2021-2022年高考数学专题-几何体的表面积与体积的求解

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简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.

核心考点一 空间几何体的表面积

柱体、锥体、台体、球的表面积公式：

①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；

②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；

③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；

④球的表面积S＝4πR2.

1.【2018新课标1文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )

A．122π B．12π C．82π D．10π

2．【2017新课标1文18】如图，在四棱锥PABCD中，//ABCD，且90BAPCDP

（1）证明：平面PAB平面PAD；

（2）若PAPDABDC，90APD，且四棱锥PABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．

【解析】（1）由已知90BAPCDP∠∠，得ABAP，CDPD．

由于ABCD∥，故ABPD，从而AB平面PAD．

又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD． 精讲精练 知识梳理 空间几何体的表面积和体积 page - 2 - of 16 （2）在平面PAD内作PEAD，垂足为E．

由（1）知，AB平面PAD，故ABPE，可得PE平面ABCD．

设ABx，则由已知可得2ADx，22PEx．

故四棱锥PABCD的体积31133PABCDVABADPEx．

由题设得31833x，故2x．

专题28空间几何体的结构特征、表面积与体积

【考点预测】

知识点一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面

（1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体．

（2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）．

知识点二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台

1．棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．

（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；

（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；

（7）正方体：棱长都相等的长方体．

2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．

（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．

3．棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．

简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示．

知识点三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球

1．圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．

2．圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．

3．圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．

4．球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．

知识点四：组合体

由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体．

知识点五：表面积与体积计算公式

第5讲 简单几何体的面积与体积

一、选择题

1．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( )

A.72π B．56π

C．14π D．64π

解析 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，则 ab＝2，bc＝3，ac＝6，得 a＝2，b＝1，c＝3，

令球的半径为R，则(2R)2＝22＋12＋32＝14，∴R2＝72，

∴S球＝4πR2＝14π.

答案 C

2．若等腰直角三角形的直角边长为3，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是( )

A．9π B．12π

C．6π D．3π

解析 由题意知所得几何体为圆锥，且底面圆半径为3，高为3，故V＝13·(π·32)·3＝9π.

答案 A

3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为( )．

A．48 B．64 C．80 D．120

解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为侧面△PAB的边AB上的高，且PE＝5.∴此几何体的侧面积是S＝4S△PAB＝4×12×8×5＝80(cm2)．

答案 C

4．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )．

A.26 B.36 C.23 D.22

解析 在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝4－1＝3；同理SB＝3.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝12SA＝32，则△ABD的面积为12×1× AD2－122

＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26.

答案第1页，总18页 高考数学专题复习：立体几何体的表面积与体积

一、单选题

1．一个圆柱的轴截面是一个面积为36的正方形，则该圆柱的体积是（ ）

A．54 B．36 C．16 D．8

2．在正三棱锥ABCD中，BCD△的边长为6，侧棱长为215，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．754 B．75 C．37532 D．12532

3．在菱形ABCD中，6AB，60A，连结BD，沿BD把ABD折起，使得二面角ABDC的大小为60，连结AC，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）

A．13 B．24 C．36 D．52

4．已知一个圆柱上，下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为4，圆柱底面直径为2，则圆柱的侧面积为（ ）

A．23 B．43 C．83 D．163

5．一平面截一球得到直径为43cm的圆面，球心到这个平面的距离为2cm，则该球的体积为（ ）

A．3256cm3 B．364cm C．364 cm3 D．316cm3

6．若底面直径和高相等的圆柱的侧面积是，则这个圆柱的体积是（ ）

A． B．4 C．2 D．34

7．已知三棱锥SABC中，SA平面,4,23,60ABCSABCBAC，则三棱锥SABC外接球的表面积为（ ）

A．32 B．64π C．80 D．128

8．已知一平面截一球得到直径为23cm的圆面，球心到这个面的距离是6cm，则该球的体积为（ ）3cm

A．12 B．36 C．646 D．108

9．已知圆柱1OO及其展开图如图所示，则其体积为（ ） 答案第2页，总18页

A． B．2 C．3 D．4

10．已知正四棱锥SABCD的底面边长为2，侧棱长为3，则该正四棱锥的体积等于（ ）

A．43 B．433 C．43 D．4