高三数学10月联考试题文.doc

2024—2025学年度上学期高三10月联合教学质量检测高三数学试卷本试卷共5页 满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+，若{}15A B x x ⋃=<<，则a =（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，再根据并集得出参数的值.【详解】因为()1,3A =,()1,5A B ⋃=，又因为(),3B a a =+，所以35,a +=即a =2.故选：C.2. 如图，在ABC V 中，点D 是BC 边的中点，3AD GD = ，则用向量AB ，AC表示BG 为（ ）A. 2133BG AB AC=-+u u u u r uu r u u u r B. 1233BG AB AC=-+u u u r u uu r u u u r C. 2133BG AB AC=-u u u r u u u r u u u r D. 2133BG AB AC=+u u u r u u u r u u u r【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】3AD GD =，故23AG AD = ，则()2212133233B C G BA BA BA AG AD AB A AB AC =+=+=+⨯+=-+.故选：A3. 在等比数列{}n a 中，记其前n 项和为n S ，已知3212a a a =-+，则84S S 的值为（ ）A. 2 B. 17 C. 2或8D. 2或17【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列通项公式求得1q =或2q =-，再利用等比数的求和公式求解即可.【详解】解：由等比数列的通项公式可得21112a q a q a =-+，整理得220q q +-=，解得1q =或2q =-．当q =1时，1841824S a S a ==；当2q =-时，()()814844184111117111a q S q q q S q a q q ---====-+--．所以84S S 的值为2或17．故选：D ．4. 每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为20%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）A. 5% B. 10%C. 15%D. 45%【答案】B 【解析】【分析】根据概率公式直接得出结论.【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为25%20%35%10%+-=.故选:B5. 若直线:3l y kx k =+-与曲线:C y =恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 4,+3∞⎛⎫⎪⎝⎭B. 43,32⎛⎤⎥⎝⎦C. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先得到直线过定点()1,3P ，作出直线l 与曲线C ，由图求出直线l 过点()1,0A -时的斜率和直线l 与曲线C 相切时的斜率即可树形结合得解.【详解】由()313y kx k k x =+-=-+可知直线l 过定点()1,3P ，曲线:C y =两边平方得()2210x y y +=≥，所以曲线C 是以()0,0为圆心，半径为1且位于直线x 轴上方的半圆，当直线l 过点()1,0A -时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点，此时3032k k k =-+-⇒=，当直线l 与曲线C 相切时，直线和圆有一个交点，圆心()0,0到直线l的距离1d ，两边平方解得43k =，所以结合图形可知直线l 与曲线C 恰有两个交点，则4332k <≤.故选：B.6. 已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论不正确的A. π6ϕ=B. 若()g x 的最小正周期为3π，则23ω=C. 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为2【答案】D 【解析】【分析】先根据()f x 是偶函数求ϕ判断A 选项；根据最小正周期公式计算可以判断B 选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C 选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D 选项.【详解】()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，则πππππ,Z,,,3226k k ϕϕϕ+=+∈<∴=∣∣A 选项正确；若()g x 的最小正周期为3π，由()sin()g x x ωϕ=+则2π23π,3T ωω==∴=，B 选项正确；πππ(0,π),(,π)666x x ωω∈+∈+ 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则5ππ7π710π,26233ωω<+≤<≤,C 选项正确；若π()sin(6g x x ω=+ πππsin +446g ω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ+2π463k ω=+或ππ2π+2π463k ω=+，Z k ∈，则 283k ω=+或28,Z k k ω=+∈，又因为0ω>，则ω的最小值为23，D 选项错误.故选:D.7. 已知()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为1280-，则a =（ ）A. ―2B. 2C. D. 1【解析】【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解.【详解】由题意，62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()()6662166C 2C 2rr r r r rr r a T x a x x ---+-⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，令620r -=，则3r =，令621r -=-，则72r =不符合题意，所以()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()3336C 21280a --=-，解得2a =-．故选：A .8. 已知函数22()log f x x mx x =-+，若不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围是（ ）A. 23log 33,89+⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 23log 33,94+⎛⎫⎪⎝⎭C. 23log 33,94+⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 23log 33,89+⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】不等式()0f x >可化为2log 1xmx x-<，利用导数分析函数()2log x g x x =的单调性，作函数()1h x mx =-，()2log xg x x=的图象，由条件结合图象列不等式求m 的取值范围.【详解】函数22()log f x x mx x =-+的定义域为(0,+∞)，不等式()0f x >化为：2log 1xmx x-<．令()1h x mx =-，()2log x g x x=，()2222221log e log log e log x xx x g x x x --='=，故函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减．当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当01x <<时，()0g x <，当x →+∞时，()0g x →，当0x >，且0x →时，()g x ∞→-，画出()g x 及()h x 的大致图象如下，因为不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1,2．故()()()()2233h g h g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log 2212log 3313m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得23log 3943m +≤<.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知复数232023i i i i 1iz ++++=+ ，则下列结论正确的是（ ）A. 1i 2z -=-B. 1i 2z -=C. 1i 2z +=-D. z =【答案】ACD 【解析】【分析】利用234i+i +i +i 0=对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共轭复数、复数的模依次判断即可得出结果.【详解】因为i,411,42i ,i,431,4nn k n k k n k n k=+⎧⎪-=+⎪=∈⎨-=+⎪⎪=⎩Z ，所以234i+i +i +i 0=，所以()()()()2342323202323505i+i +i +i i i i 1i i i i i i i i 111i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 22z +++--++++++-======-++++++- ，所以A 正确，B 错误，111i i=222z +=---，C 准确，所以z ==D 正确.故选：ACD10. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC V 的三个内角均小于120°时，使得120AOB BOC COA ︒∠=∠=∠=的点O 即为费马点；当 ABC V 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（ ）A. 正三角形的的费马点是正三角形的中心B. 若P 为ABC V 的费马点, 且 0PA PB PC ++=u u r u u r u u u r r，则ABC V 一定为正三角形C. 若ABC V 三边长分别为2D. ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ， π22A ,bc ∠==，若点P 为ABC V 的费马点，则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=.【答案】ABC 【解析】【分析】对A ，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B ，取AB 的中点D ，由0PA PB PC ++=可得点P 是ABC V 的重心，再结合条件可得点P 是ABC V 的中心，得证；对C ，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D ，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解.【详解】对于A ，如图O 是正三角形ABC 的中心，根据正三角形的性质易得o 120AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以点O 是正三角形ABC 的费马点，故A 正确；对于B ，如图，取AB 的中点D ，则2PA PB PD += ，因为0PA PB PC ++=，所以2PC PD =-u u u r u u u r，所以,,C P D 三点共线，且点P 是ABC V 的重心，又点P 是ABC V 费马点，则o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，则o 60APD BPD ∠=∠=，又AD BD =，易得PA PB =，同理可得PC PB =，所以PA PB PC ==所以点P 是ABC V 的外心，所以点P 是ABC V 的中心，即ABC V 是正三角形.故B 正确；对于C ，如图，在Rt ABC △中，1AB =，BC =，2AC =，o 30ACB ∠=，点O 是Rt ABC △的费马点，将COA 绕点C 顺时针旋转o 60，得到CED △，易证COE ，ACD 是正三角形，则OC OE =，OA DE =，CD AC =，且点,,,B O E D 共线，所以o90BCD ∠=，所以BD ===又OA OB OC DE OE OB DB ++=++==，的.故C 正确；对于D ，由费马点定义可得o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，设PA x =，PB y =，PC z =，,,0x y z >，由ABC PAB PAB PAB S S S S =++V V V V，可得111122222xy xz yz ++=⨯，整理得xy yz xz ++=，所以111222PA PB PB PC PC PA xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1122xy yz xz =-++=-=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D 选项的关键在于利用三角形等面积法求出xy yz xz ++=.11. 在四面体ABCD 中，棱AB 的长为4，AB BD ⊥，CD BD ⊥，2BD CD ==，若该四面体的体积为）A. 异面直线AB 与CD 所成角的大小为π3B. AC的长可以为C. 点D 到平面ABCD. 当二面角A BC D --是钝角时，其正切值为【答案】ACD【解析】【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得sin CDE ∠=A ，根据余弦定理即可求解B ，根据等体积法即可求解C ，根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解D.【详解】在平面ABD 内过D 作DE AB ∥，且ED AB =,由于AB BD ⊥，故四边形ABDE 为矩形，CD BD ⊥，DE BD ⊥，BD DE C = ，CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，故BD ⊥平面CDE ，故11233C ABD C EDA B CDE CDE CDE V V V S BD S ---===⋅=⨯=，11sin 24sin 4sin 22CDE S CD DE CDE CDE CDE=⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠故1124sin 233C ABD CDE V S CDE -=⨯=⨯∠⨯=，因此sin CDE ∠=由于()0,CDE π∠∈，所以3CDE π∠=或23π，由于CDE ∠为异面直线AB 与CD 所成角或其补角，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为3π，A 正确，当23CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时AC ==当3CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时4AC ==,故B 错误，由于BC ==,4AB =,当AC =cos BAC ∠==sin BAC ∠=，11sin 422ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯= ,当4AC =时，161683cos 2444BAC +-∠==⨯⨯，故sin BAC ∠=，1sin 2ABC S AB AC BAC =⋅∠= ,故点D 到平面ABC的距离为d ===,C 正确，当4AC =时，4AB AC ==,2CD BD ==,取BC 中点为O ，连接OA ,OD ,则AOD ∠即为二面角A BC D --的平面角，12OD BC ===,AO ==所以22cos 0AOD ∠===<,故AOD ∠为钝角，符合题意，此时sin tan cos AODAOD AOD∠∠==∠，当4AC =，由于2DBCS =，点A 到平面BDC距离为d ===,设A 在平面BDC 的投影为H ,则AH =,故HD==HC ==,因此点O 为以D ,C为圆心，以半径为,显然交点位于BC ,同D 的一侧，故此时二面角A BC D --为锐角，不符合要求，故D 正确，故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知,a b +∈R ，41a b +=，则aba b+的最大值是________．【答案】19【解析】的【分析】先求出11a b+的最小值，再将aba b +化为111a b+，即可求得答案.【详解】因为,a b +∈R ，41a b +=，故()111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，结合41a b +=，即11,63==a b 时等号成立，所以11119ab a b a b =≤++，即ab a b +的最大值是19，故答案为：1913. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在每个顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π．我们把平面四边形ABCD 外的点P 连接顶点A 、B 、C 、D 构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为______．【答案】4π【解析】【分析】根据曲率的定义求解即可.【详解】由定义可得多面体的总曲率2π=⨯顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为()2π5π42π14π⨯-⨯+⨯=.故答案为：4π.14. 过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上焦点1F ，作其中一条渐近线的垂线，垂足为H ，直线1F H 与双曲线的上､下两支分别交于,M N ，若3NH HM =，则双曲线的离心率e =__________.【解析】【分析】设双曲线右焦点为2F ，HM t =，3NH t =，由题意结合双曲线定义可依次求出1F H 、1OF 、1F M 、1F N 、2F N 和2F M ，接着分别在1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △中结合余弦定理求出1cos OF M ∠，进而建立等量关系式求出t ，从而求得2b a =，进而由离心率公式即可得解.【详解】设双曲线右焦点为2F ，由题()10,F c ，双曲线的一条渐近线方程为ay x b=-即0ax by +=，过该渐近线作垂线，则由题1F H b =，1OF c =，设HM t =，则由题3NH t =，1F M b t =-，13F N b t =+，所以232F N b t a =+-，22F M b t a =-+，所以在1Rt F OH 中，111cos F H bOF M OF c∠==①，在12F MF △中，()()()()()22222211221112||||22cos 222F M F F F M b t c b t a OF M b t c F M F F +--+--+∠==-⋅②，在12F NF △中，()()()()()22222211221112||||3232cos 2322F N F F F N b t c b t a OF M b t c F N F F +-++-+-∠==+⋅③，由①②得()()()()()2222222b t c b t a bb tc c-+--+=-，化简解得ab t a b =+，由①③得()()()()()2223232232b t c b t a b b t c c++-+-=+，化简解得()3ab t b a =-，所以()23ab abb a a b b a =⇒=+-，故双曲线的离心率c e a====.【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为2F ，HM t =，则结合双曲线定义可得1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角1OF M ∠的余弦值1cos OF M ∠，从而可建立等量关系式依次求出t 和2b a =，进而由离心率公式得解.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()*1N n n S a n =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22212n n T S S S =+++ ，求n T .【答案】（1）1()2n n a = （2）1235111((3232n nn n T --=+-⋅【解析】【分析】（1）应用1n n n S S a --=，再结合等比数列定义及通项公式计算即可；（2）先化简得出21111()()24n n n S --+=，再应用分组求和及等比数列前n 项和公式计算.小问1详解】因为数列{a n }的前n 项和，满足1n n S a =-，当2n ≥时，可得111n n S a --=-，两式相减得1n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以112n n a a -=，令1n =，可得1111S a a =-=，解得112a =，所以数列{a n }构成首项为12，公比为12的等比数列，所以{a n }的通项公式为1111()(222n nn a -=⋅=.【小问2详解】由（1）知1(2nn a =，可得11(2nn S =-，所以222111111()]12()()1((22224[1n n n n n n S -=-⋅=+=-+-，【则222121111()[1()]244(111)111124n n n n T S S S -⋅-=+++=+++-+-- 1235111()()3232n n n --=+-⋅.16. 如图，正四棱台ABCD EFGH -中，24,EG AC MN ==上为上下底面中心的连线，且MN 与侧面.（1）求点A 到平面MHG 的距离；（2）求二面角E HM G --的余弦值.【答案】（1（2）23-【解析】【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用点面距向量公式，可得答案；（2）求得两个平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.【小问1详解】由题意，易知,,MN MA MB 两两垂直，分别以,,MA MB MN 为,,x y z 轴建立直角坐标系，如下图：则()()()()1,0,0,0,0,0,0,2,1,2,0,1A M H G --，取()()0,2,1,2,0,1MH MG =-=-，设平面MHG 的法向量(),,n x y z = ，则2020n MH y z n MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =，则1,1x y ==，所以平面MHG 的一个法向量()1,1,2n =，取()1,0,0MA = ，点A 到平面MHG的距离MA n d n ⋅===.【小问2详解】由（1）可知()()()()2,0,1,0,2,1,0,0,0,2,0,1E H M G --，取()()()()2,2,0,2,0,1,2,2,0,2,0,1HE ME HG MG ===-=-，设平面EHM 的法向量()1111,,m x y z = ，则11111122020m HE x y m ME x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =-，则221,2y z ==，所以平面EHM 的一个法向量()11,1,2m =-，设平面HMG 的法向量()2222,,m x y z = ，则22222222020m HG x y m MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21x =，则111,2y z ==，所以平面EHG 的一个法向量()21,1,2m =，设二面角E HM G --的大小为θ，则12121142cos 1143m m m m θ⋅-++=-=-=-++⋅ .17. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s 的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本标准差S.（ⅰ）利用该正态分布，求()250.25399.5P X <<；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z 表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E （Z ）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()()220.9545,330.99731P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x 轴上从原点O 出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(),0n 的概率为()160n P n ≤≤，试证明数列{}1n n P P --是等比数列()259n ≤≤，求出数列{}()160n P n ≤≤的通项公式，并比较59P 和60P 的大小.【答案】（1）300 （2）（ⅰ）0.8186；（ⅱ）16.372（3）证明见解析，158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，5960P P >【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得n P ，利用差比较法比较59P 和60P 的大小.【小问1详解】2050.12550.23050.453550.24050.05300x ≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（ⅰ）0.95450.6827(250.25399.5)0.68270.81862P X -<<=+=.（ⅱ））∵Z 服从二项分布()20,0.8186B ，∴()200.818616.372E Z =⨯=.【小问3详解】当359n ≤≤时，()12112111,222n n n n n n n P P P P P P P -----=+-=--，1221111131,,222244P P P P ==⨯+=-=.∴{}1(259)n n P P n --≤≤是以14为首项，12-为公比的等比数列，2111(259)42n n n P P n --⎛⎫-=⋅-≤≤ ⎪⎝⎭.22132111111,,,(259)44242n n n P P P P P P n --⎛⎫⎛⎫-=-=⋅-⋯-=⋅-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.累加得：115816058111422111111,(259),1362236212n n n n P P P n P P --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭-==-⋅-≤≤==+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.∴158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩∵58585960111111033232P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴5960P P >.注：比较59P 和60P 的另一个过程：58596059592112111,13623622P P P P ⎛⎫=-⋅>-==-<< ⎪⎝⎭.18. 已知函数()1e xx f x +=.（1）求函数()f x 的极值；（2）若不等式()e ln 1xf x a x +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知直线l 是曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线，求证：当1t >时，直线l 与曲线()y f x =相交于点()(),s f s ，其中s t <.【答案】（1）极大值为1，没有极小值 （2）[]e,0- （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断()f x 的单调性和极值；（2）根据题意可得ln 0x a x +≥恒成立，构建()ln ,0g x x a x x =+>，分类讨论a 的符号，利用导数求最值，结合恒成立问题分析求解；（3）根据导数的几何意义可得当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，构建()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >，利用导数研究函数零点分析证明.小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()ex xf x '-=，令()0f x '=时，0x =，则x ，f ′(x )，()f x 的关系为x(),0∞-0(0,+∞)f ′(x )+0-()f x 单调递增极大值单调递减所以，当0x =时，()f x 取到极大值为1，没有极小值.【小问2详解】若()e ln 1xf x a x +≥，即ln 0x a x +≥恒成立，设()ln ,0g x x a x x =+>，则()1a x a g x x x'+=+=，①当0a =时，则()0g x x =>恒成立，符合题意；②当0a >时，则()0g x '≥，可知()g x 在(0,+∞)上单调递增，因为11e e 10a a g --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以ln 0x a x +≥不恒成立；③当0a <时，x ，()g x '，()g x 的关系为x()0,a -a-(),a ∞-+()g x '-+【()g x 单调递减极小值单调递增可知()g x 的最小值为()()min ln g x a a a =-+-，则()ln 0a a a -+-≥，因为0a <，则()1ln 0a --≥，解得e 0a ≤-<；综上所述：实数a 的取值范围是[]e,0-.【小问3详解】因为()1e x x f x +=，()e x x f x '-=，则()1e t tf t +=，e t t k -=即切点坐标为1,e t t t +⎛⎫⎪⎝⎭，切线l 斜率为e tt k -=，可得l 的方程为()1e e t t t t y x t +--=-，即21e et tt t t y x -++=+，联立方程21e e 1e t txt t t y x x y ⎧-++=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得2110e e e x t tx tx t t ++++-=，由题可知：当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，设()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >且()0h t =，则()e e x t x t h x '-=+，设()()F x h x ='，则()1e xx F x '-=，因为1t >，x ，()F x '，F (x )的关系为x(),1∞-1()1,t ()F x '-+F (x )单调递减1e et t -+，单调递增可知F (x )的最小值()()()min 10F x F F t =<=，且()1e 0e ttF -=+>，可知()01,1x ∃∈-，使()00F x =，当()0,x x ∞∈-时，()0F x >，即h ′(x )>0；当()0,x x t ∈时，()0F x <，即h ′(x )<0；可知h (x )在()0,x ∞-内单调递增；在()0,x t 内单调递减，可知h (x )的最大值()()()0max 0h x h x h t '=>=，且()()2110e t t h -+-=<，可知h (x )存在小于t 的零点，所以当1t >时，直线l 与曲线y =f (x )相交于点()(),s f s ，其中s t <，得证.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．19. 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q ．（1）当0b =，r =，12m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；（2）①求证：34121234y y y y y y y y ++=．②猜想|OP |和|OQ |的大小关系，并证明．【答案】（1）53OP OQ == （2）①证明见解析；②猜测OP OQ =，证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求,,,C D E F 各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线CF 和ED 的方程，并求它们与x 轴的交点坐标，可得问题答案.（2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立.②分别求出点P 和点Q 的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立.【小问1详解】当0b =，r =，12m =-，2n =时，圆M ：225x y +=，直线CD ：12x y =-，由22512x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，故()1,2C -，()1,2D -；直线EF ：2x y =，由2252x y x y⎧+=⎨=⎩⇒21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，故()2,1E ，()2,1F --.所以直线CF :122112y x ++=+-+，令0y =得53x =-，即5,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；直线ED :122112y x --=---，令0y =得53x =，即5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以：53OP OQ ==.【小问2详解】①由题意：22b r <.由()222x y b r x my ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩⇒()()222my y b r +-=⇒()2222120m y by b r +-+-=，则1y ，2y 是该方程的两个解，由韦达定理得：12222122211b y y m b r y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以1222122y y b y y b r +=⋅-.同理可得：3422342y y b y y b r +=⋅-，所以34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅.②猜测OP OQ =，证明如下：设点(),0P p ，(),0Q q .因为,,C P F 三点共线，所以：414100y y x p x p --=--⇒411414x y x y p y y -=-，又因为点C 在直线x my =上，所以11x my =；点F 在直线x ny =上，所以44x ny =.所以()1441141414y y n m ny y my y p y y y y --==--；同理因为,,E Q D 三点共线，可得：()2323y y n m q y y -=-.由①可知：34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅⇒12341111y y y y +=+⇒14321111y y y y -=-⇒23411423y y y y y y y y --=⋅⋅⇒231414230y y y y y y y y ⋅⋅+=--， 所以()()14231423y y n m y y n m p q y y y y --+=+--()23141423y y y y n m y y y y ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭0=.即p q =-，所以OP OQ =成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键是联立直线与圆的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，进行化简处理，设计多个字母的运算，整个运算过程一定要小心、仔细.。

江苏省高三年级数学试卷一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}，则集合()UA B = （ ）A. (]1,2B. ()1,2C. ()0,4D. [)0,4【答案】D 【解析】【分析】求出集合U B ，利用并集的定义可求得集合()U A B ∪. 【详解】因为全集U =R ，集合{}14A x x =<<，集合{0B x x =<或xx >2}， 则{}02U Bx x =≤≤ ，所以，()[)0,4UA B = .故选：D.2. 设复数z 满足i 2i 2i z =++（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A.B.C.D. 【答案】C 【解析】【分析】根据复数的四则运算及模长公式化简可得z ，进而可得解.【详解】由已知2i +=，则i 2i z =+，所以2z =，所以2z =+，， 故选：C.3. 已知命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，则“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的（ ） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由存在量词命题、全称量词命题为真，结合方程有解及一元二次不等式恒成立化简命题,p q ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】由命题2:,10p x x ax ∃∈−+=R ，得2140a ∆=−≥，解得2a ≤−或2a ≥， 由命题q :x ∀∈R ，220x ax ++≥，得2280a ∆=−≤，解得a −≤≤ 命题q ¬：a <−或a >q p ¬⇒，而p 不能推出q ¬， 所以“命题p 成立”是“命题q ¬成立”成立的必要不充分条件. 故选：B4. 塑料制品给人们来了极大的方便，但由于其难以自然降解，也给环境造成了不小的污染，某种塑料在自然界降解后的残留量y 与自然降解时间（年）之间的关系为0e kty y =⋅，其中0y 为初始量，k 为降解系数，已知该种塑料经过3年自然降解后的残留量为初始量的80%，则要使得其残留量不超过初始量的10%，该种塑料至少需要自然降解的年数为（ ）（参考数据：lg 20.301≈） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33【答案】B 【解析】【分析】由已知当3t =时，00.8y y =，可知1ln 0.83k =，代入解析式，令00.1y y ≤，解不等式即可. 【详解】由已知当3t =时，00.8y y =， 即3008e0.ky y ⋅=，则1ln 0.83k =，令00.1y y ≤，即000.e 1kty y ⋅≤， 解得ln 0.1kt ≤，即1ln 0.8ln 0.13t ≤，解得ln 0.1ln1011333330.9283ln 2ln 0.8ln 8ln101lg 21ln10t −≥⋅=⋅=⋅=⋅≈−−−， 即至少需要自然降解31年， 故选：B.5. 已知向量(),2a x = ，()2,b y = ，()1,2c =− ，若//,a c b c ⊥ ，则向量2a b +在向量c 上的投影向量为（ ） A. ()2,4− B. ()2,4−C. 13,22−−D. 13,22【答案】A 【解析】【分析】由//,a c b c ⊥可确定x y ，，后由投影向量定义可得答案.【详解】因//,a c b c ⊥ ，由题2212201x x y y −==− ⇒ −== ，则()()1,22,1a b =−=，. 则()20,5a b += ，则向量2a b + 在向量c 上的投影向量为：2cos 2,a b a b c e c c ++⋅.又25a b += ，c = ，()2cos 2,2a b c a b c a b c +⋅+==+⋅. 则()22,4e c =−=−.故选：A6. 下列在同一坐标系中的图象，可以作出三次函数ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)及其导函数的图象为（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】分析可知，ff ′(xx )的图象为抛物线，利用导函数的符号与原函数单调性之间的关系逐项判断，可得出合适的选项.【详解】因为ff (xx )=aaxx 3+bbxx 2+ccxx +dd (aa ≠0)，则()232f x ax bx c ′=++，则ff ′(xx)的图象为抛物线，对于A 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，A 错；对于B 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上为增函数，不合乎题意，B 错；对于C 选项，由图可知，x ∀∈R ，ff ′(xx )>0，则函数()f x 在(),∞∞−+上增函数，合乎题意，C 对；对于D 选项，如下图所示：当1x x <或2x x >时，ff ′(xx )<0，则函数()f x 在区间()1,x ∞−、()2,x ∞+上均为减函数， 不合乎题意，D 错. 故选：C.7. 对于任意的0x >，0y >，21223377x y m m x y x y +≥−++恒成立，则m 的最大值为（ ）A.37B. 1−C. 1D. 3【答案】D 【解析】【分析】设23x m x y =+，3y n x y =+，可知172n m n −=+，所以27172n n m n n +++=+，结合基本不等式可得m n +的最小值为37，解不等式2123777m m −≤即可.【详解】设13232xmy x y x ==++，()10,1331y n x x y y=∈++， 则172nm n −=+，为所以27123372x y n n m n x y x y n +++=+=+++()()()2723729772n n n +−++=+()7293337772777n n ++−≥−=+， 当且仅当()7297772n n +=+，即17n =时等号成立， 所以2123777m m −≤，即()()223310m m m m −−=−+≤，解得13m −≤≤， 即m 的最大值为3， 故选：D.8. 已知函数()f x 的定义域为R ，()11f =，()31f x +为偶函数，且函数()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则20251()k k f ==∑（ ）A. 4 048B. 4 049C. 4 051D. 4 054【答案】B 【解析】【分析】由题可得()f x 关于1x =，()2,2对称，据此可得()f x 的一个周期为4，即可得答案.【详解】因(31)f x +为偶函数，则()()3131f x f x −+=+，则()f x 图象关于1x =对称；因()122y f x =的图象关于点()1,1对称，则()()112121222f x f x ++−= ， ()()22224f x f x ⇒++−=，得()f x 图象关于()2,2对称； 则()()11f t f t −+=+，()()224f t f t ++−=()()134f t f t ⇒−+++=()()134f t f t ⇒+++=.则()()()()()3541435f t f t f t f t f t +++=⇒+=−+=+，则()f x 的一个周期为4.则()()()()()20251()50612341k f k f f f f f = =++++ ∑.又()()134f t f t +++=，令01t =，，可得()()()()13244f f f f +=+=.则20251()506814049k f k ==×+=∑.故选：B【点睛】结论点睛：()f x 的定义域为R.若()f mx t +为偶函数，则()f x 图象关于x t =对称（()0m ≠）； ()1f mx n关于(),a b 对称，则()f x 图象关于(),ma nb 对称()0m n ≠，； ()f x 图象关于x a =，(),b c 对称，则()f x 的一个周期为4a b −.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在复平面内，复数1z 、2z 对应的向量分别为1a 、2a，则（ ） A. 1212z z a a =++B. 1212z z a a =−−C. 1212z z a a ⋅=⋅D.()112220a z z z a =≠ 【答案】ABD 【解析】【分析】利用特殊值法可判断C 选项；设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =，利用平面向量以及复数的模长公式可判断ABD 选项.【详解】设1i z m n =+，()2i ,,,z x y m n x y =+∈R ，则()1,a m n = ，()2,a x y =， 对于A 选项，()()12i z z m x n y +=+++，(),a b m x n y +++，则1212z z a a +==+，A 对；对于B 选项，()()12i z z m x n y −=−+−，(),a b m x n y −−−，则1212z z a a −==−，B 对；对于C 选项，不妨取11i z =+，212i z =+，则()11,1a = ，()21,2a =，则()()121i 12i 13i z z =++=−+，则12z z ==，12123a a ⋅=+=，此时，1212z z a a ⋅≠⋅ ，C 错；对于D 选项，当20z ≠时，20a ≠，则11z a = ，22z a = ，()()()()()()1222i i i i ii i m n x y mx ny nx my z m n z x y x y x y x y +−++−+===++−+，所以，12z z12a a ，D 对. 故选：ABD.10. 已知函数()()πtan 04f x x ωω =−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4，则（ ） A. 4ωB. ()f x 的最小正周期为π2C. ()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x = D. ()f x 的增区间为()ππ3ππ,164164k k k−++∈Z 【答案】BC 【解析】【分析】AB 选项；利用正切型函数的渐近线可判断C 选项；利用正切型函数的单调性可判断D 选项.【详解】对于AB 选项，因为函数()()πtan 04f x x ωω=−>的图象相邻两个对称中心之间的距离为π4， 则该函数的最小正周期为π2T =，所以，π2Tω==，A 错B 对； 对于C 选项，()πtan 24f x x =−，当3π8x =时，π3πππ24442x −=−=， 所以，()f x 的图象的一条渐近线为直线3π8x =，C 对； 对于D 选项，由()ππππ2π242k x k k −<−<+∈Z ， 可得()πππ3π2828k k x k −<<+∈Z ，所以，()f x 的增区间为()πππ3π,2828k k k−+∈Z ，D 错. 故选：BC.11. 已知函数()2141,21log ,2x x f x x x −< = ≥，若存在实数m 使得方程()f x m =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则（ ）A. ()340f x x =B. 120x x +<C. ()231x f x +>D. ()321x f x +> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据分段函数的性质及值域可得m 的范围，再结合函数值相等可知函数解的关系，进而判断各选项.【详解】由()22214,01141,41,02211log ,log ,122log ,1x xx x x x f x x x x x x x −< −<−≤< == ≥−≤< ≥ ， 作出函数图像如图所示，当0x <时，函数()f x 单调递减，此时()()0,1f x ∈； 当102x ≤<时，函数()f x 单调递增，此时()[)0,1f x ∈；当112x ≤<时，函数()f x 单调递减，此时()(]0,1f x ∈； 当1x >时，函数()f x 单调递增，此时()()0,f x ∞∈+；由方程()f x m =，有4个解，即函数yy =ff (xx )与函数y m =有4个交点， 即()0,1m ∈，且123410122x x x x <<<<<<<， 且124141xx −=−，2324log log x x =，即12442x x +=，()2324234log log log 0x x x x +==， 即341x x =，且1244x x +≥1244x x=即12x x =时取等号，即2<，120x x +<，B 选项正确；()()3410f x x f ==，A 选项正确；又()()23f x f x =，所以()()22322241xx f x x f x x +=+=+−，()()3233323log x f x x f x x x +=+=−， 设()41xg x x =+−，10,2x∈，()2log h x x x =−，1,12x∈， 则()41xg x x =+−在10,2 上单调递增，()()102g g x g<<，即()302g x <<，()23302x f x <+<，C 选项错误；又()11ln 2h x x =−′，且()h x ′在�12,1�上单调递增， 则()()1ln 21110ln 2ln 2h x h −<−′=′=<， 所以ℎ(xx )在�12,1�上单调递减，所以()()2log 11h x x x h =−>=， 即()321x f x +>，D 选项正确； 故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分12. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若45620a S ==，，则10S 的值为_______．【答案】90 【解析】分析】由等差数列通项，求和公式可得答案.【详解】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，由等差数列通项，求和公式：41151360510202a a d a S a d d =+== ⇒=+== ，则101104590S a d =+=. 故答案为：90.13. 某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台（如图），用一张矩形的石墨烯显示屏（可弯曲）围成展台的侧面（两个矩形和一个曲面），商品放在展台上展示，显示屏播放商品广告．已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面积最大，扇形的圆心角应设计为______弧度．【答案】2 【解析】【分析】根据2r r l α+=，利用基本不等式可得228l r α≤，即可由扇形面积公式求解.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，石墨烯显示屏的长度为l ，则2r r l α+=，故2228l r r l r αα+=≥⇒≤，当且仅当2r r α=即2α=时等号成立，故扇形的面积为221216l S r α≤，故当2α=时，面积取到最大值216l .故答案为：214. 函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例如：[]3.54−=−，[]2.12=，若[]10x x = ，则x 的取值范围为_______．【答案】1011,33【解析】【【分析】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，则[][][][]22x x x x x ≤<+，分0x >和0x <两种情况，解不等式即可.【详解】由“取整函数”的定义可知[][]1x x x ≤<+，且[][]1x x x ≤<−， 又[]10x x = ，所以[]1011x x ≤<， 易知0x ≠，且[]0x ≠，当0x >时，[]0x ≥，即[]0x >， 则[][][][]22x x x x x ≤<+，所以[][][][]221011x x x x > ≤ +>[]x <≤由249<<，所以23<<， 则[]3x =，所以10311x ≤<，即101133x ≤<， 当0x <时，[]0x <， 则[][][][]22x x x x x +<≤，即[][][][]221011x x x x < +< ≥[]x <≤又2916<<，即43−<<−， 此时[]x 不存在， 综上所述1011,33x∈， 故答案为：1011,33.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 已知ABC 的面积为O 为边BC 的中点，5OA =，20OA OB ⋅=．（1）求BC 的长； （2）求角C 的正弦值． 【答案】（1）16（2 【解析】【分析】（1）根据三角形面积及向量数量积可知tan AOB ∠，进而可得OB 与BC ； （2）在AOC △中，用余弦定理可知AC ，再由正弦定理可知角C 的正弦值. 【小问1详解】由已知O 为边BC 的中点，所以22ABC AOB S S AOB =∠ ，即sin OA OB AOB ⋅∠， 又()cos πcos 20OA OB OA OB AOB OA OB AOB ⋅=⋅⋅−∠=−⋅⋅∠=，则tan AOB ∠， 即2π3AOB ∠=， 又5OA = 则5202OB =， 即8OB =，216BC OB ==； 【小问2详解】由（1）得2π3AOB ∠=，8OC OB ==，则π3AOC ∠=，在AOC △中，由余弦定理可知2222cos AC OA OC OA OC AOC =+−⋅⋅∠， 即212564258492AC =+−×××=， 则7AC =，又由正弦定理可知sin sin OA AC CAOC =∠∠，则sin sin OA AOCCAC⋅∠∠==16. 已知数列{}n a 和{}n b 满足1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）．（1）证明：数列{}n b 是等比数列；（2）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且45S S =，记nn na cb =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求使得0n T >的n 的最大值．【答案】（1）证明见解析 （2）31 【解析】【分析】（1）由已知条件推到得出12n n a a λ+=−，利用等比数列的定义可证明出数列{}n a λ−为等比数列，求出n a λ−的表达式，再利用等比数列的定义可证得数列{bb nn }是等比数列； （2）根据（1）求出数列{aa nn }、{bb nn }的通项公式，可得出数列{}n c 的通项公式，可求出n T ，分析数列{}n T 的单调性，由310T >，320T <可得出满足0n T >的n 的最大值. 【小问1详解】证明：因为1n n n a b a +−=，n n a b λ+=（λ为常数，且1a λ≠）， 上述两个等式相加可得12n n a a λ+=+，则12n n a a λ+=−，所以，()12n n a a λλ+−=−， 因为1a λ≠，则10a λ−≠，所以，数列{}n a λ−是首项为1a λ−，公比为2的等比数列， 所以，()112n n a a λλ−−−⋅，所以，()112n n n b a a λλ−=−=−−⋅，则()()1111222n n n n a b b a λλ+−−−⋅==−−⋅，即数列{bb nn }是公比为2的等比数列. 【小问2详解】解：因为n S 为数列{aa nn }的前n 项和，且45S S =，则5540a S S =−=，由（1）可知，()()4511216a a a λλλλ−=−×=−=−，所以，11516a λ=， 所以，()115122216n n n n a a λλλλ−−−−=−⋅=−⋅=−⋅，则()512n n a λ−=−，由（1）可得()115122216n n n n b a λλλ−−−=−−⋅=⋅=⋅，所以，()555121122n n nnn na cb λλ−−−−===− ⋅，所以，43251161211111222212n n n T n n −−−− − =++++−=− −32322n n −−， 因为数列{}n c 单调递减，且当4n ≥且n ∗∈N 时，0n c >，且50c =， 所以，当5n ≥且n ∗∈N 时，0n T >， 当6n ≥且n ∗∈N 时，0n c <，所以，数列{}n T 从第6项开始单调递减，因为313132102T =−>，32323202T =−<， 当631n ≤≤且n ∗∈N 时，310n T T ≥>； 当32n ≥且n ∗∈N 时，320n T T ≤<. 所以，使得0n T >的n 的最大值为31.17.已知函数22()2sin cos f x x x x x +（1）求()f x 在区间π0,2上的最值；（2）已知π0,2α ∈，且8()5f α=，求tan α的值． 【答案】（1）答案见解析；（2）8−. 【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f x ，后令π23x t +=，由题意结合函数单调性可得最值； （2）由可得πsin 6α +与πcos 6α +同号，即可令πsin 6n α+= ，由题可解得n ，即可得答案. 【小问1详解】()222sin cos 2sin 2f x x x x x x x =+=+π2sin 22sin 23x x x=+=+ .因π0,2x∈，则ππ2,π33x t+=∈ ，令()()2sin f x g t t ==注意到()g t 在ππ,32 上单调递增，在π,π2上单调递减.则max π()22f x g ==，πππ23212x t x +==⇒=； ()()min π()min ,ππ03f x g g g ===，此时ππ2π33x t x +==⇒=；故()f x 在π12x =时取最大值2，在π3x =时取最小值0；【小问2详解】 因π0,2α∈，则ππ2π,663α +∈ . 由题πππ()2sin 24sin cos 0366f αααα=+=++>则πsin 6α+ 与πcos 6α +同号，则πππ,662α +∈ 则令π1sin ,162n α+=∈，得4282425254055n n =⇒=⇒−+= ()()2251540n n ⇒−−=，则245n =或215n =（舍），.则ππsin cos 66αα +⇒+，πsin π6tan 2π6cos 6ααα+ +== +.则ππtan tan 866αα =+−=. 18. 已知函数()()2ln R f x x x a =+−∈． （1）当0a =时，证明：()0f x >．（2）若函数()y f x =的图象与x 轴相切，求a 的值 （3）若()f x 存在极大值点，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）)ln 21a =−−（3）a > 【解析】【分析】（1）求导即可根据函数的单调性求解极值证明，（2）设出切点，求导，根据()120f m m=+−=′，()2ln 0f m m m =−=，即可求解12m =，进而可求解， （3）求导，将问题转化为()120f x x=+−=′有不相同的实数根，分离参数，构造函数()h x =.小问1详解】当0a =时，()2ln f xx x =−，则()1212x f x x x=′−=−， 当12x >时，()()0,f x f x ′>单调递增， 【当102x <<时，()()0,f x f x ′<单调递减， 故()f x 在12x =时取极小值也是最小值，故()12ln 1ln 202f x x x f=−≥=+>，得证. 【小问2详解】函数()y f x =的图象与x 轴相切，故设切点为(),0m ，()12f x x+−′=， 故()120f m m =+−=′，()2ln 0f m m m =+−=，因此1e m a=且e m a =，故e m a =()()1212ln 202m m m −−+=， 由（1）知2ln 0x x −>，故2ln 20m m −+>，因此210m −=，故12m =，所以)12e e ln 21m a ===−−【小问3详解】令()120f x x =+−=′，故()210x f x x−+′==， 故()121120x x x x − ⇒−−=， 当12x =时，()0f x ′=，当120,x −≠1x =，则a =， 记()h x =()e 2x h x x ==′， 当12x >时，()()0,h x h x ′>单调递增， 当102x <<时，()()0,h x h x ′<单调递减， 故ℎ(xx )在12x =时取极小值也是最小值，12h=， 且当x →+∞时，()h x ∞→+，当0x →时，()h x ∞→+， 故()f x存在极大值点，只需要a >.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数ℎ(xx )；(3)利用导数研究ℎ(xx )的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式．19. 已知集合{}123,,,,n A a a a a = ，k A 为集合A 的子集．定义1()ni i S A a ==∑，()0S ∅=． （1）取()*n a n n =∈N ．①若存在i j A A ≠且()()i j S A S A =，求n 的最小值；②对于给定的n ，若存在12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，求k 的最大值()k n 及此时()()1k n ii S A =∑的最大值()f n ．（2）取()*2,nn a qq n =≥∈N ，是否存在n 及,ijA A ，使得ijA A ≠，且()()i jS A S A =？若存在，请举例；若不存在，请证明． 【答案】（1）①3；②()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅（2）不存在，证明见解析 【解析】【分析】（1）①结合子集定义与题目所给条件，分别计算1n =、2n =及3n =时的结果即可得；②由题意可得12,,,k A A A ⋅⋅⋅中存在公共元素，则集合12,,,k A A A ⋅⋅⋅去掉公共元素后的新的所有集合必为集合A 中去掉该公共元素后的子集，结合子集个数与元素个数的关系即可得解()k n ，再利用这些新集合中各元素出现次数，结合组合数计算公式与等差数列求和公式即可得()f n ；（2）借助反证法，假设存在符合要求的n ，由题意可设i j A A ∩=∅，,r s j i a a 分别为两者中最大元素，通过计算可得当2q ≥时，数列nn a q =的前n 项和1n n S a +<，则可得s r j i <，r s i j <，由两者矛盾，即可得.【小问1详解】①当1n =时，{}1A =，有两个子集，分别为∅、{}1，此时()0S ∅=，{}()11S =，不符合要求；当2n =时，{}1,2A =，有四个子集，分别为∅、{}1、{}2、{}1,2，此时()0S ∅=，{}()11S =，{}()22S =，{}()1,23S =，不符合要求；当3n =时，{}1,2,3A =，存在{}1,2A ⊆，{}3A ⊆， 有{}()1,23S=，{}()33S =，即n 的最小值为3；②{}1,2,3,,A n = ，*n ∈N ，由12,,,k A A A ⋅⋅⋅互不相同且12k A A A ⋅⋅⋅≠∅ ，设12k A A A B ⋅⋅⋅= ， 则B 中至少有一个元素，假设B 中元素个数()*1,m m m ≥∈N 个，又()12k A A A A ∪∪∪⊆ ，则()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 中元素个数最多有n m −个，子集个数最多有2n m −个， 由1m ≥，故当1m =时，()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 子集个数最多，且为12n −个， 故k 的最大值()12n k n −=，设此时B 中元素为t A ∈，则集合1A B 、2A B 、 、12n A B − 为集合()()12k A A A A B ∪∪∪∩ 的子集， 其中元素t 在1A 、2A 、 、12n A −中都有， 假设存在a t ≠，且a A ∈，此时2n ≥，则a 在1A 、2A 、 、12n A −中的双元素集合中出现1次，为若3n ≥，则在1A 、2A 、 、12n A −中的三元素集合中出现12C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的四元素集合中出现22C n −次，在1A 、2A 、 、12n A −中的n 元素集合中出现22C n n −−次，即除t 外集合A 中所有元素都会出现12222221C C C 2n n n n n −−−−−++++=次， 则当t n =时，()()1k n ii S A =∑有最大，此时()()()()()()()11212211n n k n iii i f n S A S A S A S A S A −−=====+++∑∑ ()()()12122312121222322n n n n n n n n n n n n −−−−−−=⋅++++−⋅=⋅+⋅=+⋅ ，即()12n k n −=，()()2332n f n n n −=+⋅；【小问2详解】 不存在，理由如下：假设存在符合要求的n ，且{}11,,,s i i i i A a a a = ，{}11,,,r j j j j A a a a = ， 其中12s i i i <<< ，12r j j j <<< ，s n <，r n <，且*s ∈N ，*r ∈N ， 则s s i ≤，r r j ≤，若i j A A ∩≠∅，由()()i j S A S A =，则对()i A i j A A ∩ 、()j A i j A A ∩ ， 也满足()()()()i j A i j A i jS A A S A A ∩=∩ ，故不妨假设i j A A ∩=∅，则s r i j ≠， 由i j A A ≠，且()()i j S A S A =，由2q ≥，则有：()()12111211ss s s i i i i i i i i i q q S A a a a q q q q q q q−=+++=+++≤+++=−1111111s s s s s i i i i i q q q q q q q a q q q q +++=−<=≤=−−−−， 即()1s i i S A a +<，故1s r j i a a +<，即1s r j i <+，又s r i j ≠，故s r j i <，第21页/共21页 同理可得()1r j j S A a +<，故1r s i j a a +<，即1r s i j <+，又s r i j ≠，故r s i j <， 两者矛盾，故不存在这样的n 及,i j A A .【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于得到当2q ≥时，数列n n a q =的前n 项和1n n S a +<，从而可通过研究i A 、j A 的最大项的关系得到结果.。

2024年10月绵阳南山中学集团学校高2022级10月联考数学试卷命题人:李沙桐 何先俊 审题人:冯新凯 邓燕莉一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.) 1.已知集合A ={x |x 2−3x −4≤0},B ={x|−2<x <2},则A ∩∁R B =( )A. {x |−1<x <2}B. {x |−1≤x ≤2}C. {x |2<x <4}D. {x |2≤x ≤4} 2.下列函数是偶函数的是( )A. f (x )=ln(√x 2+1+x)B. f (x )=xln x+1x−1 C. f (x )=tanx D. f (x )=12x −13.由一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )得到经验回归方程a x b yˆˆˆ+=,那么下列说法正确的是( ) A.若相关系数r 越小,则两组变量的相关性越弱B.若b̂越大,则两组变量的相关性越强 C.经验回归方程a x b yˆˆˆ+=至少经过样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )中的一个 D.在经验回归方程a x b yˆˆˆ+=中,当解释变量x 每增加1个单位时,相应的观测值y 约增加b ̂个单位 4.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且acosB +bcosA =b ,则△ABC 一定是( ) A.等腰三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D. 直角三角形 5.函数f (x )=Acos(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象如下,则其解析式可能是( )A.f (x )=2cos (2x −2π3) B.f (x )=2cos (2x −π3) C. f (x )=2cos (2x +π3) D.f (x )=2cos(2x +2π3)6.研究发现一种鸟类迁徒的飞行速度v (单位:m/s )与其耗氧量Q 之间的关系式为:v 1==a +blog 3Q110(其中a,b 是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s .大西洋鲑鱼逆流而上时其游速为v (单位:m/s ),耗氧量单位数为Q 2,统计发现:v 2与 log 3Q2100成正比.当v 2=1 m/s 时,Q 2=900.若这种鸟类与鲑鱼的速度v 1与v 2相同时,则Q 1与Q 2的关系是( )A.Q 22=9Q 1B.Q 12=9Q 2C.Q 22=3Q 1D.Q 12=3Q 27.已知(x 1,y 1),(x 2,y 2)是函数y =log 2x 图象上两个不同的点,则下列4个式子中正确的是( ) ①x 1+x 22<2y 1+y 22;②x 1+x 22>2y 1+y 22;③log 22x1+x 2<−y 1+y 22;④log 22x1+x 2>−y 1+y 22O xy-1A.①③B.②③C.①④D.②④8.设函数f(x)=a (x +1)2−1,g (x )=cosx +2ax ,当x ∈(−1,1)时,曲线y =f(x)与y =g(x)交点个数的情况有( )种. A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.) 9.下列叙述正确的是( )A.若等差数列{a n }的公差d >0,则数列{a n }为递增数列B.若等比数列{b n }的公比q >1,则数列{b n }为递增数列C.若b 2=ac ,则a 、b 、c 成等比数列D.若S 2n−1是等比数列{c n }的前2n -1项和,则S 2n−1=0无解10.设函数f(x)=(−x +a )ln (x +b ),若f(x)≤0,则a 2+b 2的最值情况是( ) A.有最大值 B.无最大值 C.有最小值 D.无最小值 11.定义在R 上的函数f (x )的导函数为g (x ),且满足下列条件: f (2x )+f (−2−2x )=0,g (2x )=−g(2−2x),且f (1)=1. 则下列正确的是( )A.函数y =g (x )的周期为8B.函数y =g (2x )的图象关于点(1,0)对称C.函数y =f (x )的图象关于点(−1,0)对称D.∑f(i)2024i=1=0三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上.)12.若数列{a n }的通项公式是a n =2n ,且等比数列{b n }满足b 2=a 1,b 5=a 8,则b n =_____. 13.设函数f(x)=|sinωx |(ω>0),已知f(x 1)=1,f(x 2)=0,且|x 1−x 2|的最小值为π2,则ω=_____.14.在如下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有1个方格被选中,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(13分) 2021年8月,义务教育阶段“双减”政策出台,某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程.,400,:(1)若从样本内喜欢奥数的人中用分层抽样方法随机抽取人则应在组、B 组各抽取多少人？ (2)依据小概率值α=0.005的独立性检验,能否认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？ 附:参考公式:()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++,其中n a b c d =+++.16.(15分)阅读一元二次方程韦达定理的推导过程,完成下列问题:设一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0,a,b,c ∈R )的两根为x 1,x 2,则ax 2+bx +c =a(x −x 1)(x −x 2), 展开得: ax 2+bx +c =ax 2−a (x 1+x 2)x +ax 1x 2,比较系数得: b =−a (x 1+x 2),c = ax 1x 2, 于是x 1+x 2=−ba ,x 1x 2=ca .(1)已知一元三次方程ax 3+bx 2+cx +d =0(a ≠0,a,b,c,d ∈R )的三个根为x 1,x 2,x 3,类比于上述推导过程,求x 1x 2x 3;(2)已知f (x )=x 3−6x 2+9x +1,若存在三个不相等的实数m,n,t,使得f (m )=f (n )=f (t ),求mnt 的取值范围.17.(15分)如图所示,l 1与l 2之间的距离为2,l 2与l 3之间的距离为1,且点A 、B 、C 分别在l 1、l 2、l 3上运动,∠CAB =π3,令∠CAF =α.(1)判断△ABC 能否为正三角形？若能,求出其边长的值;若不能,请说明理由; (2)求△ABC 面积的最小值.Fl 1l 3l 2ACBα18.(17分)已知函数f (x )=12ax 2+4x −lnx(a ∈R).(1)若函数y =f (x )在(0,+∞)上是减函数,求实数a 的取值范围;(2)“若函数y =f (x )在(0,1)上只有一个极值点,求实数a 取值的集合”,某同学给出了如下解法: 由f ′(x )=24ax +4−1x=24ax 2+4x−1x=0在(0,1)上只有一个实数根,所以△=16+96a =0,得a =−16,此时x =12∈(0,1).所以,实数a 取值的集合为{−16}.上述解答正确吗？若不正确,说明理由,并给出正确的解答; (3)若函数f (x )有两个极值点x 1,x 2,证明:f (x 1)+f (x 2)>3+2ln 2.19.(17分)设函数f (x )=e x .(1)设g(x)=f (x )−ax −1,讨论g(x)的单调区间;(2)设曲线y =f (x )在点(n,f (n ))(n ≥2,n ∈N)处的切线与x 轴、y 轴围成的三角形面积为S n ,令c n =Snn 2,求∑lnc n n i=2;(3)若0x ∀≥,f (ax )≥sinx −cosx +2,求实数a 的取值范围.绵阳南山中学集团学校高2022级10月联考数学参考答案一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.) D B D A A B B C二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.)9.AD 10.BC 11.ACD三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)12.2n−113.1 14.126四、解答题(本题共5小题,共77分.)15.(1)应在A组抽取3215020240⨯=人,应在B组抽取329012240⨯=人.(2)零假设为H0：选报奥数延时课与喜欢奥数无关联,根据列联表中的数据,经计算可得22400(1501109050)37.57.879200200240160χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯,根据小概率值α=0.005的独立性检验,我们推断零假设不成立,即认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关联,此推断犯错误的概率不大于0.005.16.(1)由题意知ax3+bx2+cx+d= a(x−x1)(x−x2)(x−x3),展开得: ax3+bx2+cx+d=ax3−a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x3x1)x−ax1x2x3,比较系数得d=−ax1x2x3,即x1x2x3=−da.(2)令f(m)=f(n)=f(t)=s,则m,n,t是方程f(x)−s=0的三根,即为x3−6x2+9x+1−s=0的三个不等根,由上知mnt=s−1.f′(x)=3x2−12x+9=3(x−3)(x−1),于是f(x)在(−∞,1)上递增,在(1,3)上递减,在(3,+∞)上递增,且f(0)=f(3)=1,f(1)=f(4)=5,函数f(x)的大致图象如下:为使得y=f(x)与y=s有三个不同的交点,则s∈(1,5),故mnt=s−1∈(0,4).17.如下图所示,过C作CD⊥l1,过B作BE⊥l1,垂足分别为D、E.因∠CAF=α,且∠CAB=π3,所以0<α<2π3,∠BAE=2π3−α.在△ACD中,AC=3sinα,在△ABE中,AB=2sin(2π3−α).(1)由△ABC是正三角形,则AC=AB,即3sinα=2sin(2π3−α),3sin(2π3−α)=2sinα,3√3 2cosα=12sinα,得tanα=3√3,于是sinα=√32√7所以边长AC=3sinα=2√213.y5s1431xOEDαBCAl2l3l1F(2)由上知,S△ABC=12AB∙AC∙sinπ3=3√32∙1sinαsin(2π3−α)=3√32√32sinαcosα+12sin.而√32sinαcosα+12sin2α=√34sin2α−14cos2α+14=12sin (2α−π6)+14.因为0<α<2π3,所以−π6<2α−π6<7π6,所以当2α−π6=π2,即α=π3时,√3 2sinαcosα+12sin2α取最大值34.从而α=π3时,S△ABC取最小值3√32∙43=2√3,故S△ABC的最小值为2√3.18.(1)f′(x)=24ax+4−1x =24ax2+4x−1x,由条件知f′(x)≤0(x>0)恒成立,即24ax2+4x−1≤0⇒24a≤(1x )2−4×1x=(1x−2)2−4,因为=(1x−2)2−4≥−4,所以24a≤−4,则a≤−16.(2)上述解答不正确.由条件知,g(x)=24ax2+4x−1在(0,1)上只有一个变号零点.当a=0时,g(x)=0得x=14∈(0,1),且f(x)在(0,14)上是减函数,在(14,1)上是增函数,符合题意;当a>0时,为使g(x)在(0,1)上只有一个变号零点,则{a>0g(1)≥0,解得a>0;当a<0时,为使g(x)在(0,1)上只有一个变号零点,则{a<0g(1)≥0,解得−18≤a<0.综上,实数a取值的集合是[−18,+∞).(3)因为函数f(x)有两个极值点x1,x2,所以g(x)=24ax2+4x−1=0在(0,+∞)上的两个不等实根为x1,x2,于是{△=16+96a>0−112a>0⇒−16<a<0,且x1+x2=−16a,x1x2=−124a.所以f(x1)+f(x2)=12ax12+4x1−lnx1+12ax22+4x2−lnx2=12a(x12+x22)+4(x1+x2)−ln(x1x2)=12a[(x1+x2)2−2x1x2]+4(x1+x2)−lnx1x2=12a[136a2+112a]−23a−ln(−124a)=1−13a−ln(−124a).令−124a =t,则t>14,于是f(x1)+f(x2)=1+8t−ln t.令ℎ(t)=1+8t−ln t(t>14), ℎ′(t)=8−1t=8t−1t>0,所以ℎ(t)=1+8t−ln t在(14,+∞)上是增函数,所以ℎ(t)>ℎ(14)=3+2ln2,即f(x1)+f(x2)>3+2ln2.19.(1)g(x)=e x−ax−1,则g′(x)=e x−a。

2024-2025学年福建省部分优质高中高三（上）联考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合M ={x|−1≤x <5}，N ={x ∈N||x|≤2}，则M ∩N =( )A. {x|−1≤x ≤2}B. {x|−1≤x <5}C. {−1,0,1,2}D. {0,1,2}2.已知复数z 在复平面内对应的点为(2,−2)，则复数z 的虚部为( )A. −2B. −2iC. 2D. 2i3.若双曲线x 29−y 211=1的右支上一点P 到右焦点的距离为9，则P 到左焦点的距离为( )A. 3B. 12C. 15D. 3或154.已知某圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，高为23，则该圆台的体积为( )A. 63πB. 1433πC. 73πD. 283π5.函数f(x)=lg10−2x 2的值域为( )A. (−∞,1]B. (0,1]C. (0,12]D. (−∞,12]6.“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”，《增广贤文》是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是(1+1%)365=1.01365；如果每天的“落后”率都是1%，那么一年后是(1−1%)365=0.99365.一年后“进步”的是“落后”的1.013650.99365=(1.010.99)365≈1481倍.现假设每天的“进步”率和“落后”率都是20%，要使“进步”的是“落后”的100倍，则大约需要经过( )天(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)．A. 15B. 11C. 7D. 37.函数f(x)=x 2log 42+x2−x 的大致图象是( )A. B. C. D.8.已知函数f(x)的定义域为R ，则“f(x +1)+f(x)=0”是“f(x)是周期为2的周期函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件二、多选题：本题共3小题，共18分。

九师联盟2024届高三教学质量监测10月联考（全国卷）文科数学试题及参考答案一、选择题：本题12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()0sin ,0<∈∃θπθ，：p ，则p ⌝为（）A .()0sin ,0≥∈∃θπθ，B .()0sin ,0<∉∃θπθ，C .()0sin ,0<∉∀θπθ，D .()0sin ,0≥∈∀θπθ，2.设集合(){}3ln -==x y x A ，{}1-≤=x x B ，则()=B A C R （）A .{}31≤≤-x xB .{}31≤<-x xC .{}31<≤-x x D .{}31<<-x x 3.已知()m P ,1是角θ的终边上一点，2tan -=θ，则=θsin （）A .552-B .55-C .55D .5524.已知平面向量b a ，和实数λ，则“b aλ=”是“b a 与共线”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件5.扇子是引风用品，夏令营必备之物.我国传统扇文化源远流长，是中华文化的一个组成部分.历史上最早的扇子是一种礼仪工具，后来慢慢演变为纳凉、娱乐、观赏的生活用品和工艺品.扇子的种类较多，受大众喜爱的有团扇和折扇.如图1是一把折扇，是用竹木做扇骨，用特殊纸或凌娟做扇面而制成的.完全打开后的折扇为扇形（如图2），若图2中θ=∠AOB ,D C ,分别在OB OA ,上，m BD AC ==，弧AB 的长为l ，则该折扇的扇面ABDC 的面积为（）A .()2θ-l m B .()2m l m θ-C .()22θ-l m D .()22m l m θ-6.已知6.023-⎪⎭⎫⎝⎛=a ，41log 31=b ，9.032⎪⎭⎫⎝⎛=c ，则（）A .ac b >>B .ba c >>C .ca b >>D .bc a >>7.已知316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+62sin πα（）A .322B .32C .922D .978.已知函数()12++-=ax x x f 在[]2,1上的最大值也是其在[]2,1上的极大值，则a 的取值范围是（）A .[)∞+，2B .[)∞+，4C .[]4,2D .()4,29.已知函数()21sin cos sin 32-+=x x x x f ，若将其图象向左平移()0>ϕϕ个单位长度得到的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（）A .12πB .6πC .3πD .2π10.如图，已知两个单位向量OB OA ,和向量OC ，2=OC .OA 与OC 的夹角为θ，且102cos =θ，OB 与OC 的夹角为4π，若()R y x OB y OA x OC ∈+=,，则=-y x （）A .1-B .21-C .21D .111.在ABC ∆中，D 为BC 上一点，CAD BAD ∠=∠，若221===AB AD AC ，则=BC （）A .22B .32C .23D .5212.已知函数()x f 的定义域为R ，若R x ∈∀，()()04=-++x f x f ，且()1+x f 为偶函数，()11-=f ，则()=2023f （）A .1B .1-C .2D .2-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()()xa x x f 21log ++=（0>a ，且1≠a ）的图象过定点.14.已知向量b a ,满足4,5==b a，b a 与的夹角为120°，若()()b a b a k +⊥-2，则=k .15.已知函数()xe x xf 1-=，则曲线()x f y =在点()()0,0f 处的切线方程为.16.函数xx xx y cos sin 2cos sin --=的值域为.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知()x x a sin ,cos 22= ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=x b cos 3,21 ，()b a x f ⋅=.（1）求函数()x f 的最小正周期和单调递减区间；（2）在ABC ∆中，π127=+B A ，()1=A f ，32=BC ，求边AC 的长.18.（12分）已知函数()()x m x f x-+=1log 3（0>m ，且1≠m ）是偶函数.（1）求m 的值；（2）若关于x 的不等式()()()0333321≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⋅-a xx x f 在R 上有解，求实数a 的最大整数值.19.（12分）已知αsin 是方程06752=--x x 的根.（1）求()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅-⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπαπαπαππα2cos 2cos tan 2cos 23cos 23sin 的值；（2）若α是第四象限角，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-201356sin πβπβ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6sin πβα的值.20.（12分）已知函数()()R a x x a x f ∈-=ln .（1）讨论()x f 的单调性；（2）若()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e e上有2个零点，求a 的取值范围.21.（12分）南京玄武湖称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊.在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉.夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台P 在半圆形的中轴线OC 上（图中OC 与直径AB 垂直，P 与C O ,不重合），通过栈道把AB PC PB P A ,,,连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感.已知m AB 200=，θ=∠P AB ，栈道总长度为函数()θf .（1）求()θf ；（2）若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台P 的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值.22.（12分）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，S 为ABC ∆的面积，且()222c b S a -+=.（1）求A tan 的值；（2）若8=a ，证明：5816≤+<c b .参考答案一、选择题1.D 解析：由含有量词的命题的否定的特点知p ⌝为()0sin ,0≥∈∀θπθ，.2.B解析：由题意得{}3>=x x A ，{}31>-≤=x x x B A 或 ，则()=B A C R {}31≤<-x x .3.A解析：由三角函数的定义知2tan -==m θ，∴55252sin -=-=θ.4.A 解析：若b a λ=，由共线向量定理知b a 与共线，知“b aλ=”是“b a 与共线”的充分条件；若b a 与共线，如()()0,02,1==b a ，，则b a λ=不成立，故“b aλ=”不是“b a 与共线”的必要条件.综上，“b aλ=”是“b a 与共线”的充分不必要条件.5.D解析：由弧长公式可知，OA l ⋅=θ，∴θlOA =，则m lOC -=θ，∴该折扇的扇面的面积为：=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅22121m l l l θθθ()22m l m θ-.6.C 解析：9.06.06.00323223231⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛=-，即c a >>1，又14log 41log 331>=，∴c a b >>.7.D解析：976sin 2162cos 262sin 62sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+παπαππαπα.8.D解析：()x a x f 2-='，令()0='x f ，得2a x =，由题意得()2,12∈a，∴()4,2∈a .9.A解析：∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-+=62sin 2cos 212sin 2321sin cos sin 32πx x x x x x x f ，将其图象向左平移()0>ϕϕ个单位长度得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-+=622sin πϕx y 的图象，∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=622sin πϕx y 的图象关于原点对称，∴()Z k k ∈=-ππϕ62，即()Z k k ∈+=212ππϕ，由于0>ϕ，当0=k 时，ϕ取得最小值12π.10.B 解析：由[]πθθ，，0102cos ∈=，得10271021sin 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θ，∴534cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθ，由题意得14cos21=⨯=⋅πOC OB ，51cos 21=⨯=⋅θOC OA ，53-=⋅OB OA ，在OB y OA x OC +=两边分别点乘OB OA ,，得5153=-=⋅y x OC OA ，153=+-=⋅y x OC OB ，两式联立并解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==4745y x ，∴21-=-y x .11.C 解析：设θ=∠BAC ，由CAD BAD ABC S S S +=∆∆，得2sin 212sin 21sin 21θθθAD AC AD AB AC AB ⋅+⋅=⋅，即2sin 2sin 2sin 2θθθ+=，∴2sin 32cos 2sin 4θθθ=，∵()πθ，0∈，∴02sin ≠θ，∴432cos =θ.∴811cos 2cos 2=-=θθ，∴1881242416cos 2222=⨯⨯⨯-+=⋅-+=θAC AB AC AB BC ，∴23=BC .12.A ∵()1+x f 为偶函数，即()()11+=+-x f x f ，∴()()x f x f -=2，又由()()04=-++x f x f ，∴()()()x f x f x f -=--=+22，∴()()x f x f =+4，故()x f 为周期函数且4是一个周期，∴()()()1132023=-==f f f .二、填空题13.()1,0解析：当0=x 时，a 在()()∞+，11,0 上无论取何值，()x f 的值总为1，故函数()x f 的图象过定点()1,0.14.54解析：由题意可得102145120cos -=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=︒=⋅b a b a .由()()b a b a k+⊥-2，得()()()()02101622522222=--⨯-=⋅-+-=+⋅-k k b a k b ak b a b a k，解得54=k .15.012=--y x 解析：()()()x x xx exe e x e xf -=--='212，∴()20='f ，又()10-=f ，故所求切线方程为()()021-=--x y ，即012=--y x .16.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-522522，解析：令x x t cos sin -=，则()2221cos sin 2≤≤--=t t x x ，∴232tty +=()22≤≤-t ，当0=t 时，0=y ，当22≤≤-t ，且0≠t 时，tt y 32+=，令tt u 3+=，已知u 的值域为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-，，522522 ，∴tt y 32+=的取值范围为⎦⎤⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-52200522，， .综上所述，所求函数的值域为⎦⎤⎢⎣⎡-522522，.三、解答题17.解：（1）由题意得()2162sin 2sin 232cos 2121cos sin 3cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+=πx x x x x x x f ，∴()x f 的最小正周期ππ==22T ,令()Z k k x k ∈+≤+≤+πππππ2236222，解得()Z k k x k ∈+≤≤+ππππ326，∴()x f 的单调递减区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ326，.（2）由（1）知()12162sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f ,∴2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，又()π，0∈A ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+613662πππ，A ，∴6562ππ=+A ，∴3π=A .∵π127=+B A ，∴4π=B ，由正弦定理得ABCB AC sin sin =，∴22232232sin sin =⨯==A B BC AC .18.解：（1）∵()x f 为偶函数，∴()()x f x f -=对任意的R x ∈恒成立，即()()x m x m x x-+=++-1log 1log 33对任意的R x ∈恒成立，又()()()m x m m m mm mxx x xx x333333log 1log log 1log 1log 1log -+=-+=+=+-，∴()()x m x m x m xx-+=+-+1log log 1log 333对任意的R x ∈恒成立，即()02log 3=-m x 对任意的R x ∈恒成立，必须02log 3=-m ，即9=m ，故9=m .（2）由（1）知，()()x x f x-+=19log 3，故()()x x x x f x 3133319log 3+==-+.设()()()233≥+=-t t x x ，则23132++=x x t ，即23132-=+t x x ，∴圆原问题等价于关于t 的不等式013212≤-+-a t t 在[)∞+，2上有解，∴max21321⎪⎭⎫⎝⎛--≤t t a ，又()[)+∞∈+--=--=,2,211321132122t t t t y ，∴当3=t 时，211max =y ，∴211≤a ，故实数a 的最大整数值为5.19.解：（1）由αsin 是方程06752=--x x 的根，得53sin -=α或2sin =α（舍），原式()()αααααππαsin sin tan cos 23cos 23sin -⋅-⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=()()αααααααααααcos sin cos sin cos cos sin tan cos sin cos 2-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=---=.由53sin -=α，∴α是第三象限或第四象限角，若α是第三象限角，则54cos -=α，此时54cos =-α；若α是第四象限角，则54cos =α，此时54cos -=-α.故所求式子的值为54或54-.（2）由（1）知，当α是第四象限角时，53sin -=α，54cos =α，由⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫ ⎝⎛-201356sin πβπβ，得13126cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6sin cos 6cos sin 6sin 6sin πβαπβαπβαπβα655613554131253-=⨯-⨯-=.20.解：（1）函数()x f 的的定义域为()+∞,0，且()()01>-=-='x xxa x a x f .当0≤a 时，()0<'x f 在()+∞,0上恒成立，故()x f 在()+∞,0上单调递减；当0>a 时，令()()00>>'x x f ，得a x <<0，令()0<'x f ，得a x >，∴()x f 在()a ,0上单调递增，在()+∞,a 上单调递减.综上所述，当0≤a 时，()x f 在()+∞,0上单调递减；当0>a 时，()x f 在()a ,0上单调递增，在()+∞,a 上单调递减.（2）若0=a ，()x x f -=，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e e上无零点，不合题意；若0≠a ，由()0=x f ，得xxa ln 1=，令()x x x g ln =，则直线a y 1=与函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e e 上的图象有两个交点，()2ln 1x x x g -='，当e x e <<1时，()0>'x g ，当2e x e <<时，()0<'x g ，∴()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上单调递增，在[]2,e e 上单调递减.∴()()ee g x g 1max==，又()2221e eg e e g =-=⎪⎭⎫ ⎝⎛，，∴要使直线a y 1=与函数()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,1e e 上的图象有两个交点，则e a e 1122<≤，∴22e a e ≤<，即实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛22e e ，.21.解：（1）由题意知θ=∠P AB ，40πθ<<，AB OC ⊥,100==OB OA ,则θcos 100==PB P A ，θtan 100=PO ，∴θtan 100100-=PC ，∴()200tan 100100cos 200+-+=+++=θθθAB PC PB P A f ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=403cos sin 2100πθθθ.（2）建造栈道的费用()()⎪⎭⎫⎝⎛+-==3cos sin 25005θθθθf F ，()θθθ2cos 1sin 2500-⨯='F ，令()0='θF ，得21sin =θ，又40πθ<<，∴6πθ=.当60πθ<<时，()0<'θF ，当46πθπ<<时，()0>'θF ，∴()θF 在⎪⎭⎫ ⎝⎛60π，上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛46ππ，上单调递增，∴()()335006min +=⎪⎭⎫⎝⎛=πθF F ，此时331001006tan 100100-=-=πPC ，故观景台位于离岸边半圆弧中点距离⎪⎪⎭⎫⎝⎛-33100100米时，建造费用()33500+万元.22.解：（1）∵ABC ∆的面积为A bc S sin 21=，()222c b a S --=，∴bc c b a A bc 2sin 222+--=，由余弦定理得A bc c b a cos 2222-=--,∴A bc bc A bc cos 22sin --，∵0≠bc ，∴2cos 2sin =+A A ，11又⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，A ，1cos sin 22=+A A ，∴2sin 12sin 2=-+A A ，化简得0sin 4sin 52=-A A ，解得54sin =A 或0sin =A （不合题意，舍去）.∵⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，A ，∴53sin 1cos 2=-=A A ，34cos sin tan ==A A A .（2）证明：由正弦定理，得10548sin sin sin ====A a C c B b ，∴()B A C c B b +===sin 10sin 10sin 10，，∴()()ϕ+=+=++=+B B B B A B c b sin 58cos 8sin 16sin 10sin 10，其中ϕ为锐角，且552cos 55sin ==ϕϕ，.∵⎪⎭⎫⎝⎛∈20π，A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πϕ，，∴22πϕπ<-<-A ，又ϕsin sin >A ，∴ϕ>A ，∴20πϕ<-<A ，∴220πϕπ<+-<A ，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<<2020ππB C ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<<--<2020πππB B A ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-202πππB A B A ，∴22ππ<<-B A .∴ϕπϕϕπ+<+<+-22B A ，∵函数x y sin =在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2上单调递减，且()A A A A sin sin cos cos cos 2sin ϕϕϕϕπ+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-552545553552=⨯+⨯=552cos 2sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕϕπ，∴()58sin 585258≤+<⨯ϕB ，即5816≤+<c b .。

山东省新高考联合质量测评2025届高三上学期10月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|y =2x−1}，B ={y|y =2x +1,x ∈R}，则A ∩∁R B =( )A. {x|x ≥1}B. {x|x <12}C. {x|12≤x ≤1}D. {x|0<x ≤12}2.在等差数列{a n }中，已知a 1=−9，a 3+a 5=−9，a 2n−1=9，则n =( )A. 7B. 8C. 9D. 103.“a ≥1”是“函数f(x)={ax−sin x,x⩽0,x 2+ax−a +2,x >0在R 上单调递增”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1的各棱长均为6，∠A 1AB =∠A 1AD =∠DAB =60∘，则|AC 1|=( )A. 66B. 65C. 63D. 625.已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，其中|q|<1，其前n 项和为S n ，下列条件中，能使得3S n <2a 11−q (n ∈N ∗)恒成立的是( )A. a 1=1，q =12 B. a 1=12，q =13C. a 1=−1，q =−12D. a 1=−12，q =136.已知函数f(x)=x +1x ，若正数a ，b 满足a +b =1，则f(a)f(b)的最小值是( )A. 2B. 174C. 4D. 2547.在直四棱柱ABCD−A 1B 1C 1D 1中，∠BAD =π3，AB =AD =AA 1=2，点Q 在侧面DCC 1D 1内，且A 1Q =7，则点Q 轨迹的长度为( )A. π6 B. π3C. 2π3D. 4π38.若过点(1,m)可以作y =(x +1)e x 的三条切线，则实数m 的取值范围是( )A. (−4e −2,0)B. (−6e −3,0)C. (−6e −3,2e)D. (e,2e)二、多选题：本题共3小题，共18分。

高三数学试卷注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一井交回．4本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，解三角形．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I 已知全集U=AvB={0,1,2,3,4,5},A^（见B)= {1,3,5}，则集合B =(）A.{1,3,5}B.{0,2,4}C.0D.{0,1,2,3,4,5}25兀25冗2.sin" �-cos —= （）1212 1-2A 五2B1-2c石D.－—3已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)-f(x -y)=2f(y)，则/(0)=()A.0B.IC.2D.-14已知x>O,y>O,且－＋2y =l.则2x ＋一的最小值为（）yA.2B.4C.6 D .85设函数f(x)=ln 伬＋l)+sin.x+1,则曲线y =f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A -B . -C .－D22 3636把某种物体放在空气中，若该物体原来的温度是0“C ，空气的温度是0。

'C,则mun 后该物体的温度0°C 满足0=0。

+（O '飞）e 了若O 。

,0'不变，在t 1m i n ,t 2min 后该物体的温度分别为O1°C,02°C ，且O.＞仇，则下列结论正确的是（）22t t ＞＜ l l t t A BC若0'＞0。

，则t.>片若0'＜0。

，则t1< t2D若0'＞0o，则t.＜片若0'＜0o，则t1> t27已知log.,m> l(m, n > 0且m*l,n* l),m+n= e2,则（）A.(m-n，十l)e<lB.(m-n+l)">lC.lm-nl e<lD.lm-nl e>I8在c,.ABC中，AB=4,BC=6，乙ABC=90°,点P在c,.AB C内部，且乙BPC=90°,AP =2,记乙ABP=a,则tan2a=()3 24 3A.2B.3C.3D.4二多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9已知命题p玉eR,x-l xl>x2，命题q如aE（沪），cos(¾-a)=s in（千叶，则（）A.P是真命题B勹D是真命题c.q是真命题 D ---q是真命题10已知函数f(x)=c o s(x+：），则（）A.f(x)为偶函数B.f(x)的最大值为cos2c.J(x)在(1,2)上单调递减D.f(x)在(1,20)上有6个零点11已知函数f(x)=�x, +bx'+ex,下列结论正确的是()A若x=X。

高三联考数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}045,ln A xx B x y x =-==∣∣……，则A B ⋂=（ ）A.[]0,4B.(]0,1C.(]0,4D.[]0,12.某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位：C ），分别为6,8,6,10,6,5,9,11，则该组数据的第60百分位数为（）A.6B.7C.8D.93.已知焦点在y 轴上的椭圆()222:104x y C m m+=>的焦距为2，则其离心率为（ ）D.4.已知()3sin2,0,π4αα=-∈，则sin cos αα-=（ ）A.12B.12- D.5.已知圆台甲､乙的上底面半径均为r ，下底面半径均为3r ，圆台甲､乙的母线长分别为3,4r r ，则圆台甲与乙的体积之比为（）6.已知平面向量,a b 均为非零向量，则“a ∥b ”是“a b b a ++= ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知0a >且1a ≠，若函数()1,0,log 1,a x a f x x x x a⎧<⎪=⎨⎪+>⎩…的值域为R ，则a 的取值范围是（ ）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.(]1,2 D.[)2,∞+8.已知函数()sin2cos2f x x a x =+的图象关于直线π12x =对称，则当[]0,2πx ∈时，曲线()y f x =与cos y x =的交点个数为（ ）A.3B.4C.5D.6二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数z 满足13i 3i z =+-，则（ ）A.10z =B.86iz =-C.z 的虚部为8D.z 在复平面内对应的点位于第一象限10.已知F 是抛物线2:4C y x =的焦点，l 是C 的准线，点N 是C 上一点且位于第一象限，直线FN 与圆22:670A x y x +-+=相切于点E ，点E 在线段FN 上，过点N 作l 的垂线，垂足为P ，则（ ）A.EF =B.直线FN 的方程为10x y --=C.4NF =+D.PFN的面积为6+11.已知奇函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若()()222f x f x x =-+-，且()32f =，则（ ）A.()56f -=-B.()()4f x f x +=C.()101101f =' D.1001()5050i f i ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知等比数列{}n a 的公比不为1，且324,,a a a 成等差数列，则数列{}n a 的公比为__________.13.有红色､黄色2套卡片，每套3张，分别标有字母A ，B ，C ，若从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个是相同的，则不同的取法种数为__________.14.若直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-有3个交点，则k 的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos 0c C a B b A ++=.（1）求C ；（2）若2a c b +=，求cos A .16.（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 的等边三角形，111π2,4AA B BC B BA ∠∠===.（1）证明：1AC BB ⊥.（2）求平面ABC 与平面1ACC 夹角的余弦值.17.（15分）已知甲､乙两人参加某档知识竞赛节目，规则如下：甲､乙两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，甲､乙两人初始分均为0分，答题过程中当一人比另一人的得分多2分时，答题结束，且分高者获胜，若甲､乙两人总共答完5题时仍未分出胜负，则答题直接结束，且分高者获胜.已知甲､乙两人每次抢到题的概率都为12，甲､乙两人答对每道题的概率分别为35,412，每道题两人答对与否相互独立，且每题都有人抢答.（1）求第一题结束时甲获得1分的概率；（2）记X 表示知识竞赛结束时，甲､乙两人总共答题的数量，求X 的分布列与期望.18.（17分）已知y =是双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的一条渐近线，点()2,2在C 上.（1）求C 的方程.（2）已知直线l 的斜率存在且不经过原点，l 与C 交于,A B 两点，AB 的中点在直线2y x =上.（i ）证明：l 的斜率为定值.（ii ）若()1,1,M MAB ，求l 的方程.19.（17分）定义：对于函数()(),f x g x ，若()()()(),,0,,a b c f a f b g c ∞∀∈++>，则称“()()f x g x -”为三角形函数.（1）已知函数()ln f x x x =-，若()g x 为二次函数，且()()2g x g x -=，写出一个()g x ，使得“()()f x g x -”为三角形函数；（2）已知函数()()2,0,22x x t f x x ∞+=∈++，若“()()f x f x -”为三角形函数，求实数t 的取值范围；（3）若函数()()()ln ,ln 1ln f x x x g x x x x x =-=+-+，证明：“()()f x g x -”为三角形函数.（参考数据：3ln 0.4052≈）高三联考数学参考答案1.C {}[]{}()0451,4,ln 0,A xx B x y x ∞=-=-===+∣∣……，则(]0,4A B ⋂=.2.C 将这8个数据从小到大排列为5,6,6,6,8,9,10,11，因为60%8 4.8⨯=，所以该组数据的第60百分位数为8.3.B 因为椭圆C 的焦点在y 轴上，所以22415m =+=，故椭圆C的离心率e ==.4.C 因为()0,πα∈，且3sin22sin cos 04ααα==-<，所以π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos αα->0.因为27(sin cos )12sin cos 4αααα-=-=，所以sin cos αα-=.5.A圆台甲的高为==，所以V h V h ====甲甲乙乙.6.B 由a b b a ++= 可得a b a b +=- ，平方可得22222||2||||||a a b b a a b b +⋅+=-+ ，解得a b a b ⋅=- ，所以,a b 反向.故“a ∥b ”是“a b b a ++= ”的必要不充分条件.7.B ()f x 在(]0,a 上的值域为1,a ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.因为函数()f x 的值域为R ，所以()log 1a f x x =+在(),a ∞+上的值域包含1,a ∞⎛⎫- ⎪⎝⎭，则01a <<，且1log 1a a a +…，解得112a <…，所以a 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.8.B 由题可知()π06f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2a a =+，解得a =()πsin22sin 23f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.在坐标系中结合五点法画出()y f x =与cos y x =的图象，如图所示.由图可知，共有4个交点.9.ACD 由题可知()()213i 3i 38i 3i 68i z =+-=+-=+，则10,68i z z ===-，z 的虚部为8,z 在复平面内对应的点为()6,8，位于第一象限.故选ACD.10.BC 22670x y x +-+=可化为22(3)2x y -+=，所以圆心()3,0A.由题知焦点()1,0F，准线为直线1,x EF =-==A 错误.易知直线FN 的斜率存在，设直线FN 的方程为()1y k x =-，=，解得1k =±.因为切点E 在线段FN 上，所以1k =，故直线FN 的方程为10x y --=，B 正确.联立24,10,y x x y ⎧=⎨--=⎩可得2610x x -+=，所以3N x =+或3-（舍去），2134N y NF NP =+==++=+，C 正确.((1142822PFN N S NP y =⋅⋅=⨯+⨯+=+ ，D 错误.11.AD 因为()()222f x f x x =-+-，所以()()()22f x x f x x -=---.令()()g x f x x =-，则()()2g x g x =-，所以()g x 的图象关于直线1x =对称.因为()f x 与y x =都为奇函数，所以()g x 也是奇函数，则()g x 是以4为周期的周期函数，所以()()4g x g x +=.由()32f =，可得()()3331g f =-=-，所以()()531g g -==-，则()551f -+=-，解得()56f -=-，A 正确.()()()()44444f x g x x g x x f x +=+++=++=+，B 错误.由()()222f x f x x =-+-，求导可得()()22f x f x '=--+'，所以()()112f f '=-+'，即()11f '=.由()()44f x f x +=+，求导可得()()4f x f x ='+'，所以()()10111f f ='='，C 错误.100100100111()[()]5050i i i f i g i i i ===∑=∑+=∑=D 正确.12.2- 设等比数列{}n a 的公比为q ，由324,,a a a 成等差数列，得3422a a a +=，整理得220q q +-=，则2q =-.13.12 从这6张卡片中随机抽取4张，这4张卡片的字母恰有两个相同的情况共有1232C C =3种，字母不相同的2张卡片均有2种选择，所以不同的取法种数为23212⨯=.14.()1,0- 由()2e x y x =-，可得()1e x y x '=-，则()2e x y x =-在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，且当2x <时，()0f x <.直线2y kx =-恒过点()0,2-，当直线2y kx =-与曲线()2e xy x =-相切于点()00,x y 时，()()000002e 2,1e ,x x x kx x k ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩即()020022e 2x x x -+=.令()()222e x f x x x =-+，则()2e 0x f x x ='…，所以()f x 在R 上单调递增.因为()02f =，所以00,1x k ==-，结合图象（图略）可知，若直线2y kx =-与曲线(2)e x y x =-有3个交点，则k 的取值范围为()1,0-.15.解：（1）由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos 0C C A B B A ++=，所以()2sin cos sin 0,2sin cos sin 0C C A B C C C ++=+=，得1cos 2C =-.因为()0,πC ∈，所以2π3C =.（2）由余弦定理可得222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，因为2a c b +=，所以222(2)b a a b ab -=++，化简可得53b a =，则723c b a a =-=，所以222222571333cos 57214233a a abc a A bc a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===⨯⨯.16.（1）证明：过A 作1BB 的垂线，垂足为O ，连接OC .因为ABC 为等边三角形，所以AB BC =.因为11π,4BO BO B BC B BA ∠∠===，所以BOA BOC ≌，则1,AO CO BO CO ==⊥.又CO AO O ⋂=，所以1BB ⊥平面AOC ，因为AC ⊂平面AOC ，所以1AC BB ⊥.（2）解：由（1）可知1AO OC ==，所以222AO CO AC +=，故AO CO ⊥，所以,,OB OA OC 两两垂直，则以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.()()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0,2,1,0A B C C -，则1CC =(2,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)CA BC AB -=-=-=- .设平面ABC 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,0,x z x y -=⎧⎨-+=⎩令1x =，得()1,1,1m = .设平面1ACC 的法向量为(),,n a b c = ，则10,0,n CA n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20,b c a -+=⎧⎨-=⎩令1b =，得()0,1,1n =.cos ,m n m n m n ⋅<>== ，所以平面ABC 与平面1ACC.17.解：（1）第一题结束时甲获得1分的概率为131521242123⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知，在每道题的抢答中，甲､乙得1分的概率分别为21,33，X 的可能取值为2,4,5.()22115233339P X ==⨯+⨯=，()12212211204C 33333381P X ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()()()16512481P X P X P X ==-=-==，()520162502459818181E X =⨯+⨯+⨯=.18.（1）解：因为y =是双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线，所以b a =，因为点()2,2在C 上，所以22441a b-=，解得222,4a b ==，即C 的方程为22124x y -=.（2）（i ）证明：设():0l y kx t t =+≠，由22,1,24y kx t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得()2222240k x ktx t ----=，由题意得()22220,Δ8240k t k -≠=-+>.设()()1122,,,,A x y B x y AB 中点的坐标为()00,x y ，则12221222,24,2kt x x k t x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩所以12000222,222x x kt t x y kx t k k +===+=--.因为AB 的中点在直线2y x =上，所以002y x =，即222222t kt k k =--，因为0t ≠，所以1k =.（ii ）解：2AB x =-==点M 到l 的距离d所以12MAB S AB d =⋅== ，解得1t =±，所以l 的方程为10x y -±=.19.（1）解：由()ln f x x x =-，可得()11f x x'=-，令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<，可知()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()f x 的最小值为()11f =.因为“()()f x g x -”为三角形函数，所以()()0,,2c g c ∞∀∈+<.因为()()2g x g x -=，所以()g x 的图象关于直线1x =对称，又()g x 为二次函数，所以()22g x x x =-+.（答案不唯一，只需满足()22g x ax ax c =-+，且2,0c a a -<<即可）（2）解：()222221222222x x x x x t t t f x +++--===++++.当20t -=，即2t =时，()1f x =，此时()()()1f a f b f c ===，满足()()()f a f b f c +>，符合题意；当20t ->，即2t >时，()f x 是()0,∞+上的减函数，所以()f x 的值域为11,3t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()()(),,0,,a b c f a f b f c ∞∀∈++>，所以1113t ++…，得25t <…；当20t -<，即2t <时，()f x 是()0,∞+上的增函数，所以()f x 的值域为1,13t +⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为()()()(),,0,,a b c f a f b f c ∞∀∈++>，所以11133t t +++…，得1 2.2t <…综上，实数t 的取值范围是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）证明：由题可知()1ln 1g x x x =-+'.设()()1ln 1h x g x x x ==-+'，则()2110(1)h x x x =--<+'在()0,∞+上恒成立，所以()g x '在()0,∞+上单调递减.又()132310,ln 0.40.40502252g g ⎛⎫=>='-≈-⎪⎝⎭'< ，所以存在031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，即001ln 1x x =+①当()00,x x ∈时，()0g x '>，则()g x 在()00,x 上单调递增；当()0,x x ∞∈+时，()0g x '<，则()g x 在()0,x ∞+上单调递减.故当0x x =时，()g x 取得唯一极大值，也是最大值，令()g x 的最大值为M ，则()()00000ln 1ln M g x x x x x ==+-+.将①式代入上式，可得()()()200000000ln 1ln 111x x M g x x x x x x ==+-+=++++.令()()23ln 1,1,12x u x x x x ⎛⎫=++∈ ⎪+⎝⎭，则由()221201(1)x x u x x x +=+>++'，可知()u x 在31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()()()()20009355994ln 1ln ln 12,25122210102x M x u g c f a f b x ⎛⎫=++<=+=+<+<<+ ⎪+⎝⎭…成立.故“()()f x g x -”为三角形函数.。

2024-2025学年广东省部分学校高三上学期10月联考数学检测试题本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（ ）{}{}0,3A x x B x x =≥=≤()R A B =I ðA.B.C.D.()0,∞+[)0,+∞(],3-∞()3,+∞2. 已知，则（ ）21i z =-2z =A. B. C. D. 2i22i+23i+3i3. 已知，则（ ）0.2πππ,0.2,log 20.a b c ===A. B. C. D. b a c >>c b a>>a c b >>a b c>>4.已知，则（）()2tan 3tan 6αβα+==tan β=A. B. C. D. 233517125. 在中，为边上靠近点的三等分点，为线段（含端点）上一动点，ABC V D BC C E AD 若，则（ ）(),ED EB EC λμλμ=+∈RA. B. C. D.1λμ+=2μλ=3μλ=13λμ-=-6. 设等比数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 573103,9a aa a ==105S S =A. 243B. 244C. 81D. 827. 在四面体中，，且四面体的各ABCD 2,AB BC AC BD AD CD======ABCD 个顶点均在球的表面上，则球的体积为（）O OD.8. 设曲线，过点的直线与交于两点，线段的垂直平分:C x =)l C ,A B AB 线分别交直线于点，若，则的斜率可以为（）x =l,MN AB MN =l C. 2D. 22+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知曲线，则（ ）22:2312C x y +=A.的焦点在轴上B. 的短半轴长为C y C 2C. 的右焦点坐标为D. C )C 10. 已知正数满足，则（ ）,x y 111x y x y -+=-A.B. C. D.()lg 10y x -+>cos cos y x>20251y x->22y x ->-11. 已知定义在上且不恒为的函数对任意，有，R 0()f x ,x y ()()()2f xy f x xf y +=+且的图象是一条连续不断的曲线，则（ ）()f x A.的图象存在对称轴B.的图象有且仅有一个对称中心()f x ()f xC.是单调函数 D.为一次函数且表达式不唯一()f x ()f x 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 样本数据的极差和第75百分位数分别为______．90,80,79,85,72,74,82,7713. 已知函数在区间上有且仅有1个零点，则最()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 小正周期的最小值为______．14. 已知数列中，，则______．{a n }111,n n a a na +==1111112k k k a a a =-=∑四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15. 仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y （单位：cm ），与其根茎长度x （单位：cm ）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据：样本编号i1234根茎长度ix 10121416植株高度iy 6286112132参考数据：．()()44221120,59.1iii i x x y y ==-=-=≈∑∑（1）由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系（若r y x ，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）；0.75r >（2）求关于的线性回归方程.y x 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 计公式，相关系数的公式分别为r．()()()121,,nniii ni i x x y y x y bay bx r x x==--==-=-∑∑ 16. 已知中，角的对边分别为，且．ABC V ,,A B C ,,a b c 222cos sin2sin2ab C a B b A =+（1）求；C （2）若，求面积的最大值．2c =ABC V 17. 如图，五面体中，底面四边形为边长为的正方形，．ABCDMN ABCD 41MN =（1）证明：；//AB MN （2）已知为线段的中点，点在平面上的投影恰为线段的中点，直线G CD M ABCD BG 与平面，求直线与平面所成角的正弦值．MG ABCD AN ADM 18. 已知函数．()e e ln 2a a f x x a x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）当时，求零点的个数；0a <()f x （3）当时，，求的取值范围．1x ≥()()e 1f x x ≥-a 19. 现定义：若对于集合满足：对任意，都有，则称是可分比集M ,a b M ∈[]2,3ab ∉M 合．（1）证明：是可分比集合；{}1,4,6,7（2）设集合均为可分比集合，且，求正整数的最大值；,A B {}1,2,,A B n = n （3）探究是否存在正整数，对于任意正整数，均存在可分比集合，使k n 12,,,k M M M得．若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．{}121,2,,k M M M n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ k。

2024-2025学年浙江省金华市高三上学期10月联考数学检测试卷考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）{}2450A x x x =--<∣{}2,0,2,4,10B =-A B = A .B.{}2,0,2,4-{}2,10-C.D.{}0,2,4{}2,42. 已知，则（）1i z =--()1i z -=A .B. 1D. 22-3. 已知非零向量，，则“”是“向量”的（）a b a b a b +=- a b ⊥ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）()224xy +=αcos α=A. B. D. 35455. 二项式的展开式中的常数项为（ ）622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A. 480B. 240C. 120D. 156. 已知底面半径为2的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为SO 1，则此圆柱侧面积与圆锥侧面积的比值为（）SO A. 1D. 127. 函数在区间上的所有零点之和为（ ）()5πsin cos cos 24x f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()π,2π-A .B. C. D. 4π2π3π8. 已知函数的定义域为，当或或是无理数时，；当()f x []0,10x =1x =x ()0f x =（，，是互质的正整数）时，．那么当，，，都n x m =n m <m n ()1f x m =a b a b +ab 属于时，下列选项恒成立的是（）[]0,1A. B. ()()()f a b f a f b +≤+()()()f a b f a f b +≥⋅C.D.()()()f ab f a f b ≥+()()()f ab f a f b ≥⋅二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则（X Y ()2,1X N ()4,0.5Y B ~）A. B. ()()04P X P X ≤=≥()()04P Y P Y ≤=≥C.D.()()E X E Y =()()22P X P Y ≤=≤10. 在正四棱柱中，，点是棱上的动点（不含端点），1111ABCD A B C D -12AB AA =M 1DD 则（）A. 过点有且仅有一条直线与直线，都垂直M AC 11B DB. 过点有且仅有一条直线与直线，都相交M AC 11B DC. 有且仅有一个点满足和的面积相等M MAC △11MB D D. 有且仅有一个点满足平面平面M MAC ⊥11MB D 11. 已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（ ）()00,P x y 33:C x y y x +=-A. 曲线的图象关于原点对称C B. 对任意，直线与曲线有唯一交点0x ∈R 0x x =C PC. 对任意，恒有[]01,1y ∈-012x <D. 曲线在的部分与轴围成图形的面积小于C 11y -≤≤y π4三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则22143x y +=1F 2F P 212PF F F ⊥线段__________．2PF =13. 已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为e xy =1x =l ln y a x =+a ______．14. 数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，0x 就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，0x 2-1x 0x 1x 就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛0x 2-1x 0x 1x 掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的2x 20x x >0x 取值范围是__________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15. 在中，角的对边分别为，，，已知，ABC V ,,A B C a b c 222c a b ab =++．()sin cos C B A-=（1）求角和角．C B （2）若边的面积．BC ABC V 16. 已知双曲线与过点，的直线有且只2222:1(0,0)x y C a b ab -=>>A⎫⎪⎭(0,B有一个公共点，且双曲线的离心率．T C e =（1）求直线和双曲线的方程；AB C （2）设，为双曲线的左、右焦点，为线段的中点，求证：1F 2F C M 2AF ．21MTF TF A ∠=∠17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三P ABCD -ABCD 60BAD ∠=PAD 角形，是棱的中点．M PC（1）证明：；AD DM ⊥（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．P AD B --60oDM PAB 18. 已知函数．()()e xf x x a =-（1）若，求函数的单调区间和最值；2a =()f x （2）若，且一次函数的图象和曲线相切于处，求函数0a ≤()y g x =()y f x =1x =-的解析式并证明：恒成立．()g x ()()g x f x ≤（3）若，且函数在上有两个极值点，求实数的1a =()()()2h x f x t x x =--1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭t 取值范围．19. 已知整数，数列是递增的整数数列，即4n …{}n a 且．数列满足，．若对于12,,,n a a a ∈Z12n a a a <<<{}n b 11b a =n n b a =，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数{}2,3,,1i n ∈- 1i i b a --k {}n b {}n a k 列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的{}2,3,,1i n ∈- 1i i a b +-k {}n b {}n a “右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数k {}2,3,,1i n ∈- 1i i a b k +-=1i i b a k --=列为的“左右型间隔数列”．{}n b {}n a k （1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”；{}:1,3,5,7,9n a （2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列{}n a ()81n a n n =-{}n b {}n a k 是的“右型间隔数列”，若，且有，求{}n c {}n a k 10n =1212n n b b b c c c +++=+++ 的值；k（3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型{}n a 10a =27a ={}n a 间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于{}n b {},2,3,,1i j n ∈- i j i j a b b a +≠+n a 的最小值（即关于的最小值函数）．n n ()f n 2024-2025学年浙江省金华市高三上学期10月联考数学检测试卷考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）{}2450A x x x =--<∣{}2,0,2,4,10B =-A B = A. B. {}2,0,2,4-{}2,10-C.D.{}0,2,4{}2,4【正确答案】C【分析】先求出集合A ，后根据交集概念计算即可.【详解】因为，{15}A x x =-<<∣{}2,0,2,4,10B =-所以．{}0,2,4A B ⋂=故选：C ．2. 已知，则（）1i z =--()1i z -=A. B. 1D. 22-【正确答案】A【分析】根据复数的乘法运算即可求解.【详解】因为．()()()21i 1i 1i (i)12z -=---=--=-故选：A ．3. 已知非零向量，，则“”是“向量”的（）a b a b a b +=- a b ⊥ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的定义及数量积的运算律判断即可.【详解】因为，为非零向量，ab 若，则，则，a b a b+=-()()22a ba b+=- 222222aa b b a a b b +⋅+=-⋅+ 所以，所以，故充分性成立；40a b ⋅= a b ⊥若，则，所以，a b ⊥ 0a b ⋅= 222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ 所以，则，故必要性成立；()()22a ba b+=- a b a b+=- 所以“”是“向量”的充要条件.a b a b+=-a b ⊥故选：C ．4. 若过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）()224xy+=αcos α=A. B.D. 3545【正确答案】A【分析】由题意求出点到圆心的距离为，进而可得，结合二倍角的余()d sin=2rd α弦公式计算即可求解.【详解】点到圆心的距离为，圆的半径为，()()0,0d =2r =所以，于是．sin 2r d α===223cos 12sin 1225αα=-=-=故选：A ．5. 二项式的展开式中的常数项为（ ）622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭A. 480 B. 240C. 120D. 15【正确答案】B【分析】运用通项公式计算即可.【详解】因为得到常数项，则．()621231662C C 2,rrrr r rr T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭4r =.246C 21516240=⨯=故选:B．6. 已知底面半径为2的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为SO 1，则此圆柱侧面积与圆锥侧面积的比值为（）SO A. 1D.12【正确答案】C.【详解】作出轴截面，如图所示，由题意可得：，可知分别为的中点，4,2AB DE ==,D E ,SA SB 则分别为的中点，则，,M N ,OAOB 12DM SO ==可得；2πS ==圆柱侧面积π248πS =⨯⨯=圆锥侧面积故选：C ．7. 函数在区间上的所有零点之和为（ ）()5πsin cos cos 24x f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()π,2π-A. B. C. D. 4π2π3π【正确答案】B【分析】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，作出函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解.5πcos 24x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan y x =【详解】由得，即，()0f x =sin 5πcos cos 24x x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5πtan cos 24x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数的零点即方程的根，()f x 5πtan cos 24x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作出函数和的图象，如图，5πcos 24x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭tan y x =由图可知两个图均关于中心对称且在上有两个交点，π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭故函数在区间上有4个零点，所以4个零点的和为．()f x ()π,2π-2π故选：B ．8. 已知函数的定义域为，当或或是无理数时，；当()f x []0,10x =1x =x ()0f x =（，，是互质的正整数）时，．那么当，，，都n x m =n m <m n ()1f x m =a b a b +ab 属于时，下列选项恒成立的是（）[]0,1A. B. ()()()f a b f a f b +≤+()()()f a b f a f b +≥⋅C.D.()()()f ab f a f b ≥+()()()f ab f a f b ≥⋅【正确答案】D【分析】使用特值法可排除A,B,C,据，的取值可分类讨论证明D 正确.a b 【详解】当时，，，12a b ==()()=1=0f a b f +()11==44f ab f⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()11==()22f a f b f =所以，，故排除B 、C ；()()()f a b f a f b +<⋅()()()f ab f a f b <⋅当，时，，，，18a =38b =()11==22f a b f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()11==88f a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭()31==88f b f ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，故排除A ．()()()f a b f a f b +>+下面证明D 的正确性：当，之一为无理数或者0或者1时，不等式右边为0，显然成立．a b 当，都是真分数时，不妨设，，a b n a m =q b p =则不等式右边为，显然有左边大于或等于．1mp 1mp 所以不等式成立．故选：D ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 随机变量，分别服从正态分布和二项分布，且，，则（X Y ()2,1X N ()4,0.5Y B ~）A .B. ()()04P X P X ≤=≥()()04P Y P Y ≤=≥C.D.()()E X E Y =()()22P X P Y ≤=≤【正确答案】ABC【分析】根据正态分布的性质和二项分布的性质计算即可.【详解】对A ，因为，根据对称性，知道，故A 正确；()2E X =对B ，因为，故B 正确；()()()()440411100C (()441622P Y P Y P Y P Y ≤=======≥对C ，因为，故C 正确；()()2,40.52E X E Y ==⨯=对D ，因为，，()122P X ≤=()004113222444111111112C (()C ()()C (()22222216P Y ≤=++=故D 错误.故选：ABC ．10. 在正四棱柱中，，点是棱上的动点（不含端点），1111ABCD A B C D -12AB AA =M 1DD 则（）A. 过点有且仅有一条直线与直线，都垂直M AC 11B DB. 过点有且仅有一条直线与直线，都相交M AC 11B DC. 有且仅有一个点满足和的面积相等M MAC △11MB D D. 有且仅有一个点满足平面平面M MAC ⊥11MB D 【正确答案】AB【分析】由空间线线、线面、面面的位置关系逐项判断即可.【详解】由图可知直线和直线异面，AC 11B D 则过空间中一点都是有且仅有一条直线与它们垂直，故A 正确；又易知与，都相交，且点在上，1DD AC 11B D M 1DD 所以过点有且仅有一条直线与直线，都相交，故B 正确；M AC 11B D 连接交于，易知，所以，BD AC O MA MC =MO AC ⊥可知到的距离大于，且，M AC DO 1AB A DO ==又到的距离小于，结合所以三角形面积不可能相等，故C 错误；M 11B D 1AA 11AC B D =由正四棱柱易得：平面，又平面，AC ⊥11MB D AC ⊂MAC 所以对任意恒有平面平面，故D 错误.M MAC ⊥11MB D 故选：AB.11. 已知是曲线上的一点，则下列选项中正确的是（ ）()00,P x y 33:C x y y x +=-A. 曲线的图象关于原点对称C B. 对任意，直线与曲线有唯一交点0x ∈R 0x x =C PC. 对任意，恒有[]01,1y ∈-012x <D. 曲线在的部分与轴围成图形的面积小于C 11y -≤≤y π4【正确答案】ACD【分析】将，替换为，计算即可判断A ；取，可判断有三个交点即可判断x y x -y -0x =B ；利用函数的单调性来得出的取值范围，再结合的单调性3y x x =-300y y -()3f x x x =+进行求解即可判断C ；利用图象的对称性和半圆的面积进行比较即可判断D ．【详解】A ．对于，将，替换为，，所得等式与原来等价，故A 33x y y x +=-x y x -y -正确；B ．取，可以求得，，均可，故B 错误；0x =0y =1y =1y =-C ．由，，函数，故，330000x x y y +=-[]01,1y ∈-3y x x =-213y x '=-令，解得：，在，时，，函数单调2130y x '=-=1x =1,x ⎡∈-⎢⎣⎤⎥⎦0'<y 递减，在时，，函数单调递增，所以，x ⎛∈ ⎝0'>y 300y y ⎡-∈⎢⎣又因为是增函数，，所以有，故C 正确；()3f x x x =+1528f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭012x <D ．当时，，又，[]00,1y ∈3300000x x y y +=-≥320002x x x +≥，所以．32000022y y y y -≤-22000x y y ≤-曲线与轴围成半圆，又曲线的图象关于原点对称，22x y y =-y C 则曲线与轴围成图形的面积小于，故D 正确．C y π4故选：ACD ．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一点满足，则22143x y +=1F 2F P 212PF F F ⊥线段__________．2PF =【正确答案】##32 1.5【分析】由已知可得点的横坐标为，代入椭圆方程即可求得点坐标，得出结果.P 1x =P 【详解】因为椭圆，则，所以，，22143xy +=2,1a b c ===()11,0F -()21,0F 因为,212PF F F ⊥所以点的横坐标为，代入求得纵坐标为，即．P 1x =32±232PF =故3213. 已知曲线在处的切线恰好与曲线相切，则实数的值为e xy =1x =l ln y a x =+a ______．【正确答案】2【分析】根据是曲线在处的切线求出的方程，再求出与曲线相l e xy =1x =l l ln y a x =+切的切点即可求解.【详解】由得，又切点为，故，切线为，e x y =e xy '=(1,e)e =k l e y x =设与曲线的切点为，，所以，解得切点为，l ln y a x =+()00,e x x 1y x '=01e x =1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，解得．1ln 11e a a +=-=2a =故2.14. 数学老师在黑板上写上一个实数，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，0x就将黑板上的数乘以再加上3得到，并将擦掉后将写在黑板上；如果反面向上，0x 2-1x 0x 1x 就将黑板上的数除以再减去3得到，也将擦掉后将写在黑板上．然后老师再抛0x 2-1x 0x 1x 掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为．现已知的概率为0.5，则实数的2x 20x x >0x 取值范围是__________．【正确答案】()(),21,-∞-+∞ 【分析】构造函数，，由两次复合列出不等式求解即可.()23f x x =-+()32xg x =--【详解】由题意构造，，()23f x x =-+()32x g x =--则有，，，．()()43f f x x =-()()9f g x x =+()()92g f x x =-()()342x g g x =-因为，恒成立，()()f g x x>()()g f x x<又的概率为0.5，20x x >所以必有或者解得．43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩()(),21,x ∈-∞-⋃+∞故()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15. 在中，角的对边分别为，，，已知，ABC V ,,A B C a b c 222c a b ab =++．()sin cos C B A-=（1）求角和角．C B （2）若边的面积．BC ABC V 【正确答案】（1），2π3C =π4B =（2【分析】（1）根据余弦定理求出，再将化简为2π3C =()sin cos C B A -=，从而求出即可；2ππsin sin 36B B ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π4B =（2）根据边求出，，利用求解即可.BC 2b =c =1sin 2S bc A =【小问1详解】由余弦定理知，故．2221cos 22a b c C ab +-==-2π3C =因为，所以，()sin cos C B A -=2πππsin cos sin 336B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又，所以，故．π03B <<2ππ36B B -=+π4B =【小问2详解】因为边上的高，解得，，BC sin sin h b C c B ===2b=c =又，()sin sin sin cos sin cos A B C BC C B =+=+=所以的面积．ABC V 1sin 2S bc A ==16. 已知双曲线与过点，的直线有且只2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>A ⎫⎪⎭(0,B 有一个公共点，且双曲线的离心率．T C e =（1）求直线和双曲线的方程；AB C （2）设，为双曲线的左、右焦点，为线段的中点，求证：1F 2F C M 2AF ．21MTF TF A ∠=∠【正确答案】（1），；:AB y =-2215y x -=（2）证明见解析【分析】（1）由离心率求出关系，并化简双曲线方程，再求出直线方程代入双曲线方程,a b 中，利用求解即可；Δ0=（2）求出点坐标，可进一步证明，进而证明.T 122F F T TF M ∽△△21MTF TF A ∠=∠【小问1详解】因为双曲线的离心率，e =所以，解得，2226a b a +=b =设双曲线方程.222215x y a a -=直线过点，，AB A ⎫⎪⎪⎭(0,B 所以直线，即，AB 1=:AB y =代入双曲线方程，得，22255x y a -=22220x a -+--=由题意，，解得()2Δ24820a =-+=21a =所以双曲线的方程：．C 2215y x -=【小问2详解】因为，于是即，21a =22220xa -+--=2230x -+=所以，代入x=y=y =则，又，所以，T 2F 224TF =因为为线段的中点，所以，M 2AF M ⎫⎪⎪⎭所以．222124F M F F F T ⋅===又，所以，故．122F F T TF M ∠=∠122F F T TF M ∽△△21MTF TF A∠=∠17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，侧面是正三P ABCD -ABCD 60BAD ∠=PAD 角形，是棱的中点．M PC （1）证明：；AD DM ⊥（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．P AD B --60oDM PAB 【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）取与中点，．连接，，，，证明四边形AD PB O N PO OB ON MN 是平行四边形．得到线面垂直，再用性质即可.ODMN （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，再用向量夹角计算公式计算PAB n即可.【小问1详解】证明：分别取与中点，．连接，，，，AD PB O N PO OB ON MN 则运用中位线性质知且,则11//,22NM BC NM BC =11//,22OD BC OD BC =，//,OD MN OD MN =则四边形是平行四边形．ODMN 侧面是正三角形，易知，.PAD AD OP ⊥底面是菱形，，则底面是正三角形，则.ABCD 60BAD ∠=BAD AD OB ⊥平面， 平面，,,OP OB O OP OB =⊂ POB AD ∴⊥POB 平面，.ON ⊂ POB AD ON ∴⊥由于四边形是平行四边形．，．ODMN DM ON ∥AD DM ∴⊥【小问2详解】由（1）知为二面角的平面角，即，前面知道，POB ∠P AD B --60POB ∠=AD OB ⊥则过O 做AD 的垂线Oz ，以为坐标原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系O ,,OA OB Oz 如图，O xyz -设，则，，，，，2AB =A (1,0,0)()1,0,0D-()C-()B 32P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，，34M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭34DM ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭()AB =-32PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面的一个法向量为，PAB n =(x,y,z )则，进而求得一个法向量为．030x z ⎧-+=⎪-=()n = 设直线与平面所成角为，DM PAB α则．sin DM n DM n α⋅=== 18. 已知函数．()()e xf x x a =-（1）若，求函数的单调区间和最值；2a =()f x （2）若，且一次函数的图象和曲线相切于处，求函数0a ≤()y g x =()y f x =1x =-的解析式并证明：恒成立．()g x ()()g x f x ≤（3）若，且函数在上有两个极值点，求实数的1a =()()()2h x f x t x x =--1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭t 取值范围．【正确答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，(),1-∞()1,+∞()1e f =-无最大值．（2），证明见解析()12e e a ag x x +=--（3）．22e e,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）利用导数与单调性的关系求解单调区间，再结合单调性求解最值即可；（2）根据导数的几何意义求出；令12()e e a ag x x +=--，利用导数求出最小值为即()()()()12e e e x a a u x f x g x x a x +=-=-++()u x ()10u -=可；（3）因为函数在上有两个极值点，所以()()()21e xh x x t x x =---1,22⎛⎫⎪⎝⎭在上有两个变号零点，分离参数得，求解直线()()e 21x h x x t x -'=-1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭121e x x t x -=与函数在上的图象有两个交点即可.1y t =()21e x x H x x -=1,22⎛⎫⎪⎝⎭【小问1详解】因为，所以，定义域为，求导得，2a =()()2e x f x x =-R ()()1e xf x x -'=故当时，；当时，，(),1x ∞∈-f '(x )<0x ∈(1,+∞)f '(x )>0所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，()f x (),1∞-(1,+∞)所以最小值为，无最大值．()1ef =-【小问2详解】，所以，又，()()1exf x x a =-+'()1e a f '-=-()11e af +-=-所以，即；()()11e e a ag x x +=-+-12()e e a a g x x +=--令，()()()()12e e e x a a u x f x g x x a x +=-=-++则，，这里表示的导函数．()()1e e x au x x a =-++'()()2e xu x x a =-+''()u x ''()u x '令，则，()0u x ''=2=-x a 当变化时，与的变化情况如下表：x ()u x ''()u x 'x(),2a ∞--2a -()2,a ∞-+()u x ''-+()u x '单调递减2e ea a --+单调递增所以当时，函数有极小值，极小值为，也是最小值，2=-x a ()u x '2e e a a--+因为当时，无限趋向于，所以当时，，x →-∞()u x '0e a ≤2x a <-()0u x '<又，此时，在上单调递减，在上单调递增，()10u '-=()u x (),1∞--()1,∞-+所以，即不等式恒成立．()()10u x u ≥-=g (x )≤f (x )【小问3详解】因为函数在上有两个极值点，()()()21e xh x x t x x =---1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭所以在上有两个变号零点，()h x '1,22⎛⎫⎪⎝⎭因为，令，即，()()e 21x h x x t x -'=-()0h x '=()e 210x x t x --=因为不是的根，所以，0x =()e 210xx t x --=121e x x t x -=令，则，()2112e 2x x H x x x -⎛⎫=<< ⎪⎝⎭()()()()()()222e 121e 121e e x xxxx x x x x H x x x -+--+==-'当时，；当时，，112x <<()0H x '>12x <<()0H x '<所以函数在上单调递增，在上单调递减，()H x (12,1)()1,2又，，，作出函数在上的图象，102H ⎛⎫= ⎪⎝⎭()11e H =()2322e H =()H x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭当，即时，直线与函数在上的图象有两个交点，23112e e t <<22e e 3t <<1y t =()H x 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭设两个交点的横坐标分别为，且，12,x x 12x x <由图可知，当或时，，此时，112x x <<22x x <<121e x x t x ->()121e 0e x x x h x tx t x -⎛⎫- ⎝'=>⎪⎭当时，，此时，12x x x <<121e x x t x -<()121e 0e x x x h x tx t x -⎛⎫- ⎝'=<⎪⎭所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，ℎ(x )11,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()12,x x ()2,2x 此时，函数有两个极值点，合乎题意．()f x 因此，实数的取值范围为．t 22e e,3⎛⎫⎪⎝⎭19. 已知整数，数列是递增的整数数列，即4n …{}n a 且．数列满足，．若对于12,,,n a a a ∈Z12n a a a <<<{}n b 11b a =n n b a =，恒有等于同一个常数，则称数列为的“左型间隔数{}2,3,,1i n ∈- 1i i b a --k {}n b {}n a k 列”；若对于，恒有等于同一个常数，则称数列为的{}2,3,,1i n ∈- 1i i a b +-k {}n b {}n a “右型间隔数列”；若对于，恒有或者，则称数k {}2,3,,1i n ∈- 1i i a b k +-=1i i b a k --=列为的“左右型间隔数列”．{}n b {}n a k （1）写出数列的所有递增的“左右1型间隔数列”；{}:1,3,5,7,9n a （2）已知数列满足，数列是的“左型间隔数列”，数列{}n a ()81n a n n =-{}n b {}n a k 是的“右型间隔数列”，若，且有，求{}n c {}n a k 10n =1212n n b b b c c c +++=+++ 的值；k （3）数列是递增的整数数列，且，．若存在的一个递增的“右4型{}n a 10a =27a ={}n a 间隔数列”，使得对于任意的，都有，求的关于{}n b {},2,3,,1i j n ∈- i j i j a b b a +≠+n a 的最小值（即关于的最小值函数）．n n ()f n 【正确答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2）80k =（3）()()382n n f n -=+【分析】（1）由“左右型间隔数列”的定义，求数列的所有递增的“左右1型k {}:1,3,5,7,9n a 间隔数列”；（2）根据“左型间隔数列”和“右型间隔数列”的定义，由k k，则有，代入通项计算即可；1212n n b b b c c c +++=+++ 1291016a a k a a ++=+（3）由“右4型间隔数列”的定义，有，可知，则144i i i b a a +=->-{}3i i b a n n -∈≥-∣有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ，化简即可．()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- 【小问1详解】数列的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或{}:1,3,5,7,9n a 1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由，可得，12101210b b b c c c +++=+++ 239239b b b c c c +++=+++ 即，即，128341088a a a k a a a k ++++=+++- 1291016a a k a a ++=+即，所以．16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯80k =【小问3详解】当时，由，可知．{}2,3,,1i n ∈- 144i i i b a a +=->-{}3i i b a n n -∈≥-∣又因为对任意，都有，{},2,3,,1i j n ∈- i j i ja b b a +≠+即当时，两两不相等．{}2,3,,1i n ∈- i i b a -因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ．()382n n -=+所以的最小值函数．n a ()()382n n f n -=+另外，当数列的通项{a n }()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列的通项时也符合题意．{b n }(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。