北京师范大学959量子力学考研真题及解析

XXX 大学物理系专业2021年攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题（试卷D ）一、回答下列问题（40分）。

1、若系统的波函数的形式为()()()12,iiEtEtx t x e x eψφφ-=+，问(),x t ψ是否定态波函数？为什么？2、算符ˆA 和ˆB 满足对易关系，ˆˆˆˆˆ,1,B A C AB ⎡⎤==⎣⎦是厄密算符，且满足本征方程ˆ,Cφλφ=问： （1）状态ˆAψφ=是否ˆC 的本征态？若是，写出本征值。

若不 是，说明理由。

（2）算符ˆA和ˆB 是否厄密算符？用简单的算符运算说明之。

3、粒子处于态()2sin ,x A kx ψ=其中k 为波数，求其动量取2k 的几率；4、氢原子的波函数()1002102112112r ψψψ-=+，求能量的可能值、相应几率和平均值。

5、设ˆU为么正算符，而()()11ˆˆˆˆˆˆ,22A U U B U U i++=+=-，试证： （1）ˆA和ˆB 均为厄密算符； （2）22ˆˆ1AB +=。

二、（15分）一量子体系的哈密顿算符0ˆˆˆ,H H H '=+在0ˆH 为对角表象中的矩阵形式为：040000ˆˆ020,00,1001000k H H k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪'==<< ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1、用微扰法求体系的能量，精确到二级近似；2、求精确解，与1、比较。

三、（15分）ˆA和ˆB 是属于同一体系的两个互相对易的力学量算符， 1、若12,ψψ是属于ˆA 的不同本征值的本征态，试证明12ˆ0B ψψ=；2、问：当体系处于力学量ˆA 的本征态时，力学量ˆB 是否有确定值？试就ˆA的本征值简并与非简并两种情形加以说明。

四、（20分）自旋为12的粒子，处于一维无限深势阱()0,0,0,x aU xx x a<<⎧=⎨∞<>⎩之中，写出势阱内单粒子能级和波函数。

1、计及自旋每个能级有多少个状态？说明理由。

ˆi A，ˆA表示什么力学量？量子力学中守恒量是如何定义的？分）试用波函数的态叠加原理解释电子双窄缝衍射实验结果。

考虑在一维无限深势阱(0r量子力学试卷参考答案及评分标准一、二、略 三、（20分）单电子波函数及能量为：()sin(),(0);n n x x x a aπϕ=<<2222n n E maπ=, n=1,2,3… (5分)二粒子体系总波函数应是反对称的：(1,2)(1,2)(1,2)A s A ϕχΦ=或 (1,2)(1,2)(1,2)A A s ϕχΦ= （5分）基态：22011(1)(2)E E E maπ=+=[]000(1,2)(1)(2)(1)(2)(2)(1)ϕαβαβΦ=-，不简并。

（5分） 第一激发态： 22112215(1)(2)(1)(2)2E E E E E maπ=+=+=]][][]010110101(1)(2)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(1)(2)(2)(1)1(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)2A s s A ααϕχϕϕϕϕββαβαβϕχϕϕϕϕαβαβ⎧⎧⎪⎪=-⎨⎪⎪Φ=+⎨⎪⎪=+⋅+⎪⎩ 四重简并（5分）四、（共20分）1、因,z y p L 都是厄米算符，所以有()()z z z z y y y y i p L L p i p L L p +⎡⎤-=-⎣⎦ （5分）2、（1）因ˆ()(),1,2i i iA r a r i ψψ==; AB BA = （2分）所以，()()()i i i i AB r BA r a B r ψψψ==， （3分）则 ˆ()(1,2)iB r i ψ=也分别为A ˆ的属于本征值为1α和2α的本征函数。

（2分） （2）因111()()AB r a B r ψψ=，对此方程两边左乘*2ψ并积分得：**21121()()AB r d a B r d ψψτψψτ=⎰⎰ （3分）方程左边根据算符ˆA得厄米性有 ***2121221()()()()AB r d A B r d a B r d ψψτψψτψψτ==⎰⎰⎰ （3分） 由方程（1）和（2）有*1221ˆ()0a a Bd ψψτ-=⎰（2分）所以，*21ˆ0Bd ψψτ=⎰证毕。

北京师范大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试模拟试题部（院、系）：物理学系科目代码：959科目名称：量子力学（所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上一律无效）参考公式：泡利矩阵0110x σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭一、单选或多重选择题（共25分）多选、少选、选错均不得分。

1.以下几对算符中，存在共同本征态的有_______（A）ˆˆ,x y p p (B)ˆˆ,x x p (C)ˆˆ,x y s s (D)ˆˆ,x yl l 2.三维各向同性谐振子（不考虑自旋）可能的简并度有________（A）2（B）3（C）4（D）53.以下哪个（些）算符一定为厄米算符________(A)ψψ(B)ψϕ(C)ψϕϕψ+(D)ψϕϕψ-4.以下叙述正确的是________（A）两个定态的叠加是定态（B）若两算符存在共同本征态，则两算符必对易（C）在定态下，几率密度满足（D）定态必定是能量本征态5.厄米算符ˆA、ˆB 满足ˆˆˆˆ0AB BA +=。

若ψ是ˆA 的本征态，本征值非零，则________(A)ψ必为ˆB的本征态(B)ˆBψ必为ˆA 的本征态(C)ˆAψ必为ˆB 的本征态(D)ˆB在ψ中的平均值必为零第1页共3页科目代码：959科目名称：量子力学二、（25分）一根长为l无质量的绳子一端固定，另一端系质量为m的质点。

在重力作用下，质点在竖直平面内摆动。

（1）写出质点运动的哈密顿量；（2）在小角度下求系统的能级；（3）求由于小角度近似的误差而产生的基态能量最低阶修正。

微信搜索：34310531欢迎关注：物理轻松学三、（25分）1/2自旋算符可以用泡利矩阵表示为，其中的两个本征态为和。

（1）求的本征态，其中；（2）求算符对的两个本征态和作用的结果；（3）说明以上两小题的结果之间的关系和的物理意义。

四、（25分）已知轨道角动量在n方向上的分量为其中，为已知的方位角，求在算符与的共同本征态上算符n和n 的平均值。

北京师范大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题部（院、系）：物理学系科目代码：959科目名称：量子力学（所有答案必须写在答题纸上，做在试题纸或草稿纸上的一律无效）参考公式：泡利矩阵0110x σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭一.选择题（共25分）。

写清每题的题号及所有正确答案，多选、少选、选错均不得分。

1.一维粒子处于势函数()V x 中，已知()V x 是实值偶函数，且()x ψ是能量本征方程的一个解，则(A )()x ψ必为偶函数(B )()x ψ-一定是能量本征方程的解(C )()x ψ必为实值函数(D )()x ψ的复共轭函数*()x ψ一定是能量本征方程的解2.以下哪个（些）数字可能是氢原子能级的简并度(A )2(B )4(C )7(D )93.若算符ˆA满足2ˆˆA A =，则(A )ˆA 的本征值只可能是0或1(B )ˆA必为厄米算符(C )ˆA在任何态的平均值为非负实数(D )ˆA 必为常数算符4.以下哪个（些）算符一定为厄米算符(A )ψψ(B )ψϕ(C )ψϕϕψ+(D )ψϕϕψ-5.厄米算符ˆA、ˆB 满足ˆˆˆˆ0AB BA +=。

若ψ是ˆA 的本征态，本征值非零，则(A )ψ必为ˆB 的本征态(B )ˆBψ必为ˆA 的本征态(C )ˆAψ必为ˆB 的本征态(D )ˆB 在ψ中的平均值必为零。

（转背面！）第1页共3页第2页共3页二.（25分）已知20()2p H V x m=+的某个能级是E ，若系统变为0H H p α=+（α为常数），求该能级的变化。

（提示：此题需严格求解，可在动量表象下计算）三.（25分）在某自旋态χ中，测2z s = 的概率是12，测2x s = 的概率是34，求χ所有可能的独立解，结果用z s 表象α与β表示。

四.（25分）考虑一个沿x 方向运动的一维电子，其运动存在自旋轨道耦合，哈密顿量可写成微信搜索：34310531欢迎关注：物理轻松学21()2σσ=++Ωz x H p a m 其中,αΩ为常数。

第一章思考题1．下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于=可以忽略的体系。

=答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。

（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。

=2．什么是黑体？（1）黑颜色的物体。

（2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。

（3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。

（4）吸收比为1的物体。

（5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。

答：（4），（5）正确。

吸收比α（λ，T ）=1蕴含了任何温度下，对入射的任何波长的辐射α（λ，T ）均为1。

（2）是常见的黑体定义，显然，应加上“在任何温度下”才完整。

3．康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相互作用过程中是可分的？答：光电效应中，一个电子同时吸收两个光电子的概率非常小，一个电子只吸收一个光子。

另外，实测中光电发射没有可分辨出的时间延迟，这说明，电子没有能量的积累过程，即电子吸收一个光子后再吸收一个光子的概率也是非常小的。

因而，截止频率的限制是必需的。

4．德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有内部结构的复合体系？答：德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而与物质具体结构无关。

因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复杂体系。

5．粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？二者之间是否有必然联系？答：由基本假设 λ=ph ，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。

6．在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？答：为了验证是否大量粒子集合才呈现波动性，1949年比尔曼（苏）等曾做了，极微弱电子束射向金属箔 发生的射的实验，实验中两个电子相继穿过衍射系统的时间约为一个电子穿过仪器所需时间的三万倍！尽管这样，产生的衍射图样和用强大的倍的电子束所得到的图样完全一样。

量子力学试题(共21页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--量子力学试题（一）及答案一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。

（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xan a x n n m a E n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。

由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为 1312=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为 ()()()133;134;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。

（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i exp 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。

二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00,0.0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。

量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。

[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。

这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。

其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------y y y y y ye e e e e e ∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y ⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n nπ故⎰∞=⨯=-0443159061ππye dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。