古典概型解题思路分析—— 排列与组合综合应用

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中非常重要的一个知识点，同时也是考试中经常出现的题型。

古典概型是指在某个事件中，样本空间中的每个元素都有相同的概率出现。

在古典概型题中，常见的几种问题包括排列、组合、分配等，不同类型的问题需要使用不同的解题技巧。

下面我们将介绍一些古典概型问题的解题技巧。

一、排列问题的解题技巧排列是指n个不同元素按照一定顺序取出r个，这个过程叫做排列。

对于排列问题，我们可以使用以下几种解题技巧：1. 直接计算法：当n和r较小的时候，我们可以直接利用排列的定义来进行计算。

有5张纸牌，要从中取出3张纸牌进行排列，共有5*4*3=60种排列方法。

2. 公式法：当n和r较大的时候，直接计算可能会比较麻烦，可以使用排列的公式进行计算。

排列的计算公式为Anr=n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。

3. 分类讨论法：有些排列问题并不是直接套用公式就能解决的，这时我们可以采用分类讨论的方法。

从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行排列，可以分为以A开头的排列、以B开头的排列、以C开头的排列和以D开头的排列四种情况来进行讨论计算。

3. 排列与组合的关系：有时候我们需要求解组合问题，但是可以先通过排列问题进行计算，再通过排列与组合的关系进行转化。

从A、B、C、D四个字母中取出3个字母进行组合，可以先求出排列的个数，再通过排列与组合的关系计算出组合的个数。

1. 划分法：当分配的元素数目是不受限制的时候，我们可以使用划分法进行计算。

划分法是指将n个不同的元素分成r份，每份可以有0个或者多个元素，然后按照不同的划分方法进行计算。

2. 公式法：有些分配问题可以通过公式进行计算，例如将n件商品分给r个人，每个人可以得到不同数目的商品，可以使用分配的公式进行计算。

3. 排列组合法：有些分配问题可以通过排列组合的方法进行计算，例如将n个人分配到r个小组中，可以先通过排列计算出所有可能的分配情况，再通过组合计算出符合条件的分配情况。

专题一排列与组合应用题一、知识提要1.排列与组合应用题，是高考的常见题型，且与后面学习的古典概型问题联系密切。

高考中重点考查有附加条件的应用问题，解决的方法主要从以下三个方面考虑：(1)以元素为主，特殊元素优先考虑（2）以位置为主，特殊位置优先考虑（3）间接法：暂不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合条件的情况。

2.排列组合综合问题一般思路：先组合后排列，即先选元素后排列，同时注意按性质分类或按时间的发生过程分步。

3.解决首先纸条的排列、组合问题的一般策略有：（1）特殊元素优先考虑安排的策略；（2）正难则反，等价转化的策略；（3）相邻问题捆绑处理策略；（4）不相邻问题插空处理策略；（5）定序问题、平均分组问题除法策略；（6）“小集团”排列问题宪政体后局部策略；（7）分排问题直排处理策略；（8）构造模型的策略。

二、典型问题（一）排队问题例1.4男3女坐在一排，分别求下列各种排法的种数（1）某人必须在中间（2）某两人必须站在两端（3）某人不在中间和两端（4）甲不在最左端且乙不能在最左端（5）甲乙两人必须相邻（6）甲乙两人不能相邻（7）甲乙两人必须相隔1人（8）4男必须相邻，3女也必须相邻（9）3女不能相邻（10）甲必须在乙的左边（11）4男不等高，按高矮顺序排列点评：排队问题中常分为“在和不在”、“邻与不邻”、“顺序固定”等问题。

变式练习：1、四个人参加一次聚会，若任意两人不同是到场，则甲比乙先到的情况有＿＿种，若甲乙丙三人中甲先到，其次是乙，丙最后到的情况有＿＿＿种。

2、三名男歌手，两名女歌手联合举行一场音乐会，演出的出场顺寻要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，不同的出场顺序有＿＿＿种。

3、有6名同学参加了演讲比赛，决出了第一至第六的名次，评委告诉甲，乙两位同学“你们都没有拿到冠军，但甲不是最差”则这6名同学的排名顺序有＿＿＿种。

（二）分组问题：1．弄清是否为平均分租，若是平均分组，则需用除法策略２．分组后是否需分配，若分配则需要排列．（先分组在排列）例２．六本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？（１）分成三堆，一堆一本，一堆二本，一堆三本。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧高中数学必修三中的古典概型是概率论中的重要内容之一，也是考试中的常见题型，解题技巧的掌握对于我们正确解题非常重要。

下面将介绍几种解题技巧。

一、排列与组合排列与组合是古典概型中常见的几个基本概念，掌握好它们对于解题非常有帮助。

1. 排列：将若干个不同的元素按照一定的顺序排列成一列，这个过程称为排列。

例如：从字母A、B、C中任取三个字母，按顺序排列，共有3的阶乘种。

2. 组合：从n个不同元素中任取m个，不考虑顺序，这个过程称为组合。

例如：从字母A、B、C中任取两个字母，不考虑顺序，共有3个组合。

二、古典概型的解题步骤古典概型的解题步骤可以分为以下几个步骤：1. 明确问题与假设条件：首先要明确问题的描述和假设条件，理解题意非常重要。

例如：某班有男生10名，女生8名，从中随机选出两名学生，求出两名学生都是男生的概率。

2. 确定事件：根据问题的描述和假设条件，确定所求事件。

例如：确定所求事件为“从10个男生中选出两个男生”，记为A事件。

3. 确定样本空间：确定样本空间，即实验的所有可能结果的集合。

例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以样本空间为所有可能的组合数，记为S={C(10,2)}。

4. 确定事件A发生的可能数：确定事件A发生的可能数，即满足所求事件的有利组合数。

例如：由于是从10个男生中选出两个男生，所以有利组合数为C(10,2)。

5. 求解所求事件的概率：根据概率的定义，求解所求事件的概率。

例如：所求事件的概率为P(A)=有利组合数/样本空间。

1. 从n个人中随机选出m个人的概率。

解题思路：根据排列与组合的知识，所求事件的概率为C(n,m)/C(n,m)。

3. 从一扑克牌中随机取出一张牌，结果是红桃的概率。

解题思路：所求事件的概率为红桃的数量/总的牌的数量。

四、注意事项在解题过程中，要注意以下几个问题：1. 明确问题的假设条件，理解题意非常重要。

2. 注意样本空间的确定，样本空间是实验中所有可能结果的集合。

排列与组合问题的应用与分析摘要:排列与组合问题是高考常考题型,明确分类与分步，辨别有序与无序以及元素与位置的区别，灵活应用各种方法，是正确有效解决问题的关键.关键词：排列与组合，分类与帆布，有序与无序，元素与位置，方法1. 引言与约定1.1 引言排列与组合问题是高中数学教学中的一个重要部分，也是高考常考题型。

其中，明确问题是分类还是分布，辨别其中的元素排列是有序还是无序，界定事物是元素还是位置，对于正确解答问题相当重要；而灵活运用各种思想方法，如“分类讨论思想”“等价转化思想”“捆绑法"“插空法”“插板法”,能使得问题解答得更快速便捷；直接法与间接法的正确运用，也能使疑难迎刃而解。

1.2 约定m n A =!!m n =n*（n-1)＊（n —2）*…＊(n —m+1） mn C =m m m n A A =n ＊（n-1)＊(n-2)*…＊（n —m+1）m!=n!m!（n —m)！2. 基本概念和原理两个基本原理（1） 分类基数原理 做一件事，完成它可以有n 类方法,在第一类办法中有m1种不同的方法，在二类办法种有m2种不同方法，…，在n 类办法中有nm 种不同办法,那么完成这件事共有N=n m m m+++ 21种不同的方法. （2） 分布计数原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第二有m2种不同方法，……，做第n 步有nm 种不同的方法。

3. 排列组合问题中须明确区别的几个常见问题、解题步骤及解题方法3.1 须明确区别的几个问题3.1.1 分类与分布（1）分类：“做一件事，完成它可以有n 类方法” 复杂事件A 的排列与组合问题，需要对A 在一个标准下分类讨论，把A 分解为n 类简单问事件A1,A2，A3，…,An 。

分类的原则是:A=nA A A ⋃⋃⋃ 21 Ai ⋂Aj =Φ(i ≠j ，i 。

j=1,2，…，n ）.在这样的原则下对事件A分类，能够确保使分类不重不漏，把A 分为A1、A2、…、An 的同时,对应的办法S 也随之被分为n 类办法S1,S2，…,Sn且S=S1∪S2∪…∪Sn ，Si ∩Sj ≠φ (i ≠j ，i 。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论中的一种重要概念，它是指一个事件发生的可能性相同且互不影响的情况下，求解概率的问题。

在高中数学的必修三中，我们学习了多种古典概型的解题技巧，下面将针对其中的几种技巧进行详细介绍。

我们来看排列组合的解题技巧。

排列是指从一组对象中按照一定顺序取出若干个对象，组成一个序列的方法数。

组合是指从一组对象中取出若干个对象，组成一个集合的方法数。

在解题中，我们需要灵活运用排列组合的知识，包括使用公式计算，找到适当的切入点，辨别问题中的约束条件等。

在解决选择与安排问题时，我们可以使用乘法原理求解，即把分步进行的多次选择和安排看成一个整体，求整体的方法数。

而在解决分发与邮件问题时，我们可以使用加法原理求解，即将问题划分为多个情况，再将各个情况的方法数相加。

通过灵活运用排列组合的知识，我们可以快速解决各类概率问题。

我们来看事件的互斥与对立的判断。

互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况，对立事件是指两个事件一定有一个发生的情况。

在解题中，我们需要根据问题的描述和事件的性质来判断互斥事件和对立事件。

在解决投掷硬币的问题时，我们可以把事件定义为“正面向上出现”和“反面向上出现”，这两个事件即为对立事件，因为它们一定有一个发生。

而在解决从一个扑克牌中选取一张红色牌的问题时，我们可以把事件定义为“选择一张红桃牌”和“选择一张方块牌”，这两个事件即为互斥事件，因为红桃牌和方块牌不可能同时被选取。

通过正确判断互斥事件和对立事件，我们可以简化概率计算过程，提高解题效率。

我们还要注意事件的独立性和依赖性。

独立事件是指两个事件的发生与否彼此无关的情况，依赖事件是指一个事件的发生与否依赖于另一个事件的情况。

在解题中，我们需要根据问题的描述和事件的性质来判断事件的独立性和依赖性。

在解决从一个扑克牌中选择两张黑桃牌的问题时，如果我们选择完第一张黑桃牌后，放回去再选择第二张黑桃牌，那么这两个事件是独立的，因为第一张黑桃牌的选择不会影响第二张黑桃牌的选择。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是高中数学必修三中的重要内容，也是我们生活中经常会用到的思维模式。

在解题时，可以运用一些特定的技巧来简化问题，提高解题效率。

下面就是古典概型的一些解题技巧，希望能帮助大家更好的掌握这一知识点。

一、排列组合原理在解古典概型的问题时，我们可以运用排列组合原理。

排列是指从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的次序排成一列。

排列的计算公式是A(n,m) = n!/(n-m)!，其中“！”表示阶乘。

运用排列组合原理可以帮助我们简化问题，快速计算出结果，提高解题效率。

还可以将问题转化为排列或组合的形式，从而更容易求解。

二、分步计数法在解古典概型的问题时，我们可以运用分步计数法。

分步计数法是一种将问题分解成几个简单子问题，然后计算每个子问题的结果并求和的方法。

通过分解问题，我们可以更容易地求解复杂的古典概型问题。

当问题中存在多个步骤或多个子问题时，我们可以首先计算每个步骤或子问题的结果，然后将它们的结果相乘或相加，得到最终的解答。

这样可以大大简化问题，提高解题效率。

三、利用对立事件在解古典概型的问题时，我们可以运用对立事件的方法。

对立事件是指与某事件相对立的另一个事件。

在古典概型中，我们可以利用对立事件的思维模式，简化问题，提高解题效率。

四、利用分组思想在解古典概型的问题时，我们可以运用分组思想。

分组思想是指将问题中的元素按照某种特定的规则进行分组，从而简化问题，提高解题效率。

五、利用概率加法和乘法规则在解古典概型的问题时，我们可以运用概率加法和乘法规则。

概率加法和乘法规则是指根据问题中的不同情况，运用加法或乘法规则来计算概率的方法。

概率加法规则是指当事件A和事件B互斥时，它们的概率之和等于它们的并集的概率。

概率乘法规则是指当事件A和事件B相互独立时，它们的概率之积等于它们的交集的概率。

利用概率加法和乘法规则可以帮助我们简化问题，快速计算出结果，提高解题效率。

通过将问题分解成不同情况，然后分别计算每种情况的概率，并用加法或乘法规则求解最终的概率。

数学复习排列与组合问题的解题技巧与实例分享一、引言数学中的排列与组合问题在高中和大学阶段经常出现，是数学复习中的重点之一。

掌握解题技巧对于应对这类问题非常重要。

本文将分享一些解题技巧，并结合实例进行详细说明。

二、排列与组合的基本概念1. 排列排列是指从给定的元素集合中取出若干元素按照一定的顺序排列，形成不同的序列。

排列问题可以分为有重复元素和无重复元素的情况。

- 无重复元素的排列：从n个不同元素中取出r个元素进行排列，排列的种数用P(n, r)表示。

- 有重复元素的排列：从n个元素中取出r1个相同的元素，r2个相同的元素，...，rk个相同的元素进行排列，排列的种数用P(n; r1, r2, ..., rk)表示。

2. 组合组合是指从给定的元素集合中取出若干元素不考虑顺序的组合方式。

组合问题同样可以分为有重复元素和无重复元素的情况。

- 无重复元素的组合：从n个不同元素中取出r个元素进行组合，组合的种数用C(n, r)表示。

- 有重复元素的组合：从n个元素中取出r1个相同的元素，r2个相同的元素，...，rk个相同的元素进行组合，组合的种数用C(n; r1, r2, ..., rk)表示。

三、排列与组合问题的解题技巧1. 理解题意在解题过程中，首先要理解题意，明确给定的条件和问题要求。

根据题目所描述的具体情形，确定是要求排列还是组合，以及所涉及的元素个数。

2. 使用数学公式根据问题的具体情况，运用排列组合的基本公式来解决问题。

对于排列问题，使用排列公式计算排列的种数；对于组合问题，使用组合公式计算组合的种数。

3. 分解问题有时候，一个排列或组合问题可以转化为多个小问题的组合。

通过分解问题，可以简化解题的过程。

将整个问题划分为子问题，逐一解决，最后将得到的结果进行组合。

4. 注意特殊情况在解题过程中，要注意考虑特殊情况。

例如，当n和r相等时，即n个元素中取出n个元素进行排列或组合时，排列和组合的种数都只有1种。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧1、排列组合问题古典概型中的排列组合问题是指从 n 个不同元素中取 r 个元素，考虑元素之间的排列或不考虑排列，求其组合数或排列数。

1.1 组合数设有 n 个不同元素，则从中取出 r 个元素的组合数为 C(n,r)。

其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!×(n-r)!)例如，从 5 个不同字母中取出 3 个，不考虑排列方式，其组合数为：C(5,3)=5!/(3!×2!)=101.2 排列数2、二项式定理二项式定理是代数中的重要定理，它可以将一个二项式的幂展开为多项式。

二项式定理可以推广到实数、复数或矩阵等范畴中，但本文中仅考虑其在古典概型中的应用。

2.1 二项式定理的基本形式(a+b)^n=C(n,0)×a^n+C(n,1)×a^(n-1)b+⋯+C(n,k)×a^(n-k)b^k+⋯+C(n,n)×b^n其中，a、b 是任意实数，n 是任意非负整数，C(n,k) 为组合数。

二项式定理可以用于求和式，其中最常见的是求幂和式，例如：1+2+3+⋯+n=?分析该式，可将其改写为：再利用二项式定理，展开为多项式：(1+1)^2-(1^2)=2^2-(2^2)+3^2-(3^2)+⋯+n^2-(n-1)^2整理后得到：当从 n 个元素中取出 r 个元素，并排列时，元素可重复，其排列数为 n^r。

4^3=644、贝努利试验和二项分布贝努利试验是实验条件非常简单的一类随机试验，其特点是只有两个可能的结果，例如正反面、违法合法等。

二项分布是指对 n 次独立的贝努利试验中，成功次数的统计分布。

4.1 贝努利试验在贝努利试验中，设试验只有两个可能的结果，其中一个记作成功，发生的概率为 p，另一个记作失败，发生的概率为 q=1-p。

则进行 n 次独立的贝努利试验，设成功的次数为 X，则 X 的可能取值为 0 到 n，其分布律为：P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)，k=0,1,2,⋯,n其中 P(X=k) 表示成功 k 次的概率，C(n,k) 表示从所有试验中取出 k 次成功的组合数。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧
在高中数学必修三中，古典概型是一个非常重要的概念。

古典概型是指一个实验中所有可能的元素都是等概率发生的，且实验间相互独立的情况。

解题时，可以使用以下几种技巧：
1. 树形图法：树形图法是一种直观的解题方法，可以清晰地展示出实验的过程和每个事件的发生情况。

将实验的每个步骤用树状结构表示出来，然后根据题目给出的条件计算出每个事件的概率，最后求出所需的概率。

2. 排列组合法：排列组合法是一种常用的解题方法，在古典概型中也可以有效地运用。

对于排列问题，可以使用排列公式计算出不同元素排列的数量；对于组合问题，可以使用组合公式计算出不同元素组合的数量。

根据题目的要求，计算出所需的事件发生的概率。

3. 计数法：在某些情况下，使用计数法可以更简单地解题。

计数法包括乘法原理和加法原理。

乘法原理可以用来求解多个独立事件同时发生的概率，而加法原理可以用来求解至少发生一个事件的概率。

4. 两个集合的关系：在古典概型中，常常涉及到两个集合之间的关系，例如并集、交集、差集等。

通过理解和运用集合的基本运算规律，可以简化解题过程。

特别是当两个集合之间相互独立时，可以直接使用集合的概率计算方法求解。

5. 概率的加法与乘法原理：概率的加法原理指的是当两个事件互斥时，它们的概率相加等于它们各自发生的概率之和；概率的乘法原理指的是当两个事件相互独立时，它们的概率相乘等于它们各自发生的概率之积。

这两个原理是古典概型解题中常用的技巧，可以根据题目条件合理运用。

高中数学必修三古典概型的几种解题技巧古典概型是概率论最基本的概念。

在高中数学必修三中，学生需要学习几种古典概型的解题技巧。

下面将介绍几种常见的技巧。

一、排列组合的概念排列组合是解决古典概型问题的基本工具。

排列是指从n个不同元素中取出m个，按照一定顺序排列的所有可能性的总数，一般用P(n,m)表示。

组合是指从n个不同元素中取出m个，不考虑顺序的所有可能性的总数，一般用C(n,m)表示。

排列和组合的计算公式如下：排列公式：P(n,m) = n × (n-1) × (n-2) × … × (n-m+1) = n!/(n-m)!组合公式：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)其中，!表示阶乘，即连续整数的乘积。

二、基本古典概型1、 n个元素任取m个的排列总数为P(n,m);三、古典概型题目的解题思路1、若A与B、C中任意一件发生必须有A发生，则P(A)=P(B∪C)=P(B)+P(C)-P(BC)。

4、n个元素中任取m个，先按顺序排列，再任意交换其中若干对元素的总数为m!C(n,m)。

1、从m个不同的球中，任意取出n个，将这些球按照一定次序排列，有多少种不同的排列方法。

解：这是一个排列数的问题，总数为P(m,n)。

2、五张牌任选三张，且其中必有一张黑桃，求有几种取法。

解：方法一：先计算黑桃牌的数量，在计算不含黑桃的牌的数量。

从而使用第一种思路计算概率。

方法二：从52张牌中取出含黑桃的牌有13*（C（3，1）+C（3，2）+C（3，3）），总共有C（52，3）种取法。

得到概率为13*(C(3,1)+C(3,2)+C(3,3))/C(52,3)。

3、一个集装箱共有4个托盘，每个托盘中分别放有8个斑马球和4个狮子球，现从中任取4个托盘，求这4个托盘中共有3个托盘都选择了斑马球。

解：这是一个组合数的问题，需要考虑所有含有3个托盘都选择了斑马球的情况和含有4个托盘选择斑马球的情况。