抛物线与直线交点问题

抛物线与直线的交点问题1、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 〔坐标系中的水平直线〕的交点问题：①把y=m 代入y=ax 2+bx+c 得ax 2+bx+c=m ，即ax 2+bx+〔c-m 〕=0此时方程的判别式△=b 2-4a(c-m)。

△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。

②特殊情形：抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0〔x 轴〕的交点问题：令y=0，那么ax 2+bx+c=0此时方程的判别式△=b 2-4ac△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。

2、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题：令ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+〔c-b 〕=0此时方程的判别式△=(b-k)2-4a 〔c-b 〕△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。

总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。

3、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0〔x 轴〕的交点位置问题：假设ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为〔x 1，0〕、〔x 2，0〕① 假设x 1x 2＞0、x 1+x 2＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧② 假设x 1x 2＞0、x 1+x 2＜0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧③ 假设x 1x 2＜0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧4、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0〔x 轴〕的两个交点距离公式假设ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点〔x 1，0〕、〔x 2，0〕的距离为︱x 1-x 2︱=aac b 42 练习1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________．2．二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，那么k 的取值范围为( )A ．k >－47B ．k <－47且k ≠0C ．k ≥－47D ．k ≥－47且k ≠03．假设抛物线y ＝x 2－８x ＋c 顶点在x 轴上，那么c 的值等于( )．A ．４B ．８C ．－４D ．１６4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒为负值的条件是( )．A ．a ＞０, b 2－４ac ＜０B ．a ＜０, b 2－４ac ＞０C ．a ＞０, b 2－４ac ＞０D ．a ＜０, b 2－４ac ＜０5.直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是______6．假设抛物线y=〔m－1〕x2+2mx+m+2恒在x轴上方，那么m_______．7．抛物线顶点C(２,)，且与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程2x2－7x＋1＝０的两根，那么S△ABC＝．8．直线y=2x1与抛物线y=x2的公共点坐标是______________．9、不等式x2-9＞０的解集为_________________；x2＞2x+1的解集为_____________.10．利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的根．11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A〔1，－4〕，且过点B〔3,0〕．〔1〕求该二次函数的解析式；〔2〕将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．12．抛物线y＝x2＋ax＋a－2．(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)求这两个交点间的距离;(用关于a的表达式来表达)(3)a取何值时,两点间的距离最小?13．抛物线y=－x2+〔m－2〕x+3〔m+1〕交x轴于A〔x1，0〕，B〔x2，0〕两点，交y•轴正半轴于C点，且x1<x2，│x1│>│x2│，OA2+OB2=2OC+1．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线？如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．。

直线与抛物线的交点问题一、抛物线与坐标轴的交点1．抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于A 、B （A 在B 左边），且4AB =，求A 、B 的坐标．【答案】可得对称轴1x =-，因为4AB =，所以()30A -，，()10B ， 2．抛物线226y x x m =++与x 轴交于A 、B ，且2AB =，求m 的值． 【答案】可得对称轴32x =-，因为2AB =，所以A 、B 点的坐标是502⎛⎫- ⎪⎝⎭，，102⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代入可得1302m -+=，所以52m = 3．已知抛物线277y kx x =--的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．【答案】依题意得492800k k ⎧∆=+⎨≠⎩≥，解得74k -≥且0k ≠ 一、直线与抛物线的交点4．直线23y x =+与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求AB 的长．【答案】联立223y x y x =+⎧⎨=⎩，可得2230x x --=，所以()11A -，，()39B ，AB 5．已知直线l ：23y x =-与抛物线C ：215322y x x =++． （1）求证：抛物线C 与直线l 无交点．（2）若与直线l 平行的直线与抛物线C 只有一个公共点P ，求P 点的坐标．【答案】（1）联立21532223y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=-⎩，可得2111022x x ++=，100∆=-＜ 所以抛物线C 与直线l 无交点（2）设与直线l 平行的直线解析式为：23y x k =-+联立21532223y x x y x k⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，210k ∆=-因为与抛物线C 只有一个公共点∴2100k -=，5k =代入得211022x x ++= ∴1x =-∴()10P -，6．已知抛物线2y x h =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OC AB =．（1）求此抛物线的解析式；（2）直线2y x b =+被抛物线截得线段长为230，求b 的值．【答案】 解：（1）如图由题意，OA OB =， OC AB =，12OA OB h ∴==-， ∴点B 坐标1(2h -，0)， 把点B 坐标代入2y x h =+得到，2104h h =+，解得4h =-或0（舍弃）， ∴抛物线的解析式为24y x =-．（2）设直线2y x b =+与抛物线24y x =-的交点为1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ． 由242y x y x b⎧=-⎨=+⎩消去y 得到2240x x b ---=， 122x x ∴+=，124x x b =--，由此可得1242y y b +=+，21216y y b =-， 22121212()()4420x x x x x x b ∴-=+-=+， 同理可得()()()2222121212()4424161680y y y y y y b b b -=+-=+--=+， 230EF =，4201680120b b ∴+++=，1b ∴=．。

专题：直线与抛物线的交点问题1、抛物线322--=x x y 与x 轴交点是____________，与y 轴交点坐标是________________；2、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是_______；3、假设关于x 的函数12y 2-+=x kx与x 轴仅有一个公共点，那么实数k 的值为__________．例1：求直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点坐标。

例2：抛物线13212-+=x x y 和直线k x y -= 〔1〕当k 为何值时，抛物线与直线有两个公共点？〔2〕当k 为何值时，抛物线与直线有一个公共点？〔3〕当k 为何值时，抛物线与直线没有公共点？练习：抛物线22+-=x x y 与直线b x y +=-2只有一个交点，求直线与抛物线的交点坐标。

例3：二次函数y=x 2+bx+c 的图象如下图，其顶点坐标为M 〔1，﹣4〕． 〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕将二次函数的图象在x 轴下方的局部沿x 轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象答复：当直线y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．练习1:关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．〔1〕求k 的值；〔2〕当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的局部沿x 轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象答复：当直线y=x+b 〔b ＜k 〕与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．练习2:抛物线322--=x x y 在自变量0>x 的局部图像为G ，直线l 的解析式为()52-+=x k y ，当直线l 与图像G 有两个交点时，求K 的取值范围。

抛物线与直线型的交点个数问题专题一、引入：（1）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1只有一个公共点，则a 的取值范围是 ；（2）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1只有两个公共点，则a 的取值范围是 ；（3）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1没有公共点，则a 的取值范围是 ；二、问题：例1．如图，在平面直角坐标系中，点B （38，0）和点D （4，4），抛物线y=ax 2-(2a+1)x(a>0) （1）试判断抛物线与直线DB 是否有公共点？（2）抛物线与线段DB 是否有公共点？（3）过点D 作DC ⊥x 轴于点C ，再分别过点B 和点D 作x 轴和y 轴的垂线相交于点A ，抛物线与矩形ABCD 有公共点时，求a 的取值范围。

yxDB O例2（2014年中考题改编）在平面直角坐标系中，已知线段OD 的端点（3，4），抛物线x a t ax y )41(2-+=经过点C （4，1），若此时抛物线与线段OD 只有唯一的公共点O ，求a 的取值范围。

三、作业1.（2015西陵期末）在平面直角坐标系中，梯形ABCD 的顶点A （-5，0）和B （-1，3），且BC ∥AO ，若过点A ，O 两点的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与线段AB 只有唯一公共点A ，求a 的取值范围。

2.（2009年中考题）已知：直角梯形OABC 的四个顶点是O (0，0)，A (32，1)， B (s ，t )，C (72，0)，抛物线y =x 2＋mx －m 的顶点P 是直角梯形OABC 内部或边上的一个动点，m 为常数．(1)求s 与t 的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形OABC ； (2)当抛物线y =x 2＋mx －m 与直角梯形OABC 的边AB 相交时，求m 的取值范围．3.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+bx+c （b ，c 为常数）的图象与y 轴交于点B 。

用通法解决抛物线与直线、射线、线段的交点问题 抛物线c bx ax y ++=2与直线（射线或线段）n mx y +=的交点问题在中考、高考都很受命题人员的青睐，但学生面对这类问题常常犯考虑不周的错误。

下面笔者通过实例来说明解决这类问题的通法。

【例1】已知抛物线12-+-=mx x y 和点A （3，0），B （0，3），则当抛物线与线段AB 有两个不同交点时，求m 的取值范围。

分析思路：易得线段AB 的解析式为3+-=x y ，“抛物线与线段AB 有两个不同交点”实际可转化为“⎩⎨⎧+-=-+-=312x y mx x y 所对一元二次方程0412=++-x )m (x 在30≤≤x 内有两个不等根”来解决，进而转化为抛物线412++-=x )m (x y 在30≤≤x 与x 轴有两个交点，于是有：[注])(f 3表示当3=x 时412++-=x )m (x y 的值。

小结：抛物线与线段的交点问题，就是一元二次方程在给定范围内的根的个数问题，主要从端值、判别式和对称轴等方面来把握控制点，这就是解决“抛物线与线段的交点问题”的通法。

【例2】已知抛物线22++=mx x y 与经过A （0，1），B （2，3）两点的线段AB 有公共点，求m 的取值范围。

分析思路：易得线段AB 的解析式为1+=x y ，“抛物线与线段AB 有两个不同交点”实际可转化为“⎩⎨⎧+=++=122x y mx x y 所对一元二次方程011-2=++x )m (x 在20≤≤x 内有两实根”来解决，进而转化为“抛物线-在20≤≤x 与x 轴有交点”，于是有：x O y B A ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<--<≥≥2210002m )(f ∆或02≤)(f ，进而得1-≤m 。

【参考题目】（2018•湖州）在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线22+-=x ax y （a ≠0）与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤﹣1或41≤a ＜31 B ．41≤a ＜31 C ．a ≤41或a ＞31 D ．a ≤﹣1或a ≥41 选A 。

直线和抛物线的位置关系1.直线与抛物线的位置关系：（1）位置关系的判定：联立直线:l y kx m =+和抛物线22(0)y px p =>消y 整理得：2222()0k x km p x m +-+=当0a ≠时0∆>⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点0∆=⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点0∆<⇔直线与抛物线相离，没有公共交点当0a =时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切(2)若直线与抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长AB =AB = 2.焦点弦问题： 设过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点(,0)2p F 的直线与抛物线交于),(),,(1111y x B y x A ， 直线与的斜率分别为21,k k ，直线的倾斜角为，则有 ①221p y y -=；②4221p x x =；③421-=k k ；④α221sin 2p p x x AB =++=， ⑤αcos 1-=p FA ，αcos 1+=p FB ；⑥112AF BF p+=， ⑦过,A B 两点做准线的垂线，垂足分别为,M N ,则090MFN ∠=, ⑧通径P AB 2=；⑨以弦AB 长为直径的圆总与准线相切题型一：交点个数问题例1. 抛物线C:x 4y 2=，直线L 过点P(0,1)， 若L 与C 只有一个公共点，求直线L 的方程。

变式练习：已知直线l ：1y kx =+和抛物线28y x =（1）若直线l 与抛物线有两个公共点，求k 的取值范围（2）若直线l 与抛物线只有一个公共点，求k 的取值范围（3）若直线l 与抛物线没有公共点，求k 的取值范围题型二：弦长问题例2.过抛物线x 2y 2=的焦点作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B 两点，则线段AB 的长是多少？变式练习：已知抛物线x y 42=截直线b x y +=2所得的弦AB 的长为53，P 是其对称轴上一点，若S △PAB =39，求P 点的坐标。