山东新高考质量测评联盟2021届高三年级10月联考数学试题(图片版)

2021年高三10月月考试卷（数学）一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．．1、原命题：“设”以及它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有个.2、已知命题，命题，则命题p是命题q的条件3、若向量满足且，则实数k的值为4、若不等式的解集为，求的值5、已知等差数列的前项和为，若，且三点共线（该直线不过点），则等于6、若复数满足，且在复平面内所对应的点位于轴的上方，则实数的取值范围是。

７．已知、、是三角形的三个顶点，，则的形状为。

８．在条件的最大值为 .9．把实数a，b，c，d排成形如的形式，称之为二行二列矩陈。

定义矩阵的一种运算·，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点，若点A在矩阵的作用下变换成点（2，4），则点A的坐标为 .10、把一条长是6m的绳子截成三段，各围成一个正三角形，则这三个正三角形的面积和最小值是m2.11、对，记，按如下方式定义函数：对于每个实数，.则函数最大值为．12、已知函数，直线：9x＋2y＋c＝0．若当x∈[－2，2]时，函数y＝f(x)的图像恒在直线的下方，则c的取值范围是________________________二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只．有．一项．．是符合题目要求的．13 定义集合与的运算，则等于（A）（B）（C）（D）（）14．根据表格中的数据，可以断定函数的一个零点所在的区间是15、函数（）是上的减函数，则的取值范围是 A. B. C. D.（ ） 16．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y=f (x )，另一种平均价格曲线y=g(x )，如f (2)=3表示股票开始卖卖后2小时的即时价格为3元；g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元。

下面给出了四个图象，实线表示y=f (x )，虚线表示y=g(x )，其中可能．．正确的是 （ ）三、解答题：本大题共６小题，共８0分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）设函数． （I ）解不等式；（II ）若关于的不等在恒成立，试求的取值范围． 18．（本小题满分12分）已知等差数列的前4项和为10，且、 、成等比数列． （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和． 19．（本小题满分12分）设函数，其中向量R x x x n x m ∈==),2sin 3,(cos ),1,cos 2(.（Ⅰ）求f (x )的最小正周期与单调减区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知f (A ) =2，b = 1，△ABC 的面积为，求的值.ABCD20．（本小题满分1４分）为迎接xx年的奥运会，某厂家拟在xx年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。

山东省2021版高三上学期数学10月月考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·大连模拟) 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A . {x|1＜x＜3}B . {x|﹣1＜x＜3}C . {x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3}D . {x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}2. （2分） f(x)=tanx+sinx+1，若f(b)=2，则f(-b)= （）A . 0B . 3C . -1D . -23. （2分）(2018·衡阳模拟) 下列说法正确的是（）A . 命题“若，则.”的否命题是“若，则.”B . 是函数在定义域上单调递增的充分不必要条件C .D . 若命题，则4. （2分）已知点A(1,-2)，若向量与同向，且，则点B的坐标为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一上·浙江期中) 函数f（x）=x•lg|x|的图象可能是（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高一下·六安期末) 如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）A . 9B . 18C . 20D . 357. （2分）(2017·安徽模拟) 函数f（x）=x2﹣bx+c满足f（1+x）=f（1﹣x）且f（0）=3，则f（bx）和f （cx）的大小关系是（）A . f（bx）≤f（cx）B . f（bx）≥f（cx）C . f（bx）＞f（cx）D . 大小关系随x的不同而不同8. （2分） (2019高二下·湖州期末) 把函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）.A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·嘉兴期中) 已知点，若圆上存在点（不同于点），使得，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·长沙开学考) 已知函数f（x）= sin2x+cos2x﹣m在[0， ]上有两个零点，则实数m的取值范围是（）A . （﹣1，2）B . [1，2）C . （﹣1，2]D . [1，2]11. （2分）函数f(x)= sin2x-2sin2x,(0≤x≤π/2)则函数f(x)的最小值为（）A . 1B . -2C .D . -12. （2分）已知正四棱锥的各棱棱长都为，则正四棱锥的外接球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c+1）=P（ξ＜c﹣1），则c=________ ．14. （1分） (2018高三上·昭通期末) ，若，则x=________．15. （1分） (2016高一下·溧水期中) 在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，则最大角的余弦值=________．16. （1分） (2020高一上·建昌月考) 已知函数同时满足：①对于定义域上任意，恒有；②对于定义域上的任意当时，恒有，则称函数为“理想函数”.在下列三个函数中：（1），（2），（3）“理想函数”有________（只填序号）三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2020高一下·大庆期中) 已知数列为等差数列，其前n项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求．18. （10分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=3，BC=2，D是BC的中点，F是C1C上一点．（1）当CF=2，求证：B1F⊥平面ADF；（2）若FD⊥B1D，求三棱锥B1﹣ADF体积．19. （10分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T（单位：年）有关．若T≤1，则销售利润为0元；若1＜T≤3，则销售利润为200元；若T＞3，则销售利润为400元．设每台该种电器的无故障使用时间T≤1，1＜T≤3及T＞3这三种情况发生的概率分别为p1 ， p2 ， p3 ，又知p1 ， p2是方程20x2﹣15x+a=0的两个根，且p2=p3 ，（1）求p1 ， p2 ， p3的值；（2）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列及均值．20. （5分） (2020高二下·乌拉特前旗月考) 已知椭圆的离心率为，且过点．若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且两点的“椭点”分别为，以为直径的圆经过坐标原点，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．21. （10分） (2016高一上·武汉期末) 已知函数f（x）=4sin2（ + ）•sinx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣1．（1）化简f（x）；（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数g（x）= 在的最大值为2，求实数a的值．22. （10分）(2020·南京模拟) 在极坐标系中,已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.23. （10分） (2017·上高模拟) 已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0 ，+∞）（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+ |﹣x0（m＞0）有零点，求实数m的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：。

权方和不等式已知m by ax =+，求y d x c +的最小值或已知m ydx c =+，求by ax +的最小值（其中，m d c b a ,,,,都是正常数，y x ,是正变量），应是基本不等式应用中的最复杂问题，一般采用下面方法求解：先把待求式乘以mm，然后把分子上的m 用条件式代换，展开后“一次性”运用基本不等式求最值．此法足够严谨（因为只运用了一次基本不等式），足够巧妙（因为常数恒等代换），就是有点麻烦．还有无更简法？当然！但这需一个著名的不等式加持，不卖关子了，下面就让这个不等式粉墨登场．二维一权形式：设0,,,2121>b b a a ，则21221222121)(b b a a b a b a ++≥+，当且仅当2211b ab a =时，等号成立． n 维m 权形式：设0),,,3,2,1(0,>=>m n i b a i i ，则≥++++++++m nm n m m m m mm b a b a b a b a 1313212111mn m n b b b b a a a a )()(3211321+++++++++ ，当且仅当i i b a λ=时，等号成立．它叫权方和不等式．为了便于大家认识和理解它，下面给大家爆三个料：①其中的m 叫做这个不等式的权；②这个不等式常被用来求若干分式和的最小值，各个分式的特点是分子比分母次数大1，特别地，解决本文开头提到的所谓难题简直易如反掌；③这个不等式是正宗国货，湖南理工学院杨克昌教授具有自主知识产权（上个世纪80年代初，杨教授把它命名为权方和不等式）．但它与著名的赫尔德（Holder ）不等式和柯西（Cauchy ）不等式关联密切，可用赫尔德证明，是柯西不等式的推广（分式形式），所以它骨子里还是个“老外”．例1 （广东省韶关市2020-2021学年高一期中）已知正数n m ,满足22=+n m ，则nm 21+的最小值为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12分析：为了运用题设给的定值，需先对待求式进行等价凑配，再运用权方和不等式（以下简称“小权”）求解．解：42)22(222212=++≥+=+n m n m n m ，当且仅当nm 222=即m n 2=即21,1==m n 时，等号成立．所以nm 21+的最小值为4．选A ．变式1 （江西省宜春市2022届高三月考）设120<<m ，则mm -+1241的最小值为（ ） A ．23 B ．109 C ．43 D ．59分析：本题的定值条件是一个隐含条件，即12)12(=-+m m ，发现此点后易求解．解：因为120<<m ，所以4312)21(12412=-++≥-+m m m m ，当且仅当m m -=1221即4=m 时，等号成立．所以mm -+1241的最小值为43．选C ．变式2 （山东新高考质量测评联盟2021届高三联考）已知341<<m ，则mm 34312-+-的最小值是（ C ）A ．923+B ．63+C ．926+D ．12变式3 （安徽省庐巢七校联盟2020届高三联考）若正实数y x ,满足1=+y x ，则yx 114++的最小值为（ D ） A ．744 B ．527 C ．314 D ．29 变式4 （浙江省诸暨市2020届高三期末）已知0,>b a ，1=+b a ，则12121+++b a 的最小值是（A ）A ．59 B ．C ．57 D ．5221+变式5 （天津市滨海新区2020届高三月考）已知正实数a 、b 满足1a b +=，则2241a b a b+++的最小值为（ C ）A ．13B ．11C ．10D ．9变式6 （浙江省“山水联盟”2021届高三开学考试）已知0,0>>b a 且12=+b a ，则ba b ++821的最小值为______．分析：需瞄准题设定值，对待求式进行等价凑配．解法一：因为0,0>>b a ，所以=++b a b 821225)2(2)41(2216212=++≥++b a b a b ，当且仅当ba b 22421+=即b a 3=即51,53==b a 时，等号成立． 解法二：因为0,0>>b a ，所以=++b a b 821225222228212=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≥++b a b a b ，当且仅当ba b +=2222即b a 3=即51,53==b a 时，等号成立． 611所以b a b ++821的最小值为225． 例2 （天津市河北区2020届高三一模）已知b a ,为正实数，且2=+b a ，则aa b b 2122+++的最小值为 ．分析：分式的分子分母都有变量，故我们想方设法把两个分式拆开，减少变量出现的次数，并且尽量配出b a +，剩下交给“小权”．解：=+++a a b b 212232221)21(121112*********+=++++≥+++=++++-=++++-b a a b a a b b a a b b ，当且仅当a b 211=+时（注：b a ,的值实在不好求，就不强求了），等号成立． 所以a a b b 2122+++的最小值为3222+． 变式1 （河北省衡水中学2020届高三九调）设n m ,为正数，且2=+n m ，则2311++++n n m 的最小值为（ D ）A ．23 B ．35 C ．47 D ．59 变式2 （重庆市2020届高三二诊）已知0,>b a ，22=+b a ，则ba b 1+的最小值为 ．分析：两种解法：一是先用条件式把ab中的b 消掉，然后把所得式拆开，最后“小权”上；二是先用条件式把ab中的a 消掉，然后凑配，换元（换元纯属为了使式子结构特征更明显，并非必须），最后运用基本不等式求解.解法一：因为0,>b a ，所以12212)21(21221211112212+=-++≥-+=-+=+-=+b a b a b a b a a b a b ，当且仅当b a 221=时，等号成立．所以ba b 1+的最小值为12+．解法二：因为0,>b a ，所以bb b b b b a b 111211221+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+，令t b =-11，则0>t ，所以原式121212121+=+∙≥++=t tt t ，当且仅当t t =21时，等号成立．所以ba b 1+的最小值为12+． 变式3 （山东省滕州市2021届高三期中）设0,0>>b a 且12=+b a ，则ba a a ++21的最小值为（ ） A ．4B ．122+C ．314D ．5分析：仿变2，也是两种解法，其中在解法一中，用到了在齐次分式中分离常数的策略．解法一：因为0,0>>b a ，所以214221)1(211)1(21-++=+--=+-+b a b b a b b a 122212)22(2+=-+++≥b a ，当且仅当1222+=b a 时，等号成立． 所以ba a a ++21的最小值为122+．选B ．解法二：因为0,>b a ，所以b a aa ++21a a a -+=121≥+-+-=-+=1112111121aaa a1221112112+=+-∙⎪⎭⎫⎝⎛-aa ，当且仅当11211-=-a a 时，即223,12-=-=b a 等号成立． 所以ba aa ++21的最小值为122+．选B ． 变式4 （天津市静海区第一中学2021届高三期末）已知0≥>y x ，则yx y x y x x -+++4的最小值是_____．分析：也有两种解法：一是把待求式凑配成积为定值的形式，需较高技巧；二是先把两分式分子分母同除以x ，从而将待求式化为以xy为元的函数，进而 “小权”出招. 解法一：因为0≥>y x ，所以=-+++y x y x y x x4=-+++-++y x y x y x y x y x )]()[(2yx y x y x y x -+++-+)(22 222)(222+=-+∙+-+≥y x y x y x y x ，当且仅当yx yx y x y x -+=+-)(2即y x )223(+=时，等号成立． 所以yx y x y x x-+++4的最小值为222+． 解法二：因为0≥>y x ，所以yx y x y x x -+++4xy x yx y -+++=1114，令t x y =，则0≥t ，所以原式222111)22(112141211411142+=--+++≥--++=----+=-+++=t t t t t t t t t t ，当且仅当tt -=+1212即y x )223(+=时，等号成立．所以yx y x y x x-+++4的最小值为222+． 例3 （河南省漯河市2022届高三期末）已知正实数y x ,满足111=+y x ，则1413-+-y y x x的最小值是_____ ．分析：根据条件式的特点，对待求式作如下变换：前一个分式的分子分母同除以x ，后一个分式的分子分母同除以y ，随即就能发现可用“小权”求解.解：=-+-1413y y x x347112)23(1141132+=--+≥-+-y x y x ，当且仅当y x 112113-=-时，等号成立． 所以ba aa ++21的最小值为347+． 变式 （山西省大同市2021届高三模拟）已知R y x ∈,且满足322=+y x ，则22)2(4)2(1y x y x -++的最小值是_____．分析：为了利用条件式中的定值，应把待求式的二次分母视为一次的，分子视为二次的，然后用“小权”求解.解：22)2(4)2(1y x y x -++53)(59)2()2()21(22222=+=-+++≥y x y x y x ，当且仅当22)2(2)2(1y x y x -=+时，等号成立．所以22)2(4)2(1y x y x -++的最小值为53． 例4 （山东省枣庄市2021届高三质检）已知0>>b a ，则ba b a a -+++14的最小值为__________． 分析：有两种解法：一是用“小权”解，但不能一蹴而就，先用“小权”把后两项转化，然后再用基本不等式扫尾；二是把a 配成)(21)(21b a b a -++，然后用基本不等式求解.两种解法繁简相当. 解法一：因为0>>b a ，所以2329229)12(142=∙≥+=-++++≥-+++aa a ab a b a a b a b a a ，当且仅当b a b a -=+12且a a 29=即233==b a 即22,223==b a 时，等号成立． 所以ba b a a -+++14的最小值为23． 解法二：因为0>>b a ，所以≥-+-++++=-+++ba b a b a b a b a b a a 1)(214)(2114 231)(2124)(212=-∙-++∙+b a b a b a b a ，当且仅当b a b a +=+42且ba b a -=-12即22,223==b a 时，等号成立． 所以ba b a a -+++14的最小值为23． 变式1 （山东省泰安市泰山国际学校2021届高三月考）已知正数d c b a ,,,满足1=+b a ，1=+d c ，则dabc 11+的最小值是（ ） A ．10B ．9C ．24D ．33分析：先运用基本不等式和1=+b a ，把待求式中的ab 消去，然后上“小权”.解：因为1=+b a ，所以9)12(141211122=++≥+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+dc d c d c b a d abc ，当且仅当b a =且d c 12=即31,32,21====d c b a 时，等号成立． 所以dabc 11+的最小值为9．选B ． 变式2 （山东省2021届高三大联考）已知正实数y x ,满足17191=+++y y x x ，则yx 11+的最小值为（）A ．161B ．1C ．2D ．16分析：先用“小权”得出“y x 9+”与“y x 11+”的关系，然后把条件式中的“y x 9+”换为“yx 11+”，解不等式即得yx 11+的最小值. 解：因为y x y x y x y x 9169)31(991112+=++≥+=+，所以yx y x 11169+≥+，当且仅当y x 931=即y x 3=时，等号成立．令0,11>=+t t y x ，则17191=+++yy x x 可化为t t 1617≥-，整理得016172≤+-t t ，解得161≤≤t ，所以yx 11+的最小值为1．选B ． 小结：以上四个例题及其变式，大都是在已知整式定值的条件下求分式最值的问题，运用“小权”解答时，一个需要注意的共性问题就是把分子拆成定值，把分母凑配成定值.下面上一个承上启下的变式，即已知分式为定值求整式最值问题.变式3 （天津市2021届高三模拟）已知正实数n m ,满足291212=+++n m n m ，则n m 2+的最小值是 ．分析：两种解法：一是常规解法，先在条件式的两边同乘以n m 2+，然后运用基本不等式把条件式化为关于n m 2+的一元二次不等式，解之即得n m 2+的最小值，变式2也可用此法求解；二是仿变式2用“小权”解.解法一：依题意得)2(29121)2()2(2n m n m n m n m +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++，整理得025)2(29)2(2=++++-+n m m n n m n m ，因为22=∙≥+nm m n n m m n ，当且仅当n m m n =即n m =时，等号成立．所以029)2(29)2(2≤++-+n m n m ，解得3223≤+≤n m ，所以n m 2+的最小值是23． 解法二：因为)2(29)2(2)21(44211212n m n m n m n m +=++≥+=+，当且仅当n m 4221=即n m =时，等号成立．令0,2>=+t t n m ，则t t 2929+≥，整理得09922≤+-t t ，解得323≤≤t ，所以n m 2+的最小值是23． 例5 （河北省石家庄二中2020-2021学年高二月考）已知正数y x ,满足118=+yx ，则y x 2+的最小值是（ ）A ．18B ．16C ．8D ．10分析：参照待求式，运用“小权”转化条件式，使其中出现待求式，进一步转化即可获解．解：y x y x y x y x 2182)222(2281812+=++≥+=+=，所以182≥+y x ，当且仅当y x 2222=即y x 4=即3,12==y x 时，等号成立．所以y x 2+的最小值是18．选A ．变式1 （天津市和平区2021届高三期末）已知0,>n m ，且312121=+++n m ，则n m 2+的最小值为________．分析：两种解法：一是先凑配待求式，然后用基本不等式求解；二是凑配条件式，然后用“小权”求解.孰繁孰简？大家自己体会.解法一：因为0,>n m ，所以=⎪⎭⎫⎝⎛++++++=++2121)]2(2)2[(362n m n m n m269222)2(2233222)2(233+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∙+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=n m m n n m m n ，当且仅当222)2(2++=++n m m n 即)2(22+=+n m 时，等号成立．所以2632+≥+n m ，即其的最小值为263+．解法二：因为0,>n m ，所以62)21()2(22212121312+++≥+++=+++=n m n m n m ，当且仅当)2(2221+=+n m 即)2(22+=+n m 时，等号成立． 所以2632+≥+n m ，即其的最小值为263+．变式2 （山东省淄博市2021届高三教学质量摸底检测）若正实数y x ,满足xy y x =+3，则y x 43+的最小值是（ C ）A ．12B ．15C ．25D ．27变式3 （广东省珠海市2020届高三上学期期末）已知0,,>z y x ，且191=++zy x ，则z y x ++的最小值为（D ）A ．8B ．9C ．12D ．16例6 已知正数y x ,满足1=+y x ，则2281yx +的最小值是________． 分析：根据“小权”的特点，待求式的分母是二次的，则在运用“小权”时，分子的次数应转化为三次的．解答本例，需运用二权“小权”.解：因为27)()21(812322=++≥+y x y x ，当且仅当y x 21=即32,31==y x 时，等号成立． 所以2281yx +的最小值是27． 变式 已知正实数c b a ,,满足1=++c b a ，则222811cb a ++的最小值为________． 解：因为64)()211(81123222=++++≥++c b a c b a ，当且仅当c b a 211==即b a c 22==即41,21===b a c 时，等号成立．所以222811cb a ++的最小值是64．。

2021年高三数学10月联考试题文（含解析）新人教A版【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试用时120分钟第Ⅰ卷（选择题，50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1、设全集(2),{|21},{|ln(1)}x xU R A x B x y x-==<==-，则图中阴影部分表示的集合为A． B．C． D．【知识点】Venn图表达集合的关系及运算．A1【答案解析】D 解析：因为图中阴影部分表示的集合为，由题意可知，所以，故选【思路点拨】根据所给的文恩图，看出阴影部分所表达的是要求B集合的补集与A集合的交集，整理两个集合，求出B的补集，再求出交集.【题文】2、已知，命题，则A．是真命题，B．是真命题，C．是假命题，D ．是假命题，【知识点】复合命题的真假；命题的否定．A2【答案解析】B 解析：依题意得，当时，，函数是减函数，此时，即有恒成立，因此命题是真命题，应是“”.综上所述，应选【思路点拨】由三角函数线的性质可知，当x ∈（0，）时，sinx ＜x 可判断p 的真假，根据全称命题的否定为特称命题可知￢p ．【题文】3、定义在R 上的函数满足，且时，，则A ．1B ．C ．D ．【知识点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．B4【答案解析】C 解析：由()()()()224f x f x f x f x -=+⇒=+，因为，所以，，所以 ()()()22224log 20log 2044log 20log 15f f f f ⎛⎫=-=--=-=- ⎪⎝⎭.故选【思路点拨】根据对数函数的单调性，我们易判断出log220∈（4，5），结合已知中f （﹣x ）=﹣f （x ），f （x ﹣2）=f （x+2）且x ∈（﹣1，0）时，利用函数的周期性与奇偶性，即可得到f （log220）的值．【题文】4、某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示：由上表可得回归直线方程中的，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为A ．51个B ．50个C ．49个D ．48个【知识点】线性回归方程．I4【答案解析】C 解析：由题意知，代入回归直线方程得，故选【思路点拨】计算平均数，利用b=﹣4，可求a 的值，即可求得回归直线方程，从而可预报单价为15元时的销量.【题文】5、已知，且，则A ．B ．C ．D ．【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值．C7【答案解析】A 解析：，，，，则22sin sin cos 2sin sin 2cos 4ααπα++=⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选【思路点拨】通过利用两角和的正切公式，求出tanα，结合角的范围，求出sinα，化简要求的表达式，代入sinα，即可得到选项．【题文】6、已知函数()322,()2,03a f x x ax cx g x ax ax c a =++=++≠，则它们的图象可能是【知识点】函数的图象.B8【答案解析】B 解析：因为，则函数即图象的对称轴为，故可排除；由选项的图象可知，当时，，故函数在上单调递增，但图象中函数在上不具有单调性，故排除本题应选【思路点拨】求出函数f（x）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除C，推出结果．【题文】7、已知函数的最小正周期为，则该函数的图象是A．关于直线对称 B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于点对称【知识点】正弦函数的对称性.C3【答案解析】A 解析：依题意得，故，所以，，因此该函数的图象关于直线对称，不关于点和点对称，也不关于直线对称.故选【思路点拨】通过函数的周期求出ω，利用正弦函数的对称性求出对称轴方程，得到选项．【题文】8、一只受伤的丹顶鹤在如图所示（直角梯形）的草原上飞过，其中，它可能随机在草原上任何一处（点），若落在扇形沼泽区域ADE以外丹顶鹤能生还，则该丹顶鹤生还的概率是（）A． B． C． D．【知识点】几何概型．K3【答案解析】B 解析：过点作于点，在中，易知，梯形的面积,扇形的面积，则丹顶鹤生还的概率，故选【思路点拨】过点D作DF⊥AB于点F，求出梯形的面积，扇形ADE的面积，利用几何概型求出结果．【题文】9、已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12【答案解析】D 解析：由知，所以在上是增函数，所以，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以不正确；易知，即，得，所以正确.故选【思路点拨】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．【题文】10、已知函数均为常数，当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围是A． B． C． D．【知识点】利用导数研究函数的极值．B12【答案解析】D 解析：因为，依题意，得则点所满足的可行域如图所示（阴影部分，且不包括边界），其中，，.表示点到点的距离的平方，因为点到直线的距离，观察图形可知，，又，所以，故选【思路点拨】据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a ，b 的约束条件，据线性规划求出最值．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中的横线上【题文】11、已知集合22{|201520140},{|log }A x x x B x x m =-+<=<，若，则整数的最小值是【知识点】集合的包含关系判断及应用．A1【答案解析】11 解析：由，解得，故.由，解得，故.由，可得，因为，所以整数的最小值为11.【思路点拨】先解集合A ，B 中有关x 的不等式，再由A ⊆B 的关系，可得出关于m 的不等式，即可求得m 的最小值．【题文】12、若不等式恒成立，则实数的取值范围是【知识点】绝对值不等式的解法．N4【答案解析】 解析：由于，则有，即，解得，故实数的取值范围是.【思路点拨】根据绝对值的意义|x+1|+|x ﹣3|表示数轴上的x 对应点到3和﹣1对应点的距离之和，它的最小值等于4，可得答案．【题文】13、某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为： ，则（1）图中的（2）若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则该校600名新生中估计 名学生可以申请住宿．【知识点】频率分布直方图．I2【答案解析】（1）0.0125；（2）72 解析：（1）由频率分布直方图知()201200.0250.00650.0030.003x =-⨯+++，解得.（2）上学时间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有名学生可以申请住宿.【思路点拨】（1）利用面积之和为1解出x 即可；（2）先求出上学时间不少于1小时的学生的频率，再由频率估计概率，从而求人数． 【题文】14、定义行列式的运算:，若将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】解析：，平移后得到函数，则由题意得，因为，所以的最小值为.【思路点拨】化简函数f（x）的解析式为2cos（x+），图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为y=2cos（x+t+），要使此函数为偶函数，t+最小为π，由此求得t的最小值．【题文】15、设曲线在点处切线与直线垂直，则【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】1 解析：由题意得()()()22 2cos sin2cos sin12cossin sinx x x x xyx x''----'==，在点处的切线的斜率又该切线与直线垂直，直线的斜率，由，解得【思路点拨】求出函数处的导数，即为曲线在此点的切线斜率，再利用两直线垂直的性质求出a．【题文】16、已知命题函数的定义域为R；命题，不等式恒成立，如果命题““为真命题，且“”为假命题，则实数的取值范围是【知识点】复合命题的真假．A2【答案解析】解析：若命题为真，则或.若命题为真，因为，所以.因为对于，不等式恒成立，只需满足，解得或.命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假.①当真假时，可得；②当时，可得.综合①②可得的取值范围是.【思路点拨】根据对数函数的定义域，一元二次不等式的解和判别式△的关系，二次函数的最值即可求出命题p，q下的a的取值范围，根据p∨q为真，p∧q为假，即可得到p真q假和p假q真两种情况，求出每种情况下的a的取值范围，再求并集即可．【题文】17、已知函数有零点，则的取值范围是【知识点】函数零点的判定定理．B9【答案解析】解析：由，解得当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故该函数的最小值为因为该函数有零点，所以，即，解得故的取值范围是.【思路点拨】先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤【题文】18、（本小题满分12分）已知函数())cos()2,()66f x x x x Rππ=++++∈．（1）求的值；（2）求子啊区间上的最大值和最小值及其相应的x的值．【知识点】三角函数的最值．C3【答案解析】（1）1；（2）1.解析：（1）+2…2分+2………………4分=1 ……………………………………………………… 6分（2）………………… 7分…………………8分从而当时，即时…………………………………… 10分而当时，即时…………………12分【思路点拨】（1）由三角函数公式化简f（x），代值计算可得；（2）由﹣≤x≤逐步可得≤sin （x+）≤1，结合f（x）的解析式可得答案．【题文】19、（本小题满分12分）xx年国庆节之前，市教育局为高三学生在紧张学习之余，不忘体能素质的提升，要求该市高三全体学生进行一套满分为120分的体能测试，市教育局为了迅速了解学生体能素质状况，按照全市高三测试学生的先后顺序，每间隔50人就抽取一人的抽样方法抽取40分进行统计分析，将这40人的体能测试成绩分成六段[)[)[)[)[)[)80,85,85,90,90,95,95,100,100,105,105,110后，得到如下图的频率分布直方图．（1）市教育局在采样中，用的是什么抽样方法？并估计这40人体能测试成绩平均数；（2）从体能测试成绩在的学生中任抽取2人，求抽出的2人体能测试成绩在概率．参考数据：⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.0219.4【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．K2 I2【答案解析】（1）97；（2）解析：（1）根据“每间隔50人就抽取一人”,符合系统抽样的原理,故市教育局在采样中,用到的是系统抽样方法.…………3分平均数的估计值为：⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯(82.50.0187.50.0292.50.0497.50.06102.50.05107.50.02)5…………………………6分（2）从图中可知，体能测试成绩在的人数为（人），分别记为；体能测试成绩在人数为（辆），分别记为，从这人中随机抽取两人共有种情况：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A B A B ，，，，，，，.……………………9分抽出的人中体能测试成绩在的情况有共6种，………………………………………………………１１分故所求事件的概率.…………………………………12分【思路点拨】（1）根据系统抽样的特征判断抽样方法是系统抽样；根据中位数的左、右两边小矩形的面积相等求中位数；（2）利用频数=频率×样本容量分别求得体能测试成绩在[80，85）的人数和[85，90）人数，用列举法写出从这6人中随机抽取2人的所有基本事件，找出抽出的2人中体能测试成绩在[85，90）的基本事件，利用个数比求概率．．【题文】20、（本小题满分13分）已知函数（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）若函数在不单调，求实数的取值范围；（3）判断过点可作曲线多少条切线，并说明理由．【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】（1）；（2）或；（3）可作曲线三条切线解析：（1）∵，，∴，∴ ……………………………………1分∵ ∴ ∴ ……………………2分∴，显然在附近符号不同，∴是函数的一个极值点 ………………………………………3分∴ 即为所求 ………………………………………………………4分（2）∵，，∴，若函数在不单调，则应有二不等根 …………………………5分∴ ∴ ……………………………7分∴ 或 ………………………………… ……………8分（3）∵，∴，∴，设切点，则纵坐标，又，∴ 切线的斜率为，得 ……10分设，∴由0，得或，∴在上为增函数，在上为减函数，∴ 函数的极大值点为，极小值点为，∵ ∴ 函数有三个零点 ……………12分∴ 方程有三个实根∴ 过点可作曲线三条切线 ……………………………13分【思路点拨】（1）求出函数f （x ）的导数，由条件得，f′（1）=0求得a ，注意检验x=1处导数的符号；DB A （2）若函数f （x ）在R 上不单调，则f′（x ）=3x2﹣2（a+1）x+3a=0应有二不等根，则△=12（a+1）2﹣36a ＞0，解出a 即可；（3）求出导数，设出切点，求出切线的斜率，再由两点的斜率公式，得到方程，构造函数g （x0）=2x03﹣3x02+，运用导数求出极值，令极大值大于0，极小值小于0，即可判断函数有三个零点，即方程有三个实根，即切线有三条．【题文】21、（本小题满分14分）如图，在一座底部不可到达的孤山两侧，有两段平行的公路AB 和CD ，现测得（1）求（2）求的长度．【知识点】解三角形的实际应用．C8【答案解析】（1）；（2）。

山东名校考试联盟2024年10月高三年级阶段性检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3全卷满分150分．考试用时120分钟．．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知()(){}23230,02x A x x x B x x +=∈−−==∈≤ − Q R∣，则A B = （ ）A. {}2B. {C. {}2D. ∅【答案】D 【解析】【分析】解方程与不等式求得集合,A B ，进而可求A B ∩.【详解】由2(2)(3)0x x −−=，可得2x =或x =，又Q x ∈，所以2x =，所以{2}A =；由302x x +≤−，可得(3)(2)020x x x +−≤ −≠，解得32x −≤<，所以{|32}Bx x =−≤<， 所以{2}{|32}A B x x =−≤<=∅ . 故选：D.2. 幂函数()23f x x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的判定方法，得到函数()f x 为偶函数，再由幂函数的性质，结合选项，即可求解.【详解】由函数()23f x x ==，可得函数的定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x −===，所以函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 的图象关于y 轴对称，又由幂函数的性质得，当0x ≥时，函数()f x 单调递增， 结合选项，选项B 符合题意. 故选：B.3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ ，空气的温度是0C θ，那么min t 后物体的温度θ（单位：C ）可由公式)01010ktθθθθ−=+−⋅求得，其中k 是一个随物体与空气的接触情况而定的正常数．现有65C 的物体，放到15C 的空气中冷却，1min 后物体的温度是35C ，已知lg20.3≈，则k 的值大约为（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出等式()3515651510k−=+−⋅，化简后即可求解.【详解】由题意知015C θ= ，165C θ=， 代入公式()01010ktθθθθ−=+−⋅，可得()3515651510k−=+−⋅，则2105k−=，两边同时取对数得2lg10lg 5k−=， 即lg2lg 50.30.70.4k −=−≈−=−，则0.4k =，故C 正确. 是故选：C.4. 如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m 长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m 的正方形，已知该组合体的体积为32m 3，则其表面积为（ ）A. (22m +B. (23m +C. (22m +D. (23m +【答案】B 【解析】【分析】由题意先利用棱锥体积公式求出正四棱锥的高，然后再求出其斜面上的高，即可求解. 【详解】由题意知该组合体由长方体和正四棱锥组成，且该组合体的体积为32m 3， 长方体的体积为31110.5m 2××=，则正四棱锥体积为3211m 326−=， 所以正四棱锥的高为1316m 112×=×，2112×， 所以组合体的表面积为()(210.541143m ××+×=+，故B 正确.故选：B.5. 若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根，则1221x x x x +的最小值为（ ） A. 2 B. 4C. 6D. 8【答案】C 【解析】【分析】由题意及韦达定理可得122x x m +=+，12x x m =，从而得()2221212211222m mx x x x x x x x m+−++==，再结合基本不等式即可求解.【详解】由若12,x x 是一元二次方程()()220x m x m m −++=∈R 的两个正实数根， 所以122x x m +=+，12x x m =，则mm >0所以()()222212121212211212222x x x x m mx x x x x x x x x x m+−+−++===2244226m m m m m ++==++≥+=，当且仅当2m =时取等号，故C 正确. 故选：C.6. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21nn S n T =+，则35=a b （ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12【答案】C 【解析】【分析】分别设出为n S 和n T 的二次形式，由此求得35,a b ，即可化简后得到结果. 【详解】由等差数列{aa nn }和等比数列{bb nn }的前n 项和分别为n S 和n T ，所以可设()21n S kn n =+，n T kn =，0k ≠， 所以可得33255421101154a S S k k b T T k k−−===−−，故C 正确. 故选：C.7. 若2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1∞−− B. (),1−∞C. ()1,−+∞D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】求导，利用导数，分0a =，0a >，0a <三种情况讨论可求实数a 的取值范围.【详解】由()222exax x f x +−=，可得()222(22)e (22)e (22)4(2)(2)(e e e)x x x x xax ax x ax a x ax x f x +−+−−+−+−−−′===， 若0a =，当2x <时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意，若0a ≠时，令()0f x ′=，可得(2)(2)0ax x −−−=，可得2x =或2x a=−， 若0a >时，则20a−<，当22x a −<<时，()0f x ′>，当2x >时，()0f x ′<，故2x =是()222exax x f x +−=的极大值点，不符合题意， 若0a <时，则20a−>，由二次函数的(2)(2)y ax x =−−−图象可知， 要使2x =是函数()222exax x f x +−=的极小值点， 需22a−<，解得1a <−， 所以实数a 的取值范围是(,1)∞−−. 故选：A.8. 已知函数()()6sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. 3,32B. 3,32C. 93,2D. 93,2【答案】D 【解析】【分析】化简得23()sin 24f x x ω=−，由题意可得2π2π3π3ω<≤，求解即可. 详解】()()()66224224sin cos 1sin cos sin sin ?cos cos 1f x x x x x x x x x ωωωωωωωω=+−=+−+−()242242222sin sin ?cos cos 1sin cos 3sin ?cos 1x x x x x x x x ωωωωωωωω−+−=+−−22222313sin cos 13sin cos sin 24x x x x x ωωωωω=−−=−=− ，因为π0,3x ∈，2π20,3x ωω ∈ ， 【由函数()()66sin cos 10f x x x ωωω=+−>在π0,3上有且仅有3个零点，可得2π2π3π3ω<≤，解得932ω<≤，所以ω的取值范围是9(3,]2.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若3n n S a n =+，则（ ） A. 112a =B. 数列{}1n a −为等比数列C. 312nn a =−D. 3332nn S n =−⋅+【答案】BCD 【解析】【分析】当1n =时，1131S a =+，解得112a =−；根据3n n S a n =+，可得当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−，从而得13122n n a a −=−，即()13112n n a a −−=−；根据B 可求得312nn a−=−；从而可求出333?2nn S n =−+.【详解】A ：当1n =时，1131S a =+，解得112a =−，故A 错误； B ：因为3n n S a n =+，当2n ≥时，1131n n S a n −−=+−， 将两式相减可得1331n n n a a a −=−+，即13122n n a a −=−， 则()13112n n a a −−=−，因112a =−，则1312a −=−，数列{}1n a −为首项为32−，公比为32的等比数列，故B 正确；C ：由B 可得13331?222n n n a −−=−=−，所以312nn a =− ，故C 正确；D ：3333?2nn n S a n n =+=−+，故D 正确.故选：BCD.10. 已知幂函数()()293m f x m x =−的图象过点1,n m−，则（ ）A. 23m =−B. ()f x 为偶函数C. n =D. 不等式()()13f a f a +>−的解集为(),1−∞ 【答案】ABC 【解析】【分析】利用幂函数的定义结合过点1,n m−，可求,m n 判断AC ；进而可得函数的奇偶性判断B ；解不等式可求解集判断D.【详解】因为函数()()293m f x mx =−为幂函数，所以2931m −=，解得23m =±，当23m =时，幂函数()23f x x =的图象不可能过点3,2n − ，故23m ≠，当23m =−，幂函数()23f x x −=的图象过点2,3n，则2332n =，解得32()32n ==，故AC 正确； ()23f x x −=的定义域为{|0}x x ≠，且()2233()()f x x xf x −−−=−==，故()f x 为偶函数，故B 正确；函数()23f x x−=在(0,)+∞上单调递减，由()()13f a f a +>−，可得()()|1||3|f a f a +>−，所以1310a a a +<− +≠，解得1a <且1a ≠−，故D 错误.故选：ABC.11. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为R ，记()()g x f x ′=，若()2g x +的图象关于直线2x =−对称，且()()()111f x f x f x −++=+−，则（ ）A. ()g x 是偶函数B. ()f x 是奇函数C. 3为()y f x =的一个周期D.20251()0i g i ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】由()2g x +的图象关于直线2x =−对称，则可得()g x 关于xx =0对称，可对A 判断；由gg (xx )=ff ′(xx )，从而可得ff (xx )关于()0,1对称，可对B 判断；由ff (xx )关于()0,1对称，可得()()()113f x f x f x −+++=，故()()()213f x f x f x −+−+=，从而得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，可对C 判断；由()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，可对D 判断.【详解】A ：因为()2g x +的图象关于直线2x =−对称，故将()2g x +的图象向右平移2个单位后变为()g x 的图象，此时()g x 关于xx =0对称，所以()g x 是偶函数，故A 正确；B ：因为()g x 是偶函数，所以ff (xx )关于()0,c 对称且c 为常数，当xx =0时，()()()1110f f f −+=+，又因为()()112f f c −+=，()0f c =，所以1c =，所以ff (xx )关于()0,1对称，故B 错误； C ：因为ff (xx )关于()0,1对称，所以()()2f x f x −=−+，所以()()()()1113f x f x f x f x −++=+−=−，所以()()()113f x f x f x −+++=①，故()()()213f x f x f x −+−+=②，则①②两式相减得()()12f x f x +=−，即()()3f x f x +=，所以3是()y f x =的一个周期，故C 正确； D ：因为()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，且()g x 的周期为3，又因为20256753=×，所以()202510i g i ==∑，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：B 中因为()g x 是偶函数，所以可得ff (xx )关于()0,c 对称，从而可求出1c =；D 中可有()()()113f x f x f x −+++=，两边求导得()()()110g x g x g x −+++=，从而可知()g x 中连续3项之和为零.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在1x =处的切线方程是 _____.【答案】10x y −−=【解析】【分析】求出导函数，根据导数的几何意义得出斜率，求出切点坐标，代入点斜式方程，即可得出答案.【详解】因为()ln 1f x x ′=+，所以()11f ′=. 根据导数的几何意义可知，曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率()11k f ′==. 又()10f =，所以，切线方程为1y x =−，即10x y −−=. 故答案为：10x y −−=. 13. 已知0a >且1a ≠，函数()2,1,1x x x f x a x ≥= <，若关于x 的方程()()2560f x f x −+=恰有3个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]2,3 【解析】【分析】当1x ≥时，()2xf x =，方程()()2560fx f x −+=有2个不相等实数解，则当1x <时，()x f x a =，此时方程()()2560f x f x −+=只有1个实数解，对a 分类讨论，由()x f x a =的值域求实数a 的取值范围. 【详解】方程()()2560fx f x −+=，即()2f x =或()3f x =， 当1x ≥时，()2xf x =，由()2f x =解得1x =，由()3f x =解得2log 3x =； 当1x <时，()xf x a =，此时方程()()2560fx f x −+=只有1个实数解， 若01a <<，则()xf x a =在(),1∞−上单调递减，()(),f x a ∞∈+，的此时()2f x =和()3f x =都有解，不合题意，若1a >，则()xf x a =在(),1∞−上单调递增，()()0,f x a ∈，则23a <≤.所以实数a 的取值范围是(]2,3. 故答案为：(]2,314. 已知三棱锥A BCD −的四个顶点都在球O 的球面上，若AB CD =O 的半径为，则三棱锥A BCD −体积的最大值为__________．【答案】 【解析】【分析】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，CD ⊥平面ABN ，三棱锥A BCD −体积的最大值，求解即可. 【详解】设,AB CD 的中点为,M N ，球心为O ，由题意可得,OM AB ON CD ⊥⊥，由题意可得1,2OM ON ==，当,,O M N 在同一直线上时，ABN 的面积最大，最大面积为1(12)2×+， 设C 到平面ABN 的距离为d ，由题意可得D 到平面ABN 的距离也为d ，当CD ⊥平面ABN 时，d 取最大值12CD =所以三棱锥A BCD −体积的最大值为112233ABN S d ××=×=故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15. 已知函数()2π2sin 4f x x x=+．（1）求()f x 在π0,2上的单调递增区间；（2）已知ABC 的内角,,A B C 的对边长分别是,,a b c，若π1212C f−，2c =，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）5π[0,]12（2）2 【解析】【分析】（1）化简π()12sin(2)3f x x =+−，利用πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，可求单调区间；（2）由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥，可求ab 的最大值，进而可求ABC 面积的最大值. 【小问1详解】()2π1cos 2π22sin 21sin 242x f x x x x x x−+=+=×−=+−πππ12(sin 2cos cos2sin 12sin(2)333x x x =+−=+−， 由πππ2π22π,Z 232k x k k −+≤−≤+∈，得π5πππ,Z 1212k x k k −+≤≤+∈， 又π0,2∈ x ，所以函数()f x 在π0,2上的单调递增区间为5π[0,]12；【小问2详解】由π1212C f−=−，得ππ12sin[2()]12123C +×−−，所以πsin()2C −，所以cos C =，因为0πC <<，所以π6C =，又2c =，在ABC中，由余弦定理可得22242cos 2c a b ab C ab ==+−≥−，所以4(2ab ≤=，当且仅当a b ==时取等号，所以111sin 4(22222ABC S ab C =≤×+×=+所以ABC 面积的最大值为2． 16. 已知函数()()ln R mf x x m x=+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1m =时，证明：当1x ≥时，()e e 0xxf x x −−+≤.【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解；（2）构造函数()()e e xg x xf x x =−−+，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得()0g x ≤，从而得证.【小问1详解】因为()ln mf x x x=+的定义域为()0,∞+， 所以()221m x mf x x x x −′=−=，当0m ≤时，()0f x ′>恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0m >时，令()0f x ′=，得x m =， 当()0,x m ∈时，()()0,f x f x ′<单调递减， 当(),x m ∈+∞时，()()0,f x f x ′>单调递增， 综上，当0m ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0m >时，()f x 在()0,m 上单调递减，在(),m +∞上单调递增. 【小问2详解】当1m =时，()1ln f x x x=+， 令()()e e ln e e 1xxg x xf x x x x x =−−+=−−++，则()ln e xg x x =−′， 令()()ln e xh x g x x ′==−，则()1e xh x x=′−，因为1x ≥，所以11,e e 1x x≤≥>， 所以当1x ≥时，()h x ′1e 0xx=−<恒成立，所以()h x 在[)1,+∞上单调递减，即()ln e x g x x =−′在[)1,+∞上单调递减，所以()()1e 0g x g ′≤−′=<， 所以()g x 在[)1,+∞上单调递减，所以()()10g x g ≤=，即()e e 0xxf x x −−+≤. 【点睛】结论点睛：恒成立问题：（1）()0f x >恒成立()min 0f x ⇔>；()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<． （2）()f x a >恒成立()min f x a ⇔>；()f x a <恒成立()max f x a ⇔<．（3）()()f x g x >恒成立()()min 0f x g x ⇔−> ；()()f x g x <恒成立()()max 0f x g x ⇔−< ； （4）1x M ∀∈，2x N ∀∈，()()()()1212min max f x g x f x g x >⇔>．17. 已知函数()33x x af x a+=−．（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）当0a <时，函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −− ，求a 的取值范围．【答案】（1）1或1−（2）(,3−∞−− 【解析】【分析】（1）由ff (xx )为奇函数，可得()()0f x f x +−=，从而可求解； （2）当0a <时，可得()y f x =是单调增函数，从而可得即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，参数分离可得23313x x xa +=−，利用换元法设13xt =−，可得23a t t =+−，且1t <，再结合对勾函数性质从而可求解.【小问1详解】由()32133x xx a af x a a+==+−−，所以()22?31131?3x x x a a f x a a −−=+=+−−， 因为ff (xx )为定义域上的奇函数，所以()()0f x f x +−=， 即22?311031?3xx xa a a a +++=−−，化简得·3131?3x xx a a a a +=−−−， 则22222·3?3?33?3?30x x x x x x a a a a a a a −+−+−−+=，则得21a =， 所以aa =−1或1a =. 【小问2详解】当0a <时，()32133x x xa af x a a+==+−−，所以()y f x =是单调增函数， 由函数()f x 在[],m n 上的值域为11,33m n −−， 所以()3133m m m a f m a +==−−,()3133n n n a f n a +==−−，即,m n 是函数3133x x x a a +=−−的两个解，则得23313x x xa +=−，设130xt =−<，则22332313x xxa t t +==+−−，0t <，根据对勾函数性质可得23y t t=+−在()上单调递减，(,−∞上单调递增，其中23y t t=+−在(),0−∞上的值域为(,3 −∞− ，当t =时取最大值，综上可得3a <−，所以a 的取值范围为(),3−∞−−. 18. 已知函数()()28ln 1exf x axbx =+++．（1）若()f x ′在R 上单调递减，求a 的最大值； （2）证明：曲线()y f x ′=是中心对称图形； （3）若()8ln2f x ，求a 的取值范围． 【答案】（1）1− （2）证明见解析 （3）(],1−∞−【解析】【分析】（1）对ff (xx )求导得()8e 21e x x f x ax b =+++′，令()8e 21exxg x ax b =+++，再结合基本不等式从而可得()8201e 2ex x g x a =++′≤+，即可求解. （2）由()()28f x f x b ′′−+=+，从而曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，即可求解. （3）分情况讨论求出0a <，4b =−，然后再利用导数讨论1a ≤−，10a −<<情况下，从而可求出a 的取值范围是(],1−∞−. 【小问1详解】由函数()()28ln 1e xf x ax bx =+++，所以()8e 21exxf x ax b =+++′， 令()8e 21e xxg x ax b =+++，因若ff ′(xx )在RR 上单调递减，则()()28e 822011e e 2exxxx g x a a =+=+++′≤+恒成立，因为1e 224e x x ++≥=，当且仅当xx =0时取等号， 则821e 2e x x −≥−++，所以821e 2ex x a ≤−++，即22a ≤−，得1a ≤−. 故a 的最大值为1−. 【小问2详解】证明：由（1）知()8e 21e x x f x ax b =+++′，则()8e 21exxf x ax b −−−=−++′， 则()()8e 8e 8e 8222281e 1e 1e 1ex x x x x x xf x f x ax b ax b b b −−−+=−++++=++=+′+′+++， 所以曲线yy =ff ′(xx )关于点()0,4b +对称，是中心对称图形.【小问3详解】当aa >0时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾，所以0a ≤；为当0a =，0b ≥时，则当x →+∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 当0a =，0b <时，则当x →−∞时，()f x →+∞，与()8ln2f x ≤矛盾； 所以0a <.当4b >−，则当402b x a +<<−时，()8e 24201exxf x ax b ax b =++>++>+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 当4b <−，则当402b x a +−<<时，()8e 24201ex x f x ax b ax b =++<++<+′， 此时()()08ln 2f x f >=，矛盾； 因此4b =−，所以()8e 241exxf x ax =+−+′， 当1a ≤−，由（1）可知ff ′(xx )在RR 上单调递减，又()00f ′=，所以当0x ≤时，()0f x ′≥，ff (xx )在区间(],0−∞上单调递增； 当xx >0时，()0f x ′<，ff (xx )在区间(0,+∞）上单调递减； 此时()()08ln 2f x f ≤=，符合题意； 当10a −<<，则当0ln 1x <<−时，()()()228e 82201e 1e xxxg x a a =+>+′>++，此时()()()00f x g x g >′==，则()()08ln 2f x f >=，不合题意. 综上所述：a 的取值范围是(],1−∞−.【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.19. 若存在1,1,2,2,,,n n 的一个排列n A ，满足每两个相同的正整数()1,2,,k k n = 之间恰有k 个正整数，则称数列n A 为“有趣数列”，称这样的n 为“有趣数”．例如，数列7:4,6,1,7,1,4,3,5,6,2,3,7,2,5A 为“有趣数列”，7为“有趣数”．（1）判断下列数列是否为“有趣数列”，不需要说明理由； ①2:1,2,1,2A ；②3:3,1,2,1,3,2A ． （2）请写出“有趣数列”4A 的所有可能情形；（3）从1,2,,4n 中任取两个数i 和()j i j <，记i 和j 均为“有趣数”的概率为n P ，证明：14n P <． 【答案】（1）①不是；②是（2）4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据“有趣数列”定义逐项判断即可求解.（2）分当两个1中间为2，当两个1中间为3，当两个1中间为4，共3种情况从而可找到符合题意的“有趣数列”，即可求解.（3）先设“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，从而可得()21111n n n k k k k k k a a a k k === +++=∑∑∑，可求得()1314nk k n n a =−=∑，再分情况讨论当()*43,42n m m m =−−∈N ，()*41n m m =−∈N ，()*4nm m ∈N 时符合“有趣数列”的情况，从而可得224C 1C 4nn nP =<，即可求解.【小问1详解】①2:1,2,1,2A 中两个2之间间隔数只有一个，故不是“有趣数列”， ②3:3,1,2,1,3,2A 中两个1之间间隔数有1个，两个2之间间隔数有2个， 两个3之间间隔数有3个，故是“有趣数列”.小问2详解】当两个1中间为2，不妨设1,2,1右边两个2中间可能为1,3或1,4， 则4A 可能为4,3,1,2,1,3,2,4或4,3,1,2,1,4,2,3，不符合题意； 当两个1中间为3，两个2中间可能为3,4或4,3，则4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4，符合题意；【当两个1中间为4，不妨设1,4,1右边两个2中间可能为3,4或4,3， 则4A 可能为1,4,1,2,3,4,2,3或1,4,1,2,4,3,2,3，不符合题意； 综上所述：“有趣数列”4A 可能为4,1,3,1,2,4,3,2或2,3,4,2,1,3,1,4. 【小问3详解】将“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项， 由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项， 于是()21111n nn k kk k k k a aa k k === +++=∑∑∑，则()()13221222nk k n n n n a =+++=∑，即()1314nk k n n a =−=∑，又因为1nk k a =∑为整数，故必有()314n n −为整数，当()*43,42n m m m =−−∈N时，()314n n −不可能为整数，不符合题意； 当()*41n m m =−∈N时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”41m A −为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,21,43,,21,42,m m m m m −−−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43m m m m m m −−−−+− ，符合题意； 当()*4nm m ∈N 时，()314n n −为整数，构造“有趣数列”4m A 为44,,2,42,23,1,41,1,23,m m m m m m −−−−− 2,,44,4,43,,21,42,m m m m m m −−+−22,,2,21,41,2,,22,21,,43,21,4m m m m m m m m −−−−+−− ，符合题意；这里44,,2m m − 是指将44m −一直到2m 的偶数按从大到小的顺序进行排列，23,,1m − 是指将23m −一直到1的奇数按从大到小的顺序进行排列，故1,2,,4n 中的“有趣数列”为3,4,7,8,,41,4n n − 共2n 个，则所求概率为()224C 211C 2414nn nn P n −==<−. 【点睛】方法点睛：本题主要是根据“有趣数列”定义，理解并应用，对于（3）中主要巧妙设出“有趣数列”n A 中数字()1,2,3,k k n = 第一次出现的项记作k a 项，由题意可知数字k 第二次出现的项为()1k a k ++项，从而求出()1314nk k n n a =−=∑，从而可求解.。

山东省临沂市沂水二中北校区2021届高三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜4}2．（5分）设x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．103．（5分）在△ABC中，设命题p ：==，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．（5分）已知函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．36．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．27．（5分）函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴可以是直线（）A．x =B．x =πC．x=﹣πD．x=8．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b ，则=（）A．2B．C．D．19．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D ．10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为（）A．13 B．8C．9D．10二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．（5分）在数列{a n}中，a1=15，3a n+1=3a n﹣2（n∈N+），则该数列中相邻两项的乘积是负数的为．12．（5分）向量=（1，sinθ），=（1，cosθ），若•=，则sin2θ=．13．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是．14．（5分）设f1（x）=cosx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x）n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=，则sin2A的值是．15．（5分）给出下列命题：①函数y=cos（2x ﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为（写出全部正确命题的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．（12分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．17．（12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，假如p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且．（1）求cos2θ；（2）求P，Q的坐标并求sin（α+β）的值．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc．（Ⅰ）若，求tanC的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积，且b＞c，求b，c．20．（13分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．山东省临沂市沂水二中北校区2021届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．（5分）已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|2＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|1＜x＜4}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：直接求出集合B，然后求出A∩B即可．解答：解：由于集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}={x|2＜x＜4}，所以A∩B={x|2＜x＜3}．故选B．点评：本题考查对数函数的基本性质，集合的基本运算，考查计算力量．2．（5分）设x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．10考点：平面对量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．解答：解：由于x∈R ，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故选B．点评：本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算力量．3．（5分）在△ABC中，设命题p ：==，命题q：△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：依据正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行推断即可得到结论．解答：解：由正弦定理可知，若===t，则，即a=tc，b=ta，c=bt，即abc=t3abc，即t=1，则a=b=c，即△ABC是等边三角形，若△ABC是等边三角形，则A=B=C=，则===1成立，即命题p是命题q的充要条件，故选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的推断，利用正弦定理是解决本题的关键．4．（5分）设，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a考点：对数值大小的比较；不等式比较大小．分析：依据指数函数和对数函数的单调性推断出abc的范围即可得到答案．解答：解：∵a=20.1＞20=10=ln1＜b=ln＜lne=1c=＜log31=0∴a＞b＞c故选A．点评：本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．5．（5分）已知函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，则a的最大值是（）A．0B．1C．2D．3考点：利用导数争辩函数的单调性．专题：计算题．分析：依据f（x）在区间[1，+∞）上单调递减，可得f'（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，建立等量关系，求出参数a最大值即可．解答：解：∵f（x）=ax﹣x3∴f′（x）=a﹣3x2∵函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，∴f′（x）=a﹣3x2≤0在区间[1，+∞）上恒成立，∴a≤3x2在区间[1，+∞）上恒成立，∴a≤3．故选D．点评：本小题主要考查运用导数争辩函数的单调性及恒成立等基础学问，考查综合分析和解决问题的力量．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：依据函数奇偶性的性质结合函数图象即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，故选：B点评：本题主要考查函数值的计算，依据函数的奇偶性以及函数图象进行转化时解决本题的关键．7．（5分）函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴可以是直线（）A．x =B．x =πC．x=﹣πD．x=考点：正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用正弦函数的对称性可求得其对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z），从而可得答案．解答：解：由x ﹣=kπ+（k∈Z）得：x=kπ+（k∈Z），∴函数y=sin（x ﹣）的对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z），当k=1时，x=π，∴方程为x=π的直线是函数y=sin（x ﹣）的一条对称轴，故选：B．点评：本题考查正弦函数的对称性，求得其对称轴方程为：x=kπ+（k∈Z）是关键，属于中档题．8．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b ，则=（）A．2B．C．D．1考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，进而利用两角和公式对等号左边进行化简求得sinA和sinB的关系，进而利用正弦定理求得a和b的关系．解答：解：∵bcosC+ccosB=2b，∴sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA=2sinB，∴=2，由正弦定理知=，∴==2，故选：A．点评：本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．考查了同学分析和运算力量．9．（5分）函数y=2x﹣x2的图象大致是（）A．B．C．D ．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别画出y=2x，y=x2的图象，由图象可以函数与x轴有三个交点，且当x＜﹣1时，y＜0，故排解BCD，问题得以解决．解答：解：y=2x﹣x2，令y=0，则2x﹣x2=0，分别画出y=2x，y=x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y=2x﹣x2的图象与x轴有3个交点，故排解BC，当x＜﹣1时，y＜0，故排解D故选：A．点评：本题主要考查了图象的识别和画法，关键是把握指数函数和幂函数的图象，属于基础题．10．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为（）A．13 B．8C．9D．10考点：函数的零点；函数的周期性．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）（x∈R）是周期为2的函数，进而依据f（x）=1﹣x2与函数g（x）=的图象得到交点为9个．解答：解：由于f（x﹣2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数．由于x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，所以作出它的图象，利用函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，可作出y=f（x）在区间[﹣5，6]上的图象，如图所示：故函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为9，故选C．点评：本题的考点是函数零点与方程根的关系，主要考查函数零点的定义，关键是正确作出函数图象，留意把握周期函数的一些常见结论：若f（x+a）=f（x），则周期为a；若f（x+a）=﹣f（x），则周期为2a；若f（x+a）=，则周期为2a，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．（5分）在数列{a n}中，a1=15，3a n+1=3a n﹣2（n∈N+），则该数列中相邻两项的乘积是负数的为a23•a24．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：把等式3a n+1=3a n﹣2变形后得到a n+1﹣a n等于常数，即此数列为首项为15，公差为﹣的等差数列，写出等差数列的通项公式，令通项公式小于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的最小正整数解，即可得到从这项开头，数列的各项为负，这些之前各项为正，得到该数列中相邻的两项乘积是负数的项．解答：解：由3a n+1=3a n﹣2，得到公差d=a n+1﹣a n=﹣，又a1=15，则数列{a n}是以15为首项，﹣为公差的等差数列，所以a n=15﹣（n﹣1）=﹣n+，令a n=﹣n+＜0，解得n ＞，即数列{a n}从24项开头变为负数，所以该数列中相邻的两项乘积是负数的项是a23a24．故答案为：a23•a24点评：此题考查同学机敏运用等差数列的通项公式化简求值，把握确定一个数列为等差数列的方法，是一道综合题．12．（5分）向量=（1，sinθ），=（1，cosθ），若•=，则sin2θ=．考点：平面对量的综合题．专题：计算题．分析：由==可求解答：解：∵==∴sin2θ=故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，三角函数的二倍角公式的应用，属于基础试题13．（5分）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是（﹣，0）．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用二次函数的性质可得，由此求得m的范围．解答：解：∵二次函数f （x）=x2+mx ﹣1的图象开口向上，对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴，即，解得﹣＜m＜0，故答案为：（﹣，0）．点评：本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．14．（5分）设f1（x）=cosx，定义f n+1（x）为f n（x）的导数，即f n+1（x）=f′n（x）n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=，则sin2A的值是．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：由已知分别求出f2（x），f3（x），f4（x），f5（x），可得从第五项开头，f n（x）的解析式重复消灭，每4次一循环，结合f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=求出cosA，进一步得到sinA，则答案可求．解答：解：∵f1（x）=cosx，∴f2（x）=f1′（x）=﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=sinx，f5（x）=f4′（x）=cosx，…从第五项开头，f n（x）的解析式重复消灭，每4次一循环．∴f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=0．∴f2021（x）=f4×503+1（x）=f1（x）=cosx．∵f1（A）+f2（A）+…+f2021（A）=．∴cosA=．∵A为三角形的内角，∴sinA=．∴sin2A=2sinAcosA=．故答案为：．点评：本题考查了导数及其运算，关键是找到函数解析式规律性，是中档题．15．（5分）给出下列命题：①函数y=cos （2x﹣）图象的一条对称轴是x=②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；④存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；其中正确的命题为①②（写出全部正确命题的序号）．考点：命题的真假推断与应用．专题：计算题；简易规律．分析：①由x=时，y=﹣1，可得结论；②利用函数图象，求解；③依据图象的平移规律可得结论；④依据sinx+cosx=sin（x+）≤＜，可以推断．解答：解：①函数y=cos（2x ﹣），x=时，y=﹣1，所以函数y=cos（2x ﹣）图象的一条对称轴是x=，正确；②在同一坐标系中，画出函数y=sinx和y=lgx的图象，所以结合图象易知这两个函数的图象有3交点，正确；③将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可得到函数y=sin[2（x ﹣）+]，即y=sin（2x ﹣）的图象，故不正确；④sinx+cosx=sin（x+）≤＜，故不存在实数x，使得等式sinx+cosx=成立；故答案为：①②．点评：本题利用三角函数图象与性质，考查命题的真假推断与应用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.16．（12分）已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．（Ⅰ）求集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系推断及应用．专题：集合．分析：（I）解指数不等式求出A，解二次不等式求出B，进而可得集合A∩B；（Ⅱ）若C⊆B ，则，解不等式组可得实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由2x＜8，得2x＜23，x＜3．（3分）解不等式x2﹣2x﹣8＜0，得（x﹣4）（x+2）＜0，所以﹣2＜x＜4．（6分）所以A={x|x＜3}，B={x|﹣2＜x＜4}，所以A∩B={x|﹣2＜x＜3}．（9分）（Ⅱ）由于C⊆B，所以（11分）解得﹣2≤a≤3．所以，实数a的取值范围是[﹣2，3]．（13分）点评：本题考查的学问点是集合的包含关系推断及应用，集合的交集运算，解不等式，难度不大，属于基础题．17．（12分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，假如p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易规律．分析：易得p：k＞0，q ：或，由p∧q是假命题，p∨q是真命题，可得p，q一真一假，分别可得k的不等式组，解之可得．解答：解：∵函数y=kx+1在R上是增函数，∴k＞0，又∵曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，∴△=（2k﹣3）2﹣4＞0，解得或，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q 假，则，∴；②若p假q 真，则，解得k≤0，综上可得k的取值范围为：（﹣∞，0]∪[，]点评：本题考查复合命题的真假，涉及不等式组的解法和分类争辩的思想，属基础题．18．（12分）在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点P（1，2cos2θ）在角α的终边上，点Q（sin2θ，﹣1）在角β的终边上，且．（1）求cos2θ；（2）求P，Q的坐标并求sin（α+β）的值．考点：两角和与差的正弦函数；平面对量数量积的运算；同角三角函数间的基本关系；二倍角的余弦．专题：计算题．分析：（1）利用向量数量积运算得出sin2θ﹣2cos2θ=﹣1，再利用二倍角余弦公式求出cos2θ．（2）由（1）可以求出P，Q的坐标，再利用任意角三角函数的定义求出α，β的正、余弦值．代入两角和的正弦公式计算．解答：解（1）=（1，2cos2θ），=（sin2θ，﹣1），∵，∴sin2θ﹣2cos2θ=﹣1，∴，∴．（2）由（1）得：，∴，∴∴，，由任意角三角函数的定义，，同样地求出，，∴点评：本题考查向量的数量积运算、任意角三角函数的定义、利用三角函数公式进行恒等变形以及求解运算力量．19．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc．（Ⅰ）若，求tanC的大小；（Ⅱ）若a=2，△ABC 的面积，且b＞c，求b，c．考点：余弦定理的应用．专题：综合题；解三角形．分析：（Ⅰ）由3（b2+c2）=3a2+2bc，利用余弦定理，可得cosA ，依据，即可求tanC的大小；（Ⅱ）利用面积及余弦定理，可得b、c的两个方程，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）∵3（b2+c2）=3a2+2bc，∴=∴cosA=，∴sinA=∵，∴∴∴∴tanC=；（Ⅱ）∵ABC 的面积，∴，∴bc=①∵a=2，∴由余弦定理可得4=b2+c2﹣2bc ×∴b2+c2=5②∵b＞c，∴联立①②可得b=，c=．点评：本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查同学的计算力量，属于中档题．20．（13分）定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=x3﹣2x+m．（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数争辩函数的单调性；利用导数争辩曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求切线方程，就是求k=f′（1），f（1），然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，转化为求最值问题．解答：解：（1）∵f（x）=x2+x∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，∴f′（1）=3，∴所求切线方程为y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=x3﹣2x+m﹣x2﹣x=x3﹣3x+m﹣x2∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0，当3＜x＜4时，h′（x）＞0，要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，而h（﹣1）=，h（4）=m ﹣，∵m+，∴，即m．点评：导数再函数应用中，求切线方程就是求某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题．21．（14分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．考点：三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角函数的定义求出φ的值，由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，可得函数的周期，从而可求ω，进而可求函数f（x）的解析式；（2）利用正弦函数的单调增区间，可求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x ）恒成立，等价于，由此可求实数m的取值范围．解答：解：（1）角φ的终边经过点，∴，…（2分）∵，∴．…（3分）由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，即，∴ω=3…..（5分）∴…（6分）（2）由，可得，…（8分）∴函数f（x ）的单调递增区间为k∈z…（9分）（3 ）当时，，…（11分）于是，2+f（x）＞0，∴mf（x）+2m≥f（x ）等价于…（12分）由，得的最大值为…（13分）∴实数m 的取值范围是．…（14分）点评：本题考查函数解析式的确定，考查三角函数的性质，考查分别参数法的运用，考查同学分析解决问题的力量，属于中档题．。

2021年高三数学十月联合考试试题文（含解析）新人教A版【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。

试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

全面考查了考试说明中要求的内容。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合22{|60}{|50}M x Z x x N x x=∈-+>=-<，则等于A． B． C． D．【知识点】交集及其运算. A1【答案解析】B 解析：由M中不等式变形得：x（x﹣6）＜0，解得：0＜x＜6，即M={1，2，3，4，5}；由N中不等式解得：﹣＜x＜，即N=（﹣，），则M∩N={1，2}．故选：B．【思路点拨】求出M中不等式的整数解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出M 与N的交集即可．【题文】2、的值为A． B． C． D．【知识点】运用诱导公式化简求值．C2【答案解析】C 解析：cos（）=cos（670+）=cos=cos（π+）=﹣cos=﹣，故选：C．【思路点拨】原式中角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【题文】3、已知“”是“函数在区间上只有一个零点”的充分不必要条件，则的取值范围是A． B． C． D．【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案解析】C 解析：对于函数f（x）=﹣x2﹣tx+3t，在区间（0，2）上只有一个零点时，只能△=t2+12t＞0，即t＜﹣12，或t＞0；此时，f（0）f（2）=3t（t﹣4）＜0，解得0＜t＜4；∵0＜t＜m（m＞0）是函数f（x）在（0，2）上只有一个零点的充分不必要条件；∴0＜m＜4．故选C．【思路点拨】先根据函数f（x）解析式求出该函数在（0，2）上存在零点时t的取值范围：0＜t＜4，所以由0＜t＜m（m＞0）是f（x）在（0，2）上存在一个零点的充分不必要条件，得到：0＜m＜4．【题文】4、已知为第三象限角，且，则的值为A． B． C． D．【知识点】两角和与差的正弦函数．C5【答案解析】B 解析：把sinα+cosα=2m两边平方可得1+sin2α=4m2，又sin2α=m2，∴3m2=1，解得m=，又α为第三象限角，∴m=，故选：B【思路点拨】把sinα+cosα=2m两边平方可得m的方程，解方程可得m，结合角的范围可得答案．【题文】5、已知定义在R上的奇函数，当时，，则等于A． B． C．1 D．【知识点】函数奇偶性的性质．B4【答案解析】D 解析：∵由f（x）是定义在R上的奇函数可得f（﹣x）=﹣f（x），∴f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣1．故选：D．【思路点拨】由f（x）是定义在R上的奇函数可得f（﹣）=﹣f（），由此可解得f（﹣）的值．【题文】6、已知非零向量，满足，且与的夹角为，则的取值范围是A． B． C． D．【知识点】平面向量数量积的运算．F3【答案解析】D 解析：根据题意，作；∴，且∠A=30°；过C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长度便是的最小值；在Rt△CDA中，CA=1，∠A=30°，∴CD=；∴的取值范围是[，+∞）．故选D．【思路点拨】在空间任取一点C，分别作，则，并且使∠A=30°．从而便构成一个三角形，从三角形中，便能求出的取值范围．【题文】7、设，则之间的大小关系是A． B． C． D．【知识点】对数的运算性质. B7【答案解析】C 解析：a=，b=log9，c=log8，∵=＜，．∴c＞a＞b．故选：C．【思路点拨】利用对数函数的单调性可得=＜，．即可得出．【题文】8、给出下列命题，其中错误的是A．在中，若，则B．在锐角中，C．把函数的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数的图象D．函数最小正周期为的充要条件是【知识点】命题的真假判断与应用．A2【答案解析】D 解析：对于A．在△ABC中，若A＞B，则a＞b，即由正弦定理有sinA＞sinB，故A正确；对于B．在锐角△ABC中，A+B＞，则A＞﹣B，由y=sinx在（0，）上递增，则sinA＞sin（﹣B）=cosB，故B正确；对于C．把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移个单位，可以得到函数y=sin2（x）=sin（2x）=cos2x的图象，故C正确；对于D．函数y=sinωx+cosωx（ω≠0）=2sin（ωx），最小正周期为π时，ω也可能为﹣2，故D错．故选D．【思路点拨】由正弦定理和三角形中大角对大边，即可判断A；由锐角三角形中，两锐角之和大于90°，运用正弦函数的单调性，即可判断B；运用图象的左右平移，只对自变量x 而言，再由诱导公式，即可判断C；由两角和的正弦公式化简，再由周期公式，即可判断D．【题文】9、已知，函数在处于直线相切，则在定义域内A．有极大值 B．有极小值 C．有极大值 D．有极小值【知识点】正切函数的图象. C3【答案解析】D 解析：由函数f（x）=tanx，可得f′（x）=．再根据函数f（x）=tanx在x=﹣处与直线y=ax+b+相切，可得a=f′（﹣）=2．再把切点（﹣，2）代入直线y=ax+b+，可得b=﹣1，∴g（x）=xlnx+1，g′（x）=lnx+1．令g′（x）=lnx+1=0，求得x=，在（0，）上，g′（x）＜0，在（，+∞）上，g′（x）＞0，故g（x）在其定义域（0，+∞）上存在最小值为g（）=2﹣，故选：D．【思路点拨】先求出f′（x）=，再由条件根据导数的几何意义可得a=f′（﹣）=2．再把切点（﹣，2）代入切线方程求得b，可得g（x）解析式．再根据g′（x）的符号，求出g （x）的单调区间，从而求得g（x）的极值．【题文】10、函数是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是A． B． C． D．【知识点】抽象函数及其应用．B9【答案解析】A 解析：由f（x+2）=f（x）可得函数f（x）的周期为2，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，又f（x）为偶函数，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣2x，由ax+a﹣f（x）=0得f（x）=ax+a，作出y=f（x）和y=ax+a的图象，要使方程ax+a﹣f （x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则由图象可得直线y=ax+a的斜率必须满足kAC ＜a＜kAB，由题意可得A（﹣1，0），B（1，2），C（3，2），则kAC==， kAB==1．即有＜a＜1．故选A．【思路点拨】由f（x+2）=f（x）可得函数f（x）的周期为2，当x∈[0，1]时，f（x）=2x，又f（x）为偶函数，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣2x，作出y=f（x）和y=ax+a的图象，要使方程ax+a﹣f（x）=0（a＞0）恰有三个不相等的实数根，则由图象可得有三个交点，即必须满足kAC＜a＜kAB，运用斜率公式即可．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答案卡中的横线上11、函数的定义域为【知识点】函数的定义域及其求法．B1【答案解析】解析：∵，∴．故答案为：．【思路点拨】根据对数的性质，二次根式的性质得不等式组，解出即可．【题文】12、化简的结果为【知识点】对数的运算性质．B7【答案解析】25 解析：原式=+lg5lg2+lg22﹣lg2=25+lg2（lg5+lg2）﹣lg2=25．【思路点拨】利用对数的运算法则、lg2+lg5=1即可得出．【题文】13、设为锐角，若，则【知识点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．C5【答案解析】解析：根据题意求得sin（α+）=，再根据sin（α﹣）=sin[（α+）﹣]，再利用两角差的正弦公式计算求得结果．【思路点拨】∵α为锐角，cos（）=为正数，∴α+是锐角，sin（α+）=，∴sin（α﹣）=sin[（α+）﹣]=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=﹣=，故答案为：．【题文】14、已知函数，设，若，则的取值范围是【知识点】函数的零点；函数的值域．菁B9【答案解析】解析：由函数，作出其图象如图，因为函数f（x）在[0，1）和[1，+∞）上都是单调函数，所以若满足a＞b≥0时f（a）=f（b），必有b∈[0，1），a∈[1，+∞），由图可知，使f（a）=f（b）的b∈[，1），f（a）∈[，2）．由不等式的可乘积性得：b•f（a）∈[，2）．故答案为[，2）．【思路点拨】首先作出分段函数的图象，因为给出的分段函数在每一个区间段内都是单调的，那么在a＞b≥0时，要使f（a）=f（b），必然有b∈[0，1），a∈[1，+∞），然后通过图象看出使f（a）=f（b）的b与f（a）的范围，则b•f（a）的取值范围可求．【题文】15、已知关于的方程有两个不等的负实数根；关于的方程的两个实数根，分别在区间与内（1）若是真命题，则实数的取值范围为（2）若是真命题，则实数的取值范围为【知识点】复合命题的真假．A2【答案解析】; 解析：（1）若p为真，则，解得：m＞2，若￢p是真命题，则p是假命题，故实数m的取值范围是：（﹣∞，2]；（2）对于q：设f（x）=4x2+4（m﹣2）x+1，由q为真可得，解得：﹣＜m＜﹣，若q为假，则m≤﹣或m≥﹣，∴若（￢p）∧（￢q）是真命题，则有m≤﹣或﹣m≤2，即m的范围是：（﹣∞，﹣]∪[﹣，2]；故答案为：（﹣∞，2]，（﹣∞，﹣]∪[﹣，2]．【思路点拨】（1））若p为真，求出m的范围，若￢p是真命题，则p是假命题，从而得出m的范围；（2）由q为真可得m的范围，若q为假，求出m的范围，若（￢p）∧（￢q）是真命题，从而求出m的范围．【题文】16、如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，点F在边CD上（1）若点F是CD的中点，则(2)若，则的值是【知识点】平面向量数量积的运算．菁优F3【答案解析】（1）3; (2) 解析：（1）=（）•（+）=（）•（）=++=×（2+4）+0=3；（2）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），E（，1），设F（x，2），则=（，0），=（x，2），由•=，x=，则x=1，即F（1，2），=（1﹣，2），=（，1），则•=（，1）•（1﹣，2）=（1﹣）+2=．故答案为：3，【思路点拨】（1）由向量的加法和数乘及数量积的性质，即可求出•；（2）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，写出A，B，C，D，E的坐标，设F（x，2），则=（，0），=（x，2），由条件即可得到x=1．F（1，2），再由向量的坐标公式和数量积的坐标表示，即可得到所求．【题文】17、在中，角的对边分别为，且，若的面积为，则的最小值为【知识点】正弦定理．C8【答案解析】12 解析：在△ABC中，由条件里用正弦定理可得2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin （B+C）+sinB，即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，∴cosC=﹣，C=．由于△ABC的面积为S=ab•sinC=ab=c，∴c=ab．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，整理可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，∴ab≥12，故答案为：12．【思路点拨】由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得cosC=﹣，C=．根据△ABC的面积为S=ab•sinC=c，求得c=ab．再由余弦定理化简可得a2b2=a2+b2+ab≥3ab，由此求得ab 的最小值．三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18、（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，满足．（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．【知识点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【答案解析】（1）C=．（2）=．解析：（1）△ABC中，由（a﹣b）（sinA﹣sinB）﹣csinC﹣asinB，利用正弦定理可得（a﹣b）（a﹣b）=c2﹣ab，即a2+b2﹣c2=ab．再利用余弦定理可得，cosC==，∴C=．（2）由（1）可得即 a2+b2﹣ab=7 ①，又△ABC的面积为 =，∴ab=6 ②．由①②可得 =．【思路点拨】（1）△ABC中，由条件利用正弦定理求得 a2+b2﹣c2=ab．再利用余弦定理求得cosC的值，可得C的值．（2）由（1）可得即 a2+b2﹣ab=7 ①，又△ABC的面积为=，可得ab=6 ②．由①②可得的值．【题文】19、（本小题满分12分）已知向量．（1）若，且，求的值（2）若，求在上的最大值和最小值．【知识点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．菁C7 F3【答案解析】（1）﹣；（2）最大值为﹣1，最小值为﹣﹣．解析：（1）∵向量=（sinx，cosx），=（cosx，﹣cosx），∴=sinxcosx﹣cos2x，=2cos2x，∵⊥（﹣），∴（）=0，即有=，∴sinxcosx=3cos2x，∵cosx≠0，∴sinx=3cosx，即tanx=3．∴sin2x+sin（+2x）=sin2x+cos2x====﹣；（2）f（x）=•=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣=（sin2x+cos2x）﹣=sin（2x﹣）﹣，由于x∈[﹣，0]，则2x﹣∈[﹣，﹣]．则有sin（2x﹣）∈[﹣1，﹣]，故f（x）∈[﹣﹣，﹣1]，则f（x）在[﹣，0]上的最大值为﹣1，最小值为﹣﹣．【思路点拨】（1）由⊥（﹣），得到（）=0，即有sinxcosx=3cos2x，由cosx≠0，即tanx=3．再由诱导公式和二倍角公式，将所求式子化为含正切的式子，代入即可得到；（2）化简f（x），运用二倍角公式，注意逆用，及两角差的正弦公式，再由x的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到最值．【题文】20、（本小题满分13分）xx世界园艺博览会在青岛举行，某展销商在此期间销售一种商品，根据市场调查，当每套商品售价为x元时，销售量可达到万套，供货商把该产品的供货价格分为来那个部分，其中固定价格为每套30元，浮动价格与销量（单位：万套）成反比，比例系数为，假设不计其它成本，即每套产品销售利润=售价-供货价格（1）若售价为50元时，展销商的总利润为180元，求售价100元时的销售总利润；（2）若，求销售这套商品总利润的函数，并求的最大值．【知识点】函数模型的选择与应用．菁B10【答案解析】（1）330（万元）;（2）f（x）=﹣0.1x2+18x﹣460，（0＜x＜150），当x=90时，f（x）取得最大值为350（万元）．解析：（1）售价为50元时，销量为15﹣0.1×50=10万套，此时每套供货价格为30+（元），则获得的总利润为10×（50﹣30﹣）=180，解得k=20，∴售价为100元时，销售总利润为；（15﹣0.1×1000（100﹣30﹣）=330（万元）．（2）由题意可知每套商品的定价x满足不等式组，即0＜x＜150，∴f（x）=[x﹣（30+）]×（15﹣0.1x）=﹣0.1x2+18x﹣460，（0＜x＜150），∴f′（x）=﹣0.2x+18，令f′（x）=0可得x=90，且当0＜x＜90时，f′（x）＞0，当90＜x＜150时，f′（x）＜0，∴当x=90时，f（x）取得最大值为350（万元）．【思路点拨】（1）由题意可得10×（50﹣30﹣）=180，解得k=20，即可求得结论；（2）由题意得f（x）=[x﹣（30+）]×（15﹣0.1x）=﹣0.1x2+18x﹣460，（0＜x＜150），利用导数判断函数的单调性即可求得最大值．【题文】21、（本小题满分14分）已知函数是定义在R上的奇函数．（1）若，求在上递增的充要条件；（2）若对任意的实数和正实数恒成立，求实数的取值范围．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B12【答案解析】（1）0＜m≤．（2）（﹣∞，0）∪（0，2]．解析：（1）∵函数f（x）=（m≠0）是定义在R上的奇函数．∴f（0）=0，即=0，∴n=0，∴f（x）=，显然f（﹣x）=﹣f（x）成立，故n=0时f（x）为R上的奇函数，∴f′（x）==，∵m＞0，∴﹣m＜0，由f′（x）＞0可得x2﹣2＜0，解得﹣＜x＜，即f（x）的递增区间是（﹣，），由题意只需（﹣m，m）⊆（﹣，），∴0＜m≤，∴f（x）在（﹣m，m）上递增的充要条件是0＜m≤．（2）设g（x）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣，∵f（x）≤sinθcosθ+cos2θ+﹣对任意的实数θ和正实数x恒成立，∴f（x）≤g（x）min恒成立，∵g（x）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣=sin2θ+﹣=sin2θ+cos2θ+=sin（2θ+）+，∴g（x）min=﹣+=，∴只需f（x）≤，即≤，∵x＞0，∴只需≤，即m≤（x+）恒成立，而（x+）≥×2=2，当且仅当x=时取得最小值2，∴m≤2，又m≠0，∴实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，2]．【思路点拨】（1）利用导数判断函数的单调性，由f′（x）＞0解得即可；（2）设g（x）=sinθc0sθ+cos2θ+﹣，由题意得只需f（x）≤g（x）min恒成立，利用三角变换求得g （x）的最小值，列出不等式解得即可．【题文】22、（本小题满分14分）已知为常数，在处的切线为．（1）求的单调区间；（2）若任意实数，使得对任意的上恒有成立，求实数的取值范围．【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．B12【答案解析】（1）f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间．（2）[，+∞）．解析：（1）f（x）=+nlnx定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣+，∴f′（1）=﹣+n=1，把x=1代入x+y﹣2=0可得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=﹣，∴f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣﹣，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间．（2）由（1）可知，f（x）在[，1]上单调递减，∴f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，∴只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即2a≥t2﹣t+对任意的t∈[，2]恒成立，令g（t）=t2﹣t+则g′（t）=2t﹣1﹣=，∵t∈[，2]，∴2t3﹣t2﹣1=（t﹣1）（2t2+t+1），∴在t∈[，1]上g（t）单调递减，在[1，2]上g（t）单调递增，又g（）=，g（2）=，∴g（t）在[，2]上的最大值是，∴只需2a≥，即a≥，∴实数a的取值范围是[，+∞）．【思路点拨】（1）利用导数的几何意义，求出函数的解析式，利用导数求函数的单调区间；（2）由（1）可知，f（x）在[，1]上单调递减，f（x）在[，1]上的最小值为f（1）=1，只需t3﹣t2﹣2at+2≤1，即2a≥t2﹣t+对任意的t∈[，2]恒成立，令g（t）=t2﹣t+，利用导数求得g（t）的最大值，列出不等式即可求得结论．A30543 774F 睏-32414 7E9E 纞 27949 6D2D 洭 30097 7591 疑S33307 821B 舛40004 9C44 鱄22229 56D5 囕。

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高三10月月度检测理科数学试题第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合A3，)2(log 2-a ,Ba ,ab ，若A B 1，则b 的值为（）3B 。

3 C .1 D.12.复数i i++12的共扼复数是（ ) A ．i 2123+- B ．i 2123-- C.i 2123- D ．i 2123+3。

已知a R ∈,则“01aa ≤-”是“指数函数x y a =在R 上为减函数”的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.下列命题中,正确的是（)A.23cos sin ,000=+∈∃x x R xB.命题“若a 0，则ab 0”的否命题是“若a 0，则ab 0C.函数x y 4sin =的图像向右平移32π个单位，得)324sin(π-=x y 的图像D.命题:“ x R ,x2x 10 ”的否定是“x 0R ，x 02x 010 ”5。

在ABC ∆中，点D 在BC 边上,且2=,s r +=，则s r += （ ） A ．32 B ． 0 C ．3- D ．346．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞上单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f a f +≤,则a 的取值范围是( )A ．[1，2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．（0,2］7. 在ABC ∆，若()()()C A C B B A +++=-sin cos 21sin ，则ABC ∆的形状一定是( ） A ．等边三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形 D ．不含060角的等腰三角形8.由2,1,===x xy x y 及x 轴所围成的平面图形的面积是( ）A ．12ln +B ．2ln 2-C ．212ln -D 。

山东省2021版数学高三上学期理数10月月考试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·腾冲模拟) 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分） (2019高一上·安庆期中) 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一下·上海月考) 已知函数，，则下列说法正确的是（）A . 与的定义域都是B . 为奇函数，为偶函数C . 的值域为，的值域为D . 与都不是周期函数4. （2分）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A . （﹣1，1）B . （﹣1，+∞）C . （﹣∞，﹣1）D . （﹣∞，+∞）5. （2分）若，则g(3)=（）A . -1B .C .D .6. （2分） (2016高三上·红桥期中) 以下说法正确的有（）（1）y=x+ （x∈R）最小值为2；（2）a2+b2≥2ab对a，b∈R恒成立；（3）a＞b＞0且c＞d＞0，则必有ac＞bd；（4）命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈R，使得x2+x+1≥0”；（5）实数x＞y是＜成立的充要条件；（6）设p，q为简单命题，若“p∨q”为假命题，则“￢p∨￢q”也为假命题．A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个7. （2分） (2019高一上·荆门期中) 下列各式中错误的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·佛山月考) 函数的图象可能是下面的图象（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高一上·南靖月考) 设函数是定义在上周期为的函数，且对任意的实数，恒，当时，．若在上有且仅有三个零点，则的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·茂名月考) 已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（）.A . 1B .C .D .11. （2分） (2019高二上·丽水月考) 将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则的最小值为（）A .B . 1C . 3D . 412. （2分） (2020高二下·宁波期中) 已知函数，的图象与x轴有3个公共点，求c 的范围（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2019高三上·安康月考) 若，则 ________.14. （1分） (2019高一上·上海月考) 若函数的值域为则实数的取值范围是________.15. （1分） (2019高二下·萨尔图期末) 某同学在研究函数时，给出下列结论：①对任意成立；②函数的值域是；③若，则一定有；④函数在上有三个零点．则正确结论的序号是________.三、双空题 (共1题；共1分)16. （1分） (2020高二下·宁波期末) 已知定义在上的函数的导函数为，且，，则关于的方程的解集为________.四、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）已知函数f（x）定义域为[﹣1，1]，若对于任意的x，y∈[﹣1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，有f（x）＞0．（1）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（2）判断并证明函数f（x）的单调性；（3）设f（1）=1，若f（x）＜m2﹣2am+1，对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．18. （10分）(2017·资阳模拟) 已知在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）点A，B分别在曲线C1 ， C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．19. （10分）(2018·吉林模拟) 已知函数．（1）若，求的取值范围；（2）若存在，使得成立，求的取值范围．20. （10分）(2020·安徽模拟) 在中，三内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，，且 .（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若的面积是，求的周长.21. （10分）(2017·东城模拟) 设函数f（x）=（x﹣a）•ex ，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，试求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）试求f（x）在[1，2]上的最大值；（Ⅲ）当a=1时，求证：对于∀x∈[﹣5，+∞），恒成立．22. （15分）(2017·焦作模拟) 已知函数f（x）=2x+ax2+bcosx在点处的切线方程为．（Ⅰ）求a，b的值，并讨论f（x）在上的增减性；（Ⅱ）若f（x1）=f（x2），且0＜x1＜x2＜π，求证：．（参考公式：）参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共3分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、双空题 (共1题；共1分)答案：16-1、考点：解析：四、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。

2021年高三10月月考数学文试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：∀x∈Z，2x∈A，则￢p（）∃x∈Z，2x∈A D．∃x∈Z，2x∉A A．∀x∈Z，2x∉A B．∀x∉Z，2x∈A C．2．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x|x=b﹣a，a∈A，b∈B}，则C中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．63．（xx•烟台一模）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）的值为（）A．B．﹣C．2D．﹣24．在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若，则△ABC为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形5．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠1）满足f（x）≤1，则函数y=log a（x+1）的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知，给出下列四个结论：①a＜b ②a+b＜ab ③|a|＞|b| ④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A．①②B．②④C．②③D．③④7．等差数列{a n}的前20项和为300，则a4+a6+a8+a13+a15+a17等于（）A．60 B．80 C．90 D．1208．（5分）已知函数（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣∞，1]C．[﹣1，0）D．（0，1]9．已知函数（ω＞0）的最小正周期为π，将函数y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值为（）A．B．C．D．10．已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0（其中f'（x）为f（x）的导数）．设a＝f(0)，b＝，c＝f(3)，则a、b、c三者的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．11．已知向量的模为，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为a2e e(a e)a e⊥-．12．（xx•广东模拟）计算÷=_________．13．若，则=_________．14．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{，则f（2x）＞0的解集为_________．15．给出下列命题：①若y=f（x）是奇函数，则y=|f（x）|的图象关于y轴对称；②若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）•f（x+4）=1，则8是函数f（x）的一个周期；③若log m3＜log n3＜0，则0＜m＜n＜1；④若f（x）=e|x﹣a|在[1，+∞）上是增函数，则a≤1．其中正确命题的序号是_________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤．16．（12分）已知全集U=R，集合A={}，B={x|}．（Ⅰ）求（∁U A）∪B；（Ⅱ）若集合C={x|x+m2≥}，命题p：x∈A，命题q：x∈C，且p命题是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．17．（12分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和单调区间；（Ⅱ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，c=2且sinB=3sinA，求△ABC的面积．18．（12分）如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值．19.20．（13分）已知公比为q的等比数列{a n}是递减数列，且满足（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和T n．21．（14分）已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．（I）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；（Ⅱ）当b=2﹣a，a＞0时，求F（x）的最大值；（Ⅲ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．一、选择题：1-5 DBACC，6-10 BCDAB二、填空题11．12．-2013．7 14．{x|x＜﹣1或x＞1}15．①②④16.解（Ⅰ）：A={}={}={y|≤y≤2}，B={x|}={x|1﹣|x|≥0}={x|﹣1≤x≤1}，∴∁U A={y|y＞2或y＜}，（∁U A）∪B={x|x≤1或x＞2}．（Ⅱ）∵命题p是命题q的充分条件，∴A⊆C，∵C={x|x≥﹣m2}，∴﹣m2≤，∴m2≥，∴m≥或m≤﹣∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．17．解：=2sinxcosx+sin2x﹣cos2x==．（I）∵2sin（2x﹣）≤2，∴函数f（x）的最大值为2．由﹣+2kπ≤≤+2kπ⇒﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈z．∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+⇒kπ+≤x≤kπ+，k∈z，∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．（II）∵，∴，又﹣＜＜，∴=，，∵sinB=3sinA，∴b=3a，∵c=2，4=a2+9a2﹣2×a×3a，∴a2=，∴S△ABC=absinC=×3a2sinC=×3××=．18．解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy=800，∴y=．即矩形区域ABCD的面积S=（3x+4）（y+2）=（3x+4）（+2）=800+6x++8≥808+2=968．当且仅当6x=，即x=时取“=”，∴矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米．20．解：由a1a2a3=，及等比数列性质得=，解得a2=，由a1+a2+a3=得a1+a3=由以上得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3，或q=．∵{a n}是递减数列，故q=3舍去，∴q=，由a2=，得a1=1．故数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*）．（II）由（I）知（2n﹣1）•a n=，∴T n=1+++…+①，T n=+++…++②．①﹣②得：T n=1++++…+﹣=1+2（+++…+）﹣=1+2•﹣=2﹣﹣，∴T n=3﹣．21．解：（I）f′（x）=，g'（x）=2x+b…（1分）由题知，即…（2分）解得a=﹣，b=﹣2．（Ⅱ）当b=2﹣a时，F（x）=alnx﹣[x2+（2﹣a）x]，∴F′（x）=﹣2x﹣（2﹣a）==，﹣﹣﹣﹣（6分）∵a＞0，∴＞0，又x＞0，x+1＞0，则由F′（x）=0，解得x=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）F（x）与F′（x）的变化情况如下表：x （0，）（，+∞）F′（x）+0 ﹣F（x）↗极大值↘∴F（x）max=F（）=aln﹣[]=aln+﹣a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）F（x）=f（x+1）﹣g（x）=alnx﹣（x2+bx），F′（x）=﹣2x﹣b由题知，即，即解得a=6，b=﹣1…（11分）∴F（x）=6lnx﹣（x2﹣x），F′（x）=﹣2x+1=，∵x＞0，由F'（x）＞0，解得0＜x＜2；由F'（x）＜0，解得x＞2∴F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，故F（x）至多有两个零点，其中x1∈（0，2），x2∈（2，+∞）…（12分）又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3﹣1）＞0，F（4）=6（ln4﹣2）＜0 ∴x0∈（3，4），故n=3 …（14分）36070 8CE6 賦z38218 954A 镊=20527 502F 倯40451 9E03 鸃30350 768E 皎29904 74D0 瓐&28033 6D81 涁34200 8598 薘31243 7A0B 程@。

2021年高三数学10月联考试题理(I)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将正确的答案填涂在答题卡上。

）1．已知集合，，若，则A．B． C．D．2．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．能够把圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是．．圆的“和谐函数”的是A． B．C． D．4．设等差数列的前项和为，若，则的值为A．27 B．36 C．45 D．545．=A． B． C． D．6．下列说法正确的是A．“若，则”的否命题是“若，则”B．为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C．，使成立D．“若，则”是真命题7．xx年初，甲､乙两外商在湖北各自兴办了一家大型独资企业．xx年初在经济指标对比时发现，这两家企业在xx年和xx年缴纳的地税均相同，其间每年缴纳的地税按各自的规律增长；企业甲年增长数相同，而企业乙年增长率相同．则xx年企业缴纳地税的情况是A．甲多 B．乙多 C．甲乙一样多 D．不能确定8．老师带甲乙丙丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考的好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中两人说对了．A．甲丙 B．乙丁 C．丙丁 D．乙丙9．已知的外接圆半径为1，圆心为O，且，则的面积为A． B． C． D．10．已知函数（）的图象关于直线对称，则A．B． C． D．11．已知函数是上的增函数．当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点的坐标为A．B． C． D．12．已知，函数，若关于的方程有6个解，则的取值范围为A． B． C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．是函数的极值点，则的值为．14．已知非零向量满足，则与的夹角．15．在中，，，则的最大角的余弦值为．16．定义表示实数中的较大的数．已知数列满足，若，记数列的前项和为，则的值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）如图中，已知点在边上，且，．（Ⅰ）求的长；（Ⅱ）求．18．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，是等比数列，且，，．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）数列满足，求数列的前项和．19．（本小题满分12分）如图，有一矩形钢板缺损了一角，边缘线上每一点到点的距离都等于它到边的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若，，为了方便，如图建立直角坐标系，问如何画切割线可使剩余部分五边形的面积最大？20．(本小题满分12分)各项为正数的数列的前n项和为，且满足：（Ⅰ）求；（Ⅱ）设函数，，，求数列的前项和．21．(本小题满分12分)已知函数，其中是自然对数的底数．（Ⅰ）若方程无实数根，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数是内的减函数，求实数的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，是的直径，与相切于，为线段上一点，连接、分别交于、两点，连接交于点．（Ⅰ）求证：四点共圆；（Ⅱ）若为的三等分点且靠近，，，求线段的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，求证：．龙泉中学 宜昌一中xx 届高三年级十月联考理科数学参考答案及评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B A D C D B D C A C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13． 14． 15． 16． 7254三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．解：（Ⅰ）因为，所以,所以． ····························· 2分 在中，由余弦定理可知，即, ······························· 4分 解之得或, 由于,所以． ······················ 6分 （Ⅱ）在中，由正弦定理可知，,又由可知 ··························· 8分 所以 ······························ 10分 因为，即 ····························· 12分18．解：（Ⅰ）设的公差为，的公比为，由，得，从而，因此， ·························· 3分 又，， ，故， ····························· 6分 （Ⅱ）令01221134373(35)3(32)3n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯… 则12313134373(35)3(32)3n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯… ······ 9分 两式相减得1217(67)321333333(32)322nn n n n T n ---=+⨯+⨯++⨯--⨯=--… ，故 ································ 12分19．解：由题知，边缘线是以点为焦点，直线为准线的抛物线的一部分．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，．边缘线所在抛物线的方程为．……………………………2分要使如图的五边形面积最大，则必有所在直线与抛物线相切，设切点为．则直线的方程为，即，由此可求得点的坐标分别为，． ……………………………………………………4分所以， ····························· 7分所以42222214881(121)(41()6464t t t t S t t t+--+'=⋅=） 显然函数在上是减函数，在上是增函数．……………………9分所以当时，取得最小值，五边形的面积最大． ·············· 10分 此时点的坐标分别为．此时沿直线划线可使五边形的面积最大． ················ 12分20．解：（Ⅰ）由 ①得， 当n ≥2时， ②；由①－②化简得：， ························ 2分又∵数列各项为正数，∴当时，，故数列成等差数列，公差为2，又，解得； ······························ 5分 （Ⅱ）由分段函数 可以得到：1321(6)(3)5,(8)(4)(2)(1)1c f f a c f f f f a ==========； ··· 7分当，时，1221(24)(22)(21)2(21)121n n n n n n c f f f ----=+=+=+=+-=+， ···· 9分 故当时，23151(21)(21)(21)n n T -=++++++++…………12分 最后结果写成不扣分21．解：（Ⅰ）由得，即，无负实根．故有．令，， ·························· 2分 由得，由得，在上单调递增，在上单调递减．，的值域为． ·························· 4分 要使得方程无实数根，则，即． ·················· 5分 （Ⅱ），由题设，知对恒成立．不妨取，有，而当时，，故． ························· 7分 ① 当，且时，．而当时，有，故．所以，所以在内单调递减， 故当时满足题意． ············· 9分 ② 当时，，且，即．令，则．(1)(1)()(1)(1)1t x t x t h x t t e t e t --⎡⎤'=--=--⎢⎥-⎣⎦． 当时，，此时，，则当时，，故在单增，与题设矛盾，不符合题意，舍去．所以，当时，函数是内的减函数． ·················· 12分22．解：（Ⅰ）连接，则，又因为，，所以所以，所以，所以四点共圆 ····················· 5分 （Ⅱ）因为，则，又为三等分，所以，，由于四点共圆，由割线定理得，与⊙相切于，由切割线定理得所以，则，故 ··························· 10分23．解：（Ⅰ）直线的普通方程为：； ·················· 2分 曲线的直角坐标方程为： ···················· 5分 （Ⅱ）设点，则2|35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=+-+=πθθθd 所以的取值范围是 ························· 10分24．解：（Ⅰ）由题意，原不等式等价为，令 ······························ 3分不等式的解集是 ························ 5分（Ⅱ）要证，只需证，只需证而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ， 从而原不等式成立． 10分 22401 5781 垁36966 9066 遦20446 4FDE 俞22316 572C 圬Ja 33756 83DC 菜m33394 8272 色24549 5FE5 忥39645 9ADD 髝{31608 7B78 筸。

2021年高三10月月考数学（理）试卷含解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则= ．2．设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=．3．某算法流程图如图所示，则输出k的值是．4．已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）= ．5．曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为．6．已知函数，则的值为．7．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是．8．求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程的解为．9．如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为．10．若函数，则函数y=f（f（x））的值域是．11．已知函数f（x）=（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是．12．设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．13．已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，xx）上零点的个数为．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（15分）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．16．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．17．（15分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．18．（15分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．19．（15分）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．20．（15分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．xx学年江苏省连云港市灌南县华侨双语学校高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（xx•江苏模拟）已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则=3﹣i．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：由z=（1+i）（2﹣i）=3+i，∴=3﹣i．故答案为：3﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．（xx•江苏三模）设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=[1，2）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合M中不等式x2+x﹣6＜0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，∴M=（﹣3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2）．故答案为：[1，2）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（xx•江苏模拟）某算法流程图如图所示，则输出k的值是5．【考点】程序框图．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；k=1，S=10﹣1=9；k=2，S=9﹣2=7；k=3，S=7﹣3=4；k=4，S=4﹣4=0；S≤0，输出k=4+1=5．故答案为：5．【点评】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．4．（xx•江苏四模）已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得tanα，代入两角和的正切公式可得．【解答】解：∵α是第二象限角sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan（α+）==．故答案为：【点评】本题考查两角和的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．5．（xx秋•仪征市期末）曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．【解答】解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．【点评】本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．6．（xx•盐城三模）已知函数，则的值为．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．【解答】解：因为f（x）==，所以f（）=．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．7．（xx•江苏模拟）对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是[﹣4，5] ．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；不等式．【分析】θ∈（0，），可得+=（sin2θ+cos2θ）=5+，利用基本不等式的性质即可得出最小值．根据对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得|2x﹣1|≤，即可得出．【解答】解：∵θ∈（0，），∴+=（sin2θ+cos2θ）=5+≥=9，当且仅当tanθ=时取等号．∵对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴|2x﹣1|≤=9，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5．∴实数x的取值范围是[﹣4，5]．故答案为：[﹣4，5]．【点评】本题考查了基本不等式的性质、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（xx春•姜堰市期中）求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程的解为﹣1或1．【考点】类比推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】类比求求“方程3x+4x=5x的解”的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x=，解之即得方程的解．【解答】解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R 上单调递增，∵，∴x=，解之得，x=﹣1或1．故答案为：﹣1或1．【点评】本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．9．（xx•江苏模拟）如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为72．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由三角形的重心的向量表示，可得=﹣（+），由向量的三角形法则，代入向量OC，再由向量垂直的条件和勾股定理，计算即可得到所求值．【解答】解：连接CO延长交AB于M，则由O为重心，则M为中点，且=﹣2=﹣2×（+）=﹣（+），由OA⊥OB，AB=6，则=0，+==36．则•=（﹣）•（﹣）=（2+）（2+）=5+2（+）=0+2×36=72．故答案为：72．【点评】本题考查三角形重心的向量表示，考查向量垂直的条件，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．10．（2011•江苏二模）若函数，则函数y=f（f（x））的值域是．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的值域．【专题】计算题；分类讨论．【分析】讨论x的正负，代入相应的解析式，然后求出函数f（x）的值域，再代入相应的解析式，求出y=f（f（x））的值域，即可求出所求．【解答】解：设x＜0，则f（x）=2x∈（0，1）∴y=f（f（x））=f（2x）当x∈（0，1）时f（x）=﹣2﹣x∈（﹣1，﹣）设x＞0，则f（x）=﹣2﹣x∈（﹣1，0）∴y=f（f（x））=f（﹣2﹣x）当x∈（﹣1，0）时f（x）=2x∈（，1）综上所述：y=f（f（x））的值域是故答案为：【点评】本题主要考查了指数函数的值域，以及复合函数的值域问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．11．（xx•徐州三模）已知函数f（x）=（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是（0，）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】分别讨论a的取值范围，利用参数分离法，结合导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：当a=0时，f（x）==＞0，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＜0时，f（x）=＞0，此时函数f（x）单调递减，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＞0时，由f（x）≥0得，当x＜0，＞0，，此时（x）=＞0，则f（x）≥0的解集为（﹣∞，0），不满足条件，当x＞0时，不等式等价为a，设g（x）=，则g，当x＞1时，g′（x）＜0，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，即当x=1时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（1）=，∴若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则必有a，即0＜a，故答案为：（0，）【点评】本题主要考查导数的综合应用，考查分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．12．（xx•徐州模拟）设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为﹣1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．【解答】解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为，函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为，由题设有k1•k2=﹣1从而有∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3∵得到x02﹣x0﹣2≠0，所以，又a′=，另导数大于0得1＜x0＜5，故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为=；x0=1时取得最小值为1．∴故答案为：【点评】此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．13．（xx•崇川区校级一模）已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf （x）﹣3在区间（1，xx）上零点的个数为11．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得．【解答】解：令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=时取得最大值1，而y=在x=时也有y=1；当x∈[2，22）时，f（x）=f（），在x=3处函数f（x）取得最大值，而y=在x=3时也有y=；当x∈[22，23）时，f（x）=f（），在x=6处函数f（x）取得最大值，而y=在x=6时也有y=；…，当x∈[210，211）时，f（x）=f（），在x=1536处函数f（x）取得最大值，而y=在x=1536时也有y=；综合以上分析，将区间（1，xx）分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点．故答案为：11．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系及函数的交点的应用，属于基础题．14．（xx•泰州二模）若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是[，1] ．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；三角函数的求值．【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即，令，则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ，∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0．∵α≤t，∴，即．令，则f′（t）==，令f′（t）=0，则sinβ=0．∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=．∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ．∴即．令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=．则实数t的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换应用，考查了导数的综合运用，计算量大，具有一定的难度，是难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（15分）（xx•河南校级二模）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f（x）=2cos（x+）+，由可得，cos（θ+）=，结合已知可求θ的值；（2）由（1）知由已知面积可得，从而有由余弦定理得可得a2+b2=再由正弦定理得可求．【解答】解：（1）==．（3分）由得于是（k∈Z）因为所以（7分）（2）因为C∈（0，π），由（1）知．（9分）因为△ABC的面积为，所以，于是．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．由余弦定理得，所以a2+b2=7．②由①②可得或于是．（12分）由正弦定理得，所以．（14分）【点评】（1）考查了二倍角公式的变形形式的应用，辅助角公式可以把函数化为一个角的三角函数，进而可以研究三角函数的性（2）考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式的综合运用．16．（15分）（xx秋•徐州期中）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数在闭区间上的最值．【专题】计算题．【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可以得出，ax2﹣bx+1=0的解是x1=，x2=，由根系关系即可求得实数a，b的值；（1）将已知中函数f（x）化为顶点式的形式，再结合函数f（x）的最小值为﹣1，易得一个关于a的方程，解方程即可求出答案．【解答】解：（1）不等式ax2﹣bx+1＞0的解集是（，），故方程ax2﹣bx+1=0的两根是x1=，x2=，所以=x1x2=，=x1+x2=，所以a=12，b=7．（2）∵b=a+2，∴f（x）=ax2﹣（a+2）x+1=a（x﹣）2﹣+1，对称轴x==+，当a≥2时，x==+∈（，1]，∴f（x）min=f（）=1﹣=﹣1，∴a=2；当a=1时，x==+=，∴f（x）min=f（1）=﹣1成立．综上可得：a=1或a=2．【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，其中熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（15分）（xx•信阳一模）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】应用题；三角函数的图像与性质．【分析】（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，=MN•AQ可求进而可求MN，AQ，代入S△PMN（2）设∠MOQ=θ，由θ∈[0，]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次入三角形的面积公式S△PMN函数的最值求解【解答】解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）=MN•AQ=××（1+）=…（6分）S△PMN（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）∴S△PMN=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）令sinθ+cosθ=t∈[1，]，=（t+1+）∴S△PMNθ=，当t=，的最大值为．…..…（14分）∴S△PMN【点评】本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键18．（15分）（2011•新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．19．（15分）（2011•江苏二模）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）第一次复习后的存留量是y2，不复习时的存留量为y1，复习后与不复习的存留量差是y=y2﹣y1；把a、t代入，整理即得所求；（2）求出知识留存量函数y=+﹣（t＞4，且t、a是常数，x是自变量），y取最大值时对应的t、a取值范围即可．【解答】解：（1）设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，由题意，第一次复习后的存留量是，不复习的存留量为；∴；当a=﹣1，t=5时，=≤=，当且仅当x=14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天．（2）知识留存量函数=≤，当且仅当时取等号，由题意，所以﹣4＜a＜0．【点评】本题考查了含有字母参数的函数类型的应用，题目中应用基本不等式a+b≥2（a ＞0，b＞0）求出最值，有难度，是综合题．20．（15分）（xx•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣）＜0，∴b＞0且+b＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．28094 6DBE 涾37302 91B6 醶39449 9A19 騙E21759 54FF 哿20781 512D 儭31582 7B5E 筞31135 799F 禟Q29265 7251 牑35431 8A67 詧32475 7EDB 绛。

2021届高三（上）10月月考数学（文史类）本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页；答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|2A x x x =+-<0，集合{}12>=xx B ，则集合A B =（ ）A ．{}|1x x <B ．{}|2x x >-C ．{}1|0x x <<D ．{}|21x x -<<2．设,a b ∈R ，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>3．设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，则ab 的值为（ ）A ．-6B ．-5C ．6D ．54．下列函数中，为偶函数的是（ ） A ．()21y x =+ B ．)2cos(π-=x yC ．sin y x =D ．()()lg 1lg 1y x x =++-5．命题0:p x R ∃∈，20010x x ++<；命题q ：4sin 4sin ),2,0(≥+∈∀xx x π；则下列是真命题的（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨C ．qD ．p ⌝6．已知向量()2,1a =-，()6,b x =，且//a b ，则2a b -=（ ）A ．5B ．25C ．4D ．57．设3log 2a =，3log 9=b ，23c =，则（ ） A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c a b <<8．已知函数()2f x x ax =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20182019B ．20192020 C ．20202021D ．202120229．函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向右平移6π个单位后得到函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．在22ππ⎛⎫⎪⎝⎭-,上单调递增 C ．关于直线3x π=对称D ．在6x π=处取最大值10．如图，某景区欲在两山顶A ，C 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高()3km AB =，()33km CD =，在水平面上E 处测得山顶A 的仰角为30°，山顶C 的仰角为45°，150BED ∠=︒，则两山顶A 、C 之间的距离为（ ） A ．()63km B ．()53km C ．()13kmD ．()66km11.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，3BC BE =，DC DF λ=，若1AE AF ⋅=，则λ的值为( )A ．3B ．23 C ．52D ．2 12．已知函数()ln ,111,14x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，()g x ax =则方程()()g x f x =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,e 4⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省2021版数学高三上学期理数10月月考试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·武汉期中) 已知集合，，则（）A .B .C . 或D .2. （2分）复数（）A . 1B . -1C . iD . -i3. （2分） (2019高二上·黑龙江期末) 设，则“ ”是的（）A . 必要而不充分条件B . 充分而不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2019高一上·湖南月考) 在中，，，，若使绕直线旋转一周，所形成的几何体的体积是（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高一上·平遥月考) 下列说法中，正确的有（）①函数y＝的定义域为{x|x≥1}；②函数y＝x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数；③函数f(x)＝x3＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝－2；④已知f(x)是R上的增函数，若a＋b>0，则有f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分）关于的方程有一个根为1，则此三角形为（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形7. （2分） (2019高三上·牡丹江月考) 已知点为外接圆的圆心，角，，所对的边分别为，，，且，若，则当角取到最大值时的面积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·分宜月考) 已知的前项和为 ,且成等差数列,,数列的前n项和为 ,则满足的最小正整数n的值为（）A . 8B . 9C . 10D . 119. （2分） (2019高三上·泸县月考) 已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是最小正周期为2的偶函数，且当时，，若函数有3个零点，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分）已知直线经过圆的圆心，则的最小值是（）A . 9B . 8C . 4D . 211. （2分） (2019高一下·宁波期末) 在直角梯形中，，，，，，则梯形绕着旋转而成的几何体的体积为（）A .B .C .D .12. （2分）函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·宜昌月考) 计算： ________.14. （1分） (2019高三上·上海月考) 若是上单调函数，且对任意都有，则 ________15. （1分）(2018·南充模拟) 在数列中，若( ，，为常数)，则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；② 是等方差数列；③若是等方差数列，则( ，为常数)也是等方差数列.其中正确命题序号为________(写出所有正确命题的序号).16. （1分） (2019高一上·荆门期中) 已知，则________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2019高一下·杭州期中) 已知的面积为S，且，（1）当时，求的值；（2）当，边的长为2时，求的周长的最大值．18. （10分） (2015高一下·西宁期中) 设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1﹣c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn ．19. （10分）(2018·西安模拟) 已知函数， .（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.20. （10分）(2020·新课标Ⅱ·文) 如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN= ，求四棱锥B–EB1C1F的体积．21. （10分） (2019高二下·南宁期末) 已知函数为实数）．（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立，求的范围；22. （10分） (2018高三上·会宁月考) 已知直线l的参数方程是（是参数），圆C的极坐标方程为．（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．23. （10分） (2020高一上·池州期中) 已知关于x的不等式，其中．（1）当k变化时，试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，若满足（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少时k的所有取值；若不能，请说明理由参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：。

山东新高考2021届高三模拟测试卷数学（中学联盟）试卷本试卷共22题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若2zii=-+,则z=A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i2.已知集合A={x|x2-3x+a=0},B={-2,2},若A∩B={2},则A∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62x⎛⎝的展开式的常数项为A.-120B.-60C.120D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答.若这些志愿者的某免疫反应蛋白M的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布N(15,σ2),且X在区间(10,20)内的人数占总人数的1925,则这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.1405.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,过点F的直线交C于A,B两点,则AB的中点M到C的准线l 的距离的最小值为A.2B.4C.5D.66.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1-m2= 2.5(lg E2-lg E1),其中星等为m i的星星的亮度为E i(i=1,2).已知“角宿一”的星等是0.97,“水委一”的星等是0.47.“水委一”的亮度是“角宿一”亮度的r倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,10x≈1+2.3x+2.7x2)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.597.已知圆C:(x-3)2+(y+3)2=9,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C到直线l的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为 A .4B . 25C .23D . 278.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是梯形,AB ∥CD ,∠BCD=23π,AB=4,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为 A .16π B .18π C .20π D .24π 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知曲线C : 22221x y a b+=.A .若C 是双曲线,则ab<0B .若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3ba=- C .若ab>0,则C 是椭圆 D .若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知f (x )=A cos(ωx+φ)+B (A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,M 、N 分别为最高点、最低点,则 A .A=7 B .B=29 C .4πϕ=D . 12πω=11.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n,在a 1和a 2之间插入1个数x 11,使a 1,x 11,a 2成等差数列;在a 2和a 3之间插入2个数x 21,x 22,使a 2,x 21,x 22,a 3成等差数列;…;在a n 和a n+1之间插入n 个数x n 1,x n 2,…,x nn ,使a n ,x n 1,x n 2,…,x nn ,a n+1成等差数列.这样得到新数列{b n }:a 1,x 11,a 2,x 21,x 22,a 3,x 31,x 32,x 33,a 4,…,记数列{b n }的前n 项和为S n ,则A .x 11=3B .x n 1+x n 2+…+x nn =3n ·2nC .a 8=b 36D .S 10=8112.如图,平面α∩平面β=直线l ,点A ,C ∈α,点B ,D ∈β,且A 、B 、C 、D ∉l ,点M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点.A .当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B .当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C .当A 、B 、C 、D 四点共面且AC ∥l 时,BD ∥l D .当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.若向量a=(1,2),b-a=(-2,1),则a ·b= . 14.若函数f (x )=-12x 2+7x+a ln x 在x=2处取极值,则a= ,f (x )的极大值为 .15.已知正实数a ,b 满足a 2+4b 2=3,则112a b+的最小值为 .16.如图,在△ABC 中,∠BAC=3π,AB=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B 到达B'的位置,且平面AB'D ⊥平面ACD.当CD= 时,B'C 的长度取到最小值.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)在①a 3=10,②S 2=9,③b<-3这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.设S n 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足 , 2n a +3a n =6S n +b ,是否存在实数b ,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由. (注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分) 18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况.普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员.普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名、公民身份证号码、性别、年龄、民族、受教育程度、行业、职业、迁移流动、婚姻生育、死亡、住房情况等.普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报.某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失.普查员使用手机上门入户登记 通过互联网自主填报年龄不超过40岁 10 a 年龄超过40岁 b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a ,b 的值.(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:K 2=()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -++++,其中n=a+b+c+d.P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知8sin 22B C+-7=2cos 2A. (1)求A ;(2)若7b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ACB=90°,AC=BC ,AB=AA 1,D 、E 分别是CC 1、BB 1的中点.(1)证明:C 1E ⊥平面ACB 1.(2)求二面角C-AB 1-D 的余弦值.21.(本小题满分12分)已知椭圆C : 22221x y a b+= (a>b>0)的左焦点为F 1(-2,0),过点F 1且斜率不为0的直线l 交椭圆C于A ,B 两点,l 交y 轴于点M ,且2ab=. (1)求椭圆C 的标准方程.(2)若11,MA AF MB BF λμ==,证明:λ+μ为定值.22.(本小题满分12分) 已知函数()ln af x x x=(1)若函数f (x )的图象在x=e(e 是自然对数的底数)处的切线方程为20ey ex b -=，求实数a ,b 的值;(2)若函数f (x )有两个零点,求实数a 的取值范围.参考答案1.B本题考查复数的运算.依题意,z=-i(2+i)=1-2i.2.A本题考查集合的交集与并集.因为A∩B={2},所以2∈A,则22-3×2+a=0,解得a=2,所以A={1,2},A∪B={-2,1,2}.3.D本题考查二项式定理.(-)6的展开式的通项为T r+1=()6-r(-)r=(-1)r·26-r·,令-6=0,得r=4.故(-)6的展开式的常数项为(-1)4×22=60.4.B本题考查正态分布的应用.因为X~N(15,σ2),又P(X≤10)+P(X≥20)=1-P(10<X<20)=1-=,所以P(X≤10)=P(X≥20)=×=,所以这些志愿者中免疫反应蛋白M的数值X不低于20的人数大约为500×=60.5.B本题考查直线与抛物线.由抛物线的对称性可知,当AB⊥x轴时,点M到C的准线l的距离最小,且最小值为p=4.6.B本题考查天文学中的估算.设“角宿一”的星等是m1,“水委一”的星等是m2,“角宿一”的亮度是E1,“水委一”的亮度是E2,则m1=0.97, m2=0.47,E2=rE1,∵两颗星的星等与亮度满足m1-m2= 2.5(lg E2-lg E1),∴0.97-0.47= 2.5(lg rE1-lg E1),即lg r=0.2,∴r=100.2≈1+2.3×0.2+2.7×(0.2)2=1+0.46+0.108=1.568,∴与r最接近的是1.57.7.A本题考查直线过定点问题及圆的弦长问题.圆C:(x-3)2+(y+3)2=9的圆心坐标为C(3,-3),半径为3.由直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,得m(x-y-3)+x+2y=0,联立,解得,所以直线l过定点P(2,-1).又点P(2,-1)在圆C内部,则当直线l与线段PC垂直时,圆心C到直线l的距离最大,此时|PC|==,直线l被圆C所截得的弦长为2=4.【解题技巧】对于含参的直线问题可将参数提出来,利用0乘任何数加0等于0这一性质,得到二元一次方程组,解方程组可得到含参数的直线所过定点的坐标.对于过圆内定点P的直线l,当圆心C与定点P的连线与直线l不垂直时,圆心C到直线l的距离小于|PC|;当直线l与线段PC 垂直时,圆心C到直线l的距离等于|PC|.因此圆心C到直线l的距离的最大值为|PC|.8.C本题考查四棱锥的外接球.因为AB∥CD,∠BCD=,所以∠ABC=.取AB的中点M,连接MC,MD,易得MC=MD=2,所以梯形ABCD的外接圆的圆心为M.过点M作MN∥PD(N与P位于平面ABCD的同侧),使得MN=PD,取MN的中点O,易得OP=OD,故O为四棱锥P-ABCD的外接球的球心.因为OD==,所以四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为4π×()2=20π.9.AB本题考查双曲线与椭圆的概念.若曲线C是双曲线,则ab<0,故A项正确;若C是离心率为2的双曲线,当a>0时,b<0,则22=1+,=-3,故B项正确;当a<0,b<0时,ab>0,曲线C不是椭圆,故C项错误;若C是离心率为的椭圆,当a>b>0时,则()2=,=;当b>a>0时,()2=,=,故D项错误.10.ABD本题考查三角函数的图象.由图可知=15-3=12,T=24,ω==.由最大值为36,最小值为22,可知A==7,B==29,故f(x)=7cos(+φ)+29.将点(15,36)代入可得7cos(+φ)+29=36,cos(+φ)=1,∵0<φ<π,∴φ=,f(x)=7cos(+)+29.11.ACD本题考查数列的综合应用.对于A,x11==3,A项正确;对于B,x n1+x n2+…+x nn===3n·2n-1,B项错误;对于C,a8在数列{b n}中是第8+1+2+…+7=36项,所以a8=b36,C项正确;对于D,S10=(a1+a2+a3+a4)+(x11+x21+x22+x31+x32+x33)=(2+22+23+24)+3(1×20+2×21+3×22)=30+3(1+4+12)=81,D项正确.【思路点拨】解决本题首先要了解数列{b n}的构造方法,并能计算出数列{b n}的项与{a n}的项的关系,通过借助数列{a n}的通项公式与等差数列、等比数列的求和公式对四个选项依次进行判断.12.ACD本题考查空间中点、线、面的位置关系.对于A,设AC∩BD=P,因为P∈AC⊂α,P∈BD⊂β,所以P∈α∩β=l,A项正确;对于B,当AB、CD是异面直线时,假设MN∥l,则MN∥平面β,连接BC,取BC的中点H,连接MH、NH,因为M、N分别为AB、CD的中点,所以MH∥AC,所以平面MNH ∥平面α,同理可得平面MNH∥平面β,所以平面α∥平面β,与已知矛盾,故假设不成立,所以MN不可能与l平行,B项错误;对于C,当A、B、C、D四点共面且AC∥l时,可得l∥平面ABCD,过l的平面β与平面ABCD相交于BD,所以BD∥l,C项正确;对于D,若M、N两点重合,则AC∥BD,故AC∥l,此时直线AC与直线l不可能相交,故D项正确.13.5本题考查平面向量的坐标运算及数量积.由a=(1,2),b-a=(-2,1),可得b=(-1,3),所以a·b=-1+6=5.14.-10-10ln 5本题考查函数的极值.f'(x)=-x+7+(x>0),由题可知f'(2)=-2+7+=0,解得a=-10,f'(x)=-x+7-=-,所以f(x)在(0,2),(5,+∞)上单调递减,f(x)在(2,5)上单调递增,故f(x)的极大值为f(5)=-+35-10ln 5=-10ln 5.15.本题考查均值不等式.因为3=a2+4b2≥4ab,即ab≤,所以+≥2=·≥,上述两个不等式均是当且仅当a=2b=时取等号,所以+的最小值为.16.本题考查空间中的线段长度的计算与解三角形的综合应用.设∠BAD=α,α∈(0,),作BE⊥AD交AD或AD的延长线于E点,作CF⊥AD交AD或AD的延长线于F点,则∠ACF=.∵BE=3sin=,AE=3cos=,CF=2cos =1,AF=2sin =,∴EF=.∵B'C2=BE2+CF2+EF2=()2+()2+1=4,∴即α=时,B'C的长度取得最小值,此时AD平分∠BAC.在△ABC中,BC2=32+22-2×3×2×cos=7,BC=,由角平分线定理得=,即=,∴CD=BC=.17.解:本题考查数列递推关系与通项公式.因为+3a n=6S n+b,所以+3a n+1=6S n+1+b,两式相减,得3(a n+1+a n)=-=(a n+1+a n)(a n+1-a n),即(a n+1-a n-3)(a n+1+a n)=0,又a n+1+a n>0,所以a n+1-a n=3. .......................... 4分若选择①,因为a3=10,且a3-a1=2×3,所以a1=4.由+3a n=6S n+b,得+3a1=6a1+b,即b=-3a1,把a1=4代入上式,得b=4.当b=4时,由-3a1-4=0及a1>0,得a1=4.所以存在实数b=4,使得数列是以4为首项,以3为公差的等差数列,数列的通项公式为a n=4+3(n-1)=3n+1. .................. 10分若选择②,由a n+1-a n=3,得a2-a1=3,又已知S2=a1+a2=9,所以a1=3,a2=6.由+3a n=6S n+b,得+3a1=6a1+b,b=-3a1,所以b=32-3×3=0.当b=0时,由-3a1=0及a1>0,得a1=3,由+3a2=6S2,a1=3及a2>0,得a2=6,所以a1=3和a2=6满足a n+1-a n=3.所以存在实数b=0,使得数列是以3为首项,以3为公差的等差数列,数列的通项公式为a n=3+3(n-1)=3n............................. 10分若选择③,由+3a n=6S n+b,得+3a1=6a1+b,即-3a1-b=0.因为已知数列的各项均为正数,所以a1>0.因为关于a1的一元二次方程-3a1-b=0至少存在一个正实数解的充要条件是Δ=9+4b≥0,解得b ≥-,这与已知条件b<-3矛盾,所以不存在实数b使得数列是等差数列...... 10分(注:若x2-3x-b=0存在两个实数解分别为x1,x2,则x1+x2=3,x1x2=-b.当b>0时,x2-3x-b=0的解一正一负;当b=0时,x2-3x-b=0的解一正一零;当-≤b<0时,x2-3x-b=0的解均为正.所以当且仅当Δ=9+4b≥0时,方程x2-3x-b=0至少存在一个正实数解.)18.解:本题考查独立性检验.(1)由题知-=,a+b+25=100,解得a=45,b=30. ........................ 5分(2)由(1)可得如下2×2列联表:普查员使用手机上门入户通过互联网自主填报合计登记年龄不超过40岁10 45 55年龄超过40岁30 15 45 合计40 60 100K2==≈24.24>6.635,所以有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关. ........................... 12分19.解:本题考查解三角形.(1)8sin2-7=2cos 2A,即4[1-cos(B+C)]-7=2(2cos2A-1),化简得4cos2A-4cos A+1=0,解得cos A=,所以A=........................... 6分(2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A,即7=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=25-3bc,解得bc=6,则△ABC的面积为bc sin A=×6×=.记BC边上的高为h,因为S=ah=,所以h==.......................................... 12分20.解:本题考查线面垂直与二面角.(1)∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC,∵CC1⊥平面ABC,∴AC⊥CC1,∵CC1∩BC=C,∴AC⊥平面BCC1B1.∵C1E⊂平面BCC1B1,∴AC⊥C1E.∵AB=BC=BB1,∴==,∴∠EC1B1=∠CB1B,∠EC1B1+∠C1B1C=∠CB1B+∠C1B1C=90°,∴B1C⊥C1E.又∵B1C⊂平面ACB1,AC⊂平面ACB1,B1C∩AC=C,∴C1E⊥平面ACB1........................................................ 6分(2)不妨设AC=BC=,则AB=BB1=2.如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则C1(0,0,2),D(0,0,1),A(,0,0),B1(0,,2),E(0,,1),=(0,,1),=(,0,-1).设n=(x,y,z)为平面ADB1的一个法向量,则,令z=,得x=1,y=-1,n=(1,-1,).由(1)知=(0,,-1)为平面ACB1的一个法向量,设二面角C-AB1-D的平面角为θ,由图知θ∈(0,),∴cos θ===,∴二面角C-AB1-D的余弦值为. ......................................... 12分21.解:本题考查椭圆的方程与定值问题.(1)因为F1(-2,0),所以c=2,c2=a2-b2=2b2-b2=b2=4.因为a2=b2+c2=8,所以椭圆C的标准方程为+=1............................. 4分(2)由题知直线l的斜率存在且不为0,设其为k(k≠0),则l:y=kx+2k.令x=0,得y=2k,所以M(0,2k).又l:x=-2,联立,可得(1+2k2)y2-4ky-4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理知y1+y2=,y1y2=,由=λ⇒y1-2k=-λy1,由=μ⇒y2-2k=-μy2,λ+μ=+=2k(+)-2=2k·-2=2k·-2=-4.故λ+μ为定值-4...................................................... 12分22.解:本题考查导数的几何意义与函数的零点.(1)因为f'(x)=+,所以f'(e)=+==-,解得a=,f(x)=+,f(e)=2,所以函数f(x)的图象在x=e处的切线方程为y-2=-(x-e),化简得2e y=-x+5e,所以b=5e. .......................................................... 5分(2)由f(x)=0得a=-ln x,令g(x)=-ln x,x>0,g'(x)=--=-.由g'(x)=0,得x=e-2,所以g(x)在(0,e-2)上单调递增,g(x)在(e-2,+∞)上单调递减,所以当x=e-2时,g(x)取最大值,g(e-2)=2e-1,且当x∈(0,1)时,g(x)=-ln x>0,当x>1时,g(x)=-ln x<0.故当函数f(x)有两个零点时,a∈(0,2e-1).................................. 12分。