，则AB →＝(4，6)． 又AB →与a ＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，则λ＝32.答案：328．已知向量a ＝(－2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝B ．由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2. 又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0 9．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A (0，0)，B (3，1)，C (4，3)，D (1，2)，M ，N 分别为DC ，AB 的中点，求AM →，CN →的坐标，并判断AM →，CN →是否共线．解：由已知可得M (2.5，2.5)，N (1.5，0.5)， 所以AM →＝(2.5，2.5)，CN →＝(－2.5，－2.5)，又2.5×(－2.5)－2.5×(－2.5)＝0，所以AM →，CN →共线．10．设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1，3)，B (2，－2)，C (4，－1)． (1)若AB →＝CD →，求点D 的坐标；(2)设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值． 解：(1)设D (x ，y )，由AB →＝CD →，得(2，－2)－(1，3)＝(x ，y )－(4，－1)， 即(1，－5)＝(x －4，y ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y ＋1＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－6. 所以点D 的坐标为(5，－6)．(2)因为a ＝AB →＝(2，－2)－(1，3)＝(1，－5)，b ＝BC →＝(4，－1)－(2，－2)＝(2，1)，所以k a －b ＝k (1，－5)－(2，1)＝(k －2，－5k －1)，a ＋3b ＝(1，－5)＋3(2，1)＝(7，－2)．由k a －b 与a ＋3b 平行，得(k －2)×(－2)－(－5k －1)×7＝0. 所以k ＝－13.[B 能力提升]1．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( ) A ．k ＝1且c 与d 同向 B ．k ＝1且c 与d 反向 C ．k ＝－1且c 与d 同向 D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D.因为a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1，1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然，c 与d 不平行，排除A 、B ．若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1，1)，d ＝a －b ＝－(－1，1)，即c ∥d 且c 与d 反向．2．已知点A (－1，6)，B (3，0)，在直线AB 上有一点P ，且|AP →|＝13|AB →|，则点P 的坐标为________．解析：设P 点坐标为(x ，y )．当AP →＝13AB →时，则(x ＋1，y －6)＝13(4，－6)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝43，y －6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝4，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4.当AP →＝－13AB →时，同理可得，P 点的坐标为(－73，8)，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4或⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，8.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4或⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，8 3．已知四点A (x ，0)，B (2x ，1)，C (2，x )，D (6，2x )． (1)求实数x ，使两向量AB →，CD →共线；(2)当两向量AB →∥CD →时，A ，B ，C ，D 四点是否在同一条直线上？ 解：(1)AB →＝(x ，1)，CD →＝(4，x )． 因为AB →，CD →共线，所以x 2－4＝0， 即x ＝±2时，两向量AB →，CD →共线．(2)当x ＝－2时，BC →＝(6，－3)，AB →＝(－2，1)， 则AB →∥BC →，此时A ，B ，C 三点共线， 又AB →∥CD →，从而，当x ＝－2时，A ，B ，C ，D 四点在同一条直线上． 当x ＝2时，A ，B ，C ，D 四点不共线．4．(选做题)平面上有A (－2，1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC ，点E 在CD 上，且CE →＝14ED →，求E 点的坐标． 解：因为AC →＝12BC →，所以2AC →＝BC →， 所以2AC →＋CA →＝BC →＋CA →，所以AC →＝BA →.设C 点坐标为(x ，y )， 则(x ＋2，y －1)＝(－3，－3)， 所以x ＝－5，y ＝－2，所以C (－5，－2)．因为CE →＝14ED →，所以4CE →＝ED →， 所以4CE →＋4ED →＝5ED →， 所以4CD →＝5ED →.设E 点坐标为(x ′，y ′)，则4(9，－1)＝5(4－x ′，－3－y ′)．所以⎩⎪⎨⎪⎧20－5x ′＝36，－15－5y ′＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－165，y ′＝－115.所以E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，－115.。