数学分析课件 一致收敛性资料讲解

第七节 函数项级数的一致收敛性内容分布图示★ 引例(讲义例1) ★ 一致收敛的概念★ 例2 ★ 例3 ★ 魏尔斯特拉斯判别法 ★ 例4 ★ 例5 一致收敛级数的基本性质 ★ 定理2★ 定理3★ 定理4幂级数的一致收敛性★ 定理5★ 定理6 ★ 内容小结★ 课堂练习★ 习题11—7 ★ 返回讲解注意：一、 一致收敛的概念：函数项级数在收敛域I 上收敛于和)(x s ，指的是它在I 上的每一点都收敛，即对任意给定的0>ε及收敛域上的每一点x ，总相应地存在自然数),(x N ε，使 得当N n >时，恒有ε<-|)()(|x s x s n .一般来说，这里的N 不仅与ε有关，而且与x 也有关. 如果对某个函数项级数能够找到这样的一个只与ε有关而不依赖于x 的自然数N ，则当N n >时，不等式ε<-|)()(|x s x s n 对于区间I 上每一点都成立，这类函数项级数就是所谓的一致收敛的级数.定义1 设函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间I 上收敛于和函数)(x s , 如果对任意给定的0>ε，都存在着一个与x 无关的自然数N , 使得当N n >时, 对区间I 上的一切x 恒有ε<-=|)()(||)(|x s x s x r n n ，则称该函数项级数在区间I 上一致收敛于和)(x s ，此时也称函数序列)}({x s n 在区间I 上一致收敛于)(x s .二、定理1（魏尔斯特拉斯判别法）如果函数项级数∑∞=1)(n n x u 在区间I 上满足条件：（1）);,3,2,1(|)(| =≤n a x u n n （2）正项级数∑∞=1n n a 收敛.则该函数项级数在区间I 上一致收敛. 三、 一致收敛级数的基本性质定理2 如果级数∑∞=1)(n n x u 的各项)(x u n 在区间],[b a 上都连续，且级数在区间],[b a 上一致收敛于),(x s 则)(x s 在],[b a 上也连续.定理3 设)(x u n ),3,2,1( =n 在],[b a 上连续，且级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上一致收敛于)(x s ，则⎰xx dx x s 0)(存在，且级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上可以逐项积分，即])([])([)(11∑⎰⎰∑⎰∞=∞===n xx n x x n n xxdx x u dx x u dx x s (7.2)其中,0b x x a ≤<≤ 且上式右端的级数在],[b a 上也一致收敛.定理4 如果级数∑∞=1)(n n x u 在区间],[b a 上收敛于和)(x s , 它的各项)(x u n 都有连续导数)(x u n'，并且级数∑∞='1)(n nx u 在],[b a 上一致收敛，则级数∑∞=1)(n n x u 在],[b a 上也一致收敛，且可 逐项求导，即有∑∑∞=∞='='⎪⎪⎭⎫⎝⎛='11)()()(n nn n x u x u x s (7.3) 四、 幂级数的一致收敛性定理5 如果幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为,0>R 则此级数在),(R R -内的任一闭区间],[b a 上一致收敛.定理6 如果幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为,0>R 则其和函数)(x s 在),(R R -内可导，且有逐项求导公式,)(111∑∑∞=-∞=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='n n n n n n x na x a x s逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径.例题选讲：一致收敛的概念例1（讲义例1）考察函数项级数+-++-+-+-)()()(1232n n x x x x x x x的和函数的连续性.本例表明，即使函数项级数的每一项都在[a , b ]上连续，并且级数在[a , b ]上收敛，但其和函数却不一定在[a , b ]上连续；同样也可举例说明，函数项级数的每一项的导数及积分所成的级数的和也不一定等于它们的和函数的导数及积分. 那么在什么条件下，我们才能够从级数每一项的连续性得出它的和函数的连续性，从级数的每一项的导数及积分所成的级数之和得出原级数的和函数的导数及积分呢? 要回答这个问题，就需要引入函数项级数的一致收敛性概念.例2（讲义例2）研究级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-111n n n n x n x 在区间]1,1[-上的一致收敛性.例3（讲义例3）研究级数∑∞=-0)1(n n x x 在区间[0,1]上的一致收敛性.例4（讲义例4）证明级数++++22222sin 22sin 1sin nx n x x 在),(+∞-∞上一致收敛.例5（讲义例5）判别级数∑∞=+1241n x n x在),(+∞-∞上一致收敛. 课堂练习1. 研究级数+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++111112111n x n x x x x 在区间),0[+∞上的一致收敛性.魏尔斯特拉斯（Weierstrass, Karl Wilhelm ，1815~1897)魏尔斯特拉斯德国数学家，1815年10月31日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；1897年2月19日卒于柏林。

函数序列的收敛与一致收敛函数序列是指一组函数按照一定的规律排列组成的序列。

函数序列的收敛是指函数序列中的每一个函数都在特定点或特定区间上收敛于同一个函数。

而函数序列的一致收敛是指函数序列在特定区间上的收敛性不仅与特定点有关，还与整个区间的长度有关。

在数学分析中，函数序列的收敛与一致收敛是重要的概念。

收敛性是函数序列研究中的基本问题之一，而一致收敛则是收敛性的一种更强的要求。

一、函数序列的收敛对于函数序列{f_n(x)}而言，存在函数f(x)，当自变量x趋近于特定点a时，函数序列中的每一个函数f_n(x)都收敛于f(x)，则称函数序列{f_n(x)}收敛于函数f(x)，记作f_n(x)→f(x)，或lim f_n(x) = f(x) (n→∞)。

函数序列的收敛性可以通过函数的极限来判定。

如果函数序列中的每一个函数在特定点a处存在有限极限，且所有这些极限都相等，则函数序列收敛于这个极限值。

二、函数序列的一致收敛函数序列{f_n(x)}在区间I上一致收敛于函数f(x)，是指对于任意给定的ε>0，存在N，当n>N时，对于区间I上的任意x，都有|f_n(x)-f(x)|<ε成立。

与函数序列的收敛相比，函数序列的一致收敛更强，它要求不仅对于特定点，所有函数f_n(x)都要连续收敛于f(x)，而且在整个区间上的收敛性都要一致。

函数序列的一致收敛性可以通过序列的极限函数来判定。

如果函数序列的极限函数是一个连续函数，且序列中的每一个函数在整个区间上都逐点收敛于该极限函数，则函数序列在该区间上一致收敛于该极限函数。

三、收敛与一致收敛的关系函数序列的一致收敛是函数序列收敛性的一种更强要求，即一致收敛蕴含着收敛。

但是函数序列的收敛并不一定能推导出一致收敛。

一般来说，函数序列的收敛性可以通过函数的极限来判断，而一致收敛则需要更加严格的条件。

例如，如果函数序列在某个点x收敛，但在整个区间上并不一致收敛，那么序列可能只是逐点收敛于该点，而在其他点上并不收敛。