第五章 分析力学要点

第五章剖析力学本章要求（1）掌握剖析力学中的一些基本观点；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程。

第一节拘束和广义坐标一、拘束的观点和分类加于力学系统的限制条件叫拘束。

按不一样的标准有不一样的分类：按拘束能否与时间相关分类：稳固拘束、不稳固拘束；按质点可否离开拘束分类：可解拘束、不行解拘束；按拘束限制范围分类：几何拘束（完好拘束）、运动拘束（不完好拘束）。

本章只议论几何拘束（完好拘束），这类拘束下的系统叫完好系统。

二、广义坐标1、自由度描绘一个力学系统所需要的独立坐标的个数叫系统的自由度。

设系统有 n 个粒子，一个粒子需要 3 个坐标（如x、y、z）描绘，而系统受有 K 个拘束条件，则系统的自由度为（3n-K ）2、广义坐标描绘力学系统的独立坐标叫广义坐标。

比如：作圆周运动的质点只须角度用θ描绘，广义坐标为θ，自由度为 1，球面上运动的质点，由极角θ和描绘，自由度为 2。

第二节虚功原理本节要点要求：① 掌握虚位移、虚功、理想拘束等观点；② 掌握虚功原理。

一、实位移与虚位移质点因为运动实质上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在拘束同意的状况下，质点可能发生的位移叫虚位移。

假如拘束为固定拘束，则实位移是虚位移中一的个；若拘束不固定，实位移与虚位移无共同之处。

比如图中的质点在曲面上运动，而曲面也在挪动，明显实位移与虚位移不一致。

二、理想拘束设质点系受主动力和拘束力的作用，它们在随意虚位移中作的功叫虚功。

若拘束反力在随意虚位移中对证点系所作虚功之和为零，则这类拘束叫理想拘束。

圆滑面、圆滑线、刚性杆、不行伸长的绳等都是理想拘束。

三、虚功原理1、文字表达和数学表示：受理想拘束的力学系统，均衡的充要条件是：作用于力学系统的诸主动力在随意虚位移中作的元功之和为零。

即（1）合用条件：惯性系、理想不行解拘束。

2、推论设系统的广义坐标为 q1，，q a，，q S，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式：定义：称为相应于广义坐标q a的广义力，则虚功原理表述为：理想拘束的力学系统均衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即：（2）3、用虚功原理求解均衡问题的方法步骤一般步骤为：（1）确立自由度，选用坐标系，剖析力（包含主动力、拘束力）；（2）选用广义坐标并将各质点坐标表示成广义坐标 q a的函数：；（3）求主动力的虚功并令其为零：，由此求出均衡条件。

分析力学知识点可以基于逐步思考进行学习和理解。

本文将分为以下几个部分来介绍分析力学的一些核心概念和方法。

1. 引言分析力学是力学的一个重要分支，它研究物体在受到外力作用下的运动规律。

与牛顿力学不同的是，分析力学采用了更为抽象和数学化的方法，通过建立系统的数学模型来解决运动问题。

2. 基本概念在学习分析力学之前，我们首先需要了解几个基本概念。

2.1 质点质点是分析力学研究的基本对象，它被假设为没有大小和形状的点，只有质量。

质点的位置可以用坐标来描述，通常使用笛卡尔坐标系或极坐标系。

2.2 力力是导致物体发生运动或形状改变的原因。

在分析力学中，力的大小和方向都是非常重要的。

力可以通过矢量表示，其中矢量的方向表示力的方向，矢量的大小表示力的大小。

2.3 动力学方程动力学方程是分析力学的核心内容之一。

它描述了质点在受到力作用下的运动规律。

根据牛顿第二定律，动力学方程可以表示为质点的质量乘以加速度等于受到的合力。

这个方程可以用矢量形式表示。

3. 求解方法分析力学中有多种方法可以用来求解动力学方程，下面介绍其中两种常用的方法。

3.1 拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学中最常用的方法之一。

它基于能量守恒原理，将系统的运动描述为质点在广义坐标下的变换。

通过建立拉格朗日函数，并利用欧拉-拉格朗日方程，可以得到描述质点运动的方程。

3.2 哈密顿方程哈密顿方程是另一种常用的方法。

它基于哈密顿函数，通过将质点的坐标和动量表示为广义坐标和广义动量的函数，可以得到描述质点运动的方程。

哈密顿方程在某些问题的求解中更为方便和有效。

4. 应用领域分析力学作为力学的一个重要分支，在很多领域都有广泛的应用。

4.1 天体力学天体力学研究天体运动的规律，包括行星、卫星等天体的运动。

分析力学提供了描述天体运动的数学方法，通过求解动力学方程，可以预测和解释天体运动的现象。

4.2 机械系统分析力学可以应用于机械系统的研究和设计。

通过建立系统的动力学模型，可以优化机械系统的结构和运动性能，提高效率和稳定性。

分析力学知识点总结在分析力学知识中，有一些重要的概念和原理，接下来我们将对其进行详细分析和总结。

一、广义坐标和广义速度在分析力学中，广义坐标和广义速度是非常重要的概念。

广义坐标是用来描述系统中每个自由度的变化的参数，而广义速度则是描述系统各自由度变化率的参数。

广义坐标和广义速度并不是系统中每个粒子的坐标和速度，而是用来描述整个系统运动规律的一组参数。

对于一个具有N个自由度的系统，可以找到N个独立的广义坐标和广义速度来描述系统的状态。

通过广义坐标和广义速度，可以建立系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。

二、拉格朗日方程拉格朗日方程是分析力学的重要原理之一，它是用来描述系统运动规律的一种方法。

拉格朗日方程是通过系统的动能和势能函数来建立的，它可以描述系统在广义坐标变化下的运动规律。

对于一个N个自由度的系统，其拉格朗日方程可以写为：d/dt(∂L/∂q_i) - ∂L/∂q_i = Q_i其中，L是系统的拉格朗日函数，q_i表示系统的广义坐标，Q_i表示系统的广义力。

通过拉格朗日方程，可以得到系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。

三、哈密顿方程哈密顿方程也是分析力学的一个重要原理，它是通过系统的哈密顿函数来描述系统的运动规律的一种方法。

哈密顿函数是系统的广义坐标和广义动量的函数，通过哈密顿函数可以得到系统的哈密顿方程。

对于一个N个自由度的系统，其哈密顿方程可以写为：dq_i/dt = ∂H/∂p_idp_i/dt = -∂H/∂q_i其中，H是系统的哈密顿函数，q_i表示系统的广义坐标，p_i表示系统的广义动量。

通过哈密顿方程，可以得到系统的运动方程，进而研究系统的运动规律。

四、刚体运动在分析力学中，刚体运动是一个重要的研究对象。

刚体是一个在运动中保持形状不变的物体，它的运动规律可以通过刚体力学来描述。

刚体力学包括了刚体的运动方程、角动量定理、动能、角速度等内容，通过这些内容可以研究刚体的运动规律。