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分析力学教案5章

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高中物理 第5章 力与平衡 第2节 力的分解教学案 鲁科版必修

高中物理 第5章 力与平衡 第2节 力的分解教学案 鲁科版必修

高中物理第5章力与平衡第2节力的分解教学案鲁科版必修第2节力的分解1.力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循力的平行四边形定则，分力也不一定小于合力。

2．力的分解方法一般有两种，即按实际效果分解法和正交分解法。

正交分解法是建立正交坐标系，将力向两垂直的方向分解。

3．一个力如果不加限制可分解成无数对力，具体问题中要根据实际效果分解。

4．在力的分解的计算中可只研究平行四边形的一半即三角形，在三角形中利用几何关系求解更直观。

一、分力、力的分解 1．分力几个力共同作用的效果，若与某一个力的作用效果相同，这几个力即为那个力的分力。

2．力的分解(1)定义：求一个已知力的分力的过程。

(2)分解法则：平行四边形定则。

(3)分解与合成的关系：力的分解是力的合成的逆运算。

(4)力的分解的依据：通常根据力的实际作用效果进行分解。

二、力的正交分解 1．定义把一个力分解为两个互相垂直的分力的方法，如图5-2-1所示。

2．公式F1＝Fcos θ，F2＝Fsin θ。

3．适用正交分解适用于各种矢量运算。

图5-2-1三、力的分解的应用当合力一定时，分力的大小和方向将随着分力间夹角的改变而改变。

两个分力间的夹角越大，分力就越大。

图5-2-21．自主思考――判一判(1)把已知力F分解为两个分力F1与F2，此时物体受到F、F1、F2三个力的作用。

(×) (2)把已知力F分解时，只能分解为两个力。

(×) (3)在力的分解中，分力可以比合力大。

(√) (4)正交分解是按力的作用效果分解力的方法。

(×) (5)正交分解的两个分力与合力作用效果一定相同。

(√) 2．合作探究――议一议(1)如图5-2-3所示，手推车中的篮球所受重力会产生怎样的作用效果？提示：压紧手推车底面和压紧后侧壁两个效果。

(2)采用正交分解法建立的坐标轴一定是水平和竖直两个方向吗？提示：不一定，坐标轴的方向可以根据求解问题的方便性而定。

力学应用九年级第五章教学方案

力学应用九年级第五章教学方案

力学应用九年级第五章教学方案一、教学目标本章主要针对九年级学生，通过力的概念介绍，了解力学的基本知识和应用。

具体目标如下：1. 了解力的概念和分类；2. 掌握力的合成与分解；3. 理解力的大小与方向的表示方法；4. 初步掌握力的平衡和不平衡条件。

二、教学重点与难点1. 掌握力的合成与分解；2. 理解力的大小与方向的表示方法。

三、教学内容与安排本章分为以下几个部分：第一节：力的概念与分类1. 力的定义；2. 力的单位；3. 力的分类。

第二节：力的合成与分解1. 力的合成；2. 力的分解。

第三节：力的大小与方向的表示方法1. 力的大小的表示方法；2. 力的方向的表示方法。

第四节：力的平衡和不平衡条件1.力的平衡；2.力的不平衡。

四、教学方法1. 教师主导授课，重点讲解力的概念、分类以及力的合成与分解；2. 呈现力的大小与方向的表示方法，通过例题让学生亲自操作；3. 利用课堂小组讨论，进行力的平衡和不平衡条件的研讨；4. 结合实际生活中的例子，让学生进行思考和应用。

五、教学工具与教学资源1. 课件和投影仪；2. 模型或实物示例；3. 教材习题及习题答案。

六、教学步骤第一节：力的概念与分类1. 引入力的概念，通过生活中的例子引发学生思考；2. 介绍力的定义和力的单位，让学生了解力的基本概念；3. 介绍力的分类，如接触力、重力、摩擦力等；4. 练习与反馈：通过习题巩固所学内容。

第二节：力的合成与分解1. 引入力的合成概念，介绍合力的定义；2. 通过图示和模型示例，讲解力的合成方法；3. 引入力的分解概念，介绍分解力的定义；4. 利用实物或模型演示，让学生亲自进行力的合成与分解；5. 练习与反馈：通过习题加深学生对力的合成与分解的理解。

第三节：力的大小与方向的表示方法1. 引入力的大小的表示方法，介绍用数字和符号表示力大小；2. 引入力的方向的表示方法，如箭头和平行线表示；3. 实际生活中的例子演示力的大小与方向的表示方法；4. 让学生进行练习，巩固所学内容。

近年-2020年新教材高中物理第5章第2节力的分解教案鲁科版必修1(最新整理)

近年-2020年新教材高中物理第5章第2节力的分解教案鲁科版必修1(最新整理)

2019-2020年新教材高中物理第5章第2节力的分解教案鲁科版必修1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020年新教材高中物理第5章第2节力的分解教案鲁科版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019-2020年新教材高中物理第5章第2节力的分解教案鲁科版必修1的全部内容。

第2节力的分解学习目标知识脉络1．理解力的分解和分力的概念．2．理解力的分解是力的合成的逆运算,会用平行四边形定则求分力，会用直角三角形计算分力．（重点）3．掌握力的正交分解的方法．(重点）4．会用力的分解分析生产和生活中的实际问题．（难点）一、分力力的分解1．分力：几个力共同作用的效果,若与某一个力的作用效果相同，这几个力即为那个力的分力．2．力的分解（1)定义：求一个已知力的分力．（2）分解法则：平行四边形定则．(3)力的分解与合成的关系：力的分解是力的合成的逆运算．（4）力的分解的依据：通常根据力的实际作用效果进行分解．二、力的正交分解1．定义：把一个力分解为两个互相垂直的分力的方法，如图所示．2．公式:F1＝F cos θ，F2＝F sin θ.3．适用:正交分解适用于各种矢量运算．三、力的分解的应用当合力一定时，分力的大小和方向将随着分力间夹角的改变而改变．两个分力间的夹角越大，分力就越大．1．思考判断（正确的打“√”，错误的打“×”）(1)一个力只能分解为一组分力．（×）(2)力的分解遵循平行四边形定则．(√)(3）某个分力的大小不可能大于合力．(×）（4）力的正交分解是指把一个力分解为水平和竖直两个方向互相垂直的分力的方法．（×）(5）正交分解仅适用于矢量运算．（√)(6）当物体受多个力作用时，常用正交分解法进行力的运算．（√）2．(多选)把一个力分解为两个力时，下列说法中正确的是（）A．一个分力变大时，另一个分力一定要变小B．两个分力可同时变大、同时变小C．无论如何分解，两个分力不能同时大于这个力的两倍D．无论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半BD［由于两分力的大小与两分力夹角有关，所以一分力变大，另一个分力可变大，也可变小，故选项A错误，选项B正确；当两个分力夹角很大时，任何一个分力都可能大于合力的两倍,故选项C错误；两个分力若都小于合力的一半，则三个力不能构成一个封闭的三角形,因而两个分力不能同时小于合力的一半，故选项D正确．故选B、D。

理论力学 5分析力学

理论力学 5分析力学

这s个独立参量叫做拉格朗日广义坐标。在几何约束情况下， 广义坐标的数目和自由度的数目相等。
5.2虚功原理
5.2.1实位移与虚位移
质点由于运动实际上发生的位移叫做实位移。以dr 表示。
在给定瞬时，质系中各质点所作的为约束所允许的、可能发 生的无限小位移，称为虚位移，用r表示。 虚位移只满足给定瞬时的约束条件，而真实位移除满足约束 条件外，还取决于所受的主动力及运动的初始条件。虚位移
f ( x, y, z, t ) 0
（2）可解约束与不可解约束
质点始终不能脱离的那种约束叫不可解约束。
f ( x, y, z ) 0
那种约束就叫可解约束。
或
f ( x, y, z, t ) 0
如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离，
f ( x, y, z ) c
（3）几何约束与运动约束
ri ri qi qi
再将①式 ri ri (t , q1 , q2 ,qs ),
i 1,2,n 对任一广义坐标
q 求偏导数，得：
另一方面，将位矢 r 直接对 q 求偏导数后，再对时间求导数， i 得：
ri d dt q s 2 ri 2 ri q q t q q ③ 1
状态，则其平衡条件是
W Fi ri 0
n i 1
或
W ( Fixxi Fiyyi F iz z i ) 0
i 1
n
由上式可知，受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力
学体系的诸主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零。这 个关系叫做虚功原理，也叫虚位移原理。
5.2.4广义力

高一物理鲁科版必修1教学教案：第五章第2节力的分解含解析

高一物理鲁科版必修1教学教案：第五章第2节力的分解含解析

力的分解教学目标知识与技能1.知道什么是力的分解，知道力的分解遵循平行四边形定则.2.知道实际问题中将力按作用效果分解.3.能用平行四边形定则或三角形定则进行力的运算.过程与方法1.通过设置问题，启发学生的思考，启迪学生的物理思维.2.通过组织探究实验，训练学生明辨是非和分析推理的能力.情感态度与价值观1.通过组织探讨和探究实验，培养学生的合作精神.2.让学生初步体会到物理学的和谐美和统一美.3.通过分析实际问题，激发学生的学习兴趣.教学重点1.平行四边形定则和三角形定则在力的分解中的应用.2.根据力的作用效果对力进行分解.教学难点1．正确分析力的实际作用效果；2．应用平行四边形定则和三角形定则进行矢量运算.教具准备多媒体课件、台秤、钩码、砝码、细绳、薄板钢条、橡皮筋、三角板、铅笔.课时安排：1课时学习过程问题引入问题情境1:为什么山路通常“十八弯”不能直接修建到山顶?问题情境2:跨江大桥，高架桥为什么要修很长的引桥?问题情境3:晒衣绳为什么不能绷得过紧？知识链接问题1：什么叫做力的合成？合力与分力是什么关系？求几个力的合力的过程和方法叫做力的合成.等效替代关系问题2：求合力遵循什么规律？平行四边形定则问题3：力的合成结果是否是唯一的？是唯一的.新课教学一、力的分解1.力的分解法则问题1：什么是力的分解？求一个力的分力叫做力的分解.问题2：力的分解显然是力的合成的逆过程，大家想一想，力的分解应该用什么方法呢？遵循什么规律？因为分力的合力就是原先被分解的那个力，所以力的分解同样遵循平行四边形定则，相当于把一个力作为平行四边形的对角线，那么，与力F共点的平行四边形的两个，就表示力的两个分力.2.力的分解的多解性，探究唯一解的条件学生练习：将某个力分解.（让三个学生到黑板上作图）问题3：如果把一个已知的实际的力分解为两个分力，在没有任何限制的情况下，会得到几种结果呢？从三个同学所做的结果我们知道，同一个力有不同的分解方法，如果没有什么条件的限制的话，一个力可以有无数种分解方法，都作研究显然不可能，那么我们究竟要研究哪一种呢？实际上一个力要如何分解，通常是根据实际情况来决定的.要注意，在力的分解中，合力是实际存在的，有对应的施力物体，而分力则是设想的几个力，没有与之对应的施力物体.这一点于力的合成相反.问题4：加一些限制条件，再来研究一个力的分解情况(作图说明)学生分类讨论：①已知两个分力的方向②已知其中一分力的大小和方向※③已知分力F1的方向和分力F2的大小※④已知两分力大小①已知两个分力的方向，求两个分力的大小.如图所示，已知F和α、β，显然该力的平行四边形是惟一确定的，即F1和F2的大小也就被惟一的确定了.②已知一个分力的大小和方向，求另一个分力的大小和方向.仍如图所示，已知F、F1和α，显然此平行四边形也被惟一确定了，即F2的大小和方向（角β）也被惟一确定了.③已知一个分力的方向和另一个分力的大小，即已知F、α（F1与F的夹角）和F2，这时则有如下的几种可能情况.情况一：F＞F2＞F sinα，有两解，如图所示，如果F2≥F时只有一个解.情况二：F2＝F sinα 有惟一解，如图所示.情况三：F2＜F sinα 时，无解，因为此时按所给的条件无法构成力的平行四边形.④已知两个分力的大小，求两分力的方向.如图所示，当绕着F的作用线将图转过一定角度时，仍保持着F1、F2的大小为原值，但方向不同，所以其解是不惟一的.3.确定分解的原则问题5：在实际应用中，如何分解一个力呢？先根据力的实际作用效果确定分力的方向典例探究例1.把一个物体静止在倾角为θ的斜面上，物体受到竖直向下的重力，但它并不能竖直下落.那么，物体所受的重力会产生什么样的作用效果呢？演示：在斜面上放上物体如右上图F2′2现象：重物下滑的同时，还发生了弯曲. 思考：重力产生两个效果是什么？有向下垂直压斜面的效果和沿斜面使物体下滑的效果分解方法：重力分解为这样两个分力——平行于斜面使物体下滑的分力F 1，垂直于斜面使物体紧压斜面的分力F 2.分力的大小： 1sin G F θ= ， 2cos G F θ=讨论：分力F 1、F 2与什么因素有关？实际应用：为了行车的安全，大桥的引桥一般都比较长，坡度比较小，目的是让汽车上坡不难，下坡不急，这样做的道理是什么呢？ 思考与讨论： （1）F1、F2是不是物体的真实受力？不是、无施力物体（2）能不能说F1是物体对斜面的压力？ 不能、作用点不同例2.将物体放在水平弹簧台称上，用斜向上的拉力拉物体（学生观察现象）演示：观察三次弹簧秤的读数有什么变化，并比较观察到的现象，分析作用在重物上斜向上的力有什么作用效果.斜向上的力产生两个作用效果：一个是竖直向上拉物体；另一个是水平向右拉物体，如图所示.4.思维的拓展（学生分析和解答）例3.斜面上物体重力的分解.如图所示.例4.三角支架悬物拉力的分解活动：如图甲和乙，让学生用铅笔支起图中的绳子，可以使学生直观地感受到手指受到的是拉力，手掌受到的是压力，由此体会重力的实际作用效果，从而正确画出分力的方向. 思考与讨论：绳中力的大小？方向？ 杆中力的大小？方向？小结：力分解的一般步骤： 1、分析力F 的作用效果，根据力的作用效果，确定两个分力的方向； 2、把力F 作为对角线，作出平行四边形得到分力；图甲F 2 F 1 图甲的分解图F 2 图乙的分解图(1)2 (2)3、求解分力的大小和方向。

周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第五章8分析力学

周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第五章8分析力学
s s 1 1
*
H dt dU

相应地,变换后的正则方程为:
Q H * , P
*
H P . Q
1,2, s
反之,如果变换满足如下条件
* p d q P d Q H H dt dU s s
1
1
1


相应的可以变为
s p dq Q dP H H dt dU1 P Q U 3 (q, P, t ) 1 1 1 s s

*

所以
U 3 U 3 1,2,, s Q , p P q U 3 H H t
* H Q , P
H P . Q
*
1,2, s
2 母函数
U决定了正则变换, 因而叫正则变换的母函数.
(1)由于本身的随意性, 可以把母函数表示为函数
U1 U1 (q, Q, t )
考虑正则变换条件
s s * p d q P d Q H H dt dU1
这样用x,y表述谐振子的运动方程为
2C1 2C2 x sin( 1t 1 ), y sin( 2t 2 ) m1 m 2
4 泊松括号的不变性
泊松括号的一个重要性质就是在正则变换下具有 不变性, 即 , p,q , P,Q 证明:
, p,q
1


H*为新变量表示的哈密顿函数,则应的变换是正则 变换. 证明:由上式可得
( p q
1 s
P Q ) U
( p q
1
s
* P H U Q ) H

周衍柏《理论力学》第五章教案-分析力学

第五章分析力学本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程。

第一节约束和广义坐标一、约束的概念和分类加于力学体系的限制条件叫约束。

按不同的标准有不同的分类：按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束；按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束；按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）。

本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系。

二、广义坐标1、自由度描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。

设体系有n个粒子，一个粒子需要3个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K）2、广义坐标描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。

例如：作圆周运动的质点只须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为1，球面上运动的质点，由极角θ和描述，自由度为2。

第二节虚功原理本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握虚功原理。

一、实位移与虚位移质点由于运动实际上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可能发生的位移叫虚位移。

如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处。

例如图5.2.1中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移与虚位移不一致。

二、理想约束设质点系受主动力和约束力的作用，它们在任意虚位移中作的功叫虚功。

若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束。

光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。

三、虚功原理1、文字叙述和数学表示：受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。

即（1）适用条件：惯性系、理想不可解约束。

2、推论设系统的广义坐标为q1，……，q a，……，q S，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式：定义：称为相应于广义坐标q a的广义力，则虚功原理表述为：理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即：（2）3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤一般步骤为：（1）确定自由度，选取坐标系，分析力（包括主动力、约束力）；（2）选取广义坐标并将各质点坐标表示成广义坐标q a的函数：；（3）求主动力的虚功并令其为零：，由此求出平衡条件。

use-第五章分析力学精讲


2、理想约束：如果作用在力学体系上的诸约束反力 在任意虚位移中所作的虚功之和为零，则称这种约 束为理想约束，即: n N r Ri ri 0
i 1
3、几种常见的理想约束 ①光滑线,面,光滑铰链的约束 ②刚性杆,不可伸长的绳子的约束 ③纯滚动(粗糙面)
光滑面
N r 0
A、B两个动点 5个约束
20
选为广义坐标
(3) 用虚功原理列方程
P rC f rB 0
建立oxy坐标系 P Pj rC xC i yC j f fi rB xB i y B j
②质点被约束在球面上，约束方程为：
x2 y 2 z 2 R2
（2）不稳定约束：约束方程中显含时间的约束 约束方程为： f（x, y, z, t） 0 例如：①不断吹大气球的约束：
2 x2 y 2 z 2 （R0 t） 为球面半径的增长速率
7
3、按约束可脱离和不可脱离分类
(i 1,2,n)
y
R
例1、质点做圆周运动。 一般坐标：x、y 广义坐标：
x, y

x R cos y R sin
o
x
10
例2、质点做平面运动。
取x、y为一般坐标，r、θ 为广义坐标。
y
x r cos y r sin
x, y
分，即可求得各点的虚位移 5. 列出虚功方程，并求解
解析法：选取适当的坐标系，写出约束方程并进行变
19
例1、一长为L，重为P的均质直杆AB，斜靠在光滑的墙 和光滑的水平地面之间，为防止直杆滑倒，在杆端B和 墙角 O之间用一长为 轻绳拉住，使直杆与墙的夹角 l 为，试用虚功原理求绳子的张力。 y

第五章 分析力学ppt课件


或
不可解约束以等式表示，可解约束则同时以等式和 不等式表示。
5.1
约束与广义坐标
第5章 分析力
③几何约束（完整约束）与运动约束（微分约束）
某些约束仅对力学系统的空间位置加以限制，而对各质点的速
度没有限制, 这种约束称为几何约束 (geometrical constraint )。可 表示为
f r , r , r , , t 0 1 2 3
§5.0
引言
第5章 分析力
5 提出新的力学原理代替牛顿定律
牛顿力学 矢量力学 力学第一原理 拉格朗日方程 拉格朗日力学 （相当于“几何公理” ） 哈密顿力学 哈密顿原理
三者本质上相同，可以相互证明 利用无穷小计算原理对抽象数学及应用数学的应用，使用拉格 郞日和哈密顿方法给以力学问题抽象的数学处理，即把物理世 界事物属性翻译成数学关系式，中间不考虑物理意义，只在讨 论计算结果时再翻译转化到真实物理世界上去。
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r 0 1 2 3 n 1 2 3 n
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n
或
f r , r , r , , r ; r , r , r , , r , t 0 1 2 3 n 1 2 3 n
5.1
约束与广义坐标

分析力学7-第五章2011春讲义印发_97402873

第五章 拉格朗日方程§5．1．拉格朗日方程1．对于理想完整保守的力学体系，我们已经从哈密顿原理导出拉格朗日方程。

在同样的条件下，通过把坐标变换为独立的广义坐标也可以由达朗贝尔方程()10ni i i i i F m r r δ=-⋅=∑（1）导出拉格朗日方程。

具体过程如下：在完整约束的条件下，利用坐标变换()1,2,12i i r r q t i n s αα===，，，可以变换为独立的广义坐标，并得到1,3sii r r q s n k qαααδδ=∂=⋅=-∂∑于是（1）式就化为1110sn niii i i i i r r F m r q q q ααααδ===⎡⎤∂∂⋅-⋅=⎢⎥∂∂⎣⎦∑∑∑(2) （2）式[]中第一项1ni i i rF Q q αα=∂⋅=∂∑称为主动力对应于广义坐标αq 的广义力，是主动力在(由广义坐标构成的曲线坐标系的)坐标曲线的切线方向上的投影之和，其量纲也可能与力不同。

（见后）第二项是质量与加速度的乘积在对应的坐标曲线的切线方向上的投影之和。

因此（2）式[]是F ma -在独立的广义坐标(一般为曲线坐标)下的推广。

第二项还可以变形为111nnni i i i i i i i i i i i i i i i r r r r r d d dd T Tm r m r r m r r q dtq dt q dtq q dt q q ααααααα===⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂⋅=⋅-⋅=⋅-⋅=-⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑∑其中2112ni ii T m r ==∑ 为动能。

以上运算利用了两个经典拉格朗日关系i i r r qq αα∂∂=∂∂i i d r r dt q q αα∂∂=∂∂于是（2）式就化为10sT d T Q q q dt qαααααδ=⎛⎫∂∂+-⋅= ⎪∂∂⎝⎭∑ s ,,2,1 =α （3） 在约束完整的条件下，由于αδq 是相互独立的，由（3）就得到基本形式的拉格朗日方程()1,2,,4d T T Q sdt qq αααα∂∂-==∂∂方程（4）对理想、完整力学体系普遍成立。

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k st
A
2
( M m) g
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xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx
O
st
x x
O
A
(M+m)g
习题5-3 图示物体A的质量为M=20kg，可视为均 质圆盘的滑轮的质量为m=2kg，半径为r =600mm， 弹簧的刚度系数k=0.5N/mm。求物体A振动时的 固有频率。 k ( M m ) g 2k st 1 3 1 2 2 st mx ( 2 M 3m ) x 2 T Mx 2 4 4 O k x 2 2 V ( M m ) gx [( 2 x st ) st ] 2 k 2 2 x ( M m ) gx (4 x 4 st x ) 2kx A 2 1 2 2kx 2 E T V E ( 2 M 3m ) x 4
1 3 2 2 T m1 x m2 x 2 4 2
2 1 m2 R x ( ) 2 2 R 1 2 ( m1 2m2 ) x 2
k’
A
B
C
1 2 T ( m1 2m2 ) x 2
x k’ A B
k st m1 g
k 2 2 V m1 gx [( x st ) st ] 2 k 2 k 2 x m1 gx ( x 2 x st ) 2 2 广义惯性系数 a m1 2m2 kq 0 广义弹性系数 k k aq
V (q ) V0 (
1 2 系统的势能： T a0 q 2 dV 1 d 2V
)0 q (
2
d r i ) v i (q, q vi r q i dq
)0 q
2
1 1 2 2 V (q ) kq T a0 q 2 2 1 记a a0 称为广义惯性系数 T aq 2
2 q n q 0 n k / a q A sin( n t ) A n cos( n t ) q
0 q (0) 设q0 q(0), q
q0 A sin 0 / n A cos q
A q
2 0
0 A n cos q
分析力学
胡 辉 湖南科技大学 工程力学系
第五章 一个自由度系统的振动 一个自由度系统的振动 线性振动： 二（个）自由度系统的振动 多（个）自由度系统的振动 本章应用拉格朗日方法研究一个自由度 系统的振动。
§5－1 一个自由度系统的自由振动 自由振动：系统在振动过程中不受激励作用。 首先研究无阻尼的自由振动。 若系统受一短暂扰动后保持在平衡位置附近作 微幅振动，则这种平衡是稳定平衡。 若系统是保守系统，机械能守恒： T V E 系统在运动过程中，动能与势能相互交换，故 可以用动能和势能来描述系统的运动。 设系统的广义坐标为q，在平衡位置时q=0 ri ri (q ) dri v i (q, q v i ri q ) dq
广义惯性系数：表征系统惯性性质的物理量。
2
1 1 2 2 L T V aq kq 2 2 d L L
dt q
q 0 ωn：称为系统的固有圆频率 q
2 n
k q 0 q a
q
0
kq 0 aq
n
k/a
q A sin( n t )
25 25 2 2 2 2 V 2 Pl cos k ' l 2 Pl ( k ' l Pl ) 72 72 2 d V 25 2 k( ) 2( k ' l Pl ) 0 2 0 d 72 1 1 5 P 2 2 2 T aq T ( l ) 2 2 3 g 5P 2 a l 广义惯性系数 3 g
tan
q

2 0 2 n
n q0
0 q
2 q n q 0
ωn：称为系统的固有圆频率 n的单位： 1/ s f：称为系统的固有频率
1 2 周期T f n
n f 2
Hz
1 2 2 V k[( a st ) st ] P1l1 P2 l 2 2 1 1 2 2 2 2 k (a 2a st ) P1l1 P2 l 2 ka 2 2
dq 2! dq 取系统的平衡位置为零势能位置，即V0=0。 势能在平衡位置取极值 ( dV ) 0 0 2 dq d V k( )0 0 势能在稳定平衡位置取极小值： 2 dq 保留二阶微量，略去高阶微量，得 2 d V 1 2 V (q ) kq k ( 2 )0 广义弹性系数 dq 2
d r i ) v i (q, q vi r q i dq n n dri 1 1 2 2 T mi v i mi ( q) 2 i 1 2 i 1 dq n dri 2 2 1 1 2 a(q )q [ m i ( ) ]q 2 i 1 n dq 2 1 dri 2 2 a0 q 令a ( q ) m i ( ) 2 dq i 1
k 0 a 系统的频率为 n
T 2
k a
( 25k l 72 P ) g 60 Pl
n
2
60 Pl ( 25k l 72 P ) g
习题5-1 图示轮A沿水平面纯滚动，轮心与刚度 系数为k’的水平弹簧相连，弹簧的另一端连于墙 上；质量为m1的物块C以细绳跨过定滑轮B连于 轴A，A、B二轮均为均质圆盘，半径为R，质量 为m2，求系统的运动微分方程，并求系统的广义 x 弹性系数和广义惯性系数。
C
k x 0 (m1 2m2 ) x
n
k m1 2m2
k x x0 m1 2m2
F
习题5-3 图示物体A的质量为M=20kg，可视为均 质圆盘的滑轮的质量为m=2kg，半径为r =600mm， 弹簧的刚度系数k=0.5N/mm。求物体A振动时的 固有频率。 1 k F
例5-1 图示为地震仪振动系统简图。静平衡时杆 OA水平，试建立系统的振动微分方程，并求系统 的固有圆频率。解：取φ为广义坐标 k 静平衡时φ=0，此时弹簧的 A st 静伸长为δst。 O φ a 由平衡条件 mo ( F ) 0 l1 P1 l2 P2 k st a P1l1 P2 l 2 0 系统的势能（设杆在水平位置的势能为零）
习题5-3 图示物体A的质量为M=20kg，可视为均 质圆盘的滑轮的质量为m=2kg，半径为r =600mm， 弹簧的刚度系数k=0.5N/mm。求物体A振动时的 固有频率。 1 2 2 k ( 2 M 3m ) x 2kx E 4 st 1 4kxx 0 ( 2 M 3m ) x x O 2 x 1 4kx 0 ( 2 M 3m ) x 2 8k x A x x0 2 M 3m
例5-3 三根长为l、重为P的均质细杆用铰链连接 于铅直平面，AC=BD.两刚度系数均为k’的水平弹 簧一端固定。AE=l/2,CF=2l/3,θ=0时弹簧没有变 形。求系统的振动周期和此时弹簧的刚度系数。 解：取θ为广义坐标 B D 取AC为零重力势能位置 k θ k F V Pl cos l E 2 P l cos A C 2 1 1 1 2 2 2 k ' ( l ) k ' ( l ) 2 2 2 3 25 2 2 V 2 Pl cos k' l 72
25 25 2 2 2 2 V 2 Pl cos k ' l 2 Pl ( k ' l Pl ) 72 72 2 2 d V 2 cos 1 2 sin 1 k( )0 0 2 2 2 dq 2 d V 25 2 k( ) 2( k ' l Pl ) 0 2 0 d 72 72 P 2 l 所以，弹簧刚度系数k’应为 k ' 25l 系统的动能为 2 1P 2 1 Pl 2 B D T ( l ) 2 2 g 2 3g k θ k 1 5 P 2 2 F ( l ) 2 3 g E A C
P2 2 Io l2 g
P2 2 Io l2 g
1 2 2 V ka 2
st
k
A
例5-2 均质圆柱体质量为m，半径为r，在半径为R 的圆柱体内只滚不滑。求圆柱体作微幅摆动的微 3 2 分方程，并求系统的固有频率。 T m[( R r ) ] 4 取系统的平衡位置为零势能位置。 2 V mg ( R r )(1 cos ) mg ( R r ) 2 sin 2 2 1 2 mg ( R r ) 2( ) mg ( R r ) 2 2 O
1 P2 2 2 1 2 O l2 T I o φ a 2 g 2 l 1 P1 1 P2 2 2 l 2 P2 ( Io l 2 ) 2 g 1 P2 2 2 1 2 2 ka L ( Io l 2 ) 2 g 2 P2 2 d L L 2 l 2 ) ka 0 0 ( Io dt g 2 2 ka ka 0 n
3
st
x x
O
n 1 f 2 2
1 2
A
8 0.5 10 1.48Hz 2 20 3 2
§5－2 一个自由度阻尼系统的自由振动 阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 系统作无阻尼振动时，机械能没有损耗，系 统作等幅振动。 x x
O
O
t
t
实际上阻尼总是存在的，阻尼不断消耗系统 的能量，使运动逐渐减弱，直至振动完全消失。
R
θ
r
例5-2 均质圆柱体质量为m，半径为r，在半径为R 的圆柱体内只滚不滑。求圆柱体作微幅摆动的微 3 2 分方程，并求系统的固有频率。 T m[( R r ) ] 4 取系统的平衡位置为零势能位置。 2 V mg ( R r )(1 cos ) mg ( R r ) 2 sin 2 2 1 2 mg ( R r ) 2( ) mg ( R r ) 2 2 3 1 2 2 L m( R r ) mg ( R r ) 2 4 2 3 d L L 2 mg ( R r ) 0 m ( R r ) 0 dt 2 2 g 2 g n 0 3( R r ) 3( R r )