角平分线定理、垂直平分线定理

学生做题前请先回答以下问题问题1：线段垂直平分线的定理及其逆定理的内容分别是什么？答：线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．问题2：角平分线定理及其逆定理的内容分别是什么？答：角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；角平分线的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．问题3：什么是反证法？答：反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或者已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．问题4：你能用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角吗？答：证明：假设等腰三角形ABC的底角是钝角或直角，①妨设∠B和∠C是钝角，即∠B=∠C90°，∴∠A+∠B+∠C180°这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠B和∠C是钝角”的假设不成立；②妨设∠B和∠C是直角，即∠B=∠C=90°，∴∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C180°这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠B和∠C是直角”的假设不成立；∴等腰三角形的底角必为锐角．三角形的证明（垂直平分线，角平分线）（北师版）一、单选题(共11道，每道9分)1.三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，则满足要求的加油站地址有()种情况．A.1B.2C.3D.4答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质定理2.如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠BAC两边的距离相等，且PA=PB，下列确定点P的方法正确的是()A.P是∠BAC与∠B两角平分线的交点B.P是∠BAC的角平分线与AB的垂直平分线的交点C.P是AC，AB两边上的高的交点D.P是AC，AB两边的垂直平分线的交点答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质定理3.如图，在△ABC中，AB=10，BC=15，AC=20，点O是△ABC内角平分线的交点，则△ABO，△BCO，△CAO 的面积比是()A.1：1：1B.1：2：3C.2：3：4D.3：4：5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质定理4.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为()A.11B.5.5C.7D.3.5答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定和性质5.已知△ABC，（1）如图1，若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则；（2）如图2，若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则；（3）如图3，若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则．上述结论正确的有()个．A.1 B.2C.3D.0答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质定理6.如图，AC=AD，BC=BD，则有()A.AB垂直平分CDB.CD垂直平分ABC.AB与CD互相垂直平分D.CD平分∠ACB答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的判定定理7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是()A.10cmB.12cmC.13cmD.17cm答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质8.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=110°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于()A.50°B.40°C.30°D.20°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质9.如图，在△DAE中，∠DAE=30°，线段AE，AD的中垂线分别交直线DE于B，C两点，则∠BAC的度数是()A.80°B.90°C.100°D.120°答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质10.已知A，B两点在线段EF的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°，则∠AEB等于()A.95°B.15°C.95°或15°D.170°或30°答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质11.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于F，交BC的延长线于E．下列说法：①∠EAD=∠EDA；②DF∥AC；③AD=AE；④∠EAC=∠B．其中正确的有()A.①②B.③④C.①②③D.①②④答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：线段垂直平分线的性质。

线段的垂直平分线知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1)垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示:如图１,已知直线m 与线段ＡB 垂直相交于点D,且A Ｄ＝B Ｄ，若点C 在直线ｍ上,则AC ＝ＢC.定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1)线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 定理的数学表示:如图2,已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝ＢD ，若A Ｃ＝BC,则点C 在直线ｍ上．定理的作用:证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理(1)关于三角形三边垂直平分线的定理:三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3,若直线,,i j k 分别是△A ＢC 三边AB 、B Ｃ、CA 的垂直平分线,则直线,,i j k 相交于一点Ｏ，且OA=ＯB=O Ｃ.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形内部;若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形,则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部,则该三角形是锐角三角形;三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图１,在△AB Ｃ中，B Ｃ＝8c ｍ，A Ｂ的垂直平分线交AB 于点D,交边AC 于m图1DABCm图2DABCjik图3OBCA点E,△B ＣＥ的周长等于１8cm,则A Ｃ的长等于( ) A.6ｃm B.8cm ﻩ C.1０ｃｍ D.１2cm 针对性练习：已知:1)如图,AB=AC=14cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点Ｄ，交ＢＣ于点 ＡE ，如果△EBC 的周长是24cm,那么BC= 2) 如图,A Ｂ=AC ＝14cm ，AB的垂直平分线交AB 于点D,交BC 于点 E ，如果BC=8cm ，那么△EB Ｃ的周长是如图，AB=ＡC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E,如果∠A=2８度，那么∠ＥBC 是例2. 已知:如图所示，AB=ＡＣ,ＤB ＝DC ，E 是AD 上一点,求证：B Ｅ＝ＣE 。

平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理在数学中，平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理是关于平面向量的重要性质。

这两个定理在解决几何问题以及证明定理时起到了重要的推动作用。

在本文中，我们将探讨平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理的定义、性质以及应用。

1. 平面向量的垂直平分线定理平面向量的垂直平分线定理是指，对于一个平面内的两个不共线的向量a和b，垂直于向量a和向量b的直线称为向量a和向量b的垂直平分线。

具体而言，垂直平分线经过向量a的起点、向量b的终点以及二者的中点。

垂直平分线的性质如下：- 垂直平分线上的任意一点到向量a和向量b起点的距离相等。

- 垂直平分线将平面分成两个相等的部分。

- 垂直平分线上的任意一点与向量a和向量b之间的夹角都是45度。

垂直平分线定理的应用之一是解决平面三角形的问题。

通过构造垂直平分线，可以求解三角形的内切圆、外接圆、重心以及其他重要性质。

此外，垂直平分线还可以用于证明定理和性质，为进一步的数学推导提供基础。

2. 角平分线定理角平分线定理是指，对于一个平面内的两个相邻角，在它们共有的边上存在一条直线，称为角平分线。

具体而言，角平分线经过相邻角的顶点以及它们共有的边的中点。

角平分线的性质如下：- 角平分线将平面分成两个相等的部分。

- 角平分线上的任意一点到相邻角的两条边的距离相等。

- 角平分线将相邻角划分成相等的两个角。

角平分线定理的应用之一是解决几何问题中与角度相关的计算。

通过构造角平分线，可以帮助我们求解角的大小、证明定理以及推导几何性质。

角平分线在三角形、四边形以及其他多边形的研究中具有重要作用。

总结：平面向量的垂直平分线定理和角平分线定理是数学中关于平面向量的重要性质。

垂直平分线和角平分线的定义、性质以及应用使得我们能够更好地理解向量的性质和几何问题。

通过应用垂直平分线和角平分线定理，我们能够解决一些与平面向量和角度相关的问题，证明数学定理以及推导几何性质，为数学研究和实际应用提供了有力的工具。

几何中的角平分线与垂直平分线在几何学中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

它们不仅帮助我们理解和解决各种几何问题，还具有广泛的应用。

本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、角平分线的定义和性质角平分线是指将一个角平分为两个相等角的线段。

设角BAC是一个角，如果直线AD将该角分为两个相等的角，即∠BAD = ∠DAC，则称直线AD为角BAC的角平分线。

角平分线具有以下性质：1. 角平分线将原角分为两个相等的角。

根据定义可知，角平分线将原角BAC分为∠BAD和∠DAC，且∠BAD = ∠DAC。

2. 角平分线上的点到角两边的距离相等。

设点D为角BAC的角平分线，点E、F分别位于边BA和边AC 上，且DE = DF。

根据三角形的性质可知，∠BDE ≌∠CDF（角平分线AD将角BAC分为两个相等角），因此△BDE ≌△CDF。

根据全等三角形的性质可得，BE = CF，即角平分线上的点到角两边的距离相等。

3. 角平分线与角的两边垂直。

根据性质2可知，点D到边BA的距离等于点D到边CA的距离，即DE = DF。

而∠BED和∠CED为角内角，因此根据三角形的性质可得，△BED ≌△CED，进而得出BE = CE。

根据等腰三角形的性质可知，BE = CE，则∠BDE = ∠CDE = 90°。

因此，角平分线与角的两边垂直。

二、垂直平分线的定义和性质垂直平分线是指将线段垂直平分为两个相等线段的线。

设线段AB为一条线段，如果直线CD同时垂直于线段AB并将其等分，即AC = CB，则称直线CD为线段AB的垂直平分线。

垂直平分线具有以下性质：1. 垂直平分线将原线段分为两个相等线段。

根据定义可知，垂直平分线CD将线段AB分为AC和CB，且AC = CB。

2. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

设点D为线段AB的垂直平分线，点E、F分别为线段AB的两个端点，且DE = DF。

空间几何中的角平分线与垂直平分线空间几何是研究三维空间中各种图形的性质和关系的数学分支。

在空间几何中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在几何问题中的应用。

一、角平分线在平面几何中，我们知道，如果一条线段将一个角分成两个相等的部分，那么这个线段就称为角的平分线。

同样地，在空间几何中，角平分线也有类似的定义。

定义：在空间中，如果一条直线通过一个角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这条直线就称为这个角的平分线。

角平分线的性质：1. 角平分线将角分成两个相等的角。

2. 角平分线与角的边相交于角的顶点。

3. 如果一个平面与角的两个边相交于角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这个平面就是这个角的平分面。

而角平分线正好是角的平分面在角的顶点上的交线。

角平分线的应用：1. 角平分线可以帮助我们确定角的大小。

通过寻找并绘制角的平分线，我们可以将角分成两个相等的部分，从而更方便地计算和推导角的性质。

2. 角平分线可以用来解决一些几何问题。

例如，当我们希望构造一个特定大小的角时，可以通过角平分线的方法来实现。

二、垂直平分线垂直平分线是另一个在空间几何中常见的概念。

在平面几何中，垂直平分线是指一条通过线段中点并且垂直于这条线段的直线。

在空间几何中，垂直平分线的定义稍有不同。

定义：在空间中，如果一条直线垂直于一条线段，并且将这条线段分成两个相等的部分，那么这条直线就称为这条线段的垂直平分线。

垂直平分线的性质：1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分。

2. 垂直平分线与线段的中点相交。

3. 如果一平面垂直于一线段，并且将这线段分成两个相等的部分，那么这平面就是这线段的垂直平分面。

而垂直平分线则是垂直平分面在线段中点上的交线。

垂直平分线的应用：1. 垂直平分线可以帮助我们确定线段的长度。

通过绘制线段的垂直平分线，我们可以将线段分成两个相等的部分，从而更方便地计算和推导线段的性质。

角平分线和线段垂直平分线的性质1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmm图1DABCA ．2个B ．3个C ．4个D ．1个4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90，AP 平分∠DAB ，PB平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是（ ）A ．PD>PCB ．PD<PC C ．PD=PCD ．无法判断 。

5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。

6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ）PDCBA EDCB A DCB AE D CB A图图图图A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有（ ） A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、②③④7题图8题图 9题图 8、如图所示，在ABC 中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则EB 的长是（ ）A 、3㎝B 、4㎝C 、5㎝DECBADECBAcb aD、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。

角平分线和线段的垂直平分线一、知识点讲解：1. 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；定理2：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

2.角平分线另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

3.在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设。

那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做另一个的逆命题。

4.如果一个定理的逆命题是经过证明的真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理。

其中一个叫另一个的逆定理，虽然一个命题都有逆命题，但一个定理并不都有逆定理。

5.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

6.线段的垂直平分线另一种定义：线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。

二、例题精讲例1.已知如图，在ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD⊥EF。

分析：欲证AD⊥EF，就要证∠AOE=∠AOF=∠EOF=90°。

所以要考虑证ΔAEO≌ΔAFO。

由题中条件可知ΔAEO，ΔAFO已有一边（公共边）一角对应相等，只要证出AE=AF问题就解决了，所以需先证明ΔAED≌ΔAF D。

证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC（已知）∴DE=DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）在RtΔAED和RtΔAFD中∴RtΔAED≌RtΔAFD(HL), ∴AE=AF(全等三角形的对应边相等)在ΔAEO和ΔAFO中∴ΔAEO≌ΔAFO,∴∠AOE=∠AOF (全等三角形对应角相等)∴∠AOE=∠EOF=90°，∴AD⊥EF（垂直定义）。

例2.写出下列定理的逆命题，并判断真假。

(1)同位角相等，两直线平行。

(2)如果x=3，那么x2=9.(3)如果ΔABC是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，ΔABC的三个外角中只有两个钝角。

角平分线与垂直平分线在几何学中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

它们在解决几何问题和证明定理时起到了关键作用。

本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。

一、角平分线角平分线是指将一个角分成两个相等角的直线或线段。

对于任意一个角ABC，如果直线AD将角ABC分成两个相等角，那么称直线AD 为角ABC的角平分线。

如图1所示，AD是角ABC的角平分线。

角平分线有以下的性质：1. 角平分线与角的两边垂直角平分线与角的两边垂直是角平分线的重要性质之一。

也就是说，角的两边与角平分线之间的夹角是90度。

这是很容易证明的，我们可以利用垂直角的性质来证明。

2. 角平分线相交于角的内部角平分线与角的两边相交于角的内部。

这可以通过反证法来证明。

假设角平分线与角的内部不相交，那么根据对角分线定理，该线段将角分成两个不等的角，与角平分线的定义相矛盾。

3. 角平分线将角分成两个相等角这是角平分线的定义所保证的。

通过角的内部一点作角的角平分线，可以将角分成两个相等的角。

这一性质在解决几何问题时经常会被应用。

二、垂直平分线垂直平分线是指将一条线段分成两个相等的线段，并且与该线段垂直的直线或线段。

对于线段AB，如果直线CD将线段AB平分，并且垂直于线段AB，那么称直线CD为线段AB的垂直平分线。

如图2所示，CD是线段AB的垂直平分线。

垂直平分线也有一些重要的性质：1. 垂直平分线与线段相交于线段的中点垂直平分线与线段相交于线段的中点，这是垂直平分线的定义所保证的。

线段的中点是指线段的两个端点的中点，可以通过连结线段的两个端点并取垂直平分线上的一点来证明。

2. 垂直平分线是线段的对称轴垂直平分线将线段分成两个相等的部分，并且对称于垂直平分线。

这是因为线段的两侧与垂直平分线之间的距离相等。

3. 垂直平分线垂直于线段垂直平分线与线段垂直是垂直平分线的重要性质之一。

也就是说，线段与垂直平分线之间的夹角是90度。

平面几何中的角平分线和垂直平分线在平面几何中，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

它们在解决三角形和四边形等几何问题时起到了关键的作用。

本文将详细介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质和应用。

一、角平分线角的平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。

具体而言，对于一个角ABC，如果有一条直线AD，使得∠DAB和∠DAC的度数相等，则称线段AD为角ABC的平分线。

如下图所示：[图]角平分线具有以下性质：1. 角平分线将原始角分成两个度数相等的角。

2. 角平分线与角的两边相交，且交点在角的内部。

3. 如果一条线段是角的平分线，则这条线段上的所有点到角的两边的距离相等。

角平分线的应用广泛。

在解决几何问题时，我们常常需要根据已知条件来确定角的度数，进而研究其他相关性质。

在构造角的平分线时，可以帮助我们将一个角划分为两个相等的部分，从而简化问题的处理。

二、垂直平分线垂直平分线是指将一个线段分成两个相等部分，并且与该线段垂直的直线。

具体来说，对于一个线段AB，如果有一条直线CD，使得CD与AB垂直且AD=BD，则称线段CD为线段AB的垂直平分线。

如下图所示：[图]垂直平分线具有以下性质：1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分。

2. 垂直平分线与线段的中点重合。

垂直平分线的应用也非常广泛。

在解决几何问题时，我们经常需要将线段平分成相等的部分，以便进行进一步的研究。

垂直平分线的存在可以帮助我们确定线段的中点，并且可以方便地构造出与线段垂直的直线。

综上所述，角平分线和垂直平分线在平面几何中具有重要的地位和作用。

它们的定义和性质为我们解决各种几何问题提供了有力的工具和方法。

熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质，对于理解和应用几何知识具有重要的意义。

因此，在学习和研究平面几何的过程中，我们应该注重对角平分线和垂直平分线的理解和运用。

相信通过不断的练习和实践，我们将能够灵活地应用它们，解决各类几何问题。

线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。

4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4，∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB于点D ， ∴ CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，图1图2图4∵点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PC＝PD，∴点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.【典型例题】例1、如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm【跟踪练习】（1）如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=_________;（2）如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是______;（3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ， 如果∠A=28度，那么∠EBC=___.例2、已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE.【跟踪练习】已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC.求证：点O 在BC 的垂直平分线.例3、在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角C∠B的大小为_______________。

线段的垂直平分线与角平分线【知识框架】1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1.∵ CD ⊥AB.且AD ＝BD∴ AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2.∵ AC ＝BC∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：三角形三边的垂直平分线相交于一点.并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.性质的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形.则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形.则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形.则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之.也成立。

4、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.定理的数学表示：如图4.∵ OE 是∠AOB 的平分线.F 是OE 上一点.且CF ⊥OA 于点C.DF ⊥OB 于点D. ∴ CF ＝DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形.它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5.∵点P 在∠AOB 的内部.且PC ⊥OA 于C.PD ⊥OB 于D.且PC ＝PD.图1图2图4∴点P在∠AOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点.并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6.如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线.那么：① AP、BQ、CR相交于一点I；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F.则DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.【典型例题】例1、如图1.在△ABC 中.BC ＝8cm.AB 的垂直平分线交AB 于点D.交边AC 于点E.△BCE 的周长等于18cm.则AC 的长等于（ ） A ．6cm B ．8cm C ．10cm D ．12cm【跟踪练习】（1）如图.AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果△EBC 的周长是24cm.那么BC=_________;（2）如图.AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果BC=8cm.那么△EBC 的周长是______;（3）如图.AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D.交AC 于点E. 如果∠A=28度.那么∠EBC=___.例2、已知： AB=AC.DB=DC.E 是AD 上一点.求证：BE=CE.【跟踪练习】已知：在△ABC 中.ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC.求证：点O 在BC 的垂直平分线.例3、在△ABC 中.AB=AC.AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°.△ABC 的底角∠B的大小为_______________。

基本内容 线段的垂直平分线及角的平分线知识精要一、线段的垂直平分线1、线段的垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

2、线段的垂直平分线逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

二、角的平分线1、角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

2、角平分线逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

3、角平分线可以看作是在这个角内部（包括顶点）到角两边的距离相等的点的集合 提问：在使用角平分线的性质定理及其逆定理时，应注意哪些方面？ 回答：必须有两个垂直的条件，若缺少垂直条件时，可考虑添加辅助线；热身练习1、如图，在△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D,且DC=AC,求△ABC 各角的大小.解：108,36A B C ∠=︒∠=∠=︒；2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，且DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， 求证：BE=CF证明：因为AB=AC ，AD 是中线 所以BD=DC ，∠B=∠C ，AD 是角平分线， 因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC 所以DE=DF所以BDE CDF ∆≅∆ 所以BE=FC3、如图△ABC 的外角平分线∠DBC 、∠ECB 的平分线相交于点F ，求证：点F 在∠A 的平分线上ADCAB CDEF证明：过F 作AE 的垂线交于点M ，作AD 的垂 线交于点N ，作BC 的垂线交于点O 因为CF 是∠ECB 平分线，所以MF=FO因为FB 是∠DBC 平分线，所以NF=FO 所以MF=NF ，又因为MF 垂直AE ，NF 垂直AD 所以AF 是∠A 的平分线4、 如图，过△ABC 的边BC 的中点M ，作直线平行于∠A 的平分线AA ′，而交直线AB 于E 、F ，求证：CF=1/2(AB+AC)证明：延长FM 到点G ，使FM=MG ，连接BG ∵M 为BC 的中点 ∴BMG CMF ∆≅∆ ∴BG=CF 又∵AA’平分∠BAC 且EM// AA’∴''E BAA A AF AFE CFG G ∠=∠=∠=∠=∠=∠ ∴AE=AF ，BE=BG=CF ∵BE=AB+AE,CF=AC-AF ∴AB+AC=BE+CF=2CF ∴CF=1/2(AB+AC)5、如图，求作点P ，使P 到C 、D 的距离相等，同时到角两边的距离也相等 解：先作线段DC 的垂直平分线，再作∠A 的平分线， 两直线所交的点即为点P精解名题ABCDEF例1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，EF 是AD 的中垂线， 求证：（1）∠EAD=∠EDA ；（2）DF ∥AC ；（3）∠EAC=∠B证明：（1）因为EF 是AD 的中垂线所以AE=DE ，所以∠EAD=∠EDA （2）因为EF 是 AD 的中垂线，所以FA=FD 所以∠FAD=∠FDA 又因为AD 是角平分线，所以∠FAD=∠DAC所以∠FDA=∠DAC ，所以DF ∥AC （3）因为∠EDA=∠B+∠BAD ；∠EAD=∠EAC+∠DAC又因为∠EAD=∠EDA ，∠BAD=∠DAC ；所以∠B=∠EAC ；例2、AP 、BP 分别平分∠DAB 、∠CBA,PM ⊥AD 于点M,PN ⊥BC 于点N, 求证：点P 在线段MN 的垂直平分线上. 证明：过点P 作PE ⊥AB 于点E ，连接MN∵AP 平分∠DAB ∴PM=PE ∵BP 平分∠CBA ∴PE=PN ∴PM=PN∴点P 在线段MN 的垂直平分线上例3、如图, 在△ABC 中，点D 、E 分别在AC 、AB 上，BM 平分∠ABC ，CM 平分∠ACB ，EN 平分∠BED ，DN 平分∠EDC 。