21等差数列

6- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -对于一个等差数列而言，除了它的首项、公差、项数和末项很重要之外，数列中所有数之和也是非常重要的．在进行等差数列求和时，最常用的方法就是分组法．以123456789为例：把上下两行相加，注意上下对齐，不难发现每一对上下对齐的数之和都等于首项加末项19，而且共有项数9那么多对，所以所有数之和等于：()+⨯首项末项项数因为我们把原来的等差数列写了2遍，所以所有数之和就等于原来等差数列之和的2倍，于是可以+ + + + + + + + 1 2 3 4 56 7 8 9 + + + + + + + + 987654321+ 先把数列正着写一遍：再把数列反着写一遍：第二十一讲 等差数列求和7得到等差数列求和公式：()2=+⨯÷和首项末项项数- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题1计算下列各题： （1）36912151821242730；（2）4137332925211713951．分析：试着用公式进行一下计算，首项、末项、项数分别是多少？练习1计算：61116212631364146．例题2计算下列各题： （1）511177783；（2）827772127+++⋅⋅⋅++．分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来．练习2计算：100928412++++．例题3计算下列各题： （1）10121824共项； （2）13193187181共项．分析：要用等差数列求和公式，需要知道整个数列的首项、末项和项数，现在还缺哪些？试着把未知的那些算出来．8练习3计算：12101316共项．例题4萱萱读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完．请问：萱萱一共读了多少天？这本课外书共有多少页？分析：萱萱每天读书的页数构成了一个等差数列，这个等差数列的首项、末项、项数分别是多少？练习4暑假里，小高练习游泳，第一天他游了200米，以后每一天都比前一天多游50米，最后一天游了600米，请问：小高这些天里一共游了多少米？例题5小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子中，已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子，请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？ 分析：奇数项等差数列求和公式？中间数是几？项数有几项？例题6小明从1开始计算若干连续自然数的和，他因为把其中一个数多加了一遍，得到了一个错误的结果2007．小刚也从1开始计算若干连续自然数的和，他因为漏加了其中的一个自然数，也得到了错误结果2007．请问被重复计算和漏掉的两个数之和是多少？分析：等差数列求和接近2007时，这个等差数列的最后一项是几？9作业1. 计算：．2. 计算：．3. 计算：．31581114++++共项111825102 7067646158555249 课 堂 内 外高斯是一对普通夫妇的儿子．他的母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育，近似于文盲．在她成为高斯父亲的第二个妻子之前，她从事女佣工作．他的父亲曾做过园丁，工头，商人的助手和一个小保险公司的评估师．高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今．他曾说，他在麦仙翁堆上学会计算．能够在头脑中进行复杂的计算，是上帝赐予他一生的天赋．高斯用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和．他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98……），同时得到结果：5050．这一年，高斯9岁．父亲格尔恰尔德·迪德里赫对高斯要求极为严厉，甚至有些过分，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生．高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格．在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich ）．弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干，投身于纺织贸易颇有成就．他发现姐姐的儿子聪明伶俐，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力．若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使“我们失去了一位天才”．正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠．在数学史上，很少有人像高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲．罗捷雅直到34岁才出嫁，生下高斯时已有35岁了．她性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感．高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围．当丈夫为此训斥孩子时，她总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知．高斯的故事4.一个等差数列的首项是21，从第二项起每一项都比前一项大2，它的前20项之和是多少？5.馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第5周吃了18根香蕉．馋嘴猴前9周一共吃了多少根香蕉？10。

分析1 通过观察、分析，找到两数列公共项的规律、特点，进而求其前n项和．解法1 观察归纳法：数列为：1，3，5，7，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，……数列为：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，35，39，……观察可知，两个数列的公共项依次为：1，7，13，19，25，31，……，可以看出数列{an}是首项为1，公差为6的等差数列，所以{an}的前n项和为点评观察题中的两个数列均为等差数列，所以它们的公共项具有规律性，通过列举得到由两个数列的公共项构成的数列，进而求得{an}的前n项和.在找公共项的时候，比较好的办法是在公差大的数列里面来找，因为间隔小，且项与项间隔相等.该解法适用于象该考题一样，比较简单的两数列公共项问题.分析2 分析两个等差数列的首项和公差的特征，找到两个数列的公共项所构成的新数列仍是等差数列，且公差是两个等差数列公差的最小公倍数的规律求解.解法2 特征分析法：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{an}的前n项和为点评首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.分析3 因为该题是两个等差数列的公共项问题，从公共项的本质看，即公共项就是两个数列相同的项，也就是说关于m，n的二元等式2n-1=3m-2的不定方程存在整数解，利用数的整除性解不定方程来解.解法3 解不定方程法：因为两数列与存在公共项，设2n-1=3m-2，m，n∈N*，则3m=2n+1，即因为2，3互质，所以n+2一定是3的倍数，不妨设n+2=3k，k∈N*，则n=3k-2，所以m=2k-1.由于2n-1=2(3k-2)-1=6k-5，3m-2=3(2k-1)-2=6k-5，所以两数列的公共项就是6k-5，k ∈N*，所以两数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{an}的前n项和为点评该解法在求解的过程中，利用了整数分解的方法，即提取公因式、配凑得到是解题的关键.象该高考题这样的两个等差数列的公共项问题，解不定方程法是一种通法，从上面的解法，我们可以得到结论：若两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同.分析4 对于两个等差数列的公共项问题，还有没有更一般的方法？因为公共项就是两个数列中的相同项，我们从中选取一个数列，一般选取数列中的项增加“较快”的数列，假如该数列的第n项是两个数列的公共项，然后逐一递推验证该数列的第n+1项、第n+2项、…是否是两个数列的公共项，进一步从中找到规律，得到两个数列的公共项从小到大排列的数列{an}的通项公式.解法4 “递推找项法”：记bn=2n-1，cn=3n-2.因为两数列与存在公共项，设bm=cn，即2m-1=3n-2，m，n∈N*.由cn=3n-2，所以由可知cn+1∉{bm}，即cn+1不是两个数列的公共项.cn+2=3(n+2)-2=3n+6-2=3n-2+6=2m-1+6=2(m+3)-1，由m+3∈N*，可知cn+2∈{bm}，所以cn+2是两个数列的公共项.因此，若ak=bm=cn，则ak+1=bm+3=cn+2.所以ak+1-ak=bm+3-bm=2(m+3)-1-(2m-1)=6，且a1=1，所以两数列的公共项所构成的新数列{an}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{an}的前n项和为点评由上述过程总结“递推找项法”求两个等差数列{bn}、{cn}的公共项所构成的新数列{an}的一般步骤：(1)设bm=cn=ak，从中得到项数m，n的等式关系；(2)在项增加“较快”的数列(如{cn})中依次验证某个相同项(如cn)后面的递推项(如cn+1、cn+2…)，并将其项的表达式与另一个数列({bn})的通项公式相比较，断定后面的递推项是否是另一个数列({bn})的项，从而发现项ak后面的项；(3)发现ak+1、ak之间的递推关系得出数列{an}的通项公式.3 “通法”提炼由此可以看出，对于求两个等差数列{bn}、{cn}的公共项所构成的新数列{an}问题，“递推找项法”相对于解不定方程法更易于大家理解和接受，可以说，“递推找项法”是求两个等差数列{bn}、{cn}的公共项所构成的新数列{an}的一种“通法”.其实远不止于此，“递推找项法”除了能解决两个等差数列的公共项问题以外，还可以解决比如两个等比数列的公共项问题，一个等差数列与一个等比数列的公共项问题，乃至一个等差数列或等比数列与完全多项式型数列的公共项问题.4 应用拓展4.1 两个等差数列的公共项问题例1 数列{bn}与{cn}的通项公式分别为bn=5n-1，cn=2n+2，它们的公共项由小到大排列得到数列{an}，求数列{an}的通项公式.解析数列{bn}的增加“较快”，所以依据数列{bn}递推找公共项.设bm=cn，即5m-1=2n+2，m，n∈N*.由bm=5m-1，所以由可知bm+1∉{cn}，即bm+1不是两个数列的公共项.bm+2=5(m+2)-1=5m+10-1=5m-1+10=2n+2+10=2(n+5)+2，由n+5∈N*，可知bm+2∈{cn}，所以bm+2是两个数列的公共项.因此，若ak=bm=cn，则ak+1=bm+2=cn+5.所以ak+1-ak=bm+2-bm=5(m+2)-1-(5m-1)=10，且a1=4，所以两数列的公共项所构成的新数列{an}是以4为首项，以10为公差的等差数列，所以{an}的通项公式为an=4+(n-1)×10=10n-6.。

数字推理：八大类数列及变式总结数字推理：八大类数列及变式总结数字推理的题目通常状况下是给出一个数列，但整个数列中缺少一个项，要求仔细观察这个数列各项之间的关系，判断其中的规律。

解题关键：1、培养数字、数列敏感度是应对数字推理的关键。

2、熟练掌握各类基本数列。

3、熟练掌握八大类数列，并深刻理解“变式”的概念。

4、进行大量的习题训练，自己总结，再练习。

下面是八大类数列及变式概念。

例题是帮助大家更好的理解概念，掌握概念。

虽然这些理论概念是从教材里得到，但是希望能帮助那些没有买到教材，那些只做大量习题而不总结的朋友。

最后跟大家说，做再多的题，没有总结，那样是不行的。

只有多做题，多总结，然后把别人的理论转化成自己的理论，那样做任何的题目都不怕了。

一、简单数列自然数列：1，2，3，4，5，6，7，……奇数列：1，3，5，7，9，……偶数列：2，4，6，8，10，……自然数平方数列：1，4，9，16，25，36，……自然数立方数列：1，8，27，64，125，216，……等差数列：1，6，11，16，21，26，……等比数列：1，3，9，27，81，243，……二、等差数列1，等差数列：后一项减去前一项形成一个常数数列。

例题：12，17，22，27，（），37解析：17-12=5，22-17=5，……2，二级等差数列：后一项减去前一项形成一个新的数列是一个等差数列。

例题1：9，13，18，24，31，（）解析：13-9=4，18-13=5，24-18=6，31-24=7，……例题2.：66，83，102，123，（）解析：83-66=17，102-83=19，123-102=21，……3，二级等差数列变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。

例题1：0，1，4，13，40，（）解析：1-0=1，4-1=3，13-4=9，40-13=27，……公比为3的等比数列例题2：20，22，25，30，37，（）解析：22-20=2，25-22=3，30-25=5，37-30=7，…….二级为质数列4，三级等差数列及变化：后一项减去前一项形成一个新的数列，再在这个新的数列中，后一项减去前一项形成一个新的数列，这个新的数列可能是自然数列、等比数列、平方数列、立方数列、或者与加减“1”、“2”的形式有关。

等差数列题目100道一、基础概念类题目1. 已知数列{a_n}满足a_{n + 1}-a_n = 3，a_1 = 2，求数列{a_n}的通项公式。

- 解析：因为a_{n + 1}-a_n = d = 3（d为公差），a_1 = 2。

根据等差数列通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，可得a_n=2+(n - 1)×3=3n - 1。

2. 在等差数列{a_n}中，a_3 = 7，a_5 = 11，求a_{10}。

- 解析：首先求公差d，d=frac{a_{5}-a_{3}}{5 - 3}=(11 - 7)/(2)=2。

由a_3=a_1+(3 - 1)d，即7=a_1 + 2×2，解得a_1 = 3。

那么a_{10}=a_1+(10 -1)d=3+9×2 = 21。

3. 若数列{a_n}为等差数列，且a_2=5，a_6 = 17，求其公差d。

- 解析：根据等差数列通项公式a_n=a_m+(n - m)d，则a_6=a_2+(6 - 2)d，即17 = 5+4d，解得d = 3。

4. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=-1，公差d = 2，求该数列的前n项和S_n的公式。

- 解析：根据等差数列前n项和公式S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d，将a_1=-1，d = 2代入可得S_n=-n+(n(n - 1))/(2)×2=n^2 - 2n。

5. 在等差数列{a_n}中，a_1 = 1，a_{10}=19，求S_{10}。

- 解析：根据等差数列前n项和公式S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)，这里n = 10，a_1 = 1，a_{10}=19，则S_{10}=(10×(1 + 19))/(2)=100。

二、性质应用类题目6. 在等差数列{a_n}中，若a_3+a_8+a_{13}=12，求a_8的值。

- 解析：因为在等差数列中，若m,n,p,q∈ N^+，m + n=p+q，则a_m + a_n=a_p + a_q。

4.2.1 等差数列的概念考点一 判断是否为等差数列【例1】（2020·上海高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（ ） A ．1，4，7，10B ．lg2,lg4,lg8,lg16C ．54322,2,2,2D ．10，8，6，4，2【答案】C【解析】根据等差数列的定义，可得：A 中，满足13n n a a +-=（常数），所以是等差数列；B 中，lg 4lg 2lg8lg 4lg16lg8lg 2---=-=（常数），所以是等差数列；C 中，因为453423222222-≠--≠，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D 中，满足12n n a a +-=-（常数），所以是等差数列.故选：C.【一隅三反】1．（2019·山西应县一中期末（理））若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( )A ．{}2naB ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}3n aD ．{}n a【答案】C 【解析】A:22n+1n a -a =（a n +a n+1）（a n+1﹣a n ）=d[2a 1+（2n ﹣1）d]，与n 有关系，因此不是等差数列．B:n+1n 11-a a =n+1n -da a ⨯=[]11-d a +nd a +n-1d ⨯（）（） 与n 有关系，因此不是等差数列.C:3a n+1﹣3a n =3（a n+1﹣a n ）=3d 为常数，仍然为等差数列；D: 当数列{a n }的首项为正数、公差为负数时，{|a n |}不是等差数列；故选：C 2．（2020·全国高一课时练习）已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ） ① 4，5，6，7，8，… ② 3，0，-3，0，-6，… ③ 0，0，0，0，… ④ 1234,,,,10101010… A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】第一个数列是公差为1的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为0的等差数列.第四个是公差为110的等差数列.故有3个等差数列，所以选C. 3．（2020·全国课时练习）已知数列{}n a ，c 为常数，那么下列说法正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列时，不一定是等差数列B ．若{}n a 不是等差数列时，一定不是等差数列C ．若是等差数列时，{}n a 一定是等差数列 D ．若不是等差数列时，{}n a 一定不是等差数列【答案】D【解析】当{}n a 是等差数列时，由等差数列的性质可知，一定是等差数列，A 错；对于数列{}n a ：1，2，4，5，令，则为等差数列，B 错；当c 为0时， 0，0，0，0是等差数列，但{}n a 不是等差数列，C 错．故选D ．考点二 求等差数列的项或通项【例2】（1）（2020·兴安县第三中学期中）由1a =4，3d =确定的等差数列{}n a ，当a n =28时，序号n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12（2）（2020·广西南宁三中开学考试）在单调递增的等差数列{}n a 中，若31a =，2434a a =，则1a =（ ） A ．1-B ．12-C ．0D ．12【答案】（1）A （2）C【解析】（1）因为14a =，3d =，所以()1131n a a n d n =+-=+，所以3128n a n =+=，解得9n = 故选：A（2）因为{}n a 是等差数列，所以3121a a d =+=，()()11334a d a d ++=， 解得：12d =，10a =故选：C【一隅三反】1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）等差数列{}n a 中，37158a a a ++=，83a =，则9a =（ ）A ．2B ．5C ．11D ．13【答案】A【解析】因为37158a a a ++=，得13228a d +=①，又83a =，得173a d +=②，由①②得：1101a d =⎧⎨=-⎩，故9181082a a d =+=-=.故选：A.2．（2020·兴安县第三中学期中）在数列{}n a 中，1a =2，12n n a a +-=，则51a 的值为（ ） A ．96 B ．98 C ．100 D ．102【答案】D【解析】因为1a =2，12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2n a n =，所以51251102a =⨯=故选：D3．（2020·广西南宁三中开学考试）数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是（ ） A ．31n - B ．32n + C ．32n - D ．31n +【答案】B【解析】因为13n n a a +-=，所以数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列，则()*53132,n a n n n N =+-=+∈.故选：B考点三 等差中项【例2】（1）（2020·全国高一课时练习）已知a =，b =a,b 的等差中项为（ ）A BCD （2）（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试（文））已知0,0a b >>，并且111,,2a b成等差数列，则9a b +的最小值为_________. 【答案】（1）A （2）16【解析】（1）13a ==+，b ==,a b ∴的等差中项为122a b A +==⨯12=⨯= A.（2）由题可得：111a b +=，故1199(9)()1916a ba b a b a b b a+=++=+++≥ 【一隅三反】1.（2020·广东濠江·金山中学高一月考）在等差数列{} n a 中，若288a a +=，则()2375a a a +-=___________．【答案】60；【解析】在等差数列{}n a 中，288a a +=，28528a a a ∴+==，解得54a =，2237555()(2)64460a a a a a +-=-=-=．故答案为：602．（2020·全国其他（理））已知数列{}n a 为等差数列，若2533a a a +=，且4a 与72a 的等差中项为6，则5a =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】设{}n a 的公差为d .数列{}n a 为等差数列，2533a a a +=，且4a 与72a 的等差中项为6，∴1111143(2)32(6)12a d a d a d a d a d +++=+⎧⎨+++=⎩，解得11a =-，1d =，5143a ∴=-+=．故选：D ．3．（2019·兴安县第三中学期中）已知等差数列{}n a 的前三项为1,1,23a a a -++，则此数列的首项1a=______ ． 【答案】1-【解析】依题意可得()()()12321a a a -++=+，解得0a =，故等差数列{}n a 的前三项为1,1,3-，所以11a =-故答案为：1-考点四 证明数列为等差数列【例4】（2019·全国高一课时练习）设数列{a n }满足当n ＞1时，a n ＝1114n n a a --+，且a 1＝15.(1)求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(2)a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见证明；(2) a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．【解析】(1)证明：根据题意a 1＝15及递推关系a n ≠0.因为a n ＝1114n n a a --+.取倒数得111n n a a -=＋4， 即111n n a a --＝4(n ＞1)，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为5，公差为4的等差数列． (2)解：由(1)，得1n a ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1，141n a n =+. 又121111594541a a n =⨯==+，解得n ＝11. 所以a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项． 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）已知2()2x f x x =+，在数列{}n a 中，113a =，1()n n a f a -=*2,n n N ≥∈。

四 等差数列的性质及应用(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6【解析】选B.由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0.2．等差数列{a n }中a 2＝5，a 6＝33，则a 3＋a 5＝( )A ．35B ．38C ．45D ．48【解析】选B.由等差数列的性质知a 3＋a 5＝a 2＋a 6＝38.3．等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d ＝( )A ．3B ．－6C ．4D ．－3【解析】选B.由等差数列的性质，得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.4．设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( )A ．0B ．37C ．100D ．－37【解析】选C.因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以{a n ＋b n }也是等差数列．又因为a 1＋b 1＝100，a 2＋b 2＝100，所以a n ＋b n ＝100，故a 37＋b 37＝100.5．我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完．则该女子第11天织布( )A ．113 尺B ．10529 尺C ．6529 尺D ．73 尺【解析】选B.设女子每天的织布数构成的数列为{}a n ，由题设可知{}a n 为等差数列，且a 1＝5，a 30＝1，故公差d ＝1－530－1＝－429 ， 故a 11＝a 1＋⎝⎛⎭⎫11－1 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－429 ＝5－4029 ＝10529 . 6．(多选题)若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点的个数可能为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】选BC.因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c)2－4ac ＝(a －c)2≥0.所以二次函数y ＝ax 2－2bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为1或2.二、填空题(每小题5分，共10分)7．已知各项都为正数的等差数列{}a n 中，a 5＝3，则a 3a 7的最大值为________.【解析】依题意，等差数列{}a n 各项都为正数，所以a 3>0，a 7>0，所以a 3a 7≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3＋a 72 2 ＝()a 5 2 ＝9. 当且仅当a 3＝a 7＝3时等号成立．答案：98．在等差数列{}a n 中，若a 2＋a 8＝10.则⎝⎛⎭⎫a 4＋a 6 2－2a 5＝__________．【解析】因为数列{}a n 为等差数列，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝2a 5＝10，所以⎝⎛⎭⎫a 4＋a 6 2－2a 5＝102－10＝90.答案：90三、解答题(每小题10分，共20分)9．两个等差数列{a n }：5，8，11，…和{b n }：3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少个相同的项？【解析】方法一：设已知两数列的所有相同的项构成的新数列为{c n }，c 1＝11，又数列5，8，11，…的通项公式为a n ＝3n ＋2，数列3，7，11，…的通项公式为b n ＝4n －1，所以数列{c n }为等差数列，且d ＝12，所以c n ＝12n －1.又因为a 100＝302，b 100＝399，所以c n ＝12n －1≤302，所以n≤2514 ，所以已知两数列共有25个相同的项．方法二：因为a n ＝3n ＋2，b n ＝4n －1，设a n ＝b m ，则有3n ＋2＝4m －1(n ，m ∈N *)即n ＝43 m －1(n ，m ∈N *).要使n 为正整数，m 必须是3的倍数．设m ＝3k(k ∈N *)，代入n ＝43 m －1，得n ＝4k －1. 又因为1≤3k≤100，且1≤4k －1≤100，所以1≤k≤25，所以共有25个相同的项．10．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝30，a 6＋a 7＋…＋a 10＝80，求a 11＋a 12＋…＋a 15.【解析】方法一：由等差数列的性质得a 1＋a 11＝2a 6，a 2＋a 12＝2a 7，…，a 5＋a 15＝2a 10.所以(a 1＋a 2＋…＋a 5)＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10).所以a 11＋a 12＋…＋a 15＝2(a 6＋a 7＋…＋a 10)－(a 1＋a 2＋…＋a 5)＝2×80－30＝130.方法二：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 5，a 6＋a 7＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 15也成等差数列，即30，80，a 11＋a 12＋…＋a 15成等差数列，所以30＋(a 11＋a 12＋…＋a 15)＝2×80， a 11＋a 12＋…＋a 15＝130.(35分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－2B ．－12C ．2D ．12【解析】选C.因为a n ＋1－a n ＝3，所以{a n }为等差数列，且d ＝3.a 2＋a 4＋a 6＝9＝3a 4，所以a 4＝3，a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3(a 4＋3d)＝3(3＋3×3)＝36， 所以log 6(a 5＋a 7＋a 9)＝log 636＝2.2．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．26B ．29C ．39D ．52【解析】选C.因为5，x ，y ，z ，21成等差数列，所以y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项．所以5＋21＝x ＋z ＝2y ，所以y ＝13，x ＋z ＝26，所以x ＋y ＋z ＝39.3．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )A ．1升B ．6766 升C ．4744 升D ．3733 升【解析】选B.设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎨⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766， 所以a 5＝a 1＋4d ＝6766 ，即第5节的容积为6766 升．4．(多选题)在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12>31，则公差d 的取值可以为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】选BCD.设首项为a 1，由题意，可知⎩⎨⎧a 1＋4d ＝10，a 1＋11d>31，解得d>3.所以d 的取值范围是(3，＋∞).二、填空题(每小题5分，共20分)5．已知△ABC 中三边a ，b ，c 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列，则△ABC 的形状为________．【解析】由题可得⎩⎨⎧a ＋c ＝2b ，①a ＋c ＝2b ，②②2－①，得2ac ＝2b.所以b 2＝ac ，又(a ＋c)2＝4b 2，即(a ＋c)2＝4ac ，所以a 2－2ac ＋c 2＝0， 即(a －c)2＝0，所以a ＝c ，代入①，可得a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形6．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 4＝____；a 1＋a 2＋…＋a 7＝____．【解析】由a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，所以a 4＝4, a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.答案：4 287．在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝________．【解析】在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，所以a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 10＝(a 1＋a 10)＋(a 2＋a 9)＋(a 3＋a 8)＋(a 4＋a 7)＋(a 5＋a 6)＝5(a 5＋a 6)＝20，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 22a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝20.答案：208．已知(x 2－2x ＋m)(x 2－2x ＋n)＝0的4个根组成首项为14 的等差数列，则|m －n|＝________．【解析】因为y ＝x 2－2x ＋m 与y ＝x 2－2x ＋n 有相同的对称轴，设四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1，x 4为x 2－2x ＋m ＝0的两根，x 2，x 3为x 2－2x ＋n ＝0的两根，则⎩⎨⎧x 1＋x 4＝2，x 1x 4＝m. ⎩⎨⎧x 2＋x 3＝2，x 2x 3＝n.不妨令x 1＝14 ，所以x 4＝74 ，x 2＝34 ，x 3＝54 ，所以m ＝716 ，n ＝1516 ，所以|m －n|＝12 .答案：12三、解答题(每小题10分，共30分)9．设数列{a n }是等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝218 ，b 1b 2b 3＝18 ，求通项公式a n .【解析】因为b 1b 2b 3＝18 ，又b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 a n ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12 a 1 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12 a 2 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12 a 3 ＝18 ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12 a1 ＋a 2＋a 3＝18 ，所以a 1＋a 2＋a 3＝3. 又{a n }成等差数列，所以a 2＝1，a 1＋a 3＝2.所以b 1b 3＝14 ，b 1＋b 3＝178 ，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18， 或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝18，b 3＝2，所以⎩⎨⎧a 1＝－1，a 3＝3 或⎩⎨⎧a 1＝3，a 3＝－1.设等差数列{a n }的公差为d ，当a 1＝－1，a 3＝3时，d ＝2，所以a n ＝－1＋2(n －1)＝2n －3； 当a 1＝3，a 3＝－1时，d ＝－2，所以a n ＝3－2(n －1)＝－2n ＋5. 综上所述，a n ＝2n －3(n ∈N *)或a n ＝－2n ＋5(n ∈N *).10．已知无穷等差数列{a n }中，首项a 1＝3，公差d ＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{b n }．(1)求b 1和b 2；(2)求{b n }的通项公式；(3){b n }中的第503项是{a n }中的第几项？【解析】数列{b n }是数列{a n }的一个子数列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{a n }是等差数列，则{b n }也是等差数列．(1)因为a 1＝3，d ＝－5，所以a n ＝3＋(n －1)×(－5)＝8－5n.数列{a n }中序号被4除余3的项是{a n }中的第3项，第7项，第11项，…， 所以b 1＝a 3＝－7，b 2＝a 7＝－27.(2)设{a n }中的第m 项是{b n }中的第n 项，即b n ＝a m ， 则m ＝3＋4(n －1)＝4n －1，所以b n ＝a m ＝a 4n －1＝8－5×(4n －1)＝13－20n ， 即{b n }的通项公式为b n ＝13－20n(n ∈N *).(3)b 503＝13－20×503＝－10 047，设它是{a n }中的第m 项，则－10 047＝8－5m ，解得m ＝2 011，即{b n }中的第503项是{a n }中的第2 011项．11．已知正项数列{}a n 满足a 2n ＝(2n －1)a n ＋2n.(1)求证：数列{}a n 是等差数列；(2)若数列{}b n 满足b n ＝a n －40n －11，且数列{}b n 的最大项为b p ，最小项为b q ，求p ＋q 的值．【解析】由已知有：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝(a n －2n)(a n ＋1)＝0且a n >0，所以由a n ＝2n ，n ∈N *，得a n ＋1－a n ＝2⎝⎛⎭⎫n ＋1 －2n ＝2，由a 21 －⎝⎛⎭⎫2－1 a 1－2＝0，解得a 1＝2，所以数列{}a n 是以首项为2，公差为2的等差数列；(2)b n ＝a n －40n －11 ＝2n －40n －11 ＝2×n －10n －11 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋11－10n －11 ， 当n ＝4时，b n 最大，当n ＝3时，b n 最小，所以p ＋q ＝4＋3＝7.。

等差数列许多同学都知道这样一个故事：大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和．大家在佩服赞叹之余，有没有仔细想一想，高斯为什么算得快呢?当然，小高斯的聪明和善于观察是不必说了，往深处想，最基本的原因却是这100个数及其排列的方法本身具有极强的规律性——每项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，而这种数列有极简便的求和方法．通过这一讲的学习，我们将不仅掌握有关这种数列求和的方法，而且学会利用这种数列来解决许多有趣的问题．什么叫等差数列呢?我们先来看个例子：①1，2，3，4，5，6，7，8，9，…②1，3，5，7，9，11，13…③2，4，6，8，10，12，14…④3，6，9，12，15，18，21…⑤100，95，90，85，80，75，70…上面五组数都是数列。

数列中的数称为项,第一个数叫第一项,又叫首项,第二个数叫第二项……以此类推,最后一个数叫做这个数列的末项。

项的个数叫做项数。

这五个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，象这样的数列就称为等差数列．一个数列中,如果从第二项起,每一项与它前面一项的差都相等,这样的数列叫等差数列。

后项与前项的差叫做这个等差数列的公差。

如等差数列：4,7,10,13,16,19,22,25,28。

首项是4,末项是28,公差是3。

下面我们就来学习有关等差数列的知识。

【例1】 1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+100=?[分析]我们通过观察,发现数列中的数有这样的关系：l+100=101,2+99=101,3+98=101,……一共有多少个10l呢?因为一共有100个数,每两个数一组,所以,一共有100÷2=50(组)。

也就是说有50个101。

[解]原式=(1+100)×(100÷2)=5050答：和是5050。

点评从1开始的连续自然数列求和，而且个数正好可以两两配对，这类题目的解题方法就同高斯的做法相同。

等差数列问题（教师版）等差数列1：了解等差数列的概念及特征；2：掌握等差数列通项公式推导⽅法；3：学会⽤逆向求和的⽅法推导等差数列的和通项公式；4：能灵活运⽤等差数列的通项公式与和通项公式求解⼀般数列。

5 能⼒⽬标培养学⽣观察、分析、归纳、推理的能⼒，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的⽅法迁移来研究数列，培养学⽣的知识、⽅法迁移能⼒；通过阶梯性练习，提⾼学⽣分析问题和解决问题的能⼒。

6. 情感⽬标在解决问题的过程中培养学⽣主动探索、勇于发现的求知精神；使学⽣认识事物的变化形态，养成细⼼观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

等差数列我们可以简单地理解为：⼀组数、任意相邻的两个，差都相等，要正确解决实际问题，⼀是要掌握等差数列通⽤公式，既（⾸项+末项）÷2=等差数列的平均数（⾸项+末项）×项数÷2=等差数列所有各项的和⾸项+（项数—1）×公差=末项末项-（项数—1）×公差=⾸项（末项-⾸项）÷（项数-1）=公差（末项-⾸项）÷公差+1=项数第⼆是注意观察，认真思考，明确题⽬中给出条件的实质意义，找出规律性的内容，然后选择合适的公式进⾏计算。

1：2，5，8，11，14……是按照规律排列的⼀串数，第21项是多少？【解析】此数列为⼀个等差数列，将第21项看做末项。

末项=2+（21-1）×3=622：观察右⾯的五个数：19、37、55、a、91排列的规律，推知a =________ 。

【解析】19+18=37，37+18=55，所以a=55+18=733：2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最⼩的⼀个．【解析】⽅法⼀：利⽤等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续⾃然数，最中间的数是所有这些⾃然数的平均值，五个连续偶数的中间⼀个数应为320564÷=，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最⼩的是60．4：在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第 _______个数是1994．【解析】每个数⽐前⼀个数⼤7，根据求通项1(1)n a a n d =+-的公式得1()1n n a a d =-÷+，列式得： (19946)7284-÷=2841285+=即第285个数是1994．5：⼀个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？【解析】根据中项定理，这个数列⼀共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8756?= 6：学校进⾏书法⼤赛，每个选⼿都要和其他所有选⼿各赛⼀场。