直线与抛物线交点问题

课题:抛物线与直线的交点问题教学目标：1、 经历探索抛物线与直线的交点问题的过程，体会图象与函数解析式之间的联系。

2、 理解图象交点与方程（或方程组）解之间的关系，并能灵活运用解决相关问题，进一步培养学生数形结合思想。

3、 通过学生共同观察和讨论，进一步提高合作交流意识。

教学重点：1、体会方程与函数之间的联系。

2、理解抛物线与直线有两个交点、一个交点、没有交点的条件。

教学难点：理解图象交点个数与方程（或方程组）解的个数之间的关系。

讲授方法： 讲授与讨论相结合教学过程：一、抛物线与x 轴的交点问题例1：已知：抛物线322--=x x y ，求抛物线与x 轴的交点坐标。

练习：1、已知：抛物线)1(3)2(2++-+-=m x m x y （1）求证：抛物线与x 轴有交点。

（2）如果抛物线与x 轴有两个交点，求m 的取值围。

2、（2013房山一模23前两问）已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负.（1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式.方法总结：1、 抛物线与x 轴相交：抛物线c bx ax y ++=2的图象与x 轴相交 ）（002≠=++a c bx ax 2.抛物线与x 轴的交点的个数（1）有两个交点 △>0 抛物线与x 轴相交（2）有一个交点 △=0 抛物线与x 轴相切（3 △<0 抛物线与x 轴相离二、抛物线与平行于x 轴的直线的交点例2：求抛物线322--=x x y 与y=1的交点坐标 练习：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 如果抛物线与y=3有两个交点，求c 的取值围。

（2） 如果对于任意x ，总有y>3，求c 的取值围方法总结：1、抛物线与平行于x 轴的直线相交抛物线c bx ax ++2的图象与平行于x 轴的直线相交⎩⎨⎧=++=my bx ax y 2 新的一元二次方程m c bx ax =++2 2.抛物线与平行于x 轴的直线的交点的个数（1 △>0 抛物线与直线相交（2 △=0 抛物线与直线相切（3 △<0 抛物线与直线相离三：抛物线与直线的交点问题例3：若抛物线221x y =与直线y=x+m 只有一个交点，求m 的值练习： 已知:抛物线），（和点0,1-3-2A x x y =过点A 作直线l 与抛物线有且只有一个交点， 并求直线l 的解析式方法总结：抛物线与直线相离没有交点与方程组没有解时抛物线与直线相切有一个交点与方程组有一组解时抛物线与直线相交有两个交点与时方程组有两组不同的解的解的数目来确定由的交点个数的图象与抛物线的图象一次函数⇔⇔⇔⇔⇔⇔⎩⎨⎧++=+=≠++=≠+=G l G l G l cbx ax y b kx y G a c bx ax y l k b kx y 22)0()0(例4：已知：抛物线c x x y ++=22（1） 当c=-3时，求出抛物线与x 轴的交点坐标（2） 当-2<x<1时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，求c 的取值围方法总结：线段与抛物线的交点，要结合直线与抛物线交点和函数的图象综合分析 练习：1、 抛物线222-m mx x y +=与直线y=2x 交点的横坐标均为整数，且m<2,求满足要求的m 的整数值2、 已知：抛物线14-2+=x x y ，将此抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线（1）求平移后的抛物线的解析式（2）请结合图象回答，当直线y=m 与这两条抛物线有且只有四个交点时，实数m 的取值围3、已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++，在0x =和2x =时的函数值相等。

直线与抛物线交点个数判断引言在代数几何学中，直线和抛物线是两种常见的曲线。

直线是一条无限延伸的轨迹，由无限多个点组成；而抛物线是一种特殊的曲线，形状呈现为开口向上或向下的弧线。

在解决几何问题时，判断直线和抛物线是否相交及相交点个数的问题经常会出现。

本文将介绍如何判断直线和抛物线的交点个数，并给出相应的计算方法。

直线方程首先我们需要了解直线的方程表示形式。

直线可以使用点斜式、截距式和一般式等形式表示，其中截距式是最常用的形式。

•点斜式：y−y1=m(x−x1)，其中(x1,y1)是直线上的已知点，m是直线的斜率。

•截距式：y=kx+b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。

•一般式：Ax+By+C=0，其中A,B,C是直线的系数。

在本文中，我们将使用截距式表示直线。

抛物线方程同样地，我们需要了解抛物线的方程表示形式。

抛物线可以使用顶点式、标准式和一般式等形式表示，其中标准式是最常用的形式。

•顶点式：y=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)是抛物线的顶点坐标，a是抛物线的开口方向和形状参数。

•标准式：y=ax2+bx+c，其中a,b,c是抛物线的系数。

•一般式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，其中A,B,C,D,E,F是抛物线的系数。

在本文中，我们将使用标准式表示抛物线。

直线与抛物线的交点个数判断根据几何直观，直线与抛物线的交点在二维平面上表示为直线与曲线的交点。

直线与抛物线的交点个数可能为0、1或2个。

为方便计算，我们将直线和抛物线的方程视为函数，其中x是自变量，y是因变量。

我们可以将直线方程和抛物线方程分别等式化，得到如下形式的方程：•直线方程：y=kx+b•抛物线方程：y=ax2+bx+c当直线与抛物线有交点时，即求解下面的方程组：$$ \\begin{cases} y = kx + b \\\\ y = ax^2 + bx + c \\end{cases} $$将直线方程的表达式代入抛物线方程中，得到如下方程：kx+b=ax2+bx+c移项并合并同类项，将方程变形为标准式：ax2+(b−k)x+(c−b)=0如果上述二次方程有实数解，则直线与抛物线有交点。

抛物线与直线的交点问题1、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 〔坐标系中的水平直线〕的交点问题：①把y=m 代入y=ax 2+bx+c 得ax 2+bx+c=m ，即ax 2+bx+〔c-m 〕=0此时方程的判别式△=b 2-4a(c-m)。

△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=m 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。

②特殊情形：抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0〔x 轴〕的交点问题：令y=0，那么ax 2+bx+c=0此时方程的判别式△=b 2-4ac△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。

2、抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 的交点问题：令ax 2+bx+c=kx+b ，整理方程得：ax 2+(b-k)x+〔c-b 〕=0此时方程的判别式△=(b-k)2-4a 〔c-b 〕△＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=kx+b 有两个交点；△=0时有一个交点；△＜0时无交点。

总结：判别式△的值决定抛物线与直线的交点个数。

3、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0〔x 轴〕的交点位置问题：假设ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为〔x 1，0〕、〔x 2，0〕① 假设x 1x 2＞0、x 1+x 2＞0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点右侧② 假设x 1x 2＞0、x 1+x 2＜0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点在原点左侧③ 假设x 1x 2＜0，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点分居于原点两侧4、 抛物线y=ax 2+bx+c 与直线y=0〔x 轴〕的两个交点距离公式假设ax 2+bx+c=0的两根为x 1、x 2，那么抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴的两个交点〔x 1，0〕、〔x 2，0〕的距离为︱x 1-x 2︱=aac b 42 练习1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是____________．2．二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴有两个交点，那么k 的取值范围为( )A ．k >－47B ．k <－47且k ≠0C ．k ≥－47D ．k ≥－47且k ≠03．假设抛物线y ＝x 2－８x ＋c 顶点在x 轴上，那么c 的值等于( )．A ．４B ．８C ．－４D ．１６4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的值恒为负值的条件是( )．A ．a ＞０, b 2－４ac ＜０B ．a ＜０, b 2－４ac ＞０C ．a ＞０, b 2－４ac ＞０D ．a ＜０, b 2－４ac ＜０5.直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是______6．假设抛物线y=〔m－1〕x2+2mx+m+2恒在x轴上方，那么m_______．7．抛物线顶点C(２,)，且与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程2x2－7x＋1＝０的两根，那么S△ABC＝．8．直线y=2x1与抛物线y=x2的公共点坐标是______________．9、不等式x2-9＞０的解集为_________________；x2＞2x+1的解集为_____________.10．利用二次函数的图象求一元二次方程x2＋2x－10＝3的根．11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A〔1，－4〕，且过点B〔3,0〕．〔1〕求该二次函数的解析式；〔2〕将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标．12．抛物线y＝x2＋ax＋a－2．(1)证明:此抛物线与x轴总有两个不同的交点;(2)求这两个交点间的距离;(用关于a的表达式来表达)(3)a取何值时,两点间的距离最小?13．抛物线y=－x2+〔m－2〕x+3〔m+1〕交x轴于A〔x1，0〕，B〔x2，0〕两点，交y•轴正半轴于C点，且x1<x2，│x1│>│x2│，OA2+OB2=2OC+1．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线？如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．。

直线与抛物线的交点问题一、抛物线与坐标轴的交点1．抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于A 、B （A 在B 左边），且4AB =，求A 、B 的坐标．【答案】可得对称轴1x =-，因为4AB =，所以()30A -，，()10B ， 2．抛物线226y x x m =++与x 轴交于A 、B ，且2AB =，求m 的值． 【答案】可得对称轴32x =-，因为2AB =，所以A 、B 点的坐标是502⎛⎫- ⎪⎝⎭，，102⎛⎫- ⎪⎝⎭， 代入可得1302m -+=，所以52m = 3．已知抛物线277y kx x =--的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围．【答案】依题意得492800k k ⎧∆=+⎨≠⎩≥，解得74k -≥且0k ≠ 一、直线与抛物线的交点4．直线23y x =+与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求AB 的长．【答案】联立223y x y x =+⎧⎨=⎩，可得2230x x --=，所以()11A -，，()39B ，AB 5．已知直线l ：23y x =-与抛物线C ：215322y x x =++． （1）求证：抛物线C 与直线l 无交点．（2）若与直线l 平行的直线与抛物线C 只有一个公共点P ，求P 点的坐标．【答案】（1）联立21532223y x x y x ⎧=++⎪⎨⎪=-⎩，可得2111022x x ++=，100∆=-＜ 所以抛物线C 与直线l 无交点（2）设与直线l 平行的直线解析式为：23y x k =-+联立21532223y x x y x k⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，210k ∆=-因为与抛物线C 只有一个公共点∴2100k -=，5k =代入得211022x x ++= ∴1x =-∴()10P -，6．已知抛物线2y x h =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且OC AB =．（1）求此抛物线的解析式；（2）直线2y x b =+被抛物线截得线段长为230，求b 的值．【答案】 解：（1）如图由题意，OA OB =， OC AB =，12OA OB h ∴==-， ∴点B 坐标1(2h -，0)， 把点B 坐标代入2y x h =+得到，2104h h =+，解得4h =-或0（舍弃）， ∴抛物线的解析式为24y x =-．（2）设直线2y x b =+与抛物线24y x =-的交点为1(E x ，1)y ，2(F x ，2)y ． 由242y x y x b⎧=-⎨=+⎩消去y 得到2240x x b ---=， 122x x ∴+=，124x x b =--，由此可得1242y y b +=+，21216y y b =-， 22121212()()4420x x x x x x b ∴-=+-=+， 同理可得()()()2222121212()4424161680y y y y y y b b b -=+-=+--=+， 230EF =，4201680120b b ∴+++=，1b ∴=．。

专题：直线与抛物线的交点问题1、抛物线322--=x x y 与x 轴交点是____________，与y 轴交点坐标是________________；2、一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根是－3和1，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点是_______；3、假设关于x 的函数12y 2-+=x kx与x 轴仅有一个公共点，那么实数k 的值为__________．例1：求直线y=3x －3与抛物线y=x 2－x+1的交点坐标。

例2：抛物线13212-+=x x y 和直线k x y -= 〔1〕当k 为何值时，抛物线与直线有两个公共点？〔2〕当k 为何值时，抛物线与直线有一个公共点？〔3〕当k 为何值时，抛物线与直线没有公共点？练习：抛物线22+-=x x y 与直线b x y +=-2只有一个交点，求直线与抛物线的交点坐标。

例3：二次函数y=x 2+bx+c 的图象如下图，其顶点坐标为M 〔1，﹣4〕． 〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕将二次函数的图象在x 轴下方的局部沿x 轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象答复：当直线y=x+n 与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．练习1:关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．〔1〕求k 的值；〔2〕当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的局部沿x 轴翻折，图象的其余局部保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象答复：当直线y=x+b 〔b ＜k 〕与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．练习2:抛物线322--=x x y 在自变量0>x 的局部图像为G ，直线l 的解析式为()52-+=x k y ，当直线l 与图像G 有两个交点时，求K 的取值范围。

两条直线与抛物线的交点问题
1. 如图，抛物线)3)(1(---=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，E 、F 两点关于抛物线对称轴对称，FA ，AE 交y 轴于点M ，N ，求ON-OM 的值。

2. （2016年中考24题）抛物线y ＝ax 2＋c 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，点P 为抛物线上，且位于x 轴下方
(1) 如图1，若P (1，－3)、B (4，0)
① 求该抛物线的解析式
② 若D 是抛物线上一点，满足∠DPO ＝∠POB ，求点D 的坐标
(2) 如图2，已知直线P A 、PB 与y 轴分别交于E 、F 两点．当点P 运动时，
OC
OF OE +是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由
3. 已知抛物线12
--=x y ，沿x 轴方向向右平移，平移后的抛物线C 1交y 轴于C （0，-5）
（1）求平移后，抛物线的解析式；
（2）点P 在抛物线上，P （1，y 0），如图过P 点，画直线交抛物线于E 点，交x 轴负半轴于N 点，连CE 交x 轴正半轴于M 点，若∠NEC=2∠OMC ，求E 点坐标。

4. 如图过点M(1，-1)的直线与抛物线2)1(-=x y 交于E 、F ，点N 在抛物线上且NE ∥x 轴，连FN ，试证明：直线FN 过定点，并求定点的坐标。

中考数学复习考点知识归类讲解 专题23 二次函数中的交点问题知识对接考点一、直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121专项训练 一、单选题1．如图，已知抛物线()20y axbx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，其部分图象如图所示．下列结论：①方程20ax bx c ++=的两个根是11x =-，23x =；②0a b c -+=；③80a c +<；④当0y >时，x 的取值范围是13x ．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．将抛物线y ＝x 2+2mx +m 2﹣1向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线x ＝1，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（）A．(0，0) B．(0，4) C．(0，15) D．(0，16)3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点横坐标为﹣2，x0，且满足（a+b+c）（4a+2b+c）＜0，与y轴的负半轴相交，抛物线经过点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C （1，y3），正确结论是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＞y2C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y24．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的函数y=ax2+2x+1与坐标轴的交点个数是（）A．1个B．2个C．3个D．2个或3个5．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A(﹣1，0)，与y轴的交点B在(0，﹣2)和(0，﹣1)之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1．在下列结论中：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④13＜a＜23；⑤b＜c．正结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，有下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；④当y＜0时，﹣2＜x＜4，⑤b2+12a＝4ac．其中正确的个是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．如图为某二次函数的部分图像，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y ＝14x 2﹣x ＋9：②若点B （﹣1，n ）在这个二次函数图像上，则n ＞m ；③该二次函数图像与x 轴的另一个交点为（﹣4，0）；④当0＜x ＜5.5时，m ＜y ＜8．所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④8．已知抛物线()2y a x h k =-+与x 轴有两个交点()1,0A -，()3,0B ，抛物线()2y a x h m k =--+与x 轴的一个交点是()4,0，则m 的值是（） A ．5B ．1-C ．5或1D ．5-或1-9．若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为2x =，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（） A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,4--D ．()2,4-10．如图，抛物线21(6)22y x =--与x 轴交于点A B 、，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到22,C C 与x 轴交于点B O 、，若直线12y x m =+与12C C 、共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（）A ．32m -≤<-B ．4128m -<<- C ．52m -≤<- D ．2528m -<<- 二、填空题11．定义：若抛物线与x 轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这种抛物线称作“和美抛物线”．如图，一组抛物线的顶点B 1(1，y 1)，B 2(2，y 2)，B 3(3，y 3)，… B n (n ，y n )（n 为正整数）依次是直线y 1134x =+上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是A 1(a 1，0)，A 2(a 2，0)，A 3(a 3，0)，…A n +1(a n +1，0)（0＜a 1＜1，n 为正整数）．若这组抛物线中存在和美抛物线，则a 1＝___．12．已知二次函数245y x x =-++，它的图象与x 轴的交点坐标为________． 13．已知抛物线()20y axbx c a =++≠与x 轴的一个交点坐标为（3，0），对称轴为直线1x =，则关于x 的一元二次方程()200++=≠ax bx c a 的根是_______．14．我们把一个半圆与抛物线的一部分组成的封闭图形称为“蛋圆”．如图，A 、B 、C 、D 分别是某蛋圆和坐标轴的交点其中抛物线的解析式为y =x 2﹣2x ﹣3，则“蛋圆”的弦CD 的长为____．15．关于抛物线221(0)y ax x a =-+≠，给出下列结论：①当0a <时，抛物线与直线22y x =+没有交点；②若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则1a ．其中正确结论的序号是________． 三、解答题16．已知关于x 的二次函数()22410y kx kx k k =-++>，（1）若二次函数的图象与x 轴没有交点，求k 的取值范围；（2）若(),P m n 和()3,q q -是抛物线上两点，且n q <，求实数m 的取值范围； （3）若()1,B c b +和(),C c s 是抛物线上两点，试比较b 和s 的大小．17．定义：若一次函数y ax b =+（0a ≠）与反比例函数c y x=（0c ≠）满足2a c b +=，则我们把函数2y ax bx c =++称为一次函数与反比例函数的“附中函数”．（1）一次函数36y x =+与反比例函数9y x=是否存在“附中函数”？如果存在，写出其“附中函数”，如果不存在，请说明理由．（2）若一次函数y x b =+与反比例函数c y x=（0c ≠）存在“附中函数”，且该“附中函数”的图象与直线27y x =+有唯一交点，求b ，c 的值．（3）若一次函数y ax b =+（0a >）与反比例函数c y x=-（0c ≠）的“附中函数”的图象与x 轴有两个交点分别是A （1x ，0），B （2x ，0），其中3a c a ≤≤，点C （3，4），求△ABC 的面积S △ABC 的变化范围． 18．已知抛物线2122y x x =-．（1）求这个函数的最大值或最小值，并写出函数y 取得最大值或最小值时相应的自变量x 的值．（2）求该抛物线与x 轴的交点坐标，并直接写出当0y >时相应的x 的取值范围． 19．已知抛物线2(21)46y x m x m =--+-．（1）试说明：不论m 取任何实数，该抛物线都经过x 轴上的定点A ；（2）设该抛物线与x 轴的另一个交点为B （A 与B 不重合），顶点为C ，当ABC 为直角三角形时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若点B 在A 的右侧，点(0,3)D ，点E 是抛物线上的一点．问：在x 轴上是否存在一点F ，使得以D ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90EDF ∠=︒，若存在，求F 点的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知二次函数24y ax ax b =++与x 轴交于A ，B 两点（其中A 在B 的左侧），且2AB =．（1）抛物线的对称轴是______． （2）求点A 和点B 坐标．（3）点C 坐标为()2.5,4--，()0,4D -．若抛物线24y ax ax b =++与线段CD 恰有一个交点，求a 的取值21．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）（1）若抛物线的对称轴为x ＝3，若抛物线与x 轴的两个交点的横坐标比为1：2，求这两个交点的坐标；（2）抛物线的顶点为点C ，抛物线与x 轴交点分别为A 、B ，若△ABC 为等边三角形，求证：b 2—4ac ＝12；（3）若当x ＞—1时，y 随x 的增大而增大，且抛物线与直线y ＝ax —1a ＋c 相切于点D ，若ODc 的取值范围．22．如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y ＝kx 23+（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值43m，求m 的值． 23．现有牌面编码为﹣1，1，2的三张卡片，背面向上，从中随机抽取一张卡片，记其数字为k ，将抽到的卡片背面朝上，放回打乱后，再抽一张记其数字为m ，则事件“关于a 、b的方程组2122a b ka b+=+⎧⎨+=⎩的解满足0≤a﹣b≤1，且二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴恰有2个交点”成立的概率为__．。

抛物线与直线型的交点个数问题专题一、引入：（1）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1只有一个公共点，则a 的取值范围是 ；（2）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1只有两个公共点，则a 的取值范围是 ；（3）抛物线y=ax 2-x+1(a ≠0)与直线y=x-1没有公共点，则a 的取值范围是 ；二、问题：例1．如图，在平面直角坐标系中，点B （38，0）和点D （4，4），抛物线y=ax 2-(2a+1)x(a>0) （1）试判断抛物线与直线DB 是否有公共点？（2）抛物线与线段DB 是否有公共点？（3）过点D 作DC ⊥x 轴于点C ，再分别过点B 和点D 作x 轴和y 轴的垂线相交于点A ，抛物线与矩形ABCD 有公共点时，求a 的取值范围。

yxDB O例2（2014年中考题改编）在平面直角坐标系中，已知线段OD 的端点（3，4），抛物线x a t ax y )41(2-+=经过点C （4，1），若此时抛物线与线段OD 只有唯一的公共点O ，求a 的取值范围。

三、作业1.（2015西陵期末）在平面直角坐标系中，梯形ABCD 的顶点A （-5，0）和B （-1，3），且BC ∥AO ，若过点A ，O 两点的抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与线段AB 只有唯一公共点A ，求a 的取值范围。

2.（2009年中考题）已知：直角梯形OABC 的四个顶点是O (0，0)，A (32，1)， B (s ，t )，C (72，0)，抛物线y =x 2＋mx －m 的顶点P 是直角梯形OABC 内部或边上的一个动点，m 为常数．(1)求s 与t 的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形OABC ； (2)当抛物线y =x 2＋mx －m 与直角梯形OABC 的边AB 相交时，求m 的取值范围．3.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=x 2+bx+c （b ，c 为常数）的图象与y 轴交于点B 。

二次函数综合问题之抛物线与直线交点个数1.(201４•北京)在平面直角坐标系xＯy中，抛物线ｙ=2x2+mx＋n经过点Ａ(0,﹣2）,Ｂ（3,４).(1)求抛物线得表达式及对称轴;（2)设点B关于原点得对称点为C,点D就是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A，B之间得部分为图象G（包含A，B两点).若直线CD 与图象Ｇ有公共点,结合函数图象,求点D纵坐标t得取值范围.考点: 待定系数法求二次函数解析式;待定系数法求一次函数解析式;二次函数得最值.专题: 计算题.分析:(1)将A与Ｂ坐标代入抛物线解析式求出m与ｎ得值,确定出抛物线解析式，求出对称轴即可;(２)由题意确定出C坐标,以及二次函数得最小值,确定出D纵坐标得最小值,求出直线BC解析式,令x=１求出ｙ得值,即可确定出t得范围.解答:解:(1）∵抛物线y＝2x2+ｍx+n经过点A（0，﹣2),Ｂ（3,4），代入得:,解得:，∴抛物线解析式为y=2x2﹣4ｘ﹣２,对称轴为直线ｘ=1;(2)由题意得:C（﹣3，﹣4),二次函数y＝2x2﹣4x﹣2得最小值为﹣４,由函数图象得出D纵坐标最小值为﹣4,设直线BC解析式为ｙ=kx+b,将B与C坐标代入得:,解得:k=，ｂ＝0,∴直线BＣ解析式为y=x,当x=1时,y=,则t得范围为﹣4≤ｔ≤.点评:此题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式,以及函数得最值,熟练掌握待定系数法就是解本题得关键.2.（2011•石景山区二模)已知:抛物线与x轴交于Ａ(﹣２，0)、B(4，0)，与y轴交于C(0,4).（1)求抛物线顶点D得坐标;(２)设直线ＣD交ｘ轴于点Ｅ,过点Ｂ作ｘ轴得垂线,交直线CD于点Ｆ,将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段EＦ总有公共点.试探究:抛物线向上最多可以平移多少个单位长度，向下最多可以平移多少个单位长度？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数得性质;待定系数法求二次函数解析式．专题: 探究型.分析:(1)先设出过A(﹣２,０)、B(4，0）两点得抛物线得解析式为y＝a(ｘ＋2)(x﹣4),再根据抛物线与y轴得交点坐标即可求出a得值,进而得出此抛物线得解析式;(２）先用待定系数法求出直线ＣD解析式，再根据抛物线平移得法则得到(１)中抛物线向下平移m各单位所得抛物线得解析式，再将此解析式与直线CD得解析式联立,根据两函数图象有交点即可求出ｍ得取值范围，进而可得到抛物线向下最多可平移多少个单位;同理可求出抛物线向上最多可平移多少个单位.解答：解：(1）设抛物线解析式为y=a(x+2）（x﹣4),∵C点坐标为(0,4),∴a=﹣，（1分)∴解析式为y=﹣ｘ2+x＋４，顶点Ｄ坐标为（1，);（２分)(2)直线CＤ解析式为y＝kx+b.则，，∴,∴直线ＣD解析式为y=ｘ+４,(3分)∴E（﹣８,０）,F(4,6),若抛物线向下移ｍ个单位,其解析式y＝﹣x2＋x+4﹣m(m>0),由消去y，得﹣x2+x﹣m＝0,∵△＝﹣2m≥０，∴0<m≤,∴向下最多可平移个单位.(５分）若抛物线向上移ｍ个单位,其解析式y=﹣x2+ｘ＋4+m(m＞０),方法一:当ｘ=﹣8时，ｙ＝﹣3６+ｍ,当x=４时,y＝m,要使抛物线与EF有公共点,则﹣36+m≤0或m≤6,∴0<m≤3６;(７分)方法二:当平移后得抛物线过点E(﹣8，0）时，解得m=３6，当平移后得抛物线过点F(４,6）时,m=6,由题意知：抛物线向上最多可以平移36个单位长度,(７分)综上,要使抛物线与ＥＦ有公共点，向上最多可平移3６个单位,向下最多可平移个单位．点评:本题考查得就是二次函数得图象与几何变换,涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数得解析式、二次函数与一次函数得交点问题,有一定得难度．３.(2013•丰台区一模）二次函数ｙ=x２＋bx+c得图象如图所示,其顶点坐标为Ｍ（1，﹣4)．（１)求二次函数得解析式；(2）将二次函数得图象在ｘ轴下方得部分沿ｘ轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象,请您结合新图象回答:当直线y=x＋n与这个新图象有两个公共点时,求ｎ得取值范围.考点：待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象与几何变换.分析:（1）确定二次函数得顶点式，即可得出二次函数得解析式.(2）求出两个边界点,继而可得出n得取值范围.解答:解:(１)因为M(1,﹣4)就是二次函数y=(x+ｍ）2+k得顶点坐标,所以y=(x﹣１)２﹣4=x２﹣2x﹣3,(2)令x2﹣２x﹣３=０,解之得:x１=﹣1，x2=3,故A,B两点得坐标分别为A(﹣１,0),Ｂ(3,0).如图,当直线y＝x+n(ｎ＜1)，经过A点时,可得ｎ=1，当直线y=x＋n经过Ｂ点时,可得n=﹣3，∴ｎ得取值范围为﹣3<n＜1,翻折后得二次函数解析式为二次函数y＝﹣x２+２x+3当直线y＝x＋n与二次函数y=﹣x２+2x+３得图象只有一个交点时,x+n=﹣x2+2x+3，整理得:x2﹣x+n﹣3=0,△=b２﹣4aｃ＝1﹣4(ｎ﹣3)=１3﹣4n=０，解得:n＝,∴n得取值范围为:n>，由图可知,符合题意得ｎ得取值范围为:n＞或﹣3＜n＜１．点评:本题考查了待定系数法求二次函数解析式得知识,难点在第二问,关键就是求出边界点时n得值．4.(2009•北京)已知关于x得一元二次方程2x2＋４ｘ+k﹣1=0有实数根，k为正整数．(1)求k得值;(2)当此方程有两个非零得整数根时,将关于ｘ得二次函数y=2x２+4x+k﹣１得图象向下平移８个单位，求平移后得图象得解析式;(3)在（2)得条件下,将平移后得二次函数得图象在x轴下方得部分沿x轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象.请您结合这个新得图象回答:当直线y=x+b(ｂ<k）与此图象有两个公共点时,ｂ得取值范围.考点: 二次函数综合题.专题：综合题.分析：(1）综合根得判别式及k得要求求出ｋ得取值;(2)对ｋ得取值进行一一验证,求出符合要求得k值,再结合抛物线平移得规律写出其平移后得解析式；（３)求出新抛物线与x轴得交点坐标,再分别求出直线y=x+b经过点Ａ、B时得b得取值，进而求出其取值范围.本题第二问就是难点，主要就是不会借助计算淘汰不合题意得ｋ值.解答：解：(１)由题意得,△=1６﹣８(k﹣１)≥0.∴k≤3.∵ｋ为正整数,∴ｋ=1,２,3;(2)设方程２x2+4x+ｋ﹣1=0得两根为x１,x２,则x１＋ｘ２＝﹣２,ｘ１•x２=．当ｋ＝1时,方程2ｘ２+４ｘ+k﹣１=0有一个根为零;当k=2时,x1•x2=,方程２x２+4ｘ+k﹣１=０没有两个不同得非零整数根;当k=３时,方程2x2+4ｘ＋k﹣1=0有两个相同得非零实数根﹣１.综上所述,ｋ＝1与k=２不合题意,舍去,k=3符合题意.当k=3时，二次函数为ｙ=2ｘ２+４x+2,把它得图象向下平移8个单位得到得图象得解析式为y＝2x2＋4x﹣6；(3）设二次函数y=2ｘ2＋4ｘ﹣6得图象与ｘ轴交于Ａ、B两点,则A(﹣3，0),B(１，0).依题意翻折后得图象如图所示.当直线y=x+ｂ经过A点时,可得b=；当直线ｙ=x＋b经过B点时,可得b=﹣．由图象可知,符合题意得b(b＜３)得取值范围为<b＜.（３)依图象得，要图象y=ｘ+ｂ（b小于k)与二次函数图象有两个公共点时，显然有两段.而因式分解得y=2x2＋4x﹣６＝2(x﹣１)(x+３）,第一段,当y=x＋b过（1,0)时,有一个交点,此时b=﹣.当ｙ=x+ｂ过(﹣３,0)时,有三个交点，此时b=.而在此中间即为两个交点,此时﹣＜b＜.第二段,将平移后得二次函数得图象在ｘ轴下方得部分沿ｘ轴翻折后,开口向下得部分得函数解析式为y=﹣２（x﹣1)（x+3）．显然,当y＝x+b与y=﹣2(x﹣1)(ｘ+3）(﹣３＜ｘ＜1)相切时，y=x＋ｂ与这个二次函数图象有三个交点,若直线再向上移,则只有两个交点.因为b<3,而ｙ=ｘ+b(ｂ小于ｋ,k＝3),所以当ｂ＝３时,将y=ｘ+3代入二次函数y=﹣2（ｘ﹣１)（x+3)整理得, 4x2+9x﹣6=0,△>０,所以方程有两根，那么肯定不将有直线与两截结合得二次函数图象相交只有两个公共点.这种情况故舍去.综上,﹣<ｂ＜.点评:考查知识点：一元二次方程根得判别式、二次函数及函数图象得平移与翻折,最后还考到了与一次函数得结合等问题.不错得题目,难度不大,综合性强,考查面广,似乎就是一个趋势或热点.5.(2012•东城区二模）已知关于x得方程(１﹣m)x2+(4﹣m)x+3＝0.(1）若方程有两个不相等得实数根，求ｍ得取值范围;（2)若正整数m满足８﹣2m>2，设二次函数y＝(1﹣ｍ)x２+(4﹣m）x＋3得图象与x轴交于Ａ、Ｂ两点，将此图象在x轴下方得部分沿ｘ轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象.请您结合这个新得图象回答:当直线y=k ｘ+3与此图象恰好有三个公共点时,求出ｋ得值（只需要求出两个满足题意得ｋ值即可).考点：二次函数综合题.分析:(1)根据方程有两个不相等得实数根,由一元二次方程得定义与根得判别式可求m得取值范围;(2)先求出正整数m得值,从而确定二次函数得解析式，得到解析式与x轴交点得坐标,由图象可知符合题意得直线y=kx＋3经过点A、B.从而求出k得值．解答:解:(1)△＝(4﹣m)2﹣12（1﹣m)=（ｍ+2)2,由题意得,（m+2）２＞0且1﹣m≠０.故符合题意得m得取值范围就是m≠﹣2且m≠１得一切实数.(2)∵正整数m满足8﹣2ｍ＞2,∴m可取得值为1与2.又∵二次函数ｙ=(1﹣m)x2+(4﹣m)ｘ+3，∴ｍ=2.…（4分)∴二次函数为ｙ＝﹣x2+2x+3.∴A点、B点得坐标分别为(﹣1,0)、(３,０）.依题意翻折后得图象如图所示.由图象可知符合题意得直线y=kｘ＋３经过点Ａ、B.可求出此时ｋ得值分别为3或﹣１.…(7分)注:若学生利用直线与抛物线相切求出k＝2也就是符合题意得答案.点评:本题考查了二次函数综合题.(1)考查了一元二次方程根得情况与判别式△得关系:△＞０⇔方程有两个不相等得实数根.(2)得到符合题意得直线y=kｘ+３经过点A、B就是解题得关键.6.在平面直角坐标系中,抛物线y＝﹣x2+mx＋m2﹣３m+2与ｘ轴得交点分别为原点O与点A,点B(4,n）在这条抛物线上.(1)求B点得坐标;(2）将此抛物线得图象向上平移个单位，求平移后得图象得解析式;(3)在(2)得条件下，将平移后得二次函数得图象在ｘ轴下方得部分沿x轴翻折,图象得其余部分保持不变，得到一个新得图象．请您结合这个新得图象回答:当直线y＝ｘ+b与此图象有两个公共点时,b得取值范围．考点: 二次函数综合题.专题：压轴题.分析：(1）把原点坐标代入抛物线,解关于ｍ得一元二次方程得到m得值,再根据二次项系数不等于0确定出函数解析式,再把点B坐标代入函数解析式求出n得值,即可得解;(2)根据向上平移纵坐标加解答即可;（3)把直线解析式与抛物线解析式联立，消掉y得到关于x得一元二次方程,根据△=0求出ｂ得值，然后令y=０求出抛物线与ｘ轴得交点坐标,再求出直线经过抛物线与x轴左边交点得ｂ值，然后根据图形写出b得取值范围即可.解答：解:(1)∵抛物线经过原点O,∴m2﹣3ｍ+2=0,解得m１＝１，m2=2,当m=１时，﹣＝﹣＝０,∴m=2,∴抛物线得解析式为y＝﹣x2+３ｘ,∵点Ｂ（4,n)在这条抛物线上，∴n=﹣×42+3×４=﹣8+12=４,∴点B（４，4)；（2)∵抛物线得图象向上平移个单位，∴平移后得图象得解析式y=﹣ｘ2+3ｘ+;(3)联立，消掉ｙ得，﹣ｘ2+３ｘ+=x+b,整理得,x2﹣5x+2b﹣７＝0,△=（﹣５)２﹣４×1×(2ｂ﹣7)=0，解得b=,令ｙ=0，则﹣x２＋３ｘ＋＝0,整理得，x2﹣６ｘ﹣７＝0,解得x1=﹣1,x2=7,∴抛物线与x轴左边得交点为（﹣1,０),当直线y=x+b经过点(﹣１,0)时，×(﹣１)+ｂ=0,解得b=,∴当直线y=x+b与此图象有两个公共点时，b得取值范围为b>或ｂ<．点评:本题就是二次函数综合题,主要利用了解一元二次方程，二次函数图象上点得坐标特征,二次函数图象与几何变换,难点在于(３）求出直线与抛物线有三个交点时得b值,作出图形更形象直观.7.关于x得二次函数ｙ=x2＋2ｘ+ｋ﹣1得图象与ｘ轴有交点，k为正整数.（１)求k得值；(2)当关于x得二次函数y＝ｘ2＋２x+k﹣１与x轴得交点得横坐标均就是负整数时,将关于x得二次函数ｙ=ｘ2+２ｘ+k﹣１得图象向下平移4个单位,求平移后得图象得解析式;(3)在(2)得条件下，将平移后得二次函数得图象在x轴下方得部分沿x轴翻折,图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象.请您结合这个新得图象回答:当直线y＝（ｂ<3)与此图象有两个公共点时,b得取值范围.考点: 二次函数综合题.分析:（１）综合根得判别式及k得要求,求出k得取值;(2)对k得取值进行一一验证，求出符合要求得k值，再结合抛物线平移得规律写出其平移后得解析式;(3)求出新抛物线与ｘ轴得交点坐标,再分别求出直线y=x+b经过点A、B时得b得取值,进而求出其取值范围. 解答：解:(1)由题意得，△=4﹣4(k﹣1)≥0．∴k≤２.∵ｋ为正整数,∴k=1,2；(2）设方程x2＋2x+k﹣1=０得两根为x1,x2,则ｘ1+x2=﹣2,x１•x２＝k﹣1．当k＝1时,图象y=x２+２x＋k﹣1与x轴有一个交点为(0,0）,不合题意;当k＝２时，图象y=ｘ2+2x+k﹣1与x轴有一个交点为（﹣1,0),符合题意;综上所述,k＝２符合题意.当k=２时,二次函数为y=x２+2ｘ+１，把它得图象向下平移4个单位得到得图象得解析式为:y=x2+2x﹣3；(3)设二次函数y＝x2+2ｘ﹣3得图象与x轴交于A、B两点，则Ａ(﹣3，０）,B(１，0)．依题意翻折后得图象如图所示.当直线y=x+b经过A点时,可得b＝;当直线y=x+ｂ经过B点时,可得b=﹣.由图象可知,符合题意得b(b＜3）得取值范围为:﹣＜b<.点评:此题主要考查了一元二次方程根得判别式、二次函数及函数图象得平移与翻折，最后还考到了与一次函数得结合等问题．不错得题目,难度不大，综合性强．8．（2014•东城区一模)已知:关于ｘ得一元二次方程mx２﹣(4m+1)x+3m+３=０(m>1)．（1)求证:方程有两个不相等得实数根;(2)设方程得两个实数根分别为x１,x2(其中x1>x2),若y就是关于m得函数,且y＝ｘ1﹣3x2,求这个函数得解析式; （３）将(2）中所得得函数得图象在直线ｍ=2得左侧部分沿直线m=２翻折,图象得其余部分保持不变，得到一个新得图象.请您结合这个新得图象回答：当关于m得函数y=2ｍ+b得图象与此图象有两个公共点时,b得取值范围．考点: 一次函数综合题.专题：压轴题．分析:(1)列式表示出根得判别式△,再根据△＞０,方程有两个不相等得实数根证明;（２）利用求根公式法求出ｘ１、x2，然后代入关系式整理即可得解；(３)作出函数图象，然后求出m=2时得函数值与以及m=１时得翻折图象得对应点得坐标，再代入直线解析式求出b值,然后结合图形写出b得取值范围即可.解答:(1)证明：△=(4m+１)2﹣4ｍ(3m＋３)＝４ｍ２﹣4m+1=(２ｍ﹣1)2,∵m>1,∴(2m﹣1)2>0,∴方程有两个不等实根;(2)解：x=,∴两根分别为=３,=1+,∵m>1，∴0＜<1,∴1＜１+＜２,∵x1＞ｘ2,∴x１=3,x２＝1+,∴ｙ=x1﹣3x2,=３﹣３(１+),=﹣,所以,这个函数解析式为y=﹣（ｍ>1);(3)解:作出函数y=﹣(m＞1）得图象，并将图象在直线m=２左侧部分沿此直线翻折,所得新图形如图所示，m=2时,ｙ=﹣,ｍ=1时,y=﹣=﹣3，∴函数图象直线m=2左侧部分翻折后得两端点坐标为(３,﹣3),(２，﹣),当m=3时,2×3+b=﹣3,解得b=﹣9，当m=2时,２×2＋ｂ=﹣，解得ｂ=﹣,所以,此图象有两个公共点时,ｂ得取值范围﹣９＜b<﹣.点评:本题就是一次函数综合题型,主要利用了根得判别式，求根公式法解一元二次方程,一次函数与反比例函数交点问题,难点在于(3)确定出翻折部分得两个端点得坐标以及有两个交点时得b得取值范围，作出图形更形象直观.9.(２０13•门头沟区一模)已知关于x得一元二次方程.(１）求证:无论m取任何实数,方程都有两个实数根;（２)当m<3时，关于x得二次函数得图象与x轴交于A、B两点(点A在点B得左侧),与ｙ轴交于点Ｃ，且２ＡB=3OC，求m得值;(3)在(2)得条件下,过点C作直线ｌ∥x轴，将二次函数图象在y轴左侧得部分沿直线l翻折,二次函数图象得其余部分保持不变,得到一个新得图象,记为G.请您结合图象回答:当直线与图象G只有一个公共点时,b得取值范围．考点: 二次函数综合题.分析:(1)运用根得判别式就可以求出△得值就可以得出结论；(2)先当x=0或y=0就是分别表示出抛物线与ｘ轴与y轴得交点坐标,表示出AB、ＯＣ得值,由2AＢ=3OC建立方程即可求出ｍ得值;（3)把(２)m得值代入抛物线得解析式就可以求出抛物线得解析式与C点得坐标,当直线经过点C时就可以求出b得值,由直线与抛物线只有一个公共点建立方程,根据△＝0就可以求出ｂ得值,再根据图象就可以得出结论.解答：解:(1)根据题意,得△＝(ｍ﹣2)2﹣4××(2m﹣6)=(m﹣4)2,∵无论ｍ为任何数时,都有(m﹣4)2≥0,即△≥0.∴无论m取任何实数,方程都有两个实数根；(２)由题意，得当ｙ=0时,则,解得：ｘ1=6﹣２m,ｘ２=﹣２,∵ｍ<3，点Ａ在点B得左侧,∴A(﹣2,０),B(﹣2m+6,0)，∴ＯA=2,OB=﹣2m+6．当x=０时,ｙ=2m﹣６,∴C(０,2m﹣6),∴OC＝﹣(2ｍ﹣6)=﹣2m+６.∵２AB=3ＯＣ,∴2(2﹣2m+6)=3(﹣2m+6),解得:m＝1;(3)如图,当m=1时,抛物线得解析式为ｙ=ｘ2﹣x﹣4,点C得坐标为(0，﹣４）.当直线y＝x+b经过点C时，可得ｂ＝﹣4,当直线ｙ=ｘ＋ｂ(b＜﹣4）与函数y＝x2﹣ｘ﹣4(ｘ＞０)得图象只有一个公共点时,得x＋b═x２﹣x﹣4．整理得:3ｘ２﹣8x﹣6b﹣24=０,∴△＝(﹣８)２﹣4×3×（﹣6b﹣24)=0,解得：b＝﹣.结合图象可知,符合题意得b得取值范围为ｂ＞﹣4或ｂ<﹣.点评:本题就是一道一次函数与二次函数得综合试题,考查了一元二次方程根得判别式得运用，二次函数与坐标轴得交点坐标得运用,轴对称得性质得运用，解答时根据函数之间得关系建立方程灵活运用根得判别式就是解答本题得关键.。

直线与抛物线的交点问题在数学中，直线和抛物线是两种常见的图形，它们有着不同的性质和特点。

当直线与抛物线相交时，我们可以求解它们的交点坐标，从而得到它们的交点位置。

本文将讨论直线与抛物线的交点问题，并介绍如何求解交点坐标。

一、直线和抛物线的定义直线是两个不同点之间的最短曲线，它的特点是任意两点都在同一直线上。

直线可以由方程 y = kx + b 表示，其中 k 表示直线的斜率，b 表示直线在 y 轴上的截距。

抛物线是一种平面曲线，它的特点是对称和连续。

抛物线可以由方程 y = ax^2 + bx + c 表示，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

二、直线与抛物线的交点求解当直线与抛物线相交时，它们在交点处的坐标满足直线和抛物线的方程。

我们可以通过联立两个方程，求解交点的坐标。

以直线 y = kx + b 和抛物线 y = ax^2 + bx + c 为例，我们将它们联立：kx + b = ax^2 + bx + c将方程整理为标准形式：ax^2 + (b-k)x + (c-b) = 0这是一个二次方程，我们可以使用求根公式来求解。

根据二次方程求根公式，我们有：x = (-b+k±√((b-k)^2-4a(c-b)))/(2a)其中，±表示两个解，分别对应交点的 x 坐标。

将求得的 x 坐标带入直线方程，我们可以得到交点的 y 坐标。

三、交点的分类讨论根据二次方程的解的性质，直线与抛物线的交点有以下几种情况：1. 交点个数为 0：当二次方程无解时，直线与抛物线没有交点。

这说明直线与抛物线没有公共点，它们是分离的。

2. 交点个数为 1：当二次方程有且只有一个解时，直线与抛物线有且只有一个交点。

这说明直线与抛物线相切于交点处。

3. 交点个数为 2：当二次方程有两个不同的解时，直线与抛物线有两个交点。

这说明直线与抛物线相交于两个不同的点。

四、实例分析下面通过一个实例来具体说明直线与抛物线的交点求解方法。

抛物线与直线的交点问题
引言
抛物线和直线都是数学中常见的图形。

稍微复杂一些的问题是，当给定一个抛物线和一条直线时，我们如何确定它们的交点，也就
是它们在何处相交。

本文将探讨抛物线和直线的交点问题，并介绍
求解交点的方法。

抛物线
抛物线是一个非常重要的曲线，它具有以下标准方程：
其中a、b和c是常数，确定了抛物线的形状和位置。

通过调
整这些常数的值，我们可以得到各种不同形状的抛物线。

直线
直线是最基本的几何形式之一，具有以下标准方程：
其中m和n是直线的斜率和截距。

直线的斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线和y轴的交点位置。

交点的求解
要确定抛物线和直线的交点，我们需要求解它们的方程组。

将抛物线和直线的方程代入方程组，并求解未知数x和y的值，即可得到交点的坐标。

具体而言，我们将抛物线的方程和直线的方程相等，得到以下方程组：
为了求解这个方程组，我们可以使用数值方法，例如牛顿迭代法或二分法。

这些方法可以通过逐步逼近的方式找到方程组的解。

解的存在和唯一性
需要注意的是，抛物线和直线不一定总是有交点。

它们可能相离或平行，这种情况下方程组没有解。

因此，在求解交点时，我们需要先判断抛物线和直线是否相交。

结论
抛物线和直线的交点问题是数学中常见的问题之一。

通过求解方程组，我们可以确定它们的交点坐标。

在求解过程中，需要注意解的存在性和唯一性。