数列的特征方程

特征方程求数列的通项江西省丰城市第二中学 陈爱荣 331100数列是高中数学的重要内容,也是高考的热点问题,但课本对数列的教学安排和高考的要求有一定的差距,从近年各省的高考试卷看,高考对数列的要求明显比课本要高,所以在复习中我们要在深刻理解等差和等比数列的基础上,对数列的性质各特点进行必要的挖掘,特别是某些递推关系求数列的通项这一类问题中有一些高等数学的背景,其中特征方程求数列的通项就是其中典型的内容之一一．可用特征方程解决递推数列的三类模型1．线性递推关系{1,11n a n n pa q a =++=（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）2．齐次二阶线性递推关系1221(1)(2)n n n a n a a n pa qa ++=⎧⎪==⎨⎪+⎩（其中p ，q 均为常数）3．分式递推关系1n n n pa q a ra h ++=+（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -≠≠≠1,0,） 二. 特征根方程及求法1． {1,11n a n n pa q a =++=的特征根方程为 x=px+q ，其根为α,则1n a α+-=p(1n a α+-) 2. 1221(1)(2)n n n a n a a n pa qa ++=⎧⎪==⎨⎪+⎩的特征根方程为2x px q =+设两实根为α,β(1).若α≠β时,则n a =1112n n c c αβ--+,其中1c ,2c 是由1a ,2a 确定(2). 若α=β时,则112()n n a c n c α-=+其中1c ,2c 是由, 1a 2a 确定 3. 1n n n pa q a ra h ++=+的特征根方程为px q x rx h+=+若方程的两根为α,β 若1,a αβ≠且αβ≠,则11n n n n a a p r a p r a αααβββ++---=⋅---即{n n a a αβ--}等比数列 若1a αβ=≠且0p h +≠,则1121n n r a p h a αα+=+-+-即{ 1n a α- }等差数列三．例题分析例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作特征方程.23,231-=--=x x x 则 .211231=+a 数列13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以31-为公比的等比数列.于是 13n a +=（231+a ）.N ,)31(21123,)31(211)31(111∈-+-=-=----n a n n n n 例2.已知数列{n a }满足1a =3,2a =6,2n a +=41n a +-4n a 求n a解：作特征方程x 2=4x-4由特征根方程得α=β=2故设n a =(1c +2c n) 12n -, 其中3=1c +2c ,6=(1c +22c ).2所以1c =3, 2c =0,则n a =3.12n -例3. 已知数列{n a }满足1a =3,2a =6,2n a +=21n a ++3n a 求n a解：作特征方程x 2=2x+3由特征根方程得α=3, β=-1所以n a =1c 13n -+2c 1(1)n --其中3=1c +2c , 6=31c -2c得1c =94, 2c =34所以n a =14.13n ++341(1)n -- 例4.(2009江西)各项均为正数的数列{.n a }1a =a, 2a =b 且对任意的m+n=p+q 的正整数 m,n p,q 都有(1)(1)(1)(1)p q m n n m n q a a a a a a a a ++=++++当a=12,b=45求通项n a 解:由(1)(1)(1)(1)p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++得121121(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a --++=++++ 将14,25a b ==代入上式化简得11212n n n a a a --+=+ 考虑特征方程212x x x +=+得特征根1x =± 所以11111121112112113112n n n n n n n n a a a a a a a a ------+--+-==⋅+++++所以数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=-+为首项,公比为13的等比数列 故11111()()1333n n n n a a --=-⋅=-+ 即3131n n n a -=+ 例5:已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a -==-∈,求通项n a . 解: 考虑特征方程12x x=-得特征根1x = 111111111111111(2)11n n n n n n a a a a a a -----====+------ 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111a =-为首项,公差为1的等差数列 故11n n a =- 即1n n a n += 数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈，而特征方程求数列的通项却为我们提供了一种简便、快捷的方法。

特征方程特征根法求解数列通项公式
1、将数列的前两项给出，在此基础上推雅可比数列，得到数列的递
推公式；
2、将递推公式化为特征方程，且特征方程只包含未知数x；
3、求解特征方程的特征根，得到特征根为{r1,r2,…,rm}；
4、使用特征根构造数列的通项公式：利用特征根构造出原数列的通
项公式，即an = A1*r1^(n-1) + A2*r2^(n-1) + … + Am*rm^(n-1)（此
处n>=1）；
5、求解参数A1，A2，…，Am，即将特征根对应的数列项代入原数列，解方程组求出所有参数；
6、给出最终的数列通项公式：将前面求出的所有参数代入数列通项
公式中，得到最终的数列通项公式。

二、实例演示
下面以解决下列特征方程求数列的通项公式为例，详细介绍特征方程
特征根法的求解：
原特征方程：x^2-x-6=0；特征根：r1=3，r2=2；推出数列：a1=4，
a2=10；
求数列通项公式：
1、根据特征方程求出特征根：
原特征方程：x^2-x-6=0；
解之，得：x=3，2；
即特征根为r1=3，r2=2；。

用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一 递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn特征方程为 X 2=aX+b 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2n(2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n(其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列 类型二 递推公式为特征方程为X =dc b a X X ++解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21x d cA b aA x d cA baA n n n n -++-++=k21x A x A n n --接着做代换B n =21x A x A n n -- 即成等比数列（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x dcA b aA n n -++1=k+x A n -1接着做代换B n =xA n -1即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三 递推公式为特征方程为X =dc b ax X ++2解得两根X 1 X 2 。

然后参照类型二的方法进行整理类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k(1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n11+X k n22+…+X k k nk(2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k 则A n=Xn Q n)(11+X n Q n)(22+…+X n Q s n s)( ，其中)(n Q i=B 1+n B 2+…+n B ti ti 1-（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）二.特征方程的推导及应用类型一、p ，q 均为非零常数）。

数列特征根和不动点法解题原理一、数列特征根法。

1. 原理。

- 对于二阶线性递推数列a_n + 2=pa_n+1+qa_n（p,q为常数，n∈ N^*），其特征方程为x^2=px + q。

- 设特征方程的两个根为x_1,x_2。

- 当x_1≠ x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n，其中C_1,C_2由初始条件a_1,a_2确定。

- 当x_1 = x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=(C_1+C_2n)x_1^n，同样C_1,C_2由初始条件确定。

2. 例题。

- 例1：已知数列{a_n}满足a_n + 2=3a_n+1-2a_n，且a_1=1,a_2=3，求数列{a_n}的通项公式。

- 解：特征方程为x^2=3x - 2，即x^2-3x + 2=0。

- 分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x_1=1,x_2=2。

- 所以a_n=C_1×1^n+C_2×2^n=C_1+C_2×2^n。

- 由a_1=1,a_2=3可得C_1+2C_2=1 C_1+4C_2=3。

- 用第二个方程减去第一个方程得2C_2=2，解得C_2 = 1。

- 把C_2=1代入C_1+2C_2=1得C_1=-1。

- 所以a_n=-1 + 2^n。

- 例2：已知数列{a_n}满足a_n + 2=2a_n+1-a_n，a_1=1,a_2=2，求a_n。

- 解：特征方程为x^2=2x - 1，即x^2-2x + 1 = 0。

- 解得x_1=x_2=1。

- 所以a_n=(C_1+C_2n)×1^n=C_1+C_2n。

- 由a_1=1,a_2=2可得C_1+C_2=1 C_1+2C_2=2。

- 用第二个方程减去第一个方程得C_2=1。

- 把C_2=1代入C_1+C_2=1得C_1=0。

- 所以a_n=n。

二、数列不动点法。

1. 原理。

- 对于一阶分式递推数列a_n + 1=frac{pa_n+q}{ra_n+s}（p,q,r,s为常数，r≠0），令x=(px + q)/(rx + s)，这个方程称为不动点方程。

特征方程求数列通项原理
特征根法求数列通项原理是数列{a(n)}，设递推公式为
a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)，则其特征方程为x^2-px-q=0。

若方程有两相异根A、B，则a(n)=c*A^n+d*B^n，若方程有两等根A=B，则
a(n)=(c+nd)*A^n。

按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an}的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。

这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an项的值。

数列（sequence of number）是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。

著名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。

1。

高中数学数列`特征方程法求数列的通项公式求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.证明: 2()0,ax b a d bx cx d a x b cx d c cαβαβ+-=⇒+--=⇒+==-+(),d a c b c αβαβ∴=-+=-11()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n aa ba ca d aab ca d ac a bd aa b a aa b ca d a c a b d ca dαααααβββββ+++--++-+-+-∴===+-+-+-+--+()[()]()()()[()]()()n n n n a c a c a c c a c a a c a c a c a c c a c a a c ααβαβααααβαβαβββββ-+-------==-+------- n n a a c a c a ααββ--=⋅-- 证毕证明: 22,d a c b c αα=-=-111()()()n n nn n n n n ca d ca d aa b a aa b ca d a c a b dca dααααα+++∴===+-+-+-+--+ 22222()(2)()()()2n n n n n n ca a c ca a c ca a ca c a c a c a c a a αααααααααα+-+-+-===--+---- 2242(2)2()()()()()()()()n n n n n n ca a c ca a c d c a a d a d a a d a a d a αααααα+-+-+-++===+-+-+-21n c a d a α=++- 证毕例1:各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有(1)(1)(1)(1)p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++. (1)当14,25a b ==时,求通项n a ;(2)略. 解:由(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++得121121(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a --++=++++ 将14,25a b ==代入上式化简得11212n n n a a a --+=+考虑特征方程212x x x +=+得特征根1x =± 所以11111121112112113112n n n n n nn n a a a a a a a a ------+--+-==⋅+++++ 所以数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=-+为首项,公比为13的等比数列 故11111()()1333n nn n a a --=-⋅=-+ 即3131n n na -=+ 例2:已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a -==-∈,求通项n a . 解: 考虑特征方程12x x=-得特征根1x = 111111111111111(2)11n n n n n n a a a a a a -----====+------ 所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111a =-为首项,公差为1的等差数列 故11n n a =- 即1n n a n += 类型二.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+ ② (其中12,c c 为常数,且*20,c n N ≠∈.) 定义2:方程212x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ. 定理3:若12λλ≠,则1122n n n a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足111222221122a b b a b b λλλλ=+⎧⎨=+⎩.定理4: 若12λλλ==,则12()nn a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122212()(2)a b b a b b λλ=+⎧⎨=+⎩.例3:已知数列{}n a 满足12211,2cos ,2cos n n n a a a a a ϕϕ++===-,求通项n a . 解: 考虑特征方程22cos 1x x ϕ=-得特征根12cos sin ,cos sin i i λϕϕλϕϕ=+=- 则121212(cos sin )(cos sin )()cos ()sin n n n a b i b i b b n i b b n ϕϕϕϕϕϕ=++-=++-其中12121212121201()cos ()sin sin 1()2cos ()cos 2()sin 2sin sin n b b b b i b b n a i b b b b i b b ϕϕϕϕϕϕϕϕ+=⎧=++-⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-==++-⎩⎪⎩例4:已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===-,求通项n a .解: 考虑特征方程244x x =-得特征根2λ=则12()2n n a b b n =+ 其中1211222()2024(2)81n n b b b a n b b b +==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨+==⎩⎩。

用特征方程求数列的通项通项公式（或递推公式）是一个能够描述数列中每一项与前面的项有何种关系的方程式。

特征方程是解决递推公式的常用方法之一、接下来我将详细介绍特征方程的应用过程。

为了说明特征方程的用法和应用，我将以一个简单的数列为例，展示如何使用特征方程来求解这个数列的通项公式。

假设我们有一个数列：1, 2, 4, 8, 16, ...。

我们可以观察到每一项等于前一项乘以2，因此可以得出递推公式为an = 2 * an-1、其中an 表示第n项。

现在，我们来利用特征方程来推导这个数列的通项公式。

首先，我们设数列的通项公式为f(n)，并设特征方程为an = r * an-1根据递推公式an = 2 * an-1，我们有f(n) = 2 * f(n-1)。

将f(n)替换为an，f(n-1)替换为an-1，则特征方程变为an = 2 * an-1接下来，我们将特征方程的右边移到左边，并将an除以an-1，得到2 = an / an-1、由于an / an-1等于f(n) / f(n-1)，我们可以将特征方程改写为f(n) / f(n-1) = 2继续化简，得到f(n)=2*f(n-1)。

可以注意到这个递推公式与原数列的递推公式相同。

因此，我们可以得出结论，这个数列的通项公式为f(n)=2^n。

所以，数列1,2,4,8,16,...的通项公式为f(n)=2^n。

通过这个简单的例子，我们可以看到特征方程的应用过程。

通过将递推公式变形为特征方程的形式，我们可以通过求解特征方程得到数列的通项公式。

特征方程的应用不仅仅局限于这个简单的数列，它可以用于解决更加复杂的递推关系。

我们可以将递推关系转化为特征方程，并通过解特征方程来求解数列的通项公式。

总结一下，特征方程可以帮助我们求解数列的通项公式。

它将递推关系转化为一个以未知数为变量的等式，通过解这个等式得出数列的通项公式。

通过特征方程的应用，我们能够更好地理解和推导数列的递推关系，从而更加深入地研究数列的性质和特点。

数列中特征方程解决数列的相关问题——数列中不动点的应用在高中，对于数列我们只是对等比和等差数列，进行系统的学习，然而在有些考题中，对数列的考查则是在数列构造上，通过构造数列化归到我们熟悉的等比等差数列。

特征方程在数学中应用很广，高等数学中的微分方程以及其他学科都有其出现，就数列而言，利用特征方程和不动点，构造等比数列（等差数列），解决数列问题，为学生提供了更快捷的思路对于相关数列题目。

牛顿说一个好例子胜过十条定理，那么就先分析三种形式的关于数列的题设的四种情况。

1n n n ba ca da e++=+型1.当d=0时，1n n b ca a e e+=+，即1n n a ka m +=+ 即其特征方程为 x kx m =+，属于一次型方程。

注解 其中把()f x kx m =+叫做其的特征函数，2,3中类似。

2.当d ≠0时，1n n n ba c a da e ++=+的特征方程为bx cx dx e+=+，属于分式型方程。

注解 上述分式通过变形可以表示成二次型方程，()20dx e b x c +--=，与第3种情况相近，但和第4种条件有本质区别212n n n ba ca ba d++=+型（b ≠0） 3 . 上述类型的特征方程为 22b x cx b x d+=+，属于分式型方程210n n n aa pa qa ++++=型4．上述类型的特征方程为20ax px q ++=，属于二次型方程针对前三种情况而言，先简绍一个概念，不动点在数学中是指"被这个函数映射到其自身一个点"。

即函数()f x x =，x 的取值称之为不动点，具体展开讲，对于高中生有些难以接受，知道最基本的概念就好。

前三种情况说的概括一点已知()1n n a f a +=，是数列的一种递推关系，对于数列而言，引进一个极限想法，在无穷远处，数列的1n a +和n a 是一致的，当然这种情况的认定要基于数列不属于类似{}1,1,1,1,1,1,...,1,1----，sin 2n a n π⎛⎫= ⎪⎝⎭的数列，要求数列收敛或单调发散。

数列常见数列公式（超全的数列公式及详细解法编撰）1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+==n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数))3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=mn a a mn -- 4．等差中项：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 等差数列前n 项和公式 6.等差数列的前n 项和公式 （1）2)(1n n a a n S +=（2）2)1(1dn n na S n -+=（3）n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式8.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1） 利用n a ：当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ：由n )2da (n 2d S 12n -+=二次函数配方法求得最值时n 的值 等比数列1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n ，)0(1≠⋅⋅=-q a q a a m n m n 3．｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0）“n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．5．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）.6．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ⋅=⋅7．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 8．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0<q<1, 1a <0时, {n a }是递增数列; 当q>1, 1a <0,或0<q<1, 1a >0时, {n a }是递减数列; 当q=1时, {n a }是常数列; 当q<0时, {n a }是摆动数列; 等比数列前n 项和等比数列的前n 项和公式：∴当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1①或q qa a S n n --=11②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式②.数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ，∴d a =1………………………………①∵255a S =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

数列特征方程的原理
嘿，朋友！让我来给你讲讲数列特征方程的原理啊！你知道吗，这玩意儿就像是一把神奇的钥匙，能解开数列这个大谜团呢！比如说等差数列，1，3，5，7，9 这样的，它就有自己独特的特征呀。

想象一下，数列就像是一群有规律排列的小精灵，而特征方程就是我们找到它们规律的法宝。

为啥这么说呢？咱就拿一个简单的斐波那契数列来举例吧，1，1，2，3，5，8……它的特征方程就能帮我们深入理解它为啥会这样一步步发展下去。

你看啊，我们通过特征方程深入分析数列里的每一个数，就好像是在跟这些数字聊天，去了解它们心里的小秘密。

难道这不是超级有趣的事情吗？就好比我们通过特征方程解开了数列隐藏的密码。

我们在探索数列特征方程的原理时，就像是探险家在未知的领域里寻找宝藏！有时会遇到困难，会疑惑，但当我们突然找到那个关键的点，哇塞，那感觉简直太棒了！好比我们终于找到了打开宝藏大门的钥匙，那种兴奋和成就感，真的无与伦比！
那怎么找到这个神奇的特征方程呢？这就需要我们仔细观察数列的规律，尝试各种方法，就像是摸着石头过河。

在这个过程中，我们可能会犯错，会走弯路，但这正是探索的乐趣所在呀！当我们终于找到了合适的特征方程，就像是点亮了一盏明灯，一切都变得清晰明了。

我的观点很明确，数列特征方程的原理真的太神奇、太重要了！它是我们理解数列世界的关键，能让我们看到那些看似无序的数字背后隐藏的规律和奥秘。

所以啊，朋友们，一定要好好去研究、去探索，你会发现一个全新的、充满惊喜的数学世界哟！。