2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

第1页，共50页 第六讲 空间几何的体积

【考点分析】

1. 掌握求空间几何的体积和表面积的各种方法。

2. 利用线面垂直的性质求空间几何的高

【知识运用】

题型一 直接法求体积

【例1】（2018惠州模拟）如图，直角ABC中， 90ACB， 24BCAC， DE，分别是,ABBC边的中点，沿DE将BDE折起至FDE，且60CEF.

（1）求四棱锥FACED的体积；（2）求证：平面ADF⊥平面ACF．

试题解析：（1）∵,DE分别是,ABBC边的中点，∴DE平行且等于AC的一半，

,1DEBCDE

依题意，

,2DEEFBEEF.

于是有,DEBCDEEFDEEFECEEFECCEF平面平面CEF.

∵DE平面CEF∴平面ACEDCEF平面

过F点作FMEC于M，则,ACEDCEFCEFMECFMACEDFMCEF平面平面且交线为平面平面，

∵60CEF∴3FM

∴梯形ACED的面积11122322SACEDEC

∴四棱锥FACED的体积1133333VSh 2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

第2页，共50页

（2）（法一）如图．设线段,AFCF的中点分别为,NQ，连接,,DNNQEQ，则1//2NQAC，于是1//2////1//2DEACDENQDEQNDNEQNQAC是平行四边形.

又60ECEFCEFCEF是等边三角形.

∴EQ⊥FC

由（1）知,DECEFEQCEF平面平面.

∴DEEQ

∴ACEQ

于是,ACEQFCEQEQACFACFCCACFCACF平面平面.

∴DNACF平面

又∵DNADF平面

∴平面ADF⊥平面ACF.

（法二）连接BF，∵,60ECEFCEF

∴△CEF是边长为2等边三角形

∵BEEF

∴1302EBFCEF∴90BFC， BFFC 2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

第3页，共50页 又∵,DEBCFDE平面∥AC∴ACBCF平面

∵BFBCF平面∴ACBF

又∵FCACC，∴BFACF平面

又∵BFADF平面，∴平面ADF⊥平面ACF.

【变式】

1.．如图，在三棱台中，，且面，，分别为的中点，为上两动点，且.

（1）求证：；

（2）求四面体的体积.

试题解析：（1）取的中点,连接,∵,为的中点,

∴,又,∴,

∵,且,∴四边形为平行四边形,∴,

同理，四边形为平行四边形，∴.∴四边为平行四边形,

∵面,∴面,

∴,又,∴面,

∵面,∴.

（2）令与交于，∵面,面,∴面面 ,

∵面面,∵,∴,∴面,

∴为点到面的距离，即, 2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

第4页，共50页 又,

∴.

题型二 等体积（换顶点）

【例2】．在四棱锥中，，，，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若点在线段上，且，求三棱锥的体积.

试题解析：

（Ⅰ）证明：取，的中点分别为，，连接，.

∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴.

∵平面平面，平面平面，

∴平面，而，∴①

又∵，，， 2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

第5页，共50页 ∴四边形为正方形，且，∴，即②

由①②及得：面，

又∵面，∴，

又∵，，∴面，而面，∴.

（Ⅱ）过点作于，则面且，

（或由（Ⅰ）得面，）

2．如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形， PA平面ABCD， PAAB，

M是PC上一点.

（1）若BMPC，求证： PC平面MBD；

（2）若M为PC的中点，且2AB，求三棱锥MBCD的体积.

（1）证明：连接AC，由PA平面ABCD， BD平面ABCD得BDPA，

又BDAC， PAACA，

∴BD平面PAC，得PCBD，

又PCBM， BDBCB， 2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

第6页，共50页 ∴PC平面MBD.

（2）解：由M为PC的中点得

111223MBCDPBCDBCDVVSPA 11122222323.

3．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形， 22ABAD，

3PDBDAD，且PD底面ABCD.

（1）证明：

BC平面PBD；

（2）若Q为PC的中点，求三棱锥APBQ的体积.

试题解析：

（1）证明：∵222ADBDAB，∴ADBD，

∵//ADBC，∴BCBD.

又∵PD底面ABCD，∴PDBC.

∵PDBDD，∴BC平面PBD.

（2）三棱锥APBQ的体积APBQV与三棱锥AQBC的体积相等，

而12AQBCQABCPABCVVV 11111334434PABCDV.

所以三棱锥APBQ的体积14APBQV. 2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

第7页，共50页

题型三 利用等体积求高

【例3】．在矩形中，，，为线段的中点，如图1，沿将折起至，使，如图2所示．

（1）求证：平面平面；

（2）求点到平面的距离．

（1）证明：在图1中连接，则

，，．

∵，，∴平面，

∵平面，∴平面

平面.

（2）取的中点，连接，∵，∴，，

∵平面平面，∴平面，

∴．

设点到平面的距离为，

由（1）平面，知，，

∵，∴，，

∴点到平面的距离为．

【变式】

1、．在三棱锥中，底面，，，是的中点，是2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

第8页，共50页 线段上的一点，且，连接，，.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

试题解析：（1）因为，所以.

又，，

所以在中，由勾股定理，

得.

因为，

所以是的斜边上的中线.

所以是的中点.

又因为是的中点，

所以直线是的中位线，

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）得，.

又因为，. 2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

第9页，共50页 所以.

又因为，

所以.

易知，且，

所以.

设点到平面的距离为，

则由，

得，

即，

解得.

即点到平面的距离为.

2、如图，在三棱锥中，平面平面，

APPD==，．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）已知，求点到平面APB的距离．

试题解析：

（Ⅰ）在RtPAD中，因为APPD= 33AB， APPD， 2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

第10页，共50页 所以623ADAPAB，

在ABD中， 222226333ADBDABABAB，

所以BDAD， 1分

又因为平面PAD 平面ABD，平面PAD 平面ABD= AD， BD平面ABD，

所以BD平面PAD， 2分

又∵AP平面PAD，所以BDAP， 3分

因为APPD， PDBDD， 4分

所以AP平面PBD，

因为AP平面PBA，

所以平面PBA 平面PBD. 6分

（Ⅱ）如图，设AD的中点为O，连接OP，，

∵APPD= 2BD， APDP，∴OPAD， 22AD， 2OP，

∵平面PAD 平面ABD，平面PAD 平面ABD= AD， OP平面PAD，

∴OP平面ABD， 8分

由（Ⅰ）知， BD平面PAD，∴,ADBDBDPD，

∴22PB， 23AB，

∴222ABPBPA，∴APBP，

∴APBS= 12APBP=12222=22，

∴PABDV三棱锥= 13ABDSOP=11222232=43，……………………10分

设点D到平面PAB的距离为d，

∵PABDV三棱锥=DABPV三棱锥= 13ABPSd， 2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

第11页，共50页 解得=，

∴点D到平面PAB的距离为2.……………………12分

立体几何中求点到平面的距离的方法：

（1）由定义作出点到平面的距离，通过解三角形得出；

（2）利用平行上的点到平面的距离相等的结论，进行转化为另一点到平面的距离；

（3）利用等体积法转化（三棱锥的体积）；

（4）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解.

题型四

求空间的表面积

【例4】．在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且．

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．

【试题解析】试题分析：（1）推导出，，从而，进而平面，由此能证明平面平面；（2）设，则四棱锥的体积，解得，可得所求侧面积.

（1）∵在四棱锥中，，∴，，

又，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．