高等代数习题集

高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。

高等代数习题集##大学数学科学学院高等代数组收集2003, 4,301.设X = ,求X.2.设二次型f<x1, x2, ... , x n>是不定的,证明：存在n维向量X0,使X0'AX0= 0,其中A是该二次型的矩阵.3.设W = {f <x>| f <x> P[x]4, f <2> = 0}.a证明：W是P[x]4的子空间.b求W的维数与一组基.4.在R3中定义变换A：任意 <x1, x2, x3> R3, A<x1, x2, x3> = <2x2 + x3,x-4x2, 3x3>.11,证明：A是Rr3上线性变换,2,求A在基xi1 = <1, 0, 0>, xi2 = <0, 1, 0>, xi3 = <1, 1, 1>下的矩阵.5.设,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.6.设V是数域P上n维线性空间,A是V上可逆线性变换, W是A的不变子空间.证明：W也是A-1的不变子空间.7.设V是n维欧氏空间,A是V上变换. 若任意,V,有 <A, A> =<,>. 证明：A是V上线性变换,从而是V上正交变换.8.设X = ,求X.9.设A是奇数级的实对称矩阵,且| A| > 0, 证明：存在实n维向量X00,使X0'AX0 > 0.10.设A = , W = {|R4, A = 0}.证明：1.[1,]W是4的一个子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.11.设B, C = ,在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A<X> = BXC.1,证明：A是R2 x 2上线性变换..2,求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.12.用正交线性替换,化实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形.13.设V为数域P上线性空间,A是V上线性变换, 若 <A2>-1<0> = A-1<0>,证明：V = AV.+A-1<0>.14.设V是n维欧氏空间.A是V上正交变换,W是A的不变子空间. 证明：W也是A的不变子空间.15.设X = ,求X.16.设A是奇数级的实对称矩阵,且| A| > 0, 证明：存在实n维向量X00,使X0'AX0 > 0.17.设A = , W = {|R4, A = 0}.证明：1.[1,]W是4的一个子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.18.设B, C = ,在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A<X> =BXC.1.[1,]证明：A是R2 x 2上线性变换..2.[2,]求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.19.用正交线性替换,化实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形.20.设V为数域P上线性空间,A是V上线性变换, 若 <A2>-1<0> = A-1<0>,证明：V = AV.+A-1<0>.21.设V是n维欧氏空间.A是V上正交变换,W是A的不变子空间. 证明：W也是A的不变子空间.22.设X = ,求矩阵X.23.设实二次型f<x1, x2, ... , x n> = X'AX的秩是n,其中A是实对称矩阵. 证明:实二次型g<x1, x2, ... , x n> = X'A-1X与f <x1, x2, ... , x n>有相同的正负惯性指数和符号差 .24.设W = {<a1, a2, ... , a n>| a i R,a i = 0} 证明1.[1,]证明：W是R n的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.25.设B = , B = .在R2中定义变换 : 对任意X R2 x 2,X = BX + XC1.[1,]证明：是V上线性变换.2.[2,]求在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.26.设A = ,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.27.设V为数域P上n维线性空间,V1, V2为其子空间, 且V = V1V2,为V上可逆的线性变换. 证明：V = V1 + V2.28.设V为n维欧氏空间,若A既是V上对称变换且A2 = E. 证明：存在V的一组标准正交基,使得在该基下的矩阵为.29.设X = ,求矩阵X.30.设f<x1, x2, ... , x n> = X'AX是实二次型,其中A是实对称矩阵.如果X'AX= 0当且仅当X = 0. 证明：f <x1, x2, ... , x n>的秩为n,符号差是n或- n.31.设= <1, 2, 3, 0>, = <- 1, -2, 0, 3>, = <0, 0, 1, 1>,= <1, - 2, - 1, 0>, W = {k i| k i R}.1.[1,]证明：W是Rr4的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.32.设A三维向量空间V上可逆线性变换,A在基,,下的矩阵是.1.[1,]证明：A的逆变换A-1也是V上线性变换.2.[2,]求A-1的在,,下的矩阵.33.设,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.34.设V为n维欧氏空间,若A既是V上正交变换,又是V上对称变换. 证明：A2是V上的恒等变换.35.设V为数域P上n维线性空间,W为其子空间,A为V上线性变换. 证明：维<AW> +维 <A-1<0> W> =维W.36.设X = ,求矩阵X.37.设W = {A| A R3 x 3, A' = - A}.1.[1,]证明：W是R3 x 3的一个子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.38.设实二次型f <x1, x2, ... , x n> = X'AX的秩为n, 符号差是s.证明：R中存在<n - | s|>维子空间W使任意X0W, X0'AX0 = 0.39.在R[x]3中定义变换A：任意f <x> R[x]3, A<f <x>> = xf'<x>.1.[1,]证明：A是R[x]3上线性变换.2.[2,]求A在基 1, x + 1, x2 + x + 1下的矩阵.40.设A = ,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.41.设V为数域P上n维线性空间,A为V上线性变换.证明：维<AV> +维 <A-1<0>> =维V.42.设V为n维欧氏空间,若A是V变换,若任意,V, <A,> = <,A>. 证明：A是V上线性变换,从而为V上对称变换.43.设V = P[x]5,f <x> V ,有f <x> = <x2 - 1>q<x> + r<x>, 其中r<x>= 0或次<r<x>> < 2,1.[1,]证明：f <x> V,令A<f <x>> = r<x>,则A是V的一个线性变换;2.[2,]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.44.用正交线性替换,把实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形, 并求所用的正交线性替换,45.设A, B是n x n正定矩阵,证明：A2 + B2是正定矩阵,46.设W = {A| A = <a ij>n P n x n,a ii = 0},1.[1,]证明：W是P n x n的子空间,2.[2,]求W的维数与一组基,47.判别下述结论是否正确,并说明理由,1.[1,]若n x n矩阵A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补,则V= W W, 48.设A为n维欧氏空间V的线性变换, 证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量,49.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换,若AB= BA,并且A有n个互异的特征值, 证明：A, B有n个线性无关的公共的特征向量.50.求矩阵A = 的特征值和特征向量.51.求二次型f <x1, x2, x3> = x12 +5x1x2 -3x2x3的标准型,并写出所用的非退化的线性替换.52.设V是由零多项式和数域上次数小于3的一元多项式的全体组成的P上线性空间.对于任意的f <x> V,定义<f <x>> = f'<x> - f''<x>.证明1.[1,]证明：是V的线性变换.2.[2,]求在基 1, x + 1, x2 - x下的矩阵.53.设V是一个欧氏空间, ,V.证明: || = || < + , -> = 054.设W = {f <x>| f <x> P[x]4, f <2> = 0}.1.[1,]证明：W是P[x]4的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.55.设A为线性空间V上线性变换.证明：A是可逆的线性变换的充要条件是A的特征值一定不等于零.56.设A为n x n实矩阵, A = A', A3 = E n证明：A = E n .57.设X = ,求矩阵X.58.在Rr3中定义线性变换A：<a1, a2, a3> R3, A<a1, a2, a3> = <2a2 +a, a1 -4a2, 3a1>.求在基 {<1, 0, 0>,<1, 1, 0>,<1, 1, 1>}下的矩阵.359.用正交线性替换化二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形60.设V为数域P上n维线性空间,A是V的一个可逆线性变换, W是A子空间.证明：W也是A-1-子空间.61.设A是正定矩阵,证明：A-1, A2都是正定矩阵.62.设V为数域P上n维线性空间,A是V的线性变换,且kerA= kerA2.证明：V = kerA AV.63.设V为n维欧氏空间,A是V上对称变换,且A2 = E. 证明：存在V的一标准正交基,使A在该基下的矩阵是.64.设B P2 x 2,1.[1,]证明：A<X> = BX - XB,X P2 x 2是P2 x 2上一个线性变换；2.[2,]当B = 时,求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.65.用正交线性替换,把实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形, 并求所用的正交线性替换.66.设W1= | x, y, z P, W2 = | A,b, c P都是P2 x 2的子空间.1.[1,]求W1W2的维数和一组基；2.[2,]求W1 + W2的维数.67.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A, B P n x n,若A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]设A是P上n维线性空间V的线性变换,若A有n个不同特征值,则A在某基下的矩阵是对角形.68.判别实二次型f <x1, x2, x3> = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3是不是正定的？并说明理由.69.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换. 若A有n个互异的特征值,且A的特征向量都是B的特征向量, 证明：AB = BA.70.设A, B是n阶实对称矩阵,且B是正交矩阵.证明：存在n x n实可逆矩阵T,使T'AT与T'BT同时为对角形.71.设X = ,求矩阵X.72.设B, C = ,在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A<X> = BXC.1.[1,]证明：A是R2 x 2上线性变换.2.[2,]求A在基E11, E12, E23, E22下的矩阵.73.用正交线性替换,化实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形.74.设W = {<a1, a2, ... , a n>| A i Rn, a1 + a2 + ... + a n = 0}.1.[1,]证明：W是Rn的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.75.设V为数域P上n维线性空间,V1, V2为V的两子空间, 且V =V1V2, A是V上可逆线性变换.证明：V = AV1AV2.76.设V是一个欧氏空间, ,V, 证明： || = || + , -> = 0.77.设A是欧氏空间V的一个正交变换, 证明：A的不变子空间的正交补也是A的不变子空间.78.设V = P2 x 2, B V,<1>证明：变换A：X BX - XB是V上一个线性变换；<2>当B = 时,求A在基E ij下的矩阵.79.求f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -6x2x3的标准形, 并给出所用的非退化线性替换P.80.求k为何值时f<x1, x2, x3> = x12 + <k + 2>x22 + kx32 +2x1x2-2x1x3 -4x2x3是正定的.81.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A, B P n x n,若A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]设A是P上n维线性空间V的线性变换,若A有n个不同特征值,则A在某基下的矩阵是对角形.82.设W1= | x, y, z P, W2 = | A,b, c P都是P2 x 2的子空间. <1>求W1W2的维数和一组基；<2>求W1+W2的维数.83.设A = ,1.[1,]求A的特征值与特征向量；2.[2,]A是否相似于对角形,为什么？84.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换. 若A有n个互异的特征值,且A的特征向量都是B的特征向量, 证明：AB = BA.85.设A, B是n阶实矩阵,且B是正定矩阵.证明：存在实可逆矩阵P, 使P T AP与P T BP同时为对角形.86.设V = P2 x 2, B V,1.[1,]证明：变换A：X BX,是V上一个线性变换；2.[2,]当B = 时,求A在基E ij下的矩阵.87.求f <x1, x2, x3> = x1x2 + x1x3 + x2x3的标准形, 并给出所用的非退化线性替换.88.f <x1, x2, x3> = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3是否正定.为什么？89.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A, B P n x n,若A与B相似,则A, B有相同特征多项式；2.[2,]设A是n维线性空间V的线性变换,若A在某基下的矩阵是对角形, 则A有n个互异特征值.90.设= <1, 0, 1, 1>, = <1, -1, 1, 2>, beta1 = <1, -1, 0, 1>,= <0, 1, 0, 1>, W1 = L<,>,W2 = L<,>.1.[1,]求W1 + W2的维数和一组基；2.[2,]求W1W2的维数.91.设A = ,1.[1,]求A的特征值与特征向量；2.[2,]A是否相似于一个对角矩阵,为什么？92.设A是实对称矩阵,并且A3 = E n.证明：A = E n.93.设A, B是数域上n维线性空间V的两线性变换.若AB = BA,并且A有n个互异的特征值. 证明：A, B有n个线性无关的公共特征向量.94.设V= P[x]5,f<x> V, A<f<x>> = r<x>, 其中f<x> = <x3- 1>q<x>+ r<x>, r<x> = 0或次<r<x>> < 3.1.[1,]证明：变换A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.95.设A =求正交矩阵T使T'AT为对角形.96.设A, B是n x n正定矩阵,证明：A2 + B2是正定矩阵.97.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A是n维线性空间V的线性变换,则V = AV kerA；2.[2,]设V为欧氏空间,A是V的一个对称线性变换, ,是A之属不同特征值下的特征向量,则,98.设,是上n维线性空间V的线性变换, W既是-不变子空间,也是-不变子空间.证明:1.[1,]W是+ ,-不变子空间；2.[2,]若是可逆的,则W是-不变子空间,99.设W = {A n x n| TrA = 0}, <其中TrA表示A的主对角线元素的和>.1.[1,]证明：W是一个子空间；2.[2,]求W的维数和一组基.100.设A = 可逆,其中A1P m x n, W i = {A i X = 0} 之解空间,证明：P n = W1W2.101.设A在基,,下的矩阵是A =求在基= 2 +3 + , = 3 +4 + , =+2 +2下的矩阵.102.设A =求A的特征值,特征向量.A是否相似于对角矩阵？103.设A正定矩阵,证明：A*也正定.104.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]n级实矩阵A是负定的充要条件是A的顺序主子式全小于0；2.[2,]n维欧氏空间V之正交变换把V的正交基变成正交基. 105.设是A之属的特征向量, g<x> = a k x k P[x],证明：是g<A>之属g<>的特征向量.106.设A是n维线性空间V的线性变换,证明下述等价.1.[1,]A可逆；2.[2,] kerA = {0}；3.[3,]A将V的基变成基.107.设X T AX是实二次矩阵,X T BX是正定二次矩阵,其中A, B是对称矩阵, 则存在非退化线性替换X = PY把它们同时变换成标准形.108.设V = P[x]5,f <x> V, A<f <x>> = r<x>, 其中f <x> = <x2 -1>q<x> + r<x>,r<x> = 0或次<r<x> < 2>.1.[1,]证明：变换A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.109.用正交线性替换,把实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形, 并求所用的正交线性替换.110.设A, B是正定矩阵,证明：A + B,A-1都是正定矩阵.111.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]若数域P上n阶矩阵A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补,则V= W W.112.设V1, V2, V3V是有限维子空间,证明：dimV1 + dimV2 + dimV3 = dim<V+ V2 + V3> + dim<V3<V1 + V2>> + dim<V1 + V2>.1113.设A为n维欧氏空间V的线性变换, 证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量.114.设A是n维欧氏空间的一个线性变换, <,>是V的内积.证明：<A<>, A<>>是V的内积A可逆.115.设A = ,求A的逆矩阵.116.求二次型f <x1, x2, x3> = x12 +5x1x2 -3x2x3的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.117.设A= ,求A的所有特征值,特征向量.A是否相似于一个对角矩阵,为什么？118.设A是P上n x n矩阵, W = {f <x> P[x]| f <A> = 0}. 证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间.119.设= <1, 2, 1, 0>, = <- 1, 1, 1, 1>, = <2, -1, 0, 1>, = <1, - 1, 3, 7>,求L<,> + L<,>与L<,>L<,> 的维数.120.设V是一个欧氏空间, ,V, 证明： || = || < +, - > = 0.121.设A是n x n实矩阵,证明：A'A是半正定矩阵.122.设A是欧氏空间的一个实对称变换.证明：若A4 = 0,则A = 0.123.设A = ,求A的逆矩阵.124.求二次型f <x1, x2, x3> = 3x12 -5x1x2 +2x1x3 - x32的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.125.设A= ,求A的最小的特征值,并求属于该特征值的全体特征向量.126.设A是P上n x n矩阵, W = {f <A>| f <x> P[x]}. 证明：W 关于通常的加与数乘是一个线性空间.127.设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间,对B V,令A<B> =,其中B'是B的转置.1.[1,]证明：A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基,,,下的矩阵.128.设V是欧氏空间, ,V.证明： <,> = | + |2 - | - |2.129.设A是3 x 3矩阵.若1, 1, - 2是A的特征值,求A2 +2A - 3E3的行列式.130.设A是n x n实对称矩阵.证明：若A3是半正定矩阵,则A是半正定矩阵.131.求矩阵X,使X = . 132.求二次型f <x1, x2, x3> = x12 -6x1x2 +4x1x3 -7x22 + x32的一个标准形, 并写出所有的非退化的线性替换.133.设A= ,求A的最大的特征值,并求属于该特征值的全体特征向量.134.设A是一个p上n x n矩阵,W是所有形为AB<其中B是n x m矩阵>全体所成的集. 证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间. 135.设V是由零多项式和P上次数小于3的一元多项式的全体组成的P 上的线性空间. 对于f <x> V,令A<f <x>> = f'<x> - f''<x>.1.[1,]证明：变换A是一个线性变换.2.[2,]求A在基 {1, x + 1, x2 - x}下的矩阵.136.设V是欧氏空间, ,V.证明：若 | + |2= ||2+ ||2,则与正交.137.设A, B都是n x n正定矩阵.证明：A + B也是正定矩阵. 138.设A是n x n实对称矩阵.证明：若A5 = E n,则A = E n.139.设A = ,求A的逆矩阵.140.求二次型f <x1, x2, x3> = 2x12 + x22 -4x1x2 -4x2x3的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.141.设A = ,求A的最小的特征值,并求属于该特征值的全体特征向量.142.设V是欧氏空间,W是V上所有对称变换组成的集合. 证明：W关于通常的加与数乘是一个R上的线性空间.143.设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间,对B V,令A<B> =B.1.[1,]证明：A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基,,,下的矩阵.144.设V是一个欧氏空间, ,V.证明：若与正交,则 | +|2 - | - |2 = 0.145.设A是n x n矩阵.证明：若0是A的一个特征值,则A不是可逆的.146.设A是n x n实对称矩阵.是A的最大特征值. 证明： < +1>E n - A是正定矩阵.147.求矩阵X,使X = .148.求二次型f <x1, x2, x3> = 2x12 +5x22 +5x32 +4x1x2 -4x1x3 -8x2x3的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.149.设A= ,求A的全体实的特征值,并求属于这些特征值的全体特征向量.150.设W = {f <x> P[x]| f <1> = 0}. 证明：W关于通常的加与数乘是一个上P的线性空间.151.设= <1, 2, -1, -2>, = <3, 1, 1, 1>, = <- 1, 0, 1, -1>, = <2, 5, -6, 5>, = <- 1, 2, - 7, - 3>,求L<,,>+ L<,>与L<,,> L<,> 的维数.152.设V是一个欧氏空间, ,V.证明： | + |2+ | - |2=2||2 +2||2.153.设A是3 x 3矩阵.若1, - 1, - 2是A的特征值,求A2 -3A - 10E3的行列式.154.设A是一个n x n实对称矩阵.如果对任意n维列向量〔视为n x 1矩阵〕, 有 <A,> > 0.证明：A是正定矩阵.155.计算向量组, = , = , = , = 的秩.156.计算行列式：.157.求下列线性方程组的一个基础解系和解集.158.证明：如果x1,则= - .159.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f2<x> + 3f <x>g<x> + g3<x>与 4f3<x>g<x>互素.160.设f <x> R[x].证明：如果f <x>在R中有根,则f <x3>在R中有根.161.已知,, ... ,与,, ... ,有相同的秩, 证明：,, ... ,与,, ... ,等价.162.计算向量组, = , = , =, = 的秩.163.计算行列式：.164.求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集item 证明：= a n x n + a n-1x n-1 + ... a1x + a0.165.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f<x> + g3<x>与 <f <x>g<x>>2互素.166.设f <x> R[x].证明：如果f <x>有正根,则f <<x - 1><x - 2>>在R中有根.167.设,, ... ,一组n维向量,如果单位向量,, ... ,可被它们线性表出, 证明：,, ... ,线性无关.168.计算矩阵的A秩, A = .169.计算行列式：.170.求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集.= <n + a n>a1a2 ... a n-1.172.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f3<x> - 2f <x>g<x> + g2<x>与f2<x>g<x>互素.173.设f <x>, g<x> P[x].证明：如果g<x>次数大于0,f <x>有重因式, 证明：f <g<x>>有重因式.174.已知向量组,, ... ,的秩是r, ,, ... ,是它的一个部分组. 证明：如果,, ... ,线性无关, 则,, ... ,是,, ... ,的一个极大线性无关组.175.计算矩阵的A秩, A = .176.计算行列式：.177.求下列线性方程组的一个基础解系.= <- 1>n<n + 1>a1a2 ... a n.179.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f3<x> + g2<x>与f <x>g3<x>互素.180.设f <x> C[x].证明：如果1是f <x>的一个根,则= +i是f <x3>的一个根.181.已知向量组,, ... ,的秩是r, ,, ... ,是它的一个部分组. 证明：如果,, ... ,线性无关, 则,, ... ,是,, ... ,的一个极大线性无关组.。

高等代数习题课_厦门大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.特征值全为0且秩为3的10阶方阵, 互不相似的Jordan有____种.参考答案:32.设A是n阶矩阵，且A的有理标准型只包含一个Frobenius块，下列命题中错误的是____.参考答案:A的特征值两两互异3.设n阶复方阵A的相似于对角矩阵, 则下列叙述中错误的是____.参考答案:A的任一行列式因子没有重根4.以下映射的合成的命题中，正确的有____个。

A 单射的合成还是单射 B 满射的合成还是满射C 可逆映射的合成还是可逆映射D 线性映射的合成还是线性映射参考答案:45.设A是n阶实对称矩阵，若____，则A必为正定矩阵.参考答案:A的特征值全大于零6.设φ是线性空间V到W的线性映射, 则____.参考答案:φ把V中线性相关向量组变成W中线性相关向量组7.设U, W是n维线性空间V的真子空间, 且V等于U直和W. 又设V中向量α∉U，且α∉W，记S为α生成的子空间. 则dim((U+S)∩(W+S))=____参考答案:2##%_YZPRLFH_%##28.设φ是三维行空间的变换, 下列变换中____不是线性变换.参考答案:φ(a, b, c)=(ab, bc, ac)9.设f(x), g(x)是有理系数多项式, 下列命题成立的有____个.(1) 在有理数域上f(x), g(x)互素的充要条件是在复数域上f(x), g(x)互素(2) 在有理数域上f(x)整除g(x)的充要条件是在复数域上f(x)整除g(x)(3) 在有理数域上f(x), g(x)的最大公因式是d(x)的充要条件是在复数域上f(x), g(x)的最大公因式是d(x)(4) 在有理数域上f(x), g(x)的最小公倍式是k(x)的充要条件是在复数域上f(x), g(x)的最小公倍式是k (x)参考答案:410.设A是n阶复方阵, 则____不是A可对角化的充要条件.参考答案:A有n个不变因子11.两个n阶实对称阵正交相似的充要条件是____.参考答案:它们相似12.设φ是n维线性空间V的线性变换, 若φ是单射，则φ一定是满射.参考答案:正确。

湖南省考研数学复习资料推荐高等代数习题集湖南省考研数学复习资料推荐——高等代数习题集高等代数是湖南省考研数学科目中的重要一部分，对于考生来说，掌握高等代数的基本理论和解题技巧至关重要。

在复习过程中，一本优质的高等代数习题集，既可以帮助考生巩固知识点，又能够检验自己的学习成果。

本文将为湖南省考研数学考生推荐几本优秀的高等代数习题集，希望能够对考生的复习备考工作有所帮助。

1.《高等代数习题集》- 王式同编著这本习题集是湖南省考研数学中较为经典的一本教辅资料。

它包含了高等代数的各个知识点，习题难度适中，涵盖了基本概念、性质和解题方法。

作者编著的习题旨在考察学生对高等代数知识点的掌握程度，有助于考生训练解题的思维方式和技巧。

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2.《高等代数习题集与指南》- 李鸣与彭军编著该书是湖南省考研数学中另一本较为知名的习题集。

它从题目的选材和难度上具有一定特色，突出了高等代数中的典型问题和难点。

习题集中的部分题目相对较难，适合对高等代数有一定基础的考生进行深入练习。

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它的特点是习题分析透彻，解题方法详细，能够帮助考生理解高等代数中的重难点和解题思路，提高解题能力。

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总结：对于湖南省考研数学复习来说，高等代数是其中的重点内容。

选择一本合适的高等代数习题集进行练习对于考生来说非常重要。

本文推荐的三本习题集都得到了广大考生的认可，它们分别是《高等代数习题集》- 王式同编著、《高等代数习题集与指南》- 李鸣与彭军编著、《高等代数习题集》- 朱光编著。

这些习题集的特点是题目全面、解析详尽，对考生复习备考起到了很大的帮助。

多项式习题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ B ）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．整系数多项式()f x 在Z 上不可约是()f x 在Q 上不可约的( C ) 条件。

A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要3．下列对于多项式的结论不正确的是（ A ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f4．最小的数域是 有理数域 。

5．设(),()[]f x g x F x ∈，若,))((,0))((m x g x f =∂=∂，则=⋅∂))()((x g x f m 。

6.求用2x -除43()25f x x x x =+-+的商式为 x 3+4x 2+8x +15 ，余式为 35 。

7．用()34g x x =+除()f x 所得的余式是函数值)34(-f 。

8. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的最大公因式为()g x 。

9.设)(x f 为3次实系数多项式，则 ( B )A. )(x f 至少有一个有理根B. )(x f 至少有一个实根C. )(x f 存在一对非实共轭复根D. )(x f 有三个实根.10. 多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得 。

11．多项式32()22f x x x x =+--的有理根是 -1 。

12. 设()p x 是多项式()f x 的一个(1)k k ≥重因式，那么()p x 是()f x 的导数的一个k -1重因式。

《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。

A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。

A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。

A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。

A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。

A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。

A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。

第一章 多项式§1.1一元多项式的定义和运算1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是(6) 222)()()(x xh x xg x f +=，那么.0)()()(===x h x g x f2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h3．证明：!))...(1()1(!)1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x nn---=+---+--+-§1.2 多项式的整除性1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式：( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii);23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F上的多项式，其中()01≠x f 且()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n na x -6．考虑有理数域上多项式()()()()()(),121211nkn k nk x x x x x x f ++++++=-++这里k 和n 都是非负整数．证明：()()().11|1n k 1+++++-x x f x x k7．证明：1-dx整除1-n x 必要且只要d 整除.n§1.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式： ( i ) ()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f(ii)()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f ==证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式．3.令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F中的数，并且0≠-bc ad证明：()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++4． 证明： （i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式；（ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f =此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。

高等代数学习题集一、线性方程组1. 解下列线性方程组：（1）$3x+2y=7$$2x-3y=4$（2）$2x-y+z=4$$x+3y-2z=5$$2x-y+z=1$（3）$3x+y=5$$4x-y=8$2. 通过矩阵表示以下线性方程组，并求出其解：（1）$4x+2y=6$$-2x+y=3$（2）$x-2y+3z=1$$2x+y+3z=9$$3x+2y+4z=12$（3）$x+y+z=0$$x+2y+3z=1$$x-3y+2z=2$二、矩阵运算与性质1. 计算以下矩阵的乘积：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$2. 求下列矩阵的逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$3. 判断下列矩阵是否可逆，并求其逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$4. 求矩阵的转置：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$三、特征值与特征向量1. 求矩阵的特征值与特征向量：$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$2. 计算以下矩阵的迹：（1）$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$四、向量空间1. 判断向量组是否线性相关：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$2. 求以下向量组的一个极大线性无关组：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$五、线性变换1. 判断以下线性变换是否为一一映射：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x+y \\ 3y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y \\ y+z \\ x+z \end{bmatrix}$2. 求下列线性变换的矩阵表示：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x-y \\ 3x+2y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y+z \\ 2x+3y-z \\ 3x-2y+2z\end{bmatrix}$六、二次型1. 对以下二次型进行分类：（1）$f(x,y)=2x^2+3y^2-4xy$（2）$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy+4xz$2. 将以下二次型化为标准形：（1）$f(x,y,z)=3x^2+4y^2+2z^2+4xy+4xz-8yz$（2）$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-2xy+6xz$以上为《高等代数学习题集》的内容，希望对你的学习有所帮助。