2021届湖北省部分重点中学高三上学期10月联考数学试卷

绝密★启用前数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{}51x x x ><或，B ＝{}04x x <<，则(RA)B ＝A ．{}15x x ≤<B ．{}05x x <<C ．{}14x x ≤<D ．{}14x x << 2．已知命题p ：∃x ＞0，x 2＞2x ，则⌝p 是A ．∀x ＞0，x 2＞2xB ．∀x ＞0，x 2≤2xC ．∃x ＞0，x 2＞2xD ．∃x ≤0，x 2≤2x 3．已知0.91.2x =， 1.20.9y =， 1.2log 0.9z =，则A ．x ＞z ＞yB ．y ＞x ＞zC ．y ＞z ＞xD ．x ＞y ＞z 4．若sin1000°＝a ，则cos10°＝A ．﹣aB ．C ．aD 5．函数22()(e e )ln x x f x x -=+的部分图象大致为6．“2k απ=(k ∈Z)”是“sin2α＝2sin α”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 7．若将函数()cos()3f x x πω=+(0＜ω＜50)的图象向左平移6π个单位长度后所得图象关于坐标原点对称，则满足条件的ω的所有值的和M ＝A ．175B ．225C ．200D ．2508．太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M 大约是30210⨯千克，地球是太阳系八大行星之一，其质量m 大约是24610⨯千克，下列各数中与Mm最接近的是（参考数据：lg3≈0.4771，lg6≈0.7782） A ． 5.51910- B ． 5.52110- C ． 5.52310- D ． 5.52510-二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．已知函数2()(0)(0)cos 2f x x f x f x '=+⋅-⋅+，其导函数为()f x '，则 A ．(0)1f =- B ．(0)1f '= C ．(0)1f = D ．(0)1f '=- 10．下列选项中，正确的有A ．若1x ，2x 都是第一象限角，且1x ＞2x ，则sin 1x ＞sin 2xB ．函数()sin f x x =的最小正周期是πC ．若()f x 是定义在R 上的奇函数，且最小正周期是T ，则T()02f -= D ．函数21cos sin 2y x x =+的最小值为﹣1 11．已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的最小正周期为23π，且()4f x π+()4f x π=-，则ϕ的值可以为A ．4π-B ．4πC ．34π-D ．34π 12．已知函数32()26f x x x x =-+-，其导函数为()f x '，下列命题中为真命题的是A ．()f x 的单调减区间是(23，2) B ．()f x 的极小值是﹣6C ．过点(0，0)只能作一条直线与()y f x =的图象相切D ．()f x 有且只有一个零点三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．17tan12π＝ ． 14．已知集合M ＝{}2230x x x --=，N ＝{1﹣a ，a 2}，若MN ＝{﹣1，3，4}，则a＝ ．15．函数220()e 10x x x x f x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，若(2)(6)f a f a >-，则a 的取值范围是 ．16．已知函数()sin f x a x x =+图象的一条对称轴为直线76x π=，若函数()F x =7()5f x -在[2π-，72π]上的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，…，n x ，则1x ＋2x ＋…＋n x ＝ ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在①()f x 的一个极值点为0，②若曲线()y f x =在点(1，(1)f )处的切线与直线x ＋(e ﹣1)y ﹣1＝0垂直，③()()f x f x '--为奇函数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答下列问题．已知函数()e 1xf x ax =+-，且 ，求()f x 在[﹣1，1]上的最大值与最小值． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）已知二次函数()f x 满足(1)()23f x f x x +-=+，且()f x 的图象经过点A(1，﹣9)． （1）求()f x 的解析式；（2）若x ∈[﹣2，3]，不等式()f x mx ≤恒成立，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分12分）将函数()Asin()f x x ωϕ=+ (A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π )的图象向左平移6π个单位长度，再将所得图象各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．已知()g x 的部分图象如图所示，且OM 4ON =．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(2)24h x x g x π=+-，求()h x 在[16π-，8π]上的值域．20．（本小题满分12分）已知函数25()sin(2)+2cos 6f x x x πωω=+(ω＞0)的最小正周期为π． （1）求()f x 的单调递减区间；（2）已知0x ∈(3548π，4148π)，且0()15f x =+，求0()3f x π+的值．21．（本小题满分12分）已知函数2()e 1xf x a x =+-．（1）当a ＝1时，求曲线()y f x =在点(1，(1)f )处的切线方程； （2）当a ＝0时，判断方程()4ln 0f x x x -=的实根个数，并说明理由． 22．（本小题满分12分）已知函数ln ()a xf x x x=+． （1）当a ＝1时，判断()f x 的单调性，并求()f x 在[1e，e]上的最值； （2）0x ∃∈(0，e]，0()2f x a ≤+，求a 的取值范围．。

2021届湖北省六校高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．设U =R ，集合01xA x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，{}11B x x =-<<，则()U A B =（）A ．(]0,1B ．[)0,1C ．()0,1D ．[]0,1答案：B 思路：由{0=|01xA x x x x ⎧⎫=><⎨⎬-⎩⎭或}1x >，则{}=|01UA x x ≤≤，代入即可得解.解： 由{0=|01xA x x x x ⎧⎫=><⎨⎬-⎩⎭或}1x >，则{}=|01UA x x ≤≤，所以(){}|0x<1UA B x =≤，故选：B. 点评：本题考查了集合的运算，考查了分式不等式，计算量不大，属于基础题. 2．函数()()1ln 2f x x =-的定义域为（）A ．()1,11,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()0,2答案：C思路：根据函数成立的条件即可求函数的定义域． 解：要使函数()()1ln 2f x x =-有意义，则3102021x x x -≥⎧⎪->⎨⎪-≠⎩1321x x x ⎧≥⎪⎪⇒<⎨⎪≠⎪⎩，故函数的定义域为()1,11,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：C本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，属于基础题． 3．在ABC 中，已知45A =︒，30B =︒，c =a =（）A．B-C1D1答案：B思路：根据题中条件，先得到105C =︒，再由正弦定理，即可得出结果. 解：因为在ABC 中，45A =︒，30B =︒， 所以1804530105C =︒-︒-︒=︒，又c =由正弦定理可得，sin sin a cA C=，即sin sin 4c Aa C====.故选：B. 点评：本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.4．若[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立，则实数a 的取值范围为（） A ．3a <- B ．0a <C ．1a <D ．3a >-答案：C思路：由题意可转化为[]1,2x ∃∈-，使2+2a x x <-成立，求2+2x x -的最大值即可. 解：因为[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立， 所以[]1,2x ∃∈-，使得不等式2+2a x x <-成立， 令2()2f x x x =-+，[]1,2x ∈-，因为对称轴为1x =，[]1,2x ∈- 所以max ()(1)1f x f ==， 所以1a <，点评：本题主要考查了存在性命题的应用，考查了函数最值的求法，转化思想，属于中档题. 5．“开车不喝酒，喝酒不开车．”近日，公安部交通管理局下发《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型0.540sin 13,02()39014,2x x x f x e x π-⎧⎛⎫+≤<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⋅+≥⎩，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（）小时才可以驾车？（参考数据：ln15 2.71,ln30 3.40≈≈） 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类别阈值（mg /100mL ）饮酒后驾车 20,80≥<醉酒后驾车80≥A ．5B ．6C ．7D ．8答案：B思路：先根据散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，故根据0.59014202x e x -⎧⋅+<⎨≥⎩的解可得正确的选项.解：由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，令0.59014202x e x -⎧⋅+<⎨≥⎩，故0.51152x e x -⎧<⎪⎨⎪≥⎩，所以2ln152 2.71 5.42x >≈⨯=， 故选：B. 点评：本题考查分段函数在实际中的应用，注意根据散点图选择合适的函数解析式来进行计算，本题属于基础题.6．已知函数()32f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极值为（）A ．极大值为427，极小值为0 B ．极大值为0，极小值为427-C ．极小值为527-，极大值为0D ．极小值为0，极大值为527答案：A思路：根据题意，求得2,1p q ==-，得到()322f x x x x =-+，再利用导数求得函数的单调性，利用极值的定义，即可求解函数的极大值和极小值，得到答案． 解：由题意，函数()32f x x px qx =--，则()232f x x px q '=--，因为函数()f x 的图像与x 轴切于点(1,0)， 则()1320f p q '=--=，且()110f p q =--=，联立方程组32010p q p q --=⎧⎨--=⎩，解得2,1p q ==-，即()322f x x x x =-+，则()2341(31)(1)f x x x x x =-+=--'，当1(,)3x ∈-∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当1(,1)3x ∈时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 所以函数()f x 的极大值为14()327f =，极小值为(1)0f =， 故选A ． 点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中准确利用导数求得函数的单调性，再利用函数极值的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．7．如图，在ABC 中，4BC =，4BA BC ⋅=，点P 为边BC 上的一动点，则PA PC ⋅的最小值为（）A ．0B ．2-C ．94-D ．3-答案：C思路：作辅助线AO BC ⊥，利用向量数量积公式，可求得1BO =，3CO =，再利用向量的三角形法则，将求PA PC ⋅的最小值，转化为求PO PC ⋅得最小值，然后分类讨论P 与O 的位置关系，可知P 在O 右侧时，PA PC ⋅最小，再利用基本不等式求最值. 解：如图所示，作AO BC ⊥4BA BC ⋅=，4BC =，cos 4BA BC B ∴⋅=，可得cos 1BA B =，即1BO =，3CO ∴= 利用向量的三角形法则，可知()PA PO OA PC PO PC PC ⋅=+⋅=⋅若P 与O 重合，则0PC PA ⋅=若P 在O 左侧，即P 在OB 上时,PA PO PC PC ⋅=⋅若P 在O 右侧，即P 在OC 上时，PA PO PC PC ⋅=-⋅，显然此时PA PC ⋅最小，利用基本不等式2924PO PCPO PC⎛⎫+⎪-⋅≥-=-⎪⎪⎝⎭（当且仅当PO PC=，即P为OC中点时取等号）故选：C.点评：本题考查向量的三角形法则，向量的数量积公式，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力，数形结合思想，属于中档题.8．已知函数()()sin cos06f x x xπωωω⎛⎫=++>⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（）A．811,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．811,33⎛⎤⎥⎝⎦C．1013,33⎛⎤⎥⎝⎦D．1013,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案：A思路：利用两角和正弦公式和辅助角公式将函数整理为()3sin3f x xπω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由[]0,xπ∈，得,333xπππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像求得3ππω+的范围，从而求得ω的范围.解：()sin cos sin cos cos sin cos666f x x x x x xπππωωωωω⎛⎫=++=++⎪⎝⎭33sin cos3sin23x x xπωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭当[]0,xπ∈时，,333xπππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦()f x在[]0,π有且仅有3个零点，结合正弦函数图像可知，343πππωπ∴≤+<解得：81133ω≤< 故选：A. 点评：本题考查函数的零点问题，解答本题关键是先利用三角恒等变换公式将三角函数整理为()sin y A ωx φ=+形式，再利用数形结合思想求解，考查学生的数形结合与计算能力，属于中档题. 二、多选题9．若函数1x y a b =+-（0a >，且1a ≠）的图像不经过第二象限，则需同时满足（） A ．1a > B ．01a << C ．0b > D ．0b ≤答案：AD思路：根据指数型函数的图像分布，列式可解得. 解：因为函数1xy a b =+-(0a >,且1a ≠)的图像不经过第二象限，即可知图像过第一、三、四象限，或过第一，三象限及原点，所以其大致图像如图所示：由图像可知函数为增函数，所以1a >， 当0x =时，110y b b =+-=≤， 故选：AD . 点评：本题考查了指数函数的图像，考查数形结合思想，属于基础题. 10．下列函数中，最小值是4的函数有（） A ．()224f x x x=+B ．()4cos 0cos 2f x x x x π⎛⎫=+≤< ⎪⎝⎭C ．()221f x x =+D ．()433xxf x =+答案：ACD思路：根据基本不等式，对各项逐个分析判断，经过计算即可得解. 解：对A ，20x ≥，可得()224f x x x=+≥，当22x =时取等，故A 正确， 对B ，0cos 1x ≤<，()4cos 5cos f x x x=+>，故B 错误， 对C1≥，()24f x =≥，2=取等，故C 正确， 对D ，30x >，()433xx f x =+≥，当32x =时取等，故D 正确. 故选：ACD. 点评：本题考查了基本不等式，在利用基本不等式求最值时，注意变量的取值范围，关键是考查能否取等号，属于基础题.11．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当k 0<时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当k 0<时，有1个零点答案：CD思路：令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论． 解：令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．点评：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 答案：ACD思路：由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 解：对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C 正确. 对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 点评：本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题. 三、填空题13．已知向量a 与b 的夹角为60︒，2a =，3b=，则32a b +=________． 答案：思路：先计算a b ⋅，再将232a b +展开，将已知条件代入即得结果. 解：依题意，1cos602332a b a b ︒=⋅=⋅⨯⨯=，故2223294129449123108a b a b a b +=++⋅=⨯+⨯+⨯=，即3263a b +=. 故答案为：点评：本题考查了向量的数量积运算和向量的模的求法，属于基础题.14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为2sin18m =︒，若24m n +=，则2=________．答案：12-思路：由已知利用同角三角函数的平方关系可求24cos 18n =，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简即可． 解：根据题意，且2sin18m =︒，24m n +=，化简22cos542sin182cos18-==︒⋅︒︒sin 3612sin 362-︒==-︒.故答案是：12-． 点评：本题主要考查了同角三角函数的平方关系，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若52015S =，20155S =，则2020S =________． 答案：2020-思路：先利用等差数列{}n a 的求和公式证得n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并由已知条件计算该数列的公差，进而利用等差数列的推广的通项公式()n m a a n m d =+-求解. 解：等差数列{}n a 中，记首项为1a ，公差为d ，利用等差数列求和公式1(1)2n n n S na d -=+，可得111222n S n d d a d n a n -=+=+-， 又111(1)()122222n n S S d d d d d n a n a n n +-=++--+-=+ 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1a ，公差为2d 等差数列，由52015S =，20155S =，得5201555S =，2015201155205S = 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为201555201520155201552015520155S S --=-- 所以202055201520155(20205)12020520155S S ⎛⎫- ⎪=+-=- ⎪- ⎪⎝⎭所以20202020S =- 故答案为：2020- 点评：本题考查等差数列的证明，及等差数列通项公式的求法，解题的关键是要证得n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.16．若存在两个正实数x ，y 使等式()()ln ln 0x m y x y x +--=成立，（其中2.71828e =）则实数m 的取值范围是________．答案：(),0-∞思路：由条件转化为11ln y y m x x ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，换元0yt x=>，令()()1ln g t t t =-，由导数确定函数的值域即可求解. 解：()()ln ln x m x y y x =--，()()ln ln 11ln x y y x y y m x x x--⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭ 设0yt x=>且1t ≠， 设()()1ln g t t t =-，那么()()11ln 1ln 1g t t t t t t'=-+-⋅=-+-，()221110t g t t t t+''=--=-<恒成立，所以()g t '是单调递减函数，当1t =时，()10g '=，当()0,1t ∈时，()0g t '>，函数单调递增， 当()1,t ∈+∞，()0g t '<，函数单调递减， 所以()g t 在1t =时，取得最大值，()10g =，即10m<， 解得：0m <， 故答案为：(),0-∞ 点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值，考查了变形运算能力，属于中档题. 四、解答题 17．在①()sin sin sin B C A C -=-②tan tan A B=+③2cos cos cos a A b C c B =+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出b c +的最大值；若问题中的三角形不存在，请说明理由（若选择多个，则按第一个条件评分）问题：已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a =，________，求b c +的最大值 答案：答案见解析.思路：选择条件①，利用两角和与差的正弦化简，可求得3A π=，再利用余弦定理，结合基本不等式求b c +的最大值；选择条件②，利用正弦定理化简，可求得3A π=，与①一样可求b c +的最大值；选择条件③，利用正弦定理化简，可求得3A π=，与①一样可求b c +的最大值； 解：若选择条件①，()sin sin sin B C A C -=-，三角形存在.()()sin sin sin A C C A C ∴+-=-，化简可得：2cos sin sin A C C = ∵sin 0C >，∴1cos 2A =，∴3A π= 由余弦定理可知，2222cos b c bc A a +-=224b c bc ∴+-=，()234b c bc ∴+-=利用基本不等式()224332b c b c bc +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时等号成立， ()244b c +∴≤，04b c ∴<+≤综上()max 4b c +=.tan tan A B =+，三角形存在.sin sin cos cos A BA B=+()sin sin cos cos cos cos A B CA B A B+==∵sin 0C >，∴1,tan sin cos A A A=∴=3A π=， 同理条件①可得()max 4b c +=若选择条件③，2cos cos cos a A b C c B =+，三角形存在.由正弦定理得：2sin cos sin cos sin cos A A B C C B =+ 化简得：()2sin cos sin sin A A B C A =+= ∵sin 0A >，∴1cos 2A =，∴3A π= 同理条件①可得()max 4b c += 点评：本题考查正余弦定理的应用，及利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力与运算能力，属于中档题.18．数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且11a n +=+． （1）求n S ，n a ；（2）若n n b a =⋅{}n b 的其前n 项和n T ．答案：（1）2n S n =；21n a n =-；（2）()12326n n T n +=-+.思路：（1）由1n =，得11a =，进而得2n S n =，再由1n n n a S S -=-即可得解；（2）由()212nn b n =-，利用错位相减法即可求和.解：（1）当1n =时，12a =，则11a =，则2n S n =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-当1n =时，11a =适合上式，则21n a n =-， （2）由（1）可知，()212nn b n =-则()21232212n n T n =⋅+⋅++- ()23121232212n n T n +=⋅+⋅++-两式相减得()()212222212n n n T n +-=+++--()1114(12)=22(32)6122122n n n n n -++-+⨯-=----，∴()12326n n T n +=-+.点评：本题主要考查了利用1n n n a S S -=-求数列通项公式，涉及错位相减法求和，属于基础题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）设1,60PA ABC =∠=，三棱锥E ACD -的体积为3，求二面角D AE C --的余弦值．答案：(Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ）13. 思路：(Ⅰ))连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，根据中位线定理可得//PB OE ，由线面平行的判定定理即可证明//PB 平面AEC ；（Ⅱ）以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAE 与平面DAE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果. 解：(Ⅰ)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 为BD 中点，E 为PD 的中点，所以//PB OE ， OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面AEC ；（Ⅱ）设菱形ABCD 的边长为a ，324P ABCDP ACD E ACD V V V ---===， 211332133P ABCDABCD V S PA a -⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，则3a =. 取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴， 以AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.()3,0D ，()0,0,0A ，312E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，332C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭312AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，332AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面ACE 的法向量为1(,,)n x y z =， 由11,n AE n AC ⊥⊥，得3102233022y z x y +=⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1x =，则3,3y z =-= ()11,3,3n =∴-，平面ADE 的一个法向量为()21,0,0n =12121213cos<,>13139n n n n n n ⋅===++⋅， 即二面角D AE C --的余弦值为1313. 【点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20．已知函数()()4log 41xf x mx =+-是偶函数，函数()42x xn g x +=是奇函数． （1）求m n +的值； （2）设()()12h x f x x =+，若()()4log 21g h x h a >+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对任意4log 3x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 答案：（1）12m n +=-；（2）1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭. 思路：（1）根据偶函数的定义，求m 的值，根据奇函数若在原点有意义，则必满足()00g =，求n 的值，从而求得m n +；（2）求参数的恒成立问题转化为求最值问题，本题形如()f x a >恒成立，转化为()min f x a >恒成立，即转化为求()min f x ，从而求得a 的取值范围.解：（1）由()f x 是偶函数，得()()f x f x -= 即()()()()()444log 41log 411log 41xx x f x mx m x mx --=++=++-=+-化简得：()1mx m x -=-，故12m =由()g x 为奇函数，且定义域为R ，所以()00g =，即004012n n +=⇒=-，经检验，1n =-符合题意； 综上，可得12m n +=-（2）∵()()()41log 412x h x f x x =+=+，∴()()44log 21log 22h a a +=+⎡⎤⎣⎦ 又()()4log 21g h x h a >+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对4log 3x ∀≥恒成立，即()()4min log 22g h x a >+⎡⎤⎣⎦对4log 3x ∀≥恒成立，下面求()min g h x ⎡⎤⎣⎦， 又()()4log 41xh x =+，在区间[)4log 3,+∞上是增函数()()4log 31h x h ∴≥=又()41222x x x xg x --==-在区间[)1,+∞上是增函数， ()()()4min 3g log 312g h x h g ∴===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 由题意，得32224122032210a a a a ⎧+<⎪⎪⎪+>⇒-<<⎨⎪+>⎪⎪⎩所以实数a 的取值范围是：1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭． 点评：本题考查利用函数奇偶性求参数，及函数恒成立求参数问题，在解函数恒成立问题时，往往转化为最值问题求解，考查学生的转化与化归思想与计算能力，属于中档题. 21．已知直线1l 与圆22:9O x y +=相切，动点M 到()2,0E -与()2,0F 两点的距离之和等于E 、F 两点到直线1l 的距离之和． （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线2l 交轨迹C 于不同两点A 、B ，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=，2NB BF λ=，试问12λλ+是否等于定值，并说明理由．答案：（1）22:195x y C +=；（2）是定值，为185-，理由详见解析. 思路：（1）由64ME MF +=>得动点M 的轨迹是以E 、F 为焦点，长轴长为6的椭圆可得答案；（2）直线斜率存在取特殊情况可证明，不存时直线与椭圆联立，利用韦达定理结合向量可得答案. 解： 是定值，为185-，理由如下：（1）设E 、O 、F 三点到直线1l 的距离分别为1d 、d 、2d ，O 为EF 的中点， ∵直线1l 与圆22:9O x y +=相切，∴3d = ∴12264ME MF d d d +=+==>∴动点M 的轨迹是以E 、F 为焦点，长轴长为6的椭圆 ∴2a b =，3a =，2c =，2225b a c所以动点M 的轨迹22:195x y C +=.（2）①当2l 斜率为0时，()0,0N ，()2,0F ，不妨取()30A -,，()3,0B ， ∴()3,0NA =-，()5,0AF =，则135λ=-， ()3,0NB =，()1,0BF =-，则23λ=-，∴12185λλ+=-． ②当2l 斜率不为0时，设()2:20l ty x t =-≠，()11,A x y 、()22,B x y ，则20,N t ⎛⎫- ⎪⎝⎭．则()1111111122,2,1NA ABF x y x y t ty λλλ⎛⎫=⇒+=--⇒=-- ⎪⎝⎭ 由2NB BF λ=，同理可得2221ty λ=--由222195x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()225920250t y ty ++-=，∴1222059t y y t +=-+，1222559y y t =-+， ∴1212121222222018222255y y t ty ty t y y t λλ⎛⎫++=--+=--⋅=--⋅=-⎪⎝⎭， 综上，12185λλ+=-为定值． 点评：本题考查了直线和椭圆的位置关系，求动点轨迹的问题及椭圆与向量的结合求定值的问题.22．已知函数()()ln 1f x ax x =-+（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若函数()0f x >对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求正实数．．．a 的最值范围；（Ⅲ）求证：n N+∀∈e <．（e 为自然对数的底数） 答案：（Ⅰ）0；（Ⅱ）1a ≥；（Ⅲ）证明见解析.思路：（Ⅰ）根据题意，先得函数定义域，再对函数求导，根据函数单调性，即可求出函数最值；（Ⅱ）对函数求导，得到()11f x a x'=-+，分别讨论1a ≥，01a <<两种情况，根据导数的方法研究函数单调性，以及函数的大致范围，即可得出结果； （Ⅲ）先由（Ⅱ）知，1a =时，()ln 1x x >+，()0,x ∈+∞，取1xk，k N +∈，得11ln 1k k ⎛⎫ ⎪⎝<⎭+，k N +∈，推出1kk e k +⎛⎫< ⎪⎝⎭，k N +∈，进而可证明结论成立. 解：（Ⅰ）当1a =时，由题意可得，函数()f x 的定义域为()1,x ∈-+∞，()110011xf x x x x'=-==⇒=++ 随x 变化，()f x ，()f x '的变化情况如下：所以当0x =时，()()min 00f x f ==； （Ⅱ）由()11f x a x'=-+ 当1a ≥时，()10,11x ∈+，∴()101f x a x'=->+恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()00f x f >=恒成立，符合题意； 当01a <<时，()()1111ax a a a f x x x x a ---⎛⎫'==- ⎪++⎝⎭，若10,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0f x '<，即()f x 在10,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，此时()()00f x f <=，不符合题意；综上：1a ≥；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1a =时，()ln 1x x >+，()0,x ∈+∞ 取1x k ，k N +∈，则11ln 1k k⎛⎫ ⎪⎝<⎭+，1k =，2，…，n 即111111k k k k e e e k k k +⎛⎫⎛⎫+<⇒+<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1k =，2，…，n 上式n 个式子相乘得：1232341123nn n e n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅< ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即()1!n n n e n +<，e <. 点评：本题主要考查导数的方法求函数的最值，考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，考查导数的方法证明不等式，属于常考题型.。

2021届湖北省部分重点中学高三上学期10月联考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.全集,,,则图中阴影部分表示的集合是( )A． B．C．D．2. 从2020年起,某地考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A、B、C、D、E,各等级人数所占比例依次为：A等级15%,B等级40%,C等级30%,D等级14%,E 等级1%．现采用分层抽样的方法,从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本,则该样本中获得A或B等级的学生人数为（）A．55 B．80 C．90 D．1103．已知A＝{x|1≤x≤2},命题“∀x∈A,x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤54．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关,初行健步不为难；次日脚痛减一半,如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（）A．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里B．此人第六天只走了5里路C．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍5. 已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数,记()32a f -=,()3m b f =,()0.5log 3c f =,则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6. 函数π()sin()(0)4f x A x ωω=+>的图象与x 轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个公差为π3的等差数列,要得到函数()cosg x A x ω=的图象,只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向左平移π12个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移34π个单位 7．现有某种细胞1千个,其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次,即由1个细胞分裂成2个细胞,按这种规律,1小时后,细胞总数约为12×10000＋12×10000×2＝32×10000,2小时后,细胞总数约为12×32×10000＋12×32×10000×2＝94×10000,问当细胞总数超过1010个时,所需时间至少为( ) (参考数据：lg3≈0.477,lg2≈0.301)A ．38小时B ．39小时C ．40小时D ．41小时8. 若1a >,设函数()4x f x a x =+- 的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ,则11m n+的取值范围是( )A ．7,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()4,+∞D ． [)1,+∞二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校联盟”2021届高三数学上学期10月联考试题 理（含解析）本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

） 1.设集合{}|3,xA y y x R ==∈，{}|B x y x R ==∈，则AB =（）A. 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. ()0,1C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】集合A 表示函数3,xy x R =∈的值域，集合B表示函数y =域、值域的求法，求出集合A 、B ，再求AB 即可.【详解】解：因为3,xy x R =∈，则0y >，即()0,A =+∞，又y =，x ∈R ,由120x -≥，解得12x ≤，即1,2B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦，即AB =10,2⎛⎤⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题考查了函数的定义域、值域的求法，重点考查了集合交集的运算，属基础题.2.函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（）A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】A 【解析】 【分析】由函数零点与方程的根的关系可得函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点即方程320x -=，3log 60x +=的根，解方程后再将两根相加即可得解.【详解】解：令320x -=，解得3log 2x =， 令3log 60x +=，解得3log 6x =-， 则函数()f x 的零点之和为3331log 2log 6log 13-==-， 故选A.【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.3.若ln 2a =，125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，则a ，b ，c 的大小关系（）A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】由定积分的运算可得c =1sin 2x |20π=11(sin sin 0)222π-=，再由以e为底的对数函数的单调性可得1ln 22a =>=，再由以12y x -=的单调性可得11221542b --=<=，比较即可得解. 【详解】解：201cos 2c xdx π=⎰=1sin 2x |20π=11(sin sin 0)222π-=，又 11221542b --=<=，1ln 22a =>=，即b c a <<，故选D.【点睛】本题考查了定积分的运算、对数值比较大小，指数幂比较大小，重点考查了不等关系，属中档题. 4.下列四个结论：①若点()(),20P a a a ≠为角α终边上一点，则sin α=②命题“存在0x R ∈，2000x x ->”的否定是“对于任意的x ∈R ，20x x -≤”； ③若函数()f x 在()2019,2020上有零点，则()()201920200f f ⋅<； ④“log 0a b >（0a >且1a ≠）”是“1a >，1b >”的必要不充分条件. 其中正确结论的个数是（） A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C 【解析】 【分析】对于①，由三角函数的定义，讨论0a >，0a <即可； 对于②，由全称命题与特称命题的关系判断即可得解； 对于③，由零点定理，需讨论函数在()2019,2020是否单调； 对于④，由充分必要性及对数的运算即可得解.【详解】解：对于①，当0a >时，有sin α===当0a <时，有sin α===对于②，命题“存在0x R ∈，2000x x ->”的否定是“对于任意的x ∈R ，20x x -≤”；由特称命题的否定为全称命题，则②显然正确；对于③，若函数()f x 在()2019,2020上有零点，则()()201920200f f ⋅<；若函数在()2019,2020为单调函数，则必有()()201920200f f ⋅<，若函数在()2019,2020不单调，则必有()()201920200f f ⋅<，不一定成立，即③错误；对于④，当“1a >，1b >”时，可得到“log 0a b >（0a >且1a ≠）”，当“log 0a b >（0a >且1a ≠）”时，则“1a >，1b >”或“01a <<，01b <<”， 即④正确， 故选C.【点睛】本题考查了三角函数的定义、全称命题与特称命题、零点定理及充分必要条件，重点考查了逻辑推理能力，属综合性较强的题型. 5.已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A. -7B. 7C. 1D. -1【答案】B 【解析】 【分析】由了诱导公式得sin 2cos αα=-，由同角三角函数的关系可得tan 2α，再由两角和的正切公式()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-，将tan 2α代入运算即可.【详解】解：因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+⎪⎝⎭， 所以sin 2cos αα=-，即tan 2α，又()1tan 3αβ+=， 则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan β= 7， 故选B.【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.6.已知()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则函数()y f x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式可得()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可. 【详解】解：因为()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，则()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221xx x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，即()()f x f x =-，则函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，不妨取4x π=，则 ()44221(08221f x πππ-=-<+，即在()0,∞+存在变量使得()0f x <， 故选D.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考查了函数的思想，属中档题. 7.若函数()()()3,af x m xm a R =+∈是幂函数，且其图像过点(2，则函数()()2log 3a g x x mx =+-的单调递增区间为（）A. (),1-∞-B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()3,+∞【解析】 【分析】由幂函数的定义可得31m +=，由其图像过点(，则2α=，即12α=， 由复合函数的单调性有：()y g x =的单调递增区间等价于223,(0)t x x t =-->的减区间， 一定要注意对数的真数要大于0，再求单调区间即可. 【详解】解：因为()()()3,af x m x m a R =+∈，则31m +=，即2m =-，又其图像过点(，则2α=12α=， 则()()212log 23g x x x =--， 由复合函数的单调性有：()()212log 23g x x x =--的单调递增区间等价于223,(0)t x x t =-->的减区间，又223,(0)t x x t =-->的减区间为(),1-∞-，故选A.【点睛】本题考查了幂函数的定义及复合函数的单调性，重点考查了对数的真数要大于0，属中档题.8.将函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（） A. 函数()g x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 B. 函数()g x 的最小正周期为2π C. 函数()g x 的图象关于直线6x π=对称D. 函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【解析】 【分析】由三角函数图像的平移变换及伸缩变换可得()sin()6g x x π=-，再结合三角函数的周期、单调区间、对称轴、对称点的求法求解即可. 【详解】解：将函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，所得图像的解析式为 sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则()sin()6g x x π=-，令6x k ππ-=，则6x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于点,06k ππ⎛+⎫⎪⎝⎭，k Z ∈对称,即A 错误； 令62x k πππ-=+，则23x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于直线23x k ππ=+，k Z ∈对称,及C 错误；由221T ππ==，即C 错误； 令 22262k x k πππππ-≤-≤+，得22233k x k ππππ-≤≤+，即函数()g x 的单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 正确， 故选D.【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.9.已知定义在R 上函数()f x 满足对任意x ∈R 都有()()110f x f x ++-=成立，且函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()2019f =（）A. 0B. 2C. -2D. -1【答案】A【分析】由()()110f x f x ++-=，可得()()20f x f x ++-=， 又由函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，可得函数()f x 的图像关于y 轴对称，即()()f x f x =-，再结合函数对称性及奇偶性可得函数的周期为4，再运算即可.【详解】由()()110f x f x ++-=，则()()20f x f x ++-=，① 又函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则函数()f x 的图像关于y 轴对称，即()()f x f x =-，②联立①②可得()()4f x f x =+，即函数()f x 的周期为4， 即()2019f =(50541)(1)f f ⨯-=-， 又因为()()110f x f x ++-=，令0x =得(1)0f =，又函数()f x 的图像关于y 轴对称，则(1)0f -=， 即()2019f =0， 故选A.【点睛】本题考查了函数的对称性、奇偶性、周期性及利用函数的性质求值，属中档题. 10.已知函数()()sin xf x e x a =-有极值，则实数a 的取值范围为（）A. ()1,1-B. []1,1-C. ⎡⎣D.(【答案】D 【解析】 【分析】 由函数()()sin xf x ex a =-有极值，等价于sin cos x x a +-=0有变号根，即()0>g x ，()0<g x均有解，又()g x a a ⎡⎤∈⎣⎦，即0a a ⎧<⎪>，运算即可得解.【详解】解：因为()()sin xf x e x a =-，所以()()'sin cos x fx e x x a =+-，令()sin cos g x x x a =+-， 由函数()()sin xf x ex a =-有极值，则sin cos x x a +-=0有变号根， 即()0>g x ，()0<g x 均有解，又()sin cos )4g x x x a x a π=+-=+-，即()g x a a ⎡⎤∈⎣⎦，即0a a ⎧<⎪>，即a << 故选D.【点睛】本题考查了导数的运算、函数的极值及三角函数的值域，重点考查了方程有解问题，属中档题.11.设函数()22cos f x x x =+，[]1,1x ∈-，则不等式()()12f x f x ->的解集为（）A. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由()2()2cos()f x x x -=-+-=22cos ()x x f x +=，即函数()f x 为偶函数，由()'2(sin )0fx x x =-≥在[]0,1x ∈恒成立，即函数()f x 在[]0,1为增函数，再结合函数的性质解不等式11112112x x x x ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩即可得解.【详解】解：因为函数()22cos f x x x =+，[]1,1x ∈-，所以()2()2cos()f x x x -=-+-=22cos ()x x f x +=，即函数()f x 为偶函数， 又()'2(sin )0fx x x =-≥在[]0,1x ∈恒成立，即函数()f x 在[]0,1为增函数， 又()()12f x f x ->，则11112112x x x x⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩，解得103x ≤<，即不等式()()12f x f x ->的解集为10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选B.【点睛】本题考查了函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，重点考查了函数性质的应用，属中档题.12.已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222xf x f x e --=，则下列判断一定正确的是（） A. ()()10f ef < B. ()()12ef f < C. ()()303e f f >D.()()514e f f -<【答案】C 【解析】 【分析】先设函数()()xf xg x e =，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()xx f x f x e e--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可.【详解】解：令()()x f x g x e = ，则''()()()xf x f xg x e-= 因为()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 所以当1x >时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，又()()222xf x f x e--=，所以2(2)()xx f x f x e e--=， 则 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，则(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；(0)(3)g g >，即03(0)(3)f f e e>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误.故选C.【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数()3ln 2f x x x x =+，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．【答案】750x y --= 【解析】 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，则曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，则()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=.【点睛】本题考查了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考查了导数的应用及运算能力，属基础题.14.已知函数()(()32log 1f x ax x a R =++∈且()13f =-，则()1f -=__________．【答案】5 【解析】 【分析】先观察函数()f x 的结构，再证明()()2f x f x +-=，再利用函数的性质求解即可.【详解】解：因为()(32log 1f x ax x =++，所以()(332()log ()log(22f x f x ax x a x x +-=+++-+-++=，又()13f =-，则()1f -=2(1)235f -=+=， 故答案为5.【点睛】本题考查了对数的运算及函数()f x 性质的判断，重点考查了观察能力及逻辑推理能力，属中档题.15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且满足sin b C a =，22285a cb ac +-=，则tan C =___________．【答案】-3 【解析】 【分析】由余弦定理可得cos 45B =，3sin 5B =， 再由正弦定理可得sin sin sin cos cos sin BC B C B C =+， 再结合运算即可得解.【详解】解：因为22285a cb ac +-=， 则2224cos 25a cb B ac +-==，则3sin 5B =，又因为sin b C a =，则sin sin sin B C A =，则sin sin sin sin()sin cos cos sin B C A B C B C B C ==+=+， 将cos 45B =，3sin 5B =代入得，sin 3cosC C =-,即sin tan 3cos CC C==-， 故答案为-3.【点睛】本题考查了利用正弦定理、余弦定理进行边角互化，重点考查了两角和的正弦公式及运算能力，属中档题. 16.若函数()22xk f x e x kx =-+在[]0,2上单调递增，则实数k 的取值范围是________． 【答案】21,e ⎡⎤-⎣⎦【解析】 【分析】 由()'x fx e kx k =-+，利用导数再分情况讨论当0k ≤，当2k e ≥，当01k <≤时，当21k e <<时函数()xg x e kx k =-+的最小值，即可求得实数k 的取值范围.【详解】解：由()22xk f x e x kx =-+， 则()'x fx e kx k =-+，由函数()f x 在[]0,2上单调递增， 则()'0x fx e kx k =-+≥在[]0,2恒成立，设()xg x e kx k =-+，[]0,2x ∈①当0k ≤时，()xg x e kx k =-+，[]0,2x ∈为增函数，要使()0g x ≥，则只需()00g ≥，求得10k -≤≤， ②由()'xg x e k =-，1 当2k e ≥时，()'0g x ≤，即函数()g x 为减函数，即()2min (2)g x g e k ==-，要使()0g x ≥，则只需()2min 0g x e k =-≥，即2k e =，2当01k <≤时，有()'0xg x e k =-≥，即函数()g x 为增函数，要使()0g x ≥，则只需()min (0)10g x g k ==-≥，即01k <≤，3当21k e <<时，有当0ln x k <<时，()'0g x <，当2ln k x e <<时，()'0g x >，即函数()g x 在(0,ln )k 为减函数，在2(ln ,)k e 为增函数，即()min (ln )2ln g x g k k k k ==-，要使()0g x ≥，则只需()min 2ln 0g x k k k =-≥， 即2k e <，综上可得实数k 的取值范围是21,e ⎡⎤-⎣⎦，故答案21,e ⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，函数的最值，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属综合性较强的题型.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在ABC ∆中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos a c Cb B-=. （1）求角B 的大小；（22sin cos 222C A A-的取值范围.【答案】（1）3B π=（2）44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角可得2sin sin cos sin cos A C CB B-=，再由两角和的正弦可得2sin cos sin A B A =，即得1cos 2B =，得解；（2）2sin cos 222C A A -=1cos 26C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再结合203C π<<求解即可. 【详解】解：（1）由2cos cos a c C b B -=得到2sin sin cos sin cos A C CB B-=， 即()2sin cos sin A B B C =+，即2sin cos sin A B A =， 又∵A 为三角形内角，∴sin 0A ≠，所以1cos 2B =，从而3B π=.（2)21sin cos cos 1sin 22222C A A C A -=+-12sin 23C C ⎛⎫=--+⎪⎝⎭π11sin cos 442262C C C π⎛⎫=-+=++⎪⎝⎭， ∵203C π<<，∴5666C <+<πππ，∴cos 262C ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭π，所以1cos 42624C π⎛⎫<++<⎪⎝⎭.2sin cos 222C A A-的取值范围为44⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题考查了正弦定理、正弦与余弦的二倍角公式及三角函数求值域问题，重点考查了运算能力，属中档题.18.湖北省第二届（荆州）园林博览会于2021年9月28日至11月28日在荆州园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博”为主题，展示荆州生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆投资，从而促进荆州经济快速发展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放荆州市场.已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台．．．．．需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台．．．的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()1802,0202000900070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪+⎩.（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.【答案】（1）()W x 2210050,0209000101950,201x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩（2）当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元 【解析】 【分析】（1）先阅读题意，再建立起年利润()W x 关于年产量x 的函数解析式即可；（2）利用配方法求二次函数的最值可得当020x<≤时()()22251200W x x=--+，即()()max201150W x W==，再利用重要不等式可得当90011xx+=+即29x=时()max1360W x=，再比较两段上的最大值即可得解.【详解】解：（1）()()8050W x xG x x=--2210050,0209000101950,201x x xx xx⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩.（2）当020x<≤时()()222100502251200W x x x x=-+-=--+，∴()()max201150W x W==.当20x>时()90010119601W x xx⎛⎫=-+++⎪+⎝⎭()9001021196013601xx≤-⨯+⨯+=+，当且仅当90011xx+=+即29x=时等号成立，∴()()max291360W x W==.∵13601150>，∴当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元.【点睛】本题考查了分段函数及分段函数的最值，主要考查了重要不等式，重点考查了阅读能力及解决实际问题的能力，属中档题.19.已知在多面体ABCDE中，DE AB∥，AC BC⊥，24BC AC==，2AB DE=，DA DC=且平面DAC⊥平面ABC.（1）设点F为线段BC的中点，试证明EF⊥平面ABC；（2）若直线BE与平面ABC所成的角为60，求二面角B AD C--的余弦值.【答案】（1）详见解析（23【解析】【分析】（1）由四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明EF ⊥平面ABC ；（2）由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =，平面ADB的法向量()23,n =，再利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接EF ，OF ， ∵在DAC ∆中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC 得DO ⊥平面ABC . ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴OF AB ，且2AB OF =.又DE AB ∥，2AB DE =，∴OFDE ，且OF DE =.∴四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO ，∴EF ⊥平面ABC .（2）∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -. ∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠=. ∴tan 6023DO EF BF ===(D . 可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =，设平面ADB 的法向量(),,n x y z =，()2,4,0AB=-，(AD =-，则2400x y x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，则x =y =()23,n =， ∴3cos ,m n m n m n⋅<>==， ∴二面角B AD C--余弦值为4.【点睛】本题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考查了空间想象能力，属中档题.20.如图，过点()2,0P 作两条直线2x =和l ：()20x my m =+>分别交抛物线22y x =于A ，B和C ，D （其中A ，C 位于x 轴上方），直线AC ，BD 交于点Q .（1）试求C ，D 两点的纵坐标之积，并证明：点Q 在定直线2x =-上； （2）若PQC PBDS S λ∆∆=，求λ的最小值.【答案】（1）详见解析（2）223 【解析】 【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程求得2240y my --=，从而可得124y y =-，再由点斜式方程求得直线AC 的方程为()12222y x y -=-+，直线BD 的方程为()22222y x y +=--，消去y 求出2x =，得解； （2）由题意有()()111222PQC PBDS x x S x λ∆∆+==-，再令()120t x t =->，则432t tλ=++，再由重要不等式求最小值即可得解.【详解】解：（1）将直线l 的方程2x my =+代入抛物线22y x =得：2240y my --=， 设点()11,C x y ，()22,D x y ，则124y y =-.由题得()2,2A ，()2,2B -，直线AC 的方程为()12222y x y -=-+， 直线BD 的方程为()22222y x y +=--，消去y 得()12121224y y y yx y y -+=-+， 将124y y =-代入上式得2x =-，故点Q 在直线2x =-上. （2）∵()111222PQC S AP x x ∆=+=+，()221222PBD S BP x x ∆=-=-， 又221212164224y y x x =⋅==，∴()()111121122242222PQC PBDS x x x x S x x x λ∆∆+++====---. 令()120t x t =->，则()()2443322t t t ttλ++==++≥，当且仅当t =即12x =+λ取到最小值3.【点睛】本题考查了直线过定点问题及三角形面积公式，重点考查了圆锥曲线的运算问题，属中档题.21.已知函数()()()1sin cos 2f x a x x x x a R =--∈，()()'g x f x =（()'f x 是()f x 的导函数），()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12π-.（1）求实数a 的值；（2）判断函数()f x 在()0,π内的极值点个数，并加以证明. 【答案】（1）1a =（2）()f x 在()0,π上共有两个极值点，详见解析 【解析】 【分析】（1）先求得()()1'sin 2g x f x ax x ==-，再求得()()'sin cos g x a x x x =+，再讨论a 的符号，判断函数()g x 的单调性，再求最值即可得解；（2）利用（1）的结论，结合()1002g =-<，10222g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点定理可()g x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上有且仅有一个变号零点；再当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由导数的应用可0,2x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()0'0g x =，即()g x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减，再结合特殊变量所对应的函数值的符号可得()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个变号零点，综合即可得解. 【详解】解：（1）由()()()1sin cos 2f x a x x x x a R =--∈ 则()()1'sin 2g x f x ax x ==-， 则()()'sin cos g x a x x x =+， ①当0a =时()12g x =-，不合题意，舍去. ②当0a <时()'0g x <，∴()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()()max11022g x g π-==-≠，不合题意，舍去.③当0a >时()'0g x >，∴()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()max 112222a g x g πππ-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴综上：1a =.（2）由（Ⅰ）知()1sin 2g x x x =-，()'sin cos g x x x x =+， 当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，()1002g =-<，10222g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个变号零点；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()''2cos sin 0g x x x x =-<，∴()'g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.又'102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()'0g ππ=-<， ∴0,2x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()0'0g x =且当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()'0g x >，当()0,x x π∈时()'0g x <， ∴()g x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减. 又10222g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()002g x g π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，()102g π=-<，∴()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个变号零点.∴()g x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦和,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个变号零点，∴()f x 在()0,π上共有两个极值点. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值，主要考查了零点定理，重点考查了函数的思想及运算能力，属综合性较强的题型.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin 0ρθθ-=，P 点的极坐标为3,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为60.（1）写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值.【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为24x y =；P 点的直角坐标为()0,3（2）6 【解析】【分析】（1）由极坐标与直角坐标的互化可得C 的直角坐标方程为24x y =，P 点的直角坐标为()0,3P ；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线的参数方程中t 的几何意义1212PA PB t t t t +=+=-，再求解即可.【详解】解：（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =， P 点的极坐标为：3,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，化为直角坐标为()0,3P . （2）直线l 的参数方程为cos 33sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即123x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得21124t =+，整理得：2480t --=，显然有>0∆，则1248t t ⋅=-，12t t += 121248PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=，1212PA PB t t t t +=+=-==所以116PA PB PA PB PA PB ++==⋅. 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化，直线的参数方程及，直线的参数方程中t 的几何意义，属中档题.23.已知函数()5f x x =-，()523g x x =--.（1）解不等式()()f x g x <；（2）若存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1,3（2）2a ≥【解析】【分析】（1）由绝对值的意义，分别讨论5x ≥，352x ≤<，32x <即可； （2）原命题等价于()()2f x g x -的最小值小于或等于a ，再利用绝对值不等式的性质可得()()2f x g x -=()2102352102352x x x x =-+--≥----=.即()()2f x g x -的最小值为2，即可得解.【详解】解：（1）原不等式即5235x x -+-<，∴55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或3525235x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-<⎩或325325x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩， 所以x 无解或332x ≤<或312x <<，即13x <<, ∴原不等式的解集为()1,3.（2）若存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，则()()2f x g x -的最小值小于或等于a .()()225523f x g x x x -=--+-()2102352102352x x x x =-+--≥----=. 当且仅当3,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时取等号，∴()()2f x g x -的最小值为2. ∴2a ≥.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.。

湖北省高三数学10月联考试卷(文科)湖北省2021年高三数学10月联考试卷(文科)考生留意：1、本试卷分第一卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两局部，共150分，考试时间120分钟2、请将各题答案填在卷前面的答案卡上.3、本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数(60%);三角函数与平面向量(40%)一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的)1、集合，那么等于A. B. C. D.2、的值为A. B. C. D.3、是函数在区间上只要一个零点的充沛不用要条件，那么的取值范围是A. B. C. D.4、为第三象限角，且，那么的值为A. B. C. D.5、定义在R上的奇函数，当时，，那么等于A. B. C.1 D.6、非零向量，满足，且与的夹角为，那么的取值范围是A. B. C. D.7、设，那么之间的大小关系是A. B. C. D.8、给出以下命题，其中错误的选项是A.在中，假定，那么B.在锐角中，C.把函数的图象沿x轴向左平移个单位，可以失掉函数的图象D.函数最小正周期为的充要条件是9、，函数在处于直线相切，那么在定义域内A.有极大值B.有极小值C.有极大值D.有极小值10、函数是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，假定方程恰有三个不相等的实数根，那么实数的取值范围是A. B. C. D.第二卷二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上11、函数的定义域为12、化简的结果为13、设为锐角，假定，那么14、函数，设，假定，那么的取值范围是15、关于的方程有两个不等的负实数根;关于的方程的两个实数根，区分在区间与内(1)假定是真命题，那么实数的取值范围为(2)假定是真命题，那么实数的取值范围为16、如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上(1)假定点F是CD的中点，那么(2)假定，那么的值是17、在中，角的对边区分为，且，假定的面积为，那么的最小值为三、解答题：本大题共5小题，总分值65分，解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤18、(本小题总分值12分)在中，角的对边区分为，满足 .(1)求角的大小;(2)假定，且的面积为，求的值.19、(本小题总分值12分)向量 .(1)假定，且，求的值(2)假定，求在上的最大值和最小值.20、(本小题总分值13分)2021世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此时期销售一种商品，依据市场调查，当每套商品售价为x元时，销售量可到达万套，供货商把该产品的供货价钱分为来那个局部，其中固定价钱为每套30元，浮动价钱与销量(单位：万套)成正比，比例系数为，假定不计其它本钱，即每套产品销售利润=售价-供货价钱(1)假定售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润;(2)假定，求销售这套商品总利润的函数，并求的最大值.21、(本小题总分值14分)函数是定义在R上的奇函数.(1)假定，求在上递增的充要条件;(2)假定对恣意的实数和正实数恒成立，务实数的取值范围.22、(本小题总分值14分)为常数，在处的切线为 .(1)求的单调区间;(2)假定恣意实数，使得对恣意的上恒有成立，务实数的取值范围.要多练习，知道自己的缺乏，对大家的学习有所协助，以上是查字典数学网为大家总结的2021年高三数学10月联考试卷，希望大家喜欢。

湖北省部分重点中学2021届高三数学上学期10月联考试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.全集，，，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．B ．C ．D ．2. 从2020年起，某地考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80 C ．90 D ．1103．已知A ＝{x |1≤x ≤2}，命题“∀x ∈A ，x 2－a ≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥4 B．a ≤4 C．a ≥5 D．a ≤54．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（ ） A ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 B ．此人第六天只走了5里路 C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍5. 已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()0.5log 3c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6. 函数π()sin()(0)4f x A x ωω=+>的图象与x 轴正方向交点的横坐标由小到大构成一个公差为π3的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移4π个单位B ．向左平移π12个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移34π个单位7．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为12×10000＋12×10000×2＝32×10000，2小时后，细胞总数约为12×32×10000＋12×32×10000×2＝94×10000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为( ) (参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301) A ．38小时 B ．39小时 C ．40小时 D ．41小时8. 若1a >，设函数()4xf x a x =+- 的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是( ) A ．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．()4,+∞D ． [)1,+∞ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届湖北省部分重点中学高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知全集U R =，{|1}M x x =<-，(){|20}N x x x =+<，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{|10}x x -≤<B ．{|10}x x -<<C ．{|21}x x -<<-D ．{|1}x x <-【答案】A【解析】通过韦恩图，可知所求集合为()U N C M ，求解出集合N ，利用集合运算知识求解即可． 【详解】由()2020x x x +<⇒-<<，即{}20N x x =-<< 图中阴影部分表示的集合为：()U N C M又{}1U C M x x =≥-(){}10U N C M x x ∴⋂=-≤<本题正确选项：A 【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题．2．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成．等级性考试成绩位次由高到低分为A 、B 、C 、D 、E ，各等级人数所占比例依次为：A 等级15%，B 等级40%，C 等级30%，D 等级14%，E 等级1%．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得A 或B 等级的学生人数为（ ） A ．55 B ．80C ．90D ．110【答案】D【解析】利用抽样比求解【详解】设该样本中获得A 或B 等级的学生人数为x ，则1540110200100x x +=∴= 故选：D 【点睛】本题考查分层抽样的定义与应用，考查计算能力，是基础题3．已知{}|12A x x =≤≤，命题“2,0x A x a ∀∈-≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．4a ≥ B ．4a ≤ C ．5a ≥ D ．5a ≤【答案】C【解析】首先求出命题为真时参数a 的取值范围，再找出其一个充分不必要条件； 【详解】解：因为{}|12A x x =≤≤，2,0x A x a ∀∈-≤为真命题，所以()2maxa x≥，x A ∈，因为函数()2f x x =在[]1,2上单调递增，所以()2max4x=，所以4a ≥又因为[)[)5,4,+∞+∞所以命题“2,0x A x a ∀∈-≤，{}|12A x x =≤≤”是真命题的一个充分不必要条件为5a ≥故选：C 【点睛】本题考查全称命题为真求参数的取值范围，以及充分条件、必要条件，属于基础题. 4．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.则下列说法不正确的是（ ） A ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 B ．此人第六天只走了5里路 C ．此人第二天走的路程比全程的14还多1.5里 D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 【答案】B【解析】根据描述知：378里路程6天走完且第二天开始每天所走里程是前一天的一半，根据等比数列概念即可求第一天所走路程，进而得到其它5天各走的里程即可确定错误的说法. 【详解】由题意知，一共378里路，6天走完且第二天开始每天所走里程是前一天的12， ∴若第一天走了x 里，则第n 天所走的路程为12n x -，即有612(1)3782x ⋅-=，得192x =， ∴第1、2、3、4、5、6天各走了192、96、48、24、12、6里， 结合选项，A 、C 、D 正确，而B 中此人第六天只走了6里路. 故选：B 【点睛】本题考查了等比数列，根据题设描述结合等比数列的概念确定等比数列，并根据等比数列前n 项和公式求首项，属于基础题.5．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()0.5log 3c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】由题意可得0m =，可得||()21x f x =-在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得． 【详解】定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数， (1)f f ∴-=（1），即|1||1|2121m m ----=-，解得0m =，检验得当0m =时，原函数为偶函数.||()21x f x ∴=-在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减， 312(0,1)8-=∈，31m =，0.52|log 3|log 31=>，30.5(2)(3)(log 3)m f f f -∴<<，即a b c << 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，考查对数式大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 6．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 【答案】A【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.7．现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为12×1000＋12×1000×2＝32×1000，2小时后，细胞总数约为12×32×1000＋12×32×1000×2＝94×1000，问当细胞总数超过1010个时，所需时间至少为（ ）(参考数据：lg3≈0.477，l g2≈0.301) A ．38小时 B ．39小时C ．40小时D ．41小时【答案】C【解析】根据分裂规律，可得细胞在每个小时后的个数成等比数列，由此列式计算． 【详解】记第n 个小时后细胞个数为n a ，则11132222n n n n a a a a +=+⨯=， 1310002a =⨯，{}n a 是等比数列，∴13333100010222n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由310310102nn a ⎛⎫=⨯≥ ⎪⎝⎭，得73102n⎛⎫= ⎪⎝⎭，3lg 72n =，777403lg3lg 20.47710.301lg 2n ===≈--． 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的应用，解题关键是根据题意得出相隔1小时细胞个数的关系，从而引入数列模型求解．8．若1a >，设函数()4xf x a x =+- 的零点为(),log 4a m g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是( ) A ．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．[)1,+∞C ．()4,+∞D ．9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出m ，n 之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果． 【详解】函数()4xf x a x =+-的零点是函数xy a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标， 函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log a y x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标，由于指数函数与对数函数互为反函数， 其图象关于直线y x =对称， 直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点(2,2)即是A ，B 的中点，4m n ∴+=，∴111111()()(2)144m nm n m n m n n m+=++=++， 当2m n ==等号成立， 而4m n +=，故111m n+， 故所求的取值范围是[1，)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数零点、反函数的性质、基本不等式求最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.二、多选题9．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论正确的有（ ）A ．三棱锥1A D PC -的体积不变B ．1A P 与平面1ACD 所成的角大小不变C ．1DPBCD ．1DB ⊥1P A 【答案】ABD 【解析】【详解】正方体中11//BC AD ，则有1//BC 平面1AD C ，∴P 到平面1AD C 的距离不变，1AD C 面积不变，因此三棱锥1A D PC -的体积不变，A 正确；同理1//A B 平面平面1AD C ，从而可得平面11//A BC 平面1AD C ，∴可得1A P //平面1ACD ，1A P 与平面1ACD 所成的角大小始终为0，B 正确；当P 与1C 重合时，DP 与1BC 所成角为60︒，不垂直，C 错；由正方体中11A C ⊥11B D ，由111AC BB ⊥，得11A C ⊥平面11BB D D ，可得111AC B D ⊥，同理11A B B D ⊥，从而可证1B D ⊥平面11A BC ，必有11B D A P ⊥，D 正确； 故选：ABD ．【点睛】本题考查空间的直线与平面间的平行与垂直的关系，掌握正方体的性质是解题关键．考查了学生的空间想象能力，逻辑推理能力．10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两个顶点分别是A 1，A 2，左右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ） A ．122PF PF a -=B ．直线12,PA PA 的斜率之积等于定值22b aC ．使12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有4个D ．焦点到渐近线的距离等于b 【答案】BD【解析】A. 由双曲线的定义判断；B.设()00,P x y ，利用斜率公式求解判断；C.利用双曲线的对称性判断；D.利用点到直线的距离公式求解判断； 【详解】A. 因为122PF PF a -=，故错误；B.设()00,P x y ，则2200221x y a b-=，所以1222000222020201⎛⎫⎪⎝⎭⋅-=⋅==+--PA PA y y k k x a x b a a x b x a a，故正确；C.若点P 在第一象限，若122,22==-PF PF c c a ，12PF F △为等腰三角形；若212,22==+PF PF c c a ，12PF F △为等腰三角形，由双曲线的对称性知，点P 有且仅有8个，故错误；D.不妨设焦点坐标为：()2,0F c ，渐近线方程为0bx ay -=，则焦点到渐近线的距离d b ==，故正确；故选：BD 【点睛】本题主要考查双曲线的定义和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60B =︒，4b =，下列判断正确的是（ ）A．若c =C 有两解B ．若92a =，则角C 有两解 C ．ABC 为等边三角形时周长最大 D ．ABC 为等边三角形时面积最小【答案】BC【解析】根据正弦定理分析求解． 【详解】A ．由sin sin b c B C =得sin 3sin 8c B C b ===，又c b <，∴C B <，C 为锐角，只有一解，A 错；B ．由sin sin a b A B =，得sin 1A =<，又a b >，∴A B >，A 角有两解，则C 角有两解，B 正确；C ．由2222cos b a c ac B =+-得2222223116()3()()()44a c ac a c ac a c a c a c =+-=+-≥+-+=+，8a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，此时三角形周长最大，三角形为正三角形．C正确；D ．由C 的推导过程知22162a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立，即ac 最大值是16，此时ABC S 最大，又3B π=，三角形为正三角形，D 错．故选：BC ． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，有解三角形时，在已知两边和其中一边对称解三角形时，利用正弦定理求解，可能有两解．12．已知函数()ln f x x =，32()2()g x x ex kx k R =-+∈，若函数()()y f x g x =-有唯一零点，则以下四个命题正确的是（ ） A ．21k e e=+B ．曲线()y g x =在点(,())e g e 处的切线与直线10x ey -+=平行C ．函数2()2y g x ex =+在[0,]e 上的最大值为221e +D ．函数2()x y g x e x e=--在[0,1]上单调递增 【答案】AB【解析】A ．将问题转化为方程2ln 2xx ex k x=-+仅有一个解，然后构造新函数求解出k 的值；B ．根据导数的几何意义求解出切线方程，然后判断是否平行；C ．分析2()2y g x ex =+的单调性，直接求解出最大值并判断选项是否正确；D ．对2()x y g x e x e=--求导，利用导数分析单调性并判断选项是否正确. 【详解】A ．函数()()y f x g x =-有唯一零点⇔方程2ln 2xx ex k x=-+有唯一解， 设()()212ln ,2x h x h x x ex k x ==-+，()()11ln 0xh x x x-'=>， 所以()1h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，所以()()11max 1h x h e e==， 又因为()()22222min 2h x h e e e k k e ==-+=-，且方程有唯一解，所以21k e e -=，所以21k e e=+，故A 正确； B ．因为3221()2g x x ex e x e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以221()34g x x ex e e'=-++， 所以()2221134g e e e e e e'=-++=，且()1g e =，所以切线方程为：0x ey -=， 所以切线与10x ey -+=平行，故B 正确； C ．记()32221()F x g x x x x e e e ⎛⎫=++⎝=⎪⎭+，()F x 在[]0,e 上单调递增， 所以()()3max 21F x F e e ==+，故C 错误；D ．记()322x x x G e -=，()()23434G x x ex x x e '=-=-，所以()G x 在40,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()G x 在[]0,1上单调递减，故D 错误. 故选：AB. 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到利用导数求解切线方程、利用导数分析函数的单调性和最值以及函数零点和方程根的转化，对学生综合分析问题的能力要求很高，难度较难.三、填空题13．()()42x y x y ++的展开式中32x y 的系数为______________. 【答案】14【解析】针对4()x y +部分由二项式定理知通项为414r rr r T C xy -+=，结合整个代数式有32x y 的项组成为22213442x C x y y C x y ⋅+⋅即可求其系数. 【详解】对于4()x y +，由二项式通项知：414r rr r T C xy -+=，∴含32x y 项的组成为：22213213244442(2)x C x y y C x y C C x y ⋅+⋅=+， ∴32x y 的系数为14.故答案为：14. 【点睛】本题考查二项式定理，根据已知代数式形式求指定项的系数，属于基础题. 14．函数()2ln 1x f x a x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭为奇函数，则实数a =_______________. 【答案】1-【解析】由()f x 为奇函数，根据定义有22ln l 11n x x a a x x ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪+⎝⎝-⎭⎭，结合ln y x =是单调函数即可求a . 【详解】函数()f x 为奇函数知：()()f x f x -=-，而(l 12)n x x f x a ⎛⎫-=+⎪⎝⎭-， ∴22ln l 11n x x a a x x ⎛⎫⎛⎫+=-+⎪ ⎪+⎝⎝-⎭⎭，即11(2)ln ln (2)a x a a x x x a ⎛⎫+-⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝-⎭+， 又ln y x =是单调函数，∴(2)11(2)a x a x x a x a +-+=-++，即有()221{21a a =+=，解得1a =-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值，应用ln y x =的单调性列方程，属于基础题. 15．在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若函数32221()()13f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则B 的范围是__________．【答案】,3π⎛⎫π⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意222'()2()f x x bx a c ac =+++-有两个不等实根， 所以22244()0b a c ac ∆=-+->，222a c b ac +-<，所以2221cos 22a cb B ac +-=<，所以3B ππ<<．故答案为：,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】对定义域内的可导函数来讲，导函数'()f x 的零点是函数极值点的必要条件，只有在0x 的两侧'()f x 的符号正好相反，0x 都是极值点．本题中导函数'()f x 是二次函数，因此要使得'()f x 的零点为()f x 的极值点，只要求相应二次方程有两个不等实根即可．16．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：当q x p =(,p q 为正整数，qp是既约真分数)时1()R x p=，当0,1x =或[0,1]上的无理数时()0R x =，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则108lg 35f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________. 【答案】15【解析】根据已知条件可得()f x 是周期为2的奇函数，且(),01()(),10R x x f x R x x ≤≤⎧=⎨---≤≤⎩，根据对数的运算性质以及()f x 周期性有10lg (1lg 3)3f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭、82 ()55f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可求值.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数且()()20f x f x -+=，知：()()2()f x f x f x -=-=-，∴()f x 是周期为2的函数，又当[]0,1x ∈时，()()f x R x =， ∴[]1,0x ∈-，有()()f x R x =--， 而10lg(1lg 3)3f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，01lg31<-<且1lg3-为无理数，有(1lg3)0f -=， 82221 (2)()()55555f f f R ⎛⎫=-=-=-=- ⎪⎝⎭，∴1081lg355f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：15. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、周期性求函数值，注意对新定义的理解，以及求值过程中对数运算法则、函数周期的应用.四、解答题17．已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）．（1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）②，理由见解析；（2）21n nT n =+ 【解析】（1）选②，由()f x 和对数的运算性质，以及等比数列的定义，即可得到结论； （2）运用等比数列的通项公式可得n a ，进而得到2141n b n =-，由数列的裂项相消求和可得所求和. 【详解】（1）①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+，即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==. 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列．（2）由（1）知()14222n k n a k k k -+=⋅=，所以当k =12n n a +=.因为12241+=-n n n a b n ， 所以2141n b n =-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，12111111L 1L 23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题.18．已知函数()cos()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为－1. （1）求函数()f x 的解析式.（2）若()f x 在区间,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围.【答案】（1）()cos(3)3f x x π=+；（2）25,918ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）由最值求得A ，由周期求得ω，由点的坐标及ϕ的范围可求得ϕ，得解析式；（2）由,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得533633x m πππ≤+≤+，结合余弦函数性质可得结论． 【详解】（1）由函数的最小值为－1，可得A =1， 因为最小正周期为23π，所以ω=3. 可得()cos(3)f x x ϕ=+，又因为函数的图象过点（0，12），所以1cos 2ϕ=，而02πϕ<<，所以3πϕ=， 故()cos(3)3f x x π=+.（2）由[,]6x m π∈，可知533633x m πππ≤+≤+， 因为53()cos66f ππ==-，且cos π=－1，73cos 6π=-， 由余弦曲线的性质的，7336m πππ≤+≤，得25918m ππ≤≤， 即25[,]918m ππ∈. 【点睛】本题考查求三角函数的解析式，考查余弦型三角函数的值域问题，掌握余弦函数性质是解题关键．19．在三棱锥V ABC -中，平面VAC ⊥平面ABC ，ABC 和VAC 均是等腰直角三角形，AB BC =，2AC CV ==，M 、N 分别为VA 、VB 的中点．（1）求证：AB VC ⊥；（2）求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）23． 【解析】（1）利用线面垂直的性质证AB VC ⊥即可；（2）面ABC 内过点C 作CH 垂直于AC ，构建以C 为原点，,,CA CH CV 为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系C xyz -，应用平面法向量与直线方向向量的夹角与线面角的关系即可求直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值. 【详解】（1）在等腰直角三角形VAC 中，AC CV =，所以VC AC ⊥．∵平面VAC⊥平面ABC，平面VAC平面ABC AC=，VC⊂平面VAC，∴VC⊥平面ABC．∵AB平面ABC，∴AB VC⊥；（2）在平面ABC内过点C作CH垂直于AC，由（1）知，VC⊥平面ABC，因为CH ⊂平面ABC，所以VC CH⊥．如图，以C为原点，,,CA CH CV为x，y，z轴建立空间直角坐标系C xyz-．则()0,0,0C，()0,0,2V，()1,1,0B，()1,0,1M，11,,122N⎛⎫⎪⎝⎭．()1,0,1CM=，11,,122CN⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,1,2VB=-．设平面CMN的法向量为(),,n x y z=，则n CMn CN⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1122x zx y z+=⎧⎪⎨++=⎪⎩．令1x=则1y=，1z=-，所以()1,1,1n=-．直线VB与平面CMN所成角大小为θ，22sin cos,3n VBn VBn VBθ⋅===⋅所以直线VB与平面CMN所成角的正弦值为23．【点睛】本题考查了应用线面垂直性质证线线垂直，利用空间向量求线面角的正弦值，属于中档题.20．在平面直角坐标系中，椭圆C：22221x ya b+=(a>b>0)过点53,⎛⎫⎪⎪⎝⎭，离心率为25.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点K(2，0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x＝2ac的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）2215xy+=；（2）为定点，9,04⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）由离心率和所过点的坐标列出关于,,a b c的方程组，解之可得椭圆方程；（2）当直线AB的斜率不存在时，求出交点是9,04⎛⎫⎪⎝⎭，当直线AB的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB为y＝k(x－2)，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x+，写出11,A B坐标，得出直线1A B和1AB方程，求出交点坐标（代入1212,x x x x+化简）可得结论．【详解】(1)由题意得222225314455a b ca bca⎧⎪=+⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩⇒512abc⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C的标准方程为2215xy+=.(2)①当直线AB的斜率不存在时，直线l：x＝52，AB 1与A 1B 的交点是9,04⎛⎫⎪⎝⎭. ②当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 为y ＝k (x －2)，由()22255y k x x y ⎧=-⎨+=⎩ ⇒(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， 所以x 1＋x 2＝22215k k +，x 1x 2＝222515k k-+， A 115,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，B 125,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以l AB 1：21215522y y y x y x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭- ， l A 1B ：y ＝21125522y y y x y x -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭-， 联立解得x ＝()()221222212225252545191544254201515k x x k k k x x k k ----++===+--+-+，代入上式可得()()2112122119420104410k x x x x kx x ky y x x --+++=+=-+- ＝22221202594201515410k k k k k k kx --++++- ＝0. 综上，直线AB 1与A 1B 过定点9,04⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题．解题方法是设而不求的思想方法．通过设出交点坐标和直线方程，利用韦达定理得1212,x x x x +，然后按部就班地计算求解：得点坐标，写出直线方程，求直线的交点坐标，代入化简．21．某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列（只需列式无需计算）及期望()E ξ. 【答案】（1）512；（2）分布列答案见解析，期望为54.【解析】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ，则“甲能修得该课程学分”的概率为()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++，由独立事件的概率公式可计算出概率．（2）由（1）知每个人获得复赛资格的概率是512，ξ的取值依次为0,1,2,3，ξ～53,12B ⎛⎫⎪⎝⎭，由二项分布概率公式计算了概率得分布列，再由二项分布的期望公式计算出期望． 【详解】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ，则“甲能修得该课程学分”的概率为()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++，事件,,,A B C D 相互独立，3221322132115()()()43324332433212P ABCD P ABCD P ABCD ++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= (2)0337(0)()12P C ξ==， 12357(1)()()1212P C ξ==，22357(2)()()1212P C ξ==， 3335(3)()12P C ξ==因此，ξ的分布列如下：因为ξ～53,12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以553.124E ξ=⨯= 【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率公式，随机变量的概率分布列和数学期望，考查二项分布．旨在考查学生的数据处理能力，运算求解能力． 22．已知函数()()2xx ax a f x e+-=，其中a R ∈.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 的切线方程； （2）求证：若()f x 有极值，则极大值必大于0. 【答案】（1）1y x e=；（2）证明见解析. 【解析】（1）求出导函数()'f x ，计算出切线斜率(1)f '，可得切线方程；（2）由导函数()'f x ，求出函数的极大值后可得证．【详解】（1）()()()()2222x xx a x a x a x f x e e---+-+-'==， 当0a =时，()11f e '=，()11f e=， 则()f x 在()()1,1f 的切线方程为1y x e=；（2）证明：令()0f x '=，解得2x =或x a =-，①当2a =-时，()0f x '≤恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递减， ∴函数()f x 无极值；②当2a >-时，令()0f x '>，解得2a x -<<，令()0f x '<，解得x a <-或2x >， ∴函数()f x 在(),2a -上单调递增，在(),a -∞-，()2,+∞上单调递减， ∴()()2420a f x f e +==>极大值； ③当2a <-时，令()0f x '>，解得2x a <<-，令()0f x '<，解得2x <或x a >-， ∴函数()f x 在()2,a -上单调递增，在(),2-∞，(),a -+∞上单调递减， ∴()()0aaf x f a e -=-=>极大值，f x的极大值恒大于0.综上，函数()【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数极值．掌握导数的几何意义与极值的定义是解题关键．。

答案选择题：填空题：13. 14 14. 1- 15. (,)3ππ 16.15解答题 17. （10分）【解析】（1）①③不能使{}n a 成等比数列.②可以：由题意()4(1)222n f a n n =+-⨯=+，………1分 即log 22k n a n =+，得22n n a k+=，且410a k =≠，2(1)22122n n n n a k k a k++++∴==. ………3分 常数0k >且1k ≠，2k ∴为非零常数，∴数列{}n a 是以4k 为首项，2k 为公比的等比数列． ………4分（2）由（1）知2n 2n k a +=，所以当k =12n n a +=. (5)分因为12241+=-n n n a b n ， 所以2141n b n =-，所以1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ………7分12111111...1...23352121n n T b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. ………10分18. （12分）【解析】（1）由函数的最小值为－1，可得A=1， ………2分因为最小正周期为23π，所以ω=3. ………4分 可得()cos(3)f x x ϕ=+， 又因为函数的图象过点（0，12），所以1cos 2ϕ=，而02πϕ<<，所以3πϕ=， 故()cos(3)3f x x π=+. ………6分（2）由[,]6x m π∈，可知533633x m πππ≤+≤+， 因为53()cos662f ππ==-，且cos π=－1，73cos 62π=-， 由余弦曲线的性质的，7336m πππ≤+≤，得25918m ππ≤≤，即25[,]918m ππ∈. ………12分19. （12分） 【解析】（Ⅰ）在等腰直角三角形VAC ∆中，AC CV =，所以VC AC ⊥. (2)分因为平面VAC ⊥平面ABC ，平面VAC平面ABC AC =，VC ⊂平面VAC ，所以VC ⊥平面ABC . .........4分 又因为AB 平面ABC ，所以AB VC ⊥； (5)分（Ⅱ）在平面ABC 内过点C 作CH 垂直于AC ， 由（Ⅱ）知，VC ⊥平面ABC ，因为CH ⊂平面ABC ，所以VC CH ⊥. ………6分 如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -.则()0,0,0C ，()0,0,2V ，()1,1,0B ，()1,0,1M ，11,,122N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.()1,1,2VB =-，()1,0,1CM =，11,,122CN ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ………7分设平面CMN 的法向量为(),,n x y z =，则00n CM n CN ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即011022x z x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩. 令1x =则1y =，1z =-，所以1,1,1n. ………10分直线VB 与平面CMN 所成角大小为θ，22sin cos ,3n VB n VB n VBθ⋅===⋅. 所以直线VB 与平面CMN 所成角的正弦值为223. ………12分20. （12分）【解析】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，54a 2＋34b2＝1，c a ＝255⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，c ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1. ………4分(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线l ：x ＝52，AB 1与A 1B 的交点是⎝⎛⎭⎫94，0. ………5分 ②当直线AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 为y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 2＋5y 2＝5⇒(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0， 所以x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k 2， ………6分A 1⎝⎛⎭⎫52，y 1，B 1⎝⎛⎭⎫52，y 2， 所以lAB 1：y ＝y 2－y 152－x 1⎝⎛⎭⎫x －52＋y 2， lA 1B ：y ＝y 2－y 1x 2－52⎝⎛⎭⎫x －52＋y 1， ………7分 联立解得x ＝x 1x 2－254x 1＋x 2－5＝20k 2－51＋5k 2－25420k 21＋5k2－5＝－45（1＋k 2）－20（1＋k 2)＝94， ………9分代入上式可得y ＝k （x 2－x 1）－10＋4x 1＋y 2＝－9k （x 1＋x 2）＋4kx 1x 2＋20k 4x 1－10＝－9k ·20k 21＋5k 2＋4k ·20k 2－51＋5k 2＋20k4x 1－10＝0. ………11分综上，直线AB 1与A 1B 过定点⎝⎛⎭⎫94，0. ………12分21. （12分）【解析】（1） 分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ,则“甲能修得该课程学分”的概率为()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++,事件,,,A B C D 相互独立， ………2分3221322132115()()()43324332433212P ABCD P ABCD P ABCD ++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=. ……5分(2)0337(0)()12P C ξ==， 12357(1)()()1212P C ξ==， 22357(2)()()1212P C ξ==, 3335(3)()12P C ξ==因此，ξ的分布列如下：………9分因为ξ～53,12B ⎛⎫⎪⎝⎭………10分 所以553.124E ξ=⨯= ………12分22. （12分）【解析】（1）()()()()2222'x xx a x a x a x f x e e---+-+-==， ………2分 当0a =时，()1'1f e =，()11f e=， ………3分 则()f x 在()()1,1f 的切线方程为1y x e=； ………4分（2）证明：令()'0f x =，解得2x =或x a =-， ………5分 ①当2a =-时，()'0f x ≤恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递减，∴函数()f x 无极值； ………6分 ②当2a >-时，令()'0f x >，解得2a x -<<，令()'0f x <，解得x a <-或2x >， ∴函数()f x 在(),2a -上单调递增，在(),a -∞-，()2,+∞上单调递减， ∴()()2420a f x f e+==>极大值； ………9分 ③当2a <-时，令()'0f x >，解得2x a <<-，令()'0f x <，解得2x <或x a >-， ∴函数()f x 在()2,a -上单调递增，在(),2-∞，(),a -+∞上单调递减， ∴()()0a af x f a e-=-=>极大值， 综上，函数()f x 的极大值恒大于0. ………12分。