第五章分析力学

0
如 : x a 0
y
m
o a C
x
x
6
2）稳定约束和不稳定约束
稳定约束：限制体系位置的约束不是时间的函数 f (x, y, z) 0
不稳定约束：限制体系位置的约束是时间的函数 f (x, y, z, t) 0
o
o点固定不动
o
v0
l
x2 y2 l2
l (x v0t)2 y2 l 2
nm
xi xi (q1, q2,L qs ,t)
yi
yi (q1, q2,L
qs ,t)
zi zi (q1, q2,L qs ,t)
或 rvi rvi (q1, q2 L qs ,t)
称q1, q2…qs为广义坐标
i 1, 2,3,L n s 3n
注：21））确qqαα定可不体自一系由定的选是位取线置，量，不选一择定不是止3n一中种的。s个，但必须方便 3）几何约束下，独立坐标数=自由度=广义坐标数=3n-k 10
§5.2虚功原理
s
一、实位移和虚位移
z
x
dr
dfx1i(t),dyyjfd2 z(tk),z(f1if3(tf)2 j
f3k)dt
P(x,y,z)
dt 0,则dr 0
o
dr为实位移
x
虚位移：在约束许可下，某一时刻质点可能发生的微小位移
r
y
说明：
(1). 虚位移的产生不需要时间dt=0, 而实位移必须有时间间隔；
例: 冰面上滑行的冰刀的简化模型. 假定将冰刀抽象为以刚性轻
杆相连的两个质点,并设两质点质量相等, 杆长为l, 当冰刀在冰面
上运动时, 质心(杆的中点)的速度
y
只能沿杆的方向. 选两质点在冰面
B
上的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，
y2
则约束条件为
x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2
(2). 只要满足约束条件，虚位移可能不止一个；
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r2 r1r3
r2
m
r1
(3). 对于稳定约束，实位移是虚位移中的一个； 对于不稳定约束，实位移不在虚位移之列.
m r2 dr
r1
dr P’ f(x,y,z,t+dt)
δr
P f(x,y,z,t)
t 时刻
t+dt 时刻
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二、理想约束 1.虚功：质点受到的力在 任意虚位移上的功 Fr w 称为虚功
约束方程： f (x, y, z, x, y, z,t) 0
如：小虫在吹着的气球上运动，x 2 y 2 z 2 (R0 t)2
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3.分类：
1)几何约束和运动约束
仅限制体系位置——几何约束
f (x, y, z,t) 0
不仅限制位置，且限制速度——运动约束，或称微分约束
f
(r ,
r, t )
2. 理想约束：力学体系受到诸约束力，在任意虚位移上
元功之和为零，这种约束叫理想约束。
即
Ri
ri
0
（Ri为第i个质点受约束力的合力）
r1
1
3. 常见理想约束
1)光滑曲面，曲线
N
r
f
h
N
r
0
fr 0
3)不可伸长的轻绳
N
r
0
N n r
N21N)刚2r1性(rN杆2 2rr12)
N2
n N1
n 2r2
N2 (r2 cos2
4)光滑铰链
NA
r
NB
r
(NA
NB
)
r
0
r1 cosr1)
C NA
A
1B3
0 NB
三、 虚功原理：
1.表述：受理想稳定约束的体系处于平衡的充要条件是，
在任何虚位移上所有主动力的虚功之和等于零
2. 证明: a. 必要性
n
Fi
ri
0
i1
（1）
有一受k个稳定的约束体系，处于平衡状态，对每一质点均有
1843年：哈密顿原理。
其它人的贡 献：如莫培 督、欧拉、 高斯、雅科
毕等人
Lagrange(拉格朗日)
2
分析力学：以变分原理为基础，以动能和势能为基本量，从力学 体系的一切可能运动中寻找真实运动的学科
变分原理
虚功原理 达朗伯原理 哈密顿原理
一切可能运动：指力学体系在约束许可下可能存在的运动
基本量均是标量
x1 l1 cos x2 l2 cos l1 cos y1 l1 sin y2 l2 sin l1 sin
独立变量：， 9
自由度：确定一力学体系的运动（或位形）所需求的独立 坐标变量个数，叫体系的自由度。
广义坐标：
若体系有k个完整约束，则有3n-k个独立坐标，引进s个 独立坐标q1, q2…qs
第五章 分析力学
§5.1 约束与广义坐标 §5.2 虚功原理 §5.3 拉格朗日方程 §5.5 哈密顿正则方程 §5.6 泊松括号与泊松定理 §5.7哈密顿原理
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§5.0 引言
拉格朗日:1788年:《分析力学》. 全书没有一张图, 是完全用数 学分析来解决所有的力学问题. 哈密顿:1834年：哈密顿正则方程；
如何选择
O
y
x2 1
y2 1
ห้องสมุดไป่ตู้
l2
1
,
独立坐标？
l1 m1 (x1, y1)
( x2
x1 )2
( y2
y1 )2
l2 2
① y1, y2
x1 l12 y12 ;
② x1, x2
x2 l22 ( y2 y1)2
l12 y12 x
l2
m2 (x2 , y2 )
③ x1, y2 ④ y1, x2
m n
3）可解和不可解约束 f (x, y, x, t) 0
O
x
x2 y2 z2 l2
L
O
x
A y
A
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y
4）完整约束和非完整约束
完整约束：几何约束和可积的运动约束 f (x, y, z, t) 0
非完整约束：不可积的运动约束 f (x, y, z, x, y, z, t) 0
完整体系，非完整体系
y1
A vA
O
x1
8
x2
x
二、自由度、广义坐标
n个质点系统由n个位矢rl, r 2, …, rn确定，或由N＝3n个直角坐
标，(x1，yl，z1) , …, (xn，yn，zn)表示. 如果该系统存在k个完
整约束:
f (xi , yi , zi , t) 0,
( 1,2,...,k)
独立坐标个数：3n-k
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矢量力学和分析力学的区别与联系
矢量力学 隔离法 方程个数：3n+k
基本r,量F为,矢v量, a：, p
真实运动
分析力学 力学体系 方程个数：3n-k 基本量为标量： T, V, H, L, Q
可能运动
更容易推广到其它分支学 科，特别是多粒子体系。
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§5.1约束与广义坐标
一、约束及分类 1 . 力学体系：有相互作用的大量质点组成的体系。 自由体系：力学体系的运动状态完全由主动力和初始条件决定 非自由体系：力学体系的运动状态受某些预先给定的几何上 或运动学上的限制。 2. 约束：加在体系上限制其运动（位置和速度）的条件。