高三数学寒假作业 专题01 集合间的关系及其运算(测)Word版 含答案(寒假总动员)
- 格式:doc
- 大小:456.50 KB
- 文档页数:6
专题01 集合的表示及其运算【母题来源】2020年高考数学北京卷【母题题文】已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<,则A B =( ).A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D【试题解析】由题意结合补集的定义可知:{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=,故选:D.【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现.试题难度不大,多为低档题,集合的基本运算是历年高考的热点.集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能力. 常见的命题角度有:(1)求交集或并集;(2)交、并、补的混合运算;(3)新定义集合问题. 【答题模板】【方法总结】1.解集合运算问题应注意如下三点:(1)看元素构成,集合中元素是数还是有序数对,是函数的自变量还是函数值等; (2)对集合进行化简,通过化简可以使问题变得简单明了;(3)注意数形结合思想的应用,集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图.2.(1)当集合是用列举法表示时(如离散数集),可以通过列举集合的元素进行运算,也可借助Venn 图进行解决,要搞清楚Venn 图中各部分区域表示的实际意义;(2)当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合),一般先化简集合再运算,常运用数轴求解,重叠区域为集合的交集,合并区域为集合的并集,此时要注意“端点”能否取到,若集合是点集,常借助坐标系求解.3.进行集合的混合运算时,一般先算括号内的部分,如求∁U (A ∪B )时,先求A ∪B ,再求其在全集U 中的补集.4.根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解. (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围.1.(2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他(理))已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈,集合{}0B x x =>,则集合A B 的子集个数为( )A .2B .4C .6D .82.(2020·辽宁省高三三模(文))已知集合2{|(1)0}M x x =-≤,{|0}N x x =>,则( )A .N M ⊆B .M N ⊆C .M N ⋂=∅D .M N R =3.(2020·辽宁省大连二十四中高三其他(理))若集合{}|1A x x =≤,则满足A B A =的集合B 可以是( ) A .{}|0x x ≤B .{}2|x x ≤C .{}|0x x ≥D .{}|2x x ≥4.(2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考(理))已知集合(){}3=|log 210A x x ≤-,{|B x y ==,全集U =R ,则()U A B ∩等于( )A .1,12⎛⎤⎥⎝⎦B .20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C .2,13⎛⎤⎥⎝⎦D .12,23⎛⎫⎪⎝⎭5.(2020·重庆高三月考(理))设集合{}2|20A x x x =--<,{}2|log 0B x x =<,则AB =( )A .(1,2)-B .(0,1)C .(,2)-∞D .(1,1)-6.(2020·黑山县黑山中学高三月考(文))若全集U =R ,集合(){}lg 6A x y x ==-,{}21xB x =>,则()UAB =( )A .()2,3B .(]1,0-C .(],0-∞D .[)0,67.(2020·河南省高三三模(文))已知集合{}1,0,1,2,3A =-,{}10B x x =->,则集合()R A C B ⋂=( )A .{}1,0-B .{}1,0,1-C .{}2,3D .{}1,2,38.(2020·天津南开中学高三月考)已知集合{}2230A x x x =-->,集合{}2Z 4B x x x =∈≤,则()RA B =( )A .{}03x x ≤≤B .{}1,0,1,2,3-C .{}0,1,2,3D .{}1,29.(2020·山东省邹城市第一中学高三其他)设p :实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<,q :实数x 满足ln 2x <,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件10.(2020·山东省邹城市第一中学高三其他)已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ,,{|22}B x x =-≤≤,则A B =( ) A .[11]-, B .[22]-, C .{02},D .{202}-,, 11.(2020·四川省绵阳南山中学高三一模(理))已知集合{1,2,3}A =,20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣,则A B =( )A .{1,2}B .{0,1,2,3}C .{1,2,3}D .{0,1,2}12.(2020·全国高一)已知集合2{|}A x x x ==,{1,,2}B m =,若A B ⊆,则实数m 的值为( )A .2B .0C .0或2D .113.(2020·上海高三二模)已知函数2()2x f x m x nx =⋅++,记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ,集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ,若A B =,且都不是空集,则m n +的取值范围是( )A .[0,4)B .[1,4)-C .[3,5]-D .[0,7)14.(2020·北京人大附中高三期中)设a ,b ,c 为实数,f (x )=(x+a )(x 2+bx+c ),g (x )=(ax+1)(cx 2+bx+1).记集合S={x|f (x )=0,x ∈R},T={x|g (x )=0,x ∈R}.若{S},{T}分别为集合S ,T 的元素个数,则下列结论不可能的是( ) A .{S}=1且{T}=0 B .{S}=1且{T}=1 C .{S}=2且{T}=2 D .{S}=2且{T}=315.(2020·江苏省高三三模)已知集合{}2,,{2,4}mA mB ==,且{}2A B ⋂=,则AB =_______.16.(2020·上海高三二模)集合{|03}A x x =<<,{|||2}B x x =<,则A B =__________17.(2020·四川省泸县五中高三月考(理))已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.18.(2020·浙江省杭州高级中学高三其他)已知0a >,若集合{}22222220A x Z x x a x x a a =∈---+-+--=中的元素有且仅有2个,则实数a 的取值范围为________.19.(2020·石嘴山市第三中学高二月考(文))已知函数23()log (2)f x x x =-++的定义域为集合A ,2()22,g x x x x R =-+∈的值域为集合B ,U [6,)=-+∞. (1)求A 和B ; (2)求A B 、()U C AB .20.(2020·上海高三专题练习)已知U =R 且{}2|560A x x x =--<,{||2|1}B x x =-.求(1)A B ; (2)AB ;(3)()()UU A B ⋂.21.(2020·上海高三专题练习)已知集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭与(){}2(,)|1(1)5B x y a x a y =---=满足A B =∅,求实数a 的值.22.(2020·上海高三专题练习)(1)如果对于任意实数x ,不等式1x kx +>恒成立,求实数k 的取值范围; (2)已知a R ∈,二次函数()222f x ax x a =--,设不等式()0f x >的解集为A ,又已知集合{}13B x x =<<,若A B ⋂≠∅.求a 的取值范围.23.(2020·上海高三专题练习)设a ,b 是两个实数,{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ,{2(,)|,315,}B x y x m y m m ===+∈Z ,{}22(,)|144C x y x y =+是平面xOy 内的点的集合.是否存在实数a 和b 使得A B ⋂≠∅与(,)a b C ∈同时成立?若存在,求出a ,b 的值,若不存在,请说明理由.解析附后专题01 集合的表示及其运算【母题来源】2020年高考数学北京卷【母题题文】已知集合{1,0,1,2}A =-,{|03}B x x =<<,则A B =( ).A. {1,0,1}-B. {0,1}C. {1,1,2}-D. {1,2}【答案】D【试题解析】由题意结合补集的定义可知:{1,0,1,2}(0,3){1,2}A B =-=,故选:D.【命题意图】本类题通常主要考查简单不等式解法、交集、并集、补集等运算.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现.试题难度不大,多为低档题,集合的基本运算是历年高考的热点.集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能力. 常见的命题角度有:(1)求交集或并集;(2)交、并、补的混合运算;(3)新定义集合问题. 【答题模板】【方法总结】1.解集合运算问题应注意如下三点:(1)看元素构成,集合中元素是数还是有序数对,是函数的自变量还是函数值等; (2)对集合进行化简,通过化简可以使问题变得简单明了;(3)注意数形结合思想的应用,集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图.2.(1)当集合是用列举法表示时(如离散数集),可以通过列举集合的元素进行运算,也可借助Venn 图进行解决,要搞清楚Venn 图中各部分区域表示的实际意义;(2)当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合),一般先化简集合再运算,常运用数轴求解,重叠区域为集合的交集,合并区域为集合的并集,此时要注意“端点”能否取到,若集合是点集,常借助坐标系求解.3.进行集合的混合运算时,一般先算括号内的部分,如求∁U (A ∪B )时,先求A ∪B ,再求其在全集U 中的补集.4.根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则用观察法得到不同集合中元素之间的关系;若集合是与不等式有关的集合,则一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解. (3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围.1.(2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他(理))已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈,集合{}0B x x =>,则集合A B 的子集个数为( )A .2B .4C .6D .8【答案】D【解析】∵{}{}2230,1,0,1,2,3A x x x x Z =--≤∈=-,{}0B x x =>,∴{}1,2,3AB =,∴集合A B 的子集个数为8个,故选:D.2.(2020·辽宁省高三三模(文))已知集合2{|(1)0}M x x =-≤,{|0}N x x =>,则( )A .N M ⊆B .M N ⊆C .M N ⋂=∅D .M N R =【答案】B【解析】由2(1)0x -≤,得1x =,所以集合{}1M =,因为{|0}N x x =>,所以M N ⊆,故选:B3.(2020·辽宁省大连二十四中高三其他(理))若集合{}|1A x x =≤,则满足A B A =的集合B 可以是( ) A .{}|0x x ≤ B .{}2|x x ≤C .{}|0x x ≥D .{}|2x x ≥【答案】B 【解析】若AB A =,则A B ⊆,又{}|1A x x =≤{}2|x x ⊆≤4.(2020·重庆万州外国语学校天子湖校区高三月考(理))已知集合(){}3=|log 210A x x ≤-,{|B x y ==,全集U =R ,则()U A B ∩等于( )A .1,12⎛⎤⎥⎝⎦B .20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C .2,13⎛⎤⎥⎝⎦D .12,23⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】因为2{|0211},{|320}A x x B x x x =<-≤=-≥,即1{|1},{|02A x x B x x =<≤=≤或2}3x ≥,所以2{|0}3U B x x =<<,则12(){|}23UA B x x ⋂=<<,应选答案D. 5.(2020·重庆高三月考(理))设集合{}2|20A x x x =--<,{}2|log 0B x x =<,则AB =( )A .(1,2)-B .(0,1)C .(,2)-∞D .(1,1)-【答案】A【解析】解不等式220x x --<得12x -<<,即()1,2A =-; 由20log x <得01x <<,即()B 0,1=; 所以()A B 1,2⋃=-.6.(2020·黑山县黑山中学高三月考(文))若全集U =R ,集合(){}lg 6A x y x ==-,{}21xB x =>,则()UAB =( )A .()2,3B .(]1,0-C .(],0-∞D .[)0,6【答案】C【解析】为使()6y lg x =-有意义,则60x ->,解得6x <,()6A ∴=-∞,, 由0212x >=,解得0x >,()0,B ∴=+∞, ∴(],0UB =-∞,∴()(]A 0UB ⋂=-∞,,故选C .7.(2020·河南省高三三模(文))已知集合{}1,0,1,2,3A =-,{}10B x x =->,则集合()R A C B ⋂=( )A .{}1,0-B .{}1,0,1-C .{}2,3D .{}1,2,3【答案】B【解析】由已知:{}|1R C B x x =≤,所以集合(){}1,0,1R A C B ⋂=-.8.(2020·天津南开中学高三月考)已知集合{}2230A x x x =-->,集合{}2Z 4B x x x =∈≤,则()RA B =( )A .{}03x x ≤≤ B .{}1,0,1,2,3- C .{}0,1,2,3 D .{}1,2【答案】C【解析】集合{}2230A x x x =-->{}=31x x x <-或,{}{}2Z 44,3,2,1,0B x x x =∈≤={}|13R A x C x =-≤≤ 故(){}0,1,2,3R A C B ⋂=9.(2020·山东省邹城市第一中学高三其他)设p :实数x 满足()()21005x a x a a -++≤<<,q :实数x 满足ln 2x <,则p 是q 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件,不等式的解法,考查运算求解能力,逻辑推理能力.(){}()(){}21010A x x a x a x x x a =-++≤=--≤,当01a <<时,[,1]A a =;当1a =时,{}1A =; 当15a <<,[1,]A a =,{}{}2ln 20B x x x x e =<=<<,因为A B ,所以p q 是的充分不必要条件.10.(2020·山东省邹城市第一中学高三其他)已知集合{|2}A x x k k ==∈Z ,,{|22}B x x =-≤≤,则AB =( ) A .[11]-, B .[22]-, C .{02},D .{202}-,, 【答案】D 【解析】{|2}A x x k k ==∈Z ,,{|22}B x x =-≤≤,∴{202}A B =-,,,故选:D.11.(2020·四川省绵阳南山中学高三一模(理))已知集合{1,2,3}A =,20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣,则A B =( )A .{1,2}B .{0,1,2,3}C .{1,2,3}D .{0,1,2}【答案】C【解析】由题意可得:{}2|0,1,2x B x x Z x -⎧⎫=≤∈=⎨⎬⎩⎭又{1,2,3}A = ∴AB ={}123,, 12.(2020·全国高一)已知集合2{|}A x x x ==,{1,,2}B m =,若A B ⊆,则实数m 的值为( )A .2B .0C .0或2D .1【答案】B【解析】由题意,集合2{|}{0,1}A x x x ===,因为A B ⊆,所以0m =,故选B.13.(2020·上海高三二模)已知函数2()2x f x m x nx =⋅++,记集合{|()0,}A x f x x ==∈R ,集合{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ,若A B =,且都不是空集,则m n +的取值范围是( )A .[0,4)B .[1,4)-C .[3,5]-D .[0,7)【答案】A【解析】,A B 都不是空集,设a A ∈,则()0f a =;a B ∈,则()()()00ff a f m ===.2()0f x x nx =+=当0n =时:方程的解为0x = 此时{}0A B ==,满足; 当0n ≠时:2()0f x x nx =+=的解为0x =或x n =-{|[()]0,}B x f f x x ==∈R ,则2()0f x x nx =+=或2()f x x nx n =+=-A B =,则2()f x x nx n =+=-无解,24004n n n ∆=-<∴<<综上所述:04n ≤<,[0,4)m n +∈14.(2020·北京人大附中高三期中)设a ,b ,c 为实数,f (x )=(x+a )(x 2+bx+c ),g (x )=(ax+1)(cx 2+bx+1).记集合S={x|f (x )=0,x ∈R},T={x|g (x )=0,x ∈R}.若{S},{T}分别为集合S ,T 的元素个数,则下列结论不可能的是( ) A .{S}=1且{T}=0 B .{S}=1且{T}=1 C .{S}=2且{T}=2 D .{S}=2且{T}=3【答案】D【解析】∵f (x )=(x+a )(x 2+bx+c ),当f (x )=0时至少有一个根x=﹣a 当b 2﹣4c=0时,f (x )=0还有一根只要b≠﹣2a ,f (x )=0就有2个根;当b=﹣2a ,f (x )=0是一个根当b 2﹣4c <0时,f (x )=0只有一个根; 当b 2﹣4c >0时,f (x )=0只有二个根或三个根 当a=b=c=0时{S}=1,{T}=0当a >0,b=0,c >0时,{S}=1且{T}=1 当a=c=1,b=﹣2时,有{S}=2且{T}=215.(2020·江苏省高三三模)已知集合{}2,,{2,4}mA mB ==,且{}2A B ⋂=,则AB =_______.【答案】{1,2,4}【解析】因为{}2A B ⋂=,所以2A ∈,若221m m =⇒=,此时{21}A =,,满足条件; 若2m =,则{24}A =,,{}24A B ⋂=,,不符合题意,舍去. 所以1m =,AB ={1,2,4}.16.(2020·上海高三二模)集合{|03}A x x =<<,{|||2}B x x =<,则A B =__________【答案】(0,2)【解析】由题意{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<, 则AB ={|22{|}(003}{|02})2,x x x x x x -<<=<<<<=.17.(2020·四川省泸县五中高三月考(理))已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞ 【解析】由B A ⊆可得: 当B =∅,则121m m +>-, ∴2m <,当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤,综上得3m ≤;∴实数m 的取值范围是(],3-∞.18.(2020·浙江省杭州高级中学高三其他)已知0a >,若集合{}22222220A x Z x x a x x a a =∈---+-+--=中的元素有且仅有2个,则实数a 的取值范围为________. 【答案】[)1,2 【解析】222222x x a x x a ---+-+-≥()()2222222x x a x x a a -----+-=,当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立,∴22222220x x a x x a a ---+-+--≥,当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立,∴集合A 中有且仅有两个元素等价于不等式222a x x a -≤--≤有且仅有两个整数解,函数2()22f x x x =--=2117248x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的图象关于直线14x =对称, 又(2)8f -=,()11f -=,(0)2f =-,(1)1f =-,(2)4f =,作出函数()y f x =的图象,如图所示,由图知,要使222a x x a -≤--≤有两个整数解,则12a ≤<.19.(2020·石嘴山市第三中学高二月考(文))已知函数23()log (2)f x x x =-++的定义域为集合A ,2()22,g x x x x R =-+∈的值域为集合B ,U [6,)=-+∞. (1)求A 和B ; (2)求A B 、()U C AB .【解析】(1)由220-++>x x 得,12x -<<,∴{|12}A x x =-<<,∴()2222111y x x x =-+=-+≥,∴{|1}B y y =≥. (2)由(1)得,{|12},A B x x ⋂=≤< {}x 1,A B x ⋃=>-又[)U 6,=-+∞,所以()UA B ={|61}x x -≤≤-.20.(2020·上海高三专题练习)已知U =R 且{}2|560A x x x =--<,{||2|1}B x x =-.求(1)A B ; (2)A B ;(3)()()UU A B ⋂.【解析】{}2|560A x x x =--<={|16}-<<x x ,{||2|1}B x x =-{|1x x =≤或3}x ≥,(1)A B ={|11x x -<≤或36}x ≤<;(2)A B =R ;(3)因为|1{UA x x =≤-或6}x ≥,{|13}UB x x =<<,所以()()UU A B ⋂={|1x x ≤-或6}x ≥{|13}x x ⋂<<=∅.21.(2020·上海高三专题练习)已知集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭与(){}2(,)|1(1)5B x y a x a y =---=满足A B =∅,求实数a 的值.【解析】因为集合4(,)|13y A x y a x -⎧⎫==-⎨⎬-⎩⎭, 所以集合A 表示不包括点(3,4)的直线(1)370a x y a ---+=, 当210a -=且10a -=时,即1a =时,集合B 为空集, 显然AB =∅成立,故1a =符合题意;当1a ≠时,集合B 不为空集,要想AB =∅成立,只需:直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=平行或者 直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=相交于点(3,4), 当直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=平行时,有2(1)(1)1a a a --=-且(37)(1)5a a --≠,解得1a ≠,而1a ≠,所以不存在这种情况;直线(1)370a x y a ---+=与直线()21(1)5a x a y ---=相交于点(3,4),有()2213(1)453440aa a a -⋅--⋅=-⇒-=,解得2a =或23a =-,综上所述:实数a 的值为21,2,3-22.(2020·上海高三专题练习)(1)如果对于任意实数x ,不等式1x kx +>恒成立,求实数k 的取值范围; (2)已知a R ∈,二次函数()222f x ax x a =--,设不等式()0f x >的解集为A ,又已知集合{}13B x x =<<,若A B ⋂≠∅.求a 的取值范围.【解析】(1)画出1y x =+的图像,又y kx =为过原点的直线. 临界条件为:当y kx =为x 轴时,0k =;当y kx =与1y x=+在[)1,-+∞上的射线平行时,1k =. 故不等式1x kx +>恒成立,则01k <≤(2)因为二次函数()222f x ax x a =--,故0a ≠,且判别式()()22242480a a a ∆=---=+>,所以()0f x =两根之积为12220ax x a-==-<,故不妨设两根120x x <<. 当0a >时,若A B ⋂≠∅则有23x <,故()30f >,即9620a a -->,解得67a >. 当0a <时,若A B ⋂≠∅则有21>x ,故()10f >,即220a a -->,解得2a <-. 综上有2a <-或67a >. 23.(2020·上海高三专题练习)设a ,b 是两个实数,{(,)|,,}A x y x n y na b n ===+∈Z ,{2(,)|,315,}B x y x m y m m ===+∈Z ,{}22(,)|144C x y x y =+是平面xOy 内的点的集合.是否存在实数a 和b 使得A B ⋂≠∅与(,)a b C ∈同时成立?若存在,求出a ,b 的值,若不存在,请说明理由. 【解析】假设存在实数a 和b 同时满足题中的两个条件, 则2315.y ax b y x =+⎧⎨=+⎩,由A B ⋂≠∅, 则必存在整数n 使 23(15)0,n an b -+-=于是它的判别式 2()12(15)0,a b ∆=--- 即212(15).a b -又由 22144a b + 得 22144,a b - 由此便得 12(15-2)144,b b -即 2(6)0,b - 故 6.b = 将 6b = 代人上述的 212(15)a b -及 22144a b -,得 2108a =,所以 a =± 将 6a b =±= 代入方程23(15)0,n an b -+-= 求得 .n =Z故不存在实数a ,b 使A B ⋂≠∅,与(,)a b C ∈同时成立.。
高三数学寒假作业一一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程)1.已知集合}21{,=A ,{}321,,-=B ,则集合B A = ▲ . 2.若复数iiz +=12(i 是虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3.根据如图所示的伪代码,则输出I 的值为 ▲ .4.某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为2:3:3,为调查该 校学生每天用于课外阅读的时间,现按照分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的高一年级人数为45人,则抽取的样本容量为 ▲ . 5.函数24)1ln(x x y -++=的定义域为 ▲ .6.甲、乙两人依次从标有数字321,,的三张卡片中各抽取一张(不放回),则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为 ▲ .7.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线12222=-b y a x )00(>>b a ,的离心率为23,则该双曲线的渐近线方程为 ▲ . 8.已知函数()sin(2)3f x x π=+,若函数)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数,则=ϕ ▲ .9.已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列,其前n 和为n S ,首项为1,若2262a a a ,,成等比数列,则10S = ▲ .10.某种圆柱形的饮料罐的容积为128π个单位,当它的底面半径和高的比值为 ▲ 时,可使得所用材料最省.11.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线03:=-+m y x l ,点)0,3(A ,若满足7222=-PA PO 的点P 到直线l 的距离恒小于8,则实数m 的取值范围是 ▲ .12.如图,在ABC ∆中,23==AC AB ,,=2,E 为AC 的中点,AD 与BE 交于点F ,G 为EF 的中点,则=⋅ ▲ . 13.已知0,0a b >>,且31126a b a b++≤+, 则3aba b+的最大值为 ▲ .(第3题图)14.已知偶函数)(x f 满足)4()4(x f x f -=+,且当]4,0(∈x 时xe xx f )()(=,关于x 的不等式0)()(2>+x af x f 在区间]400400[,-上有且仅有400个整数解,则实数a 的取值范围是 ▲ . 二、解答题(本大题共6小题,共计90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分) 已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边,且3tan 4A =. (1)若65a =,2b =,求边c 的长;(2)若()sin A B -=,求tan B 的值.16.(本小题满分14分)如图,在斜三棱柱111C B A ABC -中,已知ABC ∆为正三角形,D ,E 分别是AC ,1CC 的中点,平面⊥C C AA 11平面ABC ,11AC E A ⊥.(1)求证://DE 平面11C AB ;(2)求证:⊥E A 1平面BDE .如图,已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点到相应准线的距离为3,离心率为21,过右焦点F 作两条互相垂直的弦CD AB ,,设CD AB ,的中点分别为N M ,.(1)求椭圆的标准方程;(2)若弦CD AB ,的斜率均存在,且OMF ∆和∆最大时,直线AB 的方程.如图,某湿地公园的鸟瞰图是一个直角梯形,其中:CD AB //,BC AB ⊥,075=∠DAB ,AD 长1千米,AB 长2千米.公园内有一个形状是扇形的天然湖泊DAE ,扇形DAE 以AD 长为半径,弧DE 为湖岸,其余部分为滩地,D B ,点是公园的进出口.公园管理方计划在进出口之间建造一条观光步行道:线段BQ -线段QP -弧PD ,其中Q 在线段BC 上(异于线段端点),QP 与弧DE 相切于P 点(异于弧端点).根据市场行情,BQ ,QP段的建造费用是每千米10万元,湖岸段PD 的建造费用是每千米3)12(20+万元(步行道的宽度不计),设PAE ∠为θ弧度,观光步行道的建造费用为w 万元. (1)求步行道的建造费用w 关于θ的函数关系式,并求其定义域; (2)当θ为何值时,步行道的建造费用最低?已知函数x x x x f 23)(23+-=,R t tx x g ∈=,)(,xe x x=)(ϕ.(1)求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间;(2)令)()()(x g x f x h -=,且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ,,0,其中n m <.①若n m 21=,求函数)(x h 在m x =处的切线方程; ②若对][n m x ,∈∀,t x h -≤16)(恒成立,求实数t 的取值范围.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且满足203422=+=S S a ,,数列}{n b 是首项为2,公比为q )1(≠q 的等比数列. (1)求数列}{n a 的通项公式;(2)设正整数r t k ,,成等差数列,且r t k <<,若k r r t t k b a b a b a +=+=+,求实数q的最大值;(3)若数列}{n c 满足⎩⎨⎧=-==,,,,k n b k n a c k k n 212*∈N k ,其前n 项和为n T ,当3=q 时,是否存在正整数m ,使得122-m mT T 恰好是数列}{n c 中的项?若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.高三数学寒假作业一参考答案一、填空题1. {}3,2,1,1-2. 13. 104. 1205. ]2,1(-6. 137. x y 25±= 8. 512π 9. 145 10. 21 11. )3,9(- 12. 34-13. 19 14. 3122(3,]e e ----二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分) 解:(1)在ABC ∆中,由3tan 4A =可知(0,)2A π∈ 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩·……………………3分 由余弦定理,2222cos a b c bc A =+-得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭,即216640525c c -+=……………………6分 解得85c =……………………7分 (2)由(0,)2A π∈且(0,)B π∈,得(,)2A B ππ-∈- 又()sin 0A B -=>,则(0,)2A B π-∈,则()cos 0A B -> 所以()cos 10A B -==……………………10分 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==- ……………………11分所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅………………14分 注:(2)中无角的范围扣1分。
【主题考法】本热点为选择题和填空题,常与函数、方程、不等式等知识结合,重点考查集合概念、集合间的关系、集合的运算,偶尔有创新题型,是基础题.2018年的高考将会继续以选择填空题形式,与函数、方程、不等式等知识结合考查集合运算、集合间关系,仍为基础题,分值5分。
【主题考前回扣】1.集合的运算性质:①A ∪B =A ⇔B ⊆A ;②A ∩B =B ⇔B ⊆A ;③A ⊆B ⇔∁U A ⊇∁U B .2.子集、真子集个数计算公式对于含有n 个元素的有限集合M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n ,2n -1,2n -1,2n-2.3.集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解;若已知的集合是点集,用数形结合法求解;若已知的集合是抽象集合,用Venn 图求解.【易错点提醒】1.描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如{x |y =lg x }——函数的定义域;{y |y =lg x }——函数的值域;{(x ,y )|y =lg x }——函数图象上的点集.2.易混淆0,∅,{0}:0是一个实数;∅是一个集合,它含有0个元素;{0}是以0为元素的单元素集合,但是0∉∅,而∅⊆{0}.3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性. 4.空集是任何集合的子集.由条件A ⊆B ,A ∩B =A ,A ∪B =B 求解集合A 时,务必分析研究A =∅的情况.【主题考向】 考向一 集合间关系【解决法宝】①对两集合的关系判定问题,常用两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系.②已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析,未明确说明集合非空时,要考虑到集合为空集的可能性.③对子集个数的问题,若集合A 有n 个元素,则集合A 的子集有2n 个,真子集有21n -个,非空真子集有22n -个.例1【2019届河南省实验中学质测三】集合,,若,则实数a 的取值范围是( ) A .B .C .D .【分析】分B 是否为空集,结合数轴列出关于a 的不等式,即可求出a 的取值范围.【解析】若B =∅,即<a ﹣1,即a <0时,满足B ⊆A ,若B ≠∅,即≤2a ﹣1,即a ≥0时,要使B ⊆A ,则满足,解得,综上所述,故选A .综上所求0a =或a =,故()3C S =,故选B.【主题集训】1. 【广东省深圳市高中2018届11月考】已知全集,集合,则)(B C A U ⋂=( )A. {}1B. {}2C. {}4D. {}1,2 【答案】A 【解析】∵全集,集合,∴,∴)(B C A U ⋂={1},故选A 。
寒假作业(一)2020高一数学【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册全册寒假作业5套高中数学必修一寒假作业寒假作业(一)——集合一、单选题1.设a ,b R ∈,集合{1,a b +,}{0a =,ba,}b ,则(b a -= ) A .1B .1-C .2D .2- 2.设全集U R =,若集合1{|0}4x A x x-=-,2{|log 2}B x x =,则(A B = )A .{|4}x x <B .{|4}x xC .{|14}x x <D .{|14}x x3.已知集合{|}A x x a =>,{|12}B x x =<<,且()R AB R =,则实数a 的取值范围是()A .{|1}a aB .{|1}a a <C .{|2}a aD .{|2}a a >4.已知集合2{|log (1)1}A x x =-<,{|||2}B x x a =-<,若A B ⊆,则实数a 的取值范围为()A .(1,3)B .[1,3]C .[1,)+∞D .(-∞,3]5.设U 为全集,A ,B 是集合,则“A B =∅”是“存在集合C 使得A C ⊆,UB C ⊆”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.已知全集U R =,集合{|(4)0}A x x x =-<,2{|log (1)1}B x x =->,图中阴影部分所表示的集合为( )A .{|12}x x <<B .{|23}x x <<C .{|03}x x <D .{|04}x x <<7.设集合1{|24k M x x ==+,}k Z ∈,1{|42k N x x ==+,}k Z ∈,则下列关系正确的是( )A .M N =B .MN ⊂≠C .MN ⊃≠D .以上都不对8.设P 、Q 是非空集合,定义{|P Q x x P Q ⨯=∈且}x P Q ∉,已知{|P x y ==,{|2}x Q y y e ==,则P Q ⨯等于( )A .(2,){0}+∞B .[0,1][2,)+∞C .[0,1)(2⋃,)+∞D .[0.1](2,)+∞二、多选题9.已知集合为A ={x ∈Z |≥1},集合B ={x |ax =1},且A ∩B =B ,则a 的值可能为( )A .0B .﹣C .﹣1D .﹣210.已知全集U 和集合A ,B ,C ,若A ⊆B ⊆∁U C ,则下列关系一定成立的有( ) A .A ∩B =A B .B ∪C =BC .C ⊆∁U AD .(∁U A )∪(∁U C )=U11.已知集合A ={x ∈Z |x 2+3x ﹣10<0},B ={x |x 2+2ax +a 2﹣4=0}.若A ∩B 中恰有2个元素,则实数a 值可以为( ) A .2B .1C .﹣1D .﹣212.设集合M ={x |(x ﹣a )(x ﹣3)=0},N ={x |(x ﹣4)(x ﹣1)=0},则下列说法不正确的是( )A .若M ∪N 有4个元素,则M ∩N ≠∅B .若M ∩N ≠∅,则M ∪N 有4个元素C .若M ∪N ={1,3,4},则M ∩N ≠∅D .若M ∩N ≠∅,则M ∪N ={1,3,4} 三、填空题13.已知集合22{|log (34)}A x y x x ==--,22{|320(0)}B x x mx m m =-+<>,若B A ⊆,则实数m 的取值范围为14.对于任意两集合A ,B ,定义{|A B x x A -=∈且}x B ∉,*()()A B A B B A =--记{|0}A y y =,{|33}B x x =-,则*A B = .15.设集合{0A =,4}-,22{|2(1)10B x x a x a =+++-=,}x R ∈.若B A ⊆,则实数a 的取值范围是 .16.设非空集合A 为实数集的子集,若A 满足下列两个条件: (1)0A ∈,1A ∈;(2)对任意x ,y A ∈,都有x y A +∈,x y A -∈,xy A ∈,(0)xA y y∈≠ 则称A 为一个数域,那么命题:①有理数集Q 是一个数域;②若A 为一个数域,则Q A ⊆;③若A ,B 都是数域,那么A B也是一个数域;④若A ,B 都是数域,那么AB 也是一个数域.其中真命题的序号为 . 四、解答题17.已知集合{|3A x a x a =<<,0}a >,集合{|23}B x x =<. (1)当1a =时,求AB ,AB ;(2)若A B =∅,求实数a 的取值范围.18.已知全集U R =,集合2{|450}A x x x =--,2{|124}x B x -=.(1)求()U AB ;(2)若集合{|4C x a x a =,0}a >,且满足C A A =,C B B =,求实数a 的取值范围.19.已知集合6{|1}2A x x=+,2{|(4)70}B x x m x m =-+++<. (1)若3m =时,求()R AB ;(2)若A B A =,求实数m 的取值范围.20.已知集合2{|450}A x x x =--<,22{|(34)280}B x x m x m m =-+++<.(1)若2m =,求A B ;(2)若B A ⊆,求m 的取值范围.寒假作业(一)——集合答案1.解:根据题意,集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=,又0a ≠,0a b ∴+=,即a b =-,∴1ba=-,1b =; 故1a =-,1b =,则2b a -=,故选:C .2.解:由A 中不等式变形得:(1)(4)0x x --,且40x -≠, 解得:14x <,即{|14}A x x =<,由B 中不等式变形得:22log 2log 4x =,解得:04x <,即{|04}B x x =<,则{|14}A B x x =<,故选:C .3.解:()R AB R =,且()R B B R =,()R B B =∅;B A ∴⊆,1a ∴故选:A .4.解析:2{|log (1)1}{|012}{|13}A x x x x x x =-<=<-<=<<,{|||2}{|22}{|22}B x x a x x a x a x a =-<=-<-<=-<<+,因为A B ⊆,所以2123a a -⎧⎨+⎩,解得13a .故选:B . 5.解:由题意A C ⊆,则U U C A ⊆,当UB C ⊆,可得“A B =∅”;若“A B =∅”能推出存在集合C 使得A C ⊆,UB C ⊆,U ∴为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A C ⊆,UB C ⊆”是“A B =∅”的充分必要的条件. 故选:C .6.解:由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U AB ,集合{|(4)0}{|04}A x x x x x =-<=<<,2{|log (1)1}{|3}B x x x x =->=>,{|3}U B x x ∴=,即(){|03}U A B x x =<,故选:C .7.解:若x M ∈,则11212424k K x -=+=+,k Z ∈,21k Z -∈ 即M 中元素都是N 中元素;所以,M N ⊆. 而当2k =-时,0N ∈,0M ∉MN ∴故选:B .8.解:由P 知,220x x -,即02x ,即[0P =,2],由Q 知,20x y e =>,(0,)Q =+∞,[0PQ =,)+∞,(0P Q =,2],则(2,){0}P Q ⨯=+∞故选:A .9.解:={﹣2,﹣1},∵A∩B=B,∴B⊆A,∴①a=0时,B=∅,满足题意;②a≠0时,,则或﹣1,解得或﹣1,∴a的值可能为.故选:ABC.10.解:如图阴影表示集合C,矩形表示集合U,∵A⊆B⊆∁U C,∴A∩B=A,B∪C=∁U A,C⊆∁U A,(∁U A)∪(∁U C)=U,故选:ACD.11.解:集合A={x∈Z|x2+3x﹣10<0}={x∈Z|﹣5<x<2}={﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1},B={x|x2+2ax+a2﹣4=0},当a=2时,此时x2+4x=0,解得x=0或x=﹣4,满足A∩B中恰有2个元素,当a=1时,此时x2+2x﹣3=0,解得x=﹣3或x=1,满足A∩B中恰有2个元素,当a=﹣1时,此时x2﹣2x﹣3=0,解得x=3或x=﹣1,不满足A∩B中恰有2个元素,当a=﹣2时,此时x2﹣4x=0,解得x=0或x=4,不满足A∩B中恰有2个元素,故选:AB.12.解:∵集合M={x|(x﹣a)(x﹣3)=0}={a,3},N={x|(x﹣4)(x﹣1)=0}={1,4},在A中,若M∪N有4个元素,则a∉{1,3,4},∴M ∩N =∅,故A 正确;在B 中,若M ∩N ≠∅,则a ∈{1,4},∴M ∪N 有3个元素,故B 错误; 在C 中,若M ∪N ={1,3,4},则当a =3时,M ∩N =∅,故C 错误; 在D 中,若M ∩N ≠∅,则a ∈{1,4},∴M ∪N ={1,3,4},故D 正确. 故选:BC .13.解:解一元二次不等式2340x x -->得:1x <-或4x >,即(A =-∞,1)(4-⋃,)+∞,解一元二次不等式22320(0)x mx m m -+<>得2m x m <<,即(,2)B m m =, 又B A ⊆,所以210m m -⎧⎨>⎩或40m m ⎧⎨>⎩,解得4m ,14.解:有题意知:{|3}A B x x -=>,{|30}B A x x -=-<, *()()[3A B A B B A =--=-,0)(3⋃,)+∞.故答案为:[3-,0)(3⋃,)+∞.15.解:集合{0A =,4}-,22{|2(1)10B x x a x a =+++-=,}x R ∈,B A ⊆,∴当B =∅时,222(1)10x a x a +++-=无解,△224(1)4(1)0a a =+--<,解得1a <-;当{0}B =时,把0x =代入方程222(1)10x a x a +++-=,得1a =±; 当1a =时,{0B =,4}{0}-≠,1a ∴≠;当1a =-时,{0}B =,1a ∴=-;当{4}B =-时,把4x =-代入方程222(1)10x a x a +++-=,得1a =或7a =; 当1a =时,{0B =,4}{4}-≠-,1a ∴≠; 当7a =时,{4B =-,12}{4}-≠-,7a ∴≠; 当{0B =,4}-时,则1a =; 当1a =时,{0B =,4}-,1a ∴=; 综上所述:1a -或1a =,∴实数a 的取值范围是(-∞,1]{1}-.故答案为:(-∞,1]{1}-.16.解:由已知中数域的定义可得:则有理数集Q 满足定义,是一个数域,故①正确;若A 为一个数域,则A 中包含任意整数和分数,故Q A ⊆,故②正确; 若A ,B 都是数域,那么Q A B ⊆,故AB 中的元素均满足定义,故AB 也是一个数域,故③正确;若{|,}A x x nm n Q ==∈,{|,}B x x ts t Q ==∈,则{|A B x x n ==或,,,}ts t m n Q ∈,此时1)2)AB +∉,故④不正确;故真命题的序号为①②③. 故答案为:①②③17.解:(1)当1a =时,集合{|13}A x x =<<,集合{|23}B x x =<. {|23}AB x x ∴=<<,{|13}A B x x =<.(2)集合{|3A x a x a =<<,0}a >,集合{|23}B x x =<.AB =∅,∴当A =∅时,3a a ,解得0a ,不合题意,当A ≠∅时,33a a a <⎧⎨⎩或332a aa <⎧⎨⎩,解得3a 或23a. 又0a >,故实数a 的取值范围是(0,2][33,)+∞.18.解:(1){|15}A x x =-,{|24}B x x =,{|2U B x x ∴=<或4}x >,(){|12U AB x x ∴=-<或45}x <;(2)由CA A =得C A ⊆,则1450a a a -⎧⎪⎨⎪>⎩,解得504a <;由CB B =得BC ⊆,则2440a a a ⎧⎪⎨⎪>⎩,解得12a ;∴实数a 的取值范围为5{|1}4a a. 19.解:(1)集合6{|1}{|24}2A x x x x==-<+, 3m =时,{|25}B x x =<<, {|2R C B x x ∴=或5}x ,(){|22}R AC B x x =-<.(2)A B A =,B A ∴⊆, ①当B =∅时,△2(4)4(7)0m m =+-+,解得62m -, ②当B ≠∅时,记2()(4)7f x x m x m =-+++,04242(2)0(4)0m f f >⎧⎪+⎪-<<⎪⎨⎪-⎪⎪⎩,628419373m m m m m ⎧-⎪-<<⎪⎪⎨-⎪⎪⎪⎩或即, 解得1976233m m -<-<或, 综合①②得m 的范围是197[,]33-. 20.解:(1)2m =时,2{|10240}{|46}B x x x x x =-+<=<<,且{|15}A x x =-<<, {|16}A B x x ∴=-<<;(2){|(2)(4)0}B x x m x m =---<,且B A ⊆,∴①若24m m <+,即4m <时,{|24}B x m x m =<<+,则21454m m m -⎧⎪+⎨⎪<⎩,解得112m -; ②若24m m =+,即4m =时,B =∅,符合题意;③若24m m >+,即4m >时,{|42}B x m x m =+<<,则41254m m m +-⎧⎪⎨⎪>⎩,不等式无解; m ∴的取值范围为1{|14}2m m m -=或.。
集合的关系与运算一、单选题(共17题;共34分)1.(2020·新课标Ⅲ·文)已知集合,,则A∩B中元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 52.(2020·新课标Ⅲ·理)已知集合,,则中元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 63.(2020·新课标Ⅱ·文)已知集合A={x||x|<3,x∈Z},B={x||x|>1,x∈Z},则A∩B=()A. B. {–3,–2,2,3) C. {–2,0,2} D. {–2,2}4.(2020·新课标Ⅰ·文)已知集合则()A. B. C. D.5.(2020·新课标Ⅰ·理)设集合A={x|x2–4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|–2≤x≤1},则a=()A. –4B. –2C. 2D. 46.(2020·北京)已知集合,,则().A. B. C. D.7.(2020高二下·湖州期末)已知集合,,则().A. B. C. D.8.(2020高一下·海南期末)已知集合,,则()A. B. C. D.9.(2020·新高考Ⅰ)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()A. {x|2<x≤3}B. {x|2≤x≤3}C. {x|1≤x<4}D. {x|1<x<4}10.(2020·新课标Ⅱ·理)已知集合U={−2,−1,0,1,2,3},A={−1,0,1},B={1,2},则()A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}11.(2020·天津)设全集,集合,则()A. B. C. D.12.(2020高一下·宣城期末)已知全集,集合,集合,则=()A. B. C. D.13.(2020高二下·北京期末)设全集,集合,,则集合()A. B. C. D.14.(2020高二下·天津期末)已知全集,集合,,则()A. B. C. D.15.(2020高二下·台州期末)已知集合,,则()A. B. C. D.16.(2020高二下·慈溪期末)设全集,集合,则()A. B. C. D.17.(2020高二下·长春期末)已知集合,,则集合()A. B. C. D.二、填空题(共3题;共4分)18.(2020高二下·丽水期末)已知集合,,则________,________.19.(2020高二下·上海期末)已知集合,集合或,求________.20.(2020·扬州模拟)已知集合,,则,则实数a的值是________.三、解答题(共10题;共90分)21.(2020高二下·七台河期末)集合,.(1)若,求实数a的取值范围;(2)若,求实数a的取值范围.22.(2020高二下·天津期末)已知集合,,.求a的值及集合。
专题一集合、集合与集合的关系、集合的运算知识精讲一知识结构图二.学法指导1.判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对象满足确定性,就可以组成集合;否则,不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性,求解与集合有关的字母参数值(范围)时,需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求.3.解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时,要有分类讨论的意识.4.利用集合的关系求参数的范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合(含参数),另一个为静集合(具体的),解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.5.求集合并集的两种基本方法:(1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解;(2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解.6.求集合交集的方法为:(1).定义法,(2)数形结合法.(2).若A,B是无限连续的数集,多利用数轴来求解.但要注意,利用数轴表示不等式时,含有端点的值用实点表示,不含有端点的值用空心点表示.三.知识点贯通知识点1 元素与集合相关概念(1)集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性.例1.考察下列每组对象,能构成集合的是()①中国各地最美的乡村;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;③不小于3的自然数;④2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.A.③④B.②③④C.②③D.②④知识点二元素与集合的关系(1)属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A.(2)不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a∉A.(3)常见的数集及表示符号例题2:已知集合A含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值.知识点三集合间的关系1.判断集合关系的方法.1观察法:一一列举观察.2元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.3数形结合法:利用数轴或Venn图.2.集合A中含有n个元素,则有(1)A的子集的个数有2n个.(2)A的非空子集的个数有2n-1个.(3)A的真子集的个数有2n-1个.(4)A的非空真子集的个数有2n-2个.3.空集是任何集合的子集,因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时,要注意讨论A=∅和A≠∅两种情况,前者常被忽视,造成思考问题不全面.例题3 .已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B⊆A,则实数m=________.知识点四集合的运算1.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫A与B的并集,记作A∪B;符号表示为A∪B={x|x∈A或x∈B}2.并集的性质A∪B=B∪A,A∪A=A,A∪∅=A,A⊆A∪B.3.对于两个给定的集合A、B,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫A与B 的交集,记作A∩B。
集合间关系及简单运算一.选择题(共40小题)1.集合A={﹣2,1,2,3}的真子集个数为()A.16B.15C.14D.132.已知集合A={x|x2<2,x∈Z},则A的真子集共有()个.A.3B.4C.6D.73.已知集合,集合B={x|x≥a},若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,﹣2)B.(﹣∞,﹣2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)4.已知集合A={x|y=ln(x﹣1)},,则()A.A=B B.A⊆B C.A∩B=∅D.A∪B=R5.已知集合A={(x,y)|x2+y2≤2,x∈N,y∈N},则集合A的子集个数为()A.4B.9C.15D.166.已知M={x|x2﹣x≤0},N={x|},则集合M、N之间的关系为()A.M∩N=∅B.M=N C.N⫋M D.M⫋N7.设集合A={x||x﹣a|=1},B={﹣1,0,b}(b>0),若A⊆B,则对应的实数(a,b)有()A.1对B.2对C.3对D.4对8.已知集合A={x∈N*|x2﹣2x﹣3<0},则满足条件B⊆A的集合B的个数为()A.2B.3C.4D.89.已知集合A={0,x},B={0,2,4},若A⊆B,则实数x的值为()A.0或2B.0或4C.2或4D.0或2或4 10.集合A={x∈Z|﹣2<x<2}的子集个数为()A.4B.6C.7D.811.已知集合M={x∈R|x≥0},N⊆M,则在下列集合中符合条件的集合N可能是()A.{0,1}B.{x|x2=1}C.{x|x2>0}D.R12.已知集合A={1,2,3,4,5},则集合A各子集中元素之和为()A.320B.240C.160D.813.集合{x|﹣1<x<3,x∈N*}的非空子集个数为()A.3B.4C.7D.814.已知集合A={x∈Z|﹣x2+x+2>0},则集合A的子集个数为()A.4B.5C.6D.815.已知集合A={x|x<6且x∈N*},则A的非空真子集的个数为()A.30B.31C.62D.6316.若集合A={1,m},B={m2,m+1},且A=B,则m=()A.0B.1C.±1D.0或117.设集合A={x|x2﹣x=0},则集合A的真子集的个数为()A.1B.2C.3D.418.已知集合A={x∈Z|﹣2<x≤1},B⊆A,则集合B中的元素个数最多是()A.1B.2C.3D.419.已知集合A={﹣2,﹣1,0,1},B={x|x2≤a2,a∈N*},若A⊆B,则a的最小值为()A.1B.2C.3D.420.集合的真子集的个数为()A.7B.8C.31D.3221.已知集合A={1,2,3},B={a+b|a∈A,b∈A},则集合B的子集个数为()A.8B.16C.32D.6422.已知集合A={x∈N|x2﹣4x﹣21≤0},则集合A中的元素个数为()A.11B.8C.10D.723.已知集合A={0,1,2,3},B={﹣1,0,1},P=A∩B,则P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个24.若S是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合,则S的非空真子集个数是()A.62B.32C.64D.3025.已知集合A={x|x>1},B={x|ax>1},若B⊆A,则实数a的取值范围为()A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1]D.[0,1)26.已知集合A={x∈N*|0≤x<2},则集合A的子集的个数为()A.2B.3C.4D.827.集合{(1,2),(3,4)}的子集个数为()A.3B.4C.15D.1628.已知集合A={a|a⊆{1,2,3}},则A的真子集个数为()A.7B.8C.255D.25629.设集合A={x|2x<x﹣1<4},B={x|x<﹣2},则A∪B=()A.{x|x<﹣1}B.{x|x<﹣2)C.{x|x<5}D.{x|﹣2<x<﹣1} 30.设集合A={x|x<3},B={1,2,3,4},则A∩B=()A.{0}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2} 31.已知集合A={x|x<9},B={7,8,9},则A∩B=()A.{7,8}B.{7,8,9}C.{7}D.{8}32.设集合A={2,3,5,7},B={1,2,3,5,8},则A∩B=()A.{1,3,5,7}B.{2,3}C.{2,3,5}D.{1,2,3,5,7,8}33.已知集合M={1,2,3},N={2,3,4},则M∪N=()A.{1,2,3,4}B.{3,4}C.{1,4}D.{2,3}34.已知集合A={x|0≤x≤5},B={x||x|<3},则A∪B=()A.(﹣3,5]B.[3,5]C.(﹣∞,5]D.[0,3]35.已知集合A={0,1,2,3,5},B={0,5},则A∪B=()A.{0,5}B.{0,1,2,5}C.{0,1,3,5}D.{0,1,2,3,5} 36.已知集合A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|﹣2<x<0},则A∪B=()A.(﹣1,2)B.(0,2)C.(﹣2,1)D.(﹣2,2)37.已知M={1,2,4},N={x|2<x≤5,x∈Z},则M∪N=()A.{4}B.{1,2,3}C.{1,2,3,5}D.{1,2,3,4,5} 38.已知集合,则M∪N=()A.[,1)B.[,+∞)C.(0,1)D.(0,+∞)39.设集合A={1,2,3,4},B={1,3,5},则A∪B=()A.{1,3}B.{1,4}C.{1,3,5}D.{1,2,3,4,5} 40.已知集合A={1,2,4},B={2,4,6},则A∪B=()A.{4}B.{1,6}C.{2,4}D.{1,2,4,6}集合间关系及简单运算参考答案一.选择题(共40小题)1.B;2.D;3.B;4.B;5.D;6.C;7.B;8.C;9.C;10.D;11.A;12.B;13.A;14.A;15.A;16.A;17.C;18.C;19.B;20.A;21.C;22.B;23.B;24.D;25.C;26.A;27.B;28.C;29.A;30.C;31.A;32.C;33.A;34.A;35.D;36.D;37.D;38.D;39.D;40.D;。
第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念和运算一、选择题1.已知集合A={y|x2+y2=1}和集合B={y|y=x2},则A∩B等于() A.(0,1) B.[0,1]C.(0,+∞) D.{(0,1),(1,0)}解析∵A={y|x2+y2=1},∴A={y|-1≤y≤1}.又∵B={y|y=x2},∴B={y|y≥0}.A∩B={y|0≤y≤1}.答案 B2. 设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩∁UN={2,4},则N=()A.{1,2,3}B.{1,3,5}C.{1,4,5} D.{2,3,4}解析由M∩∁UN={2,4}可得集合N中不含有元素2,4,集合M中含有元素2,4,故N={1,3,5}.答案 B3.设集合U={x|x<5,x∈N*},M={x|x2-5x+6=0},则∁U M=().A.{1,4} B.{1,5} C.{2,3} D.{3,4}解析U={1,2,3,4},M={x|x2-5x+6=0}={2,3},∴∁U M={1,4}.答案 A4.若A={2,3,4},B={x|x=n·m,m,n∈A,m≠n},则集合B中的元素个数是().A.2 B.3 C.4 D.5解析B={x|x=n·m,m,n∈A,m≠n}={6,8,12}.答案 B5.设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析 若N ⊆M ,则需满足a2=1或a2=2,解得a =±1或a =±2.故“a =1”是“N ⊆M”的充分不必要条件. 答案 A 6.设集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 24+3y 24=1,B ={y |y =x 2},则A ∩B =( ).A .[-2,2]B .[0,2]C .[0,+∞)D .{(-1,1),(1,1)}解析 A ={x |-2≤x ≤2},B ={y |y ≥0},∴A ∩B ={x |0≤x ≤2}=[0,2]. 答案 B 二、填空题7.设集合A ={-1,1,3},B ={a +2,a 2+4},A ∩B ={3},则实数a =________. 解析 ∵3∈B ,又a 2+4≥4,∴a +2=3,∴a =1. 答案 18.已知集合A ={0,2,a2},B ={1,a},若A ∪B ={0,1,2,4},则实数a 的值为________.解析 若a =4,则a2=16∉(A ∪B),所以a =4不符合要求,若a2=4,则a =±2,又-2∉(A ∪B),∴a =2. 答案 29.给定集合A ,若对于任意a ,b ∈A ,有a +b ∈A ,且a -b ∈A ,则称集合A 为闭集合,给出如下三个结论: ①集合A ={-4,-2,0,2,4}为闭集合; ②集合A ={n |n =3k ,k ∈Z }为闭集合;③若集合A 1,A 2为闭集合,则A 1∪A 2为闭集合. 其中正确结论的序号是________.解析 ①中,-4+(-2)=-6∉A ,所以不正确.②中设n 1,n 2∈A ,n 1=3k 1,n 2=3k 2,n 1+n 2∈A ,n 1-n 2∈A ,所以②正确.③令A 1={n |n =3k ,k ∈Z },A 2={n |n =2k ,k ∈Z },3∈A 1,2∈A 2,但是,3+2∉A 1∪A 2,则A 1∪A 2不是闭集合,所以③不正确. 答案 ②10.已知集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪6x +1≥1,x ∈R ,B ={x |x 2-2x -m <0},若A ∩B ={x |-1<x <4},则实数m 的值为________. 解析 由6x +1≥1,得x -5x +1≤0,∴-1<x ≤5,∴A ={x |-1<x ≤5}.又∵B ={x |x 2-2x -m <0},A ∩B ={x |-1<x <4}, ∴有42-2×4-m =0,解得m =8.此时B ={x |-2<x <4},符合题意,故实数m 的值为8. 答案 8 三、解答题11.若集合A ={-1,3},集合B ={x |x 2+ax +b =0},且A =B ,求实数a ,b . 解 ∵A =B ,∴B ={x |x 2+ax +b =0}={-1,3}. ∴⎩⎨⎧-a =-1+3=2,b =(-1)×3=-3,∴a =-2,b =-3. 12.已知集合A ={-4,2a -1,a 2},B ={a -5,1-a,9},分别求适合下列条件的a 的值.(1)9∈(A ∩B );(2){9}=A ∩B .解 (1)∵9∈(A ∩B ),∴9∈A 且9∈B ,∴2a -1=9或a 2=9,∴a =5或a =-3或a =3, 经检验a =5或a =-3符合题意.∴a =5或a =-3. (2)∵{9}=A ∩B ,∴9∈A 且9∈B , 由(1)知a =5或a =-3.当a =-3时,A ={-4,-7,9},B ={-8,4,9}, 此时A ∩B ={9},当a =5时,A ={-4,9,25},B ={0,-4,9}, 此时A ∩B ={-4,9},不合题意.∴a =-3. 13.设A ={x |x 2-8x +15=0},B ={x |ax -1=0}. (1)若a =15,试判定集合A 与B 的关系; (2)若B ⊆A ,求实数a 组成的集合C .解 由x 2-8x +15=0,得x =3或x =5.∴A ={3,5}. (1)当a =15时,由15x -1=0,得x =5. ∴B ={5},∴BA .(2)∵A ={3,5}且B ⊆A ,∴若B =∅,则方程ax -1=0无解,有a =0. 若B ≠∅,则a ≠0,由方程ax -1=0,得x =1a , ∴1a =3或1a =5,即a =13或a =15,∴C =⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,13,15. 14.设集合A ={x2,2x -1,-4},B ={x -5,1-x,9},若A∩B ={9},求A ∪B. 解 由9∈A ,可得x2=9或2x -1=9, 解得x =±3或x =5.当x =3时,A ={9,5,-4},B ={-2,-2,9},B 中元素重复,故舍去; 当x =-3时,A ={9,-7,-4},B ={-8,4,9},A∩B ={9}满足题意,故A ∪B ={-7,-4,-8,4,9};当x =5时,A ={25,9,-4},B ={0,-4,9}, 此时A∩B ={-4,9}与A∩B ={9}矛盾,故舍去. 综上所述,A ∪B ={-8,-4,4,-7,9}.第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1.若a ∈R ,则“a =1”是“|a|=1”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件解析 若a =1,则有|a|=1是真命题,即a =1⇒|a|=1,由|a|=1可得a =±1,所以若|a|=1,则有a =1是假命题,即|a|=1⇒a =1不成立,所以a =1是|a|=1的充分而不必要条件. 答案 A2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A .“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B .“若一个数的平方是正数,则它是负数” C .“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D .“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”解析 原命题的逆命题是:若一个数的平方是正数,则它是负数. 答案 B3.已知集合A ={x ∈R|12<2x<8},B ={x ∈R|-1<x<m +1},若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ,则实数m 的取值范围是( ) A .m≥2 B .m≤2 C .m>2 D .-2<m<2解析 A ={x ∈R|12<2x<8}={x|-1<x<3} ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ∴∴m +1>3,即m>2. 答案 C4.命题:“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( ) A .若x2≥1,则x≥1或x≤-1 B .若-1<x<1,则x2<1 C .若x>1或x<-1,则x2>1 D .若x≥1或x≤-1,则x2≥1解析 x2<1的否定为:x2≥1;-1<x<1的否定为x≥1或x≤-1,故原命题的逆否命题为:若x≥1或x≤-1,则x2≥1. 答案 D5.命题“若f (x )是奇函数,则f (-x )是奇函数”的否命题是( ). A .若f (x )是偶函数,则f (-x )是偶函数B .若f (x )不是奇函数,则f (-x )不是奇函数C .若f (-x )是奇函数,则f (x )是奇函数D .若f (-x )不是奇函数,则f (x )不是奇函数 解析 否命题既否定题设又否定结论,故选B. 答案 B6.方程ax 2+2x +1=0至少有一个负实根的充要条件是( ).A .0<a ≤1B .a <1C .a ≤1D .0<a ≤1或a <0解析 法一 (直接法)当a =0时,x =-12符合题意. 当a ≠0时,若方程两根一正一负(没有零根), 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4-4a >0,1a<0⇔⎩⎨⎧a <1,a <0⇔a <0; 若方程两根均负,则⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4-4a ≥0,-2a<0,1a >0⇔⎩⎨⎧a ≤1,a >0⇔0<a ≤1. 综上所述,所求充要条件是a ≤1.法二 (排除法)当a =0时,原方程有一个负实根,可以排除A ,D ;当a =1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B ,所以选C. 答案 C 二、填空题7.已知a 与b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题 p1:|a +b|>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,2π3p2:|a +b|>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3,πp3:|a -b|>1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π3p4:|a -b|>1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3,π其中真命题的个数是____________.解析 由|a +b|>1可得a2+2a·b +b2>1,因为|a|=1,|b|=1,所以a·b >-12,故θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,2π3.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,2π3时,a·b >-12,|a +b|2=a2+2a·b +b2>1,即|a+b|>1,故p1正确.由|a -b|>1可得a2-2a·b +b2>1,因为|a|=1,|b|=1,所以a·b <12,故θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3,π,反之也成立,p4正确.答案 28.若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,则a 的最大值为________.解析 由x2>1,得x<-1或x>1,又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件,知由“x<a”可以推出“x2>1”,反之不成立,所以a≤-1,即a 的最大值为-1. 答案 -1 9.已知集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8,x ∈R,B ={x|-1<x<m +1,x ∈R },若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ,则实数m 的取值范围是________. 解析A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x <8,x ∈R={x |-1<x <3}, ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ,∴A B , ∴m +1>3,即m >2. 答案 (2,+∞)10.“m <14”是“一元二次方程x 2+x +m =0有实数解”的________条件. 解析 x 2+x +m =0有实数解等价于Δ=1-4m ≥0,即m ≤14. 答案 充分不必要三、解答题11.写出命题“已知a ,b ∈R ,若关于x 的不等式x2+ax +b≤0有非空解集,则a2≥4b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.解 (1)逆命题:已知a ,b ∈R ,若a2≥4b ,则关于x 的不等式x2+ax +b≤0有非空解集,为真命题.(2)否命题:已知a ,b ∈R ,若关于x 的不等式x2+ax +b≤0没有非空解集,则a2<4b ,为真命题.(3)逆否命题:已知a ,b ∈R ,若a2<4b ,则关于x 的不等式x2+ax +b≤0没有非空解集,为真命题.12.求方程ax2+2x +1=0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件. 解 方程ax2+2x +1=0有且仅有一负根. 当a =0时,x =-12适合条件.当a≠0时,方程ax2+2x +1=0有实根, 则Δ=4-4a≥0,∴a≤1,当a =1时,方程有一负根x =-1.当a<1时,若方程有且仅有一负根,则x1x2=1a <0, ∴a<0.综上,方程ax2+2x +1=0有且仅有一负实数根的充要条件为a≤0或a =1. 13.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. (1)若ab =0,则a =0或b =0; (2)若x2+y2=0,则x ,y 全为零.解 (1)逆命题:若a =0或b =0,则ab =0,真命题. 否命题:若ab≠0,则a≠0且b≠0,真命题. 逆否命题:若a≠0且b≠0,则ab≠0,真命题. (2)逆命题:若x ,y 全为零,则x2+y2=0,真命题. 否命题:若x2+y2≠0,则x ,y 不全为零,真命题. 逆否命题:若x ,y 不全为零,则x2+y2≠0,真命题.14.已知p :x2-8x -20≤0,q :x2-2x +1-a2≤0(a>0).若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围. 解 p :x2-8x -20≤0⇔-2≤x≤10, q :x2-2x +1-a2≤0⇔1-a≤x≤1+a. ∵p ⇒q ,q ⇒/ p , ∴{x |-2≤x ≤10}{x |1-a ≤x ≤1+a }.故有⎩⎨⎧1-a ≤-2,1+a ≥10,a >0,且两个等号不同时成立,解得a ≥9.因此,所求实数a的取值范围是[9,+∞).15.已知集合M={x|x<-3,或x>5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}.(1)求M∩P={x|5<x≤8}的充要条件;(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件.解(1)由M∩P={x|5<x≤8},得-3≤a≤5,因此M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5;(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取a=0,此时必有M∩P={x|5<x≤8};反之,M∩P={x|5<x≤8}未必有a=0,故a=0是M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件.第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、选择题1. 已知命题p :存在n ∈N,2n>1 000,则非p 为( ) A .任意n ∈N,2n≤1 000 B .任意n ∈N,2n>1 000 C .存在n ∈N,2n≤1 000D .存在n ∈N,2n<1 000解析 特称命题的否定是全称命题,即p :存在x ∈M ,p(x),则非p :任意x ∈M ,非p(x). 答案 A2. ax2+2x +1=0至少有一个负的实根的充要条件是( ). A .0<a≤1 B .a <1C .a≤1D .0<a≤1或a <0解析 (筛选法)当a =0时,原方程有一个负的实根,可以排除A 、D ;当a =1时,原方程有两个相等的负实根,可以排除B ,故选C. 答案 C3.下列命题中的真命题是( ).A .∃x ∈R ,使得sin x +cos x =32 B .∀x ∈(0,+∞),ex>x +1 C .∃x ∈(-∞,0),2x<3x D .∀x ∈(0,π),sin x>cos x解析 因为sin x +cos x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4≤2<32,故A 错误;当x<0时,y =2x 的图象在y =3x 的图象上方,故C 错误;因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π4时有sin x<cos x ,故D 错误.所以选B. 答案 B4.已知命题p :∃a0∈R ,曲线x2+y2a0=1为双曲线;命题q :x2-7x +12<0的解集是{x|3<x <4}.给出下列结论:①命题“p ∧q”是真命题;②命题“p ∧綈q”是假命题;③命题“綈p ∨q”是真命题;④命题“綈p ∨綈q”是假命题.其中正确的是________.A .②③B .①②④C .①③④D .①②③④解析 因为命题p 和命题q 都是真命题,所以命题“p ∧q”是真命题,命题“p ∧綈q”是假命题,命题“綈p ∨q”是真命题,命题“綈p ∨綈q”是假命题. 答案 D5.已知命题p :∃x0∈R ,mx20+1≤0,命题q :∀x ∈R ,x2+mx +1>0.若p ∨q 为假命题,则实数m 的取值范围为( )A .m≥2B .m≤-2C .m≤-2或m≥2D .-2≤m≤2解析 若p ∨q 为假命题,则p 、q 均为假命题,即綈p :∀x ∈R ,mx2+1>0与綈q :∃x0∈R ,x20+mx0+1≤0均为真命题.根据綈p : ∀x ∈R ,mx2+1>0为真命题可得m≥0,根据綈q :∃x0∈R ,x20+mx0+1≤0为真命题可得Δ=m2-4≥0,解得m≥2或m≤-2.综上,m≥2.答案 A6.以下有关命题的说法错误的是( )A .命题“若x2-3x +2=0,则x =1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x +2≠0”B . “x =1”是“x2-3x +2=0”的充分不必要条件C .若p ∧q 为假命题,则p 、q 均为假命题D .对于命题p :∃x ∈R ,使得x2+x +1<0,则綈p :∀x ∈R ,均有x2+x +1≥0解析 A 、B 、D 正确;当p ∧q 为假命题时,p 、q 中至少有一个为假命题,故C 错误.答案 C二、填空题7.命题“存在x ∈R ,使得x2+2x +5=0成立”的否定是________.答案 对任意x ∈R ,都有x2+2x +5≠08.存在实数x ,使得x2-4bx +3b<0成立,则b 的取值范围是________.解析 要使x2-4bx +3b<0成立,只要方程x2-4bx +3b =0有两个不相等的实根,即判别式Δ=16b2-12b>0,解得b<0或b>34.答案 (-∞,0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34,+∞ 9.若“∀x ∈R ,(a -2)x +1>0”是真命题,则实数a 的取值集合是________. 解析 “∀x ∈R ,(a -2)x +1>0”是真命题,等价于(a -2)x +1>0的解集为R ,所以a -2=0,所以a =2.答案 {2}10.已知命题p :“∃x ∈R 且x>0,x>1x ”,命题p 的否定为命题q ,则q 是“____________”;q 的真假为________.(选填“真”或“假”)答案 ∀x ∈R +,x≤1x 假11.命题“∃x0∈R,2x20-3ax0+9<0”为假命题,则实数a 的取值范围为________. 解析 题目中的命题为假命题,则它的否定“∀x ∈R,2x2-3ax +9≥0”为真命题,也就是常见的“恒成立”问题,只需Δ=9a2-4×2×9≤0,[来源:中_教_网z_z_s_tep] 即可解得-22≤a≤2 2.答案 [-22,22]12.令p(x):ax2+2x +a >0,若对任意x ∈R ,p(x)是真命题,则实数a 的取值范围是________.解析 ∵对任意x ∈R ,p(x)是真命题.∴对任意x ∈R ,ax2+2x +a >0恒成立,当a =0时,不等式为2x >0不恒成立,当a≠0时,若不等式恒成立,则{ a >0,=4-4a2<0,∴a >1.答案 a >113.若命题“∀x ∈R ,ax2-ax -2≤0”是真命题,则实数a 的取值范围是________.解析 当a =0时,不等式显然成立;当a≠0时,由题意知⎩⎨⎧a <0,Δ=a2+8a≤0,得-8≤a <0.综上,-8≤a≤0.答案 [-8,0]三、解答题14. 写出下列命题的否定,并判断真假.(1)q: ∀x ∈R ,x 不是5x-12=0的根;(2)r:有些素数是奇数;(3)s: ∃x0∈R ,|x0|>0.解 (1)⌝q: ∃x0∈R ,x0是5x-12=0的根,真命题.(2)⌝r:每一个素数都不是奇数,假命题.(3)⌝s:∀x ∈R ,|x|≤0,假命题.15.已知c>0,设命题p :函数y =cx 为减函数.命题q :当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2时,函数f(x)=x +1x >1c 恒成立.如果“p 或q”为真命题,“p 且q”为假命题,求c 的取值范围.解 由命题p 为真知,0<c<1,由命题q 为真知,2≤x +1x ≤52,要使此式恒成立,需1c <2,即c>12,若“p 或q”为真命题,“p 且q”为假命题,则p 、q 中必有一真一假,当p 真q 假时,c 的取值范围是0<c≤12;当p 假q 真时,c 的取值范围是c≥1.综上可知,c 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫c|0<c≤12或c≥1. 16. 已知命题p :方程x2+mx +1=0有两个不等的负根;命题q :方程4x2+4(m -2)x +1=0无实根.若“p ∨q”为真,“p ∧q”为假,求实数m 的取值范围.解 若方程x2+mx +1=0有两个不等的负根,则⎩⎨⎧ Δ=m2-4>0,m >0,解得m >2,即命题p :m >2. 若方程4x2+4(m -2)x +1=0无实根,则Δ=16(m -2)2-16=16(m2-4m +3)<0,解得1<m <3,即q :1<m <3.因“p ∨q”为真,所以p ,q 至少有一个为真,又“p ∧q”为假,所以命题p ,q 至少有一个为假,因此,命题p ,q 应一真一假,即命题p 为真、命题q 为假或命题p 为假、命题q 为真.∴⎩⎨⎧ m >2,m≤1或m≥3或⎩⎨⎧ m≤2,1<m <3.解得:m≥3或1<m≤2, 即实数m 的取值范围为[3,+∞)∪(1,2].。
专题01 集合及其运算目录一览2023真题展现考向一交集的运算考向二集合间的关系真题考查解读近年真题对比考向一交集的运算考向二交、并、补集的混合运算命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一交集的运算1.(2023•新高考Ⅰ)已知集合M={﹣2,﹣1,0,1,2},N={x|x2﹣x﹣6≥0},则M∩N=( )A.{﹣2,﹣1,0,1}B.{0,1,2}C.{﹣2}D.{2}【答案】C.解:∵x2﹣x﹣6≥0,∴(x﹣3)(x+2)≥0,∴x≥3或x≤﹣2,N=(﹣∞,﹣2]∪[3,+∞),则M∩N={﹣2}.考向二集合间的关系2.(2023•新高考Ⅱ)设集合A={0,﹣a},B={1,a﹣2,2a﹣2},若A⊆B,则a=( )A.2B.1C.D.﹣1【答案】B.解:依题意,a﹣2=0或2a﹣2=0,当a﹣2=0时,解得a=2,此时A={0,﹣2},B={1,0,2},不符合题意;当2a﹣2=0时,解得a=1,此时A={0,﹣1},B={1,﹣1,0},符合题意.【命题意图】理解元素与集合的属于关系;会求两个集合的并集、交集与补集。
【考查要点】这类试题在考查题型上主要以选择题的形式出现.试题难度不大,多为低档题,集合的基本运算、充要条件是历年高考的热点.集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系,考查对集合的理解及不等式的有关知识;有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题,考查学生的灵活处理问题的能力.【得分要点】解集合运算问题应注意如下三点:(1)看元素构成,集合中元素是数还是有序数对,是函数的自变量还是函数值等;(2)对集合进行化简,通过化简可以使问题变得简单明了;(3)注意数形结合思想的应用,集合运算常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.考向一交集的运算1.(2022•新高考Ⅰ)若集合M={x|<4},N={x|3x≥1},则M∩N=( )A.{x|0≤x<2}B.{x|≤x<2}C.{x|3≤x<16}D.{x|≤x<16}【答案】D.解:由<4,得0≤x<16,∴M={x|<4}={x|0≤x<16},由3x≥1,得x,∴N={x|3x≥1}={x|x},∴M∩N={x|0≤x<16}∩{x|x}={x|≤x<16}.2.(2022•新高考Ⅱ)已知集合A={﹣1,1,2,4},B={x||x﹣1|≤1},则A∩B=( )A.{﹣1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{﹣1,4}【答案】B.解:|x﹣1|≤1,解得:0≤x≤2,∴集合B={x|0≤x≤2}∴A∩B={1,2}.3.(2021•新高考Ⅰ)设集合A={x|﹣2<x<4},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{2,3,4}B.{3,4}C.{2,3}D.{2}【答案】C.解:∵集合A={x|﹣2<x<4},B={2,3,4,5},∴A∩B={2,3}.考向二交、并、补集的混合运算4.(2021•新高考Ⅱ)若全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B={2,3,4},则A∩∁U B=( )A.{3}B.{1,6}C.{5,6}D.{1,3}【答案】B.解:因为全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,3,6},B={2,3,4},所以∁U B={1,5,6},故A∩∁U B={1,6}.分析近三年的新高考试题,可以发现数学试题的前1~2题都是考查集合的基本运算,只是每年考查的切入点不同,但实质都是集合的最基本知识,属于送分题,偶尔会变换形式进行考查,预计2024年还是主要体现在集合的基本运算上。
集合关系练习题及答案集合关系是数学中的一个重要概念,它涉及到集合之间的包含、相等、子集等关系。
以下是一些集合关系的练习题及答案,供同学们学习和练习。
# 练习题1:判断下列集合之间的关系设集合 A = {1, 2, 3},B = {3, 4, 5},C = {1, 2, 3, 4}。
1. A 是否是 B 的子集?2. B 是否是 A 的子集?3. C 是否是 A 的子集?4. A 和 B 是否相等?# 答案1:1. A 不是 B 的子集,因为 A 中的元素 1 和 2 不在 B 中。
2. B 不是 A 的子集,因为 B 中的元素 4 和 5 不在 A 中。
3. C 是 A 的子集,因为 A 中的所有元素都在 C 中。
4. A 和 B 不相等,因为它们包含不同的元素。
# 练习题2:求集合的交集和并集设集合 D = {1, 2, 5},E = {2, 3, 5, 7}。
1. 求 D 和 E 的交集。
2. 求 D 和 E 的并集。
# 答案2:1. D 和 E 的交集是 {2, 5},因为这两个元素同时出现在 D 和 E 中。
2. D 和 E 的并集是 {1, 2, 3, 5, 7},包含了 D 和 E 中的所有元素。
# 练习题3:使用韦恩图表示集合关系使用韦恩图表示以下集合的关系:集合 F = {1, 3, 5, 7},G = {2, 4, 6, 8},H = {3, 4, 5, 6}。
# 答案3:韦恩图是一种图形化表示集合之间关系的工具。
在这个例子中,F、G和 H 没有共同元素,因此它们的韦恩图将显示三个不相交的集合。
# 练习题4:求集合的补集设全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},I = {2, 4, 6, 8}。
1. 求 I 在 U 中的补集。
2. 如果 J = {1, 3, 5, 7, 9},求 J 在 U 中的补集。
# 答案4:1. I 在 U 中的补集是 {1, 3, 5, 7, 9},因为这些元素在 U 中但不在 I 中。
专题 集合运算与关系考点精要1.集合的含义. 2.集合的表示.3.集合间的基本关系. 4.集合的基本运算.热点分析热点是集合的基本概念、运算和工具作用,考查重点是集合与集合之间的关系.知识梳理1.集合:某些确定的对象集在一起成为集合.(1)集合中的对象称元素,若a 是集合A 的元素,记作a A ∈;若b 不是集合A 的元素,记作b A ∉.(2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性. (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法:列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内; 图示法:集合的表示除了列举法和描述法外,还有文恩图(文氏图)画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如图: (4)常用数集及其记法:非负整数集(或自然数集),记作N ; 正整数集,记作N *或N +; 整数集,记作Z ; 有理数集,记作Q ; 实数集,记作R .2.集合的包含关系:(1)集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,则称A 是B 的子集,记作A ⊆B (或B ⊇A ).集合相等:构成两个集合的元素完全一样.若A ⊆B 且B ⊇A ,则称A 等于B ,记作A =B .若A ⊆B 且A B ≠,则称A 是B 的真子集,记作A B . (2)简单性质:①A ⊆A ; ②Φ⊆A ; ③若A ⊆B ,B ⊆C ,则A ⊆C ;④若集合A 是n 个元素的集合,则集合A 有2n 个子集(其中2n -1个真子集).3.全集与补集:(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作S (或U );(2)若S 是一个集合,A ⊆S ,则S ðA ={|}x x S x A ∈∉且称S 中子集A 的补集;A 表示任意一个集(3)简单性质:①S ð(S ðA )=A ; ②S ðS =Φ,S Φð=S .4.交集与并集:(1)一般地,由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集.交集{|}A B x x A x B ⋂=∈∈且.(2)一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集.{|}A B x x A x B ⋃=∈∈并集或.5.集合的简单性质:(1),,A A A A A B B A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂; (2),A A A B B A ⋃Φ=⋃=⋃; (3)()()A B A B ⋂⊆⋃;(4);A B A B A A B A B B ⊆⇔⋂=⊆⇔⋃=; (5)S ð(A ∩B )=(S ðA )∪(S ðB ),S ð(A ∪B )=(S ðA )∩(S ðB ).例题精讲:例1: 设集合U ={1,2,3,4,5},A ={2,4},B ={3,4,5},C ={3,4},则()()U A B C ð=_______.例2: 定义集合A 、B 的一种运算:A *B ={x |x =x 1+x 2, x 1∈A , x 2∈B },若A ={1,2,3},B ={1,2},则A *B 中的所有元素之和为________例3: 记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ,不等式|1|1x -≤的解集为Q . (1)若3a =,求P ; (2)若Q P ⊆,求正数a 的取值范围.变式:设集合},0|{},0422|{2<==++-=x x B m x x x A ,φ≠⋂B A 若,求实数m 的取值范围.例4(2009北京)设A 是整数集的一个非空子集,对于k A ∈,如果1k A -∉且1k A +∉,那么k 是A 的一个“孤立元”,给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =,由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有 个.针对训练1.设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤,则A B =A .{12}x x -≤<B .1{|1}2x x -<≤ C .{|2}x x <D .{|12}x x ≤<2.全集S ={x |4x ≤,x ∈N *},A ={1,2,3},A ∩S ðB ={2,3},那么B = A .{2,3} B .{2,3}或{2,3,4} C .{1,4} D .{1,4}或{1} 3.集合A ={3-2x ,1,3},B ={1,x 2},并且A ∪B =A ,那么满足条件的实数x 的个数为A .1B .2C .3D .4 4.设M ={x | x ∈Z },N ={x | x =2n ,n ∈Z },P ={x | x =n +12},则下列关系正确的是 A . N M . B . N P C .N =M ∪PD .N =M ∩ P5.集合A ={y | y =x 2+1},B ={y | y =x +1},则 A ∩ B = A .{(1,2),(0,1)} B .{0,1} C .{1,2}D .[1,)+∞6.设全集I 是实数集R ,{|M x y ==与1(,]3N =-∞-都是I 的子集(如图所示),则阴影部分所表示的集合为 A .{|1}x x <- B .{|x x ≤ 5}-C .{|1x -≤x ≤1}3-D .{|1}x x >7.定义集合运算:A ⊙B ={z | z = xy (x+y ), z ∈A , y ∈B },设集合A={0,1},B={2,3},则集合A ⊙B 的所有元素之和为 A .0 B .6 C .12 D .18 8.已知全集U =R ,集合{}|23A x x =-≤≤,{}|14B x x x =<->或,那么集合()U A B ð等于 A .{}|24x x -<≤ B .{}|34x x x ≤≥或 C .{}|21x x -<-≤D .{}|13x x -≤≤9.集合{}|lg ,1A y y x x =∈=>R ,}{2,1,1,2B =--,则下列结论正确的是A .}{2,1AB =-- B .()(,0)R A B =-∞ðC .(0,)A B =+∞D.}{()2,1R A B =--ð10.已知U =R ,A ={}|0x x >,B ={}|1x x ≤-,则()()U UA B BA =痧A .∅B .{}|0x x ≤C .{}|1x x >-D .{}|01x x x >≤-或11.已知集合{}3|0|31x M x N x x x +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭,≤,则集合{}|1x x ≥= A .M N B .M N C .()U MN ðD .()U MN ð12.设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭,则A B =A .∅B .()3,4C .()2,1-D .()4,+∞13.设不等式20x x -≤的解集为M ,函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ,则M N⋂为A .[0,1)B .(0,1)C .[0,1]D .(-1,0] 14.已知集合A ={x | |x |2≤, x ∈R },B ={x | x a ≥},且A B ,则实数a 的取值范围是___________.答案 ;例1: {2,5} 例2: 14 例3; (1){x / -1<x <3} (2) a >2针对训练1.A 2.D 3.C 4.C 5.D 6.A 7.D 8.D 9.D 10.D 11.D 12.B 13.A 14.3a ≤高考链接 模拟实战1(09北京文)设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤,则A B =——A .{12}x x -≤<B .1{|1}2x x -<≤C .{|2}x x <D .{|12}x x ≤<2(10北京理) 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤,则P M I =—— (A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3} 3(05北京理)设全集U =R ,集合M ={x | x >1,P ={x | x 2>1},则下列关系中正确的是(A )M =P (B )P ÜM (C )M ÜP ( D )U MP =∅ð4(08北京文)已知全集∪=R ,集合A =|x |-2≤x ≤3|,B =|x |x 〈-1或x 〉4|,那么集合A ∩(εv B )等于 (A)|x |-2≤x 〈4| (B )|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1 (D)|x | -1≤x ≤3| 5(11北京文)已知全集U=R,集合P={x ︱x 2≤1},那么A .(-∞, -1]B .[1, +∞)C .[-1,1]D .(-∞,-1] ∪[1,+∞)6(2011年西城一模1)已知集合{5}A x x =∈<Z ,{20}B x x =-≥,则A B =( )(A )(2,5) (B )[2,5) (C ){2,3,4} (D ){3,4,5} 7(2011年朝阳一模1)若集合2{|, }M y y x x ==∈R ,{|2, }N y y x x ==+∈R , 则N M ⋂等于( ) (A )[)0,+∞ (B )(,)-∞+∞ (C )∅ (D ){(2, 4),(1, 1)-}答案1 B 2 B 3 C 4 D 5 D 6C 7 A。
第02讲 集合间的基本关系模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理(吃透教材)模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1.理解集合之间的包含与相等的含义;2.能够识别给定集合的子集和真子集,了解空集的含义;3.能够进行自然语言、图形语言(Venn 图)、符号语言的转换,提升数学抽象素养;4.掌握集合子集、相等、真子集的定义,辨析集合间的关系与上一节内容的区别与联系,能使用适当的符号表示集合间的关系.知识点 1 子集与真子集1、韦恩图:在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn 图.(1)表示集合的Venn图边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用Venn 图表示集合的方法叫图示法,其优点是能直观地表示出集合间的关系,缺点是集合元素的共同特征不明显.2、子集定义一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,就称集合A 为集合B 的子集.记法与读法记作A ⊆B (或B ⊇A ),读作“A 包含于B ”(或“B 包含A ”)图示性质(1)任意一个集合都是它本身的子集,即集合的子集也包括它本身,记作A A ⊆;(2)传递性:对于集合,,A B C ,如果A B ⊆,B C ⊆,则A C ⊆.【注意】(1)“A 是B 的子集”的含义:集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素,即由任意x A ∈,能推出x B ∈.(2)如果集合A 中存在着不是集合B 的元素,那么A 不包含于B ,或B 不包含A .3、真子集定义如果集合A 是集合B 的子集,但存在元素x ∈B ,且x A ∉,就称集合A 是集合B 的真子集.记法与读法记作AB 或(B A ),读作“A 真包含于B ”(或“B 真包含A ”)图示性质(1)任意集合都不是它本身的真子集.(2)传递性:对于集合,,A B C ,如果A B Ü,B C Ü,则A C Ü.【注意】(1)真子集也可以叙述为:若集合A B ⊆,存在元素x B ∈且x A ∉,则称集合A 是集合B 的真子集.(2)如果集合A 是集合B 的真子集,那么集合A 一定是集合B 的子集,反之不成立.知识点 2 集合相等1、集合相等的概念定义一般地,如果集合A 的任何一个元素都是B 的元素,同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,那么集合A 与集合B 相等.记法与读法记作A B =,读作“A 等于B ”图示【注意】(1)若两个集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素排列顺序无关。
(寒假总动员)2020年高三数学寒假作业 专题01集合间的关系及其运算(测)(含解析)时间:45分钟满分:100分一. 选择题(每小题5分,共50分) 1•设集合 A {1,2,3},集合 B { 2,2},则 Al B () A .B .⑵C . { 2,2}D .{ 2,1,2,3}【答累】C 【解析】试题解祈=由函数的导魏可得y a*一所以丄£=4卯—1 一所以切專为"1)一所以所求的直线为4.r^ v —3 = 0,所以选 0.!芳点| 1 ■函数的吕数•佥吕数的几何意义工直线方稈的表示.2•已知集合 U {1,234},集合 A={1,2}严{2,3},则 eu (AUB )() A . {1,3,4} B . ©4} C .⑶ D .⑷ 【答案】D 【解析】试题分析I 因为={1:13}所 dUERH}一所以5SD. 等点;1・并集的柢鉛盒年煤的槪惡 3.设集合 S {XX 2},T {x 4 x 1},则 SI T = ()A .卜4,+ s )B . (-2, + s )C . [-4,1]D . (-2,1]【答案】D 【解析】试题分析;因为集合 5=fe|x>-2j J T^[x|-4^A^l}J fifty t 30^ (-2,1],故选 D 若点1集合的交集槪念.A . ( ,2]B . [1,2]C . [-2,2]D . [-2,1]【答案】D【解析】 试题分析:由集合A {x Rx 2}可得A {x 2 X 2}.所以Al B {x R 2 x 1}.故选D 考点:1•绝对值的不等式的解法.2.集合的交集.4•已知集合{xR x 2}, B {x Rx 1}?则Al B5•已知集合A、B均为全集U {1,2,3,4}的子集,且^(AUB) {4},B {1,2},则AgB ()A . {3}B . {4}C . {3,4}D .【答累】A【解析】成题分析’因为由={+},所以丄;J B h八j =厲邛所以集合.1 = 0,3}或4 = {2P3}或J ={1,2,3}.又因为C L5 = {3} Rrlili A A.彗慕丄.集合的补集.巳集合的交集,6.已知全集U = R,集合A {xlgx 0}, B {x 2 1},则?U(A U B)=()A . (—a, 1)B . (1 ,+© C. (—a, 1] D . [1 ,+©【答案】B【解析】试题解析:由隼合集合*=〔卫:戢壬[|氣3—\x2-'^1J = {.r|0 < x^l} ? B={x|x<; 0}所以A\JB = {x\x £1}.所以U场=◎技>1} ffi<选5l.M合的补棄.2■集合的芥貨—对数、吃散方程.7. 若集合A={x € R|ax2+ax+仁0}其中只有一个元素,则a=( )A . 4B . 2C . 0D . 0 或4【答冕】A【解析】试题解析=因丸集合匸他引|曲帕廿1二o戌中只育一个-k,学科期当二次系数&三0时,育程处”-心+ 1二0 无解I 所以口二0 不咸立.当,u iL |JB J= 0±/. £T = 0 或口二4 综上a -J.SfeiS A.君点;1 ■舍琴的二次肓程的解法仏黑合叱才征・2 28. 设集合S {x|x 2x 0,x R} ,T {x|x 2x 0,x R},则SI T ()A. {0}B. {0,2}C. { 2,0}D. { 2,0,2}【答案】A【解析】试題解析:依题意可得’集20农丁=匸0卜所「厂=卩}一 考点:i ・二次方程的解法・2棗 J 心・9•若集合A {1,2,3},B {1,3,4},则A B 的子集个数为()A . 2B . 3C . 4D . 16I 答案】C【解析】试题解析!依題意可得-厂恥仏为 所以」m 子集洵{1⑶,{i}(⑶’ e 洪4个所以遗匚钦点;1•集合的交集总集合的子集.【答黑】A 【解析】试題解析;因为眉二讨2-1}•所MC 屛二匕卜 J :「.又因九#F7—1,61}.所以d)cJ? = {-Z-l}故选丸1-M 合加补集.比集合的X.工集合枕川詬 描吃左表示”I二. 填空题(每小题5分,共20分)11.已知集合 U {2,368}, A {2,3}, B {2,6,8},则 C U(A I B )______【答累】{3,6,8} 【解析】试題分析;因ch 所以「心g=(i6i}. 考点;I •集合的交集•集合的补鼠io.已知A2, 1,0,1,则(C R A) B2, 1B .2 C 1,0,10,112.集合P= x,y x y 0,Q= x,y x y 2,则PI Q =【答案】{(1, 1)}【解祈】it題另析:由于集合PQ內的元素分别表示是直线上的点丹以叢示艮対两直线的交虽的坐标所決考点I 1腺合的交集点描述法蔻示的元畫记詰构要理解蓿楚,13..对于E={a1,a2, yalOO}的子集X={a1,a2,an},定义X的特征数列"为x1,x2, ・;x100,其中x仁x2=xn=1.其余项均为0,例如子集{a2,a3}的特征数列”为0,1,1,0,,0(1) 子集{a1,a3,a5}的特征数列”的前三项和等于_______________ ;(2) 若E的子集P的特征数列” P1,P2,…,P1O满足P仁1, P i+Pi+1=1, 1 < i w 99;E 的子集Q 的特征数列"q1,q2, ,q100 满足q1=1,q j+qj+1+qj+2=1,1 w j w 98,P QQ的元素个数为_________ .【答案】⑴2 ⑵17【解析】盘题解析,由题意可得特征薇列的构成是,特征数列的每项如果跟所给集合的元素扫E序一样的规定为数字1, 匡余对不上的规定次o.依照K个规律择E的一列敢就叫这个呆合杓特征数列-⑴ 子第滋沖詔的“特征馥列”’的前三顼厂」61-所以和为2-填2.⑵由题意可得子集FET特征数舛'导・,丄2• • X⑴母两亍有一个对应相同,共有50个是对应相同的.而时于子集Q的“怜征魏列17是1,0,0.1,0』,…,匚①亠仁每三个有一个对应相同,共;34牛相同.所以两个千隼共有LY个帕同元素.所取塡1匸考点■ 1 +葉合的子黑“2■集合应用.14.设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y f(x)满足;(i) T { f(X)I X S} ;(ii)对任意x1 , x2 S 当x1 x2 时,恒有f (x1) f (x2)那么称这两个集合保序同构”现给出以下3对集合:① A N,B N ;② A {x| 1 x 3}, B {x| 8 x 10};③ A {x |0 x 1}, B R.其中,保序同构”的集合对的序号是______________ (写出所有保序同构”的集合对的序号)【答案】①②③【解析】 试岂辭杯 S+(1P =• ■■-门(亠对仕意••••■•:亡三“兰 V- < ..:放怛勺) < c .-.-:)・ tw弓 F中的元素是/W ,其中的自变量疋属于s 井且是当斯=推吒晅有/厲)< /(珀・趾所以对于①式从 &B 存在y=^+i.即©Sffi 立.②式同样存齐一个谨增的—舷訣几® =亦+ b ・令 rC-l)=-S</(3) = 10眼可■所以②式正确 ③式令T-tan 陀-$嗣可竦上正确答案是①②©■■肴点■ 1■函数的单调性・2■构造函数的解析式. 三. 解答题(每小题15分,共30分)2 2 215•已知命题p :方程ax ax 2 0在[1,1]上有解;命题q :函数f (x) x 2ax 2a 的值域为【°,),若命题p 或q 是假命题,求a 的取值范围 【答案】口三一1或口仝2 【解析】试题解析:因为命题p 或q 是假命题所命题启一頁一版若命题,函数/X ・x)=工亠▼】昭+h 的道忒 >tj [O :+x)t 则0笛口 W 二命题p-方程aV+£zx-2 = 0在[一口]上有解是真命题.令g(.v) = £7V-ar-2如果戸真J g 假贝1口 < 0或应 > :.所以:;.所从◎乞-1或or N 】.所以"Q 或口 > 2.如果戸真,炽离寒;学汗剧粽上必-】或口门考具’ 1.第合与简单的逻辑关底词的应用.2.二欲不等式的解法.求使B A 的实数a 的取值范围.【答案】【解析】(1){x4 x 5};(2) [1,3]试题分析:(1)因为当a =2时•集合A {x2 x 7},B {X 4 5}.所以 Al B {x 4x 5}16.已知集合 A = {x|(x2)[x (3a 1)] 0}, B =x 2a1){x|x (a 20}(1) 当a = 2时,求Al B ;(2)因为集合B中当a=1时B•符合B A.当a 1时.2a1.所以B {x2a x1集合 a当 考点: a A ,当3 时 A {x3a 1 2}.不符合条件•又因为13时,集合A 为空集,所以不符合条件1 3时.1 a3 .所以a 的取值范围是[1,3].1•分类的思想.2.分式不等式的解法.3•集合的包含关系。
专题一集合、集合的关系、集合的运算核心素养练习一、核心素养聚焦考点一逻辑推理-集合元素的互异性例题8.已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值。
【答案】a=-1【解析】若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,集合A有重复元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合集合中元素的互异性,所以a=-1。
考点二数学抽象-子(真子)集个数例题9.已知集合M满足:{1,2}M⊆{1,2,3,4,5},写出集合M所有的可能情况.【解析】由题意可以确定集合M必含有元素1,2,且至少含有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M 的元素个数分类如下:含有3个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5};含有4个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5};含有5个元素:{1,2,3,4,5}.故满足条件的集合M为{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.考点三数学运算-集合运算例题10、设A={x|x2+ax+12=0},B={x|x2+3x+2b=0},A∩B={2},C={2,-3}.(1)求a,b的值及A,B;(2)求(A∪B)∩C.【答案】(1)a=-8,b=-5,A={2,6},B={2,-5}.(2)(A∪B)∩C={2}.【解析】(1)∵A∩B={2},∴4+2a+12=0,即a=-8,4+6+2b=0,即b=-5,∴A={x|x2-8x+12=0}={2,6},B={x|x2+3x-10=0}={2,-5}.(2)∵A∪B={-5,2,6},C={2,-3},∴(A∪B)∩C={2}.考点四直观想象-补集例题11.已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则∁U A=________.【答案】∁U A={x|x<-3或x=5}.【解析】将集合U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.由补集的定义可知∁U A={x|x<-3或x=5}.二、学业质量测评一、选择题1.(2019·全国高一单元测试)已知集合M={-1,0},则满足M∪N={-1,0,1}的集合N的个数是()A .2B .3C .4D .8 【答案】C 【解析】因为由M ∪N={-1,0,1},得到集合M ⊆M ∪N ,且集合N ⊆M ∪N ,又M={0,-1},所以元素1∈N ,则集合N 可以为{1}或{0,1}或{-1,1}或{0,-1,1},共4个.故选C2.(2019·全国高一单元测试)已知M ={x ∈R|x },a =π,有下列四个式子:(1)a ∈M ;(2){a }⊆M ;(3)a ⊆M ;(4){a }∩M =π.其中正确的是( ) A.(1)(2) B.(1)(4) C.(2)(3) D.(1)(2)(4)【答案】A【解析】由题意,(1)中,根据元素与集合的关系,可知是正确的;(2)中,根据集合与集合的关系,可知是正确的; (3)是元素与集合的关系,应为a ∈M ,所以不正确;(4)应为{a}∩M ={π},所以不正确,故选A .3.(2019·全国高一单元测试)设集合{|32}M m m =∈-<<Z ,{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ,则A .{}01,B .{}101-,,C .{}012,,D .{}1012-,,, 【答案】B【解析】依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-.故选B 。
一、选择题:本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,集合{|22}A x x =-<<,2{|20}B x x x =-≤,则A B = ( )A .(0,2)B .(0,2]C .[0,2)D .[0,2]2.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛,他们每场比赛得分的情形用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员中位数别离是( ) A .19、13 B .13、19 C .20、18 D .18、203.已知向量)1,(),21,8(x x ==,其中1>x ,若)2(b a +∥,则x 的值为( )A .0B .2C .4D .84.已知函数2log (0)()2(0)xx x f x x >⎧=⎨≤⎩,若1()2f a =,则实数a = ( ) A .1- BC .1-D .1或5.直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是( ) A .相离B .相交C .相切D .不确定6.在区间[0,1]上任取两个数a 、b ,则方程220x ax b ++=有实根的概率为 ( ) A .18B .14C .12D .347.已知a ∈R ,则“2a >”是“22a a >”的 ( )A .充分没必要要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件8.曲线y=2x-x 3在横坐标为-1的点处的切线为l ,则点P(3,2)到直线l 的距离为( )A .227B .229 C .2211D .101099.等差数列{}n a 的前m 项的和是30,前2m 项的和是100,则它的前3m 项的和是A .130B .170C .210D .260甲 乙 7 9 8 0 7 8 5 5 7 9 1 1 1 3 3 4 6 2 2 0 2 3 1 01410.设由正数组成的等比数列,公比q =2,且3030212=a a a ……·,则30963a a a a ……··等于A .102B .202C .162 二、填空题:本大题共7个小题,把答案填在题中横线上.11.已知复数i a a a a )6()32(22-++-+表示纯虚数,则实数a 的值等于 12.函数x x y 21-+=的值域是13.已知x 、y 知足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ,则y x z 42+=的最小值为 .14.已知αββαtan ,41tan ,31)tan(则==+的值为 。
(寒假总动员)2015年高三数学寒假作业 专题01 集合间的关系及其运算(测)(含解析)时间:45分钟 满分:100分一.选择题(每小题5分,共50分) 1.设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则AB =( )A .∅B .{2}C .{2,2}-D . {2,1,2,3}-2.已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()UA B =ð ( )A .{1,3,4}B .{3,4}C .{3}D .{4}3.设集合{2}S x x =>-,{41}T x x =-≤≤,则S T = ( )A .[-4,+∞)B .(-2, +∞)C .[-4,1]D .(-2,1]4.已知集合{2},{1}A x R xB x R x =∈≤=∈≤, 则A B =( )A .(,2]-∞B .[1,2]C .[-2,2]D .[-2,1] 【答案】D【解析】试题分析:由集合{2}A x R x =∈≤可得{22}A x x =-≤≤.所以{21}A B x R x =∈-≤≤.故选D.考点:1.绝对值的不等式的解法.2.集合的交集.5.已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且(){4}UA B =ð,{1,2}B =,则U A B =ð( )A .{3}B .{4}C .{3,4}D .∅6.已知全集U =R ,集合{lg 0}A x x =≤,{21}x B x =≤,则∁U(A ∪B)=( )A .(-∞,1)B .(1,+∞)C .(-∞,1]D .[1,+∞)7.若集合A={x ∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=( )A .4B .2C .0D .0或48.设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,2{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T =( ) A .{0} B . {0,2} C .{2,0}- D .{2,0,2}- 【答案】A9.若集合}4,3,1{},3,2,1{==BA,则BA 的子集个数为()A.2 B.3 C.4 D.1610.已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B=+>=--,则()RC A B⋂=()A.{}2,1--B.{}2-C{}1,0,1-D.{}0,1二.填空题(每小题5分,共20分)11.已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B===,则()UC A B=_____12. 集合P=(){}0,=+yxyx,Q=(){}2,=-yxyx,则P Q=【答案】{(1,1)}-13..对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={a1,a2,an},定义X的“特征数列”为x1,x2,…,x100,其中x1=x2=xn=1.其余项均为0,例如子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,,0(1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于____ _______;(2) 若E的子集P的“特征数列”P1,P2,…,P100 满足P1=1, P i+Pi+1=1, 1≤i≤99;E 的子集Q的“特征数列” q1,q2, …,q100 满足q1=1,q j+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为_________.14.设TS,是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数)(xfy=满足;(i)}|)({SxxfT∈=;(ii)对任意Sxx∈21,,当21xx<时,恒有)()(21xfxf<.那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合:①*,NBNA= =;②}108|{},31|{≤≤-=≤≤-=xxBxxA;③RBxxA=<<=},10|{.其中,“保序同构”的集合对的序号是____________(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 【答案】①②③三.解答题(每小题15分,共30分)15.已知命题p:方程2220a x ax+-=在]1,1[-上有解;命题q:函数2()22f x x ax a=++的值域为),0[+∞,若命题qp或是假命题,求a的取值范围.16.已知集合A={|(2)[(31)]0}x x x a--+<,B=22{|0}(1)x axx a-<-+.(1)当a=2时,求A B;(2)求使B A⊆的实数a的取值范围.【答案】(1){45}x x<<;(2)[1,3]【解析】试题分析:(1)因为当a=2时.集合{27},{45}A x xB x x=<<=<<.所以{45}A B x x=<<.(2)因为集合B中当a=1时Bφ=.符合B A⊆.当1a≠时.221a a<+.所以2{21}B x a x a=<<+.又由集合A,当13a<时{312}A x a x=+<<.不符合条件.又因为13a=时,集合A为空集,所以不符合条件.当13a>时.13a≤≤.所以a的取值范围是[1,3].考点:1.分类的思想.2.分式不等式的解法.3.集合的包含关系.。
高中数学集合间的基本关系过关检测题(有答案)高中数学集合间的基本关系过关检测题(有答案)1.下列六个关系式,其中正确的有()①{a,b}={b,a};②{a,b}{b,a};③={};④{0}=;⑤ {0};⑥0{0}.A.6个B.5个C.4个 D.3个及3个以下解析:选C.①②⑤⑥正确.2.已知集合A,B,若A不是B的子集,则下列命题中正确的是()A.对任意的aA,都有aBB.对任意的bB,都有bAC.存在a0,满足a0A,a0BD.存在a0,满足a0A,a0B解析:选C.A不是B的子集,也就是说A中存在不是B中的元素,显然正是C选项要表达的.对于A和B选项,取A={1,2},B={2,3}可否定,对于D选项,取A={1},B={2,3}可否定.3.设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A B,则a的取值范围是()A.a B.a1C.a D.a2(2)M={1,-3},N={3,-1};(3)M=,N={0};(4)M={},N={3.1415};(5)M={x|x是小数},N={x|x是实数};(6)M={x|x2-3x+2=0},N={y|y2-3y+2=0}.其中表示相等的集合有()A.2组 B.3组C.4组 D.5组解析:选A.(5),(6)表示相等的集合,注意小数是实数,而实数也是小数.5.定义集合间的一种运算“*”满足:A*B={|=xy(x+y),xA,yB}.若集合A={0,1},B={2,3},则A*B的子集的个数是()A.4 B.8C.16 D.32解析:选B.在集合A和B中分别取出元素进行*的运算,有02(0+2)=03(0+3)=0,12(1+2)=6,13(1+3)=12,因此可知A*B={0,6,12},因此其子集个数为23=8,选B. 6.设B={1,2},A={x|xB},则A与B的关系是()A.AB B.BAC.AB D.BA解析:选D.∵B的子集为{1},{2},{1,2},,A={x|xB}={{1},{2},{1,2},},BA.7.设x,yR,A={(x,y)|y=x},B={(x,y)|yx=1},则A、B间的关系为________.解析:在A中,(0,0)A,而(0,0)B,故B A.答案:B A8.设集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且AB,则a 的值为________.解析:AB,则a2-a+1=3或a2-a+1=a,解得a=2或a =-1或a=1,结合集合元素的互异性,可确定a=-1或a =2.答案:-1或29.已知A={x|x<-1或x>5},B={x|ax<a+4},若A B,则实数a的取值范围是________.解析:作出数轴可得,要使A B,则必须a+4-1或a>5,解之得{a|a>5或a-5}.答案:{a|a>5或a-5}10.已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2},若A=B,求c的值.解:①若a+b=aca+2b=ac2,消去b得a+ac2-2ac=0,即a(c2-2c+1)=0.当a=0时,集合B中的三个元素相同,不满足集合中元素的互异性,故a0,c2-2c+1=0,即c=1;当c=1时,集合B中的三个元素也相同,c=1舍去,即此时无解.②若a+b=ac2a+2b=ac,消去b得2ac2-ac-a=0,即a(2c2-c-1)=0.∵a0,2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0.又∵c1,c=-12.11.已知集合A={x|12},B={x|1a,a1}.(1)若A B,求a的取值范围;(2)若BA,求a的取值范围.解:(1)若A B,由图可知,a2.(2)若BA,由图可知,12.12.若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},且B A,求实数m的值.解:A={x|x2+x-6=0}={-3,2}.∵B A,mx+1=0的解为-3或2或无解.当mx+1=0的解为-3时,由m(-3)+1=0,得m=13;当mx+1=0的解为2时,由m2+1=0,得m=-12;当mx+1=0无解时,m=0.综上所述,m=13或m=-12或m=0.。
(寒假总动员)2015年高三数学寒假作业 专题01 集合间的关系及其运算(测)
(含解析)
时间:45分钟 满分:100分
一.选择题(每小题5分,共50分)
1.设集合{1,2,3}A =,集合{2,2}B =-,则A B = ( ) A .∅ B .{2} C .{2,2}- D . {2,1,2,3}-
2.已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()U
A B = ð ( )
A .{1,3,4}
B .{3,4}
C .{3}
D .{4}
3.设集合
{2}S x x =>-,
{41}
T x x =-≤≤,则S T = ( )
A .[-4,+∞)
B .(-2, +∞)
C .[-4,1]
D .(-2,1]
4.已知集合
{2},{1}
A x R x
B x R x =∈≤=∈≤, 则A B = ( )
A .(,2]-∞
B .[1,2]
C .[-2,2]
D .[-2,1] 【答案】D 【解析】
试题分析:由集合
{2}
A x R x =∈≤可得
{22}
A x x =-≤≤.所以
{21}
A B x R x =∈-≤≤ .故选D.
考点:1.绝对值的不等式的解法.2.集合的交集.
5.已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且(){4}U
A B = ð,{1,2}B =,则U A B = ð( )
A .{3}
B .{4}
C .{3,4}
D .∅
6.已知全集U =R ,集合
{lg 0}
A x x =≤,
{21}
x B x =≤,则∁U(A ∪B)=( )
A .(-∞,1)
B .(1,+∞)
C .(-∞,1]
D .[1,+∞)
7.若集合A={x ∈R|ax2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=( ) A .4 B .2 C .0 D .0或4
8.设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,
2
{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T = ( ) A .{0} B . {0,2} C .{2,0}- D .{2,0,2}- 【答案】A
9.若集合
}4,3,1{
},
3,2,1{=
=B
A,则B
A 的子集个数为()
A.2 B.3 C.4 D.16
10.已知
{}{}
|10,2,1,0,1
A x x B
=+>=--
,则
()
R
C A B
⋂=
()
A.{}
2,1
--
B.
{}2-
C
{}
1,0,1
-
D.
{}
0,1
二.填空题(每小题5分,共20分)
11.已知集合
{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}
U A B
===,则()
U
C A B=
_____
12. 集合P=()
{}0
,=
+y
x
y
x
,
Q=()
{}2
,=
-y
x
y
x
,则
P Q
=
【答案】{(1,1)}
-
13..对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={a1,a2,an},定义X的“特征数列”为x1,x2,…,x100,其中x1=x2=xn=1.其余项均为0,例如子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,,0
(1) 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于____ _______;
(2) 若E的子集P的“特征数列”P1,P2,…,P100 满足P1=1, P i+Pi+1=1, 1≤i≤99;
E 的子集Q的“特征数列” q1,q2, …,q100 满足q1=1,q j+qj+1+qj+2=1,
1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为_________.
14.设
T
S,是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数)
(x
f
y=满足;
(i)
}
|)
(
{S
x
x
f
T∈
=;(ii)对任意S
x
x∈
2
1
,,当
2
1
x
x<时,恒有)
(
)
(
2
1
x
f
x
f<.
那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合:
①
*
,N
B
N
A= =;
②
}
10
8
|
{
},
3
1
|
{≤
≤
-
=
≤
≤
-
=x
x
B
x
x
A;
③
R
B
x
x
A=
<
<
=},
1
0|
{.
其中,“保序同构”的集合对的序号是____________(写出所有“保序同构”的集合对的序号) 【答案】①②③
三.解答题(每小题15分,共30分)
15.已知命题p:方程2220
a x ax
+-=在]1,1
[-上有解;命题q:函数2
()22
f x x ax a
=++的值域为
)
,0[+∞,若命题q
p或是假命题,求a的取值范围.
16.已知集合A={|(2)[(31)]0}
x x x a
--+<,B=2
2
{|0}
(1)
x a
x
x a
-
<
-+.
(1)当a=2时,求A B
;
(2)求使B A
⊆的实数a的取值范围.
【答案】(1){45}
x x
<<
;(2)
[1,3]
【解析】
试题分析:(1)因为当a=2时.集合
{27},{45}
A x x
B x x
=<<=<<
.所以
{45}
A B x x
=<<
.
(2)因为集合B中当a=1时B
φ
=.符合B A
⊆.当1
a≠时.2
21
a a
<+.所以2
{21}
B x a x a
=<<+
.又由
集合A,当
1
3
a<
时
{312}
A x a x
=+<<
.不符合条件.又因为
1
3
a=
时,集合A为空集,所以不符合条件.
当
1
3
a>
时.13
a
≤≤.所以a的取值范围是[1,3].
考点:1.分类的思想.2.分式不等式的解法.3.集合的包含关系.。