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现代物理导论第五章分析力学方程

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理论力学第五章

理论力学第五章

r Fi
g rri q
0
由虚功原理
P1 x1 P2 x2 F y3 0
x1
1 2
l1
sin
x2
l1 sin
1 2
l2
sin
y3 l1 cos l2 cos
P1 x1, y1 P2 x2, y2 B x3, y3
1 2
P1l1
cos
P2l1
cos
Fl1
sin
1 2
P2l2
2.理想约束
虚功：作用在质点上的力F在任意虚位移上做的功
理想约束：质点上的所有约束反力的虚功之和为零
n
r Ri
g
rr
0
i 1
引入虚位移可以消去这些约束反力 3.虚功原理
受理想约束的力学体系的平衡充要条件是所有主动力 的虚功之和等于零。
W
n
r Fi
g
rri
n
Fix xi Fiy yi Fiz zi 0
速度 s&2 r&2 r2&2 r2 sin2 &2
动能 T 1 ms&2 1 m r&2 r2&2 r2 sin2 &2
2
2
注意 Qr Fr , Q rF , Q r sin F
1 2
m
d dt
s&2 r&
s&2 r
Fr
1
2
1 2
m m
d
dt
2．稳定约束时
ri t
0 a ,a 0 T1 ,T0 0, T
T2
H T V 常量(E ) 能量积分
说明： L 不显含时间，且稳定约束条件下，系统能量守恒. 具有可加性（广延量）的运动积分称为守恒量.

湘潭大学现代物理导论2课件5.2虚功原理

湘潭大学现代物理导论2课件5.2虚功原理

现代物理导论I
2、正确进行受力分析：
画出主动力的受力图，包括计入主动力的弹簧
力、摩擦力和待求的约束反力。
3、正确进行虚位移分析，确定虚位移之间的关系。
4、应用虚位移原理建立方程。 5、解虚功方程求出未知数。
现代物理导论I
例 1、螺旋起重机如图所示，已知 螺纹升距 h ，手柄长 l ，在水平面 内施加力偶矩 2Fl ，求平衡时施加 在物体上的压力。
作业
P363
现代物理导论I
1、2、3
现代物理导论I
FA FBtg
现代物理导论I
例 4、如图所示机构，不计各构 件自重与各处摩擦，求机构在图 示位置平衡时，主动力偶矩Ｍ与 主动力Ｆ之间的关系。 解：设虚位移 , rc
由虚功原理有
M F rc 0 re 由图中关系有 ra sin h h re OB , rC ra 2 sin sin Fh M 代入虚功方程得 2 s i n
现代物理导论I
（三）虚位移原理的应用 1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系； 2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力； 4、求平衡构架内二力杆的内力。
应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点： 1、正确选取研究对象：若系统存在非理想约束，如弹 簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力。若要求解约 束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计 入主动力，增加一个自由度。
（5.2.5）
现代物理导论I
证明：(1) 必要性：即质点系处于平衡时，必有 Fi ri 0
∵质点系处于平衡 ∴选取任一质点Mi也平衡。
，有( F R ) r 0 对质点Mi 的任一虚位移 ri i i i

第五章 分析力学要点

第五章 分析力学要点
第5章 分析力学
引言 约束和广义坐标（1） 虚功原理（4） 拉格朗日方程（6） 小振动（1） 哈密顿正则方程（2） 泊松括号与泊松定理（2） 哈密顿原理（2） 正则变换（1）
引言
• 机械系统运动的基本规律
牛顿定律
变分原理
牛顿力学
分析力学
以力、加速度等向 量为基本物理量— 向量力学
当冰刀在冰面上运动时，质心(杆的中点)的速度只能沿杆的方向。
选两质点在冰面上的坐标为(x1，y1)和(x2，y2)，则约束条件为
（质心的速度沿杆的方向）
后一个约束也可表为： 这意味着它是对无限小变化的限制。
（左边同除以dt）
z
例：圆环在水平面上作纯滚动。
需4个坐标。
直线，则为完整约束 如果：轨迹为
分析力学注重的不是力和加速度, 而是具有更广泛 意义的能量, 同时又扩大了坐标的概念. 分析力学 的方法和结论被方便地应用于物理学其他领域.
1. 把力学系统作为一个整体考虑 (牛顿力学是先质点、再 质点系 )
2. 具有简单统一的微分方程
力学体系不同
分析力学：力学量 L(T,V) 或 H(T,V) 不同 牛顿力学：运动微分方程不同
以功、能量等 标量为基本物 理量。
本课程将牛顿定律和达朗贝尔－拉格朗日原理作为 两个并列的理论基础。
拉格朗日方程 用s 个独立变量来描述力学体系的 运动, 是二阶常微分方程组，与牛顿第二定律一样.
哈密顿正则方程 用坐标和动量作为独立变量,独立 变量2 s 个,方程降阶为一阶常微分方程.
哈密顿原理 变分法
5 提出新的力学原理代替牛顿定律
力学第一原理
牛 拉
顿 格
力 朗
学 日
方
程

理论力学 5分析力学

理论力学 5分析力学

这s个独立参量叫做拉格朗日广义坐标。在几何约束情况下， 广义坐标的数目和自由度的数目相等。
5.2虚功原理
5.2.1实位移与虚位移
质点由于运动实际上发生的位移叫做实位移。以dr 表示。
在给定瞬时，质系中各质点所作的为约束所允许的、可能发 生的无限小位移，称为虚位移，用r表示。 虚位移只满足给定瞬时的约束条件，而真实位移除满足约束 条件外，还取决于所受的主动力及运动的初始条件。虚位移
f ( x, y, z, t ) 0
（2）可解约束与不可解约束
质点始终不能脱离的那种约束叫不可解约束。
f ( x, y, z ) 0
那种约束就叫可解约束。
或
f ( x, y, z, t ) 0
如果质点虽然被约束在某一曲面上，但在某一方向可以脱离，
f ( x, y, z ) c
（3）几何约束与运动约束
ri ri qi qi
再将①式 ri ri (t , q1 , q2 ,qs ),
i 1,2,n 对任一广义坐标
q 求偏导数，得：
另一方面，将位矢 r 直接对 q 求偏导数后，再对时间求导数， i 得：
ri d dt q s 2 ri 2 ri q q t q q ③ 1
状态，则其平衡条件是
W Fi ri 0
n i 1
或
W ( Fixxi Fiyyi F iz z i ) 0
i 1
n
由上式可知，受有理想约束的力学体系平衡的充要条件是此力
学体系的诸主动力在任意虚位移中所作的元功之和等于零。这 个关系叫做虚功原理，也叫虚位移原理。
5.2.4广义力

周衍柏《理论力学》第五章教案-分析力学

周衍柏《理论力学》第五章教案-分析力学

第五章分析力学本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程。

第一节约束和广义坐标一、约束的概念和分类加于力学体系的限制条件叫约束。

按不同的标准有不同的分类：按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束；按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束；按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完整约束）。

本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体系。

二、广义坐标1、自由度描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。

设体系有n个粒子，一个粒子需要3个坐标（如x、y、z）描述，而体系受有K个约束条件，则体系的自由度为（3n-K）2、广义坐标描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。

例如：作圆周运动的质点只须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为1，球面上运动的质点，由极角θ和描述，自由度为2。

第二节虚功原理本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握虚功原理。

一、实位移与虚位移质点由于运动实际上所发生的位移叫实位移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可能发生的位移叫虚位移。

如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处。

例如图5.2.1中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移与虚位移不一致。

二、理想约束设质点系受主动力和约束力的作用，它们在任意虚位移中作的功叫虚功。

若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种约束叫理想约束。

光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理想约束。

三、虚功原理1、文字叙述和数学表示：受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。

即（1）适用条件：惯性系、理想不可解约束。

2、推论设系统的广义坐标为q1，……，q a，……，q S，虚位移可写为用广义坐标变分表示的形式：定义：称为相应于广义坐标q a的广义力，则虚功原理表述为：理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广义力为零，即：（2）3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤一般步骤为：（1）确定自由度，选取坐标系，分析力（包括主动力、约束力）；（2）选取广义坐标并将各质点坐标表示成广义坐标q a的函数：；（3）求主动力的虚功并令其为零：，由此求出平衡条件。

use-第五章分析力学精讲

use-第五章分析力学精讲

2、理想约束：如果作用在力学体系上的诸约束反力 在任意虚位移中所作的虚功之和为零，则称这种约 束为理想约束，即: n N r Ri ri 0
i 1
3、几种常见的理想约束 ①光滑线,面,光滑铰链的约束 ②刚性杆,不可伸长的绳子的约束 ③纯滚动(粗糙面)
光滑面
N r 0
A、B两个动点 5个约束
20
选为广义坐标
(3) 用虚功原理列方程
P rC f rB 0
建立oxy坐标系 P Pj rC xC i yC j f fi rB xB i y B j
②质点被约束在球面上，约束方程为：
x2 y 2 z 2 R2
（2）不稳定约束：约束方程中显含时间的约束 约束方程为： f（x, y, z, t） 0 例如：①不断吹大气球的约束：
2 x2 y 2 z 2 （R0 t） 为球面半径的增长速率
7
3、按约束可脱离和不可脱离分类
(i 1,2,n)
y
R
例1、质点做圆周运动。 一般坐标：x、y 广义坐标：
x, y

x R cos y R sin
o
x
10
例2、质点做平面运动。
取x、y为一般坐标，r、θ 为广义坐标。
y
x r cos y r sin
x, y
分，即可求得各点的虚位移 5. 列出虚功方程，并求解
解析法：选取适当的坐标系，写出约束方程并进行变
19
例1、一长为L，重为P的均质直杆AB，斜靠在光滑的墙 和光滑的水平地面之间，为防止直杆滑倒，在杆端B和 墙角 O之间用一长为 轻绳拉住，使直杆与墙的夹角 l 为，试用虚功原理求绳子的张力。 y

分析力学第五章

4. 功与能 功等于力乘以质点在力的方向上的位移 力的空间积累效果， 力的空间积累效果，能量变化的量度 v v 恒力，直线： 恒力，直线： W = F ⋅ ∆ ri 3 B v v 变力，曲线： 变力，曲线： W = ∫ F ⋅ dr = ∑
A i =1
∫
B A
Fi dx i
v v dW 功率：表征作功的快慢： 功率：表征作功的快慢： P＝ = F ⋅ v = Fτ v dt
由矢量分析可知，这时存在单值、有限、 由矢量分析可知，这时存在单值、有限、可微函数满足
v ∂V v ∂V v ∂V v F = −gradV = −∇V = −( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
v ∂V v ∂V v ∂V v F = −gradV = −∇V = −( i + j+ k) ∂x ∂y ∂z
A A
保守力定义之二） 积分与实际路径无关 （保守力定义之二） 保守力定义之三） 闭合路径积分等于零 （保守力定义之三）
v v ∫ F ⋅ dr =
v v ∫ F ⋅ dl = 0
L
势能存在的必要条件（积分与路径无关的充要条件） 势能存在的必要条件（积分与路径无关的充要条件） 如果 v v v i j k v ∂ ∂ ∂ ∂Fz ∂Fy v ∂Fx ∂Fz v ∂Fy ∂Fx v ∇× F = = ( − )i + ( − )j + ( − )k = 0 ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Fx Fy Fz v v 则 ∫ F ⋅ dr = 0 → 无旋场，积分与路径无关 无旋场， v v v v v v （ 电场 E ，流场 v ） ∫ F ⋅ dl = ∫∫ ∇ × F ⋅ ds = 0 必有： 必有：

现代物理学概论第五章


2、原子模型
1879年，汤姆逊发现电子，他又于1904年提出了 第一个原子模型---西瓜模型。他认为原子好象一个 带正电的西瓜，带负电的电子则像西瓜子一样嵌在 原子中。
同年，日本学者长冈提出土星模型。他也认为原 子是一个带正电的实心球，电子像土星光环一样绕 着原子转。 西瓜模型可以解释元素周期率，但不能解释光谱 线。土星模型正好相反，能解释光谱线，但不能解 释周期率。
量子力学发现牛顿物理学不适于亚原子现象。在 亚原子领域内，我们无法准确地知道粒子的位置与 动量。我们只能大概地知道。但是，越是知道其中 之一，就越不知道另一。若是准确地知道其中之 一， 就完全不知道另一。（测不准原理）不管多么令人 难以置信，测不准原理却已经实验一再证明。
1、亚原子粒子
我们认识的宇宙可以分为宏观、微观。从宏观层 次下降到微观层次，又要经历二步过程。第一步是 原子层次，第二步是亚原子层次。
汤姆逊的学生卢瑟夫在研究铀原子放射性时，发 现汤姆逊的西瓜模型有问题。于是他在1911年提出 一个新的原子结构模型---行星模型。他认为原子就 象一个小太阳系，带正电的核好比太阳，电子像行 星一样围绕原子核旋转。
卢瑟夫的模型也存在困难。首先，这个模型不稳 定，按电磁理论，绕核转动的电子会辐射电磁波， 减少能量。这样，电子轨道会越来越小，最后落到 原子核上。但实际上，这种情况并没有出现。其次， 这一模型不能解释周期率和原子光谱。
牛顿的法则以日常生活的观察为基础。量子力学以 亚原子领域的实验为基础。牛顿法则预测的是事件。 （宏观的实际物体）量子力学预测的是概率。 我们无法直接观察亚原子现象，因为我们的感官无 法感知这种现象。我们不但从来没有见过原子（更别 说电子），也没有摸过、听过、闻过、尝过。 牛顿物理的法则描述的事件容易了解、容易想象。 但量子力学描述的概率却无法形成概念，难以用视觉 想象。我们切切不要企图在心里想出完整的量子力学 事件的图像。

周衍柏《理论力学教程(第三版)》电子教案 第五章5分析力学


H作为广义动量, 广义坐标和时间的函数, 又有
H H H dH q dq p dp t dt 1
s
由于动量, 坐标和时间都是独立的, 所以
q ( 1,2, , s ) H p q H p
（3）在球面坐标系中
1 2 2 2 2 2 2 T m(r r r sin ) ,V=V（r，，） 2
1 2 r 2 2 r 2 2 sin 2 ) V（r，，） L m(r 2
L L 2 p p mr , pr mr , r
s
考虑广义动量的定义, 得
s
L dq p dq dt dL p t 1 H ( p, q, t ) L p q
1
s
对于哈密顿量
可得
s
s
L q dp p dq q dp dt dH dL p dq t 1 1
因为
只要H不显含时间, 它就是守恒的, 即不随时间变化.
H中不显含t时，再分稳定约束与不稳定约束这两种情 况来讨论。 i）稳定约束
T＝T2

s 1
T q 1
s
s T2 q q 1

2T q
该题还可解得
2 m r r 2 r


粒子的径向运动方程．
常数 角动量守恒定律． p mr 2
例3： 分别用笛卡儿坐标、柱面坐标和球面坐标写出一个 自由质点在势场V( r )中的哈密顿函数H。 解: 体系为质点，自由度数s＝3 （1）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标， 则拉格朗日函数L为

分析力学及其基本方程

分析力学及其基本方程力学是物理学的基础学科，主要研究物体在空间中的运动状态及其相互作用。

其中分析力学是力学的一个分支，与经典力学相对应，它主要研究物体运动的微观过程，利用数学方法对物体的运动状态进行分析和计算。

分析力学的基本概念在分析力学中，物体的运动状态可以用弧长s来描述，s是物体在运动中所经历的路程长度。

对于一个物体，如果它在s时刻的速度为v（s），那么它在s时刻的加速度a（s）就可以用速度的导数来表示：a（s）= dv（s）/ds与力学中的其他分支不同的是，分析力学强调的是微观分析，因此其分析基础被描述为单个粒子的力学。

分析力学的基本方程分析力学的基本方程包括一系列数学方程式，它们被称为拉格朗日方程或哈密顿方程。

拉格朗日方程的基本形式为：d/dt (∂T/∂v) − ∂T/∂q = Q其中T是物体的动能，v是物体的速度，q表示静止位置，Q表示物体所受的合力。

哈密顿方程则是以动能（T）和势能（V）为基础，用哈密顿函数（H）来描述系统的动力学法则。

它的基本形式为：∂H/∂p = dp/dt∂H/∂q = d q/dt其中p是系统的广义动量，q是系统的广义位置，t表示时间。

这两个方程式为分析力学提供了基础。

利用它们，我们可以对不同的物理系统进行描述和计算，并得到系统中各个部分之间的相互作用。

分析力学的应用分析力学在物理学的许多领域都有广泛的应用，如天体力学、固体力学、流体力学等。

以下是一些具体的应用例子。

1. 太空飞行器：分析力学可用于研究、分析和计算太空飞行器的浪费燃料、姿态控制和路径规划等问题。

例如，分析力学的方法可以用来优化太空飞行器的姿态和动力学性能，从而提高太空探索任务的精度和效率。

2. 医药领域：分析力学可用于模拟和研究细胞、分子和药物分子的动力学过程，从而帮助研究人员了解分子间的相互作用，以及药物如何进入人体细胞中。

此外，分析力学的方法还可用于设计药物分子，以实现更高的药效和安全性。

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现代物理导论I
约束的分类
约束本身的性质对研究系统运动有重要的影响， 且对研究运动时选取的方法都要看约束的性质。
按照约束的特征，可将约束分为：单面与双面、完 整与非完整，稳定与不稳定，理想与不理想。
1、单面约束和双面约束
质点始终不能脱离的那种 约束（只能在某一曲面）叫双 面约束（不可解）。质点虽被 约束在某一曲面，但在某一个 方向可脱离的约束叫单面约束。
平面单摆
x2 y2 l2
曲柄连杆机构
xA2yA2r2 ( x B x A ) 2 (y B y A ) 2 l2, y B 0
现代物理导论I
例 1、两质点(x1, y1, z1) ，(x2 , y2 , z2 ) 用长l 的刚
性杆连接，写约束方程。 解：
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 l 2 0
l 的刚性杆连接，且运动方向只能
沿杆方向，写约束方程。
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 l 2 0
x1 x2 y1 y2
x
x1 x2 y1 y2
现代物理导论I
但是，含有速度的约束不一定是不完整约束，例如： 车轮沿直线轨道作纯滚动时。
几何约束： y A r 运动约束：v A r 0
c
又例如：杆的上端沿水平直线匀速运动， 并取线上某点为原点，则约束方程: (x-ct)2+y2 +z2 =l2
(x,y,z)
现代物理导论I
总结： 约束可分为单面与双面，完整和非完整，稳定和
不稳定，理想和不理想。 约束方程一般可以表为
f (x, y, z; x, y, z;t) 0( 0or 0)
当系统受到约束时，从直角坐标过渡到广义坐标 十分方便，而且十分必要。采用广义坐标后，不需要 再写约束方程。
现代物理导论I
例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
(x1,y1) , (x2,y2 ) x12 y12 a2
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 b2
自由度为2，取广义坐标，
x1asin, y1aco s x2asin bsin, y2aco sbco s
( x A r 0 )
对运动约束积分得：xA rC
也是完整约束。
运动约束如果能积分变成几何约束，就是完整约束。 否则就是不完整约束。
现代物理导论I
3、稳定约束和不稳定约束
约束分依赖时间和不依赖时间两种。如果时间不出现在 约束方程中，则这种约束是稳定约束。
如果约束方程中显含时间，则这种约束是不稳定约束。 例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。 x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
例 2、两质点(x1, y1, z1) ，(x2 , y2 , z2 ) 用长 l 的刚性杆连接，
在半径 R 的球面上运动，写约束方程。
解：
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2 l 2 0 x12 y12 z12 R2 0 x22 y22 z22 R2 0
在一个力学体系中，常存在一些限制各质点自 由运动的条件，我们把这些条件叫做约束。 例如：火车在铁轨上运动；
子弹在枪膛里的运动；
圆球被限制在地面上纯滚动 受到约束的系统称为非自由系统；反之，没有受到 约束的系统为自由系统。
现代物理导论I
约束方程 一般情况下，约束对质点系运动的限制都可以通
过质点系各质点的坐标或速度及时间的数学表达式来 表示，这种数学表达式称为约束方程。
约束方程如果取等号，则为双面（不可解）约束。
f (x, y, z; x, y, z;t) 0
约束方程如果取不等号，则为单面（可解）约束。
f (x, y, z; x, y, z;t) 0(or 0) 完整约束： f (x, y, z;t) 0 ； 不完整： f (x, y, z; x, y, z;t) 0 我们主要研究双面、完整、 稳定约束： f (x, y, z; x, y, z) 0 稳定、理想的约束系统。
分析力学和理论（牛顿）力学的差异： 牛顿力学：主要以几何的方法，着重质点的受力。 分析力学：主要以数学分析的方法，着重在质点的功。

5.1 分析力学基本概念 现代物理导论I
（一）约束、约束的分类
一群质点的集合，如果其中有相互作用，以至每 一个质点的运动都和其它质点的位置和运动有关，则 这种集合体叫力学体系，或简称体系。
拉格朗日（法国）于1788年发表名著 《分析力学》，奠定分析力学的基础。
哈密顿（英国） 1834年提出哈密顿 原理和哈密顿正则方程，把分析力学 推进一大步。 1894年德国赫兹提出把约束分为完整 和非完整两大类，开辟了非完整系统 的新纪元。
现代物理导论I
在分析力学方面作出贡献的， 还有莫培督，欧勒、泊松、高 斯和雅科比等人。 近年来，建立的许多学科，如 宇宙力学，自动控制，运动和 过程的控制理论等，都是以分 析力学的基本原理和方法为基 础的。
刚杆
x2+y2=l2
绳
x2+y2 l2
现代物理导论I
2、完整约束和不完整约束
限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为完整（几
何）约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制
条件都是完整约束。 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约
束条件称为不完整（微分）约束。
y
例、两质点 (x1, y1) ， (x2 , y2 ) 用长
现代物理导论I
现代物理导论 第五章分析力学方程
第五章 分析力学
1、分析力学基本概念 2、虚位移原理 3、动力学普遍方程 4、拉格朗日方程 5、哈密度正则方程 6、泊松括号与泊松定理 7、哈密顿原理 8、正则变换
现代物理导论I
前言
现代物理导论I
（一）分析力学的历史和现状
18世纪以来，机械工业的大发展提出了大量的新 的力学问题，这些问题主要特点是需要处理由相互约 束的物体组成的系统。
现代物理导论I
（二）广义坐标、速度、加速度 （1）广义坐标 凡是能确定力学系统位置的适当选取的独立变
量都叫广义坐标。 这些独立变量的数目叫力学体系的自由度。广义
坐标比笛卡儿坐标意义更广泛，可以是距离，角度， 面积，体积，电极化强度以及其它量。特别的，曲线 坐标如极坐标、柱坐标、球坐标都可以作广义坐标。