高考一轮复习教案十二(3)排列与组合的综合应用(教师)文科用

高考数学一轮总复习排列与组合应用篇在高考数学中，排列与组合是常见的数学概念，并且在解题中广泛应用。

掌握了排列与组合的基本知识和技巧，对于解答这类题型将会有很大的帮助。

本文将为大家总结一些高考数学中排列与组合的应用技巧和方法。

一、排列的应用排列应用广泛，常见的有带条件的排列、循环排列和固定位置排列三种情况。

1. 带条件的排列带条件的排列是指在某种限制条件下，求出可能性的个数。

例题：有5个红球和4个蓝球，现要将其排成一排，使得任意两个相邻的球颜色不同，求共有多少种排法。

解析：根据题意，我们可以将红球和蓝球交替排列，形成红蓝相间的排列方式。

假设红球的排列为R1R2R3R4R5，蓝球的排列为B1B2B3B4，则问题转化为求解红球和蓝球的排列个数。

根据排列的乘法原则，红球的排列个数为5！，蓝球的排列个数为4！，则带条件的排列个数为5！*4！=2880。

2. 循环排列循环排列是指一组对象按照某种顺序循环摆放的方式。

在某些问题中，循环排列的概念往往比较实用。

例题：有5个不同的字母a、b、c、d、e，要求将这些字母排成一圈，共有多少种不同的排列方式？解析：循环排列是指一组对象按照某种顺序循环摆放。

对于本题，我们可以将5个字母看作一个整体，共有4！种排列方式。

但由于循环，所以每种排列方式实际上对应着5种不同的摆放方式。

因此，循环排列的方式共有4！/5=24种。

3. 固定位置排列固定位置排列是指在固定的位置上放置不同的对象。

这类题目往往需要结合组合的概念来解决。

例题：将5个球放入3个盒子中，每个盒子至少放一个球，共有多少种不同的放法？解析：这是一个典型的固定位置排列问题。

我们可以将问题转化为先将5个球放入3个盒子中，再给每个盒子放至少一个球的问题。

根据排列组合的知识，先将5个球放入3个盒子中的放法有3^5种。

然而，这并不包括每个盒子至少放一个球的情况。

由于每个盒子至少放一个球，我们可以将一个球放入每个盒子中，然后再将剩下的2个球放入3个盒子中。

高中数学教案：排列与组合一、教学目标：1. 让学生理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。

2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

3. 引导学生运用排列与组合的知识解决生活中的问题，提高学生的数学应用意识。

二、教学内容：1. 排列的概念及计算方法2. 组合的概念及计算方法3. 排列与组合的应用三、教学重点与难点：1. 重点：排列与组合的计算方法，以及它们在实际问题中的应用。

2. 难点：排列与组合的原理理解，以及如何解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解排列与组合的概念。

2. 采用案例分析法，让学生通过实际例子掌握排列与组合的计算方法。

3. 采用问题驱动法，激发学生的思考，提高学生解决问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实际问题，引入排列与组合的概念。

2. 讲解排列与组合的概念，让学生理解它们的含义。

3. 讲解排列与组合的计算方法，让学生掌握计算技巧。

4. 案例分析：通过实际例子，让学生运用排列与组合的知识解决问题。

5. 练习与讨论：让学生进行练习，巩固所学知识，并引导学生进行讨论，分享解题心得。

6. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并引导学生思考排列与组合在生活中的应用。

7. 布置作业：让学生课后巩固所学知识，提高解决实际问题的能力。

六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和讨论，评价学生对排列与组合概念的理解程度。

2. 通过课后作业和实际问题解决，评价学生对排列与组合计算方法的掌握情况。

3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，评价学生的逻辑思维能力和数学应用意识。

七、教学准备：1. 准备相关的生活案例和实际问题，用于引导学生理解和应用排列与组合知识。

2. 准备排列与组合的计算方法讲解PPT，以便进行清晰的教学演示。

3. 准备练习题和讨论题目，用于巩固学生所学知识和促进学生思考。

八、教学反思：1. 反思教学过程中的有效性和学生的参与程度，考虑如何改进教学方法以提高教学效果。

排列、组合、二项式定理2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．3．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．4．掌握二排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识．由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因此学生要学好本节有一定的难度．解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度与课本内容相当．另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题，在高考中也时有出现．第1课时两1．分类计数原理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．2．分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝种不同的方法．3．解题方法：枚举法、插空法、隔板法．(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：（1）48＋50＋52＝150种 （2）48×50×52＝124800种 （3）4150C （4）4150A 变式训练1：在直角坐标x －o －y 平面上，平行直线x=n ，（n=0，1，2，3，4，5），y=n ，（n=0，1，2，3，4，5），组成的图形中，矩形共有（ ）A 、25个B 、36个C 、100个D 、225个解：在垂直于x 轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y 轴的6条直线中任意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有22515152626=⨯=⋅C C 个， 故选D 。

高三新数学第一轮复习教案—排列、组合、二项式定理一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理； 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目；预测2007年高考本部分内容一定会有题目涉及，出现选择填空的可能性较大，与概率相结合的解答题出现的可能性较大。

三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系m n A =)!(!m n n =n ·(n －1)…(n －m+1)；（3）全排列列：n n A =n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：C n m =)!(!!m n m n -=12)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+ m m n ； （3）组合数的性质①C n m =C n n-m；②r n r n r n C C C 11+-=+；③rC n r =n ·C n-1r-1；④C n 0+C n 1+…+C n n =2n ；⑤C n 0-C n 1+…+(-1)n C n n =0，即 C n 0+C n 2+C n 4+…=C n 1+C n 3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n =C n 0a n +C n 1a n-1b+…+C n k a n-k b k +…+C n n b n ；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k ；6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。

一、教学目标1. 掌握分类计数原理及分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题．2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它解决一些简单的问题．3．学会应用数学思想和方法解决排列组合问题． 二、基础知识回顾与梳理1、一般地，从n 个不同的元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

概念说明：（1）元素不能重复；（2）“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键；2、般地，从n 个不同元素中取出m 个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个组合。

概念说明：组合是与位置无关。

3、排列数(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)()321()(1)321n n n n m n m n m n m ---+-⋅⋅=---⋅⋅=!()!n n m -),,(n m N m n ≤∈*且组合数：(1)(2)(1)!m m n nm m A n n n n m C A m ---+== !!()!n m n m =-),,(n m N m n ≤∈*且． 排列数和组合数之间的关系：m n A ＝m n C mm A ⋅【分析与点评】1、排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按照一定顺序”排列，而组合只要取出元素并成一组即可，与顺序无关。

2、区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题。

3、有关排列、组合的混合问题，解题应遵循先选后排的原则。

4、解决有限制条件的排列问题最基本的方法是特殊（元素）优先法、捆绑法、插空法等等。

三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．教学时，要要求学生说出解题方法和过程，特别对错解的同学，要充分暴露他们的错解过程，师生交流讨论中有针对性地点评．2、诊断练习点评题1：某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中一本，则购书方案有_________种．【分析与点评】首先要弄清这是一个简单的分类问题．至少买一本有三种情况，即7332313=++C C C ．本题也可以引导学生从“对立事件”知识进行思考，即三本书一本都不买为03C ，则所求为0317C -=．题2：用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 【分析与点评】问题1：特殊位置是什么？特殊元素是什么？问题2：数字改为0，1，2，3，4，5又如何解决？题3：一天的课表有六节，其中上午4节，下午2节，要安排语文、数学、英语、微机、体育、地理6节课，要求上午第一节不安排体育课，数学课必须安排在上午，微机必须安排在下午，有_________种不同的排课方法？【分析与点评】本小题是典型的排列、组合综合题，一定要审清题意，仔细分析，周密考虑．可以考虑分两种情况讨论，第一种情况，上午第一节安排数学，微机安排在下午共有484412=A A 种排法；第二种情况，上午第一节课不安排数学，也不能安排体育和微机，则这节课只有3种排法，数学只能安排在上午2，3，4节课，微机安排在下午，故共有1083331213=A A A 种排法．所以一共有156种排法．题４：3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是________．【分析与点评】 记三名男生为甲、乙、丙，三名女生为a 、b 、c ，先排男生，若甲在男生两端有4种排法，然后3位女生去插空，排法如ab 甲□丙c 乙 共有4A 23A 12A 13种，若男生甲排在中间，有两种排法，然后女生去插空，排法如ab 乙□甲c 丙 共有2A 23A 24种排法．根据分类计数原理共有4A 23A 12A 13＋2A 23A 24＝288种不同排法． 3、要点归纳（1）我们通过对这4题的分析和讨论，总结了分配问题，分离排列问题的解法，以及排列、组合综合题的解法；（2）解排列、组合综合题，一般应遵循：先组后排的原则；（3）题中，遇到重复和遗漏的问题，一般进行分类讨论，注意分类标准要清晰，所分类型要全面． 四、范例导析例１、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本； （2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本； （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本。

高中数学备课教案排列与组合的计算与应用高中数学备课教案: 排列与组合的计算与应用一、引言在高中数学课程中，排列与组合是一个重要的内容，它涉及到对对象的选择、排列及组合的计算。

本教案将介绍排列与组合的基本概念和应用，并提供一些相关示例和习题，以帮助学生更好地理解和应用此知识。

二、排列与组合的基本概念1. 排列的定义排列是指从一组对象中选取若干元素按照一定的顺序进行排列的方式。

对于n个不同的元素中选取r个元素进行排列，其排列数记作P(n, r)。

2. 组合的定义组合是指从一组对象中选取若干元素按照任意顺序进行组合的方式。

对于n个不同的元素中选取r个元素进行组合，其组合数记作C(n, r)。

三、排列与组合的计算方法1. 排列的计算方法排列数的计算可以利用以下公式：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)...*2*1。

2. 组合的计算方法组合数的计算可以利用以下公式：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)四、排列与组合的应用1. 排列的应用排列的应用广泛存在于我们的生活中。

比如，在某次抽奖活动中，有10个人参与抽奖，但只有3个奖项，那么可以通过排列的思想计算出获奖的可能性。

2. 组合的应用组合的应用也非常广泛。

比如，在班级中选取代表团队，要从40个学生中选择5个代表。

这时就要利用组合的方法来计算不同组合的可能性。

五、习题示例1. 从10个不同的数中选取3个数，计算排列数和组合数。

解答：排列数：P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 10! / 7! = 10*9*8 = 720组合数：C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 10! / (3! * 7!) = 10*9*8 / (3*2*1) = 1202. 在一个班级的30名学生中，选取2名学生作为班长和副班长，计算选择的可能性。

高三语文一轮复习教案5篇作为一名无私奉献的老师，通常需要准备好一份教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。

那么教案应该怎么写才合适呢?以下是小编整理的高三语文一轮复习教案，仅供参考，大家一起来看看吧。

高三语文一轮复习教案1根据语文的学科特点，以集体备课组教研计划为基础，结合学生的实际情况，特别针对上学年教与学的不足，形成了本学期的工作计划。

一、指导思想以语文新课程标准为指导，以学校教学工作计划，高三年级部工作计划为参考，继续推进高中新课改，整体把握课程内容，从语文课程作为基础学科的特征出发，紧紧抓住语文应用能力、审美能力和探究能力的培养，倡导学生“自主、合作、探究”的学习方式,挖掘学生潜能,提高学生素质。

通过考点突破第一轮的复习进一步提升学生的语文素养，扎实、稳步地推进高中语文新课程的实施。

扎实打好基础，积极备考。

二、教学目标及工作任务(一)教学目标1.立足于把学生培养成有血有肉、有思想有情感的人，引导学生形成健康向上的人格。

2.提高学生的语文学习兴趣，提升学生的文化品位、审美能力、探究能力、知识视野和精神境界，引导学生热爱汉语，热爱中华文化。

3.培养学生的语文学习习惯，让他们掌握科学的语文学习方法，提升他们的语文能力，为考试奠定坚实的基础。

(二)主要的工作任务1.提高学生的语文学习兴趣，继续规范学生的学习语文行为，促进学生快乐自觉地学习语文。

2.根据学生情况，有针对性地开展教学工作，争取高效完成本期的教学任务，提升学生语文能力，增强他们的语文素养。

3.加强基础练习，改进练习方式，提高学生考试成绩。

三、教学工作(1)教学内容及时间安排：第1周：正确使用词语(包括熟语)，重点讲成语第2周：辨析并修改病句第3周：扩展语句，压缩语段;选用、仿用、变换句式第4周：正确运用常见的修辞手法;语言表达简明、连贯、得体、准确、鲜明、生动第5周：阅读评价中外新闻、报告和科普文章第6周：理解常见文言实词的意义及虚词的用法第7、8周：理解与现代汉语不同的句式;理解与现代汉语不同的用法第9周：筛选文言文信息第10周：归纳内容要点，概括中心意思;分析概括作者在文中的观点态度第11周：半期考试，分析总结第12周：翻译文言句子及文言语段断句第13周：鉴赏诗歌形象第14周：鉴赏诗歌语言第15周：鉴赏诗歌的表达技巧第16周：评价诗歌的思想内容及作者观点态度第17周：阅读一般论述类文章第18周：阅读鉴赏中外小说第19周：阅读鉴赏中外小说第20周：阅读鉴赏中外散文第21周：阅读评价中外传记第22、23周：作文专题训练及期终考试以上时间安排并非固定，在教学过程中可作适当调整。

高中数学排列与组合教案教学目标：1. 理解排列与组合的概念。

2. 能够应用排列与组合的知识解决实际问题。

3. 提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 排列的概念及其性质。

2. 组合的概念及其性质。

3. 排列与组合的应用。

教学过程：第一课时：1. 引入排列与组合的概念，通过实际例子引发学生对排列与组合的认识。

2. 讲解排列的定义和性质，例如排列中元素不重复出现的特点。

3. 给学生布置一些排列练习题，让他们熟悉排列的运算方法和规律。

第二课时：1. 复习排列的概念和性质。

2. 讲解组合的定义和性质，例如组合中元素可重复出现的特点。

3. 给学生布置一些组合练习题，让他们熟悉组合的运算方法和规律。

第三课时：1. 复习排列与组合的概念和性质。

2. 讲解排列与组合的应用，例如在排队、选做题目等实际问题中的运用。

3. 给学生布置一些综合排列与组合的练习题，让他们能够灵活运用排列与组合的知识解决问题。

教学反馈：1. 对学生在排列与组合方面的理解进行总结和反馈。

2. 引导学生思考排列与组合在日常生活中的应用，并展开讨论。

教学评价：通过作业、课堂表现和练习题的表现评价学生对排列与组合的掌握程度和应用能力。

教学延伸：鼓励学生深入学习排列与组合知识，并拓展到更高级的数学领域，如概率论等。

教学资源：教科书、课件、练习题。

教学提醒：教师应注意引导学生通过实例来理解排列与组合的概念，激发学生的学习兴趣和思考能力。

同时，要关注学生的学习状态，及时调整教学方法，确保学生的学习效果。

10.6.2 排列与组合1．理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题．『梳理自测』一、排列1．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有()A．180种B．360种C．15种D．30种2．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88C29C．A88A27D．A88C27『答案』1.B 2.A◆以上题目主要考查了以下内容：(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！，排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！n－m！，这里规定0！＝1.二、组合1．C14＋C25＋…＋C1720等于()A．C1721B．C1721－1C．C1821－1 D．C18212．一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为()A．C34·C44B．C38－C34C．2C14·C24＋C34D．C38－C34＋13．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．『答案』1.B 2.D 3.14◆以上题目主要考查了以下内容：(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！n－m！＝n n－1n－2…n－m＋1m！，由于0！＝1，所以C0n＝1.(4)组合数的性质：①C m n＝C n－mn __；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.『指点迷津』1．一个区别排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．2．两个公式(1)排列数公式A m n＝n！n－m！(2)组合数公式C m n＝n！m！n－m！，利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数．①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．考向一排列问题(2014·金华联考)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻．『审题视点』本题是排队问题，以人或以位置分析其特殊性、优先考虑，选取合适的方法：捆绑法、插空法、间接法等．『典例精讲』(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种)．(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种)．法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种)．(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种)．(5) (插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种)．『类题通法』解决排列类应用题时，对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”(特殊元素后考虑)；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”(特殊元素先考虑)．1．六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站在两端；(2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻；(4)甲、乙之间恰有两人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人顺序已定．『解析』(1)A25A44＝480.(2)A22A55＝240.(3)A44A25＝480.(4)A22A24A33＝144.(5)A66－2A55＋A44＝504.(6)A36＝120.考向二组合问题某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？『审题视点』要注意分析特殊元素是“含”、“不含”、“至少”、“至多”．『典例精讲』(1)共有C318＝816(种)．(2)共有C518＝8 568(种)．(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C418＋C318＝6 936(种)．(4)(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C520－(C512＋C58)＝14 656(种)．『类题通法』(1)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．2．从7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数．(1)A，B必须当选；(2)A，B不全当选．『解析』(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，有C310＝120(种)．(2)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，故A，B不全当选有C512－C310＝672(种)．考向三分组分配问题按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本； (3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本； (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．『审题视点』 本题是分组分配问题，要注意区分平均、不平均分组或分配的区别与联系．『典例精讲』 (1)无序不均匀分组问题．先选1本，有C 16种选法；再从余下的5本中选2本，有C 25种选法；最后余下3本全选，有C 33种选法．故共有C 16C 25C 33＝60(种)．(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C 16C 25C 33A 33＝360(种)．(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C 26C 24C 22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB ，CD ，EF )，则C 26C 24C 22种分法中还有(AB ，EF ，CD )，(CD ，AB ，EF )，(CD ，EF ，AB )，(EF ，CD ，AB )，(EF ，AB ，CD )，共有A 33种情况，而这A 33种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C 26C 24C 22A 33＝15(种)．(4)有序均匀分组问题． 在(3)的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 26C 24C 22A 33·A 33＝C 26C 24C 22＝90(种)． (5)无序部分均匀分组问题．共有C 46C 12C 11A 22＝15(种)．(6)有序部分均匀分组问题． 在(5)的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 26C 12C 11A 22·A 33＝90(种)． (7)直接分配问题．甲选1本，有C 16种方法；乙从余下的5本中选1本，有C 15种方法，余下4本留给丙，有C 44种方法，故共有分配方式C 16C 15C 44＝30(种)．『类题通法』 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；有序分组要在有无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数．3．4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？『解析』(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C14C24C13×A22＝144(种)．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．排列、组合问题的解答方法(2013·高考全国大纲卷)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)『方法分析』①题目条件：6个元素全排，其中特殊元素，甲、乙不相邻．②解题目标：求排法总数．③关系探究：(ⅰ)甲、乙不相邻，即甲、乙中间有人，让甲、乙两人插入别人之间——插空法．(ⅱ)6人的全排中只有两类：甲、乙相邻或不相邻先确定甲、乙相邻的排法，则剩下的为所求．『解答过程』方法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A44种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A25种不同的方法．故所有不同的排法共有A44·A25＝24×20＝480(种)．方法二：6人排成一排，所有不同的排法有A66＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有A 55A 22＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．『答案』 480『回归反思』 解决排列类应用题的主要方法 (1)直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；(2)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列；(4)插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；(5)分排问题直排处理的方法；(6)“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；(7)定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．1．(2013·高考山东卷)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20『解析』选C.利用排列知识求解．从1,3,5,7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列数为A 25＝20，但lg 1－lg 3＝lg 3－lg 9，lg3－lg 1＝lg 9－lg 3，所以不同值的个数为20－2＝18，故选C.2．(2013·高考北京卷)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．『解析』先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中有2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A 44种，因此共有不同的分法4A 44＝4×24＝96(种)．『答案』963．(2013·高考广东卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．(用数字作答)『解析』利用排列组合知识列式求解． 由题意知，所有可能的决赛结果有 C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)． 『答案』604．(2013·高考重庆卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________________________________________________________________________ (用数字作答)．『解析』根据计数原理合理分类，还要注意每一类中的合理分步．分三类：①选1名骨科医生，则有C13(C14C35＋C24C25＋C34C15)＝360(种)；②选2名骨科医生，则有C23(C14C25＋C24C15)＝210(种)；③选3名骨科医生，则有C33C14C15＝20(种)，∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360＋210＋20＝590.『答案』590。

排列与组合问题的应用与分析摘要:排列与组合问题是高考常考题型,明确分类与分步，辨别有序与无序以及元素与位置的区别，灵活应用各种方法，是正确有效解决问题的关键.关键词：排列与组合，分类与帆布，有序与无序，元素与位置，方法1. 引言与约定1.1 引言排列与组合问题是高中数学教学中的一个重要部分，也是高考常考题型。

其中，明确问题是分类还是分布，辨别其中的元素排列是有序还是无序，界定事物是元素还是位置，对于正确解答问题相当重要；而灵活运用各种思想方法，如“分类讨论思想”“等价转化思想”“捆绑法"“插空法”“插板法”,能使得问题解答得更快速便捷；直接法与间接法的正确运用，也能使疑难迎刃而解。

1.2 约定m n A =!!m n =n*（n-1)＊（n —2）*…＊(n —m+1） mn C =m m m n A A =n ＊（n-1)＊(n-2)*…＊（n —m+1）m!=n!m!（n —m)！2. 基本概念和原理两个基本原理（1） 分类基数原理 做一件事，完成它可以有n 类方法,在第一类办法中有m1种不同的方法，在二类办法种有m2种不同方法，…，在n 类办法中有nm 种不同办法,那么完成这件事共有N=n m m m+++ 21种不同的方法. （2） 分布计数原理做一件事，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第二有m2种不同方法，……，做第n 步有nm 种不同的方法。

3. 排列组合问题中须明确区别的几个常见问题、解题步骤及解题方法3.1 须明确区别的几个问题3.1.1 分类与分布（1）分类：“做一件事，完成它可以有n 类方法” 复杂事件A 的排列与组合问题，需要对A 在一个标准下分类讨论，把A 分解为n 类简单问事件A1,A2，A3，…,An 。

分类的原则是:A=nA A A ⋃⋃⋃ 21 Ai ⋂Aj =Φ(i ≠j ，i 。

j=1,2，…，n ）.在这样的原则下对事件A分类，能够确保使分类不重不漏，把A 分为A1、A2、…、An 的同时,对应的办法S 也随之被分为n 类办法S1,S2，…,Sn且S=S1∪S2∪…∪Sn ，Si ∩Sj ≠φ (i ≠j ，i 。

高中数学教案：排列与组合一、教学目标1. 理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。

2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作学习、积极探究的精神。

二、教学内容1. 排列的概念与计算方法2. 组合的概念与计算方法3. 排列与组合的应用4. permutation 和bination 的概念与计算公式5. 排列与组合在实际问题中的应用案例。

三、教学重点与难点1. 重点：排列与组合的概念、计算方法及应用。

2. 难点：排列与组合的计算公式推导及应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究排列与组合的规律。

2. 利用实例分析，让学生体会排列与组合在实际问题中的应用。

3. 采用小组讨论法，培养学生的合作意识与团队精神。

五、教学过程1. 导入新课：通过生活中的一些实例，引入排列与组合的概念。

2. 讲解排列与组合的定义及计算方法：讲解排列的概念、计算方法，引导学生理解排列的意义；讲解组合的概念、计算方法，让学生掌握组合的计算技巧。

3. 练习与巩固：布置一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，加深对排列与组合的理解。

4. 应用拓展：分析一些实际问题，让学生运用排列与组合的知识解决实际问题。

5. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生反思自己在学习过程中的收获与不足。

教案参考示例：一、教学目标1. 理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。

2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作学习、积极探究的精神。

二、教学内容1. 排列的概念与计算方法2. 组合的概念与计算方法3. 排列与组合的应用4. permutation 和bination 的概念与计算公式5. 排列与组合在实际问题中的应用案例。

三、教学重点与难点1. 重点：排列与组合的概念、计算方法及应用。

2. 难点：排列与组合的计算公式推导及应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究排列与组合的规律。

2021年高考数学一轮复习 10.4 排列与组合的综合问题教案●知识梳理1.排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合问题的基本思维是“先组，后排”.2.解排列组合的应用题，要注意四点：（1）仔细审题，判断是组合问题还是排列问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步.（2）深入分析、严密周详，注意分清是乘．还是加．，既不少也不多，辩证思维，多角度分析，全面考虑，这不仅有助于提高逻辑推理能力，也尽可能地避免出错.（3）对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决.（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看是否相同.在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复.●点击双基1.（xx年福建，理6）某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为A.ACB.ACC.AAD.2A解析：将4名学生均分成两组，方法数为C，再分配给6个年级中的2个，分配方法数为A，∴合要求的安排方法数为C·A.答案：B2.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为A.24B.48C.120D.72解析：若不含A，则有A种；若含有A，则有C·C·A种.∴A+C·C·A=72.答案：D3.5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为A.480B.240C.120D.96解析：先把5本书中的两本捆起来（C），再分成四份（A），∴分法种数为C·A=240.答案：B4.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_____________个.（用数字作答）解析：①四位数中包含5和0的情况：C·C·（A+A·A）=120.②四位数中包含5，不含0的情况：C·C·A=108.③四位数中包含0，不含5的情况：CCA=72.综上，四位数总数为120+108+72=300.答案：3005.市内某公共汽车站有10个候车位（成一排），现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有_____________种.（用数字作答）解析：把四位乘客当作4个元素作全排列有A种排法，将一个空位和余下的4个空位作为一个元素插空有A种排法.∴A·A=480.答案：480●典例剖析【例1】从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法?解法一：问题分成三类：（1）甲、乙两人均不参加，有A种；（2）甲、乙两人有且仅有一人参加，有2C（A－A）种；（3）甲、乙两人均参加，有C（A－2A＋A）种.故共有252种.解法二：六人中取四人参加的种数为A，除去甲、乙两人中至少有一人不排在恰当位置的有C A种，因前后把甲、乙两人都不在恰当位置的种数A减去了两次.故共有A－C A ＋A=252种.评述：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种方法处理.【例2】对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?解：C（CC）A=576，第5次必测出一次品，余下3件在前4次被测出，从4件中确定最后一件品有C种方法，前4次中应有1正品、3次品，有CC种，前4次测试中的顺序有A种，由分步计数原理即得.评述：本题涉及一类重要问题，即问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列.思考讨论用类似的方法，讨论如下问题.某种产品有5件不同的正品，4件不同的次品，现在一件件地进行检测，直到4件次品全部测出为止，则最后一件次品恰好在第6次检测时被测出，这样的检测方案有多少种？提示：问题相当于从10件产品中取出6件的一个排列，第6位为次品，前五位有其余3件次品，可分三步：先从4件产品中留出1件次品排第6位，有4种方法；再从5件正品中取2件，有C种方法；再把3件次品和取出的2件正品排在前五位有A种方法.所以检测方案种数为4×C·A=4800.【例3】在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？解：依题意，A、B两种作物的间隔至少6垄，至多8垄.（1）间隔6垄时，有3×A 种；（2）间隔7垄时，有2×A种.（3）间隔8垄时，有A种.所以共有3A+2A+A=12种种植方法.【例4】有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是A.234B.346C.350D.363解法一：分类讨论法.（1）前排一个，后排一个，2C·C=192.（2）后排坐两个（不相邻），2（10+9+8+…+1）=110.（3）前排坐两个，2·（6+5+…+1）+2=44个.∴总共有192+110+44=346个.解法二：考虑中间三个位置不坐，4号座位与8号座位不算相邻.∴总共有A+2+2=346个.答案：B评述：本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用.这是一道难度较大的小综合题.●闯关训练夯实基础1.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有A.24种B.18种C.12种D.6种解析：∵黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A.∴种法共有C·A=18种.答案：B2.四个不同的小球全部随意放入三个不同的盒子中，使每个盒子都不空的放法种数为A.AAB.CAC.CAC解析：4个球放入3个盒子，则有一个盒子要放两个球，故CA.答案：B3.书架上原有5本书，再放上2本，但要求原有书的相对顺序不变，则不同的放法有_____________种.解析：分三步，每步各有6，7，8种放法，共有6×7×8=336种.答案：3364.（xx年浙江，文16）设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点．．）处，则质点不同的运动方法共有__________种.（用数字作答）解析：记向左跳一次为－1，向右跳一次为+1，则只要5次和为+3，质点一定落在（3，0），所以只需4个“+1”，1个“－1”即可，从5次中挑出一次取“－1”，结果数为C=5，故质点运动方法共有5种.答案：55.在一张节目表上原有6个节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，再添加进去三个节目，求共有多少种安排方法?解法一：添加的三个节目有三类办法排进去：①三个节目连排，有CA种方法；②三个节目互不相邻，有A种方法；③有且仅有两个节目连排，有CCCA种方法.根据分类计数原理共有CA+A+CCCA=504种.解法二：从结果考虑，排好的节目表中有9个位置，先排入三个添加节目有A种方法，余下的六个位置上按6个节目的原有顺序排入只有一种方法.故所求排法为A=504种.解法三：=504.评述：插空法是处理排列、组合问题常用的方法.培养能力6.18人的旅游团要选一男一女参加生活服务工作，有两位老年男人不在推选之列，共有64种不同选法，问这个团中男女各几人?解：设这个团中有男人x人，则有女人18－x人，根据题意得C· C=64.解得x=10.∴这个团中有男10人，女8人.7.（理）如下图，矩形的对角线把矩形分成A、B、C、D四部分，现用五种不同色彩给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，共有多少种不同的涂色方法?解法一：依题意，给四部分涂色，至少要用两种颜色，故可分成三类涂色：第一类，用4种颜色涂色，有A种方法；第二类，用3种颜色涂色，选3种颜色的方法有C种；在涂的过程中，选对顶的两部分（A、C或B、D）涂同色，另两部分涂异色有C种选法；3种颜色涂上去有A种涂法.共C·C·A种涂法；第三类，用两种颜色涂色.选颜色有C种选法；A、C与B、D各涂一色有A种涂法.共C·A种涂法.所以共有涂色方法A+C·C·A+C·A=260种.解法二：区域A有5种涂色法；区域B有4种涂色法；区域C的涂色法有2类：若C 与A涂同色，区域D有4种涂色法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色法，区域D也有3种涂色法.所以共有5×4×4+5×4×3×3=260种涂色法.（文）10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测完为止.求第4只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种?分析：这个问题实际上可以看成是有约束条件的“10选5”排列.主要约束条件是第5个位置上的限定.考查对这类问题的“10选5”模型的转化.解：优先考虑第五次（位置）测试.这五次测试必有一次是测试正品，有C种；4只次品必有一只排在第五次测试，有A种；那么其余3只次品和一只正品将在第1至第4次测试中实现，有A种.于是根据分步计数原理有CAA种.评述：CA是本题的错解，原因是这样排正好有可能正品出现在第五次测试.探究创新8.有点难度哟！6名运动员分到4所学校去做教练，每校至少1人，有多少种不同的分配方法?分析：人员分配有两类：1，1，1，3或1，1，2，2.解法一：先取人，后取位子.1，1，1，3：6人中先取3人有C种取法，与剩余3人分到4所学校去有A种不同分法，∴共CA种分法；1，1，2，2：6人中取2人、2人、1人、1人的取法有C·C·C种，然后分到4所学校去，有种不同的分法，共C·C·C·种分法.所以符合条件的分配方法有CA+C·C·C·=1560种.解法二：先取位子，后取人.1，1，1，3：取一个位子放3个人，有C种取法，6人中分别取3人、1人、1人、1人的取法有C·C·C·C种，∴共有C·C·C·C·C种.1，1，2，2：先取2个位子放2（其余2个位子放1）有C种取法，6人中分别取2人，2人，1人，1人的取法有C·C·C·C种，共有C·C·C·C·C种.所以符合条件的分配方法有C·C·C·C+C·C·C·C=1560种.●思悟小结1.解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理.2.对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏.3.对于选择题的答案要谨慎选择，注意等价答案的不同形式.处理这类选择题可从分析答案形式入手，采用排除法.错误的答案，都是犯有重复或遗漏的错误.●教师下载中心教学点睛1.对排列、组合的应用题应遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步.2.对于有附加条件的排列组合应用题，通常从三个途径考虑：（1）以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.（2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数.3.关于排列、组合问题的求解，应掌握以下基本方法与技巧（1）特殊元素优先安排；（2）合理分类与准确分步；（3）排列、组合混合问题先选后排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题排除法处理；（7）分排问题直排处理；（8）“小集团”排列问题先整体后局部；（9）构造模型；（10）正难则反，等价转化.拓展题例【例1】（1）一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法?（2）一条长椅上有7个座位，4个人坐，要求3个空位中，恰有2个空位相邻，共有多少种不同的坐法?解：（1）先将3人（用×表示）与4张空椅子（用□表示）排列如图（×□□×□□×），这时共占据了7张椅子，还有2张空椅子，一是分开插入，如图中箭头所示（↓×□↓□×□↓□×↓），从4个空当中选2个插入，有C种插法；二是2张同时插入，有C种插法，再考虑3人可交换有A种方法.所以，共有A（C+C）=60（种）.下面再看另一种构造方法：先将3人与2张空椅子排成一排，从5个位置中选出3个位置排人，另2个位置排空椅子，有AC种排法，再将4张空椅子中的每两张插入每两人之间，只有1种插法，所以所求的坐法数为A·C=60.（2）可先让4人坐在4个位置上，有A种排法，再让2个“元素”（一个是两个作为一个整体的空位，另一个是单独的空位）插入4个人形成的5个“空当”之间，有A种插法，所以所求的坐法数为A·A=480.【例2】已知1<m<n，m，n∈N*，求证：（1+m）n>（1+n）m.证法一：由二项式定理（1+m）n=C m0+C m1+…+C m n，（1+n）m=C n0+C n1+…+C，又因为C=，C=，而A m i>A，所以C m2>C，C>C n3，…，C>C.又因为C=C，C=C，所以（1+m）n>（1+n）m.证法二：（1+m）n>（1+n）mn ln（1+m）>m ln（1+n）>.令f（x）=，x∈［2，+∞］，只要证f（x）在［2，+∞］上单调递减，只要证f ′（x）<0.f ′（x）==.当x≥2时，x－lg（1+x）<0，x2（1+x）>0，得f ′（x）<0，即x∈［2,+∞］时，f ′（x）<0.以上各步都可逆推，得（1+m）n>（1+n）m.。

模块： 十二、排列组合、二项式定理、概率统计课题： 1、计数原理教学目标： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理，体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即把问题分类解决和分步解决．重难点： 掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．一、 知识要点1、分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法．2、分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．二、 例题精讲例 1 、电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？答案：28800．例2、从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?答案：32个例3、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种．（以数字作答）答案：120种 654321例4、（1）有红、黄、白色旗子各n 面（3n ），取其中一面、二面、三面组成纵列信号，可以有多少不同的信号？（2）有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？答案：（1）60；（2）7种．例5、d c b a ,,,排成一行，其中a 不排第一，b 不排第二，c 不排第三，d 不排第四的不同排法共有多少种？答案：9种．例6、关于正整数2160，求：（1）它有多少个不同的正因数？（2）它的所有正因数的和是多少？答案：（1）40个；（2）7440．例7、如图所示,问从A 到D 每次不许走重复的路,共有多少种走法?(注:每次的路线一个地方只能经过一次)答案：16例8、由数字0，1，2，3，4，（1）可组成多少个没有重复数字且比20000大的自然数？（2）2不在千位，且4不在十位的五位数有多少个？答案：（1）72；（2）1600三、 课堂练习1、4名男生和3名女生排成一行，按下列要求各有多少种排法：（1）男生必须排在一起 ； （2）女生互不相邻 ；（3）男女生相间 ； （4）女生按指定顺序排列 ． 答案：576；1440；144；840.2、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有 种不同的送书方法． 答案：18003、三名男歌手和两名女歌手联合举行一场演唱会,演出时要求两名女歌手之间恰有一名男歌手,则共有出场方案 种．答案：364、圆周上有12个不同的点，过其中任意两点作弦，这些弦在圆内的交点个数最多是 ．答案：4955、7人站一排，甲不站排头，也不站排尾，不同的站法种数有 种；甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有 种．答案：3600；3720.6、远洋轮一根旗杆上用红、蓝、白三面旗帜中，一面，二面或三面表示信号，则最多可组成不同信号有___________种．答案：15四、 课后作业一、填空题1、十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_________种行车路线．答案：122、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 种． 答案：123、从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有______种． 答案：254、72的正约数（包括1和72）共有__________个．答案：125、从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数()2f x ax bx c =++的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个．（用数字作答）答案：18；66、如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种．（以数字作答） 答案：72 二、选择题7、某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是( )A 、9×8×7×6×5×4×3B 、8×96C 、9×106D 、81×105答案：D8、从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n 种在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m ，则n m 等于( ) A 、0 B 、41 C 、21 D 、43 答案：B9、某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )A 、504B 、210C 、336D 、120答案：A三、解答题10、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？答案：3611、五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？答案：（1）1024种；（2）526种．12、三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？答案：36⑤④③②①。

高中数学老师排列组合教案
主题：排列与组合
目标：学生能够理解排列与组合的概念，掌握排列与组合的计算方法。

一、引言（5分钟）
1. 引入排列与组合的概念，让学生了解排列与组合在日常生活中的应用。

二、概念讲解（15分钟）
1. 讲解排列与组合的定义及区别。

2. 解释排列与组合的计算公式和步骤。

3. 举例说明排列与组合的应用场景。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 让学生做一些排列与组合的练习题，帮助他们掌握计算方法。

2. 引导学生讨论排列与组合在实际问题中的应用。

四、拓展与应用（10分钟）
1. 给学生提供一些拓展题目，让他们进一步巩固排列与组合的知识。

2. 讨论排列与组合在实际工作中的应用，如何用排列与组合解决实际问题。

五、总结与作业（5分钟）
1. 总结本节课学习的内容，并强调排列与组合在数学学习中的重要性。

2. 布置作业，让学生继续练习排列与组合的计算方法。

备注：本教案根据排列与组合的教学特点设计，旨在帮助学生全面理解排列与组合的概念，掌握计算方法，并能够灵活运用排列与组合解决实际问题。

愿学生在本节课学习中取得进步，提高数学学习能力。

模块： 十二、排列组合、二项式定理、概率统计课题： 2、排列与组合的基本方法教学目标： 理解排列与组合的意义，掌握排列数与组合数的计算公式，掌握组合数的性质． 通过应用排列数与组合数的计算公式以及两个计数原理，解决简单的计数问题，掌握化归、枚举、分类讨论等数学思想和方法，提高逻辑思维能力以及分析问题、解决问题的能力．重难点： 在解决综性问题分类时，保证不重复、不遗漏的原则．一、 知识要点1、排列的定义：从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2、排列数：从n 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，用符号m n P 表示3、组合的定义：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.4、组合数：从n 个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，用符号m n C 表示.5、公式与性质：（1）排列数组合数(1)(2)(1)m n p n n n n m =---+ (1)(2)(1)!m mn n m m p n n n n m C p m ---+==或)!(!!m n m n C m n -=（,,m n N m n *∈≤） （2）全排列数：(1)(2)21!n n p n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）规定0!1=．（3）排列数的另一个计算公式：m n p =!()!n n m - （4）组合数的性质1：m n n m n C C -=（5）组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C二、 例题精讲例1、有编号为1、2、…10的10盏路灯，为节约用电将其中3盏灯熄灭，但不能熄灭相邻的2盏灯，而两端却不能熄灭，问有几种不同的熄灭方法?答案：20例2、平面上有7个点，其中有且仅有三点共线，则一共可以连成________条不同的线． 答案：19例3、8个人排成一排，若甲、乙两人之间必须有3个人，则不同的排法有_________种．答案：5760例4、若用1，2，3，4，5这五个数字，组成比20000大，并且百位数不是3的没有重复的五位数，那么这样的五位数个数为_____________个．答案：78例5、从1，2，3，4，6，8，9中取两个不同数作为对数的真数与底数，共得_________个不同的对数值．答案：27例6、分别求出符合下列要求的不同排法的种数（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻；（5）6人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）．答案：（1）720；（2）480；（3）252；（4）240；（5）480；（6）120种．例7、假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品．答案：（1）64446024种；（2）442320种；（3）446976种．例8、求证：①111m m m n n n P mP P ---+= ；②12112++-+=++m n m n m n m n C C C C证明：略．例9、四面体的顶点和各棱的中点共10个点（1）设一个顶点为A ，从其他9点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有多少种？ （2）在这10点中取4个不共面的点，不同的取法有多少种？答案：（1）33种；（2）141种．三、 课堂练习1、从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有__5____种方法答案：52、 有三名学生分配到四个车间去参加劳动，共有_______64________种不同的分法． 答案：643、以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数有_____58_________个．答案：584、5样不同的玩具分给4个小孩，每人都有，共有_____240______种不同的分法． 答案：2405、4名教师、6名学生站于一排照相，教师互不相邻，则有___604800___种不同的站法． 答案：6048006、从1，2，3，5，7这五个数字中任取两个分别作为对数的底和真数，则共能组成不同的对数____13___________个．答案：13四、 课后作业一、填空题1、由0，3，5，7，9这五个数组成无重复数字的三位数，其中是5的倍数的共有多少个_______． 答案：212、学校召开学生代表大会，高二年级的3个班共选6名代表，每班至少1名，代表的名额分配方案种数是______________．答案：103、从3名男工和7名女工中选派2男3女去做5项不同的工作，若每人各做一项，不同的选派方法有____________________种．答案：126004、从全班52名学生中选10名学生参加某项活动，如果正、副班长至少有一个在内，那么有__________种选法．答案：95.54810⨯5、4人坐在一排10个座位上，若使每人的两边都有空位，则有_______________种不同的坐法．答案：1206、象棋比赛中，2人，他们各赛了3场后，因故退出了比赛，这样，这次比赛共进行了83场，比赛开始时参赛者有__________________人答案：15二、选择题7、四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（ ）A ．8种B ．10种C ．12种D ．16种答案：C 8、五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排，则不同的排法共有（ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种答案：C9、从9,5,0,1,2,3,7--七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程0ax by c ++=的系数，则倾斜角为钝角的直线共有（ ）条.A ． 14B ．30C ． 70D ．60答案：C三、解答题11、三年级4个班举行班级之间男、女排球单循环赛，问：① 男女各需比赛多少场？②组织这次比赛共需安排多少场比赛？答案：（1）6 （2）1211、（1）分队有10名歌舞演员，其中7人能唱歌，5人善跳舞，今从10人中选4人参加演出，2人唱歌，2人跳舞的选法有多少种?（2）商店的橱窗中陈列着七件不同样品，现要将其中的三件样品调换位置，另外四件位置不动，共有不同的调换方法多少种？答案：（1）163；（2）175.12、（1）10只不同的试验产品，其中有4只次品，6只正品，现每次取一只测试，直到4只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？（2）九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？答案：（1）576；（2）602。

10.6.2 排列与组合考纲传真1.理解排列、组合的概念．2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题.1．排列与排列数 (1)排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作A m n ．2．组合与组合数 (1)组合从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记作C m n ．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)Am n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！(2)C mn ＝A m n A m m＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！＝n！m！（n－m）！(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C0n＝1.性质(1)0！＝1；(2)A n n＝n！.(2)①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.1．(人教A版教材习题改编)从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有()A．9个B．24个C．36个D．54个『解析』选出符合题意的三个数字有C13C23种方法，这三个数可组成C13C23A33＝54个没有重复数字的三位数．『答案』D2．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A．6种B．12种C．30种D．36种『解析』从反面考虑：甲、乙所选的课程，共有C24C24种不同的选法，其中甲、乙所选的课程都相同的选法有C24种．故甲、乙所选的课程至少有1门不同有C24C24－C24＝30(种)．『答案』C3．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的排法共有()A．24种B．60种C．90种D．120种『解析』可先排C、D、E三人，共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A35＝60(种)．『答案』B4．(2012·浙江高考)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种『解析』满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1，3，5，7，9中，任意取4个，有C45＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2，4，6，8中任取2个，有C25·C24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．『答案』D5．(2012·济宁模拟)从5位男生，4位女生中选派4位代表参加一项活动，其中至少有2位男生，且至少有1位女生的选法共有()A．80种B．100种C．120种D．240种『解析』依题意分两类，选派的4位代表中，有2位男生、2位女生或3位男生、1位女生，因此，共有C25C24＋C35C14＝100种选法．『答案』B排列应用题4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？『尝试解答』(1)3个女同学是特殊元素，共有A33种排法；由于3个女同学必须排在一起，视排好的女同学为一整体，再与4个男同学排队，应有A55种排法．由分步乘法计数原理，有A33A55＝720种不同排法．(2)先将男生排好，共有A44种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有A35种方法．故符合条件的排法共有A44A35＝1 440种不同排法．(3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A22种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有A25种排法．总共有A44A22A25＝960种不同排法．,1．对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．2．对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．在本例中，条件不变，把第(1)、(2)小题改为下面两问题：(1)甲不站排头，乙不站排尾，有多少种不同的排法？(2)若甲乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？『解』(1)用间接法，4名男生，3名女生站成一排的方法共有A77种．甲站排头的方法有A66种，乙站排尾的方法有A66种．甲站排头，乙站排尾的方法有A55种．∴符合题意的排法有：A77－2A66＋A55＝3 720种．(2)先排甲、乙，有A22种排法，再从其他5位同学中选3人排在甲、乙中间，有A35种排法，最后把甲、乙及中间3人作为一个整体与剩余的2人全排列，有A33种排法．所以共有A22A35·A33＝720种不同排法.组合应用题男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)至少有1名女运动员；(2)既要有队长，又要有女运动员．『思路点拨』第(1)问可以用直接法或间接法求解．第(2)问根据有无女队长分类求解．『尝试解答』(1)法一至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得总选法数为C14C46＋C24C36＋C34C26＋C44C16＝246(种)．法二“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解．从10人中任选5人有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种．所以“至少有1名女运动员”的选法为C510－C56＝246(种)．(2)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法．其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时共有C48－C45种选法，所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191(种)．,1．本题中第(1)小题，含“至少”条件，正面求解情况较多时，可考虑用间接法．第(2)小题恰当分类是关键．2．组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．(2012·陕西高考)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种『解析』 由题意知比赛场数至少为3场，最多为5场．分三类： 当为3场时，情况为甲或乙连赢3场，共2种．当为4场时，若甲赢，则前3场中甲赢2场，最后一场甲赢，共有C 23＝3(种)情况；同理，若乙赢也有3种情况．共有6种情况．当为5场时，前4场，甲、乙各赢2场，最后1场胜出的人赢，共有2C 24＝12(种)情况． 由上综合知，共有20种情况． 『答案』 C排列组合的综合应用(1)(2012·北京高考)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．18C ．12D ．6(2)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为( )A ．A 26C 24 B.12A 26C 24 C ．A 26A 24 D ．2A 26『思路点拨』 (1)0是特殊元素，不能排在百位和个位，按选出的数字是否含0分类．(2)可将4名同学分成两组(每组2人)，再分配到两个班级．『尝试解答』 (1)根据所选偶数为0和2分类讨论求解．①当选数字0时，再从1，3，5中取出2个数字排在个位与百位．∴排成的三位奇数有C 23A 22＝6个． ②当取出数字2时，再从1，3，5中取2个数字有C 23种方法． 然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列．∴排成的三位奇数有C 23A 12A 22＝12个．∴由加法计数原理，共有A 23＋A 12·A 23＝18个三位奇数．(2)法一 将4人平均分成两组有12C 24种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A 26种，所以不同的安排方法有12C 24A 26种． 法二 先从6个班级中选2个班级有C 26种不同方法，然后安排学生有C 24C 22种，故有C 26C 24＝12A 26C 24种． 『答案』 (1)B (2)B ,1．解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．2．不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：(1)不均匀分组．(2)均匀分组．(3)部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．(2013·石家庄模拟)已知集合A ＝{5}，B ＝{1，2}，C ＝{1，3，4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A ．33B ．34C ．35D ．36『解析』 (1)若从集合B 中取元素2时，再从C 中任取一个元素，则确定的不同点的个数为C 13A 33.(2)当从集合B 中取元素1，且从C 中取元素1，则确定的不同点有C 13×1＝C 13. (3)当从B 中取元素1，且从C 中取出元素3或4，则确定的不同点有C 12A 33个． ∴由分类计数原理，共确定不同的点有C 13A 33＋C 13＋C 12A 33＝33个．『答案』 A一个区别排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合．两个公式1.排列数公式A m n＝n！（n－m）！.2．组合数公式C m n＝n！m！（n－m）！.三个优先1.先特殊后一般．2．先组合后排列．3．先分组再分配．四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”从近两年的高考试题来看，排列、组合及排列与组合的综合应用是高考的热点，题型以选择题、填空题为主，中等难度，在解答题中，排列、组合常与概率、分布列的有关知识结合在一起考查．易错辨析之十七实际意义理解不清导致计数错误(2012·山东高考改编)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A．232B．256C．472D．484『错解』第一类，含有一张红色卡片，取出红色卡片有C14种方法，再从黄、蓝、绿三色中选出两色并各取一张卡片有C23C14C14种方法，因此满足条件的取法有C14·C23C14C14＝192种．第二类，不含有红色卡片，从其余三色卡片中各取一张有C14C14C14＝64种取法．∴由分类计数原理，不同的取法共有192＋64＝256种．『答案』B错因分析：(1)错解的原因是没有理解“3张卡片不能是同一种颜色”的含义，误认为“取出的三种颜色不同”．(2)运用间接法求“不含有红色卡片”时，忽视“3张卡片不能是同一种颜色”，误求为C312，导致错选D.防范措施：(1)准确理解题意，抓住关键字词的含义，“3张卡片不能是同一种颜色”是指“两种颜色或三种颜色”都满足要求．(2)选择恰当分类标准，避免重复遗漏，出现“至少、至多”型问题，注意间接法的运用．『正解』第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212＝264(种)．第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C312－3C34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)．『答案』C1．(2012·辽宁高考)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!『解析』把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．『答案』C2．(2013·海淀区模拟)从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是()A．12 B．24 C．36 D．48『解析』①选出的3人中无甲，应有C34A33种排法．②三人中有甲，且甲不在排头，则有C24C12A22种排法．∴一共有C34A33＋C24C12A22＝48(种)排法．『答案』D。

2019—2020年兴义地区重点中学高考一轮复习教学案——排列与组合的综合应用一、明确复习目标1.加深对排列、组合意义明白得;2.把握有关排列、组合综合题的一些常用解法;3.学会分类讨论的思想,提高分析咨询题和解决咨询题的能力.二．建构知识网络解排列组合咨询题，第一要用好两个计数原理和排列组合的定义,即第一弄清是分类依旧分步,是排列依旧组合,透过咨询题的表面现象,看出咨询题的数学本质.然后,要把握一些常见类型的排列组合咨询题的解法：1.优限法:优先解决带限制条件的元素或位置，或讲是〝先解决专门元素或专门位置〞.2.分类分步法:关于较复杂的排列组合咨询题，常需要分类讨论或分步运算,一定要做到分类明确,层次清晰,不重不漏.如：5人站成一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有141423444433A A A A A A +- =156种排法。

3.排除法.从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法4.捆绑法:某些元素必相邻的排列.能够先将相邻的元素〝捆成一个〞元素,与其它元素进行排列，然后再再给那〝一捆元素〞内部排列.5.插空法:某些元素不相邻的排列.能够先排其它元素然,再让不相邻的元素插空;6.插板法：n 个 相同元素,分成m(m ≤n)组,每组至步一个的分组咨询题——把n 个元素排成一的排,从n-1个空中选m-1个空,各插一个隔板,有11--m n C .例如:n 个相同的小球分给m 个人,每人至少一个小球的分法有11--m n C 种分法.假如没有〝每人至少一个〞的限制,那么需设想〝每人先献出一个小球〞,再对n+m 个小球用〝插板法〞,有1n m n m C +-+种.7.分组、分配法：分组咨询题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之不。

一样地平均分成n 堆〔组〕，必须除以n !, 假如有m 堆〔组〕元素个数相等，必须除以m ！例如：6本不同的书分成三组，分不是1本、2本、3本，共有123653C C C =60种分法；6本不同的书分成三组，每组2本，共有522642C C C ÷3！=15种分法；6本不同的书分成三组，分不是1本、1本、4本，共有114654C C C ÷2！=15种分法；分配咨询题(有序分组):逐个分给.例如:7本不同的书,分给甲、乙、丙三个人,依次得3、2、2本，有322742C C C =210种分法。

2013年高考数学一轮复习精品教学案10.2 排列与组合（新课标人教版，教师版）【考纲解读】1．理解排列、组合的概念.2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．能解决简单的实际问题．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.排列、组合与二项式定理是历年来高考重点内容之一,一般在选择题、填空题中出现，主要考查两个计数原理、排列数与组合数公式的运用、实际应用以及二项展开式，在考查排列、组合与二项式定理基础知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查这部分的基础知识,命题形式相对比较稳定.【要点梳理】1．排列(1)排列的概念：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示．(3)排列数公式A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)．(4)全排列数公式A n n ＝n (n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．2．组合(1)组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C m n 表示．(3)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n ?n －1??n －2?…?n －m ＋1?m ！＝n ！m ！?n －m ?！ (n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地C 0n ＝1. (4)组合数的性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .【例题精析】考点一排列问题例1.（2010年高考山东卷理科8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）（A）36种（B）42种(C)48种（D）54种【变式训练】1.(2012年高考全国卷文科7)6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（）（A）240种（B）360种（C）480种（D）720种考点二组合问题例2.（ 2010年高考全国卷I理科6）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种【名师点睛】本小题主要考查组合知识、分类计数原理,以及分类讨论的数学思想，考查了学生的运算能力以及分析问题、解决问题的能力.【变式训练】2.（2010年高考全国卷Ⅱ文科9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）（A ） 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种【易错专区】问题：排列组合综合应用例.（2010年高考重庆卷文科10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（ ）（A ）30种 （B ）36种（C ）42种 （D ）48种【名师点睛】本小题主要考查了排列与组合的综合知识 ,熟练基本知识是解决本类问题的关键.【课时作业】1. (2012年高考新课标全国卷理科2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） ()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【答案】A【解析】甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种.2.(2012年高考全国卷理科11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种【答案】A【解析】第一步先排第一列有633=A ，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法，如图，所以共有1226=⨯种，选A.3．(2011年高考广东卷文科7)正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）A ．20B ．15C ．12D ．104．(2010年高考天津卷理科10)如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色。