安徽江南十校高三下学期综合素质检测(4月) 数学(理)含答案

2023年安徽省江南十校高考数学联考试卷1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 设i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知平面向量的夹角为，且，则( )A. B. C. D.4. 安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体已知该正方体中，点E，F分别是棱，的中点，过，E，F三点的平面与平面ABCD的交线为l，则直线l与直线所成角为( )A. B. C. D.5. 为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种.( )A. 40B. 24C. 20D. 126. 已知函数，则下列说法正确的是( )A. 点是曲线的对称中心B. 点是曲线的对称中心C. 直线是曲线的对称轴D. 直线是曲线的对称轴7. 在三棱锥中，底面ABC，，，则三棱锥外接球的表面积为( )A. B. C. D.8. 已知，则a，b，c的大小关系为( )A.B. C.D.9. 已知函数，则( )A. 是奇函数B. 的单调递增区间为和C. 的最大值为D.的极值点为10.在平行六面体中，已知，，则( )A. 直线与BD 所成的角为B. 线段的长度为C.直线与所成的角为D. 直线与平面ABCD 所成角的正弦值为11. 已知O 为坐标原点，点，，线段AB 的中点M 在抛物线C ：上，连接OB 并延长，与C 交于点N ，则( )A. C 的准线方程为B. 点B 为线段ON 的中点C. 直线AN 与C 相切D. C 在点M 处的切线与直线ON 平行12. 已知函数和及其导函数和的定义域均为R ，若，，且为偶函数，则( )A. B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于直线对称D.13.的展开式中，常数项为______ 用数字作答14. 已知圆C ：，直线l ：是参数，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为______ .15. 已知直线l 与椭圆交于M ，N 两点，线段MN 中点P 在直线上，且线段MN 的垂直平分线交x 轴于点，则椭圆E 的离心率是______ .16. 若过点有3条直线与函数的图象相切，则m 的取值范围是______ .17. 在平面直角坐标系Oxy 中，锐角、的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 的交点分别为P ，已知点P 的纵坐标为，点Q 的横坐标为求的值；记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.①若，且，求周长的最大值.②若，，且，求的面积.18. 已知在递增数列中，，为函数的两个零点，数列是公差为2的等差数列.求数列的通项公式；设数列的前n 项和为，证明：19. 渔船海上外出作业受天气限制，尤其浪高对渔船安全影响最大，二月份是某海域风浪最平静的月份，浪高一般不超过某研究小组从前些年二月份各天的浪高数据中，随机抽取50天数据作为样本，制成频率分布直方图：如图根据海浪高度将海浪划分为如下等级：浪高海浪等级微浪小浪中浪大浪海事管理部门规定：海浪等级在“大浪”及以上禁止渔船出海作业.某渔船出海作业除受浪高限制外，还受其他因素影响，根据以往经验可知：“微浪”情况下出海作业的概率为，“小浪”情况下出海作业的概率为，“中浪”情况下出海作业的概率为，请根据上面频率分布直方图，估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率，并求该渔船在这天出海作业的概率；气象预报预计未来三天内会持续“中浪”或“大浪”，根据以往经验可知：若某天是“大浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为；若某天是“中浪”，则第二天是“大浪”的概率为，“中浪”的概率为现已知某天为“中浪”，记该天的后三天出现“大浪”的天数为X，求X的分布列和数学期望.20. 如图，四棱锥中，为等腰三角形，，，，证明：；若，点M在线段PB上，，求平面DMC与平面PAD夹角的余弦值.21. 我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，，分别为，的离心率，且，点M，N分别为椭圆的左、右顶点.求双曲线的方程；设过点的动直线l交双曲线右支于A，B两点，若直线AM，BN的斜率分别为，试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；求的取值范围.22. 已知函数若在定义域上具有唯一单调性，求k的取值范围；当时，证明：答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，则，，，，，故选：分别将两个集合中的元素表示出来，再求补集，交集．本题考查集合的运算，考查二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为，所以复数对应的点为在第四象限，故选：利用复数的运算性质化简复数z，求出对应的点的坐标，由此即可求解．本题考查了复数的运算性质，涉及到复数的实际意义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：已知平面向量的夹角为，且，则，则，故选：由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题．4.【答案】A【解析】解：如图所示，在平面中，连接与DA交于H，则，在平面中，连接与DC交于G，则，则GH为平面与平面ABCD的交线l，且，而在等边中AC与所成的角为，故l与直线所成角为故选：作出平面与平面ABCD的交线l，再求l与直线所成角．本题考查异面直线所成的角的求法，属基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种，故选：根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．本题考查了排列组合的应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：，当，则，此时，则函数关于对称，故A错误，当，则，此时，则函数关于对称，故B错误，当，则，此时，则函数关于对称，故C正确，当，则，此时，则函数关于点对称，故D错误，故选：利用辅助角公式进行化简，然后分别利用对称性进行判断即可．本题主要考查三角函数对称性的判断，根据辅助角公式进行化简是解决本题的关键，是中档题．7.【答案】B【解析】解：在三棱锥中，底面ABC，如图所示：在中，，，利用余弦定理：，解得：，设的外接圆的半径为R，利用正弦定理，解得，过点E作的垂线和AP的垂直平分线交于点O，即点O为三棱锥外接球的球心，设球的半径为r，故；所以故选：首先利用正弦定理和余弦定理求出三棱锥的外接球的半径，进一步利用球的表面积公式求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，求和三棱锥的关系，球的表面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．8.【答案】D【解析】解：，，，，设，，所以在上单调递减，因为，所以，所以，，令，，，所以在上单调递增，又，所以，所以，所以，故选：，，，则，设，，求导分析单调性，即可得出b与a的大小关系；，令，，求导分析单调性，即可得出b与c的大小关系，即可得出答案．本题考查函数的单调性，数的大小，属于基础题．9.【答案】AB【解析】解：对于A，因为对，，所以是R上的奇函数，故A正确；对于B，由得或，所以的单调递增区间为和，故B正确；对于C，因为时，，所以无最大值，故C错误；对于D，由得，经检验是函数的极大值点，是函数的极小值点，极值点是实数，故D错误，故选：根据奇偶性的定义可判断A；对函数求导，令可得函数的增区间，即可判断B；根据时，，所以无最大值，即可判断C；由得，检验可得为函数的极值点，即可判断本题主要考查了三次函数的性质，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：在平行六面体中，取，，，，，，，对于A：，，，则，故直线与BD所成的角为，故A正确；对于B：，则，即，故B错误；对于C：，故，即，故直线与所成的角为，故C正确；对于D：在平行六面体中，四边形ABCD是菱形，则，又，，平面，平面，平面，又平面ABCD，则平面平面ABCD，连接AC交BD于点O，过点作于点E，如图所示：平面平面，平面，平面ABCD，直线与平面ABCD所成角为，，则，即，在中，，故D错误，故选：在平行六面体中，取，，，利用空间向量的线性运算，逐一分析选项，即可得出答案．本题考查直线与平面的夹角、异面直线的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对A，根据中点公式得，将其代入C：得，则，所以抛物线C：的准线方程为，故A错误；对B，因为，则直线OB的斜率为a，则直线OB的方程为，将其代入C：得，解得或舍去，此时，则，所以B为ON中点，故B正确；对C，C：，即，则，故抛物线C在点N处的切线的斜率为，故切线方程为，令得，所以直线AN为C的切线，故C正确；对D，抛物线C：在处的切线方程的斜率为，而直线ON的斜率为a，则两直线的斜率相等，且两直线显然不可能重合，所以C在点M处的切线与直线ON平行．故选：将代入抛物线得，则得到其准线方程，则可判断A，联立直线OB的方程与抛物线方程即可得到，即可判断B，利用导数求出抛物线C在点N处的切线方程，令，则可判断C，再次利用导数求出抛物线在处的切线斜率，则可判断本题考查了抛物线的性质，属于中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，由为偶函数得，即有，则的图象关于直线对称，对两边同时求导得：，令，得，故A正确；对于B，由关于直线对称得，由，得，所以，即的图象关于直线对称，故B正确；对于C，对两边同时求导得，由，得，则，即，所以的图象关于直线对称，故C正确；对于D，由，得，结合C选项可知，，即，所以，所以4是函数的一个周期，由，得4也是函数的一个周期，由，得，所以，故D错误．故选：根据为偶函数，可得，两边求导即可判断A；由关于直线对称得，结合，即可判断B；根据，两边同时求导得，从而可判断C；先求出函数和的周期，再结合函数的对称性即可判断本题考查了复合函数的奇偶性、周期性、对数性及复合函数的求导、导数的对称性及奇偶性，属于中档题．13.【答案】60【解析】解：的展开式的通项公式为，，1，，当，即时，；当时，无解；展开式中的常数项为，故答案为：当前边括号取3时，后边括号取常数项；当前边括号取x时，后边括号取项，无解；由此计算出常数项即可．本题考查二项式展开式的应用，考查学生计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：圆C：的圆心坐标为，半径为由直线l：，得，联立，解得直线l过定点，又，点在圆内部，则当直线l与线段PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小．此时直线l被圆C截得的弦长的最小值为故答案为：由圆的方程求出圆心坐标与半径，由直线方程可得直线过定点，求得，再由垂径定理求得直线l被圆C截得的弦长的最小值．本题考查直线与圆的位置关系，考查了垂径定理的应用，属中档题．15.【答案】【解析】解：根据题意设MN中点，又，直线的斜率为，又，直线MN的斜率为，设，，则，两式相减可得：，，，椭圆E的离心率，故答案为：根据直线垂直的条件，点差法，方程思想，化归转化思想，即可求解．本题考查椭圆的离心率的求解，点差法的应用，方程思想，属中档题．16.【答案】【解析】解：设切点为，则，过点P的切线方程为，代入点P坐标化简为，即这个方程有三个不等根即可，令，求导得到，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，又，当时，，要使方程有三个不等实数根，则，的取值范围是：故答案为：求出函数的导函数，可得函数的最值，即可求得实数m的取值范围．本题考查的是导数的几何意义的应用，将函数的切线条数转化为切点个数问题，最终转化为零点个数问题是解决此题的关键，是中档题．17.【答案】解：因为，是锐角，所以P，Q在第一象限，又因为P，Q在单位圆上，点P的纵坐标为，点Q的横坐标为，所以，所以故选①：由中结论可得，又，，由余弦定理可得，即，，，，当时，等号成立，，即当为等边三角形时，周长最大，最大值为选②：由可知，则，由正弦定理，可得，故，则【解析】先利用三角函数的定义与同角的平方关系求得，，，，再利用余弦的和差公式即可得解；选①：先结合中条件得到，再利用余弦定理与基本不等式推得，从而得解；选②：先结合中条件求得，再利用正弦定理求得a，b，从而利用三角形面积公式即可得解．本题考查了正余弦定理、三角函数的定义以及基本不等式的应用，属于中档题．18.【答案】解：在递增数列中，，为函数的两个零点，可得，，公差，则数列是首项为5，公差为2的等差数列，则，则；证明：，则，因为，所以【解析】令，解方程可得，，再由等差数列的通项公式和数列的恒等式，等差数列的求和公式，计算可得所求通项公式；求得，再由数列的裂项相消求和，结合不等式的性质可得证明．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】解：记这天浪级是“微浪”为事件，浪级是“小浪”为事件，浪级是“中浪”为事件，浪级是“大浪”为事件，该渔船当天出海作业为事件B ，则由题意可知：，，，所以依题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，所以，，，，则X 的分布列为：X 0123P所以【解析】根据频率分布直方图计算频率即可估计二月份的某天各种海浪等级出现的概率；根据全概率公式可求得该渔船在这天出海作业的概率；依题意可知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，即可得出分布列，根据期望公式求出期望．本题主要考查概率的求法，离散型随机变量分布列及数学期望，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】证明：取AD的中点O，连接OP，OC，如图，因为，则，又，即有，而，于是四边形ABCO为平行四边形，又，则，又，PO，平面POC，所以平面POC，又，因此平面POC，而平面POC，所以；解：因为，，且，AD，平面PAD，则平面PAD，又，则平面PAD，分别以OC，OP，OD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，又，则，，又，则，所以，，，，，则，，设平面DMC的法向量为，则，令，得，又平面PAD的一个法向量为，则，所以平面DMC与平面PAD夹角的余弦值为【解析】根据给定条件，取AD的中点O，利用线面垂直的判定证明平面POC即可推理作答；以O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答．本题考查了线线垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．21.【答案】解：由题意可设双曲线：，则，解得，双曲线的方程为；设，，直线AB的方程为，由，消去x得，则，，且，，；设直线AM：，代入双曲线方程并整理得，由于点M为双曲线的左顶点，此方程有一根为，，解得，点A在双曲线的右支上，，解得，即，同理可得，由，，【解析】由题意可设双曲线：，利用，可求b；设，，直线AB的方程为，与双曲线联立方程组可得，，进而计算可得为定值．设直线AM：，代入双曲线方程可得，进而可得，，进而由可得，进而求得的取值范围．本题考查椭圆和双曲线的标准方程与离心率，双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，渐近线与双曲线的位置关系，属中档题．22.【答案】解：由题意得的定义域为，，若在定义域上单调递增，则恒成立，即在上恒成立，又，；若在定义域上单调递减，则恒成立，即在上恒成立，而这样的k不存在；综上所述：在定义域上单调递增，且，所以k的取值范围为；证明：要证成立，只需证，只需证，只需证，只需证，当时，，原不等式即证，由知在上单调递增，，，又，则，原不等式成立．【解析】求导后若在定义域上单调递增，则恒成立，若在定义域上单调递减，则恒成立，利用恒成立知识即可求解；，再根据的单调性即可得证．本题考查了导数的综合应用，属于中档题．。

2023届安徽省“江南十校”联考理科综合能力测试一、选择题1.下图是Ca2+在载体蛋白协助下，进行跨细胞膜运输的过程图。

据图分析不合理的是（）A.此过程是主动运输，细胞在ATP供能的情况下主动吸收以提高胞内Ca2+浓度B.跨膜运输时，Ca2+需与特定的载体蛋白紧密结合，表明载体蛋白具有特异性C.该载体蛋白是一种能催化ATP水解的酶，可降低ATP水解反应所需的活化能D.载体蛋白的磷酸化导致其空间结构发生变化，每次转运都会发生同样的结构改变2.我国大面积栽培的水稻有粳稻和籼稻。

研究发现，粳稻的bZIP73基因通过与另一个bZIP蛋白互作来调节水稻体内脱落酸和活性氧的水平，增强了粳稻对低温的耐受性。

与粳稻相比，割稻的bZIP73基因中有1个脱氧核苷酸不同，从而导致两种水稻的相应蛋白质存在差异。

下列叙述正确的是（）A.粳稻对低温耐受性的增强仅与脱落酸水平有关B.该实例说明基因与性状的关系是一一对应的关系C.粳稻和籼稻的bZIP73基因间的差异是基因突变导致的D.bZIP73基因转录形成的mRNA碱基排列顺序与模板链的相同3.2017年，我国科学家以深圳拟兰为研究对象，通过基因组测序和功能分析，发现兰花有474个特有基因家族，兰花的多样性源于历史上这些基因家族的扩张或收缩；拟兰的花的部分结构缺少，是由于某些基因丢失造成的。

下列相关叙述正确的是（）A.深圳拟兰的基因库由474个特有基因家族构成B.自然选择可能导致深圳拟兰某些基因的丢失C.兰花的多样性体现了种群多样性和生态系统多样性D.兰花的进化是通过物种之间的生存斗争实现的4.毒性弥漫性甲状腺肿又称Graves病，患者体内会出现针对甲状腺的特异性抗体，进而导致甲状腺细胞增生、甲状腺激素合成增加。

关于此病的分析正确的是（）A.毒性弥漫性甲状腺肿是一种先天性的免疫缺陷病B.此病和缺碘导致的甲状腺肿的患者可用同种方法治疗C.此病的临床表现为精神亢奋且体温略高于正常人D.此病主要通过不断增强患者的免疫力来缓解症状5.“离离原上草，一岁一枯荣”。

安徽省“江南十校”2020届高三数学下学期4月综合素质检测试题 理（含解析）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2.已知集合{}{}234,870A x x x B x x x =<+=-+<，则A B =（ ）A. (1,2)-B. (2,7)C. (2,)+∞D. (1,2)【答案】D 【解析】 【分析】分别求出集合,A B 对应的不等式的解集，然后取交集即可.【详解】由题意，{}{}342A x x x x x =<+=<，{}{}287017B x x x x x =-+<=<<，所以{}12AB x x =<<.故选：D.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的交集，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A. 58厘米 B. 63厘米C. 69厘米D. 76厘米【答案】B 【解析】 【分析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为230203ππ⨯=≈63(厘米). 故选：B .【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题. 4.函数cos ()22x xx x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A. B. C.D.【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号，即可求解.【详解】由cos ()()22x xx xf x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02x π<<时，cos 0x >，cos ()220x xx xf x -∴=+＞，排除选项D ，故选：C .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题. 5.若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A. 3-B. 2-C. 1-D. 1【答案】B 【解析】 【分析】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+，二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-. 故选：B.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6.已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. b c a >>B. a b c >>C. c a b >>D.c b a >>【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【详解】因为331log 2log 32<=， 所以12a <. 因为3＞e ，所以ln3ln 1b e =>=，因为00.991>->-，2xy =为增函数，所以0.991221c -=<< 所以b c a ＞＞， 故选：A .【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 7.执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A. 112-B.2360C.1120D.4360【答案】D 【解析】 【分析】根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【详解】运行程序，11,25s i =-=，1211,3552s i =+--=，123111,455523s i =++---=，12341111,55555234s i =+++----=，12341111,55555234s i =+++----=，1234511111,6555552345s i =++++-----=，结束循环，故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫++++-++++=-= ⎪⎝⎭， 故选：D .【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.8.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A .15B.13C.35D.23【答案】A 【解析】 【分析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题. 9.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a 的最小值为（ ）A. 24()27B. 34()27C. 44()27D. 54()27【答案】D 【解析】 【分析】由2317,927S S ==，可求出等比数列{}n a 的通项公式1227n n a -=，进而可知当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，从而可知12n a a a 的最小值为12345a a a a a ，求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得，332427a S S =-=，得2111427190a q a a q q ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得11272a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得1227n n a -=.当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >， 则12n a a a 的最小值为551234534()()27a a a a a a ==. 故选：D.【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10.已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ）D. 2【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值.【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C 的两条渐近线的距222222222b m a n a b a b c-==+， 所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题. 11.已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. 其中，判断正确的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】对函数()f x 化简可得π()sin(2)6f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】因为2π2ππ()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x ωωω=-+=-+=+，所以周期2ππ2T ωω==.对于①，因为12min1π2x x T -==，所以ππ2T ω==，即12ω=，故①错误；对于②，函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36y x ωω=-+，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω=-， 因π(0)sin 06f =>，所以()f x 在[]0,2π上第1个零点1>0x ，且1ππ212x ωω=-，所以第7个零点7ππππ3π41π321221212x T ωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x ，则8ππ7ππ7π47π2122212212x T ωωωωωω=-+=-+=，所以782πx x ≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得41472424ω≤<，故③正确； 对于④，因为π(0)sin 6f =，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2662πππ2462ωω⎧⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.12.如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A. 12B. 2C.23D.163【答案】C【解析】 【分析】过P 作PE BD ⊥于E，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知1833P BCD B PCE D PCE PCEPCEV V V S BD S ---=+=⋅=，当PCES最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得EF PC ⊥，再由2112PCES PC EF PE =⋅=-，求出PE 的最大值即可.【详解】在BPD △和BCD 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以BPD BCD ≌，则PBD CBD ∠=∠，过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =， 又因为PECE E =，所以BD ⊥平面PCE ，所以1833P BCD B PCE D PCE PCEPCEV V V S BD S ---=+=⋅=，当PCES最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥，所以2112PCES PC EF PE =⋅=-， 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=， 所以PCE S ∆最大值为22，故P BCD V -的最大值为8223⨯162=. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________.【答案】320x y --= 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程. 【详解】因为1()2f x x x'=+， 所以(1)3k f '==， 又(1)1,f =故切线方程为13(1)y x -=-， 整理为320x y --=， 故答案为：320x y --=【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.14.若200,50x x ∃∈-<R 为假，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】(],4-∞ 【解析】 【分析】由200,50x x ∃∈-<R 为假，可知2,50x x ∀∈-≥R 为真，所以2a ≤对任意实数x 2的最小值，令2min a ≤即可.【详解】因为200,50x x ∃∈-<R 为假，则其否定为真，即2,50x x ∀∈-≥R 为真，所以2a ≤x 恒成立，所以2min a ≤.24=≥，=即x =时，等号成立，所以4a ≤. 故答案为：(],4-∞.【点睛】本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.15.在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(3,4)B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且||310OC =OC 的坐标为___________.【答案】(3,9)- 【解析】 【分析】点C 在AOB ∠的平分线可知OC 与向量||||OA OBOA OB +共线，利用线性运算求解即可. 【详解】因为点C 在AOB ∠的平线上，所以存在(0,)λ∈+∞使3439(0,1),,5555||||OA OB OC OA OB λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而||(OC =-= 可解得5λ=， 所以(3,9)OC =-， 故答案为：(3,9)-【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题. 16.已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆22:(3)4M x y -+=的切线，切点分别为,A B ，则线段AB 长度的取值范围为__________.【答案】)4⎡⎣ 【解析】 【分析】连接,,PM MA MB ，易得,,MA PA MB PB PM AB ⊥⊥⊥，可得四边形PAMB 的面积为12PM AB PA MA ⋅=⋅，从而可得22441PA MA AB PM PM ⋅==-，进而求出PM 的取值范围，可求得AB 的范围.【详解】如图，连接,,PM MA MB ，易得,,MA PA MB PB PM AB ⊥⊥⊥，所以四边形PAMB 的面积为12PM AB ⋅，且四边形PAMB 的面积为三角形PAM 面积的两倍，所以12PM AB PA MA ⋅=⋅，所以22442441PM PA MA AB PM PM PM-⋅===-，当PM 最小时，AB 最小，设点(,)P x y ，则2222(3)69429PM x y x x x x x =-+=-++=-+，所以当1x =时，min22PM=，则min 441228AB =-=， 当点(,)P x y 的横坐标x →+∞时，PM →+∞，此时4AB →， 因为AB 随着PM 的增大而增大，所以AB 的取值范围为)22,4⎡⎣. 故答案为：)22,4⎡⎣.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且πsin sin()3c B b C =-+. （1）求角C 的大小； （2）若3c a b =+=，求AB 边上的高.【答案】（1）2π3；（2【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，可得πsin sin()3C C =-，展开并整理可得πsin()16C -=，从而可求出角C ；（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，进而可得2()7a b ab +-=，由3a b +=，可求出ab 的值，设AB 边上的高为h ，可得ABC 的面积为11sin 22ab C ch =，从而可求出h . 【详解】（1）由题意，由正弦定理得πsin sin sinsin()3C B B C B =-. 因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >，所以πsin sin()3C C =-，展开得1sinsin 2C C C =-πsin()16C -=.因为0πC <<，所以ππ5π666C -<-<，故ππ62C -=，即2π3C =.（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，则227a b ab ++=，得2()7a b ab +-=，故2()7972ab a b =+-=-=，故ABC 的面积为12πsin sin 232ab C ==. 设AB 边上的高为h h =，故h =， 所以AB 边上的高为7. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//,24,2AB CD CD AB AD ===，PAB △为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：//AE 平面PBC ；（2）若平面EBC 与平面PAD 的交线为l ，求二面角P l B --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）149【解析】 【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF BF ，易得//,2EF CD CD EF =，进而可证明四边形ABFE 为平行四边形，即//AE BF ，从而可证明//AE 平面PBC ；（2）取AB 中点O ，CD 中点Q ，连接OQ ，易证PO ⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面PAB ，从而可知,,AB OQ OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，向量,,OQ OB OP 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，进而求出平面PAD 的法向量(,,)m x y z =，及平面EBC 的法向量为(,,)n a b c =，由cos ,m n m n m n=⋅⋅，可求得平面EBC 与平面PAD 所成的二面角的正弦值.【详解】（1）证明：如图1，取PC 的中点F ，连接,EF BF .,PE DE PF CF ==，//,2EF CD CD EF ∴=， //,2AB CD CD AB =，//AB EF ∴，且EF AB =， ∴四边形ABFE 为平行四边形，//AE BF ∴.又BF ⊂平面PBC ，AE ⊄平面PBC ，//AE ∴平面PBC .（2）如图2，取AB 中点O ，CD 中点Q ，连接OQ .,,OA OB CQ DQ PA PB ===，,PO AB OQ AB ∴⊥⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ∴⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面PAB ，,,AB OQ OP ∴两两垂直.以点O 为坐标原点，向量,,OQ OB OP 的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.由,2PA PB AB ⊥=，可得1,2OA OB OP DQ CQ =====， 在等腰梯形ABCD 中，2,4,2AB CD AD ===1OQ =，11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,2,0),(0,0,1),(1,2,0),(,1,)22O A B C P D E ∴---.则(0,1,1),(1,1,0)AP AD ==-，11(1,1,0),(,2,)22BC EB ==--，设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z =，则0m AP y z m AD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1y =，得(1,1,1)m =-. 设平面EBC 的法向量为(,,)n a b c =，则0112022n BC a b n EB a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取1b =-，得(1,1,5)n =--.因为1155m n ⋅=-+=，3m =，33n =，所以cos ,59333m n m n m n==⋅⋅=⨯，所以平面EBC 与平面PAD 所成的二面角的正弦值为255621419819⎛⎫-== ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，利用空间向量法是解决本题的较好方法，属于中档题.19.一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分. （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望.（2）当游戏得分为*(N )n n ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为11,2n Q Q =. ①求2Q ；②当*N n ∈时，记111,2n n n n n n A Q Q B Q Q ++=+=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列.【答案】（1）分布列见解析，数学期望为6；（2）①34；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出对应的概率，进而可求出变量X 的分布列和数学期望；（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，分别求出两种情况的概率，进而可求得2Q ；②得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上，第二种为得1n -分后抛掷一次反面向上，可知当3n ≥且*N n ∈时，121122n n n Q Q Q --=+，结合112n n n A Q Q +=+，可推出12111122n n n n n n A Q Q Q Q A ++++=+=+=，从而可证明数列{}n A 为常数列；结合1n n n B Q Q +=-，可推出121111()22n n n n n n B Q Q Q Q B ++++=-=--=-，进而可证明数列{}n B 为等比数列.【详解】（1）变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8.每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为12，反面向上的概率也为12， 则4142444111113(4)(),(5)(),(6)()2162428P X P X C P X C =====⨯===⨯=， 3444441111(7)(),(8)()24216P X C P X C ==⨯===⨯=.所以变量X 的分布列为：故变量X 的数学期望为11311()4567861648416E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为22113()224Q =+=. ②得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上，第二种为得1n -分后抛掷一次反面向上，故3n ≥且*N n ∈时，有121122n n n Q Q Q --=+， 则*N n ∈时，211122n n n Q Q Q ++=+，所以1211111111122222n n n n n n n n n A Q Q Q Q Q Q Q A ++++++++==+=+=，故数列{}n A 为常数列； 又1211111111111()222222n n n n n n n n n n n B Q Q Q Q Q Q Q Q Q B +++++++=-=+-=-+=--=-， 121311424B Q Q =-=-=，所以数列{}n B 为等比数列.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查常数列及等比数列的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.20.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为32，且过点73(,)24，点P 在第一象限，A 为左顶点，B 为下顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .（1）求椭圆E 的标准方程； （2）若//CD AB ，求点P 的坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）22,⎭【解析】 【分析】（1）由题意得2222232791416c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，求出22,a b ，进而可得到椭圆E 的方程；（2）由（1）知点A ，B 坐标，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，易知102k <<，可得点C 的坐标为(0,2)k ，联立方程22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到关于y 的一元二次方程，结合根与系数关系，可用k 表示P 的坐标，进而由,,P B D 三点共线，即BD PB k k =，可用k 表示D 的坐标，再结合CD AB k k =，可建立方程，从而求出k 的值，即可求得点P 的坐标.【详解】（1）由题意得22222791416c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知点(2,0)A -，(0,1)B -， 由题意可设直线AP 的斜率为k ，则102k <<，所以直线AP 的方程为(2)y k x =+，则点C 的坐标为(0,2)k ，联立方程22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(14)161640k x k x k +++-=. 设11(,)P x y ，则212164214k x k --⋅=+，所以2128214k x k -=-+， 所以2122824(2)1414k k y k k k -=-+=++，所以222824(,)1414k kP k k--++. 设D 点的坐标为0(,0)x ，因为点,,P B D 三点共线，所以BD PB k k =，即2202411148214kk k x k ++=--+，所以02412k x k -=+，所以24(,0)12k D k -+. 因为//CD AB ，所以CD AB k k =，即2124212k k k=---+，所以24410k k +-=，解得12k -=， 又102k <<，所以k =计算可得228214k k --=+2414k k =+，故点P的坐标为. 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查平行线的性质，考查学生的计算求解能力，属于难题. 21.已知函数2()ln ()f x x x ax a =-+∈R .（1）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点00(,())x f x 构成曲线M ，证明：过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点. 【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由()0f x ≤恒成立，可得ln x a x x≤-恒成立，进而构造函数ln ()xg x x x =-，求导可判断出()g x 的单调性，进而可求出()g x 的最小值min ()g x ，令min ()a g x ≤即可；（2）由221()x ax f x x -++'=，可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x '=，则200210x ax -++=，0012a x x =-，进而可得2000()ln 1f x x x =+-，即曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-，进而只需证明对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解，然后构造函数2()ln 1F x x x kx =+--，分0k ≤、0k <≤k >分别证明函数()F x 在(0,)+∞上有唯一的零点，即可证明结论成立.【详解】（1）由题意，可知0x >，由()0f x ≤恒成立，可得ln xa x x≤-恒成立. 令ln ()x g x x x =-，则221ln ()x xg x x-+'=. 令2()1ln h x x x =-+，则1()2h x x x'=+， 0x，()0h x '∴>，2()1ln h x x x ∴=-+在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =，(0,1)x ∴∈时，()0h x <；(1,)x ∈+∞时，()0h x >，即(0,1)x ∈时，()0g x '<；(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，(0,1)x ∴∈时，()g x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()g x 单调递增，1x ∴=时，()g x 取最小值(1)1g =，1a ∴≤.（2）证明：由2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=，令22(1)x a T x x -=++，由1(0)0T =>，结合二次函数性质可知，存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x '=，故()f x 存在唯一的极值点0x ，则200210x ax -++=，0012a x x =-， 22000000()ln ln 1f x x x ax x x ∴=-+=+-， ∴曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-.故只需证明对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解.令2()ln 1F x x x kx =+--，则2121()2x kx F x x k x x-+'=+-=，①当0k ≤时，()0F x '>恒成立，()F x ∴在(0,)+∞上单调递增.21,e e 1k k ≤≤，22(e )e e 1(1e )e 10k k k k k F k k k ∴=+--=-+-≤，(1)0F k =-≥，∴存在t 满足e 1k t ≤≤时，使得()0F t =.又()F x 单调递增，所以x t =为唯一解.②当0k <≤221x x y k -+=，满足280k ∆=-≤， 则()0F x '≥恒成立，()F x ∴在(0,)+∞上单调递增.(1)0F k =-<，333263(e )3e e 1(e e )0k F k =+--=+>-，∴存在3(1,e )t ∈使得()0F t =，又()F x 在(0,)+∞上单调递增，x t ∴=为唯一解.③当k >221x x y k -+=，满足280k ∆=->， 此时()0F x '=有两个不同的解12,x x ，不妨设12x x <，1212x x =⋅，1202x x ∴<<<， 列表如下：由表可知，当1x x =时，()F x 的极大值为21111()ln 1F x x x kx =+--.211210x kx -+=，2111()ln 2F x x x ∴=--，102x <<<，211ln 2x x ∴<+， 2111()ln 20F x x x ∴=--<，21()()0F x F x ∴<<.22222222(e )e e 1(e )e 1k k k k k F k k k k =+--=-+-.下面来证明2e 0k k ->，构造函数2()ln (m x x x x =->，则2121()2x m x x x x-'=-=，∴当)x ∈+∞时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，∴3()8ln 202m x m >=->，∴)x ∈+∞时，2ln x x >，∴2ln e e x x x >=，故2e 0k k ->成立.∴2222(e )(e )e 10k k k F k k =-+->， ∴存在22(,e )k t x ∈，使得()0F t =.又()F x 在2(,)x +∞单调递增，x t ∴=为唯一解.所以，对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解，即过原点任意的直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查利用单调性研究图象交点问题，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.22.在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1(1)x my k m =-⎧⎨=-⎩为参数)，直线2l 的参数方程2x n n y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(为参数)，若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C （1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线3l 的极坐标方程为(0)θαρ=，4tan 032παα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，点Q 为射线3l 与曲线C 的交点，求点Q 的极径.【答案】（1）22(1)1(0)x y x +-=≠；（2）85【解析】 【分析】（1）将两直线化为普通方程，消去参数k ，即可求出曲线C 的普通方程； （2）设Q 点的直角坐标系坐标为(cos ,sin )(0)a ρραρ>,求出43sin ,cos 55a a ==， 代入曲线C 可求解.【详解】（1）直线1l 的普通方程为()y k x =-,直线2l 的普通方程为2xy k-= 联立直线1l ,2l 方程消去参数k ,得曲线C 的普通方程为2(2)y y x -=- 整理得22(1)1(0)x y x +-=≠.（2）设Q 点的直角坐标系坐标为(cos ,sin )(0)a ρραρ>, 由4tan 032a a π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭可得43sin ,cos 55a a == 代入曲线C 的方程可得2805ρρ-=， 解得8,05ρρ==（舍）， 所以点Q 的极径为85. 【点睛】本题主要考查了直线的参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，极径的求法，属于中档题.23.已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()3f x x <+的解集；（2）若不等式22()m x x f x --在R 上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|02}x x <<；（2）(,2]-∞ 【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；（2）原不等式可转化为22()m x x f x ++在R 上恒成立，分别求函数2()2g x x x =+与()f x 的最小值，根据能同时成立，可得22()x x f x ++的最小值，即可求解.【详解】（1）①当2x <-时,不等式()3f x x <+可化为123x x x ---<+,得43x >-，无解；②当-2≤x ≤1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+得x >0,故0<x ≤1; ③当x >1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+,得x <2,故1<x < 2. 综上，不等式()3f x x <+的解集为{|02}x x << （2）由题意知22()m x x f x ++在R 上恒成立， 所以()2min 2()xmxx f x ++令2()2g x x x =+，则当1x =-时，min ()1g x =-又当21x -时，()f x 取得最小值，且min ()3f x = 又1[2,1]-∈-所以当1x =-时，()f x 与()g x 同时取得最小值. 所以()2min2()132x x f x ++=-+=所以2m ≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论，函数的最值，属于中档题.。

3．已知向量a,b 满足(1,)(3,1)m +=-=，a b a b ．若a b ，则实数m =（）A ．13-B ．13C ．3D ．3-【解析】由于(1,)(3,1)m +=-=，a b a b ，所以11(2,),(1,)22m m +-==-a b ，又因为a b ，所以112022m m -+⋅+=，解得13m =．【答案】B ．4．已知函数π()3sin(2)(||2f x x ϕϕ=+<的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，则ϕ为A ．π6B ．π6-C ．π3D ．3π-【解析】将函数()3sin(2)(||0)f x x ϕϕ=+<的图像向右平移6π个单位长度后得到()g x 的图象，则()sin(32)g x x πϕ=-+，因为()g x 是偶函数，所以2023k ππϕπ⨯-+=+，k Z ∈，即56k πϕπ=+，k Z ∈，又||2πϕ<，令1k =-，可得6πϕ=-．【答案】B ．5．酒驾严重危害交通安全．为了保障交通安全，交通法规定：机动车驾驶人每100ml 血液中酒精含量达到2079mg ∼为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车．若某机动车驾驶员饮酒后，其血液中酒精含量上升到了1.2/mg ml ．假设他停止饮酒后，其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少，则他能驾驶需要的时间至少为（精确到0.001．参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）A ．7.963小时B ．8.005小时C ．8.022小时D ．8.105小时【解析】由已知得：1.20.80.2x ⨯<，所以lg 6lg 2lg313lg 213lg 2x +>=--即0.30100.47710.77818.022130.30100.0970x +>=≈-⨯，所以8.022x >【答案】C6．已知函数()1ln f x x x =-在点(1,1)-处的切线与曲线2(1)2y ax a x =+--只有一个公共点，则实数a 的取值范围为A ．{1,9}B ．{01,9}，C ．{1,9}--D ．{0,1,9}--【解析】由211'()f x x x =+得'(1)2f =所以切线方程是2(1)123y x x =--=-①若0a =，则曲线为2y x =--，显然切线与该曲线只有一个公共点；②若0a ≠，则223(1)2x ax a x -=+--即2(3)+1=0ax a x +-由2(3)40a a ∆=--=，即21090a a -+=得19a a ==或综上：019a a a ===或或【答案】B7．已知圆228120C x y x +-+=:，点M ．过原点的直线与圆C 相交于两个不同的点,,A B 则MA MB + 的取值范围为A ．)2-B ．(⎤⎦C ．()4-D ．(6⎤⎦【解析】设AB 的中点为点P ，则2MA MB MP += ，由垂径定理知CP OP ⊥，则可得点P 的轨迹E 为以OC 为直径的圆（圆C 内部的圆弧）其方程为22:(2)4(34)E x y x -+=<≤，则可得点M 到轨迹E 上点P 的距离取值范围为(⎤⎦，从而2MA MB MP += 的取值范围为(6⎤⎦．【答案】D 8．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 数列{}n b 的前n 项和为n T ，且111n n a S n a +=+=，，11n n b a =+，则使得n T M <恒成立的实数M 的最小值为A ．1B ．32C ．76D ．2【解析】当1n =时，2112a a =+=当2n ≥时，11n n a S n -=+-所以11(1)n n n n a a S n S n +--=+-+-，即121n n a a +=+所以112(1)n n a a ++=+则{1},2n a n +≥为等比数列，21, 1321,2n n n a n -=⎧=⎨⋅-≥⎩即2n ≥时，2132n na -+=⋅所以2211117117(1)23226326n n n T --=++++=-⨯< ，得76M ≥【答案】C二、多项选择题9．箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况资料的统计图，因形似箱子而得名．在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区2023年5月和6月的空气质量指数(AQI)箱线图．AQI 值越小，空气质量越好；AQI 值超过200，说明污染严重．则(第9题图1)(第9题图2)A ．该地区2023年5月有严重污染天气．B ．该地区2023年6月的AQI 值比5月的AQI 值集中．C ．该地区2023年5月的AQI 值比6月的AQI 值集中．D ．从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月．【解析】对于A 选项可以从图2所示中5月份有AQI 值超过200的异常值得到判断（也可以通过异常值结合观察5月份的平均值高于中位数辅助判断）；对于B ，C 选项，图2中5月份的箱体高度比6月份的箱体高度小，说明5月的AQI 值比6月的AQI 值集中；对于D 选项，虽然5月有严重污染天气，但从图2所示中5月份箱体整体上比6月份箱体偏下且箱体高度小，AQI 值整体集中于较小值，说明从整体上看，该地区2023年5月的空气质量略好于6月．【答案】ACD10．已知抛物线2:2E y px =的焦点为F ，从点F 发出的光线经过抛物线上的点P （原点除外）反射，则反射光线平行于x 轴．经过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线E 于,B C 两点，经过点P 且垂直于x 轴的直线交x 轴于Q ；抛物线E 在点P 处的切线l 与,x y 轴分别交于点,M N ，则下列说法成立的是A ．2PQ BF QF=⋅B ．2PQ BC OQ =⋅C ．PF MF =D ．FN l ⊥【解析】对于A ，B 选项，设点(,)P x y ，而PQ =，而,2p BF p QF x ==-，2p BF QF p x ⋅=-，则A 选项错误，又2,BC p OQ x ==，则B 选项正确；对于C 选项，如下图所示，过点P 作x 轴的平行线RH ，与抛物线E 的准线KH 交于点H ，又题意所给抛物线的光学性质可得SPR MPF ∠=∠，又SPR PMF ∠=∠，所以MPF PMF ∠=∠，从而PF MF =；对于D 选项，因为SPR HPM ∠=∠，所以MPF HPM ∠=∠，即PM 为HPF ∠的角平分线，又由抛物线定义知PH PF =，结合PF MF =，可得菱形MFPH ，而y 轴经过线段FH 中点，从而PM 与y 轴的交点即为点N ，所以FN l ⊥．【答案】BCD11．已知点S,A,B,C 均在半径为5的球面上，ABC ∆是边长为23的等边三角形，SA BC ⊥，32SA=，则三棱锥S-ABC 的体积可以为（）A ．33B ．335C ．33D ．51【解析】方法一：如图，设三棱锥S -ABC 的外接球球心为O ，ABC ∆的中心为1O ，连接1,,AO SO AO ，延长1AO 交BC 于D ，连接SD ，则D 是BC 中点，所以,BC AD ⊥又BC SA ⊥，所以BC SAD ⊥平面，又因为BC ABC ⊂平面，所以SAD ABC ⊥平面平面，过S 作AD 的垂线，垂足为G ，则SG ABC ⊥平面，在1Rt AOO 中，1541OO =-=，设,AG d SG h ==,过O 作SG 的垂线，垂足为E ．若1A O 、在SG 的同侧，则在Rt SAG 中有2218d h +=，在Rt SOE 中有22(2)(1)5d h -+-=，联立得35215h d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或33h d =⎧⎨=⎩，所以三棱锥S-ABC 的体积为335或33；若1A O ，在SG 的异侧，同理可解得35215h d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或33h d =⎧⎨=⎩，与2d <矛盾（舍去）．【答案】BC ．方法二：设三棱锥S -ABC 的外接球球心为O ，连接AO 并延长交大圆于F ，过S 作AD 的垂线，垂直为G ，可证得SG ABC⊥面（1）若点S 在直线AF 的上方，设,SAF FAG αβ∠=∠=，则11tan ,tan 32αβ==所以tan tan tan tan()11tan tan SAG αβαβαβ+∠=+==-，4SAG π∠=可得2sin 3232SG AS SAG =⋅∠=⋅=11333ABC V S SG ∴=⋅=（2）若点S 在直线AF 的下方，则11tan ,tan 32αβ==所以tan tan 1tan tan()1tan tan 7SAG βαβααβ-∠=-==+，2sin 10SAG ∠=可得23sin 105SG AS SAG =⋅∠==213ABC V S SG ∴=⋅= BC ．【答案】BC ．三、填空题12．从0,2,4,6中任意取1个数字，从1,3,5中任意选2个数字，得到没有重复数字的三位数．在所组成的三位数中任选一个，则该数是偶数的概率为．【解析】若0在，则三位数有122312C A =；若0不在，则三位数有12333354C C A =．所以没有重复数字的三位数有66个，其中偶数的个数是124324C A =个，所以在所组成的三位数中任选一个，是偶数的概率是2446611=【答案】411．13．若函数()2f x +为偶函数，()15y g x =+-是奇函数，且()()22f x g x -+=，则()2023=f ______．【解析】由()2f x +为偶函数，得()2(2)f x f x -=+，由()15y g x =+-是奇函数，得()15(1)5g x g x +-=--+，即(2)()10g x g x -+=由()()22f x g x -+=，得()()22f xg x -=+相加得：(2)()6()f x f x -+=- *用2x +代换x 得(2)()6f x f x ++=-从而(4)(2)6f x f x +++=-故()4()f x f x +=所以4是()y f x =的一个周期故()2023=(3)(1)f f f =-结合() *式得(3)(1)3f f =-=-【答案】3-．14．在平面直角坐标系xOy 中，过双曲线2222:1x y E a b -=(00)a b >>，的右焦点F 的直线在第一、第二象限交E 的两渐近线分别于,M N 两点,且OM MN ⊥．若23OM MN ON +-=，则双曲线E 的离心率为．【解析】如图，设,2FOM MON αθ∠=∠=，因为OM MN ⊥，易知FM b =，tan b a α=，所以OM a =；又23OM MN ON a +-=，所以13MN ON a -=-，在直角OMN ∆中，利用勾股定理可得43MN a =，所以4tan 23θ=，求得1tan 2θ=（负值舍去），也即1tan 2tan b a αθ===四、解答题15．已知,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C sin cos A a C b c +=+．(1)求A ;(2)若2BC =，将射线BA 和CA 分别绕点,B C 顺时针旋转15,30︒︒，旋转后相交于点D (如图所示)，且30DBC ∠=︒，求AD ．15.【解析】sin cos A a C b c+=+sin sin cos sin sin C A A C B C+=+又因为sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C=+=+sin cos sin sin C A A C C=+······································································（3分）由于sin 0C >cos 1A A =+，即1sin()62A π-=，又5666A πππ-<-<，则66A ππ-=，因此3A π=．······················································（6分）（2）在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC AC ABC BAC =∠=∠在BDC ∆中，由于45BDC ︒∠=由正弦定理得sin sin BC CD DBC BDC=∠=∠·························································（10分）于是，在ACD ∆中，由余弦定理得：3AD =················（13分）16．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，1,PB AB ==2AD PD ==,60BAD ∠= .（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若二面角P BD A --的大小为120 ，点E 在棱PD 上，且2PE ED =，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值.【解析】（1）证明：由余弦定理得2212212cos603BD =+-⋅⋅︒=所以222AD AB BD =+，222PD PB BD =+因此AB BD ⊥，PB BD ⊥又因为,,AB PB B AB PB ⋂=⊂平面PAB所以BD ⊥面PAB又因为BD ⊂平面ABCD故平面PAB ⊥平面ABCD ·····················································································（6分）（2）由于AB BD ⊥，PB BD⊥所以二面角P BD A --的平面角为PBA ∠，即PBA ∠0120=·······································（7分）在平面PAB 内过点B 作AB 的垂线，交AP 于F由平面PAB ⊥平面ABCD ，得BF ⊥平面ABCD以B 为坐标原点，,BA BD BF ，为,,x y z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系B xyz-则13(0,0,0),(0,3,0),(1,3,0)(,0,)22B DC P --，····················································（9分）设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，由于(1,3,0),BC =- 13(,0,)22BP =- 则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即3013022x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，则1y z ==所以n = ···································································································（11分）设直线CE 与平面PBC 所成角为θ25(,)3636CE CP PE CP PD =+=+=- ||sin |cos ,|||||CE n CE n CE n θ⋅∴=<>=⋅2335=因此直线CE 与平面PBC所成角的正弦值为5．························································（15分）17．某产品的尺寸与标准尺寸的误差绝对值不超过4mm 就视为合格品，否则视为不合格品.假设误差服从正态分布且每件产品是否为合格品相互独立.现随机抽取100件产品，误差的样本均值为0，样本方差为4.用样本估计总体.（1）试估计100件产品中不合格品的件数(精确到1)；（2）在（1）的条件下，现出售随机包装的100箱该产品，每箱均有100件产品.收货方对每箱中产品均不放回地随机抽取进行检验且箱与箱之间检验相互独立.每箱按以下规则判断是否接受一箱产品：如果抽检的第1件产品为不合格，则拒绝整箱产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整箱产品，否则拒绝整箱产品.若整箱产品通过检验后生产方获利1000元；整箱产品被拒绝，则亏损89元，求该100箱产品利润的期望值.附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827,P Z μσμσ-+≈≤≤(22)0.9545,P Z μσμσ-+≈≤≤(33)0.9973.P Z μσμσ-+≈≤≤【解析】（1）分别用样本均值和样本标准差估计正态分布的参数μ和σ，得产品的尺寸误差2(0,2)X N ，(4)(22)0.9545≤=-+≈P x P Z μσμσ≤≤，因此估计这批产品的合格率为95.45%．因此样本的不合格品率为10.95450.0455-=，所以估计100件产品中有1000.0455 4.555⨯=≈件不合格品．···········································(6分)（2）方法一：设1A =“抽检的第1件产品不合格”，2A =“抽检的第2件产品不合格”，则一箱产品被拒绝的事件为112()A A A ⋃．因此1121121121(())()()()(()P A A A P A P A A P A P A P A A ⋃=+=+59559710010099990=+⨯=．·····················································································(10分)设100箱产品通过检验的箱数为Z ，则893(100,)990Z B ．所以100箱利润1000(89)(100)10898900W Z Z Z =+--=-因此平均利润893()(10898900)1089()890010891008900990E W E Z E Z =-=-=⨯⨯-89330=（元）．·················································································(15分)方法二：记一个整箱产品被拒绝为事件A ，则295210097()1990C P A C =-=···································(10分)设整箱产品的利润为随机变量ξ，则97(89)990P ξ=-=，97893(1000)1990990P ξ==-=所以97893884367()891000990990990E ξ=-⨯+⨯=设100箱该产品的利润为随机变量X ，则100X ξ=所以()(100)100()89330E X E E ξξ===（元）．··························································(15分)18．已知矩形ABCD中，AB BC ==，,,,E F G H 分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O 为原点，HF 所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，如图建立平面直角坐标系．直线,HF BC 上的动点,R S 满足,()OR OF CS CF λλλ==∈R ．(1)求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程；(2)当3λ=-时，过点R 的直线m （与x 轴不重合）和点P 的轨迹交于,M N 两点，过点N 作直线:3l x =-的垂线，垂足为点Q ．设直线MQ 与x 轴交于点K ，求KMN ∆面积的最大值．【解析】（1）设点P x y (,)，0R R x (,)，S S y )由OR OF λ=得R x =，即0R ,)由CS CF λ=得1S y )λ=-，即1S ))λ-当0λ≠时，直线ER y x :=-①直线GS y:=+②由①②消去参数λ得213y y x(+-=-即221062x y x()+=≠；当0λ=时，得交点0P(；综上：直线ER与直线GS交点P的轨迹方程：221062x y((,+=不含点···························(6分)（2）当3λ=-时，点20R(,)-，过点R的直线m可设为2x ty t(=-≠代入22162x y+=得22236ty y()-+=即22(3)420t y ty+--=设1112(,),(,)M x y N x y则12122242,33ty y y yt t-+==++由题得2(3,)Q y-则直线1221:(3)3y yMQ y y xx--=++所以令0y=得212111212(3)33ky x y x yxy y y y-+--=-=--·················································································(8分)又因为11121222x ty ty y y y,()=-=-+，代入上式得：122121112211212121()23(2)3232ky y y yy ty y ty y y yxy y y y y y++-----+-===---1212555222y yy y-+==--所以直线MQ过定点5(,0)2K-·······················································································(12分)由于121212115122224KMNS KR y y y y y y∆=-=-+-=-而12y y-=·····································(14分)令21(1)n t n=+≥12y y-=≤当且仅当2n =，也即1t =±等号成立此时4KMN S ∆=所以KMN ∆面积的最大值为4····················································································(17分)19．已知函数()(),x f x x a e x a R =--∈，()f x '是()f x 的导函数.（1）证明：()f x '在(,)-∞+∞上有唯一零点0x ；（2）设函数221()(1)(1)2x g x x ax e x x =-+-++.①当4,2e a -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，求函数()g x 的单调区间；②当4(,2e a -∈-∞时，讨论函数()g x 零点的个数.【解析】（1）()=(1)1xf x x a e '-+-由()0f x '=得，110x x a e -+-=令1()1xh x x a e =-+-，则1()10x h x e '=+>所以()h x 为R 上的增函数又11(1)0a h a e --=-<若0a ≥，由于11a a +>-且11(1)20a h a e ++=->若0a <，由于1a a ->-且11()12(120a ah a a a e e ---=--=-->综上：存在唯一零点0(,)x ∈-∞+∞，使得0()0h x =即()f x '在(,)-∞+∞上有唯一零点0x ．···································································(5分)（2）()(1)(1)(1)x g x x x a e x '=+-+-+1(1)(1)x x x x a e e =+-+-①由（1）知，1()1xh x x a e =-+-有唯一零点0x 且为增函数，所以()0g x '=的根为01,x -．又434(1)022e e h a e e ---=--≤--=-<，则01x >-所以由()0g x '>得01x x x <->或；由()0g x '>得01x x -<<所以函数()g x 的递增区间是0(,1),(,)x -∞-+∞；递减区间是0(1,)x -······································(9分)②由(0)0g =得0是函数()g x 的一个零点．（ⅰ）若42e e a --<<，由①同理可得01x >-当(,1)x ∈-∞-时，()0g x '>，则()g x 单调递增当0(1,)x x ∈-时，()0g x '<，则()g x 单调递减当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增又因为24()=(1)02a e g x g e+--=<极大值所以()g x 仅有一个零点0；（ⅱ）若a e =-，则(1)110h e e -=-++-=，即01x =-则()0g x '≥，所以(,)()x g x ∈-∞+∞时，单调递增.所以()g x 仅有一个零点0；（ⅲ）若a e <-，则(1)0h a e -=-->，所以01x <-当0(,)x x ∈-∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增当0(,1)x x ∈-时，()0g x '<，则()g x 单调递减当(1,)x ∈-+∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增所以022000001()=()(1)(1)2x g x g x x ax e x x =-+-++极大值02200001(1)(1)2x x ex e x x <++-++因为01x <-，所以22001111(1)(1)10222x x ++>-+-+=>当20010x ex ++<时，02200001(1)(1)02x x ex e x x ++-++<当20010x ex ++>时，0222200000000111(1)(1)(1)(1)22x x ex e x x x ex x x e ++-++<++-++2200000111(1)1(1)02222e x ex x x x <++---=--<所以()g x 仅有一个零点0．综上：当4(,2e a -∈-∞时，函数()g x 仅有一个零点0．·····················································(17分)。

安徽省“江南十校”2024年高三下学期期末考试数学试题（A 卷）注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．y x =D ．y =2．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．22 3．已知抛物线2()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ，，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝上，则直线AF 被C 截得的弦长为（ ） A ．919 B ．1009 C ．1189 D ．12794．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（ ）A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对5．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB AC C ．12+33AB AC D ．1233AB AC - 6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．62y x =±C ．()32=±-y xD ．()31=±-y x 7．设函数()f x 在定义城内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．8．双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一个焦点为(c,0)F （0c >），且双曲线1C 的两条渐近线与圆2C ：222()4c x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为（ ） A ．30x y ±= B ．30x y ±= C ．50x y ±= D ．50x y ±=9．设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-10．已知集合1,2,3,4,6{}5,A =的所有三个元素的子集记为123,,,*,n B B B B n N ⋯∈．记i b 为集合i B 中的最大元素，则123n b b b b +++⋯+=（ ）A ．45B ．105C ．150D ．210 11．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．12．若平面向量,,a b c ，满足||2,||4,4,||3a b a b c a b ==⋅=-+=，则||c b -的最大值为（ ） A ．523+ B ．523- C ．2133+ D ．2133-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届安徽省江淮十校高三下学期4月第三次联考数学（理）试卷★祝考试顺利★ (含答案)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.已知集合U=[-5,4],A={x|x-2x≤0},B=2|0x x x +⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,则（C U A) ∩B= A.Ø B.[0,2] C.[-2,0) D.[0,-2]2.在欧拉公式i e θ＝cos θ+isin θ(其中e 是自然对数的底，i 是虚数单位）中令θ=π得到i e θ+1=0,这个等式把数学中最重要的0,1,π,i,e 联系在一起，被誉为世界上最优美的公式．若复数z 满足（i e θ,则|z|=A.2 B.1 C. 23.若双曲线2222x y m n-＝1则双曲线的渐近线方程是x±y=0y=0 4.下列命题中，真命题是 A. ∀x ∈R,3n ∈N*,使得n<x2B.sin 2x+2sin x≥3(x≠kπ,k∈Z)C.函数f(x)=2x -x 2有两个零点D.a>1,b>1是ab>1的充分不必要条件5.1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和．这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1+1”．1966年我国数学家陈景润证明了“1+2”，获得了该研究的世界最优成果．若在不超过20的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过20的概率是A. 37B.47C.514D.9146.已知ΔABC的三边a,b,c构成等差数列，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是A. 23B.34C.56D.7107.函数y=sinx·ln|x|的图像可能是8.二项式91xx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中x3的系数是A.84B.126C.-84D.-1269.已知ΔABC的外接圆半径为1,圆心为O,且320OA OB OC++=,则OC AB⋅的值为13-31-31+31+ 10.某几何体的三视图如图所示（单位：cm),则该几何体内切球的表面积（单位：c㎡)是A.916π B. 94π C. 14π D. 92π 11.在平面直角坐标系xoy 中，第一象限内点A 在直线l上，B(0,4),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一个点D,若AB ⊥CD,则点A 的横坐标是12.已知函数f(x)= 13x 2＋bx+cx+d 满足f(1)+f(3)=2f(2),则下列结论正确的个数是①若f(x)是（0,1)上的增函数，则f(x)也是（3,4)上的增函数； ②若f(1)≥f(3),则f(x)存在极值；③对任意实数x o ,直线l :y=(c-4)(x-x o )+f(x o )与曲线y=f(x)有唯一的公共点． A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.在“庆祝建党100周年”知识问答竞赛中，“初心”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为 .14.已知实数x,y 满足约束条件040,1x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z= 212x y-⎛⎫⎪⎝⎭ 的最小值为 .15.已知点M(1,-1)和抛物线C:y=14x 2，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点，若AM BM ⋅=0,则k= .16.已知正数a,b 满足a+b+1a +4b＝10,则a+b 的最大值是 . 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020届安徽省“江南十校”高三下学期4月综合素质检测数学（理）试题一、单选题1．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2．已知集合{}{}234,870A x x x B x x x =<+=-+<，则A B =I （ ） A ．(1,2)- B ．(2,7) C ．(2,)+∞ D ．(1,2)【答案】D【解析】分别求出集合,A B 对应的不等式的解集，然后取交集即可. 【详解】由题意，{}{}342A x x x x x =<+=<，{}{}287017B x x x x x =-+<=<<，所以{}12A B x x =<<I . 故选：D. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的交集，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 3．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米【答案】B【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为230203ππ⨯=≈63(厘米). 故选：B . 【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题. 4．函数cos ()22x xx x f x -=+在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的奇偶性及函数在02x π<<时的符号，即可求解.【详解】由cos ()()22x xx xf x f x --=-=-+可知函数()f x 为奇函数. 所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ； 当02x π<<时，cos 0x >，cos ()220x xx xf x -∴=+＞，排除选项D ，故选：C . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题. 5．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1-D ．1【答案】B【解析】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+，二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-. 故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6．已知3log a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A【解析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【详解】因为331log log 2<=， 所以12a <. 因为3＞e ，所以ln3ln 1b e =>=，因为00.991>->-，2x y =为增函数，所以0.991221c -=<< 所以b c a ＞＞， 故选：A . 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 7．执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A ．112-B ．2360C ．1120D ．4360【答案】D【解析】根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【详解】 运行程序，11,25s i =-=，1211,3552s i =+--=，123111,455523s i =++---=，12341111,55555234s i =+++----=，12341111,55555234s i =+++----=，1234511111,6555552345s i =++++-----=，结束循环，故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫++++-++++=-= ⎪⎝⎭， 故选：D . 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.8．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．23【答案】A【解析】列出所有可以表示成和为6的正整数式子，找到加数全部为质数的只有336+=，利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1), 而加数全为质数的有(3,3), 根据古典概型知，所求概率为15P =. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题. 9．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为2317,,927n S S S ==，则12n a a a L 的最小值为（ ） A ．24()27B ．34()27C ．44()27D ．54()27【答案】D【解析】由2317,927S S ==，可求出等比数列{}n a 的通项公式1227n n a -=，进而可知当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，从而可知12n a a a L 的最小值为12345a a a a a ，求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得，332427a S S =-=，得2111427190a q a a q q ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得11272a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得1227n n a -=. 当15n ≤≤时，1n a <；当6n ≥时，1n a >，则12n a a a L 的最小值为551234534()()27a a a a a a ==. 故选：D. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10．已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） A． BCD ．2【答案】A【解析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值.【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C 的两条渐近222222222b m a n a b a b c-==+， 所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a==，所以e =故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题. 11．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】对函数()f x 化简可得π()sin(2)6f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】因为2π2ππ()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x ωωω=-+=-+=+，所以周期2ππ2T ωω==. 对于①，因为12min1π2x x T -==，所以ππ2T ω==，即12ω=，故①错误；对于②，函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36y x ωω=-+，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω=-，因为π(0)sin 06f =>，所以()f x 在[]0,2π上第1个零点1>0x ，且1ππ212x ωω=-，所以第7个零点7ππππ3π41π321221212x T ωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x ，则8ππ7ππ7π47π2122212212x T ωωωωωω=-+=-+=， 所以782πx x ≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得41472424ω≤<，故③正确；对于④，因为π(0)sin6f=，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2662πππ2462ωω⎧⎛⎫-+≥-⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，解得23ω≤，又0>ω，所以23ω<≤，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题.12．如图，在平面四边形ABCD中，满足,AB BC CD AD==，且10,8AB AD BD+==，沿着BD把ABD折起，使点A到达点P的位置，且使2PC=，则三棱锥P BCD-体积的最大值为（）A．12 B．2C162D．163【答案】C【解析】过P作PE BD⊥于E，连接CE，易知CE BD⊥，PE CE=，从而可证BD⊥平面PCE，进而可知1833P BCD B PCE D PCE PCE PCEV V V S BD S---=+=⋅=V V，当PCESV最大时，P BCDV-取得最大值，取PC的中点F，可得EF PC⊥，再由2112PCES PC EF PE=⋅=-VPE的最大值即可.【详解】在BPD△和BCDV中，PB BCPD CDBD BD=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以BPD BCDV V≌，则PBD CBD∠=∠，过P作PE BD⊥于E，连接CE，显然BPE BCEV V≌，则CE BD⊥，且PE CE=，又因为PE CE E=I，所以BD⊥平面PCE，所以1833P BCD B PCE D PCE PCE PCEV V V S BD S---=+=⋅=V V，当PCE S V 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥， 所以2112PCE S PC EF PE =⋅=-V ， 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8，所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=， 所以PCE S ∆最大值为22，故P BCD V -的最大值为8223⨯1623=. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.二、填空题13．已知函数2()ln f x x x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________.【答案】320x y --=【解析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程. 【详解】 因为1()2f x x x'=+， 所以(1)3k f '==， 又(1)1,f =故切线方程为13(1)y x -=-， 整理为320x y --=， 故答案为：320x y --= 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.14．若200,50x x ∃∈-<R 为假，则实数a 的取值范围为__________. 【答案】(],4-∞【解析】由200,50x x ∃∈-<R 为假，可知2,50x x ∀∈-≥R 为真，所以2a ≤对任意实数x 恒成立，2的最小值，令2mina ≤即可. 【详解】因为200,50x x ∃∈-<R 为假，则其否定为真，即2,50x x ∀∈-≥R 为真，所以2a ≤对任意实数x 恒成立，所以2min a ≤.24=≥=x =号成立，所以4a ≤. 故答案为：(],4-∞. 【点睛】本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题.15．在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(3,4)B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且||OC =u u u r OC u u u r的坐标为___________.【答案】(3,9)-【解析】点C 在AOB ∠的平分线可知OC u u u r 与向量||||OA OBOA OB +u u u r u u u ru u ur u u u r 共线，利用线性运算求解即可. 【详解】因为点C 在AOB ∠的平线上， 所以存在(0,)λ∈+∞使3439(0,1),,5555||||OA OB OC OA OB λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r u u u ru u u r u u ur u u u r ，而||OC ==u u u r可解得5λ=，所以(3,9)OC =-u u u r，故答案为：(3,9)- 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，利用向量的坐标求向量的模，属于中档题. 16．已知抛物线2:4C y x =，点P 为抛物线C 上一动点，过点P 作圆22:(3)4M x y -+=的切线，切点分别为,A B ，则线段AB 长度的取值范围为__________.【答案】)4⎡⎣【解析】连接,,PM MA MB ，易得,,MA PA MB PB PM AB ⊥⊥⊥，可得四边形PAMB 的面积为12PM AB PA MA ⋅=⋅，从而可得2PA MA AB PM⋅==PM 的取值范围，可求得AB 的范围.【详解】如图，连接,,PM MA MB ，易得,,MA PA MB PB PM AB ⊥⊥⊥，所以四边形PAMB 的面积为12PM AB ⋅，且四边形PAMB 的面积为三角形PAM 面积的两倍，所以12PM AB PA MA ⋅=⋅，所以2PA MA AB PM ⋅=== 当PM 最小时，AB 最小，设点(,)P x y，则PM ===，所以当1x =时，minPM=min AB == 当点(,)P x y 的横坐标x →+∞时，PM →+∞，此时4AB →，因为AB 随着PM 的增大而增大，所以AB 的取值范围为)22,4⎡⎣. 故答案为：)22,4⎡⎣.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.三、解答题17．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且πsin sin()33c B b C b =-+. （1）求角C 的大小； （2）若7,3c a b =+=，求AB 边上的高.【答案】（1）2π3；（2）217【解析】（1）利用正弦定理将边化成角，可得πsin sin()33C C =-，展开并整理可得πsin()16C -=，从而可求出角C ；（2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，进而可得2()7a b ab +-=，由3a b +=，可求出ab 的值，设AB 边上的高为h ，可得ABC V 的面积为11sin 22ab C ch =，从而可求出h . 【详解】（1）由题意，由正弦定理得πsin sin sin sin()33C B B C B =-+.因为(0,π)B ∈，所以sin 0B >，所以πsin sin()33C C =-+，展开得31sin cos sin 322C C C =-+，整理得πsin()16C -=. 因为0πC <<，所以ππ5π666C -<-<，故ππ62C -=，即2π3C =. （2）由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，则227a b ab ++=，得2()7a b ab +-=，故2()7972ab a b =+-=-=， 故ABC V 的面积为12π3sin sin 23ab C ==. 设AB 边上的高为h ，有7322h =，故21h =， 所以AB 边上的高为217. 【点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，考查三角形的面积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//,24,2AB CD CD AB AD ===，PAB △为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）求证：//AE 平面PBC ；（2）若平面EBC 与平面PAD 的交线为l ，求二面角P l B --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）149【解析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF BF ，易得//,2EF CD CD EF =，进而可证明四边形ABFE 为平行四边形，即//AE BF ，从而可证明//AE 平面PBC ；（2）取AB 中点O ，CD 中点Q ，连接OQ ，易证PO ⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面PAB ，从而可知,,AB OQ OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，向量,,OQ OB OP u u u r u u u r u u u r的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，进而求出平面PAD 的法向量(,,)m x y z =u r ，及平面EBC 的法向量为(,,)n a b c =r，由cos ,mn m n m n =⋅⋅u r ru r r u r r ，可求得平面EBC 与平面PAD 所成的二面角的正弦值.【详解】（1）证明：如图1，取PC 的中点F ，连接,EF BF .,PE DE PF CF ==Q ，//,2EF CD CD EF ∴=， //,2AB CD CD AB =Q ，//AB EF ∴，且EF AB =， ∴四边形ABFE 为平行四边形，//AE BF ∴.又BF ⊂Q 平面PBC ，AE ⊄平面PBC ，//AE ∴平面PBC .（2）如图2，取AB 中点O ，CD 中点Q ，连接OQ .,,OA OB CQ DQ PA PB ===Q ，,PO AB OQ AB ∴⊥⊥， Q 平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ∴⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面PAB ，,,AB OQ OP ∴两两垂直.以点O 为坐标原点，向量,,OQ OB OP u u u r u u u r u u u r的方向分别为,,x y z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.由,2PA PB AB ⊥=，可得1,2OA OB OP DQ CQ =====， 在等腰梯形ABCD 中，2,4,2AB CD AD ===1OQ =，11(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(1,2,0),(0,0,1),(1,2,0),(,1,)22O A B C P D E ∴---.则(0,1,1),(1,1,0)AP AD ==-u u u r u u u r ，11(1,1,0),(,2,)22BC EB ==--u u u ru u u r ，设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则00m AP y z m AD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，取1y =，得(1,1,1)m =-u r . 设平面EBC 的法向量为(,,)n a b c =r，则0112022n BC a b n EB a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩r u u u rr u u u r ，取1b =-，得(1,1,5)n =--r . 因为1155m n ⋅=-+=u r r ，3m =u r ，33n =r ，所以cos ,59333m n m n m n==⋅⋅=⨯u r ru r r u r r ，所以平面EBC 与平面PAD 所成的二面角的正弦值为255621419819⎛⎫-== ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，利用空间向量法是解决本题的较好方法，属于中档题.19．一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分. （1）设抛掷4次的得分为X ，求变量X 的分布列和数学期望.（2）当游戏得分为*(N )n n ∈时，游戏停止，记得n 分的概率和为11,2n Q Q =. ①求2Q ；②当*N n ∈时，记111,2n n n n n n A Q Q B Q Q ++=+=-，证明：数列{}n A 为常数列，数列{}n B 为等比数列.【答案】（1）分布列见解析，数学期望为6；（2）①34；②证明见解析【解析】（1）变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8，分别求出对应的概率，进而可求出变量X 的分布列和数学期望；（2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，分别求出两种情况的概率，进而可求得2Q ；②得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上，第二种为得1n -分后抛掷一次反面向上，可知当3n ≥且*N n ∈时，121122n n n Q Q Q --=+，结合112n n n A Q Q +=+，可推出12111122n n n n n n A Q Q Q Q A ++++=+=+=，从而可证明数列{}n A 为常数列；结合1n n n B Q Q +=-，可推出121111()22n n n n n n B Q Q Q Q B ++++=-=--=-，进而可证明数列{}n B 为等比数列.【详解】（1）变量X 的所有可能取值为4，5，6，7，8.每次抛掷一次硬币，正面向上的概率为12，反面向上的概率也为12， 则4142444111113(4)(),(5)(),(6)()2162428P X P X C P X C =====⨯===⨯=， 3444441111(7)(),(8)()24216P X C P X C ==⨯===⨯=.所以变量X 的分布列为：故变量X 的数学期望为11311()4567861648416E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上，概率的和为22113()224Q =+=. ②得n 分分两种情况，第一种为得2n -分后抛掷一次正面向上，第二种为得1n -分后抛掷一次反面向上，故3n ≥且*N n ∈时，有121122n n n Q Q Q --=+， 则*N n ∈时，211122n n n Q Q Q ++=+，所以1211111111122222n n n n n n n n n A Q Q Q Q Q Q Q A ++++++++==+=+=，故数列{}n A 为常数列； 又1211111111111()222222n n n n n n n n n n nB Q Q Q Q Q Q Q Q Q B +++++++=-=+-=-+=--=-，121311424B Q Q =-=-=，所以数列{}n B 为等比数列. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望，考查常数列及等比数列的证明，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为3，且过点73(,)24，点P 在第一象限，A 为左顶点，B 为下顶点，PA 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .（1）求椭圆E 的标准方程； （2）若//CD AB ，求点P 的坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）22,2⎭【解析】（1）由题意得2222232791416c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，求出22,a b ，进而可得到椭圆E 的方程；（2）由（1）知点A ，B 坐标，设直线AP 的方程为(2)y k x =+，易知102k <<，可得点C 的坐标为(0,2)k ，联立方程22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到关于y 的一元二次方程，结合根与系数关系，可用k 表示P 的坐标，进而由,,P B D 三点共线，即BD PB k k =，可用k 表示D 的坐标，再结合CD AB k k =，可建立方程，从而求出k 的值，即可求得点P 的坐标.（1）由题意得22222791416c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆E 的方程为2214x y +=.（2）由（1）知点(2,0)A -，(0,1)B -， 由题意可设直线AP 的斜率为k ，则102k <<，所以直线AP 的方程为(2)y k x =+，则点C 的坐标为(0,2)k ，联立方程22(2)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：2222(14)161640k x k x k +++-=. 设11(,)P x y ，则212164214k x k --⋅=+，所以2128214k x k-=-+， 所以2122824(2)1414k k y k k k -=-+=++，所以222824(,)1414k kP k k--++. 设D 点的坐标为0(,0)x ，因为点,,P B D 三点共线，所以BD PB k k =，即2202411148214kk k x k++=--+，所以02412k x k -=+，所以24(,0)12k D k -+. 因为//CD AB ，所以CD AB k k =，即2124212k k k=---+，所以24410k k +-=，解得12k -=， 又102k <<，所以12k =符合题意，计算可得228214k k --=+24142k k =+， 故点P的坐标为2.本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查平行线的性质，考查学生的计算求解能力，属于难题.21．已知函数2()ln ()f x x x ax a =-+∈R . （1）若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；（2）设函数()f x 的极值点为0x ，当a 变化时，点00(,())x f x 构成曲线M ，证明：过原点的任意直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点. 【答案】（1）1a ≤；（2）证明见解析 【解析】（1）由()0f x ≤恒成立，可得ln xa x x≤-恒成立，进而构造函数ln ()xg x x x=-，求导可判断出()g x 的单调性，进而可求出()g x 的最小值min ()g x ，令min ()a g x ≤即可；（2）由221()x ax f x x-++'=，可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x '=，则200210x ax -++=，0012a x x =-，进而可得2000()ln 1f x x x =+-，即曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-，进而只需证明对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解，然后构造函数2()ln 1F x x x kx =+--，分0k ≤、0k <≤k >分别证明函数()F x 在(0,)+∞上有唯一的零点，即可证明结论成立. 【详解】（1）由题意，可知0x >，由()0f x ≤恒成立，可得ln xa x x≤-恒成立. 令ln ()x g x x x =-，则221ln ()x xg x x-+'=. 令2()1ln h x x x =-+，则1()2h x x x'=+， 0x Q >，()0h x '∴>，2()1ln h x x x ∴=-+在(0,)+∞上单调递增，又(1)0h =， (0,1)x ∴∈时，()0h x <；(1,)x ∈+∞时，()0h x >，即(0,1)x ∈时，()0g x '<；(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，(0,1)x ∴∈时，()g x 单调递减；(1,)x ∈+∞时，()g x 单调递增，1x ∴=时，()g x 取最小值(1)1g =，1a ∴≤.（2）证明：由2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=，令22(1)x a T x x -=++，由1(0)0T =>，结合二次函数性质可知，存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得0()0f x '=，故()f x 存在唯一的极值点0x ，则20210x ax -++=，0012a x x =-， 22000000()ln ln 1f x x x ax x x ∴=-+=+-， ∴曲线M 的方程为2ln 1y x x =+-.故只需证明对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解.令2()ln 1F x x x kx =+--，则2121()2x kx F x x k x x-+'=+-=，①当0k ≤时，()0F x '>恒成立，()F x ∴在(0,)+∞上单调递增.21,e e 1k k ≤≤Q ，22(e )e e 1(1e )e 10k k k k k F k k k ∴=+--=-+-≤，(1)0F k =-≥Q ，∴存在t 满足e 1k t ≤≤时，使得()0F t =.又()F x Q 单调递增，所以x t =为唯一解.②当0k <≤221x x y k -+=，满足280k ∆=-≤， 则()0F x '≥恒成立，()F x ∴在(0,)+∞上单调递增.(1)0F k =-<Q，333263(e )3e e 1(e e )0k F k =+--=+>，∴存在3(1,e )t ∈使得()0F t =，又()F x Q 在(0,)+∞上单调递增，x t ∴=为唯一解.③当k >221x x y k -+=，满足280k ∆=->， 此时()0F x '=有两个不同的解12,x x ，不妨设12x x <，1212x x =⋅Q，120x x ∴<<<，列表如下：由表可知，当1x x =时，()F x 的极大值为21111()ln 1F x x x kx =+--.211210x kx -+=Q ，2111()ln 2F x x x ∴=--，10x <<<Q ，211ln 2x x ∴<+， 2111()ln 20F x x x ∴=--<，21()()0F x F x ∴<<.22222222(e )e e 1(e )e 1k k k k k F k k k k =+--=-+-.下面来证明2e 0k k ->，构造函数2()ln (m x x x x =->，则2121()2x m x x x x-'=-=，∴当)x ∈+∞时，()0m x '>，此时()m x 单调递增，∴3()8ln 202m x m >=->，∴)x ∈+∞时，2ln x x >，∴2ln e e x x x >=，故2e 0k k ->成立.∴2222(e )(e )e 10k k k F k k =-+->， ∴存在22(,e )k t x ∈，使得()0F t =.又()F x Q 在2(,)x +∞单调递增，x t ∴=为唯一解.所以，对任意k ∈R ，方程2ln 1x x kx +-=有唯一解，即过原点任意的直线y kx =与曲线M 有且仅有一个公共点. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查利用单调性研究图象交点问题，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为1(1)x my k m =-⎧⎨=-⎩为参数)，直线2l 的参数方程2x nn y k =⎧⎪⎨=+⎪⎩(为参数)，若直线12,l l 的交点为P ，当k 变化时，点P 的轨迹是曲线C（1）求曲线C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线3l 的极坐标方程为(0)θαρ=…，4tan 032παα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，点Q 为射线3l 与曲线C 的交点，求点Q 的极径.【答案】（1）22(1)1(0)x y x +-=≠；（2）85【解析】（1）将两直线化为普通方程，消去参数k ，即可求出曲线C 的普通方程； （2）设Q 点的直角坐标系坐标为(cos ,sin )(0)a ρραρ>,求出43sin ,cos 55a a ==，代入曲线C 可求解. 【详解】（1）直线1l 的普通方程为()y k x =-,直线2l 的普通方程为2x y k-=联立直线1l ,2l 方程消去参数k ,得曲线C 的普通方程为2(2)y y x -=-整理得22(1)1(0)x y x +-=≠.（2）设Q 点的直角坐标系坐标为(cos ,sin )(0)a ρραρ>, 由4tan 032a a π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭可得43sin ,cos 55a a == 代入曲线C 的方程可得2805ρρ-=， 解得8,05ρρ==（舍）， 所以点Q 的极径为85. 【点睛】本题主要考查了直线的参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，极径的求法，属于中档题.23．已知函数()|1||2|f x x x =-++. （1）求不等式()3f x x <+的解集；（2）若不等式22()m x x f x --„在R 上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{|02}x x <<；（2）(,2]-∞ 【解析】（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；（2）原不等式可转化为22()m x x f x ++„在R 上恒成立，分别求函数2()2g x x x=+与()f x 的最小值，根据能同时成立，可得22()x x f x ++的最小值，即可求解.【详解】（1）①当2x <-时,不等式()3f x x <+可化为123x x x ---<+,得43x >-，无解；②当-2≤x ≤1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+得x >0,故0<x ≤1; ③当x >1时,不等式()3f x x <+可化为123x x x -++<+,得x <2,故1<x < 2. 综上，不等式()3f x x <+的解集为{|02}x x <<（2）由题意知22()m x x f x ++„在R 上恒成立，所以()2min 2()xm x x f x ++„令2()2g x x x =+，则当1x =-时，min ()1g x =-又当21x -剟时，()f x 取得最小值，且min ()3f x = 又1[2,1]-∈-所以当1x =-时，()f x 与()g x 同时取得最小值. 所以()2min2()132x x f x ++=-+=所以2m ≤，即实数m 的取值范围为(,2]-∞ 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，分类讨论，函数的最值，属于中档题.。

绝密★启用前2020年安徽省“江南十校”综合素质检测生物考生注意：1 .本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分300分，考试时间150分钟。

2 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。

3 .考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4 .可能用到的相对原子质量：H1 B11 Cl2 N14 O16 Na23 C135.5 Cr52 Cu64一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1 .下列关于真核细胞结构和功能的叙述，错误的是A.细胞质中许多重要细胞器的形成以膜的分化为基础B.细胞核通过mRNA和核糖体对细胞生命活动进行控制C.胰高血糖素和胰岛素空间结构的形成均需要内质网参与D.细胞骨架由纤维素构成，在物质运输等方面起重要作用2 .下列有关人体精原细胞分裂过程的叙述，正确的是A.1个精原细胞减数分裂中发生交叉互换后可能会产生4种精细胞B.初级精母细胞与有丝分裂后期细胞的核DNA含量、染色体数相同C.DNA的复制使减数第一次分裂后期出现2条含相同基因的染色体D.1个精原细胞经两次分裂产生4个相同细胞，可能进行的是减数分裂3 .某实验小组研究了不同金属离子对3-葡聚糖酶活性的影响（其他条件相同且适宜）,下表为添加一定量化合物后3-葡聚糖酶活性的变化情况。

下列相关分析正确的是A.实验中Na > Ca2、Mn2 > Fe3+均对3葡聚糖酶具有显著激活作用B.Cu2+可能通过改变该酶空间结构抑制其降低化学反应活化能的能力C.若分别增加Mg"和Ca#的浓度，则它们］对酶的激活作用也将会增强D.KI和KH2P。

安徽省江南十校2025届高考数学四模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()222ln 25f x a x ax =+++.设1a <-，若对任意不相等的正数1x ，2x ，恒有()()12128f x f x x x -≥-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,1-- B ．()2,1-- C ．(],3-∞- D ．(],2-∞-2．设直线l 过点()0,1A -，且与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，那么AB AC ⋅=（ ）A ．3±B．3C D ．13．已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，b =，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<4．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18 B ．14 C ．16D ．125．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．256．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）7．若31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85B ．84C ．57D ．568．在正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．154C ．265D ．159．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n ==D ．1,2m n =-=-10．函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A ．()ln sin f x x =B ．()()ln cos f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan cos f x x =-11．函数sin (3sin 4cos )y x x x =+()x R ∈的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(,)M T 为（ ） A ．(5,)π B ．(4,)πC ．(1,2)π-D ．(4,2)π12．函数ln ||()xx x f x e=的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。