n个球放入m个盒子的几种情形讨论

解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型——“小球入盒”模型凤斌;叶菊【摘要】<正>数学建模是一种数学的思考方法,是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化,建立能近似刻画并"解决"实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段。

排列组合问题的情景设置千变万化,"小球入盒"是一类典型的数学模型,将其用来解读排列、组合问题,可以搭起挖掘知识的内涵和外延的平台,直击目标。

【期刊名称】《青苹果：高中版》【年(卷),期】2016(000)009【总页数】3页(P42-44)【关键词】排列组合;数学模型;数学手段;分配问题;组合问题;情景设置;问题解决;思考方法;非负整数;正整数解【作者】凤斌;叶菊【作者单位】安徽省宿州二中【正文语种】中文【中图分类】G634.6数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段。

排列组合问题的情景设置千变万化，“小球入盒”是一类典型的数学模型，将其用来解读排列、组合问题，可以搭起挖掘知识的内涵和外延的平台，直击目标。

模型1（球少盒多）5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放1个球，共有多少种放法？解析（方法一）由于球与盒子均不同，每盒至多放1个球，所以这是一个排列问题，可直接从8个不同盒子中取出5个盒子进行排列（即放球），所以完成这件事有4=6720种放法。

（方法二）由于每盒至多放1个球，所以第1个球有8种放法，第2个球有7种放法，…，第5个球有4种放法。

因此，完成这件事有8×7×6×5×4=6720种方法。

模型2（球多盒少）（1）4个不同的球，放入3个不同的盒子，每个盒子至少放1个球，共有多少种放法？（2）6个不同的球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放1个球，共有多少种放法？解析（1）这是一个分组和分配的问题，先将4个不同的球分成3组，再进行全排列（即入盒），所以完成这件事有种放法。

将n 和球放在m 个箱子中的几种类型一共有球是否相同，箱子是否相同，是否允许空箱，共8种情况．1.球同，盒不同，无空箱C n －1m －1使用插板法：n 个球中间有n －1个间隙，现在要分成m 个盒子，而且不能有空箱子，所以只要在n －1个间隙选出m -1个间隙即可． 例1 8个相同的小球放在3个不同的盒子中，且不能为空箱，共有多少种不同的放法？解：挡板法 8个小球排在一排，共有7个空位，只要在7个空位中放置两块挡板，共有C 27=21中不同的放法．2.球同，盒不同，允许空箱C n+m －1m －1我们在第1类情况下继续讨论，我们可以先假设m 个盒子里都放好了1个球，所以说白了就是，现在有个相同的球，要放入m 个不同的箱子，没有空箱．也就是第1种情况例2 8个相同的小球放在3个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？解1：当没有空箱时，由例1可知有21种不同的放法；当只有一个空箱时，空箱有3种选择，相当于将8个小球放在2个箱子中，共有C 17种不同的放法，共有3×7=21种；当两个空箱时，相当于8个小球放在1个箱子中，只有唯一的放法，所以有3×1=3；因此共有21+21+3=45种不同的放法．解2：假设共有11个小球，其中3个已经放在了箱子中，问题转化为11个小球，放在3个箱子中，不能有空箱，共有C 210=45种不同的放法； 解3：将8个小球放在一排，共有9个空位，先在9个空位中插入一个挡板，有9种方法，然后挡板和原来的小球又形成了10个空挡，在插入一个挡板，有10种放法，由于挡板相同，所以共有9×102=45种不同的放法．3.球同，盒同，无空箱相当于将n 分解成m 个数的和例3 8个相同的小球放在3个相同的盒子中，共有多少种不同的放法？解：将8个小球分成3堆，有1-1-6，1-2-5，1-3-4，2-2-4，2-3-3五种不同的放法．例4 8个相同的小球放在3个相同的盒子中，共有多少种不同的放法？解：在上例的基础上，增加了空箱这一情况，增加1-7，2-6，3-5，4-4，0-8这五种情况，所以不同的放法有5+5=10种．5.球不同，盒相同，无空箱将n 个不同的球分成m 堆例5 8个不同的小球放在3个相同的盒子中，每个盒子至少一个，共有多少种不同的放法？解：由例3可知，共有5种不同的组合：当分成1-1-6时，不同的放法有C 68 C 12A 22=28种； 当分成1-2-5时，不同的放法有C 58·C 23=168种；当分成1-3-4时，不同的放法有C 48C 34=280种；当分成2-2-4时，不同的放法有C 28·C 26A 22=210种； 当分成2-3-3时，不同的放法有C 28·C 36A 22=280种；所以不同的放置放法共有28+168+280+210+280=966种．例6 8个不同的小球放在3个相同的盒子中，共有多少种不同的放法？解：本题在上例的基础上多了空盒这一情况；当有且只有一个空盒时，即将8个小球分成两堆，共有1+7，2+6，3+5，4+4几种可能，共有C 18+C 28+C 38+12C 48=127； 当有两个空盒时，只要一种情况；因此不同的放法种数为996+127+1=1094. m n例7 8个不同的小球放在3个不同不同的盒子中，共有多少种不同的放方法？解：第1个小球有3种放法；第2个小球也有3种放法，因此8个小球共有38=651种不同的放法．例8 8个不同的小球放在3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个，共有多少种不同的方法？ 解：本题是在例5的基础上增加“放入盒子”这一步骤，由乘法原理，共有966A 33=5796种．。

抽屉原理在高中数学的应用1. 了解抽屉原理抽屉原理（也称为鸽巢原理）是数学中的一个重要原理，它的核心思想是：如果有n+1个或更多的物体放入n个盒子中，则至少有一个盒子中必定会放有两个或以上的物体。

这一原理是基于数学归纳法的思想而得出的，是数学中非常重要且常用的思维工具。

2. 应用一：鸽巢原理在离散数学中鸽巢原理在离散数学中有广泛的应用。

离散数学是一门研究离散结构的数学学科，它与连续结构相对应。

鸽巢原理是离散数学中最重要的原理之一。

在数学建模、图论、编码理论等领域，鸽巢原理被广泛应用。

例如，在图论中，鸽巢原理可以用来证明存在某个顶点的度数不少于平均度数；在编码理论中，鸽巢原理可以用来证明某种编码方式一定会出现冲突等。

3. 应用二：鸽巢原理在组合数学中组合数学是研究离散结构的数学分支之一，它研究了对象的选择、排列和组合等问题。

鸽巢原理在组合数学中也有广泛的应用。

例如，考虑将n+1个物体放入n个抽屉中，其中物体可以是任意的元素，抽屉可以是某个特定的集合。

根据鸽巢原理，至少有一个抽屉中会放有两个或以上的物体。

这个结论可以推广到更一般的情形，例如将n+1个物体放入k个抽屉中，根据鸽巢原理，至少有一个抽屉中会放有$\\lceil \\frac{n+1}{k} \\rceil$个物体。

4. 应用三：鸽巢原理在概率统计中鸽巢原理在概率统计中也有重要的应用。

概率统计是一门研究随机现象规律的学科，而鸽巢原理可以帮助我们理解和分析一些概率问题。

例如，考虑将n个球随机放入m个盒子中，其中每个球等概率地放入m个盒子之一。

根据鸽巢原理，当n > m时，至少会有一个盒子中放入多个球，而当n ≤m时，有可能每个盒子都只放入一个球。

通过应用鸽巢原理，可以帮助我们理解概率统计中的一些概念，如概率分布、期望值等。

5. 总结抽屉原理（鸽巢原理）是高中数学中常见的数学原理之一，它在离散数学、组合数学和概率统计中都有重要的应用。

理解抽屉原理的概念和思想，可以帮助我们更好地解决和理解各种数学问题，并在实际应用中发挥作用。

“球入盒”问题分类例析排列组合问题中经常遇到“球入盒子”类型题目，这类问题的类型和解法如下：一、球相同，盒子相同，且盒子不能空例1. 8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个•由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆•即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个，有五种不同的放法•结论n个相同的球放入m个相同的盒子（n>m），不能有空盒时的放法种数等于n分解为m个数的和的种数•二、球相同，盒子相同，且盒子可以空例2. 8个相同的球放入3个相同的盒子中•问有多少种不同的放法解析与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中•，有十种不同的放法•结论n个相同的球放入m个相同的盒子（n A m），可以有空盒时的放法种数等于将n分解为m个、（m- 1）个、（m—2）个、…、2个、1个数的和的所有种数之和•三、球相同，盒子不同，且盒子不能空例3. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法•将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有C" =7-621种，这样将8个球分成三2堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内•故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法•结论n个相同的球放入m个不同的盒子中（n A m），不能有空盒的放法种数等于•四、球相同，盒子不同，且盒子可以空例4. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中•问有多少种不同的放法解析与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个•还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板•首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有C11种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有C w种，但这两种放法中有重复的，要除以2;最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球1 1 1 210 9放入3号盒子中•故一共有一C9 C10 C10------------ 45种•2 2或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个插入隔板或取一个插入两块隔板，即C9 Cg 9 36 45种•例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•先放一个到每个盒子中，只有一种放法•然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，2 2 种.结论n个相同的球放入m个不同的盒子中（n A m），可以有空盒的放法种数等于Cr?；.五、球不同，盒子相同，且盒子不能空例5. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析 由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了， 因为放入盒子只有一种情况•而8个球分成（注意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）•故一共有 C 1C 1C 6C 2C 2C 4C 2C 3C 3C 8C7C6.12 5.13 4 c8 c6 c4 , c8 C6C3+ C 8C 7C 5 +C 8C 7C 4 ++ —2 2结论 n 个不同的球放入m 个相同的盒子中（ n 》m ），不能有空盒的放法种数等于n 个不同的球分成m 堆的种数•六、球不同，盒子相同，且盒子可以空例6. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法 解析 只比上一题多了两种情况，一是有一堆为0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种情况，有1c 8c ；c f c f -Cs127 ;二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况•所以一共有966+127+仁10942种.结论 n 个不同的球放入m 个相同的盒子中（n > m ）,可以有空盒的放法种数等于将n 个不同的球分成m 堆、 （m—1）堆、（m — 2）堆、…、2堆、1堆的所有种数之和•七、球不同，盒子不同，且盒子不能空例7. 8个不同的球放入标号为 1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析 这个问题就等价于“ 8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法” 就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中•即966 A 33=5796种•结论 n 个不同的球放入m 个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于n 个不同的球分成m 堆的种数乘以m! •例8将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒子内放一个球，恰好 3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）•A 120B 240C 360D 720解析 先在10个不同的球中任取 7个分别放到对应标号的盒子中，有 Cw 种选法；再将剩下的三个球分别放入剩下的三个盒子中，每个盒子放一个且标号不能相同，有2种放法•故满足题意的放法有 2C 170 =240种，选B.八、球不同，盒子不同，且盒子可以空例9. 8个不同的球放入标号为 1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法 解析 包括分三堆的5796种，还有分两堆的 127 A 33762，还有只分一堆的3种情况，所以一共有5796+762+3=6561 种.三堆，各堆球数依次为 1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3 五种.对情况 1-1-6 有c 8c ；c种分法, 对情况1-2-5有C ；C ；C ；种分法，对情况1-3-4有C 8C ；C ：种分法，对情况2-2-4有CsCsC种分法，对情况2-3-3=966 种.它也等价于“ 8封信投到3个邮箱里”，应该有38=6561种•结论n个不同的球放入m个不同的盒子中（n》m），可以有空盒的放法种数等于m n种.。

排列组合n个球放⼊m个盒⼦m问题总结求，盒⼦都可以分成是否不能区分，和能区分，还能分成是否能有空箱⼦，所以⼀共是8种情况，我们现在来⼀⼀讨论。

1.球同，盒不同，⽆空箱C(n-1,m-1), n>=m0, n<m使⽤插板法：n个球中间有n-1个间隙，现在要分成m个盒⼦，⽽且不能有空箱⼦，所以只要在n-1个间隙选出m-1个间隙即可2.球同，盒不同，允许空箱C(n+m-1,m-1)我们在第1类情况下继续讨论，我们可以先假设m个盒⼦⾥都放好了1个球，所以说⽩了就是，现在有m+n个相同的球，要放⼊m个不同的箱⼦，没有空箱。

也就是第1种情况3.球不同，盒相同，⽆空箱第⼆类斯特林数dp[n][m]dp[n][m]=m*dp[n-1][m]+dp[n-1][m-1],1<=m<ndp[k][k]=1,k>=0dp[k][0]=0,k>=10,n<m这种情况就是第⼆类斯特林数，我们来理解⼀下这个转移⽅程。

对于第n个球，如果前⾯的n-1个球已经放在了m个箱⼦⾥，那么现在第n个球放在哪个箱⼦都是可以的，所以m*dp[n-1][m];如果前n-1个球已经放在了m-1个箱⼦⾥，那么现在第n个球必须要新开⼀个箱⼦来存放，所以dp[n-1][m-1]其他的都没法转移过来4.球不同，盒相同，允许空箱sigma dp[n][i],0<=i<=m,dp[n][m]为情况3的第⼆类斯特林数这种情况就是在第3种情况的前提下，去枚举使⽤的箱⼦的个数5.球不同，盒不同，⽆空箱dp[n][m]*fact[m],dp[n][m]为情况3的第⼆类斯特林数,fact[m]为m的阶乘因为球是不同的，所以dp[n][m]得到的盒⼦相同的情况，只要再给盒⼦定义顺序，就等于现在的答案了6.球不同，盒不同，允许空箱power(m,n) 表⽰m的n次⽅每个球都有m种选择，所以就等于m^n7.球同，盒同，允许空箱dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m], n>=mdp[n][m]=dp[n][m-1], n<m边界dp[k][1]=1,dp[1][k]=1,dp[0][k]=1现在有n个球，和m个箱⼦，我可以选择在所有箱⼦⾥⾯都放上1个球，也可以不选择这个操作。

小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。

小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。

解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。

【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。

“隔板法”详解理解隔板法隔板法就是在n个元素间的（n-1）个空插⼊k-1个板⼦，把n个元素分成k组的⽅法。

应⽤隔板法必须满⾜的3个条件：n个元素是相同的k个组是互异的每组⾄少分得⼀个元素公式将n个相同的求放到m个不同的盒⼦⾥的个数为：C m−1n−1=C29例如，把10个相同的球放⼊3个不同的箱⼦，每个箱⼦⾄少⼀个，问有⼏种情况？ C m−1n−1隔板法应⽤普通隔板法例1.求⽅程x+y+z=10的正整数解的个数。

分析：将10个求排成⼀排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插⼊这些空隙中（每空⾄多插⼀块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z的值，则隔板法与解的个数之间建⽴了⼀⼀对应关系，故解的个数为C(n-1, m-1) = C(9, 2) = 36.添元素隔板法例2. 求⽅程 x+y+z=10的⾮负整数解的个数。

分析：注意到x、y、z可以为零，故例1解法中的限定“每空⾄多插⼀块隔板”就不成⽴了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各添加⼀个球，这样原问题就转化为求x+y+z=13的正整数解的个数了，则问题就等价于把13个相同⼩球放⼊3个不同箱⼦，每个箱⼦⾄少⼀个，有⼏种情况？易得解的个数为C（n+m-1,m-1）=C（12，2）=66（个）。

例3.把10个相同的⼩球放到3个不同的箱⼦，第⼀个箱⼦⾄少1个，第⼆个箱⼦⾄少3个，第3个箱⼦可以为空，有⼏种情况？我们可以在第⼆个箱⼦先放⼊10个⼩球中的2个，⼩球剩8个放3个箱⼦，然后在第三个箱⼦放⼊8个⼩球之外的1个⼩球（即补充了⼀个球），则问题转化为把9个相同⼩球放3不同箱⼦，每箱⾄少1个，⼏种⽅法？C(8,2）=28（减元素隔板法）例4. 将20个相同的⼩球放⼊编号分别为1，2，3，4的四个盒⼦中，要求每个盒⼦中的球数不少于它的编号数，求放法总数。

分析：先在编号1，2，3，4的四个盒⼦内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，再把剩下的球分成4组，每组⾄少1个，由例1知⽅法有C（13，3）=286（种）。

n个球放入m个盒子定理分为以下八种情况：1、球同，盒不同，不允许空箱子：这种情况很好解释，就是把球排成一行，有m-1个空位置，我从中选择n-1个，就把球分给了不同的盒子。

C(m-1,n-1)if n>=m0,n<m2、球同，盒不同，允许空箱子：在1的基础上，可以假设每个盒子都已经有一个球了，这时候就和1情况一样了，就是说，有n+m个球，盒子不变。

C(n+m-1,m-1)3、球不同，盒同，不允许空箱子：dp[n][m]表示n个球放在m个盒子，有多少种情况记作S[n][m]递推式：当第n个来时，分两种情况，1：n-1个球放在了m个盒子里，那么第n个球可以放在m个盒子里的任何一个，所以是m*dp[n-1][m]2：n-1个球放在了m-1个盒子里，那么第m个球只能放在第m个盒子里了。

dp[n][m]=m*dp[n-1][m]+dp[n-1][m-1]初始化：dp[i][i]=1 i>=1dp[i][1]=1 i>=1dp[i][j]=0 i<j4、球不同，盒同，允许空箱子：dp[n][m]表示n个球放在m个盒子，有多少种情况记作M[n][m]递推式：允许空箱子的情况在不允许空箱子的基础上去做,容易找到思路。

dp[n][m]=S[n][1]+S[n][2]+S[n][3]+...+S[n][m]初始化：dp[n][1]=15、球不同，盒不同，不允许空箱子：dp[m][n]表示m个盒子装n个球，比较符合我的习惯L[m][n]递推式：在情况3的情况下，加上盒子不同的条件，也就是将m个盒子排列。

dp[m][n]=S[m][n]*m！6、球不同，盒不同，允许空箱子：dp[m][n]表示m个盒子装n个球的情况数，记作T[m][n]递推式：参考不允许空箱子5的情况dp[m][n]=L[1][n]+L[2][n]+....+L[m][n]但是：这种情况可以简化，每个球都有m种选择，一共n个球，那么就有mn种结果。

组合数学班级：XXXX：XXXX学号：XXXX1目录摘要 (1)关键词： (1)1 绪论 (1)1.1 问题的提出 (1)1.2 研究现状 (1)1.3 研究的目的和研究的内容 (2)1.4 本文主要内容 (2)2 预备知识 (3)2.1 组合知识 (3)2.2 概率知识 (5)2.3 球盒模型 (7)3 球盒模型基本结论 (8)4 本文研究 (10)4.1 n个不同的球放入m个不同的盒子的情况 (10)4.2 n个不同的球放入m个全部相同的盒子的情况 (11)4.3 n个全部相同的球放入m个不同的盒子的情况 (12)4.4 n个全部相同的球放入m个全部相同的盒子的情况 (15)5 结论与展望 (16)5.1 论文总结 (16)5.2 问题与展望 (16)参考文献 (17)球盒模型的概率问题摘要：利用球盒模型来研究组合恒等式，目的是寻找和证明组合恒等式，用不同的方法计算此类问题，得到不同的等式，即组合恒等式，主要内容如下：球盒模型是指n 个球随机放入m 个盒子的数学模型。

尽管看上去这仅仅是一个普通的组合或概率问题，但里面包含着许多组合工具，如发生函数、整数分拆、Stirling 数等。

选择这个问题讨论对象〔或情况不同〕，会产生许多有趣的组合结论〔主要是组合恒等式〕，实际上包括一个组合恒等式的组合解释。

因为一个等式的新的组合解释具有很高的理论与实际应用价值，以本文就是由不同的方法，把组合数学的知识与概率知识相结合得到不同的组合恒等式作为创新点。

关键词：组合恒等式；发生函数；整数分拆；Stirling 数；概率1绪论1.1问题的提出组合数学是研究任意一组离散性事物按照一定规则安排或配置的数学.特别是当指定的规则较简单时,计算一切可能的安排或配置的方法数,就成为它研究的主要问题.现代组合数学有两个主要特点:其一,它大量应用了抽象代数学工具和矩阵工具促使问题的提法和处理方法表现出极大的普遍性;其二,为了适应电脑科学的发展,它很注重对方法的能行性和程序化问题进行研究.组合数学最早是同数论和概率论交叉在一起的.概率方法是解决离散数学尤其是组合数学中许多问题的强有力工具。