精心推荐：抛物线与线段的交点问题

中考数学压轴题专题 抛物线与直线交点问题教学目标：1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。

2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。

3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。

教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。

2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。

教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。

讲授方法：讲授与讨论相结合 教学过程：一、抛物线与x 轴的交点问题例1：已知：抛物线322--=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。

练习：1、已知：抛物线)1(3)2(2++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。

（2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值范围。

2、已知抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式.方法总结：1、 抛物线与x 轴相交：抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交 ）（002≠=++a c bx ax2.抛物线与x 轴的交点的个数（1 △抛物线与x 轴相交（2 △抛物线与x 轴相切（3 △抛物线与x 轴相离二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点例2：求抛物线322--=x x y 与y =1的交点坐标 练习：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 如果抛物线与y =3有两个交点，求c 的取值范围。

（2） 如果对于任意x ，总有y >3，求c 的取值范围方法总结：1、抛物线与平行于x 轴的直线相交抛物线c bx ax y ++=2的图象与平行于x 轴的直线相交⎩⎨⎧=++=my c bx ax y 2新的一元二次方程m c bx ax =++22.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数（1 △抛物线与直线相交（2 △抛物线与直线相切（3 △抛物线与直线相离三：抛物线与直线的交点问题 例3：若抛物线221x y =与直线y =x +m 只有一个交点，求m 的值练习：已知:抛物线），（和点0,1-3-2A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式 方法总结：抛物线与直线相离没有交点与方程组没有解时抛物线与直线相切有一个交点与方程组有一组解时抛物线与直线相交有两个交点与时方程组有两组不同的解的解的数目来确定由的交点个数的图象与抛物线的图象一次函数⇔⇔⇔⇔⇔⇔⎩⎨⎧++=+=≠++=≠+=G l G l G l c bx ax y b kx y G a c bx ax y l k b kx y 22)0()0(例4：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 当c =-3时，求出抛物线与x 轴的交点坐标（2） 当-2<x <1时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值范围方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析 练习：1、 抛物线222-m mx x y +=与直线y =2x 交点的横坐标均为整数，且m <2,求满足要求的m 的整数值2、 已知：抛物线14-2+=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线（1）求平移后的抛物线的解析式（2）请结合图象回答，当直线y =m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值范围3、已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++，在0x =和2x =时的函数值相等。

两条直线与抛物线的交点问题
1. 如图，抛物线)3)(1(---=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，E 、F 两点关于抛物线对称轴对称，FA ，AE 交y 轴于点M ，N ，求ON-OM 的值。

2. （2016年中考24题）抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方
(1) 如图1，若P (1，－3)、B (4，0)
① 求该抛物线的解析式
② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标
(2) 如图2，已知直线P A 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，
OC
OF OE +是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由
3. 已知抛物线12
--=x y ，沿x 轴方向向右平移，平移后的抛物线C 1交y 轴于C （0，-5）
（1）求平移后，抛物线的解析式；
（2）点P 在抛物线上，P （1，y 0），如图过P 点，画直线交抛物线于E 点，交x 轴负半轴于N 点，连CE 交x 轴正半轴于M 点，若∠NEC=2∠OMC ，求E 点坐标。

4. 如图过点M(1，-1)的直线与抛物线2)1(-=x y 交于E 、F ，点N 在抛物线上且NE ∥x 轴，连FN ，试证明：直线FN 过定点，并求定点的坐标。

专题：抛物线与线段有交点时，求某一参数的取值范围涉及的主要知识点：（1）点在抛物线内满足的条件（不等式）、点在抛物线外满足的条件（不等式）。

要根据抛物线的开口方向，数形结合；（2）抛物线与直线相切满足的条件；（3）抛物线与直线联立解方程，有时会含有参数；（4）直线的平移与对称；（5）两直线垂直时，k 1×k 2=-1；及两直线平行时，k 1=k 2（6）直角坐标系中线段的中点坐标公式基本方法：多画图，数形结合思想及分类讨论思想的应用例1、已知在平面直角坐标系xOy 中，点A （0，2）、B （1，0），现将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到线段BD ，点C 为线段AB 的中点，连接CD（1）过点O 、C 、D的抛物线的解析式是 （2）若抛物线y=ax 2+x 与线段CD 有公共点，则a 的取值范围是 解析：（1）略解。

过点D 作DE ⊥x 轴，然后根据K 型图知D （3，1），由中点坐标公式得C （21，1） 易得y=-32x 2+37x （2）① 当a ＞0时，抛物线y=ax 2+x 与x 轴的交点坐标为（-a1，0）、（0，0），抛物线只可能与线段CD 有一个交点，如右图所示，所满足的条件为113321)21(022≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+⨯+⨯a a a ，解得0＜a ≤2② 当a ＜0时，抛物线y=ax 2+x 与x 轴的交点坐标为（-a1，0）、（0，0），此时抛物线与线段CD 可能有两个交点，也可能有一个交点，也可能没有交点抛物线开口向下，与线段CD 有交点时，必须首先满足一个大前提：ax 2+x=1有解，可得大前提 -41≤a ＜0 当x=21时，41a+21＜1，故抛物线只可能从C 点下方过去。

有两个交点应满足的条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤++-13912141041a a a ，解得-41＜a ≤-92有一个交点时，可能是相切，也可能不是相切。

相切时，a=-41,抛物线与线段CD 的切点为（2，1），符合题意；有一个交点时，且不相切的情形如右图所示： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++-13912141041 a a a ，解得-92＜a ＜0 综上所述，a 的取值范围是0＜a ≤2或-41≤a ＜0类题演练1、在直角坐标系中，点A （-2，0），B （-1，0），抛物线y=x 2+px+3与线段AB 有一个公共点，则p 的取值范围 是2、如图，正方形ABCD ，点A （0，3），B （1，0），设过点O ，C 的抛物线y=ax 2+bx+c ，且开口向下。

二次函数与直线、线段交点问题一、直线与二次函数的交点问题已知二次函数c bx ax y ++=2（1）y 轴与二次函数c bx ax y ++=2得交点为(0, c ). （2）与y 轴平行的直线h x =与二次函数c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）二次函数与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.二次函数与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔二次函数与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔二次函数与x 轴相切 此时二次函数为；2()y a x h =-总结完全平方形式的二次函数与x 轴只有一个交点③没有交点⇔0<∆⇔二次函数与x 轴相离.注意这种情况 当a ＞0,y 值恒＞0，当a ＜0,y值恒＜0，（4）平行于x 轴的直线与二次函数的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根. 例1 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，若方程2ax bx c ++=k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ） 若方程2ax bx c ++c=k 无实数根，则k 的取值范围 （ ） 若方程2ax bx c ++=k 相等两实数根，则k 的取值范围（ ） 解： 2ax bx c ++c=k 解的情况可以看成 直线y k = 与c bx ax y ++=2交点情况 由图像可知：1) 方程有两个不相等的实数根,即y k = 与c bx ax y ++=2有两个交点，则k ＞-3 2) 方程无实数根，即y k = 与c bx ax y ++=2无交点，则k ＜-3 3）方程有相等实数根，即y k = 与c bx ax y ++=2有一个交点，则k =-3 （5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l与G 没有交点.当直线与二次函数有两个交点时c bx ax y nkx y ++=+=2 化简 为2()0ax b k x c n +-+-=两交点横坐标为1,x 2,x 则有 1212,b k c nx x x x a a--+=-=两横坐标的距离=∣12x x - ∣()()221212124x x x x x x -=+-（6）二次函数与x 轴两交点之间的距离：若二次函数c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,两横坐标的距离=∣12x x - ∣=()()221212124x x x x x x -=+-典型考题、例2 判断有无解情况 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，1)若方程2ax bx c ++=m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围（ ） 2)若方程2ax bx c ++=m 无实数根，则m 的取值范围 （ ） 3)若方程2ax bx c ++=m 相等两实数根，则m 的取值范围（ ） 解析同例 1答案 1）m ＜2 2）m ＞2 3）m=2例3 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，讨论|ax 2＋bx ＋c |＝k (k ≠0)解的情况解：设y=|ax 2＋bx ＋c | ,则它的图像如下：|ax 2＋bx ＋c |＝k 解的情况，可以看成y=|ax 2＋bx ＋c | 与y=k 图像的交点情况 由图像可知：1） 当k ＜0，y=k 与y=|2ax bx c ++| 无交点，所以方程无解 2） 当k ＞3，y=k 与y=|2ax bx c ++| 有两个交点，所以方程有两解 3） 0＜k ＜3，y=k 与y=|2ax bx c ++|有4个交点，所以方程有4个解 4）k =3，y=k 与y=|2ax bx c ++|有3个交点，所以方程有3个解例 4 二次函数y ＝2ax bx c ++a ≠0)的图象如图所示，直线y kx n =+,则方程2()0ax b k x c n +-+-=根的情况（ ）解：2()0ax b k x c n +-+-= 解的情况可以看成二次函数y ＝2ax bx c ++与直线y kx n =+ 有无交点情况 由图可知：y ＝ax 2＋bx+c 与直线y kx n =+有两个交点，故原方程有两个不等实根 2、利用一次函数与二次函数交点横坐标关系例5 如图，二次函数y=﹣x 2+2x+3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于C ，顶点为D ，二次函数的对称轴DF 与BC 相交于点E ，与x 轴相交于点F ． （1）求线段DE 的长；（2）设过E 的直线与二次函数相交于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），试判断当|x 1﹣x 2|的值最小时，直线MN 与x 轴的位置关系，并说明理由；y kx n =+解：由二次函数223y x x =-++ 可知C(0,3) 令y=0 则223x x -++=0，解得 x=-1,x=3∴A(-1,0),B(3,0) ∴顶点D(1,4) ∴DF=4设直线BC 的解析式为y=kx+b,代入B(3,0),C(0,3)得： 3k+b=0 k=-1 b=3 解得 b=3 ∴ 解析式为：y=-x+3 当x=1时，y=2∴解析式为；y=﹣x+3， 当x=1时，y=2 ∴E(1,2) ∴EF=2∴DE=DF-EF=4-2=2（2）设直线MN 的解析式为y=kx+b ， ∵E （1，2）， ∴2=k+b ， ∴k=2﹣b ，∴直线MN 的解析式y=（2﹣b ）x+b ， ∵点M,N 的坐标是方程组 y=(2-b)x+by=-x 2+2x+3 的解 整理得 x 2-bx+b-3=0 ∴ x 1+x 2=b x 1x 2=b-321221214)(x x x x x x -+=-=)3(42--b b=8)2(2+-b∴当b=2,时21xx - 最小值为22∵b=2时，y=(2-b)+b=2 ∴直线MN//x 轴二、二次函数与线段交点问题二次函数与线段交点，由于线段是直线的一部分，所以首先考虑该线段所在的直线是否与二次函数有交点，再根据条件求值，常见考点如下： 1、 与x 轴平行的线段例6如图2y ax bx =+的对称轴为1x =与y t =在-1≤x ≤4有解，求t 的取值范围解： 2y ax bx =+ 与y=t 在-1≤x ≤4有解情况，可以看成 二次函数2y ax bx =+ 与直线y=t 在-1≤x ≤4交点情况 由图可知 当二者有交点时，-1≤t ≤8,此时2y ax bx =+ 与y=t 在-1≤x ≤4有解 2、 二次函数与y kx n =+在特定范围有解例 7：二次函数221y x bx =-+与线段的的两个端点（-1，1），（3，4）的线段只有一个交点，求b 的值解： 过设（-1，1），（3，4）两点的直线方程设为y kx b =+ 则 - -k + b =1 3k +b =4解得 34k =74b =所以线段 3744y x =+ （-1≤x ≤4）221y x bx =-+3744y x =+ 在 -1≤x ≤4 有一个解∴ 只须233(2)044x b x -+-= 在 -1≤x ≤4 有一个解即问题转化为二次函数 y=233(2)44x b x -+- 在-1≤x ≤4与x 轴有一个交点情况分两种情况：1） 抛物线与x 轴的左交点落在-1～3 之间，如图由图像可知 当 1x =-时，y ≥0 即 有1+（2b+34）-34≥0 ① 当x =3 时，y ＜0 即 有9-（2b+34）×3-34＜0 ②解①②得：b ＞12） 抛物线与x 轴的右交点落在-1～3 之间，如图由图像可知 当 1x =-时，y ＜0 即 有1+（2b+34）-34-＜0 ③ 当x =3 时，y ≥0 即 有9-（2b+34）×3-34≥0 ④解得：b ＜12-综上 b ＞1 或 b ＜12-3、图形与二次函数交点例8 已知，正方形ABCD,A(0,-4),B(1,-4),C(1,-5),D(0,-5),抛物线224y x mx m =+--(m 为常数) 顶点为M,1)抛物线经过定点坐标是 ，顶点M 的坐标（用m 的代数式表示是 ）2）若抛物线224y x mx m =+--（m 为常数)与正方形ABCD 的边有交点，求m 的取值范围(2) 因为二次函数过定点（2，0），即二次函数与x 轴交于（2，0） 当函数左交点为（2，0）时，有 -2m＞2，即m ＜-4,该二次函数与正方形无交点。

专题：抛物线与线段有交点时，求某一参数的取值范围涉及的主要知识点：（1）点在抛物线内满足的条件（不等式）、点在抛物线外满足的条件（不等式）。

要根据抛物线的开口方向，数形结合；（2）抛物线与直线相切满足的条件；（3）抛物线与直线联立解方程，有时会含有参数；（4）直线的平移与对称；（5）两直线垂直时，k1×k2=-1；及两直线平行时，k1=k2（6）直角坐标系中线段的中点坐标公式基本方法：多画图，数形结合思想及分类讨论思想的应用例1、已知在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2）、B（1，0），现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，点C为线段AB的中点，连接CD（1）过点O、C、D的抛物线的解析式是（2）若抛物线y=ax2+x与线段CD有公共点，则a的取值范围是解析：（1）略解。

过点D作DE⊥x轴，然后根据K型图知D（3，1），由中点坐标公式得C（21，1）易得y=-32x2+37x（2）①当a＞0时，抛物线y=ax2+x与x轴的交点坐标为（-a1，0）、（0，0），抛物线只可能与线段CD有一个交点，如右图所示，所满足的条件为113321)21(22≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+⨯+⨯aaaφ，解得0＜a≤2②当a＜0时，抛物线y=ax2+x与x轴的交点坐标为（-a1，0）、（0，0），此时抛物线与线段CD可能有两个交点，也可能有一个交点，也可能没有交点抛物线开口向下，与线段CD有交点时，必须首先满足一个大前提：ax2+x=1有解，可得大前提 -41≤a＜0当x=21时，41a+21＜1，故抛物线只可能从C点下方过去。

有两个交点应满足的条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤++-1391214141aaaπππ，解得-41＜a≤-92有一个交点时，可能是相切，也可能不是相切。

相切时，a=-41,抛物线与线段CD 的切点为（2，1），符合题意；有一个交点时，且不相切的情形如右图所示： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++-13912141041φπππa a a ，解得-92＜a ＜0 综上所述，a 的取值范围是0＜a ≤2或-41≤a ＜0类题演练1、在直角坐标系中，点A （-2，0），B （-1，0），抛物线y=x 2+px+3与线段AB 有一个公共点，则p 的取值范围 是2、如图，正方形ABCD ，点A （0，3），B （1，0），设过点O ，C 的抛物线y=ax 2+bx+c ，且开口向下。

1. 已知抛物线的方程为y = x^2 - 4x + 3，直线方程为y = 2x - 1，它们的交点个数为多少？A. 0B. 1C. 2（答案）D. 无穷多个2. 抛物线y = -x^2 + 6x - 8 与直线y = 0 的交点坐标是什么？A. (2, 0) 和(4, 0)（答案）B. (0, 0) 和(6, 0)C. (3, 0) 和(5, 0)D. (1, 0) 和(7, 0)3. 抛物线y = x^2 与直线y = -2x + 4 的交点的数量是？A. 0B. 1C. 2（答案）D. 34. 如果抛物线的方程为y = 2x^2 + 3x - 5，而直线为y = ax + b，使得它们有一个交点的条件是？A. 判别式D = 0（答案）B. b = 0C. a > 0D. D > 05. 抛物线y = x^2 - 5 与直线y = kx + 1 交于两点时，k的取值范围是？A. k < -1 或k > 1B. -2 < k < 2（答案）C. k = -3D. k = 06. 对于抛物线y = x^2 + 2x + 1 和直线y = -x + 1，它们的交点在第二象限吗？A. 是（答案）B. 否C. 只有一个交点D. 只有两个交点7. 抛物线y = -x^2 + 4x - 4 和直线y = 2x - 2 的交点坐标为哪个？A. (0, -2) 和(4, 6)B. (2, 0) 和(2, 2)C. (1, 0) 和(3, 0)D. (2, 0) 和(2, 2)（答案）8. 当直线y = mx + c 与抛物线y = -2x^2 + 4x + 1 交于三点时，m和c的关系应为？A. m^2 < 8（答案）B. m^2 = 8C. m^2 > 8D. c = 09. 抛物线y = x^2 + 4 与直线y = k 交于实数的条件是什么？A. k > 4B. k < 4C. k = 4（答案）D. 所有k均可10. 已知抛物线y = x^2 - 2x + 1 和直线y = 2x + 3，它们的交点的y坐标为？A. 3B. 5C. 2（答案）D. 0。

专题复习：含参的二次函数与线段交点问题自学任务单
任务1：判断抛物线与直线的交点情况
（1）动手操作：画出下面几组抛物线与直线的图象，并说明它们的交点情况。

（2）计算验证：请从计算的角度证明上面几组抛物线与直线的交点情况。

任务2：判断抛物线与线段的交点情况
（3）直观发现：若在直线上21y x =+截取一条线段AB ，且点A 为（-1，-1），点B 为（3,7），请在上面的每组图象上标出线段AB ，根据图象判断抛物线与线段AB 的交点情况。

抛物线：21y x =+与线段AB 有______个交点；
抛物线：225y x x =-+与线段AB 有______个交点；
抛物线：249y x x =-+与线段AB 有______个交点。

任务3：探究抛物线与线段的交点情况
（1）探索发现：若在直线21y x =+上截取一条线段AB ，且点A 为（-1，-1），若线段AB 与上面每组抛物线只有一个交点，请你画出满足条件的点B 的位置（三种不同位置），根据图象写出点B 的横坐标取值范围。

（2）探索发现：若在直线上截取一条线段AB ，且点A 的坐标为（3，7），若线段AB 与上面每组抛物线只有一个交点，请你画出满足条件的点B 的位置（三种不同位置），根据图象写出点B 的横坐标取值范围。

（3）归纳总结：已知抛物线的图象如下图所示，请你在下面的图象上画一条线段AB ，使得线段AB 与抛物线只有一个交点（画出所有可能的图形）。

抛物线与直线的交点问题1、 抛物线y=ax +bx+c 与直线y=m (坐标系中的水平直线)的交点问题：① 把 y=m 代入 y=ax 2+bx+c 得 ax 2+bx+c=m ，即 ax 2+bx+ (c-m ) =0此时方程的判别式△ =b 2-4a(c-m)。

△ > 0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点；△ =0时有一个交点；△ < 0时无交点。

② 特殊情形：抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0 (x 轴)的交点问题：令 y=0 ,则 ax 2+bx+c=0此时方程的判别式△ =b 2-4ac△ > 0，则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点；△ =0时有一个交点；△ < 0时无交点。

2、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题：令 ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+ (c-b ) =0此时方程的判别式△ =(b-k) 2-4a (c-b )2△ > 0，则抛物线y=ax +bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点；△ =0时有一个交点；△ < 0时无交点。

总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。

23、 抛物线y=ax +bx+c 与直线y=0 (x 轴)的交点位置问题：若a ^+bx+c=0的两根为X i 、x 2，则抛物线y=ax ?+bx+C 与x 轴的交点为(x i , 0)、(x 2, 0)① 若X i X 2>0、X i +X 2> 0,则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧② 若X i X 2>0、X i +X 2< 0,则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧③ 若X i X 2<0,则抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧2 4、 抛物线y=ax +bx+c 与直线y=0 (x 轴)的两个交点距离公式若ax +bx+c=0的两根为x i 、X 2，则抛物线y=ax +bx+c 与x 轴的两个交点(x i , 0)、(X 2, 0)的距离为, , Wb 2 —4acI X i -X 2 I = 练习i .一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0的两根是一3和i ，那么二次函数 y = ax 2+ bx + c 与x 轴的交点是 672. 已知二次函数 y = kx 2 — 7x — 7的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为()7 7B . k< — 4且 & 0C . k >— 43.若抛物线y = X 2—8 x + c 顶点在x 轴上，则c 的值等于( 7A . k> — 4 7 D . k >— 4且 k z 0 ). 4.二次函数 A . a >0 2 y = ax + bx + c 2 ,b —4 ac <0C .—4D . 16 的值恒为负值的条件是( B . a <0 , b 2—4 ac >0 C . a >0 , b — 4 ac >0 D . a <0 , b — 4 ac <0… 2 、6.若抛物线y= ( m—1) x+2mx+m+2恒在x轴上方，则m.7 •抛物线顶点C( 2，旳)，且与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程2x34—7x+ 1 =0的两根，则S^ ABC = ____ .&直线y=2x_ 1与抛物线y=x2的公共点坐标是____________________ •9、不等式X2-9>0的解集为_____________________ ;x2>2x+1的解集为________________ .10•利用二次函数的图象求一元二次方程x2+ 2x—10 = 3的根.11 .在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 A (1,—4),且过点B ( 3,0).(1)求该二次函数的解析式；(2 )将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与：轴的另一个交点的坐标.12.已知抛物线y= x2+ ax+ a—2.(1) 证明：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；(2) 求这两个交点间的距离;(用关于a的表达式来表达)(3) a取何值时，两点间的距离最小？2 -.,13 .已知抛物线y= —x + ( m —2) x+3 ( m+1 )交x轴于A (X1, 0), B ( X2, 0)两点，交y?轴正半轴于3 o oC 点，且X1<X2, I X I > I x I , OA +OB =2OC+1 .(1) 求抛物线的解析式；(2) 是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线？如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由.。

动线与图形交点个数问题之直线与几何图形例1：知识储备—动直线的讨论1. y=-x+1由 平移得到的。

2. y=2x+b 由 平移得到的。

3. y=kx+b 由 平移得到的。

例2：已知平面直角坐标系中A （-2,4）B （4,2）C （0，-2）围成三角形ABC(1)直线y=2x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围（2）直线y=x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围（3）直线y=-3x+b 与之交点个数的讨论，求相应b 取值范围练习：（2+2011-25）1.如图，在平面直角坐标系中，直线1(0)2y x b b =-+>分别交x 轴、y 轴于A B 、两点．点(40)C ，、(80)D ，，以CD 为一边在x 轴上方作矩形CDEF ，且:1:2CF CD =．设矩形CDEF 与ABO △重叠部分的面积为S ． （1）求点E 、F 的坐标；（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；（3）若在直线1(0)2y x b b =-+>上存在点Q ，使OQC ∠等于90，请直接．．写出b 的取值范围．2.已知:关于x 的一元二次方程01-m x 2m 2-mx 2=++）（(1)若此方程有实根,求m 的取值范围;(2)在(1)的条件下,且m 取最小的整数,求此时方程的两个根;(3)在(2)的前提下,二次函数1-m x 2m 2-m x y 2++=）（与x 轴有两个交点,连接这两点间的线段,并以这条线段为直径在x 轴的上方作半圆P,设直线l 的解析式为y=x+b,若直线l 与半圆P 只有两个交点时,求出b 的取值范围.动线与图形交点个数问题之抛物线与几何图形例1：知识储备—动抛物线的讨论1.y=x 2-1由 平移得到的。

2. y=(x-2)2-1由 平移得到的。

3. y=(x-m)2-1由 平移得到的。

4. y=x 2-2bx+b 2-1由 平移得到的。

例2：已知点A （1,1）B （3,1）C （3，2）D(1,2)围成四边形ABCD（1）抛物线y=1/2(x-m)2与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围(2) 抛物线y=2(x-m)2与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围（3）抛物线y=(x-m)2与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围例3：已知平面直角坐标系中A （-2,4）B （4,2）C （0，-2）围成三角形ABC ，抛物线y=(x-m)2与之交点个数的讨论，求相应m 取值范围练习：1.（抛与直角梯形）已知抛物线y=x 2-4x+3和直角梯形OBPC ，其中B(3,0) P(2,3) C(0,3)。