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多项式习题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ B ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．整系数多项式()f x 在Z 上不可约是()f x 在Q 上不可约的( C ) 条件。
A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要3．下列对于多项式的结论不正确的是（ A ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f4．最小的数域是 有理数域 。
5．设(),()[]f x g x F x ∈，若,))((,0))((m x g x f =∂=∂，则=⋅∂))()((x g x f m 。
6.求用2x -除43()25f x x x x =+-+的商式为 x 3+4x 2+8x +15 ，余式为 35 。
7．用()34g x x =+除()f x 所得的余式是函数值)34(-f 。
8. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的最大公因式为()g x 。
9.设)(x f 为3次实系数多项式，则 ( B )A. )(x f 至少有一个有理根B. )(x f 至少有一个实根C. )(x f 存在一对非实共轭复根D. )(x f 有三个实根.10. 多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得 。
11．多项式32()22f x x x x =+--的有理根是 -1 。
12. 设()p x 是多项式()f x 的一个(1)k k ≥重因式，那么()p x 是()f x 的导数的一个k -1重因式。
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高等代数学习题集一、线性方程组1. 解下列线性方程组：（1）$3x+2y=7$$2x-3y=4$（2）$2x-y+z=4$$x+3y-2z=5$$2x-y+z=1$（3）$3x+y=5$$4x-y=8$2. 通过矩阵表示以下线性方程组，并求出其解：（1）$4x+2y=6$$-2x+y=3$（2）$x-2y+3z=1$$2x+y+3z=9$$3x+2y+4z=12$（3）$x+y+z=0$$x+2y+3z=1$$x-3y+2z=2$二、矩阵运算与性质1. 计算以下矩阵的乘积：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$2. 求下列矩阵的逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$3. 判断下列矩阵是否可逆，并求其逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$4. 求矩阵的转置：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$三、特征值与特征向量1. 求矩阵的特征值与特征向量：$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$2. 计算以下矩阵的迹：（1）$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$四、向量空间1. 判断向量组是否线性相关：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$2. 求以下向量组的一个极大线性无关组：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$五、线性变换1. 判断以下线性变换是否为一一映射：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x+y \\ 3y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y \\ y+z \\ x+z \end{bmatrix}$2. 求下列线性变换的矩阵表示：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x-y \\ 3x+2y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y+z \\ 2x+3y-z \\ 3x-2y+2z\end{bmatrix}$六、二次型1. 对以下二次型进行分类：（1）$f(x,y)=2x^2+3y^2-4xy$（2）$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy+4xz$2. 将以下二次型化为标准形：（1）$f(x,y,z)=3x^2+4y^2+2z^2+4xy+4xz-8yz$（2）$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-2xy+6xz$以上为《高等代数学习题集》的内容，希望对你的学习有所帮助。
高等代数练习题一、选择题1、每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以唯一的分解成（ ）A 、一次因式的乘积B 、一次与二次因式的乘积C 、只能是二次因式的乘积D 、以上结论均不对 2、多项式2128234++-x x x 在有理数域上（ ）A 、可约B 、不可约C 、不一定可约D 、不能确定 3、齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）A 、系数行列式不为0B 、系数行列式为0C 、系数矩阵可逆D 、系数矩阵不可逆 4、若存在u （x ），v （x ）使u （x ）f （x ）+v （x ）g （x ）=1，则（ ） A 、f （x ）｜g （x ） B 、g （x ）｜f （x ） C 、f （x ）g （x ）=1 D 、以上均错 5、下列说法正确的是（ ）A 、设A 、B 是两个n 级矩阵，则秩（A+B ）≤秩A+秩BB 、设21V V 、是两向量空间，则dim （21V V +）=dimV 1+dimV 2C 、以上均对D 、以上均错 6、模m 的完全剩余系有（ ）A 、唯一一个B 、无穷多个C 、有有限个D 、不一定有 7、设p 是素数，a 是整数，且(p,a)=1，则（ ）A 、)(mod p a a p ≡B 、)(mod 0p a p ≡C 、)(mod 01p a p ≡-D 、以上均错 8、多项式f(x)除以x-a 所得的余数为（ ）A 、f(0)B 、f(x-a)C 、f(a)D 、以上均错9、在xy 平面上，顶点的坐标(x,y)满足41,41≤≤≤≤y x ，且x,y 是整数的三角形个数有（ ） A 、560 B 、32 C 、516 D 、44 10、零多项式的次数是（ ）A 、0次B 、1次C 、2次D 、不定义次数二、填空题1、方程032234=-+-x x x 的有理根为___________________。
2、排列657893的逆序数是_____________________。
《高等代数（上）》课程习题集一、填空题11. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。
2. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（ ）关。
3. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且31=A ，则=--1*A A （ ）。
4. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（ ）。
5. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3AB C A B +=+，则矩阵C =（ ）。
6. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ）。
7. 设行列式014900716=--k，则=k （ ）8. 行列式22357425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（ ）10. 设A 为3阶矩阵，51=A ，则12--A =（ ） 11. 已知：s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，则系数矩阵A 的秩=)(A R （ ）12. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是（ ） 13. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是（ ）14. 若排列n j j j 21的逆序数为k ，则排列11j j j n n -的逆序数为（ ）15. 当=a （ ）时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++040203221321321x a x x ax x x x x x 有零解。
16. 设A 为n n ⨯矩阵，线性方程组B AX =对任何B 都有解的充要（ ）17. 设00A X C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知11,A C --存在，求1X -等于（ ） 18. 如果齐次线性方程组0=AX 有非零解，则A 的列向量组线性（ ）关 19. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则（ ） 20. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（ ）21. 设m ααα,,,21 是一组n 维向量，如果n m >.，则这组向量线性（ ）关22. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则k=（ ）。
⾼等代数练习题1．最⼩的数环是，最⼩的数域是。
2．设(),()[]f x g x F x ∈，若(())0,(())f x g x m ?=?=，则(()())f x g x ??=3.求⽤22x x -+除4()25f x x x =-+的商式为，余式为。
4．把5)(4-=x x f 表成1-x 的多项式是。
5、如果()(()())f x g x h x +，且)()(x h x f ，则____________ 6. ()()()d x f x d x 若是g(x)的最⼤公因式，则满⾜⽽(f(x),g(x))是指__________________.7、设1)(,143)(23234--+=---+=x x x x g x x x x x f ，则=))(),((x g x f ____________。
8、设[](),()P x f x g x 中两个多项式互素的充要条件是。
9、若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则它是()f x ' 。
10、()f x 没有重因式的充要条件为。
11、()42243f x x x x =+--有⽆重因式。
12、()4323f x x x x =-+-可能的有理根是_________________，全部有理根为。
13、由艾森斯坦判别法，110()n n n n f x a x a x a --=+++ 是⼀个整系数多项式，当满⾜_______________________________________________________________________________()f x 在有理数域上是不可约的. 2n x +在有理数域上是否可约_________________.14、在n 阶⾏列式中，1122n n i j i j i j a a a 这⼀项前的符号为__________________. 15. =---381141102_________________。
第七章线性变换1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:1)在线性空间V 中，A ,其中 V 是一固定的向量;4) 在 P 3 中，A (X I ，X 2,X 3) (2X 15) 在 P[ X ]中，A f (x) f (x 1)6) 在P[ X ]中，A f (X) f(X o )，其中X o P 是一固定的数;7) 把复数域上看作复数域上的线性空间， A8)在P nn 中，A X=BXC 其中B,C P n n 是两个固定的矩阵.解1)当 0时,是;当 0时,不是。
2)当o 时，是；当 o 时，不是。
3)不是•例如当(1,0,0), k 2 时，k A ( ) (2,0,0) , A (k ) (4,0,0),A (k )k A()。
4)是•因取(X 1,X 2,X 3),(y 1, y 2, y 3),有A()= A(X 1y 「X 2 y 2 ,X 3 y 3)= (2X 1 2y 1 X 2 y 2,X 2 y= (2X 1X 2, X 2 X 3,X 1) (2y 1=A+ A ,A (k ) A (kX 1, kX 2, kX 3)(2kx 1kx 2, kx 2=k A (), 3故A 是P 上的线性变换。
5)是.因任取 f(x) P[x], g(x) P[ X],并令u(x) f(x) g(x)则A ( f (x)g(x)) = A u(x)=u(x 1) = f(x 1) g(x 1)=A f(x) + A (g(x)),再令 v( x) kf (x)则 A (kf (x)) A (v( x)) v(x 1) kf (x 1) k A ( f (x)),故A 为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取 f (x)P[x], g(x) P[ x]则.A (f(x) g(x))=f(x 0) g(X 0 ) A ( f (x)) A (g(x)),2) 3) 在线性空间V 中，A 在 P 3 中,A(X l ，X 2,X 3)其中(X I 2,X 2V 是一固定的向量;2、X 3,X 3 )； X 2, X 2 X 3,X I ).X 3 y 3,X 1 yj y 2,y 2 y 3,y 1)(2kx 1kx 2, kx 2kx 3,kxjkx 3,kxjA(kf (x)) kf (x0) k A( f (x))。
高等代数例题第一章 多项式1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有231x mx x px q +-++2．45P 7 设32()(1)22f x x t x x u =++++，3()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、u 的值。
3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3x px q ++有重根的条件。
5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -6．46P 25 证明：如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1nx -在复数域内和实数域内的因式分解。
8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。
求证：11((),())((),())f x g x f x g x =。
10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。
我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最小公倍式。
证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()()[(),()]((),())f xg x f x g x f x g x =。
11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2mn f x xx =+-所得余式为 。
第四章 矩阵 作业1 （矩阵的运算）一．判断说明题（如果正确，证明它，如果不正确，举出反例）。
1．设C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = （ ） 2．设A 是n m ⨯矩阵，C B ,是s n ⨯矩阵，如果AC AB =，则有C B =。
（ ） 3．设B A ,是n 阶方阵，则有.2)(222B AB A B A ++=+ （ ） 二．计算下列矩阵。
1．设,150421321,121211012⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=B A 求 BA AB B A AB -,,''。
2．（1）。
()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x a a a a a a a a a z yx 333231232221131211（2）。
n⎪⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθc o s s i ns i n c o s（3）。
n⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλ001001三．证明：如果,,CA AC BA AB ==证明：A BC BC A A C B C B A )()(,)()(=+=+。
四．如果),(21E B A +=证明：A A =2当且仅当.2E B =五．如果,'A A =则称矩阵A 为对称矩阵，如果B A ,为对称矩阵，证明：AB 也为对称矩阵当且仅当B A ,可交换。
六．如果矩阵满足A A ='，则A 是反对称矩阵，证明：任一n n ⨯矩阵都可以表示为一对称矩阵和反对称矩阵的和。
七．设A 是n n ⨯矩阵，证明：存在一个n n ⨯的非零矩阵使得0=AB 的充分必要条件是0=A （或者是矩阵A 的列向量组是线性无关的）。
第四章 矩阵 作业2（矩阵的逆）一．填空题。
1．n 阶矩阵可逆的充分必要条件是_________________________.2．设A 是34⨯矩阵，且A 的秩为,2并且矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=301020201B ，则秩=)(AB________________.3.设矩阵B tA ,11334221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=为三阶非零矩阵，且0=AB ，则=t ________. 4．设A 为n 阶矩阵，且,2=A 则=--*13)21(A A __________________.5．设矩阵,,333222111333222111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c y b c y b c y b B c x b c x b c x b A 并且,3,2=-=B A 则行列式=+B A ____________.6．设,300320321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A 则=-1*)(A __________.7．设B A ,为4阶矩阵，且,3=A 则=--1)3(A _______,=-12B BA _______.二．判断矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201013121A 是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵。
《高等代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式： （1）2345 （2）2163- （3）x x x x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x （5）2232ab ba a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a bb a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）655565556 2.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛn n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a xΛΛΛΛΛΛΛ （6）abb a b a b a 000000000000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+ΛΛΛΛΛΛΛΛ212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵 习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
2．已知 010322131203122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--X 求矩阵X 。
3．计算下列矩阵（1）[]231312⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡， （2）[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡231312 ，（3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡973412100010001 （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22013121013143113412，（5）[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-231112312 4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=111111111A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=212131121B求（1）AB ―3B ； （2）AB ―BA ； （3）（A ―B ）（A +B ）；（4）A 2―B 25．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011213112A设 f （x ）=x 2―2x ―1，求f （A ）。
6．如果)(21E B A +=，证明A 2=A 的充要条件是B 2=E 。
7．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=020213121A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=137325751B(1)计算行列式|(2A ―B )T +B |的值.(2)求行列式|A 3―A |. 8.证明：(ABC )T =C T B T A T .习 题 2.3用分块矩阵的乘法计算下列各题1⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=101012100012000001000021A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1112312110201010001000001B 求AB .2. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ββαα200000000002A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=ββαα2000000002B 求ABA .习 题 2.51.用||*1A A A =-求矩阵的逆矩阵(1),⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A 其中ad ―bc ≠0; (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100210321A(3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=113111321A (3) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=0031020100A 2.用矩阵的初等变换求逆矩阵(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=213541702A (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10210032107531(3)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------1111111111111111 (4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1210232112201023 3.设A k =0,其中A 为方阵,k 为大于1的某个正整数,证明(E-A )-1=E +A +A 2+…+A k-1.4.解下列矩阵方程(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12643152X (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--412011111011220111X(3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021102341010100001100001010X 5.若A 为非退化矩阵,并且AB=BA ,试证： A -1B=BA -1。
习 题 2.61.求下列矩阵的秩(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---443112112013 (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------815073*********(3)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14011313021512012211 (4)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11010011000011000011001012.问能否适当选取矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=k A 24293633121中的k 的值,使(1) r (A )=1,(2) r (A )=2,(3) r (A )=3.3.试证明：)()(B r A r B O O A r +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 习 题 2.71.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=y x A 4321,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5231v u B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2312t w C ,且A+B=C ,求x ，y ，u ，v ，w ，t 。
2．计算（1）3001001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ；（2）n⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010011 （n >0）3.求逆矩阵:(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡323513123 (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1210232112201023 4.求矩阵的秩:(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---443112112013; (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---140113130215120122115.已知矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321011324A(1)设AX-2A +5E =0,求X.(2)设AX=A +2X ,求X .6.已知AP=PB ,其中 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100210321,100000001P B ,求A 与A 100. 7.设A 为3阶方阵,A*为A 的伴随矩阵,A T 为A 的转置矩阵,A -1为A 的逆矩阵,若行列式|A|=4,(1)求行列式|)*3()21(|1A A T --的值. (2)求行列式|)*21(|A .8.设A 是n 阶方阵,E 是n 阶单位矩阵,A +E 是可逆矩阵,且f (A )=(E -A )(E +A )-1,求f (f (A )). 9.证明22222222222222222000000000d c b a d c b a d c b a dc b a a b cd b a d c c d a b d c b a ++++++++++++=------10.设A 为n 阶满秩方阵(n ≥2),A *为A 的伴随矩阵,求证(A *)*=|A | n －2A .第3章线性方程组习 题 3.11、判断下列方程组是否有解，若有解，用高斯消元法求出一般解。
