抛物线与直线交点问题经典讲义教案

高三一轮复习之直线与抛物线（第一课时）——直线与抛物线相交问题的研究说课稿各位专家，各位老师：大家好！我说课的课题是高三一轮复习课《直线与抛物线》第一课时，我想通过这节课同时表达一种教学理念——关注学生发展，构建有效课堂。

1、说教材解析几何是中学数学的核心内容之一，根据《2011年浙江省普通高考考试说明（文科）》所列数学考试内容的要求，能解决直线与抛物线的位置关系等问题。

鉴于它的重要地位，直线与抛物线这块内容的复习我分成三个课时来完成：第一课时研究直线与抛物线相交问题时是用设直线方程，求交点坐标或者是用韦达定理的方法来解决；第二课时研究直线与抛物线相交问题时用先设点的坐标（不设直线方程），然后利用三点共线斜率相等，代换的方法来解决；第三课时主要研究直线与抛物线问题中所产生的最值问题。

本节课内容是《直线与抛物线》第一课时,着重是教会学生用坐标法研究直线与抛物线位置关系中的直线与抛物线相交问题，应用方程联立，代换，韦达定理的方法，最终能够自主解决重庆的关于直线与抛物线的高考题。

在教学过程中，让学生体会方程思想、等价转化、数形结合等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。

2、说目标学情分析：在此之前,学生已复习了直线的基本知识，椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质及直线与圆的位置关系,对直线和抛物线的位置关系有了一定的了解，但缺乏综合性问题的“实战”经验。

根据以上探讨，确定本节课的目标及达重难点如下：知识与技能目标：①会用焦点弦公式求过抛物线焦点的弦长。

②会用弦长公式解有关弦长的简单问题。

③能够归纳直线与抛物线的一般解题步骤，通过练习，提高运算能力。

过程与方法目标：①经历从三个熟悉的题型到高考题的蜕变，体会具体方程与一般方程在解法上的区别与联系，从具体到一般的数学本质。

②通过求解的过程，体会转化与化归，分类讨论，数形结合的数学思想方法。

情感态度价值观目标：通过对斜率是否存在的分类讨论，培养学生形成扎实严谨的科学作风 重点：通过例题及练习，归纳出直线与抛物线的一般解题步骤难点：体会解析几何中设而不求，整体代换的解题方法关键：从变式到高考题的转化3、 说教法本节课采用让学生动手实践、自主探究、合作交流及教师启发引导的教学方法。

直线与抛物线的位置关系教案一、教学目标：知识与技能：1. 让学生掌握直线与抛物线的位置关系，能够判断直线与抛物线的位置；2. 学会利用数学知识解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。

过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳直线与抛物线的位置关系；2. 利用数形结合的方法，直观地展示直线与抛物线的交点情况。

情感态度价值观：1. 培养学生的团队协作精神，让学生在合作中学习，提高学习兴趣；2. 培养学生勇于探究、积极思考的科学精神。

二、教学重点与难点：重点：1. 直线与抛物线的位置关系的判断；2. 利用数形结合方法分析直线与抛物线的位置关系。

难点：1. 对直线与抛物线位置关系的理解；2. 如何在实际问题中应用直线与抛物线的位置关系。

三、教学准备：教师准备：1. 教学PPT；2. 相关例题及练习题；3. 数学软件或板书。

学生准备：1. 课本；2. 笔记本；3. 草稿纸。

四、教学过程：1. 导入新课：利用PPT展示直线与抛物线的图像，引导学生观察并思考它们之间的位置关系。

2. 知识讲解：讲解直线与抛物线的位置关系，包括相交、相切、平行等情况，并通过实例进行解释。

3. 例题解析：利用数学软件或板书，展示典型例题，引导学生分析解题思路，总结规律。

4. 课堂练习：让学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。

5. 总结归纳：对本节课的内容进行总结，强调直线与抛物线位置关系的判断方法及应用。

五、课后作业：1. 完成课后练习题；2. 结合生活实际，寻找直线与抛物线的位置关系应用实例，下节课分享。

注意事项：1. 注重学生个体差异，因材施教；2. 鼓励学生提问，充分调动学生的积极性；3. 课堂练习环节，关注学生的解题过程，培养学生的思维能力。

六、教学拓展：1. 分析其他类型的曲线（如圆、双曲线等）与直线的position relationship；2. 探讨直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用，如物理中的运动轨迹问题，工程中的优化问题等；3. 利用数学软件，让学生自己尝试绘制不同位置关系的直线与抛物线，加深对知识的理解。

直线与抛物线的交点问题探究
【授课班级】9年级A班
【执教者】叶嘉眉
【课程分析】《直线与抛物线的交点问题探究》是义务教育教科书《数学》（北师大版九年级下抛物线章节中的适应学情的阶段专题研究课。

中考中该部分内容是常规常考题型，所以有必要进行系统研究归纳。

同时交点问题的深度研究又对后面有关抛物线中三角形面积等问题打下坚实基础。

本节内容是在学生学习了抛物线基本性质、一次函数相关知识的基础上进行的，它既是对前面所学知识的总结与归纳，同时也是对这些知识的拓展与延伸。

【学情分析】所教A班基础较为薄弱，数学思维较弱，学生对二次函数的理解不深刻，尤其是对函数图像认识较为肤浅，不能有效的将函数图像和数之间结合，对函数与方程的关系理解更不到位，本节教学由浅入深，由特殊到一般的提出问题，由形到数进行转化，引导学生自主探究、合作交流，观察、思考、讨论来解决问题。

【教学目标】
1. 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图像与函数解析式之间的联系。

2、理解图像交点与方程解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养数形结合思想。

3、通过培养学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。

【学习重点】1、熟练掌握抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的判定条件。

2、掌握抛物线与直线交点求解方式。

【学习难点】理解方程和函数之间关系，掌握数形结合思想。

【问题群设置】
1、主问题：直线与抛物线的交点问题
2、问题群
问题一：抛物线与直线的交点个数是由什么决定的？
问题二：抛物线与直线的交点坐标怎么求？
板书设计：直线与抛物线的交点问题探究
1、交点个数（△）
2、求交点（联立方程组）。

《直线与抛物线的位置关系》教学设计
《直线与抛物线的位置关系》教学设计
一．教学目标
1. 掌握抛物线的定义
2. 了解抛物线的特点：抛物线的性质、识别抛物线的方法
3. 掌握抛物线与直线位置关系，间接联系条件概率
二．教学准备
1. 白板，粉笔
2. 激励故事/简答题
3. 图片和例题
三．教学步骤
（一）引入
1. 播放激励性故事，引起学生对直线与抛物线的兴趣。

2. 设置简答问题，让学生思考直线与抛物线的关系，启发学生思维。

（二）快速拓展
1. 定义抛物线，并介绍抛物线的特点：抛物线的性质、识别抛物线的方法等。

2. 出示图片，解释抛物线与直线的位置关系：直线交抛物线两次，有两个不同的焦点；抛物线有唯一的轴对称性，其实现此轴为中轴线；两个焦点到中轴线的距离相等，为直线的焦点距。

（三）深度应用
1. 针对存在的问题，出示例题，通过研究解答，进一步深入探讨抛物线与直线位置关系的内容。

2. 邀请学生回答问题，让学生认识到解决问题的过程，加深对位置关系的理解。

（四）归纳总结
1. 回顾本节课学习内容，并总结抛物线与直线之间位置关系。

2. 介绍抛物线与条件概率的间接联系，强化对本节内容的理解加深认识。

四．教学反思
本节课学习内容比较复杂，时间较紧张，未能充分挖掘学生的潜力，希望能给学生更多的思考空间，让学生能更好的理解抛物线与条件概率的联系。

抛物线的简单几何性质教学目标1、掌握直线和抛物线的几种位置关系及判断方法2、掌握抛物线的弦，特别是焦点弦的有关问题的处理3、提高学生分析问题解决问题的能力教学重点直线与抛物线的位置关系教学难点教学过程教学内容1、 直线和抛物线的位置关系由方程组的解的情况判断，注意到平行于对称轴的直线与抛物线只有一个交点，但此时直线与抛物线相交。

2、典型例题例1、 已知直线L 过点A （123，-）且与抛物线x y 22=只有一个公共点，求直线L 的方程。

例2、 以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线，截直线12+=x y 所得的弦长为15，求抛物线的方程。

例3、 在抛物线24x y =上求一点P ，使得P 点到直线y=4x-5的距离最短，并求出最短距离。

例4、 已知抛物线)022>=p px y （的一条焦点弦被焦点分成长为m ，n 的两段，求证：pn m 211=+ 例5、 已知正方形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线y 2=x 上，C 、D 在直线y=x+4上，求正方形的边长。

1、若直线y=kx+1与抛物线y 2=x 仅有一个公共点，则k 的值为 ( ) A.41 B. 0或41C.0或-43D. 41或-43 2、在抛物线y=x 2上，到直线y=3x-1的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1）B （3，3）C （4323，）D （4121，）3、抛物线y 2=4x 关于直线x+y=0对称的抛物线方程是 （ ）A ．x 2=4yB ．y 2=-4xC ．y=4x 2D ．x 2=-4y4、动点M 以每秒2长度单位的速度沿直线l ：y=x-2移动，则M 穿过抛物线y 2=4x 的内部需要的时间是 （ ）5、抛物线y 2=2x 中被点A （1，1）平分的弦所在的直线的方程是6、已知抛物线y 2=4x 的一条过焦点的弦，被焦点分为长度是m ，n 的两部分，则nm 11 =例6、 7、若直线l ：y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，且AB 的中点为M （2，y 0），求y 0和弦AB 的长。

直线与抛物线的位置关系教案一、教学目标：知识与技能：1. 理解直线与抛物线的概念及其性质；2. 掌握直线与抛物线的交点求法；3. 能够判断直线与抛物线的位置关系。

过程与方法：1. 通过观察、分析、归纳直线与抛物线的位置关系；2. 利用数形结合的方法，求解直线与抛物线的交点；3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

情感态度价值观：1. 激发学生对数学的兴趣和好奇心；2. 培养学生的团队合作精神；3. 让学生感受数学在生活中的应用。

二、教学重难点：重点：直线与抛物线的概念及其性质，直线与抛物线的交点求法。

难点：判断直线与抛物线的位置关系，解决实际问题。

三、教学准备：教师准备：教学课件、例题、练习题、黑板。

学生准备：笔记本、笔、数学书。

四、教学过程：1. 导入：引导学生回顾直线和抛物线的基本概念和性质。

2. 新课讲解：讲解直线与抛物线的交点求法，举例说明。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用直线与抛物线的位置关系解决问题。

4. 课堂练习：学生独立完成练习题，教师解答疑问。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用。

五、课后作业：1. 完成练习题：要求学生独立完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 研究性问题：鼓励学生探索直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用，如：优化路线、最大/最小值问题等。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得和思路，培养团队合作精神。

六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。

2. 练习完成情况：检查学生课后练习的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。

3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括思考问题的深度、团队合作能力等。

七、教学反思：教师在课后应对本节课的教学效果进行反思，分析学生的反馈，调整教学方法和策略，以提高教学效果。

关注学生的学习进度和需求，针对性地进行辅导。

直线与抛物线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与抛物线的交点情况；2. 学会利用数学方法判断直线与抛物线的位置关系；3. 能够运用直线与抛物线的位置关系解决实际问题。

教学重点：1. 直线与抛物线的交点情况；2. 直线与抛物线的位置关系的判断方法。

教学难点：1. 直线与抛物线的交点坐标的求解；2. 直线与抛物线的位置关系的判断方法的运用。

教学准备：1. 教学课件；2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾直线与抛物线的基本概念；2. 提问：直线与抛物线的位置关系有哪些？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解直线与抛物线的交点情况，如图示；2. 讲解直线与抛物线的位置关系的判断方法，如图示。

三、案例分析（10分钟）1. 给出案例，让学生判断直线与抛物线的位置关系；2. 引导学生思考如何求解直线与抛物线的交点坐标。

四、课堂练习（10分钟）1. 让学生完成练习题，巩固所学知识；2. 解答学生疑问。

五、总结与拓展（5分钟）1. 总结直线与抛物线的位置关系及其判断方法；2. 提出拓展问题，引导学生思考如何运用直线与抛物线的位置关系解决实际问题。

教学反思：本节课通过讲解、案例分析和练习，使学生掌握了直线与抛物线的位置关系及其判断方法。

在教学过程中，要注意引导学生思考，激发学生的学习兴趣。

通过拓展问题，培养学生的实际问题解决能力。

六、实例解析（15分钟）1. 通过具体的直线和抛物线图形，分析它们的交点情况；2. 举例说明如何利用数学方法判断直线与抛物线的位置关系。

七、练习与巩固（10分钟）1. 学生独立完成练习题，巩固对直线与抛物线位置关系的理解；2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和分析。

八、直线与抛物线的位置关系在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍直线与抛物线位置关系在实际问题中的应用实例；2. 引导学生学会如何将实际问题转化为直线与抛物线的位置关系问题。

九、小组讨论与分享（10分钟）1. 学生分组讨论直线与抛物线位置关系的问题；2. 每组选取一个代表分享讨论成果。

第7节 抛物线【最新考纲】 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.【高考会这样考】 1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系．要 点 梳 理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质[友情提示]1.通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2，也称为抛物线的焦半径.基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.以x ＝1为准线的抛物线的标准方程为( ) A .y 2＝2xB .y 2＝－2xC .y 2＝4xD .y 2＝－4x解析 由准线x ＝1知，抛物线方程为： y 2＝－2px (p >0)且p2＝1，p ＝2，∴抛物线的方程为y 2＝－4x . 答案 D3.已知方程y 2＝4x 表示抛物线，且该抛物线的焦点到直线x ＝m 的距离为4，则m 的值为( ) A .5 B .－3或5 C .－2或6D .6解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，它与直线x ＝m 的距离为d ＝|m －1|＝4，∴m ＝－3或5，故选B. 答案 B4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________.解析 很明显点P 在第三象限，所以抛物线的焦点可能在x 轴负半轴上或y 轴负半轴上. 当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p ＞0)，把点P (－2，－4)的坐标代入得(－4)2＝－2p ×(－2)，解得p ＝4，此时抛物线的标准方程为y 2＝－8x ；当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)的坐标代入得(－2)2＝－2p ×(－4)，解得p ＝12，此时抛物线的标准方程为x 2＝－y . 综上可知，抛物线的标准方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y5.已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ＜0或0＜k ≤1，因此k 的取值范围是[－1，1]. 答案 [－1，1]错误!题型分类 深度解析考点一 抛物线的定义及应用【例1】 (1)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点D 到y 轴的距离为( ) A.34B .1C.54D.74(2)若抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，则|P A |＋|PF |取最小值时点P 的坐标为________.解析 (1)因为抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14.如图所示，过点A ，B ，D 分别作直线x ＝－14的垂线，垂足分别为G ，E ，M ，因为|AF |＋|BF |＝3，根据抛物线的定义，|AG |＝|AF |，|BE |＝|BF |，所以|AG |＋|BE |＝3，所以|MD |＝|BE |＋|AG |2＝32，即线段AB 的中点D 到y 轴的距离为32－14＝54.(2)将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6.∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图.设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2，2).答案 (1)C (2)(2，2)规律方法 应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝|x 0|＋p 2或|PF |＝|y 0|＋p2. 【变式练习1】 (1)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.(2)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 (1)设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .(2)如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ， ∴PM ∥OF .由题意知，F (2，0)，|FO |＝|AO |＝2. ∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6. 答案 (1)y 2＝4x (2)6考点二 抛物线的标准方程及其性质【例2】 (1)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A .x 2＝833yB .x 2＝1633yC .x 2＝8yD .x 2＝16y(2)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A .2B .4C .6D .8解析 (1)∵x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴b a ＝ 3.x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，即y ＝±3x .由题意得p 21＋（3）2＝2，解得p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .(2)不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2(r >0)， ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2， ∴不妨设A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5，∵点A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴16p 2＋8＝p 24＋5，解得p ＝4(负值舍去)， 故C 的焦点到准线的距离为4. 答案 (1)D (2)B规律方法 1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【变式练习2】 (1)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为________.(2)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________.解析 (1)设A ，B 在准线上的射影分别为A 1，B 1， 由于|BC |＝2|BF |＝2|BB 1|，则直线的斜率为3， 故|AC |＝2|AA 1|＝6，从而|BF |＝1，|AB |＝4，故p |AA 1|＝|CF ||AC |＝12，即p ＝32，从而抛物线的方程为y 2＝3x .(2)如图，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，所以点A 的横坐标为2，将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标为y ＝22，所以A (2，22)，所以直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，联立直线与抛物线的方程⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝22，由图知B ⎝⎛⎭⎫12，－2，所以S △AOB ＝12×1×|y A －y B |＝322. 答案 (1)y 2＝3x (2)322考点三 直线与抛物线的位置关系(多维探究) 命题角度1 直线与抛物线的公共点(交点)问题【例3－1】 在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t2p ，t ，故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p ，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp (y －t ). 代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点. 命题角度2 与抛物线弦长(中点)有关的问题【例3－2】 已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝⎛⎭⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解 把P (1，1)代入y 2＝2px ，得p ＝12， 所以抛物线C 的方程为y 2＝x ， 焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14.(2)证明 当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN (也就是直线l )斜率存在且不为零.由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x ，消去y 得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0. 考虑Δ＝(4k －4)2－4×4k 2＝16(1－2k )，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k 2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1). 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2.因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2 ＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k2k2x 2＝0. 所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点.规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【变式练习3】 已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A .16B .14C .12D .10解析 抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则l 2直线的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k(x －1).由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －1），消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.同理得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16. 当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号. 故|AB |＋|DE |的最小值为16. 答案 A课后练习A 组(时间：40分钟)一、选择题1.若抛物线y ＝ax 2的焦点坐标是(0，1)，则a 等于( ) A .1B.12C .2D.14解析 因为抛物线的标准方程为x 2＝1a y ， 所以其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，则有14a ＝1，解得a ＝14. 答案 D2.设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12B .1C.32D .2解析 由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由PF ⊥x 轴知，|PF |＝2，所以P 点的坐标为(1，2)，代入曲线y ＝kx (k >0)得k ＝2. 答案 D3.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( ) A .9B .8C .7D .6解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.答案 B4.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|F A |＝3，则直线F A 的倾斜角为( ) A.π3B.π4C.π3或2π3D.π4或3π4解析 如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|F A |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12， ∴∠EAF ＝π3，即直线F A 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线F A 的倾斜角为2π3. 答案 C5.已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值为( )A .12B .24C .16D .32解析 当直线的斜率不存在时，其方程为x ＝4，由⎩⎨⎧x ＝4，y 2＝4x ，得y 1＝－4，y 2＝4，∴y 21＋y 22＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝k （x －4），得ky 2－4y －16k＝0，∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32＞32，综上可知，y 21＋y 22≥32.∴y 21＋y 22的最小值为32.答案 D 二、填空题6.圆(x ＋1)2＋y 2＝1的圆心是抛物线y 2＝px (p <0)的焦点，则p ＝________. 解析 由题意知圆心为(－1，0)，则p4＝－1，解得p ＝－4.答案 －47.已知抛物线C ：y 2＝8x ，焦点为F ，点P (0，4)，点A 在抛物线上，当点A 到抛物线准线l 的距离与点A 到点P 的距离之和最小时，延长AF 交抛物线于点B ，则△AOB 的面积为________.解析 F (2，0)，设A 在抛物线准线上的投影为A ′， 由抛物线的定义知，|AA ′|＝|AF |，则点A 到点P (0，4)的距离与A 到该抛物线准线的距离之和d ＝|AP |＋|AF |≥|PF |＝25，当F ，A ，P 三点共线时d 取得最小值，此时直线AB 的斜率为－2，方程为y ＝－2(x －2)，即x ＝－y 2＋2，代入抛物线C ：y 2＝8x ，可得y 2＋4y －16＝0，解得y ＝－2－25或－2＋2 5.∴△AOB 的面积为12×2×|(－2－25)－(－2＋25)|＝4 5.答案 4 58.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x 2＝－2py (p ＞0).由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米.答案 2 6三、解答题9.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且|OP |＝|PB |，求△F AB 的面积.解 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p ×8，∴2p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝8x .(2)直线l 2与l 1垂直，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x 轴的交点为M .由⎩⎨⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m >0，∴m >－2.y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，∴x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0，∴m ＝8或m ＝0(舍)，∴直线l 2：x ＝y ＋8，M (8，0).故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·|FM |·|y 1－y 2|＝3（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝24 5.10.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4.于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2. 设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1).设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.B 组(时间：20分钟)11.已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于点M (M 在第一象限)，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316B.38C.233D.433解析 由抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)得x 2＝2py (p >0)，所以抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2. 由x 23－y 2＝1得a ＝3，b ＝1，c ＝2.所以双曲线的右焦点为(2，0). 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为y －0p 2－0＝x －20－2.即px ＋4y －2p ＝0.①设M ⎝⎛⎭⎫x 0，x 202p (x 0>0)，则C 1在点M 处的切线的斜率为x 0p . 由题意可知x 0p ＝33，解得x 0＝33p ，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33p ，p 6， 把M 点的坐标代入①得3p 23＋23p －2p ＝0.解得p ＝433.答案 D12.已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________.解析 如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案 655－1 13.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24； (2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.证明 (1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0.由题意可设直线方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2（x 1＋x 2）＋p 24.因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式， 得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2（|AB |－p ）＋p 24＝2p (定值).(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，分别过A ，B 作准线的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线的垂线，垂足为N ， 则|MN |＝12(|AC |＋|BD |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |. 所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.。

请利用图象直接写出实数k 的取值范围．
3.挑战中考压轴题（2012北京中考23题） 已知二次函数23
(1)2(2)2
y t x t x =++++
在0x =和2x =时的函数值相等．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点(3)A m -，，求m 和k 的值； （3）设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个
单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象
G 有公共点时，n 的取
值范围．
板书设计
课题 探究直线与抛物线的交点问题
1. 形 数 例题中对函数图象的分析示意图 函数图象的 方程组的解的问题
交点问题
1. 解题策略：明确动直线与抛物线；
动手操作，确定临界时刻——形； 用数解形，求出临界时刻——数。

直线与抛物线的交点问题在数学中，直线和抛物线是两种常见的图形，它们有着不同的性质和特点。

当直线与抛物线相交时，我们可以求解它们的交点坐标，从而得到它们的交点位置。

本文将讨论直线与抛物线的交点问题，并介绍如何求解交点坐标。

一、直线和抛物线的定义直线是两个不同点之间的最短曲线，它的特点是任意两点都在同一直线上。

直线可以由方程 y = kx + b 表示，其中 k 表示直线的斜率，b 表示直线在 y 轴上的截距。

抛物线是一种平面曲线，它的特点是对称和连续。

抛物线可以由方程 y = ax^2 + bx + c 表示，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

二、直线与抛物线的交点求解当直线与抛物线相交时，它们在交点处的坐标满足直线和抛物线的方程。

我们可以通过联立两个方程，求解交点的坐标。

以直线 y = kx + b 和抛物线 y = ax^2 + bx + c 为例，我们将它们联立：kx + b = ax^2 + bx + c将方程整理为标准形式：ax^2 + (b-k)x + (c-b) = 0这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来求解。

根据二次方程求根公式，我们有：x = (-b+k±√((b-k)^2-4a(c-b)))/(2a)其中，±表示两个解，分别对应交点的 x 坐标。

将求得的 x 坐标带入直线方程，我们可以得到交点的 y 坐标。

三、交点的分类讨论根据二次方程的解的性质，直线与抛物线的交点有以下几种情况：1. 交点个数为 0：当二次方程无解时，直线与抛物线没有交点。

这说明直线与抛物线没有公共点，它们是分离的。

2. 交点个数为 1：当二次方程有且只有一个解时，直线与抛物线有且只有一个交点。

这说明直线与抛物线相切于交点处。

3. 交点个数为 2：当二次方程有两个不同的解时，直线与抛物线有两个交点。

这说明直线与抛物线相交于两个不同的点。

四、实例分析下面通过一个实例来具体说明直线与抛物线的交点求解方法。

直线与抛物线的位置关系教案第一章：直线与抛物线的定义及性质一、教学目标：1. 了解直线的定义及其性质。

2. 了解抛物线的定义及其性质。

3. 掌握直线和抛物线的图形特点。

二、教学内容：1. 直线的定义及性质。

2. 抛物线的定义及性质。

3. 直线和抛物线的图形特点。

三、教学步骤：1. 引入直线的定义及性质，引导学生理解直线的特点。

2. 引入抛物线的定义及性质，引导学生理解抛物线的特点。

四、教学评价：1. 学生能准确描述直线的定义及其性质。

2. 学生能准确描述抛物线的定义及其性质。

3. 学生能识别直线和抛物线的图形特点。

第二章：直线与抛物线的交点一、教学目标：1. 了解直线与抛物线的位置关系。

2. 学会求直线与抛物线的交点。

3. 掌握交点的性质和应用。

二、教学内容：1. 直线与抛物线的位置关系。

2. 求直线与抛物线的交点的方法。

3. 交点的性质和应用。

三、教学步骤：1. 引入直线与抛物线的位置关系，引导学生理解它们之间的关系。

2. 讲解求直线与抛物线交点的方法，并通过例题进行演示。

3. 让学生分组讨论并练习求直线与抛物线的交点。

四、教学评价：1. 学生能理解直线与抛物线的位置关系。

2. 学生能运用求交点的方法解决实际问题。

3. 学生能分析交点的性质和应用。

第三章：直线与抛物线的切点一、教学目标：1. 了解直线与抛物线的切点概念。

2. 学会求直线与抛物线的切点。

3. 掌握切点的性质和应用。

二、教学内容：1. 直线与抛物线的切点概念。

2. 求直线与抛物线的切点的方法。

3. 切点的性质和应用。

三、教学步骤：1. 引入直线与抛物线的切点概念，引导学生理解切点的含义。

2. 讲解求直线与抛物线切点的方法，并通过例题进行演示。

3. 让学生分组讨论并练习求直线与抛物线的切点。

四、教学评价：1. 学生能理解直线与抛物线的切点概念。

2. 学生能运用求切点的方法解决实际问题。

3. 学生能分析切点的性质和应用。

第四章：直线与抛物线的交点个数一、教学目标：1. 了解直线与抛物线交点个数与参数的关系。

二次函数与直线、线段交点问题一、直线与二次函数的交点问题已知二次函数c bx ax y ++=2（1）y 轴与二次函数c bx ax y ++=2得交点为(0, c ). （2）与y 轴平行的直线h x =与二次函数c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）二次函数与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.二次函数与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔二次函数与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔二次函数与x 轴相切 此时二次函数为；2()y a x h =-总结完全平方形式的二次函数与x 轴只有一个交点③没有交点⇔0<∆⇔二次函数与x 轴相离.注意这种情况 当a ＞0,y 值恒＞0，当a ＜0,y值恒＜0，（4）平行于x 轴的直线与二次函数的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根. 例1 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，若方程2ax bx c ++=k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围（ ） 若方程2ax bx c ++c=k 无实数根，则k 的取值范围 （ ） 若方程2ax bx c ++=k 相等两实数根，则k 的取值范围（ ） 解： 2ax bx c ++c=k 解的情况可以看成 直线y k = 与c bx ax y ++=2交点情况 由图像可知：1) 方程有两个不相等的实数根,即y k = 与c bx ax y ++=2有两个交点，则k ＞-3 2) 方程无实数根，即y k = 与c bx ax y ++=2无交点，则k ＜-3 3）方程有相等实数根，即y k = 与c bx ax y ++=2有一个交点，则k =-3 （5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l与G 没有交点.当直线与二次函数有两个交点时c bx ax y nkx y ++=+=2 化简 为2()0ax b k x c n +-+-=两交点横坐标为1,x 2,x 则有 1212,b k c nx x x x a a--+=-=两横坐标的距离=∣12x x - ∣()()221212124x x x x x x -=+-（6）二次函数与x 轴两交点之间的距离：若二次函数c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,两横坐标的距离=∣12x x - ∣=()()221212124x x x x x x -=+-典型考题、例2 判断有无解情况 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，1)若方程2ax bx c ++=m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围（ ） 2)若方程2ax bx c ++=m 无实数根，则m 的取值范围 （ ） 3)若方程2ax bx c ++=m 相等两实数根，则m 的取值范围（ ） 解析同例 1答案 1）m ＜2 2）m ＞2 3）m=2例3 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，讨论|ax 2＋bx ＋c |＝k (k ≠0)解的情况解：设y=|ax 2＋bx ＋c | ,则它的图像如下：|ax 2＋bx ＋c |＝k 解的情况，可以看成y=|ax 2＋bx ＋c | 与y=k 图像的交点情况 由图像可知：1） 当k ＜0，y=k 与y=|2ax bx c ++| 无交点，所以方程无解 2） 当k ＞3，y=k 与y=|2ax bx c ++| 有两个交点，所以方程有两解 3） 0＜k ＜3，y=k 与y=|2ax bx c ++|有4个交点，所以方程有4个解 4）k =3，y=k 与y=|2ax bx c ++|有3个交点，所以方程有3个解例 4 二次函数y ＝2ax bx c ++a ≠0)的图象如图所示，直线y kx n =+,则方程2()0ax b k x c n +-+-=根的情况（ ）解：2()0ax b k x c n +-+-= 解的情况可以看成二次函数y ＝2ax bx c ++与直线y kx n =+ 有无交点情况 由图可知：y ＝ax 2＋bx+c 与直线y kx n =+有两个交点，故原方程有两个不等实根 2、利用一次函数与二次函数交点横坐标关系例5 如图，二次函数y=﹣x 2+2x+3与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于C ，顶点为D ，二次函数的对称轴DF 与BC 相交于点E ，与x 轴相交于点F ． （1）求线段DE 的长；（2）设过E 的直线与二次函数相交于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），试判断当|x 1﹣x 2|的值最小时，直线MN 与x 轴的位置关系，并说明理由；y kx n =+解：由二次函数223y x x =-++ 可知C(0,3) 令y=0 则223x x -++=0，解得 x=-1,x=3∴A(-1,0),B(3,0) ∴顶点D(1,4) ∴DF=4设直线BC 的解析式为y=kx+b,代入B(3,0),C(0,3)得： 3k+b=0 k=-1 b=3 解得 b=3 ∴ 解析式为：y=-x+3 当x=1时，y=2∴解析式为；y=﹣x+3， 当x=1时，y=2 ∴E(1,2) ∴EF=2∴DE=DF-EF=4-2=2（2）设直线MN 的解析式为y=kx+b ， ∵E （1，2）， ∴2=k+b ， ∴k=2﹣b ，∴直线MN 的解析式y=（2﹣b ）x+b ， ∵点M,N 的坐标是方程组 y=(2-b)x+by=-x 2+2x+3 的解 整理得 x 2-bx+b-3=0 ∴ x 1+x 2=b x 1x 2=b-321221214)(x x x x x x -+=-=)3(42--b b=8)2(2+-b∴当b=2,时21xx - 最小值为22∵b=2时，y=(2-b)+b=2 ∴直线MN//x 轴二、二次函数与线段交点问题二次函数与线段交点，由于线段是直线的一部分，所以首先考虑该线段所在的直线是否与二次函数有交点，再根据条件求值，常见考点如下： 1、 与x 轴平行的线段例6如图2y ax bx =+的对称轴为1x =与y t =在-1≤x ≤4有解，求t 的取值范围解： 2y ax bx =+ 与y=t 在-1≤x ≤4有解情况，可以看成 二次函数2y ax bx =+ 与直线y=t 在-1≤x ≤4交点情况 由图可知 当二者有交点时，-1≤t ≤8,此时2y ax bx =+ 与y=t 在-1≤x ≤4有解 2、 二次函数与y kx n =+在特定范围有解例 7：二次函数221y x bx =-+与线段的的两个端点（-1，1），（3，4）的线段只有一个交点，求b 的值解： 过设（-1，1），（3，4）两点的直线方程设为y kx b =+ 则 - -k + b =1 3k +b =4解得 34k =74b =所以线段 3744y x =+ （-1≤x ≤4）221y x bx =-+3744y x =+ 在 -1≤x ≤4 有一个解∴ 只须233(2)044x b x -+-= 在 -1≤x ≤4 有一个解即问题转化为二次函数 y=233(2)44x b x -+- 在-1≤x ≤4与x 轴有一个交点情况分两种情况：1） 抛物线与x 轴的左交点落在-1～3 之间，如图由图像可知 当 1x =-时，y ≥0 即 有1+（2b+34）-34≥0 ① 当x =3 时，y ＜0 即 有9-（2b+34）×3-34＜0 ②解①②得：b ＞12） 抛物线与x 轴的右交点落在-1～3 之间，如图由图像可知 当 1x =-时，y ＜0 即 有1+（2b+34）-34-＜0 ③ 当x =3 时，y ≥0 即 有9-（2b+34）×3-34≥0 ④解得：b ＜12-综上 b ＞1 或 b ＜12-3、图形与二次函数交点例8 已知，正方形ABCD,A(0,-4),B(1,-4),C(1,-5),D(0,-5),抛物线224y x mx m =+--(m 为常数) 顶点为M,1)抛物线经过定点坐标是 ，顶点M 的坐标（用m 的代数式表示是 ）2）若抛物线224y x mx m =+--（m 为常数)与正方形ABCD 的边有交点，求m 的取值范围(2) 因为二次函数过定点（2，0），即二次函数与x 轴交于（2，0） 当函数左交点为（2，0）时，有 -2m＞2，即m ＜-4,该二次函数与正方形无交点。

课题：直线与抛物线的位置关系教学目地培养学生从形及数两个角度研究分析问题的习惯，学会依形判数，就数论形，互相验证的数学方法，提高数形结合的能力。

教学重点运用解析几何的基本方法建立数形联系。

媒体运用电脑powerpoint 课件，几何画板动态演示，实物投影教学课型新授课教学过程（一）复习引入通过问题复习方程和曲线的关系。

1、怎样判断直线L 与抛物线C 的位置关系？为了使学生思考更有针对性，给出具体的例题：已知直线L ：1(1)2y x =+，抛物线C ：24y x =，怎样判断它们是否有公共点？若有公共点，怎样求公共点？估计学生都能回答：由方程组21(1)24y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩的解判断L 与C 的关系，紧接着提出问题： 2、问为什么说方程组21(1)24y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩有解，L 与C 就有公共点，为什么该方程组的解对应的点就是L 与C 的交点？通过这一问题，复习一下的对应关系：直线L 上的点⇔方程1(1)2y x =+的解；抛物线C 上的点⇔方程24y x =的解；L 与C 的公共点⇔方程组21(1)24y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩的解。

既然有了这样的一一对应的关系，那么研究直线与抛物线的公共点，可以通过研究对应的方程组的解来解决；同样，讨论方程组是否有解，也可通过研究直线与抛物线是否有公共点来解决。

这样就引出了解决这一类问题的两种方法，代数法和几何法。

（二）分析讨论例题讨论直线L ：(1)y m x =+与抛物线C ：24y x =公共点的个数。

请一位学生说一下解题思路，估计能回答出：考虑方程组2(1)4y m x y x=+⎧⎨=⎩的解，然后让学生尝试自己解决。

提出下列几个问题：1、从几何图形上估计一下，能否猜想一下结论？如果被提问的学生不会回答，可作引导：直线L 有什么特点？m 表示什么？抛物线C 有什么特点？在解决这些问题的同时画出图形。

2、m 为何值时，L 与C 相切？3、当m 很接近于零但不等于零时（在提问同时用图形表示），L 与C 是否仅有一个公共点？后两个问题从图像看不准，对于问题3，可能有部分同学认为仅有一个公共点，另外一些同学认为会有两个公共点，带着这个问题用代数法验证。

2.4.2直线与抛物线的位置关系一、教材分析及教学对象分析从教材角度分析，本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》选修2-1. “直线与圆锥曲线的位置关系” 一直是教学的一个重点内容，并且该内容涉及到了很多重要的数学思想，“转化思想”、“分类讨论思想”、“数形结合思想”，这些数学思想在讨论直线与圆锥曲线的位置关系时起着至关重要的作用•鉴于教材并未专门设立“直线与圆锥曲线的位置关系”这一内容，因此本节课通过研究“直线与抛物线的位置关系”，探讨出相应的解决方法，并把相应的研究方法运用到讨论“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”中，从而提高教材知识的系统性和全面性.从学生的角度分析，学生在之前已学习了“直线与圆的位置关系”，对判断“直线与圆的位置关系”已掌握了基本的方法，但是考虑到学习间断的时间较长，平行班的部分学生对知识与方法的记忆和理解不够扎实，因此本节课采用类比的方法研究“直线与抛物线的位置关系”，在知识的衔接上起到了“承上启下”的作用二、教学目标1知识与技能掌握直线与抛物线的位置关系及判断方法；2、过程与方法联立方程组的解析法与坐标法3、情感态度价值观让学生体验研究解析几何的基本思想，感受数学发展史的源远流长三、教学重点直线与抛物线的位置关系及其判断方法四、教学难点直线与抛物线的位置关系的判断方法五、教学方法多媒体教学、学案式教学教学过程一、课题引入师：之前我们学习了直线与圆的位置关系，根据直线与圆公共点个数进行分类则分别为没有公共点、一个公共点、两个公共点，对应的位置关系我们分别叫做相离、相切、相交•类比直线与圆的位置关系，你能说出直线与抛物线的位置关系吗？提问的目的：1、类比直线与圆的位置关系得出直线抛物线的三种位置关系；2、“直线与圆只有一个交点叫做相切”和“直线与抛物线有一个交点不一定是相切的情形”，为后面总结直线与抛物线的位置关系的“特殊性”做铺垫.）二、新课推进2.我们先来判断下列直线与抛物线的位置关系，体会我们所使用的方法（1）y 一-1 与y = x2；（2）x=0 与y2= x；（3）y =1与y2 = x ；（4）y = x 与y = x .提问的目的：由于给定的直线方程与抛物线方程都比较简单，有一部分同学会利用“几何图形判断法”，一部分同学会利用“代数方法”（在这里体现为“解方程组”），通过这两种方法都可以判断出直线与抛物线的位置关系.有了这样一个简单的题组训练，我们来看下面这样一个问题即例6.本环节的疑问：可否通过以上几个例子总结直线与抛物线的三种位置关系：相离（无交点）；相切（只有一个交点且直线不平行于抛物线的对称轴）；相交（两个交点或直线平行于抛物线的对称轴），同时强调位置关系中“抛物线”与“圆”的区别三、新课讲授2例6已知抛物线的方程为y2 =4x，直线l过定点P（-2,1），斜率为k. k为何值时，直线l2与抛物线y2=4x :只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？例题设计思路及目的：在本例中，学生会沿用上述四个例子的方法即几何判断法和解方程组的方法.对于几何判断法，随着斜率k的变化，直线与抛物线的位置关系在不断变化，但是对应的k的具体取值范围无法确定（几何画板演示）；若利用解方程组的方法，也行不通.这必然会导致学生在认知上的冲突，面对这样一个新的问题，我们该如何去解决呢？此处引导学生分析：判断公共点个数的问题我们还有必要去解出方程组吗？那么直线与抛物线的公共点个数情况与对应的方程组有什么关系呢？（根据曲线与方程的关系，点既在直线上又在抛物线上，那么点的坐标就是方程组的解；直线与抛物线有几个公共点，对应的直线方程与抛物线方程组成的方程组就有几个解），这样我们就把公共点个数的问题转化为方程组解的个数的问题，即把几何图形的问题转化为了代数问题.这个思维过程体现了转化与化归的思想、数形结合的思想•那么该方程组的解的个数问题又可以转化为一个什么问题呢？此处引导学生消元（消去x或y ）得到关于y或x的方程，同时注意消元方法的选择（利用预设幻灯片展示各种可能的消元方法，通过比较得出最好的一种消元方法）•消元后的方程ky2 -4y • 4（2k 1） = 0①这样由于方程组解的个数与导出的方程解的个数相同，我们只需讨论消元后的方程①解的个数提问学生，该方程一定是关于y的一元二次方程吗？学生意识到系数符号不同，方程的类型也不同•若系数为零，则是一次方程，此时消元后的方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，从而直线与抛物线只有一个公共点•若系数不为零，则消元后的方程是二次方程，由于二次方程的解的个数与判别式符号有关，故只需讨论判别式的符号•当判别式厶• 0时，方程有两个解，对应的方程组就有两个解，此时直线与抛物线有两个公共点；当判别式抡-0 时，方程只有一个解，对应的方程组只有一个解，此时直线与抛物线有一个公共点；当•> ：：：0时，方程没有解，对应的方程组没有解，此时直线与抛物线没有公共点•该环节体现了转化的思想与分类讨论的思想•根据上述分析过程，教师在黑板上示范整个书写过程，并且利用几何画板从图形上解释k的各种取值情况所对应的直线与抛物线的位置关系，同时让学生总结出“直线与抛物线的位置关系”及“相应的判断方法”：直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形，一种是直线平行于抛物线的对称轴，另一种是直线与抛物线相切•后一种反映在代数上是一元二次方程的两根相等（根的判别式人-0）,所利用的方法叫代数方法•教师在学生总结的基础上归纳出整个解题的基本步骤• 课堂练习1变式训练在例题的基础上做相应的变式训练，强化解题的过程及解题要点，叫两个同学共同解题，解题结束后做相应的点评• 要点一：求直线的方程要点二：消元的基本方法（简单）要点三：对系数进行分类讨论要点四：解一元二次不等式，注意取“交集”已知抛物线的方程为y2=4x，直线丨过定点p（0,i），斜率为k • k为何值时，直线丨与抛物2线y2 =4x :只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？2思考题：关于弦长和中点弦的问题课堂总结本节课我们学习了1直线与抛物线的位置关系，以及用代数的方法来判断其位置关系要注意直线与抛物线位置关系的特殊性•2、数学思想：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想3、对于“直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系”，我们也可以利用代数方法来研究•（PPT 展示）4、关于利用代数方法来解决问题早在17世纪就由法国数学家笛卡尔提出，他的人生格言是我思故我在，并提出：任何问题都可以转化为数学问题，而所有的数学问题都可以转化为代数问题•。