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第四章平面系统第一节平面镜1,单平面镜的成像特性IPP为平面镜，物点A发出的光束中，取一条光线垂直于PP入射，反射光线在入射点P处原路返回;另一条AQ经反射后沿QB出射，反向延长交于A'点。
A就是A的反射像。
显然，△ AP啃\A PQir等，：AP=A P,即A'与A关于镜面对称。
A点发出的同心光束，经反射镜反射后为以 A '点为顶点的同心光束平面镜能对物体成完善像平面反射镜是唯一一种能对任意大物体以任意宽光束成完善像的实际光学元件实物成虚反射像，虚物成实反射像反射像是正立的，放大率0 = 1 ,像距l ' = -l反射像是“镜像”在平面镜的物空间取一左手坐标系xyz,根据平面镜成像的对称性质，可以确定反射像为右手坐标系x' v' z'一次反射或奇数次反射得镜像，偶数次反射得“一致像”摆动效应：光线以一定方向入射到平面镜，若平面镜摆动a角，则反射光将产生2 a角的摆角这一性质在精密计量中有广泛应用，通过扩大倍率来进行小角度或小位移的测量路、转像、倒像和扫描等光线从棱镜的一个面进入棱镜，在其内表面一次或多次反射，最后从出射面射出棱镜光轴：系统光轴在棱镜中的部分光轴截面：包含光轴的棱镜截面，又称主截面只有在光轴截面内才能正确反映棱镜每2个面之间的角度、光轴方向及反射次数1,反射棱镜类型1.简单棱镜只有一个光轴截面的单个棱镜。
其反射次数可以有成一致像1次、2次、3次反射，奇数次反射成镜像，偶数次反射2.棱镜系统成像的物像坐标变化2.屋脊棱镜带有屋脊面的棱镜为屋脊棱镜屋脊面：2个互相垂直的反射面，交线位于光轴截面内，用以取代棱镜的一个反射面屋脊面相当于2个反射面，因此奇数次反射棱镜将得到一致像屋脊棱镜的表达:在对应的简单棱镜上加一条表示屋脊面的线3.复合棱镜判断规则(1) o' z'与光轴一致(2) o' x'由屋脊面数确定，偶数个与 ox 同向，奇数个反向(3) o' y'由反射次数确定，偶数次为左手系，奇数次为右手系例判断屋脊斯密特棱镜的成像坐标方向数确定，共4次，故仍为左手系。
光学工程基础
几何光学
谭峭峰
tanqf@
清华大学精仪系光电工程研究所
第四章
平面反射镜与反射棱镜
4.1 平面反射镜
§4.1.1
平面反射镜的成像
图4-1 平面反射镜成像
实物成虚像
虚物成实像
图4-2 虚物经平面反射镜成实像
§4.1.2 平面反射镜的成像方向
左手系右手系
图4-3 平面反射的物像空间对应关系
右手直角坐标系经奇数次平面反射镜成像，则像一定是左手系——镜像
右手直角坐标系经偶数次平面反射镜成像，则像一定是右手系——相似像
平面反射镜是唯一能成完善像的最简单的光学元件。
AFM
探针
卡文迪许测量万有引力常数
§4.1.4 双平面反射镜系统
图4-5 双平面反射镜系统
12
22
i iψ
=+(4-1)
12
2()
i i
ψ=−(4-2)
由ΔO
1
O2T
12
i iθ
=+(4-3)
12
i i
θ=−(4-4)即：
2
ψθ
=(4-5)
M1 M2
位于与两平面反射镜交棱相垂直平面内的光线，不论它的入射光线方向如何，经两个平面反射镜各反射一次后的出射光线相对于入射光线的偏转角总是等于两平面反射镜夹角的2倍；
它的偏转方向，则与反射面按反射次序由M 1偏转到M 2的方向相同；
入射光线的方向不变时，若两块平面反射镜作为一个刚体一起转动时，则出射光线的方向不会改变，但出射光线的位置可能平行位移。
图4-6 能将光路转折的双平面反射镜和反射棱镜
(a)
双平面反射镜
为了使两反射面之间的夹角不变，可将两个反射面做在同一块玻璃上，以代替一般的双平面反射镜组，这就构成了另一类常用的光学元件——反射棱镜。
(b)反射棱镜
工作棱
主截面
棱镜展开图4-7 五角棱镜及五角棱镜的展开
靴形棱镜
反射棱镜展开后是一块平行平板；
在共轴光路中应用反射棱镜就相当于
在光路中加入了一块平行平板玻璃；
若它被用在会聚光路中，光路的光轴垂直于反射棱镜的入射面，反射棱镜的加入仍然保持了光路系统的共轴性；
棱镜展开成平行平板后，其平行平板的厚度L也称为棱镜的展开长度。
展开长度不仅与棱镜的结构有关，还与棱镜入射面的口径大小D 有关。
L=
()D
=
2+
L2
五角棱镜
§4.2.2 平行平板的成像
图4-8 平行平板的成像1αβγ===(4-6)
图4-9 平行平板的延伸量
121AC h h du =−=直角ΔACD ：/CD AC u du ==
平行平板的成像特性
（1）光线经过平行平板折射后，出射光线的方向
与入射光线平行，同时出射光线在入射光线的右侧。
（2）近轴光线经过平行平板，当平板的厚度确定后，折射光线与光轴交点的位移量为一常数，它不随入射光线的入射角而变化。
（3）对任意光线来讲,经平行平板折射后，折射光
线与光轴交点的位移量随入射光线的入射角的变化而变化。
§4.2.3 反射棱镜的正像作用
图4-10 反射棱镜的物方坐标系和像方坐标系
例1、一次反射直角棱镜的成像分析
图4-11
一次反射的直角棱镜图4-12 确定y轴成像方向
的另一种方法1、具有单一主截面的棱镜或棱镜系统
2、屋脊棱镜
奇数次反射使得物体成镜像。
如果需要得到物体的相似像，而不增加反射棱镜时，可用交线位于棱镜光轴面内的两个相互垂直的反射面取代其中一个反射面，使垂直于主截面的坐标被这两个相互垂直的反射面依次反射而改变方向，从而得到物体的相似像。
这两个相互垂直
的反射面称为屋
脊面，带有屋脊
面得棱镜为屋脊
棱镜。
图4-14 屋脊棱镜
图4-15 直角屋脊棱镜的成像方向确定
确定屋脊棱镜成像方向的一般方法和步骤：(1)、按光轴是在屋脊棱上被反射的情况确定出射光轴z'的方向；
(2)、根据一对屋脊面颠倒了垂直于主截面的物像方向的结论确定x'轴的方向；
(3)、按棱镜的总反射次数的奇偶性（一对屋脊面算两个反射面）确定像方坐标系是左手系还是右手系，从而定出位于主截面内y'轴的方向。
图4-16 列曼屋脊棱镜的成像(a)
图4-16 列曼棱镜的成像(b)
3、具有两个相互垂直的主截面的棱镜或棱镜系统例
4、普罗棱镜
图4-17 普罗棱镜
4.3 反射棱镜转动引起的光轴方向和成像方向变化的分析和计算
在光学仪器的装校过程中，往往利用反射
棱镜的微量转动调整光学系统的光轴方向
和成像方向的倾斜。
图4-18 转轴P与它经棱镜所成的像P'
棱镜绕转轴P转动θ角后，像空间坐标系x'y'z'的转动情况可以表述如下：
其中N为棱镜的反射次数。
棱镜转动定理
图4-19 立方体xyz与立方体经平面反射镜所成的像x'y'z'
棱镜转动定理
第一步：物绕P轴转−θ角棱镜不动像绕P'轴转(−1)N-1θ角第二步：物绕P轴转θ角棱镜绕P轴转θ角像绕P轴转θ角总结果：物不动棱镜绕P轴转θ角像绕P'轴
转(−1)N-1θ角，
再绕P轴转θ角
§4.3.2
转动矩阵图4-20 向量g 绕轴P 旋转角Δθ后成向量g''θ=+Δ×g g P g (4-10)
'θ=+Δ×g g P g
cos ''cos ''cos ''
αβγ=++P
i j k 设转轴令g 分别为i'、j'、k'，求出g'
'''cos ''cos ''
θγθβ=+Δ−Δi i j k (''' ''' ''')
×=×=×=i j k j k i k i j ''1cos 'cos ''''cos '1cos ''''cos 'cos '1'θγθβθγθαθβθαΔ−Δ⎡⎤⎡
⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−ΔΔ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥Δ−Δ⎣⎦⎣⎦⎣⎦
i i j j k k (4-11)
转动矩阵
1cos 'cos 'cos '1cos 'cos 'cos '1θ
θγθβθγθαθβθαΔΔ−Δ⎡⎤⎢⎥=−ΔΔ⎢⎥⎢⎥Δ−Δ⎣⎦
R (4-12)
例、DI-90°
直角棱镜
图4-21 一次反射直角棱镜的成像
'''==−=−i i j k k j 100001010⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦
B
cos cos cos cos ''cos ''cos ''
αβγαβγ=++=++P
i j k
i j k 设转轴'''⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
i i j B j k k cos 'cos cos 'cos cos 'cos ααββγγ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
B (4-15)
11
11(1)cos cos '(1)cos cos ''''''''(1)cos cos '1(1)cos cos ''''''(1)cos cos '(1)cos cos '1N N
N N N N θγγθββθγγθααθββθαα−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤Δ−+Δ−−⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤=Δ−−Δ−+⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎡⎤⎡⎤Δ−+Δ−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦
i i j j k k
光轴偏与像倾斜的计算公式：
光轴偏：k'''与k'的差
1'''''(1)cos cos '' (1)cos cos ''N N
θβθβθαθα−⎡⎤Δ=−=−Δ+Δ⎣
⎦
⎡⎤+−Δ−Δ⎣⎦
k k k i j (4-17)
图4-22棱镜转动引起的光轴偏
图4-23棱镜转动引起的像倾斜
像倾斜：j'''与j'的差在i'上的分量
'(1)cos cos ''N
θγθγ⎡⎤Δ=−Δ−Δ⎣⎦
j i (4-18)。
