数学文化讲座(张奠宙)

中国数学百年史话【复印期号】2002年09期【原文出处】《北京科技报》2002年0722期第②页新世纪伊始，中国数学界迎来了美丽的“春天”。

2002年8月20日，全世界的数学家将云集北京，第一次在一个发展中国家举行“国际数学家大会”。

中国数学，再次成为世界关注的一个焦点。

1900-1929：中国现代数学的起始阶段让我们的思绪回到100年以前。

清末的中国。

百业凋敝，科技衰微。

中国传统数学也是江河日下。

不过，从浙江海宁走出来的李善兰有一项工作为人称道，人称“李善兰恒等式”，算是中国传统数学的最后一个亮点。

此后的中国数学，完全是重起炉灶，按照西方数学模式发展起来的。

1900年德国数学家希尔伯特在巴黎数学家大会上提出23个著名的数学问题，当时的中国恐怕无人能听懂这些问题的意思。

20世纪的头十年，有一些年轻学子到国外研修数学，如冯祖荀到日本京都大学主修数学，回国后任北大数学系主任多年；秦汾、郑桐荪留学美国后，为辛亥革命前后的中国数学教育作过贡献。

中国现代数学的真正开始，当以1917年胡明复在哈佛大学获得博士学位为标志，他的博士论文《具有边界条件的线性微分—积分方程》，发表在美国的一流数学杂志上。

1919年“五四运动”之后，中国现代数学教育有一个大发展。

20世纪20年代，大学数学系如雨后春笋般兴办起来，尽管规模都不大。

其中著名的有：熊庆来在东南大学和清华大学、姜立夫在南开大学、何鲁在四川大学、陈建功和苏步青在浙江大学设立的数学系。

当时，中国的大学数学系已经达到国外一般大学的本科水平。

1930-1949年：中国现代数学在某些领域已具国际先进水平20世纪30年代，中国数学界以清华大学数学系的阵容最强。

除熊庆来担任系主任外，同于1928年在美国芝加哥大学毕业的杨武之和孙光远先后来清华执教。

传奇数学家华罗庚进入清华，即随杨武之研究数论。

后来成大名的陈省身由南开考入清华，作为孙光远的研究生研习几何学。

这是中国自己培养的第一名数学硕士生。

张奠宙谈小学数学本质“张奠宙谈小学数学本质”2009年第2期《人民教育》有一篇华东师大张奠宙教授与浙江杭州现代小学数学教育研究中心主任唐彩斌《关于小学“数学本质”的对话》，仔细读过并作了认真思考，有如下收获。

1、0为什么是自然数？0是自然数有许多理由。

首先，人的经验是，从无到有。

……第二，更重要的是书写的需要，……没有0，就写不出10，20，30，100。

所以，0，1，2……9这10个数字是最基本的。

第三，0的出现可以保证自然数集有单位元a+0=0+a=a。

……如果0不是自然数，那么5-5岂不是不能减了？从数学史看，在1、2……9等自然数形成之后很久人们才发明了0。

0的意义极大，使十进位值制成为可能是其最大的价值，进而使四则运算极为简化。

张教授指出的第二、第三个理由都是从自然数公理系统角度来说的，即是说：只有把0包括在内，自然数系统才能具备严密的逻辑结构。

请注意：和后文的几个问题一样，张教授始终强调从数学内部发展需要的角度看数学新知识的引入，而这正是当前我们数学教师的一个薄弱点。

2、感受100万粒米有多大有没有必要？数学教学要关注的是100万这个数的结构。

至于说100万粒米有多大，知不知道无所谓。

……主要精力要放在100万的结构，即如何形成100万上面。

例如，我们可以设计这样的活动：从一个单位立方体出发，10个构成一排，10排构成一个正方形，10个正方形叠起来构成一个立方体，即1000。

再以这个立方体作为新单位，10个一排构成万，10排形成新的正方形构成10万，最后，10个新正方形构成新的立方体，就是100万。

这个过程是每个人都要弄明白的。

这种做法的好处有二：第一了解十进位值制，第二发展空间想象能力。

但说“100万粒米有多大知不知道无所谓”我不赞成：这是让学生感知“大数”的一种做法，而在现代社会感知“大数”是每个老百姓都应有的数学素养之一。

3、分数究竟该如何定义？用份数的定义来引入分数是非常自然的。

视野•名师名校◄数学教育改革"先锋”----数学大师张奠宙◎上海市城市科技学校邵红能2018年12月20日，我国著名数学史家、数学教育家，华东师范大学数学科学学院教授张奠宙在上海逝世，享年85岁。

未来，乃是过去历史的继续。

不能正确地认识历史,吸取经验教训，也就找不到前进的方向。

辛亥革命以来，中国数学教育走过了100年。

早年，我国学习日本;后来,接受欧美国家的影响。

建国后的1950年代，全盘学习苏联。

经过“大跃进”年代和“文革”十年的波折，而今，中国数学教育取得了举世瞩目的成绩。

1986年，张奠宙所著的《20世纪数学史话》引起杨振宁、陈省身的重视。

在两位大师指点下，张奠宙陆续推出《中国现代数学的发展》、《20世纪数学经纬》、《陈省身传》等著作,成为中国现代数学史的奠基之作。

张奠宙(1933-2018.12.20),浙江省奉化人，华东师范大学教授、博导，张奠宙长期担任数学分析和函数论课程的教学，曾担任《数学教学》杂志主编和名誉主编。

在教学之余，从事数学教育和现代数学史研究，出版《20世纪数学史话》、《现代数学与中学数学》、《数学教育研究导引》、《数学方法论稿》、《中国数学双基教学沢《陈省身传》等著作20余种，发表文章近千篇。

张奠宙48青年教师在泛函分析研究领域对中国的数学发展做出了卓越的贡献。

在我国教育界，张奠宙被广大中小学教师所熟悉，被尊称为“中国数学教育界的泰斗”。

2013年6月，华东师范大学数学系举办了“未来十年中国数学教育展望”高层次的学术研讨会，时值张奠宙八十华诞，为他举办了庆祝典礼。

张奠宙的主要研究方向为泛函分析、数学教育、现代数学史，被人尊称为“三栖学者”。

他曾担任教育部全国教师教育课程资源专家委员会委员、教育部师范司高师教学改革指导委员会委员、《高中数学课程国家标准》研制组组长等。

其中，1995年至1998年,张奠宙任国际数学教育委员会执行委员，这是中国人第一次进入世界数学教育的领导机构。

张奠宙：数学⽂化数学作为⼀种⽂化现象，早已是⼈们的常识。

历史地看，古希腊和⽂艺复兴时期的⽂化名⼈，往往本⾝就是数学家。

最著名的如柏拉图和达·芬奇。

晚近以来，爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等⽂化名⼈也都是20世纪数学⽂明的缔造者。

数学⽂化的存在价值在即将公布的⾼中数学课程标准中，数学⽂化是⼀个单独的板块，给予了特别的重视。

许多⽼师会问为什么要这样做？⼀个重要的原因是，20世纪初年的数学曾经存在着脱离社会⽂化的孤⽴主义倾向，并⼀直影响到今天的中国。

数学的过度形式化，使⼈错误地感到数学只是少数天才脑⼦⾥想象出来的“⾃由创造物”，数学的发展⽆须社会的推动，其真理性⽆须实践的检验，当然，数学的进步也⽆须⼈类⽂化的哺育。

于是，西⽅的数学界有“经验主义的复兴”。

怀特（L.A.White）的数学⽂化论⼒图把数学回归到⽂化层⾯。

克莱因（M.Kline）的《古今数学思想》、《西⽅⽂化中的数学》、《数学：确定性的丧失》相继问世，⼒图营造数学⽂化的⼈⽂⾊彩。

国内最早注意数学⽂化的学者是北京⼤学的教授孙⼩礼，她和邓东皋等合编的《数学与⽂化》，汇集了⼀些数学名家的有关论述，也记录了从⾃然辩证法研究的⾓度对数学⽂化的思考。

稍后出版的有齐民友的《数学与⽂化》，主要从⾮欧⼏何产⽣的历史阐述数学的⽂化价值，特别指出了数学思维的⽂化意义。

郑毓信等出版的专著《数学⽂化学》，特点是⽤社会建构主义的哲学观，强调“数学共同体”产⽣的⽂化效应。

以上的著作以及许多的论⽂，都⼒图把数学从单纯的逻辑演绎推理的圈⼦中解放出来，重点是分析数学⽂明史，充分揭⽰数学的⽂化内涵，肯定数学作为⽂化存在的价值。

认识和实施数学⽂化教育进⼊21世纪之后，数学⽂化的研究更加深⼊。

⼀个重要的标志是数学⽂化⾛进中⼩学课堂，渗⼊实际数学教学，努⼒使学⽣在学习数学过程中真正受到⽂化感染，产⽣⽂化共鸣，体会数学的⽂化品位，体察社会⽂化和数学⽂化之间的互动。

数学文化讲座尊敬的各位领导、各位老师、亲爱的同学们：大家好！我是来自数学学院的张奠宙。

今天很荣幸能够在这里为大家做一场关于数学文化的讲座。

数学文化作为一门学科，虽然在我们日常生活中不太受到重视，但它深刻地影响着我们的生活，无处不在。

今天，我想借这个机会为大家揭开数学文化的神秘面纱。

首先，我想和大家分享一个观点，那就是数学不仅是一门科学，更是一门文化。

人类在探索宇宙的过程中，随着认知的不断深入，涌现了许许多多的科学学科。

而其中，数学因其智力的高度、形式化的严整以及渗透到自然界和人文领域等方面的奇妙内涵，以及它造福人类，进而塑造着人类文化的特征，被誉为“科学之王”，并被列为“四大人文科学”之一数学文化的核心思想是思维方式的转变。

它不再以死记硬背的方式记忆公式和运算规则，而是培养学生的逻辑思维、创造力和解决问题的能力。

数学文化注重培养学生的问题意识和数学思维，培养学生的数学兴趣和能力。

通过数学文化的学习，可以帮助我们培养出批判性思维和创新精神，提高我们独立思考和解决问题的能力。

其次，数学文化还与人文艺术紧密相连。

数学和艺术之间的关系相互渗透、相互交织。

数学中的对称性、规则性等特点，也被艺术家们广泛运用到绘画、雕塑、音乐等诸多艺术形式中，使人们对艺术作品更加深入的理解和欣赏。

最后，数学文化还与社会发展密切相关。

随着科技的不断进步，人们对数学的需求也在不断加大。

无论是工业生产、金融行业，还是信息高速公路，都需要数学为其提供支撑。

同时，数学文化也为人们提供了实现自我价值和社会价值的机会。

数学文化的学习和应用，还可以帮助我们培养出创新意识和创新能力，成为未来社会的推动力和中坚力量。

数学文化，作为一门学科，虽然在我们生活中所占的角色可能相对较小，但它深刻地影响着我们的思维方式、文化建设和社会发展。

我希望通过今天的讲座，能够给大家带来一些启示和思考。

让我们一起努力学习数学文化，将其应用到我们的生活中，为我们的未来添砖加瓦。

小数的本质（张奠宙）《小学数学教师》是一本在全国有影响的刊物，每期送来，都要翻阅。

最近因病住院，遂将2010年第11期比较仔细地读了一遍，觉得里面确有许多好文章。

邵虹等在小学一年级，就用求折线长度演练20以内的加法，使用了纵线、横线的卡通式说法，颇有些坐标系的外观，很有创意。

姜荣富提出“数学问题情境”的概念，也是针对目前过分强调的“生活情境创设”所作的一种补充。

该文提出“35×36=□×□”的问题，是一种具有挑战性的数学情境。

依我看来，这一情境其实也有更实际的数学意味，即不同的矩形可以有相同的面积。

袁仕理提出“引出问题≠发布指令”等5个教学不等式，也是很有针对性的论述。

编辑部陈洪杰介绍日本的一堂公开课，旨在表明公开课应用于“课堂教学研究”，而非用于“展示”、“评比”、“获奖”，发人深思。

公开课的过度功利性，应该让位给更多的学术性了。

这一期几篇有关小数教学的文章，涉及了许多问题，其中最重要的是小数和分数的关系问题。

以下的一些不同的思考，供大家探讨分析。

一、日常生活中小数比分数有用小数是日常生活中最常用的数之一。

学生离开学校以后，日常生活中几乎可以不接触分数，却不能离开小数。

元、角、分的货币自不必说，老式的“几尺几寸、几斤几两”仍在使用。

“0.5千克”、“身高1米63”等现代说法都离不开小数。

至于分数，日常生活中几乎碰不到。

我在医院问过好多位受过义务教育的护工同志：1/2加1/3等于多少？多数人说：忘了。

究其原因，是因为日常生活中几乎不用分数。

可是让他们做小数乘法，则基本都会。

二、小数有自己的概念系统，不能也不必都依赖于对分数的理解小学数学教育界的一种流行观点是，小数教学要基于分数教学，否则是科学性错误云云。

这未免耸人听闻。

这一期巩子坤等的文章，用细致的分析揭示学生错误的成因，是难得的具有实证意义的好文章。

但是，该文反复强调分数教学对小数教学的重要性，我觉得未必精当。

文章还建议“等学生对分数意义、分数表征有了更为透彻的理解后，再来学习小数乘法”。

张奠宙：小学数学教材中概率统计内容述评21世纪的数学课程改革，把概率统计作为一个单独的领域进入小学数学课程，这是一个重大的举措，具有里程碑意义。

现在，各地的小学数学教材已经编写了统计和概率内容，并且付诸教学实践，取得了许多有益的经验。

但是，前进的道路上，总会有一些问题。

“摸着石头过河”，一步一个脚印，以求逐步得到完善。

一、小学数学中为什么要列入“统计与概率”？从《数学课程标准（实验稿）》的规定来看，其内容是“研究现实生活中的数据和客观世界中的随机现象，通过对数据收集、整理、描述和分析，以及对事件发生可能性的刻画，来帮助人们作出合理的推断和预测。

”具体内容包括以下六项：1、描述统计。

包括整理数据、列表、直方图、扇形图等。

2、数据的代表数。

平均数、中位数、众数。

3、可能性。

包括等可能事件的概率、几何概率。

4、频率和概率、样本和总体5、加权平均、方差6、树状图计算概率前三项是小学阶段的学习内容，后三项是初中阶段的内容。

这意味着：1、小学以统计为主、概率为辅。

统计的主要内容是数据处理。

2、数据处理有两类：描述统计和数理统计。

小学阶段主要是描述统计，还很少用概率手段来处理数据；但要有随机的意识，适度沟通统计和概率。

3、用概率推断和预测需要随机变量分布知识。

小学里无法用概率方法进行推测和预测，只能是一些猜想，属于没有证明的合情推理。

这样一来，小学里把统计和概率放在一个学习领域，只是提供一般的素养，为中学打基础，小学的概率还不能和统计发生有机联系。

小学数学里“统计”和“概率”两张皮的现象难以避免。

不过，我们可以适当进行渗透。

此外，由于小学数学的教学内容还不能进行概率计算，所以老是停留在可能性的认识上，各个年级的差别很小，几乎在原地踏步。

因此，修改中的课程标准有意将小学阶段的概率统计内容有所消减。

二、九年义务教育阶段中概率和统计怎样结合画统计图、求平均数，是小学里学习统计的主要内容，这些至少原本小学里就有，只是不和概率挂钩。

注重数学本质提高数学素养（1）张奠宙教授数学教育家华东师范大学唐彩斌中学高级教师浙江杭州现代小学数学教育研究中心唐：各位老师大家好。

今天我们交流研讨的话题是“注重数学本质，提高数学素养”。

讨论小学数学教学中常见的“数学问题”，为什么强调是数学问题呢，是因为我们希望今天的交流能突出数学的本质，帮助大家一起提升数学素养。

也正如大家常说“教什么比怎样教更重要”，我们今天讨论的就应该属于“教什么”的范畴。

张：各位老师，大家可能都听到一句俗语叫做要给学生一杯水，教师必须有一桶水。

所以我们今天来谈谈小学数学的内容，大家不会觉得太简单吗？实际上我们要关注小学数学教材里边背后的内容，就是说我们是要源于教材但是要高于教材；另外，就是要居高临下，我们有一些更高的观点来观察小学教材的内容；其次，我们要有全面的整体的意识，知道小学数学教材在整个教育当中的地位和作用，然后，我们就可以心中有数；最后，小学教材虽然看来比较简单，但是它与时俱进，还是有许多时代特色需要我们展示，需要我们深入的了解。

所以，我们愿意给大家来探讨小学当中的一些数学问题，我想，希望给各位理解教材，理解课程标准有所帮助一、数与代数领域问题的讨论1．0为什么是自然数唐：现在我们就按照小学数学的几大领域来选择一些问题来具体分析。

我们都知道，小学数学中最大的学习领域是数与代数领域。

首先我们讨论关于自然数。

大家可能会问：自然数谁不懂？这里还会有数学问题吗？其实与时俱进地看，自然数的问题还真不少。

大家可能争论最多的是“0本来不作为自然数，现在怎么又说是自然数了，为什么”？张：在上世纪90年代以前，自然数不包括0，但是1993之后，就包括0在内，这当然是一个规定所产生的，那是在1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》里面有一句话说规定自然数包含0，从此之后，0就属于自然数的范围了。

唐：从近年来编写新课标小学数学教材中，我们可以发现教材也都根据上述国家标准进行了修改。

张奠宙教授的《我亲历的数学教育》与我的数学教育一直没读过数学老师写的文章，最近有幸在工作、学习间隙读了张奠宙教授《我亲历的数学教育》这本书，感想很多，收获挺大。

《我亲历的数学教育》是张奠宙教授回顾自己所亲历的数学教育的一本带有传记性质的专著，张教授是我国数学教育界的权威专家，全书回顾了张教授从1938年入学接受小学数学教育，到2008年整整70年的数学学习与数学教育的经历。

全书一共分为四篇：第一篇“学算春秋”，回溯了张教授从幼年开始接受数学教育的情景，记述了所经历的数学学习和数学研究的状况；第二篇“数教经纬”，着重谈张教授在数学教育界接触过的人和事；第三篇“国门内外”，涉及张教授参与国际数学教育活动的一些情况；第四篇“数海钩沉”，则回顾了张教授在现代数学史方面的工作经历。

张教授的阅历中有太多值得我们学习的宝贵经验，他对纯粹数学、现代数学史、数学教育都有深入的研究。

读了这本书以后，总结出几点比较肤浅的心得体会，与大家一起分享。

一、数学德育大多数人认为：人们在走上社会以后，在校所学的数学知识很少有直接应用的机会，因而作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了。

很多人认为：数学无非是数字、符号、图形的叠加，枯燥无味，很难进行德育教育。

我们的张教授在书中提到：“其实师生间的交流不能只是知识来知识去，数学老师讲点做人处世的道理，即便离题万里一两分钟，如果有教育意义，未尝不可。

这也是教师组织教学的一种手段。

”我们现在的数学课堂中似乎就只有知识了，而忽视了对于学生德育的关注。

我们一直强调数学教学中德育的渗透，但如何在数学课堂上渗透德育也是一大难题。

回顾我的数学课堂，从未真正的想过在数学课堂怎么样渗透德育思想。

但我主要通过自己的一言一行、一举一动来感染学生，以自己严谨的教学风格和一丝不苟的工作态度来影响学生。

比如：上课时，教师着装要朴素大方，讲普通话，语言要清楚、明白、有逻辑性。

板书要整齐，书写要规范，辅导“后进生”要耐心、细致，使学生在教师的表率作用下，潜移默化地受到有益的熏陶和教育。

访谈录：究竟什么是方程？[编者按]关于“什么是方程”的议论，多年不绝。

但是教科书和工具书上都异口同声地说“含有字母的等式叫方程”。

仔细想来，英文的equation原本就是等式的意思。

方程二字则源出《九章算术》第八卷，却并无“等式”的含义。

那么“方程”二字的本意究竟是什么？值得一探究竟。

本刊记者邹佳晨，采访了华东师范大学数学系张奠宙教授，汪晓勤教授，以及美国加州大学长滩分校的李旭辉教授，请他们谈谈看法。

希望能打开我们的思路。

一、采访张奠宙教授：究竟什么是方程？邹：近读某杂志的“问讯处”栏目，有一位读者问：“x=1是方程，还是方程的解？”意思是已经知道x=1，x已经不是未知数了，不应该看作方程。

一位专家（也是某教材的编者）代编辑部回答说，根据“含有未知数的等式叫方程”的定义，以及通常用字母x，g，z表示未知数，x=1满足方程定义的条件，所以x=1是方程。

我很不解，讨论此类问题好像没有什么意思。

张先生，您作为数学教育界的前辈，请问您如何看？张：早在1993年，西南师范大学已故代数学家陈重穆先生就对这个所谓的方程定义提出质疑，认为这个定义不重要，应该淡化。

20多年过去了，数学教育界一直不予理睬。

各类教材将之奉为绝对真理，似乎是万万改不得的经典。

结果就逼得一线老师来问“x=1是不是方程”这样的怪问题。

这样的讨论，几近文字游戏，对于理解方程思想方法并无裨益，一本正经地在杂志上讨论，毫无必要。

邹：那么，这个“定义”的问题出在哪里呢？张：所有的教科书上都用黑体字写着：“含有未知数的等式叫方程”。

然后笔锋一转，就自说自话地改成“含有字母的等式叫方程”了。

教科书上用一堆含有字母的代数式，让学生判别：“是不是等式？”、“有没有字母？”来认识方程。

闹了半天，没有增加任何对方程概念本质属性的认识，很有点“庸人自扰”的味道。

试问：有哪个学生因为不认识方程，导致数学学习困难呢？方程概念一旦脱离寻求未知数这一核心思想，也就远离了它的数学本质。

数学文化——理性文明的火车头（一）编者按：中学生朋友读这篇大师的演讲，或许会比较吃力，他里面提到的数学理论既有浅显易懂的生活常识，也有非常尖端的前沿理论。

但是，数学与文化的结合确实体现了数学这门学科的独特价值。

即使读不懂，你也能从中感觉到数学的魅力。

张奠宙简介：浙江奉化人。

1933年出生。

1956年毕业于华东师范大学数学系数学分析研究生班。

1986年任教授。

1999年，当选为国际欧亚科学院的院士成员。

谢谢主持人，谢谢各位光临。

今天我想要谈的题目是数学文化。

数学文化不大有人听见，这个词儿好像数学跟文化连不起来，数学是干巴巴的，属于比较枯燥的，文化又是那么丰富生动，这两者可能联系不起来。

但是我觉得这非常重要。

我想我们先看看这样的一个图像，这个图像叫曼德伯罗伊特图，它是用一个2次的复数的叠代出来的一个图形。

我们这里可以看到像一个葫芦形的东西，外面有些须须，可是我们如果一旦进去的话，从任何一个地方进去，你看它的形象，它的局部和整体非常相像，我们再往里面看，任何一个进去，它又出来一个当中的黑点，旁边有几个弯弯的须须，在任何一个地方进去又是这样的，随便你哪里进去都可以。

这个是不是有点像克隆？就是我们很小的一个地方它和整体都很相像。

数学家原来不知道这个东西，是曼德伯罗伊特用这个方程，用计算机来做了之后，就慢慢地发现了原来自相似性。

自己跟自己相似，每一个细胞跟他整个人相似，这种现象在数学里面是经常见到的。

我们一棵柏树，也是有这种自相似性的，所以我说像这样的图形，它已经把数学跟艺术都连在一起了。

数学就不再是几条公式，它跟我们人类的生活，跟信息时代，我们的一些欣赏习惯等等都可以有密切的联系。

我想这样的数学恐怕不是我们在中小学课堂里面学习的那一种数学，这是信息时代的数学，是我们将来在信息时代经常会碰到的，我们在书的各个封面上面看到的许多分形图像，就是这样的一种数学的产物。

数学可以产生这么漂亮的东西，我想是我目前所想不到的，这就是我的一个开场。