第三章稳恒电流

第三章稳恒电流(Steady Current)[基本要求]1、理解电流密度概念及其与电流强度的关系。

2、理解稳恒电流及稳恒电场的意义和它们的基本性质。

3、掌握电动势的概念。

4、掌握欧姆定律的微分形式，学会用场的观点去阐述电路的原理。

5、理解基尔霍夫方程组，学会用基尔霍夫定律解题。

6、了解温差电现象、电子发射与气体导电。

[重点难点]1、理解稳恒电场的概念及与静电场的异同，明确稳恒电流的条件，理解其数学表达式的物理意义。

2、电流密度矢量和电动势是本章的两个基本概念，要着重理解它们的物理意义。

3、欧姆定律的微分形式（不含源电路，含源电路），学会用场的观点去阐述电路的原理。

[教学内容]§1 电流的稳恒条件和导电规律一.电流强度，电流密度矢量1.电流·电流—带电粒子的定向运动。

·载流子—形成电流的带电粒子。

例：电子、质子、离子、空穴。

·电流形成条件(导体内)：(1)导体内有可以自由运动的电荷；(2)导体内要维持一个电场。

(导体内有电荷运动说明导体内肯定有电场，这和静电平衡时导体内场强为零情况不同。

) 2.电流强度·大小：单位时间内通过导体某一横截面的电量。

·方向：正电荷运动的方向 ·单位：安培（A ）3.电流密度(Current density) ·电流强度对电流的描述比较粗糙：况。

·引入电流密度矢量—描写空间各点电流大小和方向的物理量。

·某点的电流密度：是一个矢量。

方向：该点正电荷定向运动的方向。

大小：通过垂直于该点正电荷运动方向的单位面积上的电流强度。

单位：安培/米 2·电流场：导体内每一点都有自己的j， ),,(z y x j jdtdqt q IlimdS dI j即导体内存在一个j场---称电流场。

·电流线：类似电力线，在电流场中可画电流线。

3.电流密度和电流强度的关系 (1)通过面元d S 的电流强度d I = j d S = j d S cos(2)通过电流场中任一面积S 的电流强度s d j I电流强度是通过某一面积的电流密度的通量。

第三章 稳恒电流场的边值问题3-1 在电导率为σ的均匀半空间表面布以相距2L 的电极A 和B ，并分别以I +和I -向媒质中供电。

试根据电场的叠加原理，求出A 和B 两个点电流源在表面上M 点形成的电位。

解：易知点电流源A 在介质中任意一点产生的电位为2A I RΦπσ=，同理可得点电流源B 在介质中任意一点产生的电位为2B IRΦπσ=-，则叠加后介质中任意一点的总电位为22A BI IR R Φπσπσ=-对于表面上一点M （设其坐标为(0)x ,）而言，||A R x L =+，||B R x L =-，则有22||||2||2||2||I I I x L x L x L x L x L Φπσπσπσ--+=-=+--3-2 当地表水平、地下为均匀各向同性岩石时，在地层表面布以相距2L 的电极A 和B ，并分别以电流强度I +和I -向地下供电，在地下建立稳定电流场。

试解答如下问题：（1）求A 和B 连线中垂线上h 处电流密度h j 的表达式；（2）计算并绘图说明深度为h 处的电流密度h j 随AB 的变化规律；（3）确定使h j 为最大时，供电电极距AB 与h 的关系式。

解：（1）易知点电流源A 在介质中任意一点产生的电位为2A IRΦπσ=，则31()()()=22A I I E R RσσΦσπσπ==⋅-∇=⋅-⋅∇Rj 同理可得点电流源B 在介质中任意一点产生的电流密度为32B I Rπ=-Rj ，叠加后得介质中任意一点的电流密度为3322A BA BI I R R ππ=-R R j 在A 、B 连线的中垂线上，A B R =R ，A B =2L ρ-R R e ，则有3322222()I I L L R L h ρρππ=⋅=⋅+j e e （2）（3）设3222()()f L L L h -=⋅+，对其求导可得35'2222222()()3()f L L h L L h --=+-+令其等于0，得22230L h L +-=，解得L = 故h j 为最大时电极距AB 与h 的关系为22AB L ===3-3 在习题3-2中，电极距AB 时，均匀各向同性半空间中h 深度处的电流密度最大。

第三章 稳 恒 电 流§3.1 电流的稳恒条件和导电规律思考题：1、 电流是电荷的流动，在电流密度j ≠0的地方，电荷的体密度ρ是否可能等于0？ 答：可能。

在导体中，电流密度j ≠0的地方虽然有电荷流动，但只要能保证该处单位体积内的正、负电荷数值相等（即无净余电荷），就保证了电荷的体密度ρ＝０。

在稳恒电流情况下，可以做到这一点，条件是导体要均匀，即电导率为一恒量。

2、 关系式U=IR 是否适用于非线性电阻？答：对于非线性电阻，当加在它两端的电位差Ｕ改变时，它的电阻Ｒ要随着Ｕ的改变而变化，不是一个常量，其Ｕ－Ｉ曲线不是直线，欧姆定律不适用。

但是仍可以定义导体的电阻为Ｒ＝Ｕ／Ｉ。

由此，对非线性电阻来说，仍可得到Ｕ＝ＩＲ的关系，这里Ｒ不是常量，所以它不是欧姆定律表达式的形式的变换。

对于非线性电阻，Ｕ、Ｉ、Ｒ三个量是瞬时对应关系。

3、 焦耳定律可写成P=I 2R 和P=U 2/R 两种形式，从前者看热功率P 正比于R ，从后式看热功率反比于R ，究竟哪种说法对？答：两种说法都对，只是各自的条件不同。

前式是在Ｉ一定的条件下成立，如串联电路中各电阻上的热功率与阻值Ｒ成正比；后式是在电压Ｕ一定的条件下成立，如并联电路中各电阻上的热功率与Ｒ成反比。

因此两式并不矛盾。

4、 两个电炉，其标称功率分别为W 1、W 2，已知W 1>W 2，哪个电炉的电阻大？ 答：设电炉的额定电压相同，在Ｕ一定时，Ｗ与Ｒ成反比。

已知W 1>W 2，所以Ｒ1<R 2，5、 电流从铜球顶上一点流进去，从相对的一点流出来，铜球各部分产生的焦耳热的情况是否相同？答：沿电流方向，铜球的截面积不同，因此铜球内电流分布是不均匀的。

各点的热功率密度p=j 2/σ不相等。

6、 在电学实验室中为了避免通过某仪器的电流过大，常在电路中串接一个限流的保护电阻。

附图中保护电阻的接法是否正确？是否应把仪器和保护电阻的位置对调？ 答：可以用图示的方法联接。

一.选择题（本大题15小题，每题2分）第一章、第二章1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的 [ ](A)带正电荷的导体，其电位一定是正值(B)等位面上各点的场强一定相等(C)场强为零处，电位也一定为零(D)场强相等处，电位梯度矢量一定相等2.在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是［］(A)通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的(B) 封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的(C) 应用高斯定理求得的场强仅是由面内电荷所激发的(D) 应用高斯定理求得的场强仅是由面外电荷所激发的3.关于静电场下列说法中正确的是 [ ](A)电场和试探电荷同时存在和消失(B)由E＝F/q知道，电场强度与试探电荷成反比(C)电场强度的存在与试探电荷无关(D)电场是试探电荷和场源电荷共同产生的4.下列几个说法中正确的是： [ ](A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向(B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同(C)场强方向可由E=F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负，F为试验电荷所受的电场力(D)以上说法全不对。

5.一平行板电容器中充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质。

已知介质两表面上极化电荷面密度为，则极化电荷在电容器中产生的电场强度的大小为 [ ](A)0εσ' (B) 02εσ' (C) 0εεσ' (D) εσ'6. 在平板电容器中充满各向同性的均匀电介质，当电容器充电后，介质中 D 、E 、P 三矢量的方向将是 [ ] (A) D 与E 方向一致，与P 方向相反 (B) D 与E 方向相反，与P 方向一致 (C) D 、E 、P 三者方向相同(D) E 与P 方向一致，与D 方向相反7. 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分布，如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： [ ] (A) 球壳内、外场强分布均无变化 (B) 球壳内场强分布改变，球壳外的不变 (C) 球壳外场强分布改变，球壳内的不变 (D) 球壳内、外场强分布均改变8. 一电场强度为E 的均匀电场，E 的方向与x 轴正向平行，如图所示，则通过图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 [ ](A) 2R E π；(B) 212R E π；(C) 22R E π；(D ) 0。

第一章电磁现象的普遍规律 一、 主要内容：电磁场可用两个矢量一电场强度电Z,zQ 和磁感应强度B{x r y r zfy 来完全 描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出丘，歹所满足的偏微分方程组 一麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。

在电 磁学的基础上从实验定律岀发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律：使学生掌握 麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到 一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。

完成由普通物理到理论物理的自然过 渡。

二、 知识体系：介质磁化规律:能量守恒定律n 线性介质能量密度:I 能流密度:洛仑兹力密度；宇二应+" x B三、内容提要:1. 电磁场的基本实验定律: (1) 库仑定律:库仑定理：壮丿=[*虫1厶 电磁感应定律:市总•屋=-—[B-dSdV f區 dt k涡旋电场假设介质的极化规律：V- 5 = /? VxZ=比奥-萨伐尔逹律: D = s Q S + PJdVxr边值关系位移电流假设V-> = 0J+ —B =其中:第2页，共37页对E 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和, 即：（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）B = ^[^L（3）电磁感应定律②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。

（4）电荷守恒的实验定律①反映空间某点Q 与了之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。

空二0月•了二0②若空间各点Q 与£无关，则別为稳恒电流，电流线闭合。

稳恒电流是无源的（流线闭合），°, 7均与北无关，它产生的场也与上无关。

2、电磁场的普遍规律一麦克斯韦方程微分形式di——diV • D = p方二勺宜+戶，H = —-MAo积分形式[f] E dl =-\ --dSSJs 冼[fl H-df = I + -\D -d§S念J血 Q/40①生电场为有旋场（鸟又称漩涡场），与静电场堤本质不同。

第三章稳恒磁场一、 填空题 1、 已知半径为a 圆柱形空间的磁矢势2201(),4z A J a r e r a μ=-< (柱坐标),该区域的磁感应强度为（ ）.2、 稳恒磁场的能量可用矢势表示为（ ）.3、 分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（ ）.在经典物理中矢势的环流L A dl ⋅⎰ 表示（ ）.4、 无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ' ,空间矢势A 的解析表达式（ ）5、 磁偶极子的矢势(1)A 等于（ ）；标势(1)m ϕ等于（ ）.6、 磁偶极子在外磁场中受的力为（ ）,受的力矩（ ）.7、 电流体系()J x ' 的磁矩等于（ ）.8、 无界空间充满磁导率为μ均匀介质,该区域分布有电流,密度为()J x ' ,空间矢势A 的解析表达式（ ）.二、 选择题1、 线性介质中磁场的能量密度为A.H B ⋅21B. J A ⋅21C. H B ⋅D. J A ⋅ 2、 稳恒磁场的泊松方程J A μ-=∇2成立的条件是A ．介质分区均匀 B.任意介质C.各向同性线性介质D.介质分区均匀且0=⋅∇A3、 引入磁场的矢势的依据是A.0=⨯∇H ;B.0=⋅∇H ;C.0=⨯∇B ;D. 0=⋅∇B4、 电流J 处于电流e J 产生的外磁场中, 外磁场的矢势为e A ,则它们的相互作用能为A. e V A Jdv ⋅⎰B. 12e V A Jdv ⋅⎰C. e e V A J dv ⋅⎰D. VA Jdv ⋅⎰ 5、 对于一个稳恒磁场B ，矢势A 有多种选择性是因为A.A 的旋度的散度始终为零;B.在定义A 时只确定了其旋度而没有定义A 散度;C. A 的散度始终为零;6、 磁偶极子的矢势 A 和标势ϕm 分别等于 A. 330,44ϕπμπ⨯⋅== m R m R A R R B. 033,44μϕππ⋅⨯== m R m R A R R C. 033,44m R m R A R R μϕππ⨯⋅== D. 330,44ϕππμ⨯⋅== m R m R A R R7、 用磁标势解决静磁场问题的前提是A.该区域没有自由电流分布B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域C. 该区域每一点满足0=⨯∇BD. 该区域每一点满足0B J μ∇⨯= .三、 问答题1、 在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？2、 判定下述说法的正确性，并说明理由：（1） 不同的矢势，描述不同的磁场；（2） 不同的矢势，可以描述同一磁场；（3） 0B = 的区域，A 也为零。

《工程电磁场教案》第一章：电磁场的基本概念1.1 电磁现象的发现1.2 电荷与电场1.3 电流与磁场1.4 电磁感应第二章：静电场2.1 静电场的定义与特性2.2 静电力与库仑定律2.3 电势与电势能2.4 电场强度与高斯定律第三章：稳恒电流场3.1 电流场的定义与特性3.2 欧姆定律3.3 电阻的计算3.4 电流场的分布与等势线第四章：稳恒磁场4.1 磁场的基本概念4.2 安培定律4.3 磁感应强度与磁场强度4.4 磁通量与磁通量密度第五章：电磁波5.1 电磁波的产生与传播5.2 电磁波的波动方程5.3 电磁波的极化与反射、折射5.4 电磁波的应用第六章：电磁场的数值计算方法6.1 有限差分法6.2 有限元法6.3 边界元法6.4 有限体积法第七章：电磁场的测量与检测7.1 电磁场测量的基础知识7.2 电磁场测量仪器与设备7.3 电磁兼容性测试7.4 电磁辐射的防护与控制第八章：电磁场在工程中的应用8.1 电机与变压器8.2 电磁兼容设计8.3 无线通信与雷达技术8.4 电力系统的电磁场问题第九章：电磁场相关的标准与规范9.1 国际电工委员会（IEC）标准9.2 北美电气和电子工程师协会（IEEE）标准9.3 欧洲电信标准协会（ETSI）标准9.4 我国电磁兼容性标准第十章：电磁场的环境保护与安全10.1 电磁污染与电磁干扰10.2 电磁场的生物效应10.3 电磁场的防护措施10.4 电磁场环境监测与管理重点和难点解析一、电磁场的基本概念难点解析：电磁现象的内在联系，电磁场的定量描述，电磁感应的数学表达。

二、静电场难点解析：静电场的能量分布，电势的计算，高斯定律在复杂几何形状中的应用。

三、稳恒电流场难点解析：电流场的散度，等势面的概念，复杂电路中的电流分布计算。

四、稳恒磁场难点解析：磁场的闭合性，安培定律的适用条件，磁通量的计算，磁场的能量。

五、电磁波难点解析：电磁波的麦克斯韦方程组，电磁波的产生机制，电磁波在不同介质中的传播特性。

第三章 稳恒电流一、 选择题1、 下面说法正确的是：（）A 、沿电流线的方向电势必降低；B 、不含源支路中的电流必从高电势到低电势；C 、含源支路中的电流必从高电势到低电势；D 、支路两端电压为零时，支路电流必不为零。

答案：B 2、 下面说法正确的是：（）A 、含源支路中的电流必从低电势到高电势；B 、支路两端电压为零时，支路电流必为零；C 、支路电流为零，支路两端电压必为零时；D 、支路电流为零，该支路吸收电功率必为零时； 答案：D 3、 如图所示，电路中，A 、B两点的电压是（） A 、6VB 、0VC 、2VD 、 8V 答案：B4、 阻值均为120千欧的两个电阻1R 及2R ，串联后与100伏电源相连，当用某个电压表 测量a,b 间电压得40伏，再去量b,c 间电压，得到（） A 、60V B 、40V C 、100V D 、0V答案：B5、 如图，一长为L 均匀的锥台形导体，底面半径分别为a 和b ，电阻率为ρA 、ρL/πab B 、 πρL/a C 、πab/ρL D 、ab/ρL 答案：A6、 铜的温度数为C 03/103.4-⨯，若在0℃时铜的电阻率为8106.1-⨯欧·米，则直径为5毫米，长为160公里铜制电话线在25℃的电阻（）A 、100ΩB 、140ΩC 、144ΩD 、200Ω 答案：C 7、有100Ω、1000Ω、10千欧的三个电阻，它们的额定功率都是0. 25瓦，现将三个电阻串联起来，如图，则加在这三个电阻 上的电压U 最多不能超过多少？（）A 、5伏B 、45伏C 、50伏D 、55.5伏 答案：D8、有100Ω、1000Ω、10千欧的三个电阻，它们的额定功率都是0. 25瓦，现将三个电阻串联起来，如图，如果1000Ω电阻实际消耗的电功率为0.1瓦，其余两个电阻消耗的功率各是多少？（）A 、1瓦、10瓦B 、0.1瓦、1瓦C 、0.01瓦、5瓦D 、0.01瓦、1瓦 答案：D 9、 如图所示的电路中，当K 打开时，a ，b 间等效电阻为（）A 、450ΩB 、500ΩC 、225ΩD 、125Ω 答案：C10、如图所示的电路中，K 闭合，则a,b 间等效电阻为（） A 、208Ω B 、200Ω C 、204Ω D 、207Ω答案：A11、如图所示的电路中，如果0R 是已知的，为使电路的总电阻等于R 0,则R 1的值（B ） A 、2R B 、3R C 、02R D 、03R 答案：B12、把一个表头改成多量程的安培计，可如图所示，将电阻321,,R R R 与表头连成一个闭合回路，从不同的地方引出抽头，选择连接表头的两个抽夹上一为公共端，和另一个抽头配合得到一种量程的安培计，这种电路叫做闭路抽头式，已知表头量程为500微安，内阻为300Ω，则当I 1=1mA ；I 2=10mA ；I 3=100mA 时，321,,R R R 各为多少（）A 、3Ω、27Ω、270ΩB 、5Ω、40Ω、280ΩC 、2Ω、30Ω、300ΩD 、3Ω、27Ω、400Ω13、如图所示表头G 与321,,R R R 组成多量程伏特计，已知表头量程为500μA ，内阻为300Ω，则当U 1=3V ，U 2=100V ，U 3=250V 时，321,,R R R 值为（）A、5.7K Ω、190KΩ、300K Ω B 、5.7K Ω、194K Ω、300K ΩC 、6K Ω、200K Ω、300K ΩD 、5.7K Ω、194K Ω、200K Ω 答案：B14、一个电动势为ε，内阻为r 的电池给电阻为R 的灯泡供电，当R=r 时，灯泡最亮，则其最大功率为（）A 、M P =2ε/4rR B 、M P =2ε/4r C 、M P =4R/2ε D 、M P =4rR/2ε 答案：B 15、如图所示，cb ac ab U U U ,,分别为（） A 、0V 、8V 、-8V B 、0V 、-8V 、8VC 、8V 、0V 、-8VD 、8V 、-8V 、0V 答案：B 16、如图所示的电路中，如果流过8欧电阻的电流是0.5（）A 、10VB 、14VC 、12VD 、8V 答案：C 17、如图所示的电路中，求A U （）A 、3εB 、2εC 、1ε-D 、4242R R R +ε 答案：D18、如图所示的电路中，A R 为100欧，0R 为200欧，R,为50 2 同时打开与同时闭合时，通过A R 电流相等，则B R 为（）A 、200ΩB 、400ΩC 、100ΩD 、600Ω B 19、在如图所示的电路中，电源电动势、电阻、电容数值均已知，O 点接地，若三个电容器 起始时不带电，则三个电容器与A 、B 、O 相接的各极板上的电量为（）A 、-224微库、256微库、-132微库B 、-124微库、256微库、C 、-256微库、-124微库、132微库D 、124微库、-256微库、 答案：B20、如图所示为用电位差计测电池内阻的电路图，实际电位差计在标准电阻AB R 上直接刻度的不是阻值，也不是长度，而是各长度所对应的电位差值，M R 为被测电池的负载电阻，阻值为100欧。