专题11 几何体面积、体积的计算-2018年高考数学母题题源系列 Word版含解析

一．命题类型1.几何体的体积2.与球有关的面积问题3.空间几何体的体积、面积与函数的综合4.面积、体积的最值问题5.折、展、转等问题6.与三视图有关的几何体表面积和体积【学习目标】1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，掌握柱、锥的简单几何体性质．2．了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图)，了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系．3．能画出简单空间图形及实物的三视图与直观图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．4．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图．2.三视图空间几何体的三视图由平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视、侧视、俯视．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中平行于x′轴、y′轴；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．1.有关斜二测画法的常用结论与方法(1)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积S′与原平面图形的面积S 之间的关系是S′＝24S. (2)对于图形中与x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的平行线段，再借助所作的平行线段确定端点在直观图中的位置.2.有关三视图的基本规律(1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求是：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高.(2)由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相等、高平齐”的基本原则.3.特殊多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正三棱锥又叫正四面体.(3)平行六面体：指的是底面为平行四边形的四棱柱.二．命题类型举例及防陷阱措施1.几何体的体积例1. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如 “堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12A A A B ==，当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时，“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的体积为（ ）A. 13B. 23C. 1D. 2【答案】D∴当“阳马”即四棱锥11B A ACC -体积最大时， AC BC ==此时“堑堵”即三棱柱111ABC A B C -的体积： 1222V ⎛=⨯=⎝ 故选D练习1. 17世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V＝kD 3”中的常数k 称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D 为直径，类似地，对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱)、正方体也有类似的体积公式V ＝kD 3，其中，在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长．假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么，k 1∶k 2∶k 3＝( ) A. 4π∶6π∶1 B. 6π∶4π∶2 C. 1∶3∶12π D. 1∶32∶6π【答案】D【解析】球中， 33331144,33266D V R D k D k ππππ⎛⎫====∴= ⎪⎝⎭； 等边圆柱中， 23322,244D V D D k D k πππ⎛⎫=⋅==∴= ⎪⎝⎭； 正方体中， 3333,1V D k D k ==∴=； 所以12336::::11::642k k k πππ==.故选D. 练习2. 正棱锥的高缩小为原来的12，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的( ) A. 32 B. 92 C. 34 D. 94 【答案】B【解析】设原棱锥高为h ，底面面积为S ，则V ＝13Sh ，新棱锥的高为h 2，底面面积为9S ，∴V ′＝13·9S ·h 2，∴V V '＝92.选B. 练习3. 已知四棱锥P ABCD -的顶点都在半径R 的球面上，底面ABCD 是正方形，且底面ABCD 经过球心O ， E 是AB 的中点， PE ⊥底面ABCD ，则该四棱锥P ABCD -的体积等于__________．【答案】33R 【解析】画出如下图形，练习4．一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图甲，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图乙，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E ， F ， 1F ， 1E 分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为_______.【答案】94【解析】因为E ， F ， 1F ， 1E 分别为所在棱的中点，所以棱柱1111EFBC E F B C -的体积393344EFBC ABC ABC V S S S ∆∆=⨯=⨯=，设甲中水面的高度为h ，则99,44ABC ABC S h S h ∆∆⨯=∴=，故答案为94. 练习5. 已知球O 的直径PQ ＝4，A ，B ，C 是球O 球面上的三点，△ABC 是等边三角形，且∠APQ ＝∠BPQ ＝∠CPQ ＝30°，则三棱锥P －ABC 的体积为________．【解析】设球心为M ，三角形ABC 截面小圆的圆心为O ，∵ABC 是等边三角形， 30APQ BPQ CPQ ∠=∠=∠=︒∴P 在面ABC 的投影O 是等边ABC 的重心（此时四心合一）PQ 是直径，9043030330PCQ PC cos PO cos OC ∴∠=︒∴=︒=∴=︒==︒．．O 是等边ABC 的重心23OC OH ∴=∴等边ABC的高2360OH AC sin ===︒． 三棱锥P ABC -体积1113333224ABC V PO S =⋅=⨯⨯⨯⨯=练习6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则三棱锥A －B 1D 1D 的体积为________ cm 3.【答案】3 【解析】长方体 1111ABCD A BC D -中的底面ABCD 是正方形．连接AC 交BD 于O ，则AC BD ⊥，又1D D BD ⊥，2.与球有关的面积问题例2. 已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在同一个球面上， 90BAC ∠=︒， BC ， PA = PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥外接球的表面积为（ ） A. 163π B. 4π C. 323π D. 16π 【答案】C【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA AC ⊥⊥ ，又因为90BAC ∠=︒，所以AB AC ⊥ ，所以三棱锥P ABC -的外接球就是以,,PA AB AC 为长宽高的长方体的外接球，所以外接球的直径等于长方体的对角线，可得(22222222415R PA AB AC PA BC =++=+=+=， 此三棱锥外接球的表面积为2415R ππ=，故选C.练习1. 18．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面0,90,4,ABC BAC AB AC PA PC ∠===== ，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A. 24π B. 28π C. 32π D. 36π【答案】D【解析】建系以AB 为x 轴，以AC 为y 轴，以A 点为原点，建系，球心一定在底面三角形ABC 的外心的正上方，设球心点坐标为O （2，2，z ）,P(0,3,1),C(0,4,0),根据球心的定义知|OC|=|OP|即()224+1+z-1=4+4+ 1.z z ⇒=- 故圆心为()2,2,1-，半径为OC=3表面积为36π.故答案为：D.【方法总结】：这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。

【母题原题1】【2018新课标1，文10】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）A． 8 B． C． D．【答案】C【解析】分析：首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式详解：在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因为，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.点睛：该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长久显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.【母题原题2】【2017新课标1，文16】已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ­ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 【答案】36π 【解析】点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.【命题意图】1.了解球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式．2.了解球的表面积与体积的计算公式． 【命题规律】 一、空间几何体的体积1．柱体: V 柱体＝Sh ；V 圆柱＝πr 2h . 2．锥体:V 锥体＝13Sh ；V 圆锥＝13πr 2h .3．台体:V 台体＝13(S ＋SS ′＋S ′)h ；V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2)．二、球的体积与表面积1．球的表面积公式：S ＝4πR 2；的体积公式V ＝43πR 32．与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四面体与球：如图1，设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O .此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE ＝ 23a ，CE ＝33a ，则有R ＋r ＝ 23a ，R 2－r 2＝|CE |2＝a 23，解得R ＝64a ，r ＝612a .(2)正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图2所示．设正方体的棱长为a ，则|OJ |＝r ＝a2(r 为内切球半径)．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG 的外接圆，则|GO |＝R ＝22a . ③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A 1O |＝R ′＝32a .(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1­AB 1D 1的外接球的球心和正方体ABCD ­A 1B 1C1D 1的外图2图1接球的球心重合．如图3，设AA 1＝a ，则R ＝32a . ②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体 的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2＝a 2＋b 2＋c 24＝l 24(l 为长方体的体对角线长)． 【方法总结】1．求几何体的表面积的方法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积． 2．“切”“接”问题的处理规律 （1）“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作． （2）“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．已知图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，则这个几何体的体积为A ． 64B ．C ．D ． 128【答案】B 【解析】【分析】本题先由三视图可以得出几何体为三棱锥，再通过小正方形数出三棱锥高和底面的底和高的长度，最后通过三棱锥体积公式计算得出结果。

精品高考数学2018年全揭秘《高考母题题源》系列母题十 几何体的表面积与体积【母题原题1】【2018江苏，理10】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．【母题原题2】【2017江苏，理6】如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【母题原题3】【2015江苏，理9】现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为【命题意图】 高考主要考查几何体的表面积和体积，考查基本求解能力.【命题规律】1. 高考对立体几何的计算，主要是能利用公式求常见几何体(柱体、锥体、台体和球)的表面积与体积．同时还能解决距离、翻折、存在性等比较综合性的问题．2. 高考中常见的题型：(1) 常见几何体的表面积与体积的计算；(2) 利用等积变换求距离问题；(3) 通过计算证明平行与垂直等问题．【方法总结】1. 几何体的表面积的求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．2. 有关几何体体积的类型及解题策略1．【江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数学试题】已知边长为2的等边三角形中，、分别为、边上的点，且，将沿折成，使平面平面，则几何体的体积的最大值为__________．2．【江苏省南通市2018届高三最后一卷 --- 备用题数学试题】如图，已知圆锥的高是底面半径的倍，侧面积为，若正方形内接于底面圆，则四棱锥侧面积为__________．3．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数学试题】现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.4．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥D－A1BC的体积是______．5．【江苏省海门中学2018届高三5月考试（最后一卷）数学试题】如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底ABCD,底面ABCD是矩形，AB=2， AD=3，点E为棱CD上一点，若三棱锥E-PAB的体积为4，则PA的长为______.6．【江苏省扬州树人学校2018届高三模拟考试（四）数学试题】记棱长为1的正三棱锥的体积为，棱长都为1的正三棱柱的体积为，则__________．7．【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试数学（文）试题】已知圆锥和圆柱的底面半径均为，高均为，则圆锥和圆柱的表面积之比是______．8．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题】在棱长为2的正四面体中，，分别为，的中点，点是线段上一点，且，则三棱锥的体积为____．9．【江苏省2018年高考冲刺预测卷一数学】已知在体积为的圆柱中，，分别是上、下底面直径，且，则三棱锥的体积为__________．10．【江苏省无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷】直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________．。

专题十 简单几何体的表面积与体积 核心素养练习一、核心素养聚焦考点一 数学抽象-与球有关的切、接问题例题8.(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为 .(2)正方体的全面积是a 2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 ．考点二 数学运算-棱台与棱锥之间关系的综合问题例题9、已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．考点三 直观想象-组合体的表面积与体积例题10.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝a ，BC ＝2a ，∠DCB ＝60°，在平面ABCD 内过点C 作l ⊥CB ，以l 为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．二、学业质量测评一、选择题1．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 2．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23πB ．43πC ．53πD ．2π3．在棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A ．33a B ．34a C ．36a D ．312a4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛5．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．1526．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1607．（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，下列结论正确的是（ ）A ．圆柱的侧面积为22R πB ．圆锥的侧面积为22R πC ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：28．（多选题）已知ABC ∆的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =.下列说法正确的是（ ） A ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以BC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36πC ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π二、填空题9． 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____. 10．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则四棱锥11A BB D D -的体积为______cm 3．11．如图，在圆柱O 1 O 2 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1 O 2 的体积为V 1 ,球O 的体积为V 2 ，则12V V 的值是_____12．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分当以直径AB 所在直线为轴旋转一周时，得到一几何体，则该几何体的表面积是_________，体积是_______.（其中30BAC ︒∠=）三、解答题13．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且∠=︒，求该四棱锥的侧面积和表面积．OPE3014．已知一圆锥的母线长为10cm，底面圆半径为6cm.（1）求圆锥的高；（2）若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积.15．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.（1）求圆锥的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.。