第五章 (5.3.1)频率特性法分析系统稳定性(稳定判据)

系统稳定！
奈氏判据
对数频率稳定判据
j 0dB
L(ω)
B
C
-1
D 0
A
ωb φ(ω)
ωc ωd
ω
ω 0o
ω
z= p
2N
-90 -180
-270
在L(ω)>0dB的频段， 看φ(ω)穿越(2k+1)π线的次数。
二、对数频率稳定判据 二、对数频率稳定判据
z= p
自下而上
2N
开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相 频曲线与 (2k 1) 线的正负穿越次数之差为N ：
试用奈氏判据判断系统 的稳定性。
奈氏曲线
Im υ=1 p=1
ω=0+
解：
画图：
ω=0 K 起点： G ( s ) ， 270 s K 终点： 2 ， 0 180 , 交点：无交点 . Ts
ω=∞
-1
0
Re
例 已知系统的开环传递函数，试判断闭环系统的 K(T1s+1) 稳定性。
N N N
自上而下
G ( j ) H ( j )
G ( j ) H ( j )
含积分环节的修正： 从对数相频曲线的起点 0 ，向上补画一条 v 90 的虚线，再用对数频率稳定判据判稳。
解： 1
应该向上补 90
( ) L( ) / dB
画图： 10 起点： G ( s ) ， 90; 25s 10 终点： 3 ， 0 27 0;交点： G ( j 5 ) 0.04 . s
=5
=0+
例 已知单位反馈系统开环传递函数
5(s 1) G (s ) 2 s(s 2s a )
a 0,
若系统开环传递函数中包含有v个积分环节， 则先绘出ω=0+→∞的幅相频率特性曲线，然后将 曲线进行修正后，再使用奈氏判据来判断系统的 稳定性。 修正方法：
从原开环幅相曲线的起点 0 ，逆时针补画半径

为无穷大的 v 90 圆弧，用虚线表示，即ω=0→0+

的曲线。------补圆
0.5( s 2) 2 G( s) s3
应该向上补 1 8 0
( )
2

0

c

1 N 3, N 3 2
2
2, P 1
系统不稳定，且有 2个正实部根
j
Z P - 2 N 0 - 2(-1) 2
-1 0 [G(j)]
例：已知单位反馈系统 P 0， 0， K 10时 开环幅相曲线如图所示 , 试确定闭环稳定时 K的取值范围。
j -2 -1.5 -1 -0.5 0
解：
或者 N N 1，或者 N 、 N 都为0
=0+
j
K G( s ) s(Ts 1)
j
1 2
-1
=
0
=0
1
=
=0
0
G(=0+ j 0＋ )
5( s 2 )( s 3 ) G( s) 例： 2 s ( s 1)
=0+
j
1
= =0
0
例 系统的奈氏曲线如图,υ为积分环节的个数， p为 不稳定极点的个数，试判断闭环系统的稳定性。
90
180
0
c

1 N 1, N 2
270
系统稳定
解： 2 应该向上补 1 8 0
( ) L( ) / dB
0 0
180
1 2
3

N 1, N 1
2, P 0
系统稳定
解： 2
例 已知系统的奈氏曲线, 试判断系统的稳定性。
ω ω=0
-1
Im P=1 Im P=2 ω=∞ 0 ω=0
ω=∞
0 Re
-1
Re
(a) 解： (a) P=1， (b) P=2，
ω
(b)
Z P 2N 2
系统不稳定
Z P 2N 0
系统稳定
练习：设最小相角系统 G ( j )曲线如图所示， 试判断系统的稳定性。
Z P - 2N 0
1
G (j 0＋ )
0
0.5( s 2) 2 若G ( s ) , 试用奈氏判据判断系统 的稳定性。 3 s
(1)起点：( 3)交点：1Fra bibliotek 2-1
j
P 0
Z P - 2N 0
0
×
由劳斯判据可知系统不稳定
开环传递函数含有积分环节 开环传递函数含有积分环节
解：
-1
Im
Im ω=0 ω=0 Re
ω=∞
0
-1
ω=0+
ω=0
p=0 υ=1
(a)
ω=0+ ω=0+
p=0 υ=2
0
Re
(b)
Im
Im -1
0
ω=0+
p=0 υ=3
Re
(c)
ω=0
-1
ω=∞ 0 Re
υ=1
p=1
(d)
K 例： 已知 G ( s ) ， K 0, T 0 s(Ts 1)
-1 -1
正半次穿越
负半次穿越
例：判断下列系统的稳 定性。
j
-1
解：
-0.5
0
1 1 起点： ，终点： ， 0 90 , 交点：无交点 2 Ts Z P 2 N 1 2 0 1 不稳定 -2 -1
j
0
2 起点： 2，终点： ， 0 90 , 交点：无交点 Ts
-1
稳定判据中 稳定判据中N N的计算 的计算
开环幅相曲线自上向下穿越-1之左为正穿越， 用N＋表示；
G ( j ) H ( j )
-1
开环幅相曲线自下向上穿越 N=N＋ N－ -1之左为负穿越， 用N－表示；
-
G ( j ) H ( j )
G(jω)H (jω)起始于或终止于－1之左实轴，为半次穿越
试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a的取值范围。
5 G ( j0 ) 270o as
j
5 G ( j ) 2 0 180o s
2
-1
0
P=1 a<2.5时
1 5(1 ) Z 1 2(1 ) 0 G( j) 2 2 2 j[j(2 a ) (a )]
5.3.1 用频率特性法分析系统稳定性 ——稳定判据
利用开环幅相曲线和开环对数曲线 判断闭环系统的稳定性。
一、奈奎斯特稳定判据 二、对数频率稳定判据
一、奈氏稳定判据 一、奈氏稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数
z=
_ p 2N
开环极点在s右半平面的个数
开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
Z 0 时，系统稳定 ; Z 0时，系统不稳定。
G(s)H(s)=
Im
解： T >T 奈氏曲线 1 2
ω=0+
-1 0
s2(T2s+1)
T1<T2奈氏曲线
Im
ω=0
ω0+
Re -1 0
ω=0
Re
1) 系统是稳定的。
2) 系统不稳定。
10 , 用奈氏判据判稳。 练习：已知 G ( s ) 2 s( s 5) j 解：
1 25
=
0 =0
-0.2 -0.1 -0.15 -0.05
j
0
j -0.2K -0.15K -0.1K -0.05K 0
当 N N 1，或 N 、 N 都为 0时，系统稳定。
开环极点在右半平面的个数
j
0+ 0 0 0j
[s]
K 若G( s) ,P ? s(Ts 1)

P 0