第2章 流体静力学

上海大学流体力学与热力学办公室：延长校区机械副楼209-2室电子邮件：sdzhouxj@办公电话：56331523主讲：周晓君第2章流体静力学上海大学《流体力学与热力学》课程公共邮箱：ltlxychrx@邮箱密码：ltlx126上海大学工程流体力学第1章绪论第2章流体静力学第3章流体动力学原理第4章量纲分析与相似原理第5章管流损失和水力计算目录上海大学2.5 液体对壁面的作用力2.4液体的相对平衡2.3重力场中流体的平衡2.1流体静压强及其特性2.2流体平衡微分方程式返回目录2.6浮力上海大学¾研究流体平衡的条件及压强分布规律¾研究流体与固体间的相互作用及其工程应用静止或平衡状态：相对静止或相对平衡平衡状态：流体相对于地球没有运动流体相对于非惯性坐标系没有运动流体静力学研究的是流体平衡的规律在研究流体平衡时，通常将地球选作惯性坐标系流体质点与质点间没有相对运动1.流体静压强当流体处于静止或相对静止状态时，作用在流体上的力只有法向应力，没有切向应力。

此时的法向应力就是演作用面内法线方向的静压强。

用符号p表示，单位为Pa。

nnnddpA==−Fp n2.流体静压强的特性特性一：流体静压强的方向沿作用面的内法线方向上海大学上海大学特性二：静止流体中任一点流体静压强的大小与作用面在空间的方位无关，是点的坐标的连续可微函数x y z p x p z p yp n δx δy δz A B C D 如图所示，在静止流体中的点A 取一微元四面体，与坐标轴相重合的边长分别为δx 、δy 、δz ，三角形 ΔBCD 的面积设为S ，各微小平面中心点上的压强分别为p x 、p y 、p z ，单位质量力在三个坐标轴方向上的投影分别为f x 、f y 、f z 。

由于流体静止，则作用在四面体上的力平衡，即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∑∑∑000z y x F F F上海大学()x x n 11δδδδδcos ,026p y z f x y z p S ρ+−=n i 以x 坐标轴方向为例，作用在四面体上的力在x 方向上的平衡方程为：()z y S δδ21,cos =i n 因为：故上式简化为：x x n 1δ06p f x p ρ+−=让四面体无限缩小到点A ，上式第二项为无穷小，可以略去，故得：x np p =同理：y n p p =z n p p =即：x y z np p p p ===可见，在静止流体中任一点上任意方向的压强相等，是空间坐标的连续函数，即：),,(z y x p p =上海大学1.流体平衡微分方程式在静止流体中取一边长分别为δx 、δy 、δz 的微小立方体，中心点为a （x,y,z ），该点的密度为 ρ，静压强为p 。

ab c x zyδx δy δzf x 2δx x p p ∂∂+δ2p x p x ∂−∂x δδδδδδδδδ022p x p x p y z p y z f x y z x x ρ∂∂⎛⎞⎛⎞−−++=⎜⎟⎜⎟∂∂⎝⎠⎝⎠作用在立方体上的力在x 方向的平衡方程为:上海大学以微小立方体的质量ρδx δy δz 除以上式，得a 点在x 方向的平衡方程：x y z 101010p f x p f y p f z ρρρ⎫∂−=⎪∂⎪⎪∂−=⎬∂⎪⎪∂−=⎪∂⎭写成矢量形式：1ρ−∇=f p 上式即为流体平衡微分方程，又称为欧拉平衡微分方程。

该式的物理意义为：在静止流体内的任一点上，作用在单位质量流体上的质量力与静压强的合力相平衡。

该方程对不可压缩流体和可压缩流体的静止和相对静止状态都适用，是流体力学的基本方程。

上海大学2.2 流体平衡微分方程式2.压强差公式和等压面等压面将流体平衡微分方程的两端分别乘以d x 、d y 、d z ，然后相加，得：()x y z d d d d d d p p pf x f y f z x y zx y zρ∂∂∂++=++∂∂∂即：()x y z d d d d p f x f y f z ρ=++在同一种连续的平衡流体中压强相等的点组成的面，d p=0，p (x,y,z )=const 。

压强差公式，表明流体静压强的增量取决于单位质量力和坐标增量。

x y z d d d 0f x f y f z ++=等压面的微分方程，表明在静止的流体中作用于任一点的质量力垂直于经过该点的等压面。

d =⋅r f 写成矢量形式：上海大学1.流体静力学基本方程式xyzz 2z 1p 1p 212p 0o在重力场中，单位质量力只有重力，即：代入压力差公式得：积分得： p gz Cρ=−+x y z 00f f f g===−，，d d p g zρ=−方程两边同除以ρg ，得：C gp z ′=+ρ如图所示，上式可写成：1212p p z z g gρρ+=+流体静力学基本方程式，适用于重力作用下静止的不可压缩流体。

上海大学2.流体静力学基本方程式的物理意义z ——单位重量流体的位置势能p/(ρg )——单位重量流体的压强势能z+p/(ρg )——单位重量流体的总势能方程的物理意义是：在重力作用下，静止的不可压缩流体中单位重量流体的总势能保持不变。

xzzh pap p 0hob 如图所示，玻璃管上端抽真空，对于a 点和b 点，流体力学基本方程式为：gp h h z g p z ρρ=⇒+=+p p 即a 点与真空的压强差对单位重量流体做的功变成了单位重量流体的位置势能。

上海大学计示静水头线3.流体静力学基本方程式的几何意义水头单位重量流体的势能具有长度的单位，可以用液柱高度来表示。

z ——位置水头p/(ρg )——压强水头z+ p/(ρg )——静水头z 1z 2AA1 p 1gp ρ12p gρp 2 2p 0a p gρz 1z 2A'A'1 p 1e1p gρe2p gρp 2 2p 0p a完全真空静水头线上海大学积分常数根据自由表面上的边界条件确定：00,z z p p ==4.重力作用下静止液体内的静压力分布在重力场中，单位质量力只有重力，即：代入压力差公式积分得：p gz Cρ=−+x y z 00f f f g===−，，x yzz 0zp 0oh0gz p C ρ+=⇒所以任意坐标z 处的压强为：()ghp z z g p p ρρ+=−+=000在重力作用下静止有自由表面的不可压缩流体中，静压强由两部分组成：¾自由表面上的压强p 0¾淹没深度为h 、密度为ρ的流体柱产生的压强ρgh 帕斯卡原理：自由液面上的压强将以同样的大小传递到液体内部的任意点上上海大学5.绝对压强、计示压强（表压）、真空和真空度绝对压强以完全真空为基准计量的压强，如中的p 。

计示压强（相对压强）以当地大气压强为基准计量的压强，如中的p e 。

真空当流体的绝对压强低于大气压强时，该区域处于真空。

计示压强为负值时，负计示压强用真空度表示，即：真空度pp e p v ppp=0p a p <p a p >p a gh p p p ρ=−=a e gh p p ρ+=a pp p p −=−=a e v上海大学6.液柱式测压计测压管是一种最简单的液柱式测压计。

为了减少毛细现象所造成的误差，采用一根内径为10mm 左右的直玻璃管。

测量时，将测压管的下端与装有液体的容器连接，上端开口与大气相通。

测压管hp 0pρp ahp ap ρghp p ρ+=a ghp p p ρ=−=a e a p p ghρ=−v p ghρ=U形管测压计这种测压计是一个装在刻度板上两端开口的U形玻璃管。

测量时，管的一端与被测容器相接，另一端与大气相通，U 形管内装有密度ρ2大于被测流体密度ρ1的液体工作介质，如酒精、水、四氯化碳和水银等。

一定要注意，工作介质不能与被测流体相互掺混。

h 1h 2p apρ112ρ2由于1和2点在同一流体的等压面上，故：21pp=111ghppρ+=222p p ghρ=+故有：1122aghghppρρ−+=e a2211p p p gh ghρρ=−=−其中：被测液体的压强高于大气压强上海大学上海大学被测液体的压强低于大气压强h 1h 2p apρ112ρ2a 2211p p gh gh ρρ=−−v a 2211p p p gh gh ρρ=−=+上海大学U 形管压差计hh 2h 1Bρ1ρ1Aρ212由于1、2两点在同一等压面上，故有：ghgh p gh p 221B 11A ρρρ++=+A 、B 两点的压强差为：()ghgh gh gh p p p 1211212B A ρρρρρ−=−+=−=Δ若被测流体为气体，由于气体的密度很小，ρ1gh 可以忽略不计。

上海大学1a 2(sin )A p p p gH gl A ρραΔ=−==+倾斜式微压计用于测量气体的压强，测量精度较高，可测较微小的压强和压强差。

A 2A 1p a phΔhlρα两液面的高度差为：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=Δ+=21sin A A l h h H α所测的压强差为：当容器内压强p 等于p a 时，微压计两液面齐平(0-0)；当p >p a 时，两液面差为hh H Δ+=容器液体下降的体积等于斜管中液体的上升体积21A A l h ⋅=Δ上海大学例题1h 1h 2h 3h 4h 511223344BAρ1ρ1ρ2ρ3已知h 1=600mm ，h 2=250mm ，h 3=200mm ，h 4=300mm ，h 5=500mm ，ρ1=1000kg/m 3，ρ2=800kg/m 3，ρ3=13598kg/m 3，求A 、B 两点的压强差。

解：图中1-1、2-2、3-3均为等压面，可以逐个写出有关点的静压强为：3223231211A 1gh p p gh p p gh p p ρρρ+=−=+=)(4514B 4334h h g p p gh p p −−=−=ρρ联立求解得：()4543322311A B h h g gh gh gh gh p p −−−+−+=ρρρρρA 、B 两点的压强差为：()()Pa 67864324231451B A =−++−−=−gh h h g h h h g p p ρρρ上海大学F 2F 1hp ed 1d 2aa例题2两圆筒用管子连接，内充水银。

第一个圆筒直径d 1=45cm ，活塞上受力F 1=3197N ，密封气体的计示压强p e =9810Pa ；第二圆筒直径d 2=30cm ，活塞上受力F 2=4945.5N ，开口通大气。

若不计活塞质量，求平衡状态时两活塞的高度差h 。

（已知水银密度ρ=13600kg/m 3)。

解：在F 1、F 2作用下，活塞底面产生的压强分别为：Pa699644Pa 20101422222111====d F p d F p ππ，图中a-a 为等压面，第一圆筒上部是计示压强，第二圆筒上部的大气压强不必计入，故有：21e p gh p p =++ρm3003.01e 2=−−=g p p p h ρ上海大学作业题孔珑《工程流体力学》第二版pp. 47-49习题2-2、2-4、2-6、2-8、2-10上海大学1.水平等加速直线运动容器中液体的相对平衡单位质量液体上的质量力沿坐标轴的分量为：gf a f f −=−==z y x 0，，代入压强差公式得：()z g y a p d d d −−=ρ积分上式得：()p ay gz Cρ=−++根据边界条件：x=0, y=0, z=0时p =p 0，代入上式得积分常数C=p 0，故有：()0p p ay gz ρ=−+水平等加速直线运动容器中液体静压强的分布规律流体静压强的分布规律ay z p 0x g-a fo α上海大学等压面方程以（x s ，y s ，z s ）表示自由液面上点的坐标，由于在自由液面上的任意一点都有p=p 0，所以由静压强的分布规律可得自由液面的方程为：将质量力代入等压面方程得：d d 0a y g z −−=积分上式得：1ay gz C +=等压面方程，不同的积分常数C 1代表不同的等压面。