相似射影定理及角平分线定理打印稿

相似三角形知识点与经典题型知识点 1 有关相似形的概念(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形 .(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比( 相似系数 ) ．知识点 2 比例线段的相关概念（ 1）如果选用同一单位量得两条线段 a,b 的长度分别为 m, n ，那么就说这两条线段的比是amb n ，或写成 a : bm : n ．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（ 2）在四条线段 a, b, c, d 中，如果 a 和 b 的比等于 c 和d 的比，那么这四条线段a,b,c, d 叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的， 如果说 a 是 b, c, d 的第四比例项， 那么应得比例式为：bd ．② a ccac ： d)中，a 、d 叫比例外项， b 、c 叫比例内项 , a 、c 叫比例前项， b 、d 叫比例后在比例式(a ： bbdb=c ，即 a ：b b ：d 那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项， 此时有 b 2项， d 叫第四比例项，如果 ad 。

（ 3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段 AC , BC ( AC BC ) ，且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项，即AC 2 AB BC ，叫做把线段 AB 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，其中AC5 1AB ≈20.618 AB ．即ACBC 5 1 简记为： 长＝ 短＝5 1ABAC2全 长 2注：黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点 3 比例的性质（ 注意性质立的条件：分母不能为0）（ 1） 基本性质：① a : b c : d adbc ；② a : b b : c b 2a c ． ad bc ，除注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如了可化为 a : b c : d ，还可化为 a : c b : d ， c : d a : b ， b : d a : c ， b : ad : c ， c : a d : b ，d : c b : a ， d : b c : a ．a b，交换内项)c d (（ 2） 更比性质 ( 交换比例的内项或外项) ：ac d c ，交换外项( )b db ad b．同时交换内外项)ca (（ 3）反比性质 ( 把比的前项、后项交换) ：ac bd ．b da c（ 4）合、分比性质：a c abcd ．bdbd注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间b ad c发生同样和差变化比例仍成立．如：a cac 等等．b da b c da bc d（ 5）等比性质：如果 ac e m(b d fn 0) ，那么 acem a ．bd fnb d f nb注：①此性质的证明运用了“设 k 法”（即引入新的参数 k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：a c e a 2c 3e a 2c 3e a；其中 b 2d 3 f 0．b d f b 2d 3 f b 2d 3 fb知识点 4比例线段的有关定理1. 三角形中平行线分线段成比例定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 .A由 DE ∥ BC 可得：注：AD AE 或 BD EC 或 AD AE DB EC AD EA AB ACD EB C①重要结论：平行于三角形的一边, 并且和其它两边相交的直线, 所截的三角形的三边 与原三角形三边 对应成比．．．．．． ．．．．．．例 .②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理： 如果一条直线截三角形的两边( 或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例 . 那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法 , 即：利用比例式证平行线 .③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线, 但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比 .2. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线 , 所截得的对应线段成比例 .A D 已知 AD ∥ BE ∥CF,BE可得ABDE 或 AB DE 或 BC EF 或 BC EF 或 AB BC 等. CFBCEF AC DF AB DE AC DF DE EF注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理： 两条直线被三条平行线所截， 如果在其中一条上截得的线段相等， 那么在另一条上截得的线段也相等。

三角形中的特殊模型-平分平行(射影)构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。

平分平行(射影)构等腰模型、角平行线第二定理模型(内角平分线定理和外角平分线定理模型)平分平行(射影)构等腰1)角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。

(简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结)。

平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。

图1图2图3条件：如图1，OO'平分∠MON，过OO'的一点P作PQ⎳ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。

条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。

结论：△BDE是等腰三角形。

条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。

2)角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB=∠CDA=90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。

1(2023·浙江·八年级假期作业)如图，已知∠AOB，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与OA、OB分别于点C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于12CD为半径画弧，两弧相交于点E，过OE上一点M作MN∥OA，与OB相交于点N，∠MOB=50°，则∠AOM=．【答案】25度/25°【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．【详解】∵MN∥OA，∴∠AOB=∠MNB=50°，由题意可知：OM平分∠AOB，∠AOB=25°．故答案为：25°．∴∠AOM=∠MOB=12【点睛】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质，解此题的关键是熟练掌握基本作图和平行线的性质及角平分线定义的应用．2(2023·浙江·八年级期中)如图，已知△ABC的两边AB=5，AC=8，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，过点O作DE∥BC，则△ADE的周长等于．【答案】13【分析】根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且ED∥BC，可得出OD=OB，OE=OC，所以三角形ADE的周长是AB+AC.【详解】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠OCE=∠OCB，由∵DE∥BC，∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，∴∠DBO=∠DOB，∠EOC=∠ECO，∴DO=DB，EO=EC，·又∵AB=5，AC=8，∴ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=13【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，其中运用角平分线的定义和平行线的性质创造等腰三角形的条件是关键．3(2023·广东·八年级期末)如图，▱ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF 平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．【答案】1【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB，DF=DC，进而推出EF=AE+DF-AD．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠EBC，AD=BC=5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3cm，同理可证：DF=DC=AB=3cm，则EF=AE+FD-AD=3+3-5=1cm．故答案为：1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．4(2023.江苏八年级期中)如图，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的角平分线交AD与F，交AB于E，FG⎳BC交AB于G．AE=4cm，AB=12cm，则BG=，GE=．【答案】4cm；4cm．【详解】过E作EH垂直BC交BC于H点，易证△AEC≌△EHC；由角度分析易知∠AEF=∠AFE，即AE=AF，则有EH=EA=AF；又可证△AGF≌△BHE，则AG=EB=12-4=8，则BG=8-4=4，GE=4．【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．角平行线第二定理(内角平分线定理和外角平分线定理)模型1)内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线。

第7讲 相似三角形3：射影定理、角平分线定理一、 基础知识1． 相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 2． 相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；判定定理1：两角对应相等，两三角形相似；判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3． 判定直角三角形的其他方法定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似． 4． 相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比及周长的比，都等于相似比； （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 二、 例题部分 例1．（★，射影定理）在Rt ⊿ABC 中，∠A ＝90°，AD 是斜边上的高，求证： （1）2AD BD DC =⋅；（2）2AB BD BC =⋅；（3）2AC CD CB =⋅ 【证明】：直接根据“直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．”即可得到例2．（★）如图，AD 是⊿ABC 的BC 边上的高，DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足为E 、F ，求证：AE AFAC AB=【证明】：由射影定理：2AD AE AB =⋅2AD AF AC =⋅∴AE AB AF AC ⋅=⋅例3．（★）在Rt ⊿ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ；求证：33AE AC BF BC = 《全国奥林匹克初二竞赛教材》数学 京华出版社，P188，例2例4．（★）如图，在Rt ⊿ABC 中，∠A ＝90°，BC 边的垂直平分线和AB 、CA 的延长线分别交于D 、E ，BC的中点为F，求证AF是DF与EF的比例中项．【证明】：易得∠E＝∠B＝∠DAF在⊿FDA和⊿FAE中：∠FAD＝∠FEA，∠DFA＝∠AFE∴⊿FDA∽⊿FAE∴FA FD FE FA=例5．（★★，96年全国初中数学联赛四川赛区预赛）如图，Rt⊿ABC 中，∠C＝90°，∠A的平分线AD交BC边于D，求证：222 AC BC AD BD=《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级知识出版社，P180，6例6．（★）Rt⊿ABC中∠C＝90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D点引AB的平行线交BC于F，求证：BF＝EC【证明】：∵AE平分∠A∴CE ACEB AB=；∵DF∥AB，∴HD BFDC FC=∵⊿AC B∽⊿AHC，∴AC AH HD BF AB AC DC FC ===∴EC BFEB FC=，即EC BFEF FB EF EC=++整理得EC＝BF例7．（★★）已知P、Q分别是正方形ABCD边AB、BC上的点，且BP＝BQ，过B点作PC的垂线，垂足为H，证明：DH⊥HQ【证明】：∵∠PBC＝90°BH⊥PC∴⊿HBC∽⊿PBC，∴BH BP CH BC=∵BP＝BQ，∴BH BP BQ CH BC CD==又易得∠HBQ＝∠HCD，∴⊿BHQ∽⊿CHD ∴∠BHQ＝∠CHD，∴DH⊥HQ例8．（★★，93年黄冈初中竞赛）在等边三角形ABC的边BC上取点D，使12BDCD=，作CH⊥AD，连结BH，求证：∠DBH＝∠DAB【证明】：过A作AM⊥BC，垂足为M易证⊿BHQ∽⊿CHD，∴AD MDCD HD=，∵AM为⊿ABC的高，∴BM＝CM∵12 BD CD=∴CD＝2BD，DM＝12 BD，易得AD BDBD HD=，又∠ADB＝∠BDH∴⊿ADB∽⊿BDH，∴∠DBH＝∠DAB例9．（★★，94年安徽省数学竞赛）设P是等边三角形ABC的BC边上任一点，连结AP，作AP的中垂线交AB、AC于M、N；证明：BP PC BM CN⋅=⋅《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级知识出版社，P180，5例10．（★★，辽宁省竞赛题）设AM是⊿ABC边BC上的中线，任作一条直线分别交AB、AC、AM于P、Q、N，求证：ABAP、AMAN、ACAQ成等差数列．【证明】：过B、C分别作MN的平行线交PQ的延长线于E、F；易得1()2MN BE CF=+则1()2MN BE CF AN AN AN=+∵⊿BEP∽⊿ANP，∴BE BP AN AP=∵⊿CFQ∽⊿ANQ，∴CF CQ AN AQ=∴1()2MN BP CQ AN AP AQ=+根据合比定理得：1()2AM AB ACAN AP AQ=+【证明2】：过B、C分别作PQ的平行线交AM的延长线于E、F例11．（★★，97年河北初中竞赛）在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BE＝ED＝CF，求∠CEF＋∠CAD的度数；《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级知识出版社，P181，9例12．（★★★，99年上海中学数学实验班选拔赛）如图，AD是锐角⊿ABC边BC上的高，E是AD上的一点且满足AE CDED DB=，过D作DF⊥BE于F，求证：∠AFC＝90°【证明】：易得Rt⊿EFD∽Rt⊿DFB，ED DB EF DF=∴AE AE ED AE DB EF ED EF ED DF =⋅=⋅∵AE CDED DB=，∴AE CD DBEF DB DF=⋅，即AE CDEF DF=又∵∠AEF＝90°＋∠EDF＝∠CDF∴⊿AEF∽⊿CDF，故∠AFC＝∠DFE＝90°例13．（★★★，第17届IMO）在任意三角形ABC的边上向外作⊿BPC、⊿CQA、⊿ARB，使得∠PBC ＝∠CAQ＝45°，∠BCP＝∠QCA＝30°，∠ABR＝∠BAR＝15°，试证：（1）∠QRP＝90°；（2）PQ＝PR【证明】：以AB为边向外作正三角形ABS，连结RS、CS则∠SAR＝45°，∠ASR＝30°∴⊿CQA∽⊿SRA，∴SA RA CA AQ=∵∠SAC＝∠RAQ，∴⊿CAS∽⊿RAQ∴∠CSA＝∠QRA，且AR ASQR CS=（1）同理可得∠CSB＝∠PRB，且BR BSPR CS=（2）∵AR＝BR，AS＝BS由（1），（2）可得PR＝QR∵∠ARB＝180°－15°－15°＝150°∴∠QRP＝150°－（∠ARQ＋∠BRP）＝150°－（∠CSA＋∠CSB）＝150°－60°＝90°拓展：（★★★）如图，AD、BE、CF是锐角三角形ABC的三条高，M、N分别是BE、CF的中点，求证：⊿DMN∽⊿ABC【证明】取BC、CA、AB的中点P、S、Q，易知P、M、S共线，P、N、Q共线，连结SQ、DS、DQ∵DS＝12AB＝PQ，PS＝12AC＝DQ，PD为公共边∴⊿DSP≌⊿PQD∴∠DSP＝∠PQD，即∠DSM＝∠DQN；①又1212ABDS ABDQ ACAC==；1212AESM AEQN AFAF==又由⊿ABE∽⊿ACF，得AB AE AC AF=∴DS SMDQ QN= ② 由①②可知⊿DSM ∽⊿DQN ∴SD QDMD ND=，∠SDM ＝∠QDN ∴∠MDN ＝∠SDQ ∴⊿DMN ∽⊿DSQ但⊿DSQ ≌⊿ASQ ，⊿ASQ ∽⊿ABC ∴⊿DMN ∽⊿ABC 例14．（★，三角形内角平分线的性质）AD 是⊿ABC 的内角平分线，求证：BD ABDC AC=；反之亦然． 【证明】：过C 作CE ∥DA ，交BA 延长线于E ；易得AE ＝AC 则BD AB ABDC AE AC==例15．（★，三角形外角平分线的性质）如图，AE 是⊿ABC 的一条外角平分线，交BC 延长线于E ，求证：AB BEAC CE=． 【证明】：过C 作CF ∥EA ，交AB 于F ；易得AC ＝AF 则AB AB BEAC AF CE==例16．（★★★，90年上海）在⊿ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a b c >>，AS ，AS ’分别是∠A 的平分线和外角平分线，BT ，BT ’分别是∠B 的平分线和外角平分线，CU ，CU ’分别是∠C 的平分线和外角平分线，求证：111'''SS UU TT +=（图中只画出了AS ，AS ’） 【证明】∵AS ，AS ’分别是∠A 的平分线和外角平分线∴','CS b CS bSB c S B c == ∴',CS b CS b BC b c BC b c==+- 即,'ab abCS CS b c b c==+- ∴222''ab ab abcSS CS CS b c b c b c=-=-=-+- 同理可得：222222','abc abcUU TT a b a c ==-- 22222211()()1''22'b c a b a c SS UU abc abc TT -+--+===三、 练习题1．（★）在⊿ABC 中，∠C ＝90°，ED ⊥AB 于D ，AD ＝DB ，AB ＝20，AC ＝12，则DE 的长是（ ） A ．10 B ．8.5 C ．9.5 D ．7.5【解】：D2．（★）⊿ABC 中，∠C ＝90°，CD 是高，BC ＝2AC ，则AD ：DB 等于（ ） A ．1:2B ．1:2C ．1:3D ．1:4【解】：D3．（★）Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长为a 、b 、c ，斜边上的高为x ，则下列各式中成立的是（ ） A ．2ab x = B ．111a b x+= C ．222a b x +=D ．222111x a b =+ 【解】：D4．（★★）在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上任取一点P ，使⊿PAD 和⊿PBC 相似，这样的点P （ ） A ．有1个 B ．有2个 C ．有3个 D ．不存在 【解】：B ； 5．（★★）在⊿ABC 中，∠A ＝2∠B ，AC ＝4，AB ＝5，则BC 等于（ ） A ．6B ．7C ．35D ．5【解】：A ； 6．（★）如图，⊿ABC 被DE 、FG 分为面积相等的三部分，并且D E ∥FG ∥BC ，则D E ：FG ：BC ＝____________； 【解】：1:2:37．（★）如图，D 为⊿ABC 内一点，E 为⊿ABC 外一点，如果∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：⊿ABC ∽⊿DBE《三点一测丛书，初二数学》科学出版社，龙门书局，2004年版 P344，例78．（★★）图中，AD 、CF 是⊿ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线和AC 交于Q 点，求证：PQ ＝CF ； 《三点一测丛书，初二数学》科学出版社，龙门书局，2004年版 P346，例99．（★★，2000年重庆竞赛）⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1均为正三角形，BC 和B 1C 1的中点均为D ，求证：AA 1⊥CC 1 【证明】：连结AD ，A 1D ，延长AA 1交直线DC 于O ，交直线C 1C 于E ，在⊿AA 1D 和⊿CC 1D 中： ∠ADA 1＝90°－∠A 1DC ＝∠CDC 1； 又3ADDC=，113DA DC =，则⊿AA 1D ∽⊿CC 1D 则∠A 1AD ＝∠C 1CD又∠AOD ＝∠COE则∠CEO ＝∠ADO ＝90° 即AA 1⊥CC 110. （★★，96上海）如图，AD 为⊿ABC 的内角平分线，AD 的垂直平分线交BC 的延长线于F ，若34AC AB =，求FCFB的值； 【解】：916《全国初中数学竞赛试题分类集锦》几何分册 上海远东出版社，P122，611．（★★）AD 是等腰⊿ABC 底边BC 上的高，BM 及BN 是∠B 的三等分角线，分别交AD 于M 、N 点，连结CN 并延长交AB 于E ，求证：AM AEMN EB=【证明】易得EB＝EN∵AN平分∠BAC，∴AE EN AC NC=∴AE AC AB EN NC BN==∵AB AMBN MN=，∴AE AMEN MN=∴AM AE MN EB=。

相似三角形（射影定理及角平分线的性质）射影定理：【知识要点】1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角（2）Rt △ABC 中，∠C=90º，则 2+ 2= 2 （3）直角三角形的斜边上的中线长等于（4）等腰直角三角形的两个锐角都是 ，且三边长的比值为（5）有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

3、双垂直型：Rt △ABC 中，∠C=90º，CD ⊥AB 于D ，则 ① ∽ ∽ ②S △ABC =22③射影定理：CD 2= · AC 2= · BC 2= · 【常规题型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。

求AD 、BD 的长.2、已知，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。

（1）若AD=8，BD=2，求AC 的长。

（2）若AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。

【典型例题】例1．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。

求证：AD 2=AB ·AFBADFEGDCAB例2．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。

例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F 。

求证：AE ·BF ·AB ＝CD 3例4．在ABC Rt ∆中，k AC BC DE CE AB CD C ==⊥︒=∠,,,90，求CFBF角平分线的性质：【知识要点】如图，在△ABC 中，∠A 平分线交BC 边于D 点，则有：CDBDAC AB =. 证明：例6、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线分别为BD 和CE ，且DE ∥BC 。

第7讲 相似三角形3：射影定理、角平分线定理一、 例题部分 例1．（射影定理）在Rt ⊿ABC 中，∠A ＝90°，AD 是斜边上的高，求证： （1）2AD BD DC =⋅；（2）2AB BD BC =⋅；（3）2AC CD CB =⋅例2．如图，AD 是⊿ABC 的BC 边上的高，DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足为E 、F ，求证：AE AFAC AB=例3．在Rt ⊿ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ；求证：33AE AC BF BC=例4．如图，在Rt ⊿ABC 中，∠A ＝90°，BC 边的垂直平分线和AB 、CA 的延长线分别交于D 、E ，BC 的中点为F ，求证AF 是DF 与EF 的比例中项．例5．如图，Rt⊿ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线AD交BC边于D ，求证：222 AC BC AD BD=例6．Rt⊿ABC中∠C＝90°，∠A的平分线AE交BA上的高CH于D点，过D点引AB的平行线交BC于F，求证：BF＝EC例7．已知P、Q分别是正方形ABCD边AB、BC上的点，且BP＝BQ，过B点作PC的垂线，垂足为H，证明：DH⊥HQ例8．在等边三角形ABC的边BC上取点D，使12BDCD=，作CH⊥AD，连结BH，求证：∠DBH＝∠DAB例9．设P是等边三角形ABC的BC边上任一点，连结AP，作AP的中垂线交AB、AC于M、N；证明：BP PC BM CN⋅=⋅例10．设AM是⊿ABC边BC上的中线，任作一条直线分别交AB、AC、AM于P、Q、N ，求证：AB AP、AM AN 、ACAQ成等差数列．例11．在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BE＝ED＝CF，求∠CEF＋∠CAD的度数；例12．如图，AD是锐角⊿ABC边BC上的高，E是AD上的一点且满足AE CDED DB=，过D作DF⊥BE于F，求证：∠AFC＝90°例13．在任意三角形ABC的边上向外作⊿BPC、⊿CQA、⊿ARB，使得∠PBC＝∠CAQ＝45°，∠BCP ＝∠QCA＝30°，∠ABR＝∠BAR＝15°，试证：（1）∠QRP＝90°；（2）PQ＝PR例14．（三角形内角平分线的性质）AD是⊿ABC的内角平分线，求证：BD ABDC AC=；反之亦然．例15．（三角形外角平分线的性质）如图，AE是⊿ABC 的一条外角平分线，交BC延长线于E，求证：AB BEAC CE=．例16．在⊿ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且a b c >>，AS ，AS ’分别是∠A 的平分线和外角平分线，BT ，BT ’分别是∠B 的平分线和外角平分线，CU ，CU ’分别是∠C 的平分线和外角平分线，求证：111'''SS UU TT +=（图中只画出了AS ，AS ’）二、 练习题1．在⊿ABC 中，∠C ＝90°，ED ⊥AB 于D ，AD ＝DB ，AB ＝20，AC ＝12，则DE 的长是（ ） A ．10 B ．8.5 C ．9.5 D ．7.52．⊿ABC 中，∠C ＝90°，CD 是高，BC ＝2AC ，则AD ：DB 等于（ ） A ．1:2B ．1:2C ．1:3D ．1:43．Rt ⊿ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长为a 、b 、c ，斜边上的高为x ，则下列各式中成立的是（ ） A ．2ab x =B ．111a b x+= C ．222a b x +=D ．222111x a b =+ 4．在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上任取一点P ，使⊿PAD 和⊿PBC 相似，这样的点P （ ） A ．有1个 B ．有2个 C ．有3个 D ．不存在5．在⊿ABC 中，∠A ＝2∠B ，AC ＝4，AB ＝5，则BC 等于（ ） A ．6B ．7C ．35D ．56．如图，⊿ABC 被DE 、FG 分为面积相等的三部分，并且D E ∥FG ∥BC ，则D E ：FG ：BC ＝____________；7．如图，D为⊿ABC内一点，E为⊿ABC外一点，如果∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：⊿ABC∽⊿DBE8．图中，AD、CF是⊿ABC的两条高线，在AB上取一点P，使AP＝AD，再从P点引BC的平行线和AC交于Q点，求证：PQ＝CF；9．⊿ABC和⊿A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D，求证：AA1⊥CC110. 如图，AD为⊿ABC的内角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F，若34ACAB=，求FCFB的值；11. AD是等腰⊿ABC底边BC上的高，BM及BN是∠B的三等分角线，分别交AD于M、N点，连结CN并延长交AB于E，求证：AM AE MN EB=。

相似三角形------射影定理的推广及应用射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。

一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。

下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。

一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。

（证明略）二、变式推广１．逆用如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。

（证明略）２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。

（后文简称：射影定理变式（2））如图（２）：△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。

（证明略）三、应用例１如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。

（证明略）例２ 如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分， 求ＤＣ。

相似三角形——相似直角三角形及射影定理【知识要点】1、直角三角形的性质：〔1〕直角三角形的两个锐角〔2〕Rt △ABC 中，∠C=90º，那么2+2=2〔3〕直角三角形的斜边上的中线长等于〔4〕等腰直角三角形的两个锐角都是，且三边长的比值为〔5〕有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于，且三边长的比值为2、直角三角形相似的判定定理〔只能用于选择填空题〕如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

3、双垂直型：Rt △ABC 中，∠C=90º，CD ⊥AB 于D ，那么①∽∽②射影定理：CD 2=· AC 2=· BC 2=·【常规题型】1、：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。

求AD 、BD 的长.2、，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。

〔1〕假设AD=8，BD=2，求AC 的长。

〔2〕假设AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长。

BA【典型例题】例1．如下图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM 。

例2．：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90º，DF ⊥AC 于E ，且与AB 的延长线相交于F ，与BC 相交于G 。

求证：AD 2=AB ·AF例3．〔1〕ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AB CD ⊥，垂足为D ，DE 、DF 分别是BDC ADC ∆∆和的高，这时CAB DEF ∆∆和是否相似？【拓展练习】1、：如图，AD 是△ABC 的高，BE ⊥AB ，AE 交BC 于点F ，AB ·AC=AD ·AE 。