高等代数习题集
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高等代数习题集
高等代数习题集
苏州大学数学科学学院高等代数组收集
2003, 4,30
1.设X = ，求X。
2.设二次型f(x1, x2,... , x n)是不定的，证明：存在n维向量X0，使X0'AX0
= 0，其中A是该二次型的矩阵。
3.设W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}。
a
证明：W是P[x]4的子空间。
b
求W的维数与一组基。
4.在R3中定义变换A：任意 (x1, x2, x3) R3, A(x1, x2, x3) = (2x2 + x3,
x
-4x2, 3x3)。
1
1，
证明：A是Rr3上线性变换，
2，
求A在基xi1 = (1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi3 = (1, 1, 1)下的矩阵。
5.设，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
6.设V是数域P上n维线性空间，A是V上可逆线性变换，W是A的不变
子空间。证明：W也是A-1的不变子空间。
7.设V是n维欧氏空间，A是V上变换。若任意,V，有 (A, A)
= (,)。证明：A是V上线性变换，从而是V上正交变换。
8.设X = ，求X。
9.设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0，证明：存在实n维向量X0
0，使X0'AX0 > 0。
10.设A = ，W = {|R4, A = 0}。证明：
1.[1，]W是4的一个子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
11.设B，C = ，在R2 x 2中定义变换A：
任意X R2 x 2, A(X) = BXC。
1，
证明：A是R2 x 2上线性变换。。
2，
求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。
12.用正交线性替换，化实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标
准形。
13.设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换，若 (A2)-1(0) = A-1(0)，
证明：V = AV.+A-1(0)。
14.设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。证明：
W也是A的不变子空间。
15.设X = ，求X。
16.设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0，证明：存在实n维向量X0
0，使X0'AX0 > 0。
17.设A = ，W = {|R4, A = 0}。证明：
1.[1，]W是4的一个子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
18.设B，C = ，在R2 x 2中定义变换A：
任意X R2 x 2, A(X) = BXC。
1.[1，]证明：A是R2 x 2上线性变换。。
2.[2，]求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。
19.用正交线性替换，化实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标
准形。
20.设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换，若 (A2)-1(0) = A-1(0)，
证明：V = AV.+A-1(0)。
21.设V是n维欧氏空间。A是V上正交变换，W是A的不变子空间。证明：
W也是A的不变子空间。
22.设X = ，求矩阵X。
23.设实二次型f (x1, x2, ... , x n) = X'AX的秩是n,其中A是实对称矩阵.
证明:实二次型g(x1, x2, ... , x n) = X'A-1X与f (x1, x2, ... , x n)有相同的正负惯性指数和符号差。
24.设W = {(a1, a2, ... , a n)| a i R,a i = 0} 证明
1.[1，]证明：W是 R n的子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
25.设B = , B = .在 R2中定义变换 : 对任意
X R2 x 2,X = BX + XC
1.[1，]证明：是V上线性变换。
2.[2，]求在基E 11, E12, E21, E22下的矩阵。
26.设A = ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
27.设V为数域P上n维线性空间，V 1, V2为其子空间，且V= V1V2,为
V上可逆的线性变换. 证明：V = V
+ V2。
1
28.设V为n维欧氏空间，若A既是V上对称变换且A2= E。证明：存在V
的一组标准正交基，使得在该基下的矩阵为。
29.设X = ，求矩阵X。
30.设f (x1, x2, ... , x n) = X'AX是实二次型,其中A是实对称矩阵.如果
X'AX = 0当且仅当X = 0。证明：f (x
, x2, ... , x n)的秩为n，符号差
1
是n或- n.
31.设= (1, 2, 3, 0), = (- 1, -2, 0, 3)， = (0, 0, 1, 1),
= (1, - 2, - 1, 0)，W = {k i| k i R}。
1.[1，]证明：W是Rr4的子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
32.设A三维向量空间V上可逆线性变换，A在基,,下的矩阵是
。
1.[1，]证明：A的逆变换A-1也是V上线性变换。
2.[2，]求A-1的在,,下的矩阵。